ĐỀ CƯƠNG ôn tập môn TOÁN HKI lớp 11

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN HKI LỚP 11
PHẦN 1 : ĐẠI SỐ
A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
I. LÝ THUYẾT:
1. Phương trình cơ bản.
1.1, Phương trình:
ax
=
sin
(1)
• Trường hợp 1 :
1>a
, Pt (1) vô nghiệm.
• Trường hợp 2:
1≤a
, Pt (1) có nghiệm.
Nếu
2
3
;
2
2
;
2
1
±±±≠a
thì đặt
α
sin=a
(với
aarcsin

=
α
) rồi giải theo công thức nghiệm:
Zk
kx
kx
x ∈



+−=
+=
⇔= ,
2
2
sinsin
παπ
πα
α

Các phương trình đặc biệt:
*
π
kxx
=⇔=
0sin
*
π
π
2

2
1sin kxx +
−
=⇔−=
*
π
π
2
2
1sin kxx +=⇔=
1.2, Phương trình:
ax =cos
(2)
• Trường hợp 1 :
1>a
, Pt (2) vô nghiệm.
• Trường hợp 2:
1≤a
, Pt (2) có nghiệm.
Nếu
2
3
;
2
2
;
2
1
±±±≠a
thì đặt

α
cos=a
(với
aarccos=
α
) rồi giải theo công thức nghiệm:
Zk
kx
kx
x ∈



+−=
+=
⇔= ,
2
2
coscos
πα
πα
α

Các phương trình đặc biệt:
*
π
π
kxx +=⇔=
2
0cos

*
ππ
21cos kxx
+=⇔−=
*
π
21cos kxx
=⇔=
1.3, Phương trình
ax =tan
(3)
Nếu
3;
3
3
;1;0 ±±±≠a
thì đặt
α
tan=a
(với
aarctan=
α
) rồi giải theo công thức nghiệm:

1.4, Phương trình
ax =cot
(4)
Nếu
3;
3

3
;1;0 ±±±≠a
thì đặt
α
cot=a
(với
aarc cot=
α
) rồi giải theo công thức nghiệm:

2. Phương trình bậc hai đối với 1 HSLG.
•
0sinsin
2
=++ cxbxa
(5)
•
0coscos
2
=++ cxbxa
(6)
•
0tantan
2
=++ cxbxa
(7)
•
0cotcot
2
=++ cxbxa

(8)
Cách giải: Đặt
xt sin
=
,
xt cos=
,
xt tan=
,
xt cot=
sau đó giải pt bậc hai theo t.
Chú ý: nếu
1>t
thì pt (5), (6) vô nghiệm.
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng:
cxbxa
=+
cossin
(9)
0
22
≠+ ba
Cách giải: Nếu
222
cba <+
thì pt (9) vô nghiệm.
1
Zkkxx ∈+=⇔= ,tantan
παα

Zkkxx ∈+=⇔= ,cotcot
παα
Nếu
222
cba ≥+
thì pt (9) có nghiệm. Khi đó chia cả 2 vế pt (9) cho
22
ba +
và biến
đổi pt (9)
βα
sin)sin( =+⇔ x
, (với
222222
sin,cos,sin
ba
c
ba
b
ba
a
+
=
++
=
βαα
)
Ngoài ra HS có thể sử dụng các CTLG để biến đổi về các PTLG cơ bản rồi giải
II. BÀI TẬP CƠ BẢN:
1. PT bậc nhất với một HSLG:

Bài 1. Giải các PT LG (đối với sin)
a.
3
sinsin
π
=x
b.
4
sin2sin
π
=x
c.
sin 2 sin
4 6
x
π π
 
− =
 ÷
 
d.
( )
00
20sin55sin =− x
e.
2
2
sin =x
f.
2

1
3sin =x
g.
2
3
6
5
2sin =






+
π
x
h.
( )
2
1
sin
−
=− x
π
i.
4
3
sin =x
j.

sin
0,1
2
x
=
k.
2sin =x
l.
sin 2013 0x − =
m.
3sin 2 1 0x − =
n.
0
4
sin =






− x
π
o.
( )
sin 4 1 0x− − =
p. 2
0
60sinsin =x
.

Bài 2. Giải các PT LG (đối với cos)
a.
3
coscos
π
=x
b.
5
cos3 cos
7
x
π
−
=
c.
3
2
cos
8
cos
ππ
=






−x
d.

5
cos
2
x
−
=
e.
2
1
5cos
−
=x
f.
3
cos 2
3 2
x
π
 
− =
 ÷
 
g.
9
7
cos =x
h.
cos 11 0x − =
i.
03cos

=
x
j.
cos 1 0x
− + =
k.
0
72coscos =x
l.
2cos(5 ) 1 0x− + =

Bài 3. Giải các PT LG (đối với tan)
a.
6
tantan
π
=x
b.
( )
0
tan 5 tan30x− =
c.






+−=
5

2
tantan
π
xx
d.
3tan =x
e.
12tan −=x
f.
tan cot
6 6
x
π π
 
− =
 ÷
 
g.
0tan =x
h.
7tan =x

i.
5tan2 =x
j.
01tan3 =+x
k.
2014 tan 2013 0x + =
l.
02tan33 =− x

Bài 4. Giải các PT LG (đối với cot)
a.
4
cotcot
π
=x
b.
3
cot3cot
π
=x
c.
( )
π
2cot2cot −= xx
d.
( )
π
cot5cot =− x
e.
3
3
cot =x
f.
cot tan 2x x= −
g.
( )
2cot 2 3 3x− =
h.
( )

cot 7
1
3
x−
=
i.
0cot =x
j.
5
2
cot =x
k.
3
8
6cot
−
=x
l.
3cot 3 0
2
x
− =
2. PT bậc hai với một HSLG:
Bài 1. Giải Pt bậc 2 đối với sin.
a.
01sinsin2
2
=−+ xx
b.
033sin53sin2

2
=+− xx
c.
010sin7sin3
2
=++− xx
d.
06sin4sin
2
=+− xx
e.
0sinsin
2
=− xx
f.
0sin42
2
=− x
Bài 2. Giải Pt bậc 2 đối với cos.
2
a.
06cos5cos
2
=−+ xx
b.
04coscos2
2
=++− xx
c.
05cos3cos

2
=+− xx
d.
01cos4cos4
2
=++ xx
e.
0cos3cos2
2
=+ xx
f.
07cos7
2
=−x
Bài 3. Giải Pt bậc 2 đối với tan và cot.
a.
04tantan
2
=−+ xx
b.
0tantan2
2
=− xx
c.
03tan6tan3
2
=++ xx
d.
0cot2025cot2015
2

=+ xx
e.
( )
03cot31cot
2
=+−+ xx
f.
0cot
2
=x
3. PT bậc nhất đối với hai hàm số sinx và cosx:
a.
2cossin3 =+ xx
b.
3cos3sin =+− xx
c.
3cos2sin =+ xx
d.
1cos3sin =+ xx
e.
5cos4sin3 =− xx
f.
4cos3sin2 =+ xx
III. BÀI TẬP THAM KHẢO VÀ NÂNG CAO:
Bài 1: Tìm TXĐ của hàm số:
a. y = tanx + cot2x b. y =
tan
cos 1
x
x −

c. y = tan(x-
3
π
)
d.
3 sin 2
1 cos2
x
y
x
+
=
−
e.
sin
x
y
x
=
f. y = cos
2 1
3
x
x
−
+
.
Bài 2 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
a.
2cos 8y x= +

b. y = 2sin(x+
3
π
) + 1 c.
sin 2 4y x= +
d.
2sin(2 3) 7
1
3
x
y
+ −
= +
e.
1
os3 2 . 1
3
y c x= − −
d. y = 4cos
2
x – 4cosx
+2
Bài 3: Giải các PT sau :
a. sinx + cosx +1 = 0 b.
sin 2 cos2 3sin cos 1=0x x x x
− + − −
c.
2
sin 4 2cos 1x x= −
d.

2 2
(1 sin 2 os2 ).sin 2 2.sin .cosx c x x x x+ + =
e.
sin os2 0x c x− =
f.
1 osx
(1 sinx os2 ).sin(x+ ) .
4 1 t anx
2
c
c x
π
 
+ + =
 
+
 
Bài 4 : Giải các phương trình lượng giác sau :
a.
cos3 sin3
5 sinx+ cos2 3
1 2sin 2
x x
x
x
+
 
= +
 ÷
+

 
( A2002 )
b.
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
( B2002 )
c.
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+
( A2003 )
d.
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =
( B2003 )
e.
2 2
sin tan os 0
2 4 2
x x

x c
π
 
− − =
 ÷
 
( D2003 )
f.
2
5sin 2 3(1 sin ) tanx x x− = −
( B2004 )
g.
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = −
( D2004 )
h.
2 2
cos 3 cos2 cos 0x x x− =
( A2005 )
i.
1 sin os sin 2 cos2 0x c x x x
+ + + + =
( B2005 )
3
j.
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x

π π
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
( D2005 )
k.
( )
6 6
2 cos sin
0
2 2sin
x x
x
+
=
−
( A2006 )
l.
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
+ + =
 ÷
 
( B2006 )
m.
cos3 cos 2 cos 1 0x x x

+ − − =
( D2006 )
n.
( ) ( )
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
( A2007 )
o.
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − =
( B2007 )
p.
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 ÷
 
( D2007 )
B. TỔ HỢP
I. LÝ THUYẾT :
1. Quy tắc cộng.
Một công việc được hoàn thành bởi 2 phương án. Nếu phương án 1 có m cách làm, phương án 2
có n cách làm thì công việc đó có: (m+n) cách làm.
2. Quy tắc nhân:
Một công việc được hoàn thành bởi 2 công đoạn. Nếu công đoạn 1 có m cách làm, công đoạn 2
có n cách làm thì công việc đó có: (m.n) cách làm.

3. Hoán vị.
Từ tập có n phần tử, mỗi cách lấy n phần tử xếp vào n vị trí là 1 hoán vị của phần tử.
( )( )
1.2 21.! −−== nnnnP
n
4. Chỉnh hợp.
Từ tập có n phần tử, mỗi cách lấy k phần tử và xếp vào k vị trí là 1 chỉnh hợp chập k của n phần
tử.
( )
!
!
kn
n
A
k
n
−
=
5. Tổ hợp.
Từ tập có n phần tử, mỗi cách lấy k phần tử và không sắp xếp là 1 tổ hợp chập k của n phần tử.
( )
!!
!
knk
n
C
k
n
−
=

II. BÀI TẬP CƠ BẢN:
Bài 1: Tổ 3 có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 1 học sinh để làm
tổ trưởng?
Bài 2: Trong hộp có 3 viên bi đen và 5 viên bi trắng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 1 viên bi, mà:
a. Viên bi đó màu đen.
b. Viên bi đómàu trắng.
c. Viên bi màu bất kì.
Bài 3: Tổ 4 có 9 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh làm tổ trưởng và tổ phó?
Bài 4: Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh vào 1 ghế dài 5 chỗ (có đánh số thứ tự)?
Bài 5: Có bao nhiêu cách chọn ra 3 viên bi khác nhau từ 1 túi có 7 khác viên bi khác nhau?
Bài 6: Một bó hoa gồm: 3 bông hồng đỏ, 5 bông hồng trắng và 4 bông hồng vàng. Hỏi có bao
nhiêu cách để chọn ra 3 bông hoa khác màu?
4
Bài 7: Có 7 con thỏ khác nhau và cái 5 cái chuồng. Hỏi có bao nhiêu cách để nhốt 5 con thỏ vào
5 chuồng, mỗi chuồng 1 con, sao cho:
a. Năm cái chuồng giống nhau.
b. Năm cái chuồng sơn màu khác nhau.
III. BÀI TẬP THAM KHẢO:
Bài 1: Từ các chữ số: 1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số là:
a. Số chẵn có 3 chữ số?
b. Số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 500?
Bài 3: Một nhóm có 6 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người sao cho trong đó chỉ có
1 nữ?
Bài 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh: A,B,C,D,E,F trên 1 ghế dài sao cho B và D ngồi ở 2
đầu?
Bài 5: Một cuộc khiêu vũ gồm 10 nam và 8 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép
thành 3 cặp. Hỏi có mấy cách chọn?
Bài 6: Lớp phụ đạo A có 30 học sinh, 18 nam và 12 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a. Hai bạn, gồm 1 nam và 1 nữ làm lớp trưởng và lớp phó.
b. Hai bạn (2 nam hoặc 2 nữ) đi trực xung kích.

c. Ba bạn ( ít nhất có 1 nữ) tham gia đại hội thanh niên.
Bài 7: Tính xác suất để xảy ra sự kiện trong các trường hợp đã nêu ở câu a,b,c của bài 6?
Bài 8: Tìm x, biết:
a.
( )
( )
6
1
!1
!1!
=
+
−−
x
xx
b.
101
22
2
=+
−
−
x
xx
CA
C. NHỊ THỨC NEWTON.
I. LÝ THUYẾT:
1. Công thức khai triển:
( )
nn

n
nn
n
n
n
n
n
n
n
bCabCbaCbaCaCba +++++=+
−−−− 11222110
2

=
∑
=
−
n
k
kknk
n
baC
0
2. Tính chất:
• Số các số hạng trong khai triển là: n+1 số hạng.
• Số hạng tổng quát (số hạng thứ k+1):
kknk
nk
baCT
−

+
=
1
• Đặc biệt:
nn
n
n
nnnn
CCCCC 2
1210
=+++++
−
0
3210
=++−+−
n
nnnnn
CCCCC
II. BÀI TẬP:
Bài 1: Cho khai triển
( )
15
32 +x
. Tìm số hạng thứ 9 theo lũy thừa tăng của 3.
Bài 2: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:
a.
10
1







+
x
x
b.
12
4
2
2






+
x
x
c.
5
2
3
1







−
x
x
d.
6
2
1






−
x
x
Bài 3: Tìm số hạng chứa
4
x
trong khai triển câu 2a.
Bài 4: Tìm hệ số của số hạng chứa
3
x
trong khai triển:
15
2







−
x
x
5
Bài 5: Cho biết tổng 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển
n
x






−
3
2
2
là 97. Tìm số hạng
chứa
4
x
Bài 6: Tìm hệ số của
1312
yx
trong khai triển:
( )

25
32 yx +
.
Bài 7: Tổng hệ số của các số hạng thứ nhất, thứ 2, thứ 3 trong khai triển:
n
x
x






+
2
3
1
là 11.
Tìm hệ số của
2
x
.
Bài 8 : Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển thành đa thức của :
( ) ( )
5 10
2
1 2 1 3x x x x− + +

( D2007 )
Bài 9 : Tìm số ngyên dương n thỏa mãn hệ thức:
1 3 2 1
2 2 2
2048
n
n n n
C C C
−
+ + + =
(
k
n
C
là số tổ hợp chập
k của n ) ( D2008 )
D. XÁC SUẤT
I. LÝ THUYẾT:
1. Biến cố: Các khái niệm SGK.
2. Xác suất:
Xác suất của biến cố A:
( )
( )
( )
Ω
=
n
An
AP

II. BÀI TẬP:
Bài 1: Gieo 1 con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất của biến cố:
a. Tổng 2 mặt xuất hiện bằng 8.
b. Tổng 2 mặt xuất hiện bằng 7.
c. Tích 2 mặt xuất hiện là 1 số lẻ.
d. Tích 2 mặt xuất hiện là 1 số chẵn.
e. 2 lần xuất hiện có số chấm bằng nhau.
Bài 2: Gieo cùng lúc 4 đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
a. Cả 4 đồng xu đều ngửa.
b. Có đúng 3 đồng xu ngửa.
c. Có ít nhất 2 đồng xu ngửa.
Bài 3: Có 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 tấm thẻ. Tính xác suất để tích 2
số trên 2 tấm thẻ đó là 1 số chẵn.
E. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN.
I. LÝ THUYẾT:
1. Dãy số:
a. Dạng khai triển:
( )
nn
uuuuu , ,,,
321
=
b. Dãy số tăng, dãy số giảm.
-Dãy số tăng
*
1
, Nnuu
nn
∈∀>⇔
+

*
1
,0 Nnuu
nn
∈∀>−⇔
+
-Dãy số giảm
*
1
, Nnuu
nn
∈∀<⇔
+

*
1
,0 Nnuu
nn
∈∀<−⇔
+
c. Dãy số bị chặn.
( )
n
u
là dãy bị chặn trên
*
,: NnMuM
n
∈∀≤∃⇔

( )
n
u
là dãy bị chặn dưới
*
,: Nnmum
n
∈∀≥∃⇔
( )
n
u
là dãy bị chặn
*
,:, NnMumMm
n
∈∀≤≤∃⇔
2. Cấp số cộng.
a. Định nghĩa:
( )
n
u
là cấp số cộng
*
1
, Nnduu
nn
∈+=⇔
+
(với d là công sai)
b. Số hạng tổng quát:

( )
,1
1
dnuu
n
−+=

2≥∀n
6
c. Tính chất các số hạng:
2
11 −+
+
=
kk
k
uu
u
,
2
≥
k
d. Tổng n số hạng đầu tiên:
( )
( )
2
1
2

1

1
321
dnn
nu
uun
uuuuS
n
nn
−
+=
+
=++++=
3. Cấp số nhân:
a. Định nghĩa:
( )
n
u
là cấp số nhân
quu
nn
=⇔
+1
,
*
Nn ∈
( q là công bội và
n
n
u
u

q
1+
=
)
b. Số hạng tổng quát:
1
1
−
=
n
n
quu
c. Tính chất:
11
2
+−
=
kkk
uuu
hay:
11 +−
=
kkk
uuu
với
2≥k
d. Tổng n số hạng đầu tiên:
( )
1
1

1
−
−
=
q
qu
S
n
n
với
1≠q
.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Bằng phương pháp quy nạp, hãy chứng minh các đẳng thức sau:
a.
( )
( )
3
14
12 531
2
2
222
−
=−++++
nn
n
b.
( )
( )( )

3
1212
2 642
2
222
++
=++++
nnn
n
Bài 2: Chứng minh với
*
Nn ∈
, ta có:
a.
( )
132
2
+− nnn
chia hết cho 6 b.
nn −
5
chia hết cho 30
Bài 3: Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau:
a.
1
12
2
2
−
+

=
n
n
u
n
b.
( )
1
3
1
,2
11
+==
+ nn
uuu
c.
1221
,9,15
++
−===
nnn
uuuuu
Bài 4: Trong các cấp số nhân sau đây, tìm các số hạng đã được chỉ ra.
a.
,
4
1
,
2
1

,1,2
Tìm
8
u
b.
, 24,12,6,3 −−
Tìm
11
u
Bài 5: Cho dãy số (
n
u
) với
n
u
= 9 – 5n.
a. Viết 5 số hạng đầu tiên.
b. CM: (
n
u
) là 1 cấp số cộng.
c. Cho
n
u
= - 106. Tìm n ?
d. Tính tổng của 100 số hạng đầu ?
Bài 6: Cho cấp số nhân có
1
u
= -3, q = -2. Số -768 là số hạng thứ bao nhiêu ?

Bài 7: Tìm số hạng đầu và công bội của CSN, biết :
a.
3
5
3
27
u
u
=


=

b.
4 2
3 1
25
50
u u
u u
− =


− =

c.
1 4
3 2
27
. 72

u u
u u
+ =


=

PHẦN 2 : HÌNH HỌC
Chương 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG.
7
I. Kiến thức trọng tâm:
II. Bài tập:
1. Bài tập cơ bản:
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;3),B(2;-3) và đường thẳng d có phương
trình :
(d): 2x-3y-5=0.
a. Tìm tọa độ ảnh của A,B.
b. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo
v
r
(1;-4).
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:
2 2
2 4 4 0x y x y+ − + − =
.
Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo
v
r
(-2;5).
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x-y-5=0.

Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tỉ số k = -2.
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:
2 2
( 3) ( 1) 9x y− + + =
.
Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k
= 3.
2. Bài tập tham khảo:
Câu 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) và hai điểm cố định A,B. Tìm lần lượt trên hai đường
tròn 2 điểm I,K sao cho AB=IK.
Câu 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, một cát tuyến di động cắt (O) tại
M và cắt (O’) tại N. Tìm quỹ tích trung điểm MN.
Câu 3: Cho hình bình hành ABCD, hai đỉnh A,B cố định, I là giao điểm của hai đường chéo
thay đổi di động trên (O) tìm tập hơp trung điểm BC.
Chương II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẲT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ SONG SONG
I. Kiến thức trọng tâm:
1. Hai đường thẳng chéo
nhau và hai đường thẳng
song song
• Các khái niệm, định
nghĩa, tính chất, định lí:
SGK
2. Hai đường thẳng chéo nhau
và hai đường thẳng song song
• Các khái niệm, định nghĩa,
tính chất, định lí: SGK
Cần khắc sâu:
3. Đường thẳng và mặt
phẳng song song

• Các khái niệm, định
nghĩa, định lí : SGK
Cần khắc sâu:
1. Phép biến hình: Định nghĩa SGK
2. Phép tịnh tiến

'
( ) '
v
T M M MM v= ⇔ =
r
uuuuur r
Biểu thức tọa độ: M(x;y);M’(x’:y’);
v
r
(a;b)

'
'
x x a
y y b
= +


= +

3. Phép quay:

( , )
'

( ) '
( , ')
O
OM OM
Q M M
OM OM
α
α
=

= ⇔

=

4. Phép dời hình
Định nghĩa và tính chất SGK
5.Phép vị tự

( , )
( ) ' '
O k
V M M OM kOM= ⇔ =
uuuuur uuuur
6. Phép đồng dạng:
Định nghĩa, tính chất: SGK
8
Cần khắc sâu:
1 2 1 2
1 2
( ) ( )

( ), ( ) / / ( )
/ /
d
d d d d d
d d
α β
α β
=


⊂ ⊂ ⇒ ≡



I
• Các dạng bài tập:
+Tìm giao tuyến
+Chứng minh 2 đường
thẳng song song
1 2 1 2
1 2
( ) ( )
( ), ( ) / / ( )
/ /
d
d d d d d
d d
α β
α β
=



⊂ ⊂ ⇒ ≡



I
• Các dạng bài tập:
+Tìm giao tuyến
+Chứng minh 2 đường thẳng
song song
a)
( )
/ /( )
/ / ' ( )
d
d
d d
α
α
α
⊄

⇔

⊂

b)
( )
( )

/ /( )
'/ /
( ) '
d
d d d
d
α
β
α β


⊂ ⇒


=

I
c)
( ) / /
( ) / / / / '
( ) ( ) '
d
d d d
d
α
β
α β


⇒



=

I
4. Hai mặt phẳng song
song
• Các định nghĩa, định lí
và tính chất :SGK
Cần khắc sâu
( ), ( )
( ) / /( )
/ /( ), / /( )
a b
a b I
a b
α α
α β
β β
⊂ ⊂


⇔ =



I
II. Bài tập:
1. Bài tập cơ bản:
Câu 1: Vẽ hình:

a. Hình chóp SABC, đáy là tam giác ABC
b. Tứ diện ABCD, Tứ diện đều ABCD
c. Hình chóp SABCD:Đáy là tứ giác ABCD,đáy là hình bình hành ABCD,là hình chữ
nhật ABCD,là hình vuông ABCD, hình thang ABCD,hình thoi.
Câu 2: Cho tứ diện ABCD, lấy điểm E trên AB điểm F trên CD. Xác định giao tuyến của từng
cặp mặt phẳng sau:
a. (ABC) và (ECD)
b. (ABF) và (BCD)
c. (ABF) và (ECD).
Câu 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song
song. Lấy điểm M thuộc miền trong tam giác SCD.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a. (SBM) và (SCD)
b. (ABM) và (SCD)
c. (ABM) và (SAC).
Câu 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành.Tìm giao tuyến của các cặp mặt
phẳng:
(SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC)
Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và Q là một điểm
nằm trên cạnh AD, P là giao điểm của CD với (MNQ). Chứng minh PQ//MN và PQ//AC.
Câu 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thoi ABCD.
a. Chứng minh AB//(SCD)
b. Gọi M là trung điểm của Sc, xác định giao tuyến của (BAM) và (SCD).
9
Câu 7: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành. G là trọng tâm của tam giác
SBD, I là trung điểm của DC.
a. Chứng minh: SD//(AIG).
b. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua AG song song với SD và hình chóp
SABCD.
c. Xác định giao tuyến (AIG) và (SAD).

2.Bài tập nâng cao:
Câu 1: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và điểm J,K lần lượt là điểm thuộc miền
trong của tam giác BCD và ACD.Gọi L là giao điểm của JK và (ABC).
a. Xác định điểm L.
b. Tìm giao tuyến của (ỊK) và các mặt của tứ diện ABCD.
Câu2: Cho hình chóp SABCD, đáy là hình thang ABCD và đáy lớn là AD, AD=2BC. Gọi O
là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.
a. Chứng minh OG//(SBC)
b. Cho M là trung điểm của SD. Chứng minhCM//(SAB).
c. Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho SC =
3
2
SI. Chứng minh rằng SA//(BID).
Câu 3: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của hai đường
chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD đều. I là điểm di động trên đoạn AC với AC=x(0<x<a), (
α
) là mặt phẳng đi qua I và song song (SBD).
a. Xác định thiết diện của (
α
) với hình chóp S.ABCD.
b. Tìm diện tích của thiết diện ở câu a theo a,b,x.Tìm x để diện tích lớn nhất.

10