bài tập và đáp án môn toán cao cấp trường học viện nông nghiệp Việt Nam
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (288.05 KB, 29 trang )
Bài tập và đáp án chương ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính
1. Cho các ma trận
1 0 3 1
2 2 1 3
4 2 1 6
A
−
=
−
,
3 1 1 3
2 2 1 3
0 1 1 5
B
= −
−
,
3 1 1 3
9 5 7 2
2 4 1 5
C
= −
−
Thực hiện các phép tính:
a) A + B, A - B + C, C - B + A
b) 2A - C, 3C + B - 2A
c)
2
t t
A B+
,
2 3
t t t
A B C− +
2. Cho các ma trận
1 0 3
5 2 1
4 2 1
A
=
−
,
2 1 0
3 2 1
1 3 1
B
− −
=
−
,
1 0
2 4
5 2
C
= −
−
Thực hiện các phép tính:
a) AB, BA, AC, ABC
b)
,
t t t
A B B C
3. Tính
a)
1 3 2 1
0 2 0 1
−
−
b)
2 3 1
1 1 2
1 9 7
2 0 4
1 0 2
−
÷
÷
÷
÷
−
c)
( )
3
1 2 6 1
1
÷
÷
÷
−
d)
( )
2
1 3 3 1
0
÷
−
÷
÷
4. Tính
a)
2 4 19 3 4
1 3 7 3 5 2
2 0 1 0 1 6
÷ ÷
− −
÷
÷
÷
÷
−
b)
2 4
1 1 2 2
3 5
3 4 5 6
0 1
0 1 2 1
3 5
÷
÷
÷
÷
÷
÷
−
÷
c)
3
1 0 0
1 1 0
1 0 1
÷
÷
÷
d)
2012
3 1
0 3
÷
5. Tính các định thức sau:
a)
2 0 3
1 2 5
2 3 0
−
−
b)
1 2 3
3 2 4
2 1 0−
1
c)
1 0 3 1
2 2 6 0
1 0 3 1
4 1 12 0
− −
d)
4 1 3 1
3 1 0 2
0 1 2 2
1 2 1 1
− −
−
6. Tính định thức của các ma trận sau:
a)
1 1 1
a b c
bc ca ab
÷
÷
÷
b)
a b a b
b a b a
a b a b
+
÷
+
÷
÷
+
c)
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
÷
÷
÷
d)
0 1 1 1
1 0
1 0
1 0
x x
x x
x x
÷
÷
÷
÷
7. Giải phương trình
3 2
1
1 1 1 1
0
2 3 1 0
1 0 2 4
x x x
=
−
8. Không tính định thức hãy chứng minh
2 3 1
2 7 8 15
5 5 0
M
;
9 0 5 0
0 3 8 0
19
1 3 0 3
0 0 7 1
M
9. Cho A, B, C là các ma trận vuông cấp n thỏa mãn: detA = -1, detB = 2, và detC = 3.
Tính: a) det(A
3
BC
T
B
-1
) b) det(B
2
C
-1
AB
-1
C
T
)
10. Cho ma trận
1 2 2
2 2 3
1 2 2
A
÷
=
÷
÷
−
a) Tính A
2
,
AA
t
, det(A), det(A
10
), det(4A)
b) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A.
11. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:
a)
1 1 1
2 3 1
4 9 1
A
÷
=
÷
÷
b) B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 1
a
a
a
−
÷
−
÷
÷
−
÷
2
12. Cho ma trận:
1 3 1
2 1 1
3 2 2
x
A x
x
− −
÷
= − −
÷
÷
− + −
a) Tìm x để ma trận A khả nghịch.
b) Tìm ma trận nghịch đảo của A khi x = 3
13. Cho ma trận
1 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
x
x
A
x
x
÷
÷
=
÷
÷
.
Tìm x để ma trận A khả nghịch. Khi đó tính det(A
-1
)
14. Cho hai ma trận
1 1 2 0 1 1 2
1 2 3 , 1 0 2 1
1 3 5 1 2 0 1
A B
÷ ÷
= =
÷ ÷
÷ ÷
a) Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có)
b) Tìm ma trận X thỏa mãn: AX = B
15. Tìm m để ma trận sau khả nghịch :
1 2
2 7 2 1
3 9 4
m
A m
m
÷
= +
÷
÷
16. Giải các phương trình sau:
a)
3 2 1 2
5 4 5 6
X
− −
=
÷ ÷
− −
b)
7 3 2 5 1 2
2 1 1 2 4 3
X
=
÷ ÷ ÷
c)
3 3 4 1 3 0
2 2 2 3 1 3
2 1 2 3 4 4
X
÷ ÷
=
÷ ÷
÷ ÷
d)
0 1 1 3 5
1 0 1 2 1
1 1 0 1 4
X
÷ ÷
=
÷ ÷
÷ ÷
17. Cho các ma trận:
1 4 1 1 2
3 2 1 2 5
,
1 6 3 0 1
1 14 5 2 3
A B
−
÷ ÷
÷ ÷
= =
÷ ÷
−
÷ ÷
−
a) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A
b) Tìm ma trận X sao cho AX = B
18. Tìm hạng của các ma trận sau:
a)
2 1 3 2 4
4 2 5 1 7
2 1 1 8 2
− −
÷
−
÷
÷
−
b)
3 2 1 2
1 1 3 5
1 1 1 1
− −
÷
−
÷
÷
− −
3
c)
1 3 5 1
2 1 3 4
5 1 1 7
7 7 9 1
−
÷
− −
÷
÷
−
÷
d)
0 1 0 1 0
1 3 1 3 1
3 5 3 5 3
5 7 5 7 5
÷
÷
÷
÷
19. Tìm hạng của các ma trận sau theo giá trị các tham số:
a)
3 1 2
1 4 7 2
1 10 17 4
4 1 3 3
λ
÷
÷
÷
÷
b)
1 2 3 1
1 3 2 1
2 3 1 1
3 2 1 1
λ
λ
λ
λ
−
÷
−
÷
÷
−
÷
−
c)
2
2
1 2 1 0
0 1 1
1 2 1 2
a a a
a a
−
÷
− +
÷
÷
− −
20. Cho hai ma trận
1 1 2 1
2 1 5 , 2
1 10 6 1 3
m
A m B
−
÷ ÷
= − =
÷ ÷
÷ ÷
−
a) Tùy theo giá trị của m, tìm hạng của ma trận A.
b) Khi m = 3, tìm ma trận X sao cho AX = B
21. Giải các hệ phương trình sau:
a)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 1
3 2 4
2 3 6
2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =
− − − = −
+ − − = −
+ + − = −
b)
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 1
2 0
4 5 5 5 7 3
3 3 3 3 4 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ − − + =
− + + − =
+ − − + =
+ − − + =
c)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 1
2 1
2 5 5
x x x x
x x x x
x x x x
− + + =
− + − = −
− + + =
d)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
9 3 5 6 4
6 2 3 4 5
3 3 14 8
x x x x
x x x x
x x x x
− + + =
− + + =
− + + = −
e)
2 4
3 4 2
2 3 5 0
5 6 3
x y z t
y z t
x y z t
x y z t
+ + − =
− + =
+ − + =
+ − + = −
f)
2 1
1
2 3 2
3 4 4 4
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
− + − =
− + + + = −
− + + − =
− + − =
22. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
2
1ax y z
x ay z a
x y az a
+ + =
+ + =
+ + =
b)
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
4 3
3 4 7
7 6
x x x x
x x x x
x x x x
λ
λ
λ
+ + =
− + =
+ + =
Bài tập bắt buộc: 1, 3, 4, 5, 6, 9-13, 16, 18-22
4
Bài tập chương Hàm một biến, đạo hàm và vi phân
1. Đồ thị dưới đây cho ta biết khoảng cách giữa vị trí tại thời điểm t và nhà của một thương
nhân như là một hàm của thời gian trong một ngày nào đó. Từ đồ thị hãy diễn tả về hành
trình của anh ấy.
2-15 Hãy tính các đạo hàm các hàm số.
2.
2
arcsin
x
3.
arccos x
x
4.
4 3
1
2 2 5
3
y x x x= − + −
5.
2
3 2
3
y x x x
x
= − +
6.
( ) ( )
3 2
2 1y x x= − −
7.
arctany x x= +
8.
( )
3
sin 3cosy x x= +
9.
2
4 1
2
x
y
x
+
=
+
10.
2
4 x
y
x
+
=
11.
3
1
x
y
x
=
−
12.
( )
3
2y x= −
13.
1
arctan
1
x
y
x
+
=
÷
−
14.
(
)
2
ln 1y x x= + +
15.
sin
4
x x
y
+
=
16 - 22 Tìm vi phân của các hàm số.
16.
2
sin
1 cos
x
y
x
=
÷
+
17.
.cosy x x=
18.
( )
3
sin 2 1y x= +
19.
cot 2y x=
20.
2
sin 2y x= +
21.
sin 2y x x= +
22.
2
1
cos
1
x
y
x
+
=
÷
÷
−
23. Tính đạo hàm đến cấp 2, 3 của các hàm số trong các bài 2, 4, 8, 14.
24-27 Tìm vi phân của các hàm số.
24.
4 3
1
2 2 5
3
y x x x= − + −
tại x = 9
5
25.
( )
3
1 1 2y x= + −
tại x = 0
26.
2
arctan 1y x= +
tại x = 0
27.
( )
3
3 5 3
x
y x= +
tại
1
ln3
3
x =
28-31 Chứng minh các bất đẳng thức đúng với mọi x > 0:
28.
2
arctan
1
x
x x
x
< <
+
29.
( )
2
ln 1
2
x
x x x− < + <
30.
3
sin
6
x
x x x− < <
31.
( ) ( )
1 ln 1 arctanx x x+ + ≥
32. Vị trí của một vật thể chuyển động trên một đường thẳng, lấy mốc tại vị trí khi vật bắt đầu
chuyển động, được cho bởi phương trình
3 2
( ) 6 9s f t t t t= = − +
, trong đó t (giây), s (mét).
a. Tìm vận tốc của vật thể tại thời điểm t.
b. Xác định vận tốc của vật thể sau 2 giây? 4 giây?
c. Vật thể dừng lại khi nào?
d. Khi nào vật thể chuyển động theo hướng dương (xuôi chiều).
e. Vẽ biểu đồ mô tả chuyển động của vật thể.
f. Tìm tổng quãng đường đã đi của vật thể trong 5 giây đầu tiên.
33. Một quả bóng được ném thẳng lên không trung có độ cao
2
( ) 102 16s t t t= −
(m) sau t giây.
a. Vẽ đồ thị s(t), s'(t) trong khoảng thời gian [0, 7] giây. Tính toán hoặc sử dụng đồ thị
này (để ước lượng) để trả lời các câu hỏi sau:
b. Xác định độ cao của quả bóng sau 2 giây.
c. Trong quá trình rơi xuống khi nào quả bóng có độ cao 110 m?
d. Xác định vận tốc sau 6 giây.
e. Khi nào quả bóng đạt vận tốc 70m/s.
f. Xác định vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất.
34. Một quả bóng được ném lên thẳng từ mặt đất với vận tốc ban đầu 112m/s, độ cao của quả
bóng so với mặt đất tại thời điểm t là
2
( ) 16 112 ( )s t t t m= − +
a. Khi nào thì quả bóng lên đến độ cao lớn nhất, xác định độ cao lớn nhất đó. Sau bao
nhiêu giây thì quả bóng rơi xuống đất.
b. Xác định vận tốc khi bóng tiếp đất.
c. Xác định gia tốc của bóng khi t = 1s, t = 3s.
35. Giả sử xe ô tô A đứng tại gốc tọa độ và di chuyển theo chiều dương của trục Oy với vận tốc
60 km/h. Cùng thời điểm đó ô tô B đứng trên trục Ox cách O 30km theo chiều dương và
di chuyển theo chiều về O với vận tốc 90 km/h. Gọi S là khoảng cách giữa hai xe trong quá
trình chuyển động. Tìm các khoảng tăng giảm của S trong 5 giờ đầu tính từ lúc hai xe khởi
hành.
6
36. Một người đang đứng tại điểm A trên bờ một dòng sông rộng 1 dặm. Người này phải bơi
qua sông và đi bộ đến điểm B ở bên bờ đối diện mà cách điểm đối diện vuông góc với A 3
dặm. Cho biết người đó có thể bơi qua sông với vận tốc 2 dặm/ giờ và đi bộ với vận tốc 3
dặm/giờ. Hãy xác định phương án di chuyển hợp lý để thời gian người đó đến B là nhỏ
nhất. (Giả sử vận tốc của dòng nước là không đáng kể.)
37. Có hai địa điểm A, B nằm trên cùng một phía của một con sông thẳng. Gọi l
1
, l
2
là khoảng
cách từ hai địa điểm này đến con sông, và h là khoảng cách giữa hai hình chiếu của hai địa
điểm này trên bờ sông. Hỏi cần phải đặt nhà máy nước C ở địa điểm nào trên bờ sông sao
cho tổng khoảng cách từ C đến hai địa điểm kể trên là nhỏ nhất.
38. Một người có một đoạn thép nhỏ dài 12 cm, dự định cắt thành ba đoạn con để ghép thành
một tam giác cân. Hỏi người đó phải cắt như thế nào để được tam giác có diện tích lớn
nhất.
39. Tìm 2 số mà hiệu là 100 và tích của chúng là nhỏ nhất.
40. Tìm một số dương sao cho tổng của nó và hai lần nghịch đảo của nó là nhỏ nhất.
41. Phải xây dựng một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông và không có nắp như thể
nào để hình đó có thể tích lớn nhất từ 1200cm
2
vật liệu?
42. Một người nông dân muốn làm hàng rào cho 1 khu đất hình chữ nhật với diện tích 1.5 triệu
feet vuông và sau đó chia nó làm đôi bởi một hàng rào song song với một cạnh của hình
chữ nhật. Xác định các kích thước của khu đất để chi phí cho hàng rào là ít nhất. (1 feet =
0.3048 m.)
43. Người ta dự định xây dựng một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông và không có
nắp. Hãy xác định các kích thước của hình hộp sao cho với ít vật liệu nhất ta có thể thiết kế
được hình đó có thể tích là 32000cm
3
.
44. Một loại lon nước giải khát có dạng hình trụ và chứa 0.4 lít chất lỏng. Xác định kích thước
của lon nước để lượng vật liệu được sử dụng làm lon là ít nhất.
45. Giả sử một hãng hàng không vận chuyển 8000 lượt hành khách mỗi tháng với giá vé là $50
một lượt. Hãng hàng không muốn tăng giá vé, tuy nhiên bộ phận nghiên cứu thị trường cho
biết cứ tăng giá vé lên thêm 1 đô la thì lượng hành khách sẽ giảm đi 100 người. Xác định
giá vé thích hợp để doanh thu của hãng là tối đa.
46. Một khu vườn cây ăn quả thu được 25 thùng quả mỗi cây khi trồng 40 cây trong vườn. Khi
tăng mật độ cây trong vườn, người ta thấy rằng cứ trồng thêm 1 cây thì lượng quả thu được
trên mỗi cây giảm đi 0.5 thùng. Vậy phải trồng bao nhiêu cây trong vườn thì lượng quả thu
được là tối đa.
47. Một người có một của hàng nhỏ bán các hộp đựng bút. Giả sử số lượng các hộp bán ra tỉ lệ
nghịch với bình phương giá bán mỗi hộp. Nếu người đó bán với giá $20 mỗi hộp thì sẽ bán
được trung bình 125 hộp. Đầu tư ban đầu cho cửa hàng là $750 và chi phí cho mỗi hộp
đựng bút là $5. Tìm giá bán mỗi hộp bút để lợi nhuận của cửa hàng là tối đa. Khi đó có bao
nhiêu hộp được bán ra?
7
48. Giả sử kích thước (số cá thể) của một bầy ruồi đục quả tăng theo hàm mũ
0
( )
kt
P t P e=
,
trong đó P
0
là kích thước của bầy ruồi tại thời điểm bắt đầu quan sát và P(t) là kích thước
tại thời điểm t. Biết rằng kích thước của bầy ruồi tăng lên gấp đôi sau 9 ngày.
a. Tìm hằng số tăng trưởng k.
b. Giả sử ban đầu đàn ruồi có 100 con, xác định kích thước đàn ruồi sau 41 ngày, và tốc
độ tăng trưởng của đàn tại thời điểm đó.
c. Sau bao nhiêu ngày thì đàn ruồi có 800 cá thể.
49-59 Tính các giới hạn.
49.
1
ln
lim
1
x
x
x
→
−
50.
2
lim
x
x
e
x
→∞
51.
3
ln
lim
x
x
x
→+∞
52.
3
0
tan
lim
x
x x
x
→
−
53.
0
lim ln
x
x x
+
→
54.
2
1
lim tan
cos
x
x
x
π
−
→
÷
−
÷
55.
( )
cot
0
lim 1 4sin 4
x
x
x
+
→
+
56.
0
lim
x
x
x
+
→
57.
9
5
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
58.
2
lim
x
x
x e
→−∞
59.
2
1
lim tan
cos
x
x
x
π
−
→
÷
−
÷
59.
( )
2
1/
0
lim cos
x
x
x
+
→
60-64 Chứng minh các đẳng thức.
60.
arcsin arccos
2
x x
π
+ =
[ 1,1]x∀ ∈ −
61.
arctan cot ,
2
x arc x x R
π
+ = ∀ ∈
62.
/ 2 0
1
arctan arctan
/ 2 0
khi x
x
khi x
x
π
π
>
+ =
− <
63.
arcsin( ) arcsin , [ 1, 1]x x x− = − ∀ ∈ −
64.
arccos( ) arccos , [ 1, 1]x x x
π
− = − ∀ ∈ −
Bài tập bắt buộc: 1-4, 8, 9, 14-20, 23, 26, 27, 28, 31, 32, 34, 36, 42, 45, 48, 49-59, 60-62.
8
Bài tập chương: Hàm nhiều biến
1. Tính đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau
a)
2 2
ln( )z x x y= + +
b)
2
sin
x
z y
y
=
c)
arctan
x y
z
x y
+
=
−
d)
ln tan
x
z
y
=
e)
arctan
x
x y
z e y
y
+
= −
f)
x
z xyz
yz
= +
2. Tìm vi phân toàn phần các hàm số sau
a)
arcsin( 2 )z x y= −
b)
2 2
( )
x y
z x y e
+
= +
tại (0;0)
c)
2
arctan
1
y
z
x
=
+
d)
2 2
2 2
ln
x y x
z
x y x
+ −
=
+ +
tại (0;1)
3. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số sau
a)
2 2
ln( )z x y= +
b)
cos( )
y
z x xy= +
c)
arctan
y
z
x
=
d)
cot
1
x y
z arc
xy
+
=
−
4. Cho hàm số
y
z x=
. Tính
2 2 2
2 2
2
z z z
x y x y
∂ ∂ ∂
+ −
∂ ∂ ∂ ∂
tại (1,1)
5. Cho hàm số
( , ) ( cos cos ).
x
f x y e x y y x= −
Tính
2 2
2 2
z z
x y
∂ ∂
+
∂ ∂
6. Cho hàm số
2 2
1
lnz
x y
=
+
. Tính
2 2
2 2
z z
x y
∂ ∂
+
∂ ∂
7. Cho hàm số
2 2
( , ) arctan ln
y
f x y x y
x
= + +
. Tính
2 2
2
z z
x x y
∂ ∂
+
∂ ∂ ∂
8. Cho hàm số
2 2
( , ) arctan
y
f x y y x y
x
= − −
. Chứng minh
2 2
z z
y x z x y
y x
∂ ∂
+ = − −
∂ ∂
.
9. Chứng minh hàm số
2 2
ln( )z y x y= −
thỏa mãn phương trình
2
1 1z z z
x x y y y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
.
10. Chứng minh
arctan
1
x y
z
xy
+
=
−
thỏa mãn
2
0
z
x y
∂
=
∂ ∂
.
11. Hàm
4 4 2 2
( , ) 2 10f x y x y x xy y= + − − − +
có đạt cực trị tại điểm (1,1) không?
12. Hàm
3 3
( , ) 3 12f x y x y x y= − − + +
có đạt cực trị tại điểm (-1,1) không?
13. Tìm a, b,c để
3 3
( , ) 2 2 3f x y x y xy by ax c= + − + + +
đạt cực trị tại (1,1) và f(1,1)=0.
9
14 - 23 Tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị hàm số
14.
2 2
( , ) 4( )f x y x y x y= − − + −
15.
2 2
( , ) ( 1) 2f x y x y= − +
16.
3 3
1
( , ) 9 3 30
3
f x y x y xy= + − +
17.
3 2
( , ) 3 15 12f x y x xy x y= + − +
18.
4 4 2 2
( , ) 2 2f x y x y x y= + − −
19.
( , )
y
f x y x y xe= + −
20.
2
( , ) ( )
y
f x y x y e= +
21.
2
( , ) 6 3f x y x y x y x= − − + +
22.
2 2
1 1 1 1 1
( , )
2
f x y
x y x y
= + + + −
23.
50 20
( , )f x y xy
x y
= + +
10
Bài tập chương Nguyên hàm
1 - 3 Dùng tính chất và bảng nguyên hàm tính các tích phân bất định sau:
1.
3
4
( 2)x dx
x
−
∫
2.
2
2
3
1
x
dx
x
+
−
∫
3.
2
(1 )
cos
x
x
e
e dx
x
−
−
∫
4 - 9 Tính các tích phân bất định sau bằng phương pháp đổi biến:
4.
1 ln x
dx
x
+
∫
5.
3
2
1 3
xdx
x−
∫
6.
1
x
dx
e+
∫
7.
2 2
( 2) 3 5
xdx
x x+ +
∫
8.
3
cos
sin
x
dx
x
∫
9.
2
1 4
x
x
dx
−
∫
10 - 15 Tính các tích phân bất định sau bằng phương pháp tích phân từng phần
10.
2
ln x dx
∫
11.
2 2
( 1)
x
x e dx+
∫
12.
2
sinx xdx
∫
13.
2
sinx xdx
∫
14.
2
arccosx xdx
∫
15.
2
arcsin x
dx
x
∫
16. Xác định a, b, c để hàm số
2 2
( ) ( )
x
F x ax bx c e
−
= + +
là nguyên hàm của hàm số
2 2
( ) (2 8 7)
x
f x x x e
−
= − − +
17. Xác định các hằng số a, b, c để hàm số
2
( ) ( )
x
F x ax bx c e
−
= + +
là nguyên hàm của hàm số
2
( ) (2 5 2)
x
f x x x e
−
= − +
18. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
3 2
2
3 3 7
( )
( 1)
x x x
f x
x
+ + −
=
+
thỏa mãn F(0) = 8.
19. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
2
( ) sin
2
x
f x =
thỏa mãn
( )
2 4
F
π π
=
20 – 50. Tính các tích phân bất định sau:
20.
2
x
xe dx
∫
21.
4
cos
dx
x
∫
22.
(1 ln )
dx
x x+
∫
23.
sin
1 2cos
xdx
x+
∫
24.
2
1 2cos
sin
x
dx
x
−
∫
25.
2
2 arcsin
1
x x
dx
x
−
−
∫
26.
sin
cos2
x
dx
x
∫
27.
3
sin cosx xdx
∫
28.
2
x
x
dx
e e−
∫
29.
sin
x
e xdx
∫
30.
cos(ln )x dx
∫
31.
2
ln
( )
x
dx
x
∫
32.
3
cos
sin
x x
dx
x
∫
33.
2
ln(cos )
cos
x
dx
x
∫
34.
2
4 8 3
dx
x x+ +
∫
35.
2
2 7
5 6
x
dx
x x
+
+ +
∫
36.
4 2
2
3 2
x
dx
x x+ +
∫
37.
3
2
x
dx
x −
∫
38.
3 2
2
2 2
x
dx
x x x
+
− +
∫
39.
2
2 6 9
dx
x x− −
∫
40.
2
4 4 3
dx
x x+ +
∫
11
41.
2
1
dx
x x +
∫
42.
2
3 2
xdx
x x− −
∫
43.
2 2
2 2 1
xdx
x x+ + +
∫
44.
3
1
dx
x x−
∫
45.
2
(cos sin )x x dx+
∫
46.
5 4sin 3cos
dx
x x− +
∫
47.
3
sin sin
cos 2
x x
dx
x
−
∫
48.
4
6
sin
cos
x
dx
x
∫
49.
cos sin
sin 2
x x
dx
x
+
∫
50.
2
2
x
dx
x 4x 5+ +
∫
Bài tập bắt buộc: 1-16, 18, 21, 25, 28, 31, 32, 34, 36, 38-41, 43, 46, 50.
12
Bài tập Tích phân xác định và ứng dụng
1 - 20 Tìm các tích phân xác định sau:
1.
2
1
2
1
ln
1 4ln ln
e
x
dx
x x x− −
∫
2.
2
4
0
sin 2
5 cos
x
dx
x
π
+
∫
3.
1
2
1
3 2x x dx
−
− −
∫
4.
1
2
0
ln(1 )x x dx+
∫
5.
3
2
0
5 3
3
x
dx
x
+
−
∫
6.
/2
2
0
(2 3)sint tdt
π
+
∫
7.
0
1
1 sin
dx
x
π
+
∫
8.
3
2
1
1
dx
x x +
∫
9.
0
2
1
arctan
1
x x
dx
x
−
+
∫
10.
3 4
1 4
arcsin
(1 )
x
dx
x x−
∫
11.
2
3 5
0
sin cos d
π
θ θ θ
∫
12.
/3
/4
ln(tan )
sin 2
x
dx
x
π
π
∫
13.
ln 2
ln3
1
1
x
x
e
dx
e
−
−
+
−
∫
14.
3
1
5 2
0
x
x e dx
−
∫
15.
4
3
0
sin
cos
x x
dx
x
π
∫
16.
1
2
1
1
( 2)( 4)
dx
x x
−
− +
∫
17.
3
2 2
1
(1 )
arctgx
dx
x x+
∫
18.
2
2
3
1
ln x
dx
x
∫
19.
2
0
cos
x
e xdx
π
∫
20.
1
2
0
1
( 2)( 3)
dx
x x− +
∫
21 - 32 Tính các tích phân suy rộng sau nếu nó hội tụ:
21.
2 2
0
( 2)
x
dx
x
+∞
+
∫
22.
2
1
1
2
x
dx
x x
+∞
+
+
∫
23.
2
1
4 4 5
dx
x x
+∞
−∞
+ +
∫
24.
4 2
1
5
2 3 5
+∞
+ −
∫
x
dx
x x
25.
2
1
1
(1 )
dx
x x
+∞
+
∫
26.
0
2 x
x e dx
−∞
∫
27
1
x
e dx
+∞
−
∫
28.
2
1
ln x
dx
x
+∞
∫
29.
2
1
arctgx
dx
x
+∞
∫
.
30.
cost tdt
+∞
−∞
∫
31.
2 2
0
(1 )
xarctgx
dx
x
+∞
+
∫
32.
2
2
1
1
dx
x x
+∞
−
∫
33 - 41 (dành cho môn Giải tích) Hãy cho biết các tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kì
33.
4
2
1
x
dx
x
+∞
+
∫
34.
2
3
4
1
sin 3
1
x
dx
x
+∞
+
∫
35.
2
1
x
dx
x
+∞
−∞
+
∫
36.
1/
1
1
( 1)
x
e dx
x
+∞
−
∫
37.
3
7
0
2
x
dx
x
+∞
+
∫
38.
0
x
e
dx
x
+∞
−
∫
39.
1
1
4 ln
dx
x x
+∞
+
∫
40.
3
1
( 1)( 2)
dx
x x x
+∞
− −
∫
41.
1
1
ln(1 )
x
dx
x
α
+∞
+
∫
13
42 - 47 Tính độ dài cung của các đường cong sau
42. y =
3
1
6 2
x
x
+
với
1
1
2
x≤ ≤
43. y =
2
2
(
3
x
-1)
3/ 2
với
1 3x≤ ≤
44.
1
ln
1
x
x
e
y
e
+
=
−
từ x = 1 đến x = 3 45. y =
/2 /2
( )
2
x x
a
e e
−
+
từ x = 0 đến x = a
46. y =
2
arcsinx x x− +
47.
3
2 2
ln
a
y a
a x
=
−
từ x = 0 đến x = b (với 0 < b < a)
48. Tìm hàm độ dài cung của đường cong y =
3
1
3 4
x
x
+
(x > 0) với điểm xuất phát là P(1; 7/12)
49. Một luồng gió ổn định thổi cánh diều bay về hướng tây. Độ cao của diều so với mặt đất từ
điểm x = 0 đến x = 80 mét được cho bởi phương trình
( )
2
50
150
40
x
y
−
= −
. Tính quãng
đường diều đã bay.
50. Một con chim diều hâu bay với tốc độ 15m/s ở độ cao 180m bất ngờ đánh rơi con mồi.
Quỹ đạo hình parabol của con mồi bị rơi cho bởi phương trình
2
180
45
x
y = −
cho tới khi nó chạm đất, trong đó y là độ cao của nó so với mặt đất và x là khoảng cách
theo phương nằm ngang tính theo đơn vị mét. Hãy tính độ dài quỹ đạo do con mồi vạch ra
từ khi nó bắt đầu rơi đến khi chạm đất.
51. (a) Tính độ dài cung
3/ 2
1 6 , 0 1y x x= + ≤ ≤
.
(b) Hãy tính độ dài của đường gấp khúc gồm 2 đoạn nội tiếp cung trên, chính xác đến 2
chữ số thập phân, và so sánh với độ dài cung tính được trong (a)
(chọn hoành độ của các điểm mút đường gấp khúc là 0; 0,5, 1).
52 - 57 Vẽ miền giới hạn bởi các đường sau và tính diện tích của chúng
52. y = -x
2
; y = x-2 và Ox 53. y
2
= 2x+4; y = -2; y = -5 + 3x/2
54. y = e
x
; y = sinx; x = 0; x=
/ 2
π
55. y = 3x
2
; y = 8x
2
; 4x + y = 4;
0x
≥
56. 4x+y
2
=12; y = x 57. y = sin2x; y = cosx; x = 0; x =
/ 2
π
58. Tính diện tích các phần tô đậm sau nếu nó hữu hạn
59. Ở một vùng dân cư có tỷ lệ người sinh và tỷ lệ người chết tại thời điểm t lần lượt là các
hàm số b(t) = 2200e
0,024t
người/năm, d(t) = 1460e
0,018t
người/năm. Tìm diện tích miền giới
hạn bởi hai đường cong trên với
0 10t≤ ≤
và nêu ý nghĩa của nó.
14
60. Giả sử R(x) và C(x) lần lượt là hàm doanh
thu và hàm chi phí sản xuất cho x đơn vị
sản phẩm của một nhà máy. R’(x) và C’(x)
lần lượt được gọi là doanh thu cận biên và
chi phí cận biên ứng với x đơn vị sản
phẩm. Nêu ý nghĩa của diện tích miền tô
đậm trong hình bên.
61. Đồ thị của hàm g gồm 2 đoạn thẳng và một nửa đường tròn. Hãy dùng nó để xác định các
tích phân sau
(a)
2
0
( )g x dx
∫
(b)
6
2
( )g x dx
∫
(c)
7
0
( )g x dx
∫
62. Cho
0
( ) ( )
x
g x f t dt=
∫
, trong đó f là hàm số
mà đồ thị của nó được cho ở hình vẽ bên
(a) Tính g(0), g(1), g(2), g(3), và g(6).
(b) Hàm g tăng trên đoạn nào?
(c) Hàm g đạt giá trị cực đại tại đâu.
(d) Hãy vẽ đồ thị hàm g.
63. Nếu
2
( ) 2 , 0 3,f x x x x= − ≤ ≤
hãy tính tổng Riemann với n = 6, bằng cách chọn các điểm
mút phải. Tổng Riemann này biểu thị đại lượng nào? Minh họa bằng hình vẽ.
64. Vận tốc của một vận động viên thi chạy tăng đều đặn trong suốt 3 giây đầu của cuộc đua.
Kết quả đo vận tốc của cô ấy sau mỗi quãng thời gian nửa giây thu được ở bảng sau. Hãy
ước lượng cận trên và cận dưới của quãng đường mà cô ấy chạy được trong 3 giây này.
t (s) 0,5 1,5 2,5
v (m/s) 1,9 3,3 4,5 5,5 5,9 6,2
65. Đồ thị hàm vận tốc của một chiếc ô tô trong
một qúa trình sử dụng phanh được cho ở hình
bên. Tính tổng Riemann với n = 6 đoạn chia
có độ dài bằng nhau và chọn
i
ε
là điểm chính
giữa mỗi đoạn, đồng thời ước lượng độ dài
quãng đường mà ô tô đi được trong khi sử
dụng phanh. (1ft = 0,3048m)
66. Một vật xuất phát từ gốc tọa độ chuyển động dọc theo trục Ox với vận tốc là
v(t) = -(t - 2)
2
+ 1 (mét/giây) với
0 5t
≤ ≤
(giây)
a) Vẽ đồ thị hàm v(t), từ đó xác định khi nào vật chuyển động về phía trái, khi nào vật
chuyển động về phía phải.
15
b) Tính tổng độ dài quãng đường mà vật đã di chuyển trong khoảng thời gian từ giây thứ
2 đến giây thứ 4
c) Xác định sự thay đổi vị trí của vật tại thời điểm t =5 so với thời điểm t=2
d) Tìm hàm vị trí của vật s(t) tại thời điểm t và tính vận tốc trung bình trong khoảng thời
gian [0; 5]
67. Tốc độ tăng trưởng của một quần thể sinh vật là N’(t) = e
-t
, trong đó kích thuớc quần thể tại
thời điểm ban đầu t = 0 là N(0) = 100.
a) Tìm hàm kích thước quần thể N(t).
b) Tính sự thay đổi về kích thước quần thể trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t =5
68. Ban đầu đàn ong có 100 con và tốc độ tăng trưởng của đàn là N’(t) (con/tuần). Giá trị của
biểu thức 100 +
15
0
'( )N t dt
∫
biểu diễn cái gì?
69. Tốc độ tăng trưởng của sinh khối (số lượng sinh vật sống trong một đơn vị diện tích, thể
tích vùng hoặc tổng trọng lượng của sinh vật sống trong sinh quyển) ở thời điểm t là B’(t),
biểu thức
6
1
'( )B t dt
∫
biểu diễn cái gì?
70. Hàm w’(x) biểu diễn tốc độ tăng trưởng của trẻ ở độ tuổi x (đơn vị kg/năm), khi đó
5
3
w'(x)dx
∫
biểu diễn cái gì?
71. Một mô hình tốc độ tăng trưởng sinh khối ở thời điểm t là B’(t) = cos(
/ 6)t
π
, với
0 12t≤ ≤
. Vẽ đồ thị hàm B’(t) và tìm hàm sinh khối B(t) biết B(0) = 100.
72. Số lượng ban đầu của một nhóm vi khuẩn là 400 con và chúng tăng trưởng với tốc độ
r(t) = 450,268e
1,12567t
con/giờ. Hãy xác định số lượng vi khuẩn của nhóm sau 3 giờ đầu.
73. Dầu chảy ra từ một bể chứa với lưu lượng r(t) = 200 – 4t (lít/phút),
0 50t≤ ≤
. Hãy xác
định lượng dầu chảy ra từ bể trong khoảng thời gian 10 phút đầu.
74. Nhiệt độ trong một nhà lưới trồng hoa thay đổi trong suốt khoảng thời gian 24 giờ có
phương trình T(t) = 20 +
5
9
sin(
π
t/12) (
0
C) với
0 24t≤ ≤
. Hãy xác định nhiệt độ trung
bình trong nhà lưới trong khoảng thời gian [0; 24] (giờ).
Bài tập bắt buộc: 1, 3, 5, 9, 10, 14, 20-32, 42-49, 51, 54-59, 61-63, 66-68, 73, 74
16
Chú thích:
- Kí hiệu V(t) là hàm chỉ thể tích của nước trong bể ở thời điểm t, khi đó V’(t) là lưu lượng
(tốc độ) nước chảy vào bể ở thời điểm t. Vậy lượng nước chảy vào bể trong khoảng thời
gian từ t
1
đến t
2
là:
2
1
2 1
'( ) ( ) ( )
t
t
V t dx V t V t= −
∫
- Kí hiệu [C](t) là hàm chỉ nồng độ của chất tan trong một phản ứng hóa học tại thời điểm t,
khi đó [C]’(t) là tốc độ của phản ứng tại thời điểm t. Vậy sự chênh lệch nồng độ chất tan ở
thời điểm t
2
so với thời điểm t
1
là:
2
1
2 1
[ ]'( ) [ ]( ) [ ]( )
t
t
C t dx C t C t= −
∫
- Kí hiệu C(x) là hàm chỉ tổng chi phí sản xuất của nhà máy khi sản xuất x đơn vị sản phẩm,
khi đó C’(x) =
0
lim ( )
x
C x
∆ →
∆ ∆
là tốc độ biến thiên của tổng chi phí tại x (gọi là hàm chi phí
cận biên). Khi đó sự chênh lệch về chi phí sản xuất khi tăng số đơn vị sản phẩm từ x
1
đến
x
2
là:
2
1
2 1
'( ) ( ) ( )
x
x
C x dx C x C x= −
∫
- Kí hiệu s(t) là hàm vị trí tại thời điểm t của một vật chuyển động trên một đường thẳng, khi
đó vận tốc tức thời tại thời điểm t là v(t) =
( )
0
lim
t
s t
∆ →
∆ ∆
= s’(t). Do vậy sự chênh lệch về vị
trí của vật tại thời điểm t
2
so với thời điểm t
1
là:
2
1
2 1
( ) ( ) ( )
t
t
v t dx s t s t= −
∫
Nếu v(t) > 0 thì vật chuyển động sang phía bên phải, v(t) < 0 thì vật chuyển động sang
phía bên trái, do vậy tổng độ dài quãng đường mà vật đó đã di chuyển trong khoảng thời
gian từ t
1
đến t
2
là:
2
1
( )
t
t
v t dx
∫
- Lí luận tương tự, nếu N(t) là hàm chỉ kích thước của một quần thể sinh vật tại thời đểm t
thì N’(t) =
0
lim ( )
t
N t
∆ →
∆ ∆
chính là tốc độ tăng trưởng của quần thể tại thời điểm t. Vậy sự
thay đổi kích thước quần thể trong khoảng thời gian từ t
1
đến t
2
là:
2
1
2 1
'( ) ( ) ( )
t
t
N t dx N t N t= −
∫
17
Bài tập Chương Phương trình vi phân
1 - 6 Giải các phương trình vi phân phân li biến số
1.
' 0xy y+ =
2.
' 0yy x+ =
3.
( )
2
1 0x dy xydx− − =
4.
'
x y
y e
+
=
5.
( ) ( )
2 2
1 1y dx x ydy+ = +
6.
1 2
'
x
yy
y
−
=
7 - 10 Giải các phương trình vi phân đẳng cấp
7.
' ln
y
xy y
x
=
8.
( )
2
0y x ydx x dy− + =
9.
( )
2 2 2
x xy y dx x dy+ + =
10.
2 2
' , (1) 0xy y x y y= + =
11 - 13 Giải các phương trình vi phân tuyến tính
11.
' 2 4y y x+ =
12.
3
' 2
x
y y e− =
13.
2 2
'y x y x+ =
14 - 15 Giải các phương trình Bernoulli
14.
3 2
3
'y y x y
x
− = −
15.
2 2 3
' 1x y y xy+ =
16 - 35 Giải các phương trình vi phân
16.
2 2 2 2
tan sin cos cot 0x y dx x y dy+ =
17.
( )
2
0x y ydx x dy− − =
18.
( )
2 2
3 2 0, (2) 1x y dx xydy y− + = =
19.
' sin sin cosy y x x x− =
20.
2
' lnxy y y x+ =
21.
( ) ( )
2 2 2 2
4 3 4 3 0x xy y dx x xy x dy+ + + + + =
22.
( )
1 ' , (0) 1
x x
e yy e y+ = =
23.
( )
2 0ydx xy x dy+ − =
24.
( )
3
3 1 sin 3 sinxdy y x x y x dx= + −
25.
'sin ln , 1
2
y x y y y
π
= =
÷
26.
( )
( )
2 2 2
1 0y xy dx x y dy+ + − =
27.
( )
(
)
2 2
1 1 sinx dy x x xy dx+ = + −
28.
( ) ( )
( )
2 2
1 1 0
x y
y e dx e dy y dy+ − − + =
29.
( ) ( )
cos sin
y y
x ydx xdy y xdy ydx
x x
+ = −
30.
2
' ln , ( )
ln 2
y e
y x x y e
x x
− = =
31.
2 5
' 5
2
y
y x y
x
− =
32.
2
' cos
y
xy y x
x
= −
33.
2 2
1
'xy y
x y
+ =
34.
3 4
4 3
2
'
2
x y y
y
x xy
−
=
−
35.
2
' arctanxy y x x− =
18
36 - 50 Giải các phương trình cấp hai
36.
5 6
x
y y y xe
′′ ′
+ + =
37.
2 5 sinxy y y
′′ ′
+ + =
38.
4x
16 10ey y
′′
+ =
39.
2x
4 4 (2x 1)y y y e
′′ ′
+ + = +
40.
1y y x
′′ ′
− = +
41.
3x
9 (1 2x)y y e
−
′′
− = −
42.
3x
6 9y y y xe
−
′′ ′
+ + =
43.
2 4x
9 20y y y x e
′′ ′
− + =
44.
6 7 2e
x
y y y
′′ ′
+ − =
45.
1
6 8 sin 2x os2x
2
y y y c
′′ ′
− + = +
46.
4 2sin 2xy y
′′
+ =
47.
2
osy y c x
′′
+ =
48.
5x
5 6xy y e
′′ ′
− = −
49.
( )
2 4x
3 4 1y y y x e
−
′′ ′
+ − = +
50.
2 2x
4 4 2xy y y e
′′ ′
− + =
Bài tập bắt buộc: 16-50
19
Đáp số bài tập Chương nguyên hàm
1.
3 1
4 4
4
8
3
x x C
− −
− +
2.
1
2ln
1
x
x C
x
+
− +
−
3.
tan
x
e x C+ +
4.
3
2
(1 ln )
3
x C+ +
5.
2 2
3
1
(1 3 )
4
x C
−
− +
6.
1 1
ln | |
1 1
x
x
e
C
e
+ −
+
+ +
7.
2
3 5arctg x C+ +
8.
2
1
ln | sin | sin
2
x x C− +
9.
arcsin 2
ln 2
x
C+
10.
2 (ln | | 1)x x C− +
11.
2 2
1
(2 3)
4
x
x x e C− + +
12.
2
(2 ) cos 2sinx x x C− + +
13.
2
1 1
sin 2 cos 2
4 4 8
x
x x x C+ + +
14.
2 3
2
2
1 arccos
9 3
x x
x x C
+
− − + +
15.
2
arcsin 1 1
ln | |
x x
C
x x
+ −
− − +
16. a = 1; b = -3; c = 2.
17. a = 1; b = -3; c = 2. 18.
2
8
( )
2 1
x
F x x
x
= + +
+
19.
1
( ) ( sin 1)
2
F x x x= − +
20.
2
1
2
x
e C+
21.
3
1
3
tgx tg x C+ +
22.
ln |1 ln |x C+ +
23.
1 2cos x C− + +
24.
2 cos
sin
x
C
x
−
+
25.
2 3
2
2 1 (arcsin )
3
x x C− − − +
26.
1
ln | 2 cos cos 2 |
2
x x C
−
+ +
27.
2 2
2( ln | 1|)
x x
e e C
− −
+ + +
28.
3
2
(cos 7 cos ) cos
21
x x x C− +
29.
1
(sin cos )
2
x
e x x C− +
30.
(cos(ln ) sin(ln ))
2
x
x x C+ +
31.
2
ln
2ln 2
x
x x C
x
− + +
32.
2
1
( cot )
2 sin
x
gx C
x
− + +
33.
ln(cos ).tan tanx x x x C+ − +
34.
1 2 1
ln | |
4 2 3
x
C
x
+
+
+
35.
3ln | 2 | ln | 3|x x C+ − + +
36.
2
2
1
ln
2
x
C
x
+
+
+
37.
3
2
4 8ln | 2 |
3
x
x x x C+ + + − +
38.
2
| |
ln 2arctan( 1)
2 2
x
x C
x x
+ − +
− +
20
39.
1 3 1
arcsin
3
3
x
C
+
+
40.
2
1
ln(2 1 4 4 3)
2
x x x+ + + +
41.
2
1 1
ln | |
x
C
x
+ +
− +
42.
2
1
3 2 arcsin
2
x
x x C
+
− − − − +
43.
2
2
1
ln(1 1 )
1 1
x C
x
+ + + +
+ +
44.
3
3
1 1 1
ln | |
3
1
x
C
x
− −
+
−
45.
1
cos 2
2
x x C− +
46.
1
2 tan
2
C
x
+
−
47.
1 2 2 cos 1
cos ln | |
2 8
2 cos 1
x
x C
x
−
− +
+
48.
5
1
tan
5
x C+
49.
1
ln tan ln tan( )
2 2 2 4
x x
C
π
+ + +
50.
( )
( )
2
x 2ln x 4x 5 3arctan x 2 C− + + + + +
ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG MA TRẬN, ĐỊNH THỨC,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH.
1. a)
4 1 4 2 1 0 3 1
0 4 2 6 , 13 5 7 2
4 1 0 11 6 1 1 6
A B A B C C B A
−
+ = − + = − + = −
−
b)
1 1 5 5 10 4 2 14
2 5 9 5 4 , 3 2 21 17 20 3
6 8 3 7 2 17 6 8
A C C B A
− − − −
− = − − + − = −
− − −
c)
7 2 4 1 17 10
2 6 0 1 5 2
2 , 2 3
5 3 1 5 7 3
5 9 16 5 2 7
t t t t t
A B A B C
− −
− − −
+ = − + =
−
−
2. a)
1 10 3 7 2 7 16 6 4 34
3 4 3 , 17 2 12 , 14 10 , 4 10
13 11 1 10 8 1 5 6 40 46
AB BA AC ABC
− − − − − −
= − − = = − =
− − − − − −
b)
7 17 10 9 14
2 2 8 , 12 2
7 12 1 7 6
t t t
A B B C
− − −
= − − = − −
− −
3. a)
2 2
0 2
−
b)
1 6 2
0 6 10
− − −
÷
c)
6 18 3
2 6 1
2 6 1
÷
÷
÷
− − −
d) (5)
4. a)
27 55 27
7 18 35
4 7 4
÷
÷
÷
− −
b)
11 21
36 67
0 2
÷
÷
÷
c)
1 0 0
3 1 0
3 0 1
÷
÷
÷
d)
2012 2011
2012
3 2012.3
0 3
÷
21
5. a) -51 b) 1 c) 0 d) -56
6. a) (a – b)(a – c)(c – b) b) -2(y
3
+ y
3
)
c) (b – a)(c – a)(c – b) d) -3y
2
7.
3 41 3 41
1, ,
4 4
x x x
− + − −
= = =
9. a) -3 b) -2
10. a)
2
10 10
7 10 4 9 12 1
9 14 4 , 12 17 0 ;
3 2 12 1 0 9
det( ) 8, det( ) 8 , det(4 ) 512
t
A AA
A A A
÷ ÷
= =
÷ ÷
÷ ÷
= = =
b)
1
5 1
1
4 4
7 1 1
8 2 8
1 1
0
4 4
A
−
−
÷
÷
÷
= −
÷
÷
÷
− −
÷
11. a)
1
3 4 1
1 3 / 2 1/ 2
3 5 / 2 1/ 2
A
−
− −
÷
= −
÷
÷
−
b)
2 3
2
1
1
0 1
0 0 1
0 0 0 1
a a a
a a
B
a
−
÷
÷
=
÷
÷
÷
12. a)
3
det 16 - 24A x x= − +
, A khả nghịch
2
det 0
1 13
x
A
x
≠
⇔ ≠ ⇔
≠ − ±
b)
1
8 1 5
1
2 1 2
3
7 1 4
A
−
=
− −
13. a)
( ) ( ) ( )
2
det 2 1 4A x x x= − − +
, A khả nghịch
1
det 0 2
4
x
A x
x
≠
⇔ ≠ ⇔ ≠
≠ −
b)
1
1
det
det A
A
−
=
14. a)
1
1 1 1
2 3 1
1 2 1
A
−
−
= − −
−
b)
1
0 1 3 2
2 4 4 0
1 3 3 1
X A B
−
−
= = −
− −
15.
det 3 3A m= −
, A khả nghịch
det 0 1A m⇔ ≠ ⇔ ≠
16. a)
1
7 4
25 14
X BA
−
−
= =
−
b)
1 1
AXB C X A CB
− −
= ⇒ =
17. a)
det 0A =
, không tồn tại ma trận nghịch đảo. b)
1
2
3
4
x
x
X
x
x
=
, với
1 2
3
4 2
3
6
8
1
8
1
10
2
x x
x
x x
= +
= −
= −
18. a)
( ) 2r A =
b)
( ) 3r B =
c)
( ) 3r C =
d)
( ) 2r D =
19. a)
0 : ( ) 3
0: ( ) 2
r A
r A
λ
λ
≠ =
= =
b)
0, 4, 2: ( ) 4
0, 4, 2 : ( ) 3
r B
or or r B
λ λ λ
λ λ λ
≠ ≠ − ≠ − =
= = − = − =
c)
0: ( ) 3
0 : ( ) 2
a r C
a r C
≠ =
= =
20. a)
3: ( ) 3
3: ( ) 2
m r A
m r A
≠ =
= =
b) Không tồn tại ma trận Y
22
21. a)
1 2 3 4
1, 1, 0, 1x x x x= − = − = =
b) vô nghiệm
c)
1 2 3 4
2 , , , 1x t s x t x s x= − = = =
; t, s tùy ý. d)
1 2 3 4
13
, , 7, 0
3
t
x x t x x
+
= = = − =
; t tùy ý.
e)
1, , 2 , 1x y s z s t s= = = − = −
; s tùy ý f) vô nghiệm
22. a) Nếu a ≠ 1 và a ≠ -2, hệ có nghiệm duy nhất
( )
2
1
1 1
, ,
2 2 2
a
a
x y z
a a a
+
+
= − = =
+ + +
Nếu a = 1, hệ có vô số nghiệm y = 1 – t – s, y = t, z = s ; t, s tùy ý. Nếu a = -2, hệ vô nghiệm
b) Sửa phương trình 3, 6y
3
thành -6y
3
Nếu λ ≠ 0 hoặc
3 84
λ
≠ − ±
, hệ có nghiệm duy nhất y = y = z = 0
Nếu λ ≠ 0 hoặc
3 84
λ
= − ±
, hệ có vô số nghiệm
23
Đáp số bài tập chương phép tính vi phân hàm một biến
1. Từ đồ thị ta thấy anh ấy rời nhà lúc 8h sáng để đến cơ quan lúc 9h, sau đó anh ấy ngồi làm việc tại cơ quan đến
10h. Vì công việc anh ấy phải di chuyển để đi gặp đối tác lúc 12h, và tiến hành thỏa thuận kinh doanh trong
vòng 1 tiếng. Buổi chiều anh ấy phải đi kiểm tra việc kinh doanh tại một cửa hàng trong khoảng thời gian từ 17h
đến 18h. Cuối cùng anh ấy về nhà vào khoảng 19h.
2.
2
2
2
4
1x
x
−
−
3.
2
2
1 arccos
1
x
x
x x
− −
−
4.
3 2
1
8x x
x
− +
5.
3
6 1
2
x
x
x
− − +
6.
4 2
5 3 4x x x− + +
7.
2
2
1 2
2
( 1) arctan
x
x x x
+
+ +
8.
( ) ( )
2
3 sin 3cos cos 3sinx x x x+ −
9.
( )
3/2
2
8
2
x
x
− +
−
+
10.
2 2
4
4x x
−
+
11.
( )
( )
2
3
2
2 3
1
2
1
1
x x
x
x
x
−
−
−
12.
3
2
2
x −
13.
2
1
1 x
−
+
14.
2
1
1 x+
15.
( )
sin
2.4 1 cos ln 2
x x
x
+
+
16.
( )
2
2sin
1 cos
x
dx
x+
17.
(cos sin )x x x dx−
18.
( ) ( )
2
6sin 2 1 cos 2 1x x dx+ +
19.
2
1 cot 2
cot 2
x
dx
x
+
−
20.
(
)
2
2
cos 2
2
x x
dx
x
+
+
21.
1 cos 2
2
sin 2
x
dx
x x
+
+
22.
( )
2
1
sin 2
1
1
x
x
dx
x x
+
÷
÷
−
−
23. 1.
( )
( ) ( )
2
3/2
5
2
4 2
''
2 2
x
y
x x
x
x
−
=
− +
÷
,
( )
( ) ( )
4 2
5/2
8
2
4 3 10 16
'''
2 2
x x
y
x x
x
x
− +
= −
− +
÷
2.
7/2 5/2
3/2
1 48 4 1
''
2
x x
y
x
− −
=
7/2 5/2
5/2
1 192 8 3
'''
4
x x
y
x
− +
=
3.
( )
( )
2 2
'' 3 sin 3cos 7cos 18cos sin 17siny x x x x x x= + − − +
( )
( )
2 2
''' 3 cos 3sin 61cos 54cos sin 11siny x x x x x x= − − + − − +
4.
( )
3/2
2
''
1
x
y
x
= −
+
( )
2
5/2
2
2 1
'''
1
x
y
x
−
=
+
24.
17254
3
dx
25.
12dx−
26. 0 27.
(9ln3 54)dx+
32. a.
2
( ) '( ) 3 12 9v t f t t t= = − +
b.
(2) 3( / ), (4) 9( / )v m s v m s= − =
c.
1t =
và
3t =
d.
0 1t< <
và
3t >
.
e. f. 28
24
33. a.
b.
(2) 140s =
c.
11
8
t =
và
5t =
. d.
90−
e.
1t =
f.
102−
34. a.
3.5( )t s=
. Độ cao lớn nhất bằng
(3.5) 196( )s m=
. Quả bóng rơi yuống đất khi
7t =
.
b.
112−
c.
2
32( / )m s−
35.
3
[0; ]
13
t ∈
S tăng và
3
[ ; 5]
13
t ∈
S giảm
36. Người đó bơi qua sông và lên bờ tại điểm C cách điểm đối diện với A 1.1547 dặm về phía B và tiếp tục đi bộ về B.
37. Đặt HC =y ,
1
1 2
hl
x
l l
=
−
hay A’, C, B thẳng hàng ( A’ đối xứng với A qua sông)
38. Tam giác đều a=4 39. 50 và -50
40.
2
41. đáy cạnh a= 200cm, cao h=1cm
42. cạnh chia đôi a= 1.5 tr feet, b=1 tr feet 43. đáy cạnh a= 40cm, cao h=20cm
44. Gọi r, h lần lượt và bán kính đáy và chiều cao của lon
3
200
3,9929; 7,9859r h
π
= ≈ ≈
45. giá P = $65 46. số lượng cây m = 45
47. giá P = $10 và bán được 500 hộp
48. a.
ln 2
0.077
9
k = =
b. P(41)
≈
2351 con; P’(41)
≈
181,1 con/ngày c. 27
49. 1 50.
+∞
51. 0 52.
1
3
53. 0
54. 0 55. e
16
56. 1 57.
9
5
Đáp số chương hàm nhiều biến.
1. a)
(
)
' '
2 2
2 2 2 2
1
; ;
x y
y
z z
x y
x y x x y
= =
+
+ + +
b)
' '
cos ; 2 sin cos ;
x y
x x x
z y z y x
y y y
= = −
c)
' '
2 2 2 2
;
x y
y x
z z
x y x y
−
= =
+ +
; d)
' '
2
2 2
;
2 2
sin sin
x y
x
z z
x x
y y
y y
−
= =
e)
' '
2 2
1
arctan ;
1
x
x
x y
x e
z e y z
y y y
−
= − = −
+
f)
' ' '
2 2
1
; ;
x y z
x x
u yz u xz u xy
yz y z z y
= + = − = −
2. a)
2
1
( 2 )
1 ( 2 )
dz dx dy
x y
= −
− −
b) dz(0;0) = 0
c)
2
2 2 2
1
2 (1 )
(1 )
dz xydx x dy
x y
= − + +
+ +
d)
(0;1) 2dz dx= −
3. a)
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
'' '' ''
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2( ) 4 2( )
; ;
xx xy yy
x y xy x y
z z z
x y x y x y
− + − −
= = =
+ + +
25
