Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh Quảng bình năm học 2012 - 2013

S GD&T K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 9 THPT
QUNG BèNH NM HC 2012- 2013
Mụn thi: Toỏn
THI CHNH THC (Khúa ngy 27 thỏng 3 nm 2013)
S BO DANH: Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao )
Cõu 1:(2.0 im)
Cho biu thc:
26 19 2 3
2 3 1 3
x x x x x
P
x x x x
+
= +
+ +
a) Rỳt gn P.
b) Tỡm x P t giỏ tr nh nht.
Cõu 2:(2.0 im)
Cho phng trỡnh
2
2 4 0x mx m + =
a) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
1 2
,x x
tha món
3 3
1 2
26x x m
+ =

b) Tỡm m nguyờn phng trỡnh cú hai nghim nguyờn.
Cõu 3:(3,5 im)
Cho tam giỏc ABC u c nh ni tip trong ng trũn (O). ng thng d
thay i nhng luụn i qua A v ct cung nh AB ti im th hai l E (E

A).
ng thng d ct hai tip ti B v C ca ng trũn (O) ln lt ti M v N. MC
ct BN ti F. Chng minh rng:
a) Tam giỏc CAN ng dng vi tam giỏc BMA, tam giỏc MBC ng dng vi tam
giỏc BCN.
b) T giỏc BMEF l t giỏc ni tip.
c) Chng minh ng thng EF luụn i qua mt im cú nh khi d thay i nhng
luụn i qua A.
Cõu 4:(1,5 im)
Cho các số thực dơng a, b, c thoả mãn a + b + c =6. Chng minh rng:
5 4 3
6
1 2 3
b c c a a b
a b c
+ + + + + +
+ +
+ + +
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Cõu 5:(1,0 im)
Cho n l s t nhiờn ln hn 1. Chng minh rng
n4
4n
+
l hp s.

HT
SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán
(Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
yªu cÇu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập
luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước
giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần
là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của
từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.
Câu Nội dung Điểm
1
a) ĐK:
0 1x
≤ ≠
.Ta có:

26 19 2 3
( 1)( 3) 1 3
26 19 2 ( 3) ( 3)( 1)
( 1)( 3)
26 19 2 6 4 3

( 1)( 3)
16 16 ( 1)( 16) 16
( 1)( 3) ( 1)( 3) 3
x x x x x
P
x x x x
x x x x x x x
x x
x x x x x x x
x x
x x x x x x x
x x x x x
+ − −
= − +
− + − +
+ − − + + − −
=
− +
+ − − − + − +
=
− +
− + − − + +
= = =
− + − + +
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
b)

16 25 25
3 3 6
3 3 3
25
2 ( 3) 6 10 6 4
3
x
P x x
x x x
x
x
+
= = − + = + + −
+ + +
≥ + − = − =
+
Vậy GTNN của P = 4 khi
25
3 4
3
x x
x
+ = ⇔ =
+
1,0 điểm
0,5
0,25
0,25
Trang: 2 - Đáp án Toán 11
2 a)

2
2 4 0x mx m− + − =
Ta có:
2
2
1 15
' 4 0
2 4
m m m m
 
∆ = − + = − + > ∀
 ÷
 
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo định lý Viet:
1 2 1 2
2 ; 4x x m x x m+ = = −

( )
3
3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
3 2
26 3 ( ) 26
8 6 ( 4) 26 (8 6 2) 0
1
0; 1;
4
x x m x x x x x x m
m m m m m m m

m m m
+ = ⇔ + − + =
⇔ − − = ⇔ − − =
⇔ = = = −
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Gọi
1 2 1 2
, ( )x x x x<
là hai nghiệm nguyên của phương trình.
Ta có:
1 2 1 2
2 ; 4x x m x x m+ = = −
.
Suy ra
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 8 2( ) 4 1 15 (2 1)(2 1) 15x x x x x x x x x x+ − = ⇔ + − − = ⇔ − − = −
.
TH1:
1 1
2 2
2 1 1 0
4
2 1 15 8
x x
m
x x

− = − =
 
⇔ ⇒ =
 
− = =
 
TH2:
1 1
2 2
2 1 5 2
0
2 1 3 2
x x
m
x x
− = − = −
 
⇔ ⇒ =
 
− = =
 
TH3:
1 1
2 2
2 1 15 7
3
2 1 1 1
x x
m
x x

− = − = −
 
⇔ ⇒ = −
 
− = =
 
TH4:
1 1
2 2
2 1 3 1
1
2 1 5 3
x x
m
x x
− = − = −
 
⇔ ⇒ =
 
− = =
 
Thử lại m=0, m=1, m=-3,m=4 thỏa mãn điều kiện bài toán.
1,0 điểm
0,25
0,5

0,25
3 3,5 điểm
0,5
Trang: 3 - Đáp án Toán 11

C
N
I
F
M
O
B
A
E

a) Ta có: AC//BM suy ra
BMA CAN∠ = ∠
AB//CN suy ra
BAM CNA∠ = ∠
Do đó tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA
Suy ra:
MB AB MB BC
AC NC BC CN
= ⇒ =
Mặt khác
0
120MBC BCN∠ = ∠ =
Suy ra tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN.


0,5
0,25
0,25
0,25

b)
0 0
180 60BFM BCM NBC BCM BMC MBC∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = −∠ =
Mặt khác
0
60BEM BCA∠ = ∠ =
(do t/c góc ngoài của tứ giác nội tiếp)
Suy ra
0
60BFM BEM∠ = ∠ =
. Do đó tứ giác BMEF nội tiếp.
0,5
0,25
0,25
c) Gọi I là giao điểm EF với BC.
Ta có
IBF BMF∠ = ∠
(câu a), suy ra IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại
tứ giác BMEF.
Tương tự chứng minh được IC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tứ giác
CNEF.
Từ đó:
2 2
. ; .IB IE IF IC IE IF IB IC= = ⇒ =
hay I là trung điểm BC.
Vậy d luôn đi qua điểm cố định là I.
0,25
0,25
0,25
4

Đặt
1; 2; 3x a y b z c= + = + = +
. (x, y, z >0)
2 . 2 . 2 . 6
y z z x x y y x x z y z
VT
x y z x y z x z y
y x z x y z
x y x z z y
+ + +
= + + = + + + + +
≥ + + =

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z, suy ra a=3, b=2, c=1
1,5 điểm
0,5
0,5
0,25
0,25
Trang: 4 - Đáp án Toán 11
5
n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k là
số tự nhiên lớn hơn 0.
- Với n = 2k, ta có
k24n4
4)k2(4n +=+
lớn hơn 2 và chia hết cho 2. Do
đó
n4
4n +

là hợp số.
-Với n = 2k+1, tacó

( ) ( )
( ) ( )
4 4 2 4 2 2 2 2
2 2
2 2
4 4 .4 (2.4 ) ( 2.4 ) (2. .2 )
2.4 2. .2 2.4 2. .2
( 2 ) 4 ( 2 ) 4
n k k k k
k k k k
k k k k
n n n n n
n n n n
n n
+ = + = + = + −
= + − + +
= − + + +
Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n
4
+ 4
n
là hợp số
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25

Trang: 5 - Đáp án Toán 11