Giáo án ôn tập hè lớp 10 môn toán

Đề cương ôn tập hè
Môn : Toán 10-năm 2010
A. Đại số
Tiết 1+2:

Bài 1: Hàm số

I.Hàm số bậc nhất:
1.Định nghĩa và các tính chất:
+Dạng : y= ax+b (a 0)
+TXD: D=R
+Hàm số đồng biến nếu a > 0.
+ Hàm số nghịch biến nếu a <0.

b
+đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm A(0;b) và B( ;0).
a
2.Các dạng bài tập cơ bản:
Dạng 1: vẽ đồ thị hàm số:
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a. y= 2x-3
b. y= -x+2
c. y= -3x -2
d. y= 4x+3
Dạng2: Xác định hàm số biết tính chất của nó:
Bài2: Tìm a sao cho hàm số sau: y=2x - a(x-1)
a.i qua gốc toạ độ O.
b.Đi qua A(-1;2).
c. song song với đường thẳng y= -3x-2.
Bài 3: Trong mỗi trường hợp sau xác định a và b sao cho đường thẳng y=ax+b
a.Cắt đường thẳng y=2x+5 tại điểm có hoành độ bằng -2 và cắt đường thẳng y=-3x+4 tại ®iĨm cã tung ®é

b»ng -2.

1
1
b.Song song víi ®­êng th¼ng y= x và đi qua giao điểm của hai đường thẳng y   x  1 vµ y=3x+5.
2
2
TiÕt 3+4:

II.Hµm sè bậc hai:

1.Định nghĩa và các tính chất:
+Dạng: y= ax 2 bx c(a 0)
+ TXD: D=R
+Bảng Biến thiên:
+Dạng đồ thị : Đồ thị của hàm số y= ax 2  bx  c(a  0) lµ parabol cã đỉnh là điểm (

b
;hướng bề lõm lên khi a>0 và xuống khi a<0.
2a
*Phép tịnh tiến đồ thị:Cho hàm số y= f(x) có đồ thị (C) ;p và q là hai số không âm.
+Khi tịnh tiến (C) lên trên q đơn vị , ta được đồ thị của hàm số y= f(x)+q.
+ Khi tịnh tiến (C) xuống dưới q đơn vị ,ta được đồ thị hàm số y=f(x)-q.
+Khi tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị ,ta được đồ thị hàm số y=f(x+p).
+Khi tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị , ta được đồ thị hàm số y=f(x-p).
đối xứng là đường thẳng x=

2.Các dạng bài tập cơ bản:

b

) ;cã trôc
;
2a 4a


1
Bài1: Cho hàm số: y= x 2 (C)
2
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đà cho
b. Nếu tịnh tiến (C) lên trên hai đơn vị ta được đồ thị hàm số nào?
c. Nếu tịnh tiến (C) xuống dưới ba đơn vị ,ta được đồ thi hàm số nào?
d. Nếu tịnh tiến (C) sang phải một đơn vị ta được đồ thị hàm số nào?
e. Nếu tịnh tiến (C) sang trái bốn đơn vị ta được đồ thị hàm số nào?
2 2
x (C)
3
a.Vẽ đồ thị (C) của hàm số trên
b.Từ độ thị (C) ,bằng phép tịnh tiến hÃy vẽ đồ thị các hàm số sau:
Bài2: Cho hàm sè y 

+y

2 2
x 1
3

+y

2 2

x 2
3

2
+ y  ( x  2) 2
3
2
+ y  ( x  3) 2
3
2
+ y  ( x  1) 2  2
3
Bµi 3: Cho hµm sè: y= x 2  4 x 3 (C)
a.Vẽ đồ thị (C) của hàm số đà cho
b. Dựa vào đồ thị (C) hÃy chỉ ra khoảng mà trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương
c. Dựa vào đồ thị (C) hÃy chỉ ra các khoảng mà trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm.
Bài tập tương tự
Bài 1:Tìm hàm số y=ax+b mà đồ thị của nó đi qua hai điểm A(2;-1) và B(-1;8).HÃy vẽ đồ thị đó
Bài 2: a. Tìm hàm số y=ax +b mà đồ thị của nó song song với đường thẳng y=3x và đi qua giao điểm của
hai đường thẳng y=-x+1 và y=2x-3
b.xác định các hệ số avà b sao cho đồ thị của hàm số y= ax+b đi qua các ®iĨm sau:

2
+A( ; 2) vµ B(0;1)
3
+ M(-1;-2) vµ N(99;-2)
+ P(4;2) và Q(1;1)
Bài 3:Tìm giao điểm của hai đồ thị sau:
a.y= 6 x 2  3 x  1 vµ y= 2x+5
b. y  8 x 2  9 x  14 vµ y  7 x 2  4 x 6

bài 4:Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hµm sè sau:
a. y   x 2  2 x  2
b. y  x 2  4 x  3


Bài 5: Xác định hàm số bậc hai y= ax 2  4 x  c , biÕt r»ng ®å thị của nó :
a.i qua hai điểm A(1;-2) và B(2;3)
b.Có ®Ønh lµ I(-2;-1)
c.Cã hoµnh ®é ®Ønh lµ -3 vµ ®i qua điểm P(-2;1)
d.Có trục đối xứng là đường thẳng x=2 và cắt trục hoành tại điểm Q(3;0)

Tiết:5-13:

phần II : Phương trình và hệ phương trình

I.phương trình dạng :ax+b=0
+ Dạng : ax+b=0 (1)
+ Cách giải và biện luận :
(1) ax=-b
- Nếu a 0 , thì phương trình (1) có mét nghiƯm duy nhÊt: x= 
-NÕu a=0 khi ®ã (1) 0x=-b
. Nếu b=0 thì phương trình đúng với mọi x R
. Nếu b 0 thì phương trình (1) vô nghiệm
1. Dạng 1 : Giải và biện luận phương trình dạng ax+b =0
ví dụ 1: Giải và biện luận các phương trình sau:
a. m(x+2)=3x+1
b. m 2 ( x  1)  4 x  2m
c.3(m-2)x+5=3x-2(m+1)

d .m 2 ( x  2)  4( x  m)

e.x  3m  2  m 2 ( x  1)
f .(m 2  1) x  (3  x)m  2
2.D¹ng 2: Phương trình quy về dạng ax+b=0
* Dạng (a1 x  b1 )(a2 x  b2 )  0 (1)

 a x  b1  0(2)
+ BiÕn ®ỉi (1)   1
 a2 x  b2  0(3)
+ Gi¶i biƯn luận (2) và (3)
+ kết luận.
Ví dụ2: Giải các phương trình sau:
a.(2x-3)(3+4x)=0
b.(3x+4)(5x-2)=0
3.Dạng 3:

(ax b) 2 (cx d ) 2 (1)
 ax  b  cx  d
(1)  
 ax  b  (cx  d )
VÝ dụ 3: giải các phương trình sau:

b
a


a.(2 x  3) 2  (5  2 x) 2 ; b.(3 x  4) 2  (2 x  3) 2 ; c.(4  5 x) 2  (3 x  1) 2
4.D¹ng 4: ax  b  cx  d (1)

cx  d  0


(1)    ax  b  cx  d
  ax  b  (cx  d )

VÝ dơ 4: Gi¶i các phương trình sau:

a. 2 x 3 x  3; b. x  4  3 x  6; c. 3 x  5  x  1; d . 1  2 x  x  2
ax  b  cx  d (1)
5.D¹ng 5:

 ax  b  cx  d
(1)  
 ax  b (cx d )

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:

a. 2 x 3 x 2
b. 3 x  1  2 x  3
c. 2 x 1 3 2 x
II.Phương trình vô tỉ
6.Dạng 6:

f ( x) g ( x)(1)

f ( x)  0
(1) (1)  
 f ( x) g ( x)
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
a. 2 x  1  3 x  2
b. 2 x 2  x  1  2 x 2  x  3
c. 3 x 2  x  4  3 x 2  2 x  2

7.d¹ng 7:

f ( x)  g ( x)(1)

 g ( x)  0
(1)  
2
 f ( x)  g ( x)
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau:
a. 4 x 2  3 x  2  2 x  1

b. x 2  3 x  3  2 x  1
c. 2 x 2  3 x 1 x 3
các dạng bài tập tương tự:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. 2(x+3)-5=3(2-x)+4
b. 3x-7=4(2x+2)-6

c.3-5x=4-(4-3x) d. 6(2-5x)+3=4x-7

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a. (2 x 5) 2  (3 x  4) 2

b. (1  2 x) 2  (2 x  3) 2

c. (5 x  2) 2  ( x  1) 2  0


Bài 3: Giải các phương trình sau:
a.(3x+1)(2x-5)=0

b.(4x+3)(5x-2)=0

c.(3-7x)(4+6x)=0 d.(1-3x)(9x+2)=0

Bài 4: Giải các phương trình sau:
a. 4 x 2 x  1

b. x  3  3 x  5

c. 2 x  3  3 x  8

d. 2 x 1 2 x

Bài 5: Giải các phương trình sau:
a. x 5 3 x 1

b. 2  4 x  x  3

c. 3 x  5  1  x  0

d. 5 x  2  3  x  0

Bµi 6: Giải các phương trình sau:
a. x 2 x 1  2  x

b.  x 2  3 x  2   x  4

d. x  3  3 x  1

c. 2 x 2  3 x  1   x  3

c. 3 x 2  5 x  1  x  4
c. 2 x  3  3 x 2  6 x 1

III.Phương trình bậc hai
1.Giải và biện luận phương trình dạng ax 2 bx c 0
Ví dụ: Giải và biện luận các phương trình sau:

a.(m  1) x 2  (m  3) x  2  0
b.(4m  1) x 2  4(m  1) x  m  0
c.(m  1) 2 x 2  2(m  1) x  1  m 2 0
2.Các dạng phương trình quy về bậc hai:
a.Phương trình trùng phương:
+ Dạng: ax 4 bx 2 c 0 ( a 0)
+Cách giải: Đặt t= x 2 (t 0)
Ví dụ1: Giải các phương trình sau:

a.x 4  5 x 2  6  0
b.3 x 4  7 x 2  4  0
b. Phương trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e trong đó a+b=c+d
* Cách giải: Đặt (x+a)(x+b) = t (*) (đk.......) Ta có phương trình bậc hai ẩn t. giải pt bậc hai đó tìm t . So
sánh đk . thay vào (*) giải tìm x.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a.( x  1)( x  6)( x  5)( x  2)  252; b.16( x 2  1)( x 2  8 x  15)  105
c.( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  3; d .( x 2  3 x  4)( x 2  x  6)  24
c.D¹ng : ( x  a ) 4  ( x  b) 4 c
* Cách Giải: Đặt x

ab

a b
a b
a b
t xa t
;xb t
.Đặt
, ta cã pt:
2
2
2
2

(t   ) 4  (t   ) 4  c
 2t 4  12 2t 2  2 4  c  0


Ví dụ 3: giải các phương trình sau:

a.( x 3) 4  ( x  5) 4  2; b.( x  5) 4  ( x  2) 4  17; c.( x  6) 4  ( x 8) 4 15
d.Phương trình dạng : ax 4  bx 3  cx 2  bx  a 0(*)
*Cách giải: + Xét x=0
+ x 0 , chia hai vÕ cña (*) cho x 2 ,ta ®­ỵc pt: a ( x 2 

1
1
)  b( x ) c 0
2
x
x

1
Đặt t= ( x ) ta có phương trình bậc hai ẩn t
x
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
a.x 4 2 x 3  6 x 2  2 x  1  0
b.x 4  10 x 3  26 x 2  10 x  1  0
c.x 4  4 x 3  x 2  4 x  1 0
e.Phương trình dạng: a. f ( x) b f ( x) c 0
+ cách giải: Đặt

f ( x) t (dk :..........)

Ta có phương tr×nh: at 2  bt  c  0
VÝ dơ 5: Giải các phương trình sau:

a.( x 1)( x  4)  3 x 2  5 x  2  6; b.x 2  4 x  2 x 2  8 x  12  6  0
c.x 2  x  9  x 2  x  9  12; d .x 2  4 x  3 x 2  4 x  20  10
3
e. x  1  5 
x 1
Bµi tËp tương tự: Phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai:
1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

f ( x) g ( x)
Dạng 1: f ( x)  g ( x)  
 f ( x)   g ( x)
VÝ dơ :Gi¶i c¸c pt sau:
a. x  3  2 x  5 ; b. 3 x  1  4  2 x ; c. 3 x  2  3 x  5 ; d . 2 x  3  4; e. 1  4 x  2
 f ( x)  m
D¹ng 2: f ( x)  m(m  0)  

 f ( x)  m
D¹ng 3: f ( x) g ( x) (1)
Cách 1: bình phương hai vế của pt (1), Ta được pt hệ qu¶:

(1)  f 2 ( x)  g 2 ( x)  .....  ....  x1 ; x2  .... Thay x1 ; x2 .... vào pt (1) loại nghiệm không thoả
mÃn.

A, khiA 0
Cách 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối : A
A, KhiA  0
+ NÕu f(x)  0; Ta cã pt f(x)=g(x)
+ nÕu f(x) < 0; ta cã pt -f(x)=g(x)


  g ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
C¸ch 3: (1)  
  g ( x)  0

  f ( x)   g ( x)

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a. 2 x  3  x  5; b.2 x  5  3 x  2 ; c. 1  3 x  2  x; d . 3 x 1 x 3
2.Phương trình chứa ẩn trong dấu căn:
Dạng 1:

f ( x) m(m 0)(1)

Đkxđ của pt: f ( x)  0

(1)  f ( x) m 2
Ví dụ: Giải các pt sau:

a. 2 x  3  3; b. 3  5 x  4; c. 3 x  1  5; d . 2  5 x  6; e. 1  4 x  3
D¹ng2:

f ( x)  g ( x)(1); Dkxd : f ( x)  0

C¸ch1:

 g ( x)  0
(1)  
2
 f ( x)  g ( x)

C¸ch 2: Bình phương hai vế của pt (1), ta được pt hƯ qu¶: f ( x)  g 2 ( x)
Ví dụ : Giải các phương trình sau:

a. 3 x  1  3  x; b. 2 x  1  2  x; c. 3  2 x  x  2; d . x  1  x  1; e. 1  2 x 2  x  1
f . 3  x  3 x  5; g . x  5  2 x  7; h. x  2  x  4
k . x  4  4  x; l. x 2  2 x  2  x  1; m. 4 x 2  x  4  3 x  2
 f ( x)  0
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)  g ( x)
Ví dụ: Giải các pt sau:
Dạng 3:

a. 2 x  3  1  4 x ; b. 3 x  4  x  1; c. x 2  4 x  3  2 x  4; d . x 2  2 x  2 x 4

IV.Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

a x  b1 y  c1
*.D¹ng:  1
a2 x  b2 y c2
**. Cách giải: Có thể dùng pp thế hoặc cộng đại số hoặc dùng định thức(quy tắc crame):
+Tính : D 

a1 b1
a2 b2

 a 1 b2  a2b1 ; Dx 

c1 b1
c2 b2

 c1b2  c2b1 ; Dy 

a1 c1
a2 c2

 a1c2  a2 c1

Dx

x  D

+ BiÖn luận:-Nếu D 0,hệ có nghịêm duy nhất
y Dy

D
-Nếu D=0 và Dx 0 hoặc Dy 0 thì hệ vô nghiệm
-Nếu D= Dx Dy 0 hệ có vô số nghiệm thoả mÃn pt: a1 x  b1 y  c1


1.Dạng toán 1: Giải hệ phương trình bậc nhất hai Èn b»ng quy t¾c crame:

2 x  3 y  5 5 x  6 y  4 2 x  5 y  7
a. 
b. 
c. 
3 x  4 y  1 3 x  y  7 4 x 3 y 1
2. Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Ví dụ 2: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
Ví dụ 1:Giải các hệ phương trình sau:

mx y m  1 mx  4 y  m  2  x  my  0
a. 
b. 
c. 
 x  my  2
 x  my  m
mx  y  m  1
mx  4 y  m 2
Ví dụ 3 : Cho hệ phương trình:
x my m
a.tìm m để hệ có nghiệm
b.Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất nguyên

x 2 y  4  m
VÝ dơ 4: Cho hƯ phương trình:
2 x y 3m 3
a.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
b.Tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm (x;y) của hệ không phụ thuộc vào m
c.Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) thoả mÃn: x 2 y 2 đạt giá trị bé nhất.
bài tập tương tự
Bài1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

mx (m 2) y  2
(m  1) x  y  2m  2
; b. 
a
2mx  3(m  1) y  3  x  (m  1) y  m
mx  y  2m
Bµi 2:Cho hƯ : 
 x  my m 1
a.Giải và biện luận hệ phương trình trªn theo m.
b.Khi hƯ cã nghiƯm ( x0 ; y0 ) tìm hệ thức liên hệ giữa x0 , y0 kh«ng phơ thc m
c.Khi hƯ cã nghiƯm duy nhÊt ( x0 ; y0 ), tìm giá trị nguyên của m sao cho x0 , y0 là những số nguyên
Bài 3: Tìm m để hệ pt sau có vô số nghiệm

mx  y  3

4 x  my  6

Bµi 4: Tìm m để hệ pt sau có nghiệm (x;y) nguyên

mx  2 y  m  1
mx  y  3m

a. 
; b. 
2 x  my  2m  1  x  my  2m  1
Bµi 5: Cho hÖ pt:
(m  1) x  my  2m  1
a. 
2
mx  y  m  2
T×m m để hệ có nghiệm (x;y) mà tích x.y đạt giá trị lớn nhất.
V.Hệ phương trình bậc hai hai ẩn
1.Hệ gồm 1pt bËc nhÊt vµ 1 pt bËc hai:


ax 2  bxy  cy 2  dx  ey  f (1)
+ D¹ng : 
a1 x  b1 y c1 (2)
+Cách giải: rút 1ẩn từ pt (2) thế vào pt (1)
Ví dụ 1: giải hệ pt sau:
9 x 2  4 y 2  36
a. 
2 x y 5
Ví dụ 2: Giải và biện luận c¸c hƯ pt sau theo m:

 x 2  4 y 2  8 9 x 2  16 y 2  144
a. 
b. 
x  2 y  m x y m

Ví dụ 3: tìm a để hÖ pt sau cã nghiÖm duy nhÊt;
 x2  y 2  1


x  y  a
2.HƯ pt ®èi xøng loại I:
+ ĐN : Hệ hai pt chứa ẩn x,y gọi là đối xứng loại 1 nếu mỗi pt của hệ không thay đổi nếu ta hoán vị xvà y.

x y S
+ Cách Giải: Đặt :
, ( S 2  4 P)
xy  P


biÕn ®ỉi hƯ ®· cho về hệ hai ẩn S và P.Giải hệ này tìm SvàP.

Với mỗi cặp (S;P),( S 2 4 P ) , x;y la lµ nghiƯm cđa pt : X 2  SX  P  0
L­u ý : nÕu hƯ cã nghiƯm (x;y) th× cịng cã nghiƯm (y;x)
VÝ dơ 1 : Giải các hệ pt sau:

1

x 2 y  xy 2  2
 x  y  xy  2
x y 4
x  xy  y  11 



a.  2
; b.  2
; c.  x y 5
; d.

2
2
 x  xy  y  13  x y  xy  30  y  x  2  0  xy ( x  y )  5



2

 x2  y 2  m
VÝ dô 2 :Cho hƯ pt: 
x  y  6
a.Gi¶i hƯ khi m=26
b.Tìm m để hệ vô nghiệm
c.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
d.Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ : tìm m để hệ pt sau cã nghiÖm duy nhÊt :
 x  y  xy  m  xy  x  y  m  2
a.  2
; b.  2
2
2
x  y  m
 x y  xy  m  1
Hd: -§iỊu kiện cần: Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì cũng có nghiệm(b;a),thay vào hệ ,suy ra m
-Điều kiên đủ: thay các giá trị m vừa tìm được vào hệ và thử lại và kết luận.
Ví dụ 3: giải các hệ pt sau:


2 x 2  2 y 2  3 xy  4 x  4 y  15


a.  2
(ds : (3; 5), (5;3))
2
 x  xy  y  19

3 x 2  3 y 2  3 xy  2 x  2 y  1  0
1 2
2 1

b.  2 1
ds : ( ;  ), ( ;  )
2
3 3
3 3
2 x  xy  2 y  x  y  2  0

2
 x 2  y 2  xy  x  y  15  0
c. 
ds : vn(t   x)
2 x  xy  2 y  3  0
3 x 2  3 y 2  5 xy  x  y `  0
1
1  37 1  37 1  37 1  37
d.
ds : (
;
), (
;
)(t   x)

6
6
6
6
3 x  3 y  xy 2 0

3. Hệ đối xứng loại II
+ĐN: Hệ hai pt ẩn x,y được gọi là đối xứng loại II nếu hoán vị x,y thì pt này biến thành pt kia của hệ.
+Cách giải: Trừ vế với vế của hai pt của hệ ,ta được pt có dạng(x-y)g(x,y)=0
Từ đó ta có hai hệ pt.
Ví dụ 1 : Giải các hÖ pt sau;
y

x  3y  4 x
 x  y  y  x  13 x  4 y 2 x  3 x  y  2 



a. 
; b.  2
; c.  2
; d.
2
2
 y  x  x  y  13 y  4 x 2 y  3 y  x  2  y  3 x  4 x



y



2

2

2

2

x  y2  y  m

VÝ dơ 2: Cho hƯ :
2
y x x m

a.Giải hệ khi m=0
b.Tìm m để hệ có nghiệm
c.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhÊt.(hƯ cã nghiƯm (a;b)th× cịng cã nghiƯm (b;a) suy ra a=b)suy m=1

 x 2  y  axy

VÝ dô 3 ; Cho hÖ :  2
 y  x axy

Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.ĐS: a=1

x 2  3x  2 y  x 2  2 y 2  2 x  y  x  1  y  7  4




VÝ dô 4: Cho hÖ  2
; b.  2
; c. 
2
 y  3y  2x  y  2x  2 y  x  y 1  x  7 4



Giải các hệ pt trên

4 x 2 5 x  3my

VÝ dơ 5: Cho hƯ:  2
4 y 5 y 3mx

a.Giải hệ khi m=1
b.tìm m để hệ có hai nghiệm.
Bài 4: bất phương trình
I.Dấu của nhÞ thøc bËc nhÊt : y= ax+b (a  0)
1. B¶ng xÐt dÊu:
+ a> 0:


x

-



f(x)

+ a< 0:
x

-

-

f(x)

b
a
0


+

+
+

b
a

+

0

-

2. øng dơng:
* XÐt dÊu biĨu thøc chøa nhị thức bậc nhất :

ví dụ 1: xét dấu các nhÞ thøc sau:
a. f(x)= 2x-5
b.f(x)= -5x-6
c.f(x)= -4x+1
vÝ dơ 2:xÐt dÊu c¸c biĨu thøc sau:
a. f(x)= (2x-3)(3x+5)
d.f(x) = ( x 2  4)(2  3 x)

b.f(x)= (2-5x)(3x-1)(x+2)
e. f ( x) 

3 x  5
9  x2

g.f(x) =

d.f(x) = 2x+3

c. f(x)=

(2 x  3)(3 x  7)
2  5x

(2 x  5)(1  3 x)
1
3
h. f ( x) 

x 1
x  2 2x 3

* Giải các bất phương trình
ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau:

1
2
3
3
2; b.
4; c.
1; d .
 2; e.(2 x  3)(4  x)  0; f .( x  3)(3 x  5)  0
2x 1
3x  1
2 x  3
4 x  1
ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau:
a.

a. 2 x  3  x  2  2 x  5; b. 3 x  2  x  1  0; c. 2 x  5  3 x 1 0
ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau:
a. 2 x 3 3

b. 4  2 x  5

c. 3 x  2  4; d . 4 x  3  2

d. 2 x  3  3 x  2

e. 4 x  3  5 x  3 ; f 1  3 x  4 x  2 ; g . 2  3 x  3 x  1

vÝ dụ 6: Giải các bất phương trình sau:

a 2 x  3  3 x  1  0; b. 2  4 x  2 x  5; c. 4 x  1  3 x  5  2; d . 3  4 x  3 x 1 0
ví dụ 7: Giải các bất phương tr×nh sau:

a.

1
2
3
1
2
1
1
2

; b.

c.

; d.

x  2 x  1 2 x  1 3x  2 4 x  3 3x  5
x  3 x 1

II.DÊu cña tam thøc bậc hai:
1.đồ thị hàm số y= ax 2 bx  c (a  0) vµ dÊu cđa f(x)


2. øng dông :

!. xÐt dÊu tam thøc bËc hai:
a.f(x)= 2 x 2  3 x  4

b. f(x)= x 2  3 x  2

c.f(x)= x 2  6 x  9

d.f(x)= 2 x 2  5 x  7

!!.giải bất phương trình bậc hai:
ví dụ1 : giải các bất phương trình sau:
a. 2 x 2 3 x  2  0

3
1
2
x  4x  3

d.

b.  x 2  7 x  6  0
e.

c.- x 2  12 2 x  9  0

x 2  3x  1
1
x2  4x  3

f.

2 x2  5x  3
0
x 2  3x  2

!!!. xÐt dÊu c¸c biĨu thøc
vÝ dơ 2: xÐt dÊu c¸c biĨu thøc sau:
a.f(x)= ( x 2  8 x  15)( x 2  3 x  4)
c. f ( x) 

b.f(x)=( x 2  9)(3 x 2  4 x  1)

2x  3
x2  4x  3
; d . f ( x) 
x2  5x  6
2x 1

VÝ dơ 3: Gi¶i các hệ bất phương trình sau:

x 2 3x  2  0

a.  2
2 x  5 x  3  0


2 x 2  13 x  18  0

b.  2
3 x  20 x  7  0



 x2  6x  8  0

c.  2
 x  5x  6  0


 x 2  7 x  12  0

d. 
2
2 x 7 x 5 0


*Dạng toán 1: Tìm giá tri của tham số để tam thức bậc hai giữ nguyên dấu.
pp: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2  bx  c (a  0)

  0
+ f(x) = ax 2  bx  c > 0 víi mäi x  
a  0
  0
+ f(x) = ax 2  bx  c < 0 víi mäi x  
a  0
  0
+ f(x) = ax 2  bx  c  0 víi mäi x  
a  0
  0
+ f(x) = ax 2  bx  c  0 víi mäi x
a 0

Ví dụ 4: tìm m ,để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a. (2m 3) x 2  6mx  4  0 (vn)

b. (1  4m) x 2  3(m  2) x  m  0 ( m 

VÝ dơ 5: T×m m ,để các bất phương trình sau đúng với mọi x:
a.  x 2  (2m  1) x  3  0

b. (m  1) x 2  2(m  1) x  3m  3  0

VÝ dô 6: Tìm m để các pt sau có nghiệm:

(m 4) x 2  2(m  2) x  2m  1  0; b.(2m  1) x 2  (3m  1) x  m  1  0
c.(m 2  5) x 2  (m  4) x  2  0

20  2 163
)
7


Ví dụ 7: Tìm m để các biểu thức sau luôn dương :

a.x 2 4 x 3m

b. x 2  (m  2) x  2m  1

c. (2m  1) x 2  (m  3) x 5

Ví dụ 8: Tìm tập xác đinh của các hµm sè sau :

a. f ( x) 

2x 1
; b. f ( x) 
x2  4

x2  5x  4
; c. f ( x) 
3x  2

1
2

x 1 x  3

Bài tập tương tự:
Bài 1:
Cho tam thức bậc hai: f(x)=( m  1) x 2  2mx  4(m  1)
a.Tìm m để f(x)>0 với mọi x
b. tìm m để f(x) 0 với mọi x
c.tìm m để bất phương trình f(x) >0 vô nghiệm
d.Tìm m đẻ bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm
Bài 2:Tìm m sao cho với mäi x,ta cã:
a. 5 x 2  x  m  0

b. mx 2  10 x  5  0

c. mx 2  2(m  1) x  4m  0

d.( m  2) x 2  (3m  1) x m 1 0

Bài 3:Tìm các giá trị của m sao cho phương trình: mx 2  2(m  1) x  m  3  0
a.Có hai nghiệm ttrái dấu.
b.Có hai nghiệm dương.
c. Có hai nghiệm âm.
Bài 4: Tìm m sao cho phương trình: x 4  (1  2m) x 2  a 2 1 0
a. Vô nghiệm;
d. Có đúng 3 nghiệm

b.có ®óng 1 nghiƯm
c. Cã ®óng hai nghiƯm
e. Cã ®óng 4 nghiƯm

Bµi 5 : Cho tam thøc f(x)= (m+1)x 2 2mx 4(m 1)
a.Tìm m để f(x)>0 với mọi x.
b. Tìm m để f(x) 0 với mọi x.
c.Tìm m để bất pt f(x)>0 vô nghiệm
d.Tìm m để bất pt f(x) < 0 vô nghiệm.
Bài 6: Tìm m để các biểu thức sau luôn dương :

a.x 2 4 x  m  5
c. c.x 2  4 x  (m  1) 2

b. x 2  (m  2) x  8m  1
d. (3m  1) x 2  (3m  1) x  m  4

Bµi 7: Tìm m để các biểu thức sau luôn âm:
a. (m  4) x 2  (m  1) x  2m  1

b. (m  2) x 2  5 x  4

Bài 8: giải các bất phương trình sau:

a.

2x 1 x  5

x 1 x 1

b.

x2  x  2
3

2
x 4
x2

c.

x 2 3x 8
1
x2 x 1

Dạng toán 2: Giải bất phương trình chứa căn thức
1.

f ( x)  g ( x) (1)

 f ( x)  0

(1)   g ( x)  0
 f ( x) g 2 ( x)


Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:
PhầnIII: Tiết14-23 : Góc lượng giác và công thức lượng giác
I.Kiến thức cơ bản:
1.các công thức lượng giác cơ bản:

a.sin 2 cos 2 1; b.1  tan 2  

1

,    k , k  Z
2
cos 
2

1

,   k , k  Z ; d .tan  .cot   1,   k , k  Z
2
sin 
2

c.1  cot 2

2.Giá trị lượng giác của các cung đối nhau:

a.cos( )  cos  ; b.sin( )   sin  ; c.tan( )   tan  ; d .cot( ) cot
3. Gia trị lượng gi¸c cđa hai cung bï nhau:

a.sin(   )  sin  ; b.cos(   )   cos  ; c.tan(   )   tan  ; d .cot(   )   cot 
4. Giá trị lượng giác của các cung hơn kém :

a.sin(   )   sin  ; b.cos(   )   cos  ; c.tan(   )  tan  ; d .cot(   ) cot
5.Gia trị lượng giác của các cung phô nhau:









a.sin(   )  cos  ; b.cos(   )  sin  ; c.tan(   )  cot  ; d .cot(   ) tan
2
2
2
2
6.Giá trị lượng giác của các cung hơn kÐm




2

:







a.sin(  )  cos  ; b.cos(  )   sin  ; c.tan(  )   cot  ; d .cot(  )   tan 
2
2
2
2
7.C«ng thøc céng:
a. cos(a-b)= cosacosb+ sinasinb
c.sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
e.tan(a-b)=

tan a  tan b
1  tan tan b

g .cot(a  b) 

b.cos(a+b)= cosacosb- sinasinb
d.sin(a+b)= sinacosb+ cosasinb
f. tan(a  b) 

tan a  tan b
1  tan tan b

cot a cot b  1
cot a cot b  1
; h.cot(a  b) 
cot a  cot b
cot a cot b

8.Công thức góc nhân đôi:


cos 2 a  sin 2 a
a.cos 2a  2 cos 2 a  1
1  2sin 2 a

(sin a  cos a ) 2  1
2 tan a
cot 2 a  1
; b.sin 2a  2sin a cos a
; c.tan 2a 
; d .cot 2a 
1  tan 2 a
2 cot a
2
1  (sin a  cos a )

1  tan 2 a
2 tan a
; b.sin 2a 
2
1  tan a
1  tan 2 a

Ta còng cã : a. cos 2a 

9.C«ng thøc biĨu diƠn theo t=tan

a.sin a 

a
2

2t
1 t2
2t
1 t2
; b.cos a 
; c.tan a 
; d .cot a
1 t2
1 t2
1 t2
2t

10. Công thức nhân ba:

a.sin 3a  3sin a  4sin 3 a; b.cos 3a  4 cos3 a  3cos a
c.tan 3a 

tan a (3  tan 2 a )

cot 3 a  3cot a

(a,3a   k ); d .cot 3a 
1  3 tan 2 a
2
3cot 2 a 1

11.Công thức hạ bậc :

1  cos 2a
1  cos 2a
1
; b.sin 2 a 
; c.sin a cos a  sin 2a
2
2
2
1  cos 2a
 sin 3a  3sin a
cos 3a  3cos a
d .tan 2 a 
; e.sin 3 a 
; f .cos3 a 
1  cos 2a
4
4
a.cos 2 a 

12.C«ng thøc biÕn ®ỉi tÝch thµnh tỉng:

1
1

cos(a  b)  cos(a  b) ; b.sin a sin b  cos(a  b)  cos(a  b)
2
2
1
1
c.sin a cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  ; d .cos a sin b  [sin(a  b)  sin(a  b)]
2
2
a.cos a cos b

*Đặc biệt:













a.4 cos x cos( x) cos(  x)  cos 3 x; b.4 cos x.cos(  x) cos(  x)  cos 3 x
3
3
3
3
c.4 tan x.tan(  x).tan(  x)  tan 3 x

3
3
13.C«ng thøc biÕn ®ỉi tỉng thµnh tÝch :

ab
a b
ab
a b
cos
; b.cos a  cos b  2sin
sin
2
2
2
2
ab
a b
ab
a b
c.sin a  sin b  2sin
cos
; d .sin a  sin b  2 cos
sin
2
2
2
2
a.cos a  cos b  2 cos

sin(a  b)


sin(a  b)
sin(b  a )
(a, b   k );; f .cot a  cot b 
(a, b  k ); g .cot a  cot b 
cos a cos b
2
sin a sin b
sin a sin b
2
cos(a  b)
h.tan a  cot a 
; k .cot a  tan b 
; l.cot a  tan a  2 cot 2a
sin 2a
sin a cos b

e.tan a tan b

Đặc biệt : y  A sin x  B cos x  A2  B 2 sin( x   ) ( y= A2  B 2 cos(a   ))
Trong ®ã: cos  

A
A B
2

2

;sin  

B
A B
2

2

( A2  B 2  0;0    2 )






*sin x  cos x  2 sin( x  )  2cos ( x  )
4
4





*sin x  cos x  2 sin( x  )   2 cos( x  )
4
4





*cos a  sin a  2 sin(  a )  2 cos(  a )

4
4
14.b¶ng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

a

-


2

-



-

3

- 900

- 600

-1



0

hslg

1
2

sina

cosa

3
2


4

- 450

2
2

-

2
2

tana
kx®
cota
0

 3



1
3

-1

-



0

1
2

0

0

3
2


5
6

900

1200

1350

1500

1800

1

3
2

2
2







6

6

300
-

3
4



2

2
3



0

4

3

300

450

600

2
2

3
2

1
2

1

0

1
3

3
2
1
3

2
2

kx®

3



0

1

3

1

1
3

 3
-1

1
2

kx®

0

1
2



2
2

 3

-1

1
3

-1



1
2

0



3
2

-1



1
3

0

 3
kx®

VÝ dơ 1: Sư dơng công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tÝch ®Ĩ tÝnh :
1
a.
 4 Sin700 ( DS  2)
0
sin10

b.cos140  cos1340  cos1060 ( DS  0)
VÝ dô 2: CMR:

a.sin 200  2sin 400  sin1000  sin 400
b.

sin(450  a )  cos(450  a )
 tan a
sin(450  a )  cos(450  a )

c.sin 2000 sin 3100 _ cos 3400 cos 500 

3
2

VÝ dô 3: biÕn đổi thành tích:
a.A=sina+sinb+ sin(a+b)
b.B= cosa+cosb+cos(a+b)+1
c.C=1+sina+sinb
d.D=sin3a=sin3a+sin 5a+sin7a
II. Các dạng bài tập cơ bản:
1.sử dụng các công thức lượng giác cơ bản :
Bài 1 : Tính các giá trị lượng giác của cung  biÕt :

a.sin  

3

2
3


vµ     b. b.cos    ,    
; c.tan   3,     ; d .cot   2, 0    2
4
2
3
2
2


Bµi 2: CMR: a.víi



k
sin 
,k Z :
 cos   cos3  ; b.sin 4 a  cos 4 a  2 cos 2 a  1
2
tan   cot 

c.tan 2 a.sin 2 a  tan 2 a  sin 2 a; d . sin 4 a  4 cos 2 a  cos 4 a  4sin 2 a  3
Bµi 3: Cho cosa - sin a = 0,2. Tính giá trị của biểu thức A = cos3 a  sin 3 a ( A=0,296)
Bµi 4:cho sina+ cosa=

4
.TÝnh gia trị các biểu thức sau :
3

a. A sin a cos a; b.B  sin 3 a  cos3 a; c.C  sin a  cos a

Bµi 5:CMR: a.sin 4 a  cos 4 a  2sin 2 a  1; b.sin 4 a  cos 4 a  1  2sin 2 a cos 2 a; c.

1  cos a
sin a

sin a
1  cos a

2. Sư dơng hƯ thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt :
Bài 1 : CMR:

3
3
a )   cos a; b.cos(  a )   sin a
2
2
3

sin(  a ) cot(  a )
2
2
c.
.
  sin a
tan(  a ) tan(a  3 )
2
a.sin(

Bµi 2 : Tính giá trị của biểu thức : A= tan1200  cot1350  sin 3150  2 cos 2100

( A= 

2 2
)
2


5
1  sin(  a )  cos(  a )
4
4
Bµi 3: Rót gän biĨu thøc sau: B=
( B  1)




sin 2 (  a )  sin 2 ( a )
4
4
3. sử dụng công thức cộng :
Bài 1 : CMR : A 

sin(a  b) sin(b  c)
sin(c  a )


0
cos a.cos b cos b.cos c cos c.c os a


2
4 
Bµi 2 : TÝnh : sin(2a  );cos(2a  ) BiÕt : sin a  ;  a  
6
3
5 2
Bµi 3: a.BiÕt sin a=

3


vµ  a   . tÝnh tan(a+ )
5
2
3

4
8
b.BiÕt : sin a  (00  a  900 ),sin b  (900  b  1800 ) . TÝnh: cos(a+b) vµ sin(a-b)
5
17
1
1
c. cho hai gãc nhän a vµ b víi tana= ; tan b  .TÝnh a+b
2
3



d.BiÕt tan(a+ )  m, m  1 .Tính tana
4
4. Sử dụng các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc :
Bài 1 : CMR:


1
3
3
5
a.cos 4 a  sin 4 a  cos 4a  ; b.cos 6 a  sin 6 a  cos 4a 
4
4
8
8
Bµi 2 : TÝnh :
a. A  sin


16

.cos


16

.cos


8

; b.B  sin100 sin 500 sin 700

1
Bµi 3: CMR: sinxcosxcos2xcos4x= cos8 x
8
áp dụng tính giá trị của :
a. A sin 60 sin 420 sin 660 sin 780 ; b.B  cos


7

cos

3
5
cos
7
7

Bµi 4: CMR:

a.cot a  tan a 

2
sin 2a
1  cos 2a
; b.cot a  tan a  2 cot 2a; c.
 tan a; d .
 tan 2 a

sin 2a
1  cos 2a
1  cos 2a

Bµi 5: tÝnh:

a. A  sin

11
5


5
7
11
11

cos
( A  sin 2 ); b.B  sin sin
sin
sin
(sin
 cos ....)
12
12
12
24
24
24
24

24
24

1
c.C  cos100 cos 500 cos 700 ; d .D  cos 200 cos 400 cos800 ( D  )
8
tan 2a
; b. 1  sin a  1  sin a
tan 4a  tan 2a
Bµi 7: Chõng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào a:
Bài 6: Rót gän : a.

a. A  2(sin 6 a  coa 6 a )  3(sin 4 a  cos 4 a )
b.B  4(sin 4 a  cos 4 a )  cos 4a
c.C  8(cos8 a  sin 8 a )  cos 6a  7 cos 2a
5. Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng :
Bài 1: cho A =cos(a+b) sin(a-b)+cos(b+c) sin(b-c)+ cos(c+d) sin(c-d)+cos(d+a)sin(d-a).
CMR : A= 0

3
8
6. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích :
Bài 1; Cho tam giác ABC . CMR:
Bài 2: CMR: sin 200.sin 400 sin 800 

a.sin A  sin B  sin C  4 cos

A
B
C

cos cos ; b.cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1  2 cos A cos B cos C
2
2
2

A
B
C
sin sin ; d .sin 2 A  sin 2 B  sin 2C  4sin A sin B sin C
2
2
2
Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC .CMR:
c.cosA+ cosB+cosC=1+ 4 sin

a.tan

A
B
B
C
C
A
sin 2 A(sin 2 B  sin 2C )
tan  tan tan  tan tan  1; b.sin 3 A cos( B  C ) 
2
2
2
2
2

2
2

Bµi 3: CMR: cos


9

Bµi 4: TÝnh A= cos

 cos

5
7
 cos
0
9
9

2
4
6

1
 cos
 cos
( HD : nh©n hai vÕ víi sin )( A   )
7
7
7

7
2


ôn tập hè : Môn hình học
Bài 1: Tiết:1

Véc tơ

I.Véc tơ và các phép toán trên véc tơ:



1. phÐp céng vÐc t¬: AB  BC  AC

  



2. HiƯu cđa hai vÐc t¬: OB  OA  AB
3. TÝch vÐc t¬ vÐct¬ mét sè:

  
 


+Cho a và b(b 0) khi đó a, b cùng phương khi và chỉ khi : có một số k sao cho: a kb

+ Ba điểm A,B ,C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để : AB k AC
4.trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác:



+ Nếu I là trung điểm của AB thì với mọi M,ta có: MA  MB  2 MI
  



+ NÕu G lµ trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm M, ta cã: MA  MB  MC  3MG
II. HÖ trục toạ độ:
1.Hệ trục toạ độ và toạ độ của véc tơ:
a. Hệ trục toạ độ:




b.toạ độ của véc tơ: Trong mặt phẳng Oxy,cho véctơ U ,khi đó ta nãi: U  ( x; y )  U  xi  y j



 

 x  x,

L­u ý: cho U ( x; y );V ( x , ; y , ) th×: U  V  
,
y  y

c.Toạ độ của một điểm: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ®iĨm M. ta nãi M (x;y) hay

  
M=(x;y)  OM  xi  y j
d. Lien hÖ giữa toạ độ của véc tơ và toạ độ của điểm trong mặt phẳng;


Cho A( x A ; y A ); B ( xB ; yB ) .Ta cã: AB  ( xB  x A ; yB  y A )

2.Toạ độ của các véc tơ u v; u v; ku
3.Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng , toạ độ trọng tâm của tam gi¸c :

x A  xB

 xM  2

+ Gäi M là trungđiểm của đoạn thẳng AB, ta có:
y  y A  yB
 M

2
x A  xB xC

xG
3

+Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, Ta cã: 
 y  y A  y B yC
G
3

III.các dạng bài tập áp dụng:
1.Tìm toạ ®é cđa ®iĨm
VÝ dơ1: cho tam gi¸c ABC. b BiÕt các trung điểm của BC, CA, AB lần lượt là M(-1;2);N(1;1) vµ P( 3:4)


Ví dụ 2:cho hình bình hành ABCD .Biết A(3;2) , B(-11;0) C(5;4). tìm toạ độ điểm D
Ví dụ 3: cho ba điểm A(1;4) B(-2;2) và C(4;0)
a. Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác


b.Tính toạ độ của véctơ AM với M là trung điểm của BC
c.Tính toạ độ của trọng tâm G của tam giác ABC



Ví dụ 4: cho vÐct¬ a  (2m  1;3m  2); b (2;1)
a.tìm m để hai véctơ trên cùng phương


b.Tìm toạ độ của véctơ có độ dài bằng 1 vàcùng phương với b

Ví dụ 5: cho hai điểm A(-2;1) và B(-4;5)
a.Tìm điểm M trên trục Ox sao cho A,B,M thẳng hàng
b.Tìm N trên trục Ox sao cho ABNO là hình thang cạnh đáy AO;
c.Tìm giao điểm I của hai đường chéo của hình thang.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho tam giác ABC, biết A(2;-2) ,B(10;-6), C nằm trên Oy, trọng tâm G nằm trên trục Ox.Tìm toạ độ
của C và G

Bµi 2 :a. Cho A(-1;8), B(1;6) vµ C(3;4) CMR A,B,C thẳng hàng
b. Cho A(1;1) , B(3;2) và C (m+4;2m+1) . tìm m để A,B ,C thẳng hàng
Bài 3 : Cho tam giác ABC .Các điểm M(1;1) N(2;3) ,P(0;-4) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC ,
CA;AB. Tính toạ đọ các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ ,cho ba điểm A(-3;4) , B(1;1) ,C(9;-5)
a.CMR A,B ,C thẳng hàng
b.Tìm toạ độ điểm D sao cho a là trung điểm của BD
c.Tìm toạ độ điểm E trên Ox sao cho A ,B ,E thẳng hàng.
Bài 5: TRong mặt phẳng cho các điểm A(1;2) ,B(4;0) C(m;m-2)
a.Tìm m để C nằm trên trục hoành , trục tung
b.Tìm toạ độ điểm D để tứ giác OADB là hình bình hành
c.Tìm m để tứ giác OACB là hình thang.
Bài 6 : Trong mặt phẳng toạ độ , cho ba điểm A(-1;3) ; B(4;2) ; C(3;5)
a. CMR : A, B ,C không thẳng hàng



b. Tìm toạ độ điểm D sao cho AD 3BC
c.Tìm toạ độ điểm E sao cho O là trọng tâm tam giác ABE


Bài 2: tích vô hướng của hai véctơ và ứng dụng
I Kiến thức cơ bản:


1.Định nghĩa: a.b a . b .cos(a; b)
2. Công thức về toạ ®é :




Cho vect¬ a ( x1 ; y1 ); b( x2 ; y2 ) , khi ®ã ta cã: a.b x1.x2 y1. y2
3.Độ dài véctơ ,góc giữa hai vect¬;


Cho hai vect¬; a ( x1 ; y1 ); b( x2 ; y2 ) ,khi ®ã ta cã:

a. a  x12  y12

 
x1 x2  y1 y2
a.b
b. cos(a; b)    
2
2
2
a.b
x1  y12 . x2  y2
 

c. a  b  a.b  0  x1 x2  y1 y2  0




d.cho A( x A ; y A ); B ( xB ; yB )  AB ( xB  x A ; yB  y A )  AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2
II. Các dạng bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho tam giác ABC,với A(10;5);B(-1;-1);C(6;0).CMR tam giác ABC vuông tại B

3
Bài 2:Trong mặt phẳng toạ độ , cho tam giác ABC,có A(4;6),B(1;4),C(7: ) .

2
a.CMR;tam giác ABC vuông tại A.
b.Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

Bài 3: Tính góc giữa hai vectơ a, b trong các trường hợp sau:


a.a (1; 2); b(1; 3)


b.a (3; 4); b(4;3)


c.a (2;5); b(3; 7)
Bµi 3: Cho hai điểm A(2;4) và B(1;1).Tìm toạ độ điểm C,sao cho tam giác ABCvuông cân tại B (C(4;0)
và C(-2;2) )
Bài 4: Cho hai điểm A(5;4) ,B(3;-2).một điểm M di động trên Ox,tìm giá trị nhỏ nhất của :

A= MA MB .
Bài 5: Cho tam giác ABC, có A(-4;1), B(2;4),C(2;-2).
a. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.(C=6(1+ 5 );S=18)


b.Tìm toạ độ trọng tâm G,trực tâm H,và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Từ đó suy ra


1
1
GH 2GI (H( ;1 );I(- ;1)
2

4
Bài 6:Cho tam giác ABC,có A(5;3),B(2;-1),C(-1;5).
a. Tính toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
b.Tính toạ độ chân đường cao hạ từ A.
Bài 7: Cho hai điểm A(1;2),B(6;3).Tìm toạ độ điểm C nằm trên Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Bài 8:Cho ba điểm A(1;-3),B(0;2),C(4;5).Xác định toạ độ ba điểm E,F,G,biết r»ng:



 
a.CE  3 AB  4 AC

 
  

b. AF  2 BF  4CF  0
Bµi 9:Cho ba điểm A(1;2),B(4;6),C(9;8).xác định toạ độ chân đường phân giác trongcđa gãc BAC

17 20
; ) )
3 3
Bµi 10: cho tam giác ABC,có A(-3;6),B(1;-2),C(6;3)xác định toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC. ĐS:I(1;3)
Bài 11: Biết A(1;-1) và B(3;0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD .Tìm toạ độ các đỉnh C và
( D(

Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác
I.Kiến thức cơ bản:
1. định lí côsin: trong tam gi¸c ABC, ta cã :

 a 2  b 2  c 2  2bc cos A
b 2  a 2  c 2  2ac cos B
 c 2  a 2  b 2  2ab cos C
b2  c2  a 2
a.cos A 
2bc
2
a  c2  b2
HƯ qu¶: b.cos B 
2ac
2
a  b2  c2
c.cos C
2ab
2. Định lí sin:Trong tam giác ABC, ta có:

a
b
c


2R
sin A sin B sin C

3.C«ng thøc trung tuyÕn :

b2  c2 a 2

2
4

2
2
a  c b2
2
b.mb 

2
4
2
2
a  b c2
2
c.mc 

2
4
2
a.ma 


1
1
1
aha  bhb  chc
2
2
2
1
1
1

b.S  bc sin A  ac sin B  ab sin C
2
2
2
abc
4.C«ng thøc tÝnh diƯn tÝch tamgi¸c : c.S 
4R
d .S  pr
a.S 

e.S 

p ( p  a )( p  b)( p  c)

II.Các Dạng toán cơ bản:
Dạng toán 1: Tính một số yÕu tè trong tam gi¸c theo mét sè yÕu tè cho trước .
pp:+ sử dụng trực tiếp định lí sin và định lí côsin
+ sử dụng các hệ thức khác .

3
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC,có b=7cm,c=5cmvà cosA= .
5
a.Tính a,sinA và diện tích S của tam giác ABC.
b. Tính đường cao ha xuất phát từ đỉnh A và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ví dơ 2: Cho tam gi¸c ABC,cã BC=40cm,CA=13cm,AB=37cm.TÝnh gãc nhá nhÊt cđa tam gi¸c
VÝ dơ 3:Cho tam gi¸c ABC,biÕt A=60 0 , b=8cm,c=5cm. Tính đường cao ha ,bán kính R của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC,có AB=5cm,BC=7cm,CA=8cm.Tính AB. AC và góc A
Ví dụ 5: Cho tam gi¸c ABC biÕt a=21cm,b=17cm,c=10cm
a.TÝnh diƯnn tÝch tam giác và chiều cao ha .
b.tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
c.Tính độ dài đường trung tuyến ma
Dạng to¸n 2: chøng minh c¸c hƯ thøc vỊ mèi quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác.
pp: dùng các hệ thức cơ bản đà học để biến đổi .
Ví dụ 1: cho tam giác ABC.gọi G là trọng tâm tam gi¸c CMR:

1
GA2  GB 2  GC 2  (a 2  b 2  c 2 )
3
VÝ dô 2:trong tam gi¸c ABC.CMR: a=bcosC+ccosB
VÝ dơ 3: trong tam gi¸c ABC, có BC=a,CA=b,AB=c và đường trung tuyến AM=c. CMR:
a.a 2  2(b 2  c 2 )
b.sin 2 A  2(sin 2 B sin 2 C )
Dạng toán 3: Giải tam giác:
*giả thiết bài toán có thể cho:
+Biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó (g,c,g);
+ Biết một góc và hai cạnh kề vế nó (c,g,c);
+ biết ba cạnh (c,c,c)
pp:Để tìm các yếu tố còn lại tra sử dụng các định lí sin,cosin, định lí về tổng ba gãc trong tam gi¸c .cã thĨ
sư dơng c¸c hƯ thøc trong tam giác vuông.


Ví dụ 1; Giải tam giác ABC, biết :

a.c 35cm, A  400 , C  1200 ; b.a  7cm, b  23cm, C  1300 ; c.a 14cm, b 18cm, c 20cm
Bài tập tương tự :
Bài1: cho tam giác ABC,có B 600 , C 450 và BC=a.

a.Tính độ dài hai cạnh AB và AC
b.CMR: cos 750

6 2
4

Bài 2: Cho tam giác ABC,có c=35,b=20, A  600
a. TÝnh chiÒu cao h a .
b.TÝnh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
c.Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác .
Bài 3: CMR trong tam gi¸c ABC,ta cã : cot A  cot B  cot C 

a 2  b2  c2
R
abc

Bµi 4: CMR trong tam gi¸c ABC, ta cã :

a.b 2  c 2  a (b cos C  c cos B ); b.(b 2  c 2 ) cos A  a (c cos C  b cos B; c.sin C  sin A cos B  sin B cos A
Bài 5:Tam giác ABC,có BC=12,CA=13,trung tuyến AM=8.
a.Tính diện tích tam giác ABC.
b.Tính góc B
Bài 6: Giải tam giác ABC, biết :
a.a=6,3;b=6,3; C  540 .
b.c=14; A  600 ; B 400 .
c.a=6;b=7,3;c=4,8.

Bài 4: Phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng
A.Kiến thức cơ bản :
I.Phương trình tham số của đường thẳng :

1Cho đường thẳng d có véctơ chỉ phương U (u1 ; u2 ) ;đi qua ®iĨm M ( x0 ; y0 ) .Khi ®ã pt tham số của đường
x x0 u1t
thẳng d lµ: 
(t  R )
 y  y0  u2t

u
+Nếu d có véctơ chỉ phương là U (u1 ; u2 ) ,thì có hệ số góc là k= 2 .pt đường thẳng qua M 0 ( x0 ; y0 ) ,cã hƯ
u1
sè gãc k lµ: y  y0  k ( x  x0 )


+ NÕu k lµ hƯ số góc của d thì một véctơ chỉ phương của d lµ U (1; k )
2.VÝ dơ:
vÝ dơ1; viÕt pt tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a.d qua A(-2;3) cã vÐct¬ chØ ph­¬ng U (3; 2)


b. d qua hai điểm M(1;-3) và N(-2;5)
c. d qua B(3;-2) có hệ số góc k=2
II.phương trình tổng quát của đường thẳng:


1. Cho đường thẳng d có véctơ pháp tuyến n( A; B ) và đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .Khi đó phương trình tổng
quát của đường thẳng d có dạng: A( x x0 )  B ( y  y0 )  0 ,hay Ax+By +C=0(víi C= ( Ax0  By0 ) )




+nÕu d có véctơ pháp tuyến là n( A; B )  vtcp : u ( B;  A)(u ( B; A))
2.Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường th¼ng ;

1 : A1 x  B1 y  C1  0
 2 ; A2 x  B2 y  C2 0

Khi đó để xét vị trí tương đối cđa 1 ,  2 .ta xÐt hƯ:

 A1 x  B1 y  C1  0
(I)

 A2 x  B2 y  C2  0
+NÕu hƯ (I) vn th× 1 song song víi  2
+ NÕu hƯ (I) cã 1 nghiệm thì 1 cắt 2
+ Nếu hệ (I) có vô số nghiệm thì 1 trùng 2
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường th¼ng sau:

a.d1 : 2 x  3 y  1  0; d 2 : 4 x  3 y  7  0
b.d3 : 4 x  2 y  3  0; d 4 : 6 x  3 y  2  0
c.d5 : 2 x  3 y  4  0; d 6 : 4 x  6 y  8  0
VÝ dô 2: Cho hai đường thẳng 1 : 3 x 4 y  1  0;  2 : 4 x 3 y 7 0
a.Tìm giao điểm của hai đường thẳng trên.
b.tính góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 .
3.Góc giữa hai đường thẳng:

cho hai đường thẳng 1 ; 2 lần lượt có véctơ pháp t uyÕn lµ: n1 (A1 ; B1 ); n2 (A2 ; B2 ) th×:
 

 

n1.n2
cos(1 ;  2 )  cos(n1 ; n2 )    

n1 . n2

A1. A2  B1.B2
2
2
A12  B12 . A2  B2

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
+khoảng cách từ M 0 ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng : Ax+By +C=0 là:d( M 0 ; )

Ax0 By0 C
A2 B 2

+đường thẳng chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa có bờ là đường thẳng , ta luôn có:
*Một nửa mf chứa các điểm M 1 ( x1 ; y1 ) ,tho· m·n: ( M 1 )  Ax1  By1 C 0
* Một nửa mf chứa các điểm M 2 ( x2 ; y2 ) ,tho¶ m·n: ( M 2 )  Ax2  By2  C < 0
Ví dụ 1: viết pt tổng quát của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a.d qua A(3;4) có véctơ pt là n(5; 2)

b.d qua B(-2;5) có véctơ chỉ phương là u (4; 3)
Ví dụ 2: cho tam giác ABC cã A(3;-1),B(6;2) C(1;4).