tài liệu bất đẳng thức hay

This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 1



LỜI NÓI ðẦU.

Không còn nghi ngờ gì nữa, bất ñẳng thức ñã thực sự chiếm ñược chỗ ñứng riêng cho mình
trong nền toán học hiện ñại. Nếu các bạn thường xuyên theo dõi các chương trình 360
0
thể thao hay
24/7 thì các bạn có thể thấy những chương trình phần lớn ñều bình luận nhiều về môn thể thao vua –
bóng ñá. Bất ñẳng thức cũng vậy, ngày nay ñi khắp các diễn ñàn toán ta ñều thấy vấn ñề nóng bỏng
nhất, thời sự nhất vẫn là bất ñẳng thức. Với mong muốn có thể góp chút ít công sức vào công cuộc ñổi
mới dạy và học, chúng tôi – những thành viên của Diễn ðàn Bất ðẳng Thức Việt Nam VIMF muốn
tạo ra một sân chơi thật sự bổ ích cho những bạn ñã ñang và sẽ yêu thích bộ môn bất ñẳng thức này. Và
sự ra ñời của tập san này là ñại diện cho những gì mà chúng tôi mong muốn. Tập san bao gồm nhưng
chuyên mục chính:
- Bất ñẳng thức từ những cuộc thi: tuyển chọn những bất ñẳng thức và những lời giải hay từ các cuộc
thi như NMO (thi toán của các quốc gia), TST (chọn ñội tuyển thi toán quốc tế), ñề thi tuyển sinh ñại
học, các cuộc thi bất ñẳng thức,…
- Bất ñẳng thức sưu tầm và sáng tạo: tuyển chọn những bất ñẳng thức hay mà chúng tôi tự sáng tạo
hoặc sưu tầm ñược từ các bài toán trên các diễn ñàn, ñặc biệt là Diễn ðàn Bất ðẳng Thức Việt Nam.
- Giải toán như thế nào?: tìm kiếm những bài viết mới hay về các vấn ñề bất ñẳng thức cổ ñiển – hiện
ñại, những sáng tạo mới, những ứng dụng của một bất ñẳng thức ñặc biệt nào ñó giúp giải quyết ñược
ñược một lớp các bài toán bất ñẳng thức, những tìm tòi mở rộng cho một bất ñẳng thức hay nào ñó,…
Tập tài liệu không chỉ là người bạn ñồng hành với chúng ta mà tôi còn mong muốn rằng nó còn

giúp các bạn tự trao ñổi, tích lũy kinh nghiệm lẫn nhau thông qua việc mỗi thành viên hãy ñóng góp một
chút sức mình vào tập san ñể nó ngày càng hoàn thiện hơn. Các bạn có thể tham gia ñóng góp ở các
chuyên mục: Bất ñẳng thức từ những cuộc thi và Giải toán như thế nào?. Riêng chuyên mục bất
ñẳng thức từ những cuộc thi kêu gọi sự ñóng góp từ tất cả các thành viên thông qua việc post các ñề thi
hay từ các năm lên forum ñể tổng hợp và tìm lời giải mới (nếu có).

Yêu cầu khi tham gia:
ðể cho thống nhất, làm cho tập san có tính mỹ quan, dễ ñọc, dễ tra cứu và hạn chế thời gian
chúng tôi biên tập chỉnh sửa lại. Các bạn tham gia cần phải tuân thủ nghiêm ngặt các yêu cầu sau:

1. Bài chỉ ñánh máy bằng word (2003 hoặc 2007) và chỉ gửi về một ñịa chỉ email duy nhất:

2. Tất cả các công thức toán soạn thảo ñều phải dung mathtype hoặc equation của word 2007.
Tránh tình trạng có chữ thì viết bình thừơng có chữ hoặc symbol thì dùng mathtype, như thế sẽ không
tạo tính ñồng bộ cho tập san và mất thời giờ biên tập chỉnh sửa lại. Vì thế, yêu cầu tất cả các công thức
toán ñều phải ñặt trong mathtype.
3. Các bài viết phải trình bày một cách khoa học nhất, không ñược viết lang man
4. Font chữ là Unicode, cỡ chữ là 11, size trong mathtype cũng là 11
5. Bài trong chuyên mục Bất ñẳng thức từ những cuộc thi các bạn có thể sưu tầm từ các cuộc thi
và một số lời giải khác nhau (nhớ ghi gõ xuất sứ bài toán và tên hoặc nickname người giải). còn chuyên
mục Giải toán như thế nào? phải là những bài viết mới gần ñây (do bạn viết thì càng tốt) bao gồm
những tìm tòi khám phá về một bất ñẳng thức nào ñó hay một kĩ thuật nhỏ áp dụng giải một lớp các bất
ñẳng thức ,…
6. Các bạn gửi bài ñến nhớ ñể lại tên tuổi, nickname ñể chúng tôi tiện cập nhật thông tin

Cuối cùng, xin lưu ý rằng chúng tôi thực hiện tập san này một cách nghiêm túc vì mục ñích giáo
dục. Vì thế, chúng tôi hi vọng rằng các bạn cộng tác cũng phải thật sự nghiêm túc và có trách nhiệm ñối
với mỗi bài viết của mình ñể góp phần hoàn thiện tập san này. Các bạn tham gia tích cực sẽ ñược hưởng
ưu ñãi từ diễn ñàn. Xin chân thành cảm ơn

Copyright © 2009 by VIMF
Tập san này cùng với file ñi kèm ñược tạo ra vì mục ñích giáo dục. không ñược sử dụng ebook này dưới
bất kì mục ñích thương mại nào, trừ khi ñược sự ñồng ý của tác giả. Mọi chi tiết xin vui lòng liên hệ

This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 2



B
BB
Bất
tt
t

ðẳng
ngng
ng

Th
ThTh
Thức
cc
c

T
TT
Từ

Nh
NhNh
Những
ngng
ng

Cu
CuCu
Cuộc
cc
c

Thi
ThiThi
Thi





B
ÀI
O 1. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho ܾܽܿൌ1. Chứng minh rằng
ܽ൅ 3
ሺ
ܽ൅ 1
ሻ
ଶ
൅

ܾ൅ 3
ሺ
ܾ൅ 1
ሻ
ଶ
൅
ܿ൅ 3
ሺ
ܿ൅ 1
ሻ
ଶ
൒3
UK TST 2005
L
ỜI
G
IẢI
1 (VIMF). Do ܾܽܿൌ1 nên ñặt
, ,
y z x
a b c
x y z
= = =

Bất ñẳng thức ñược viết lại như sau
2 2 2
2 2 2
3 3 3
3
( ) ( ) ( )

x xy y yz z zx
x y y z z x
+ + +
+ + ≥
+ + +

2 2
2
3
1 1 1
4
x y y z z x
x y y z z x
 
   
− − −
 
⇔ + + + + +
 
   
 
+ + +
 
 
   
 

2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3
4 ( ) ( ) ( )
x y x y y z y z z x z x
x y y z z x
 
+ − − + − − + − −
+ + + ≥
 
+ + +
 

Hay
2 2
2
3( )( )( )
3
( )( )( )
x y y z z x x y y z z x x y y z z x
x y y z z x x y y z z x x y y z z x
     
− − − − − − − − −
 
+ + ≥ − + + =
     
 
+ + + + + + + + +
 
     

+ N

ế
u
( )( )( ) 0
x y y z z x
− − − ≤
thì b
ñ
t trên hi
ể
n nhiên
ñ
úng.
+ N
ế
u
( )( )( ) 0
x y y z z x
− − − ≥
thì theo b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ܣܯെ ܩܯ
ta có
2 2 2
2
3

( )( )( )
3
( )( )( )
x y y z z x x y y z z x
x y y z z x x y y z z x
     
− − − − − −
 
+ + ≥
     
 
+ + + + + +
 
     

Nên ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh
( )
2 2 2
( )( )( )
1 2 0
( )( )( )
x y y z z x
x y y z z x
x y y z z x

− − −
≤ ⇔ + + ≥
+ + +
(luôn
ñ
úng).
V
ậ
y ta có
ñ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
ܽൌܾൌܿൌ1
.

L
ỜI

G
IẢI
2 (VIMF).
Tr
ướ
c tiên ta ch
ứ
ng minh 2 b
ổ

ñề
sau
B
Ổ
ð
Ề
1.
1
1 ൅ ܽ
൅
1
1 ൅ ܾ
൅
1
1 ൅ ܿ
൒
2
1 ൅ ܽ൅ ܾ൅ ܿ
൅ 1
B

Ổ
ð
Ề
2.
1
ሺ
1 ൅ ܽ
ሻ
ଶ
൅
1
ሺ
1 ൅ ܾ
ሻ
ଶ
൅
1
ሺ
1 ൅ ܿ
ሻ
ଶ
൅
1
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ൅ 1
൒1

Ch
ứ
ng minh B
ổ

ñề
1. B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
3 ൅ ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ൅ 2ሺܽ൅ ܾ൅ ܿሻ
2 ൅ ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ ൅ ܽ൅ ܾ൅ ܿ
൒
3 ൅ ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
1 ൅ ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
֞ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൒1

Mà theo b
ấ

t
ñẳ
ng th
ứ
c
ܣܯെ ܩܯ
thì
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൒3√ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
య
ൌ3

V
ậ
y B
ổ

ñề
1
ñượ

c ch
ứ
ng minh.
Ch
ứ
ng minh B
ổ

ñề
2. theo nguyên lí
ð
irichlet thì 2 trong 3 s
ố

ሺ
ܽെ 1
ሻ
,
ሺ
ܾെ 1
ሻ
,ሺܿെ 1ሻ
cùng d
ấ
u,
không m
ấ
t tính t
ổ
ng quát gi

ả
s
ử

ሺ
ܽെ 1ሻሺܾ െ 1
ሻ
൒0֜
௖ାଵ
௖
ൌܾܽ൅ 1൒ܽ ൅ܾ
. Ta có
1
ሺ
1 ൅ ܽ
ሻ
ଶ
൅
1
ሺ
1 ൅ ܾ
ሻ
ଶ
൒
1
1 ൅ ܾܽ
֞
ሺ
ܾܽ െ 1
ሻ

ଶ
൅
ሺ
ܽെ ܾ
ሻ
ଶ
൒0 ሺđúngሻ

nên
1
ሺ
ܽ ൅ 1
ሻ
ଶ
൅
1
ሺ
ܾ൅ 1
ሻ
ଶ
൒
1
1 ൅ ܾܽ
ൌ
ܿ
ܿ൅ 1

Do
ñ
ó

This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 3



1
ሺ
1 ൅ ܽ
ሻ
ଶ
൅
1
ሺ
1 ൅ ܾ
ሻ
ଶ
൅
1
ሺ
1 ൅ ܿ
ሻ
ଶ
൅
1
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ൅ 1
൒
ܿ
ܿ൅ 1

൅
1
ሺ
ܿ൅ 1
ሻ
ଶ
൅
1
ܿ൅ 1
ܿ
൅ ܿ൅ 1
ൌ1
Vậy Bổ ñề 2 ñược chứng minh.
Trở lại bài toán. Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với
1
1 ൅ ܽ
൅
1
1 ൅ ܾ
൅
1
1 ൅ ܾ
൅
2
ሺ
ܽ൅ 1
ሻ
ଶ
൅
2

ሺ
ܾ൅ 1
ሻ
ଶ
൅
2
ሺ
ܾ൅ 1
ሻ
ଶ
൒3
Mà theo bổ ñề trên ta có
1
1 ൅ ܽ
൅
1
1 ൅ ܾ
൅
1
1 ൅ ܾ
൅
2
ሺ
ܽ൅ 1
ሻ
ଶ
൅
2
ሺ
ܾ൅ 1

ሻ
ଶ
൅
2
ሺ
ܾ൅ 1
ሻ
ଶ
൒
2
ሺ
ܽ൅ 1
ሻ
ଶ
൅
2
ሺ
ܾ൅ 1
ሻ
ଶ
൅
2
ሺ
ܾ ൅ 1
ሻ
ଶ
൅
2
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ൅ 1
൅ 1൒2ൌ1ൌ3

Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ1

N
HẬN
X
ÉT
. Từ lời giải trên ta có thể làm chặt bài toán bằng giả thiết ܾܽ൅ ܾܿ൅ ܿܽൌ3ܾ֜ܽܿ൒1.
Các bạn hãy thử làm xem


B
ÀI
O 2. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ và ݔ,ݕ,ݖ sao cho ܽ ൅ ݔൌܾ ൅ ݕൌܿ ൅ ݖൌ1. Chứng minh
ሺ
ܾܽܿ൅ ݔݕݖ
ሻ
൬
1
ܽݕ
൅
1
ܾݖ
൅
1
ܿݔ
൰൒3
Russia 2002
L
ỜI
G

IẢI
1. Ta có
ሺ
ܾܽܿ൅ ݔݕݖ
ሻ
൬
1
ܽݕ
൅
1
ܾݖ
൅
1
ܿݔ
൰ൌ
ܾܿ
ݕ
൅
ܿܽ
ݖ
൅
ܾܽ
ݔ
൅
ݖݔ
ܽ
൅
ݔݕ
ܾ
൅

ݕݖ
ܿ
ൌ൬
ܾܿ
ݕ
൅ ܿ൰ ൅ ቀ
ܿܽ
ݖ
൅ ܽቁ൅ ൬
ܾܽ
ݔ
൅ ܾ൰ ൅ ቀ
ݖݔ
ܽ
൅ ݖቁ ൅ ቀ
ݔݕ
ܾ
൅ ݔቁ ൅ ቀ
ݕݖ
ܿ
൅ ݕቁ
െ
ሺ
ܽ ൅ ݔ൅ ܾ൅ ݕ൅ ܿ൅ ݖ
ሻ
ൌ
ܿ
ݕ
൅
ܽ

ݖ
൅
ܾ
ݔ
൅
ݖ
ܽ
൅
ݔ
ܾ
൅
ݕ
ܿ
െ 6
Theo bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ 2 số thì
ܽ
ݖ
൅
ݖ
ܽ
൒2,
ܾ
ݔ
൅
ݔ
ܾ
൒2,
ܿ
ݕ
൅

ݕ
ܿ
൒2
Cộng các bất ñẳng thức này vế theo vế ta suy ra ñiều phải chứng minh.

L
ỜI
G
IẢI
2.
Từ ñiều kiện ta có ݔቀ
௔
௫
൅ 1ቁൌݕቀ
௕
௬
൅ 1ቁൌݖቀ
௖
௭
൅ 1ቁ
Hay
௔
௫
൅ 1ൌ
ଵ
௫
,
௕
௬
൅ 1ൌ

ଵ
௬
,
௖
௭
൅ 1ൌ
ଵ
௭

ðặt
௔
௫
ൌ݉,
௕
௬
ൌ݊,
௖
௭
ൌ݌ thì ݉ ൅ 1ൌ
ଵ
௫
,݊൅ 1ൌ
ଵ
௬
,݌൅ 1ൌ
ଵ
௭

Và bất ñẳng thức cần chứng minh ñược viết lại thành
൬

ܾܽܿ
ݔݕݖ
൅ 1൰ቀ
ݔݖ
ܽ
൅
ݔݕ
ܾ
൅
ݕݖ
ܿ
ቁ൒3֞
ሺ
݉݊݌ ൅ 1
ሻ
൬
1
݉
ሺ
݌ ൅ 1
ሻ
൅
1
݊
ሺ
݉ ൅ 1
ሻ
൅
1
݌

ሺ
݊ ൅1
ሻ
൰൒3
֞
݉݊݌ ൅ 1
݉
ሺ
݌ ൅ 1
ሻ
൅ 1 ൅
݉݊݌ ൅ 1
݊
ሺ
݉ ൅ 1
ሻ
൅ 1 ൅
݉݊݌ ൅ 1
݌
ሺ
݊ ൅ 1
ሻ
൅ 1൒6
֞
݌
ሺ
݊ ൅ 1
ሻ
݌ ൅ 1
൅

݉
ሺ
݌ ൅ 1
ሻ
݉ ൅ 1
൅
݊
ሺ
݉ ൅ 1
ሻ
݊ ൅1
൅
݉ ൅ 1
݉
ሺ
݌ ൅ 1
ሻ
൅
݊ ൅1
݊
ሺ
݉ ൅ 1
ሻ
൅
݌ ൅ 1
݌
ሺ
݊ ൅ 1
ሻ
൒6

Dễ dàng chứng minh ñược bất ñẳng thức trên bằng bất ñẳng thức ܣܯെ ܩܯ 6 số.


B
ÀI
O 3. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻሺ
ܾ൅ ܿ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
ൌ1. Chứng minh rằng
ܾܽ ൅ ܾܿ ൅ ܿܽ൑
3
4

Romania 2005, Cezar Lupu
L
ỜI
G
IẢI
1.
This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 4

Từ bất ñẳng thức quen thuộc
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻሺ
ܾ൅ ܿ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
൒
଼
ଽ
ሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ሺܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽሻ và giả thiết suy ra
ሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻሺ
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
ሻ
൑
9
8

Hơn nữa ta cũng có ܽ൅ ܾ ൅ ܿ൒
ඥ
3
ሺ
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ

ሻ

Nên
ඥ
3
ሺ
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
ሻ
ଷ
൑
9
8

Từ ñây ta dễ dàng suy ra ñiều phải chứng minh.

L
ỜI
G
IẢI
2.
ðặt ܽ ൅ ܾൌݔ,ܾ൅ ܿൌݕ,ܿ൅ ܽൌݖ thì ݔݕݖൌ1 và ܽൌ
௫ା௭ି௬
ଶ
,ܾൌ
௫ା௬ି௭
ଶ
,ܿൌ
௬ା௭ି௫
ଶ

Và bất ñẳng thức cần chứng minh ñược viết lại thành
ݔ൅ ݕ െ ݖ
2
.
ݕ ൅ ݖെ ݔ
2
൅
ݕ ൅ ݖെ ݔ
2
.
ݖ ൅ ݔെ ݕ
2
൅
ሺ
ݖ ൅ ݔെ ݕ
ሻ
2
.
ݔ൅ ݕ െ ݖ
2
൑
3
4

Hay
ݔ
ଶ
൅ ݕ
ଶ
൅ ݖ

ଶ
൅ 3൒2ሺݔݕ ൅ ݕݖ൅ ݖݔሻ
Vì ݔݕݖൌ1 nên bất ñẳng thức này có thể viết lại thành
ݔ
ଶ
൅ ݕ
ଶ
൅ ݖ
ଶ
൅ 2ݔݕݖ ൅ 1൒2ሺݔݕ൅ ݕݖ ൅ ݖݔሻ
ðây là một bất ñẳng thức khá quen thuộc.


B
ÀI
O 4. Cho ܽ,ܾ,ܿ là các số thực không âm sao cho ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽൌ1. Chứng minh rằng
3 3 3
2
a a b b c c a b c
+ + + + + ≥ + +

Iran TST 2008
L
ỜI
G
IẢI
1
(Albanian Eagle)
.
Bất ñẳng thức cần chứng minh ñược viết lại thành

ܽ
ඥ
ܽ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
൅
ܾ
ඥ
ܾ
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
൅
ܿ
ඥ
ܿ
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ
൒2
ඨ
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻሺ
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
ሻ
ሺܽ൅ ܾሻ
ሺ
ܾ൅ ܿ

ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ

Áp dụng bất ñẳng thức ܬ݁݊ݏ݁݊ ñối với hàm ݂
ሺ
ݔ
ሻ
ൌ
ଵ
√
௫
ta có
ܽ
ඥ
ܽ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
൅
ܾ
ඥ
ܾ
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
൅
ܿ
ඥ
ܿ

ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
൒
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ට
ܽ
ଶ
ܾ ൅ ܾܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ܿ ൅ ܾܿ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ܽ ൅ ܿܽ
ଶ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ

Do ñó ta chỉ cần chứng minh
ሺ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ
ሺ
ܽ
ଶ
ܾ ൅ ܾܽ
ଶ

൅ ܾ
ଶ
ܿ൅ ܾܿ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ܽ ൅ ܿܽ
ଶ
൅ 2ܾܽܿ
ሻ
൒4
ሺ
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
ሻ
ሺܽ
ଶ
ܾ൅ ܾܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ܿ൅ ܾܿ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ܽ ൅ ܿܽ
ଶ
ሻ
Không mất tính tổng quát, giả sử ܿൌ݉݅݊ ሼܽ,ܾ,ܿሽ. Khi ñó bất ñẳng thức trên ñược viết lại thành
ሺ
ܽെ ܾ

ሻ
ଶ
ሺ
ܽ
ଶ
ܾ ൅ ܾܽ
ଶ
൅ ܽ
ଶ
ܿ൅ ܾ
ଶ
ܿ െ ܽܿ
ଶ
െ ܾܿ
ଶ
ሻ
൅ ܿ
ଶ
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ െ ܿ
ሻሺ
ܾെ ܿ
ሻ
൒0
Bất ñẳng thức này hiển nhiên ñúng do ܿൌ݉݅݊ ሼܽ,ܾ,ܿሽ.
Vậy, ta có ñiều phải chứng minh.

L

ỜI
G
IẢI
2 (VIMF).
Theo bất ñẳng thức ܯ݅݊ܿ݋݌ݔ݇݅ ta có
3 3 3 3 3 3
( ) ( ) ( )
a a b b c c a a ab bc ca b b ab bc ca c c ab bc ca
+ + + + + = + + + + + + + + + + +

( ) ( )
2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
a a b c abc b a b c abc c a b c abc a a b c abc
= + + + + + + + + + + + ≥ + + +
∑

( )
3
9
a b c abc
= + + +
.
Do ñó ta chỉ cần chứng minh

( ) ( )( )
3
3 2
9 2 3 ( )

a b c abc a b c ab bc ca a abc a b c
+ + + ≥ + + + + ⇔ + ≥ +
∑ ∑
.
ðây chính là bất ñẳng thức ࡿࢉࢎ࢛࢘ . Vậy bài toán ñược chứng minh .
This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 5



ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
ሺ
ܽ,ܾ,ܿ
ሻ
ൌ
1 1 1
; ;
3 3 3
 







 

hoặc ሺ1;1;0ሻ và các hoán vị.


B
ÀI
O 5. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ. Chứng minh rằng
ሺ
ܽ
ଶ
൅ 2
ሻሺ
ܾ
ଶ
൅ 2
ሻሺ
ܿ
ଶ
൅ 2
ሻ
൒9ሺܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽሻ
APMO 2004
LỜI GIẢI 1. ðặt ݐൌ
௕ା௖
ଶ
. Khi ñó
ሺ
ܾ
ଶ
൅ 2
ሻሺ

ܿ
ଶ
൅ 2
ሻ
ൌܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ 1 ൅ 2ܾ
ଶ
൅ 2ܿ
ଶ
൅ 3൒2ܾܿ൅ 2ܾ
ଶ
൅ 2ܿ
ଶ
൅ 3ൌ
ሺ
ܾ ൅ ܿ
ሻ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ 3
൒
3
2
ሺ

ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ
൅ 3
Và do ñó ta chỉ cần chứng minh
ሺ
ܽ
ଶ
൅ 2
ሻ
൬
3
2
ሺ
ܾ ൅ ܿ
ሻ
ଶ
൅ 3൰൒9
ሺ
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
ሻ
֞
ሾ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ
൅ 2
ሿ
ሺ

2 ൅ ܽ
ଶ
ሻ
൒6ሺܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽሻ
Theo bất ñẳng thức ܤݑ݄݊݅ܽܿ݋݌ݔ݇݅ thi
ሾ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ
൅ 2
ሿ
ሺ
2 ൅ ܽ
ଶ
ሻ
൒
൫
√
2
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
൅
√
2ܽ
൯
ଶ
ൌ2
ሺ

ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻ
ଶ
൒6
ሺ
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
ሻ

Và trường hợp rút ra ñược ñiều phải chứng minh.

L
ỜI
G
IẢI
2. Ta sẽ chứng minh bất ñẳng thức chặt hơn
ሺ
ܽ
ଶ
൅ 2
ሻ
ሺܾ
ଶ
൅ 2ሻሺܿ
ଶ
൅ 2ሻ൒ 3
ሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ
൅

ሺ
ܾܽܿെ 1
ሻ
ଶ

với mọi số thực dương ܽ,ܾ,ܿ
C
HỨNG
M
INH
. Bất ñẳng thức trên tương ñương với
2ሺܽ
ଶ
ܾ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ܽ
ଶ
ሻ ൅ 4ሺܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻ ൅ 2ܾܽܿ ൅ 7൒ 9ሺܾܽ ൅ ܾܿ ൅ ܿܽሻ

Theo bất ñẳng thức
AM GM
−
thì
2ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
൅ 2 ൅ 2ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ 2 ൅ 2ܿ
ଶ
ܽ
ଶ
൅ 2൒4ܾܽ ൅ 4ܾܿ ൅ 4ܿܽ
Và 3ܽ
ଶ
൅ 3ܾ
ଶ
൅ 3ܿ
ଶ
൒ 3ܾܽ ൅ 3ܾܿ ൅ 3ܿܽ
Nên ta chỉ cần chứng minh
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ

ଶ
൅ 2ܾܽܿ൅ 1൒2ሺܾܽ൅ ܾܿ ൅ ܿܽሻ
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số
ሺ
ܽ െ 1
ሻ
,
ሺ
ܾെ 1
ሻ
,
ሺ
ܿെ 1
ሻ
cùng dấu. Không mất tính tổng quát,
giả sử
ሺ
ܽെ 1
ሻሺ
ܾ െ 1
ሻ
൒0 thì 2ܿ
ሺ
ܽ െ 1
ሻሺ
ܾെ 1
ሻ
൒0֜2ܾܽܿ൒2ܾܿ ൅ 2ܿܽെ 2ܿ . Do ñó ta chỉ cần
chứng minh ܽ
ଶ

൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ 1൒2ܿ൅ 2ܾܽ֞
ሺ
ܽ െ ܾ
ሻ
ଶ
൅
ሺ
ܿ െ 1
ሻ
ଶ
൒0
Bất ñẳng thức trên luôn ñúng.
Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ1.
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽ ൌ ܾ ൌ ܿ ൌ 1

L
ỜI
G
IẢI
3 (VIMF). Ta sẽ chứng minh bất ñẳng thức chặt hơn bài toán ban ñầu nhưng trong phạm vi
rộng hơn với bài toán trong lời giải 2.
ሺܽ
ଶ
൅ 2ሻሺܾ
ଶ
൅ 2ሻሺܿ

ଶ
൅ 2ሻ൒ 3
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻ
ଶ

với mọi số thực ܽ,ܾ,ܿ
C
HỨNG
M
INH
. Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với
2ሺܽ
ଶ
ܾ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ܽ
ଶ
ሻ ൅ ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ

ଶ
൅ ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ 8൒ 6ሺܾܽ ൅ ܾܿ ൅ ܿܽሻ
Theo nguyên lí Dirichlet thì ܿ
ଶ
ሺ
ܽ
ଶ
െ 1
ሻ
ሺܾ
ଶ
െ 1ሻ൒ 0֜ ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൒ ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ ܿ

ଶ
ܽ
ଶ
. Do ñó ta chỉ
cần chứng minh
2
ሺ
ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ܽ
ଶ
ሻ
൅ 6൒4
ሺ
ܾܽ ൅ ܾܿ ൅ ܿܽ
ሻ
֞
ሺ
ܾܽ െ 1
ሻ
ଶ
൅

ሺ
ܾܿെ 1
ሻ
ଶ
൅
ሺ
ܿܽെ 1
ሻ
ଶ
൒ 0
Bất ñẳng thức trên luôn ñúng.
Vậy, ta có ñiều phải chứng minh. ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽ ൌ ܾ ൌ ܿ ൌ േ 1


B
ÀI
O 6. Cho các số thực ݔ,ݕ,ݖ sao cho ݔ൅ ݕ൅ ݖൌݔݕ൅ ݕݖ ൅ ݖݔ. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2 2
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
+ + +

Brazilian Math Olympiads
This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 6

L
ỜI
G
IẢI
1 (V
Õ
Q
UỐC
B
Á
C
ẨN
). Cho ݔൌݕൌെ1 và ݖൌ1 thì
−
=
1
2
P
, và ta sẽ chứng minh giá trị
nhỏ nhất của ܲ là
1
2
−
, tức là chứng minh
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2 1 1 1
x y z x y z
x y z x y z
− + + −
+ + ≥ ⇔ + ≥
+ + + + + +

Từ ñiều kiện ݔ ൅ ݕ൅ ݖൌݔݕ൅ ݕݖ ൅ ݖݔ ta có
( 1)
z x y x y xy
+ − = + −
.
Chú ý rằng ta không thể có
1
x y
+ =
, bởi vì nếu ngược là
1
x y
+ =
, thì
0
x y xy
+ − =
hay ݔݕൌ1,
mà
2
( ) 1
4 4
x y

xy
+
≤ =
(ñiều này vô lí) nên
1
x y
+ ≠
và ta có
1
x y xy
z
x y
+ −
=
+ −

Nên ta chỉ cần chứng minh
2 2 2
2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 1)
1 1 ( 1) ( )
x y xy
x y x y x y xy
+ + −
+ ≥
+ + + − + + −

Theo b
ất ñẳng thức ܥܽݑ݄ܿݕ െ ݄ܵܿݓܽݎݖ thì
[

]
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(1 )(1 ) (1 )(1 )
( 1) ( 1) 4( 1)
1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
x y y x
x y xy
x y x y y x x y y x
+ − + + −
+ + −
+ ≥ =
+ + + − + + − + − + + −

Nên ta chỉ cần chứng minh
2 2 2 2 2 2
4( 1) 4( ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
x y x y xy x y y x
+ − + + − ≥ + − + + −

2 2 2 2
( ) ( 3 3) (3 8 3) 3 3 1 0
f x y y x y y x y y
⇔ = − + − − + + − + ≥

Mà ta có
2 2 2 2 2 2
(3 8 3) 4( 3 3)(3 3 1) 3( 1) 0
f

y y y y y y y
= − + − − + − + = − − ≤
△
nên
( ) 0
f x
≥

Vậy ta có ñiều phải chứng minh.

L
ỜI
G
IẢI
2 (VIMF).
ðặt ܽ൅ ܾ ൅ ܿൌ݌,ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽൌݍ,ܾܽܿൌݎ, từ giả thiết ta có ݌ൌݍ
Cũng như dự ñoán trong lời giải 1 ta sẽ chứng minh giá trị nhỏ nhất của ܲ là െ
ଵ
ଶ
và ta chứng minh
2 2 2 2 2 2
1 3 1
1 1 1 2 2 2 1 2
x y z qr pq r p
x y z r p q q pr
− + − + −
+ + ≥ ⇔ ≥
+ + + + − + − +

֞2

ሺ
݌ݎ ൅ ݌
ଶ
െ 3ݎ൅ ݌
ሻ
൅
ሺ
ݎ
ଶ
൅ 2݌
ଶ
െ 2݌ െ 2݌ݎ൅ 1
ሻ
൒0֞ݎ
ଶ
െ 6ݎ൅ 4݌
ଶ
൅ 1൒0
Từ bất ñẳng thức ñúng
ሺ
ܾܽ െ ܿ
ሻ
ଶ
൅
ሺ
ܾܿെ ܽ
ሻ
ଶ
൅
ሺ

ܿܽ െ ܾ
ሻ
ଶ
൒0
ta thu ñược
ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ܽ
ଶ
൅ ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൒6ܾܽܿ֞
ሺ
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
ሻ
ଶ
൅
ሺ

ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻ
ଶ
൒2ܾܽܿ
ሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
൅ 2ሺܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ ൅ 6ܾܽܿ֞2݌
ଶ
൒6ݎ ൅2݌ݎ ൅ 2݌
Và do ñó
ݎ
ଶ
െ 6ݎ൅ 4݌
ଶ
൅ 1ൌݎ
ଶ
െ 6ݎ൅ 2݌
ଶ
൅ 1 ൅ 2݌
ଶ
൒ݎ
ଶ
െ 6ݎ൅ 2݌
ଶ
൅ 1 ൅ 6ݎ൅ 2݌ݎ ൅ 2݌
ൌ
ሺ
ݎ ൅ ݌
ሻ

ଶ
൅
ሺ
݌ ൅ 1
ሻ
ଶ
൒0
Phép chứng minh hoàn tất.


B
ÀI
O 7 . Cho a,b,c là các số dương và x,y,z là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
z x y y z x x y z
ab ca bc a b c
z y x
+ − + − + −
+ + ≤ + +

MIC Staff 2009 – T
RẦN
Q
UỐC
L
UẬT

L
ỜI
G
IẢI

1 (MIC Staff). Sử dụng bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ ta có
ඨ
ݖ൅ ݔ െ ݕ
ݖ
ܾܽ ൅
ඨ
ݕ ൅ ݖെ ݔ
ݕ
ܿܽൌ
√
ܽቌ
ඨ
ݖ ൅ ݔെ ݕ
ݖ
ܽ൅
ඨ
ݕ ൅ ݖെ ݔ
ݕ
ܿቍ
൑ܽ ൅
1
4
ቌ
ඨ
ݖ ൅ ݔെ ݕ
ݖ
ܾܽ ൅
ඨ
ݕ൅ ݖ െ ݔ
ݕ

ܿܽቍ
ଶ

This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 7



Nên ta chỉ cần chứng minh ñược
ඨ
ݔ൅ ݕ െ ݖ
ݖ
ܾܿ൅
1
4
ቌ
ඨ
ݖ ൅ ݔെ ݕ
ݖ
ܾܽ ൅
ඨ
ݕ൅ ݖ െ ݔ
ݕ
ܿܽቍ
ଶ
൑ܾ ൅ ܿ,
൬4 െ
ݖ൅ ݔ െ ݕ

ݖ
൰ܾ ൅ ൬4 െ
ݕ ൅ ݖെ ݔ
ݕ
൰ܿ൒2
቎
2
ඨ
ݔ ൅ ݕെ ݖ
ݔ
൅
ඨ
ሺ
ݖ ൅ ݔെ ݕ
ሻሺ
ݕ ൅ ݖെ ݔ
ሻ
ݕݖ
቏
√ܾܿ.
Chú ý rằng 4 െ
௭ା௫ି௬
௭
൐0 và 4 െ
௬ା௭ି௫
௬
൐0 nên sau khi áp dụng bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ, ta chỉ cần
chứng minh bất ñẳng thức sau
൬4 ൅
ݖ ൅ ݔെ ݕ

ݖ
൰൬4 െ
ݕ ൅ ݖെ ݔ
ݕ
൰൒
቎
2
ඨ
ݔ ൅ ݕെ ݖ
ݔ
൅
ඨ
ሺ
ݖ ൅ ݔെ ݕ
ሻሺ
ݕ ൅ ݖെ ݔ
ሻ
ݕݖ
቏
ଶ
.
Bất ñẳng thức này tương ñương với bất ñẳng thức sau
ݔ൅ ݕ െ ݖ
ݖ
൅
ݖ ൅ ݔെ ݕ
ݖ
൅
ݕ ൅ ݖെ ݔ
ݕ

൅
ඨ
ሺ
ݔ൅ ݕ െ ݖ
ሻሺ
ݕ ൅ ݖെ ݔ
ሻሺ
ݖ ൅ ݔെ ݕ
ሻ
ݔݕݖ
൑4
ðặt ݉ൌݕ ൅ ݖ െ ݔ,݊ൌݖ൅ ݔെ ݕ,݌ൌݔ ൅ ݕെ ݖ thì ݉,݊,݌ là các số dương và bất ñẳng thức trên trở
thành
݉
݉ ൅ ݌
൅
݊
݊ ൅ ݉
൅
݌
݌ ൅ ݊
൅
ඨ
2݉݊݌
ሺ
݉ ൅ ݊
ሻሺ
݊ ൅ ݌
ሻሺ
݌ ൅ ݉

ሻ
൑2֞
݉݊
ଶ
൅ ݊݌
ଶ
൅ ݌݉
ଶ
൅ ݉݊݌
ሺ
݉ ൅ ݊
ሻሺ
݊ ൅ ݌
ሻሺ
݌ ൅ ݉
ሻ
൒
ඨ
2݉݊݌
ሺ
݉ ൅ ݊
ሻሺ
݊ ൅ ݌
ሻሺ
݌ ൅ ݉
ሻ
֞݉݊
ଶ
൅ ݊݌
ଶ

൅ ݌݉
ଶ
൅ ݉݊݌
൒
ඥ
2݉݊݌
ሺ
݉ ൅ ݊
ሻሺ
݊ ൅ ݌
ሻሺ
݌ ൅ ݉
ሻ

Bình phương 2 vế của bất ñẳng thức này ta ñược bất ñẳng thức tương ñương là
݉
ଶ
݊
ସ
൅ ݊
ଶ
݌
ସ
൅ ݌
ଶ
݉
ସ
൒3݉
ଶ
݊

ଶ
݌
ଶ

Bất ñẳng thức này hiển nhiên ñúng theo bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ 3 số.
Vậy ta có ñiều phải chứng minh.

L
ỜI
G
IẢI
2 (MIC Staff). Giả sử rằng ݔ,ݕ,ݖ là ñộ dài 3 cạnh cảu tam giác ܣܤܥ. Khi ñó
ݖ ൅ ݔെ ݕ
ݖ
ൌ
ݏ݅݊ܣ െ ݏ݅݊ܤ൅ ݏ݅݊ܥ
ݏ݅݊ܥ
ൌ
2ݏ݅݊
ܣ
2
ܿ݋ݏ
ܤ
2
ܿ݋ݏ
ܥ
2

.
ðiều này dẫn ñến

ඨ
ݖ൅ ݔ െ ݕ
ݖ
ܾܽ ൅
ඨ
ݕ ൅ ݖെ ݔ
ݕ
ܿܽ൅
ඨ
ݔ൅ ݕ െ ݖ
ݖ
ܾܿ
ൌ
cos
ܤ
2
√
ܾܽݏ݅݊ܣ ൅ cos
ܣ
2
√
ܿܽݏ݅݊ܤ ൅ cos
ܥ
2
√
ܾܿݏ݅݊ܥ
ට
cos
ܣ
2

cos
ܤ
2
cos
ܥ
2
൑
ඩ
ቀܾܽܿ݋ݏ
ଶ
ܤ
2
൅ ܿܽܿ݋ݏ
ଶ
ܣ
2
൅ ܾܿܿ݋ݏ
ଶ
ܥ
2
ቁ
ሺ
ݏ݅݊ܣ ൅ ݏ݅݊ܤ൅ ݏ݅݊ܥ
ሻ
cos
ܣ
2
cos
ܤ
2

cos
ܥ
2

ሺ
ܥܽݑ݄ܿݕ ݄ܵܿݓܽݎݖ
ሻ
ൌ√2ܾܽܿ݋ݏܤ ൅ 2ܿܽܿ݋ݏܣ൅ 2ܾܿܿ݋ݏܥ൅ 2ܾܽ ൅ 2ܾܿ൅ 2ܿܽ
Mặt khác, với chú ý ở bất ñẳng thức quen thuộc
2ܾܽܿ݋ݏܤ ൅ 2ܿܽܿ݋ݏܣ ൅ 2ܾܿܿ݋ݏܥ൑ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ

Ta có thể dễ dàng suy ra kết quả của bài toán.

L
ỜI
G
IẢI
3 (VIMF).
Do ݔ,ݕ,ݖ là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác nên ñặt ݔൌ݇ ൅ ݉,ݕൌ݉൅ ݊,ݖൌ݊ ൅ ݇ ሺ݇,݉,݊ ൐0ሻ
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với
This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 8

2 2 2k n m
ab ca bc a b c
k n m n m k
+ + ≤ + +
+ + +

Không mất tính tổng quát, giả sử ݇ là số ở giữa ݉ và ݊. Theo bất ñẳng thức ܣܯെ ܩܯ, ta có
2 2 2 2 2 2
. .
k n m ka na k n mc
ab ca bc b c b
k n m n m k k n k n m n m k
+
+ + = + +
+ + + + + + +

1 2 2 2 1 2
2 2
2 2
ka na k n mc k n m
b c b a b c
k n k n m n m k m n m k
 
+ +
   
≤ + + + + + = + + +
   
 

+ + + + + +
   
 

Do ñó ta chỉ cần chứng minh
2
. ( )( ) 2 ( ) 2( )( )
2
c k n m
c k m k n m m n m n m k
m n m k
+
 
+ ≤ ⇔ + + + + ≤ + +
 
+ +
 

2
( )( ) 0
k mn km kn k m k n
⇔ + ≤ + ⇔ − − ≤

Bất ñẳng thức trên ñúng do ݇ là số ở giữa ݉ và ݊.
Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿ và ݔൌݕൌݖ.


B
ÀI
O 8. Cho các số dương ܽ,ܾ,ܿ. Biết rằng

a b c
≤ ≤
và
1 1 1
a b c
a b c
+ + = + +
. Chứng minh rằng
1
1
b
a c
≥
+ −

MIC Staff 2009 – Vasile Cirtoaje

L
ỜI
G
IẢI
1 (MIC Staff).
Từ giả thiết ܽ൑ܾ൑ܿ ta suy ra
ሺ
ܾ െ ܿ
ሻሺ
ܾെ ܽ
ሻ
൑0, hay là ܽܿ൑ܾሺܽ൅ ܿെ ܾሻ, từ ñó dẫn ñến
ܽ൅ ܾ൅ ܿൌ

1
ܽ
൅
1
ܾ
൅
1
ܿ
ൌ
ܽ൅ ܿ
ܽܿ
൅
1
ܾ
൒
ܽ൅ ܿ
ܾ
ሺ
ܽ ൅ ܿെܾ
ሻ
൅
1
ܾ
,
Suy ra
ܾ
ሺ
ܽ൅ ܿ
ሻ
ଶ

െ 2
ሺ
ܽ൅ ܿ
ሻ
൅ ܾ
ሺ
1 െ ܾ
ଶ
ሻ
൒0,
Và ta thu ñược
ܽ൅ ܿ൑
1 െ
√
ܾ
ସ
െ ܾ
ଶ
൅ 1
ܾ
hoặc ܽ൅ ܿ൒
1 ൅
√
ܾ
ସ
െ ܾ
ଶ
൅ 1
ܾ
,

Mặt khác, ta thấy ܽ൅ ܿ൐ܾ mà
ଵି√௕
ర
ି௕
మ
ାଵ
௕
൏ܾ nên không thể xảy ra trường hợp ܽ൅ ܿ൑
ଵି√௕
ర
ି௕
మ
ାଵ
௕
.
Như vậy, ta phải có
ܽ ൅ ܿ൒
1 ൅
√
ܾ
ସ
െ ܾ
ଶ
൅ 1
ܾ
൒
1 ൅ √ܾ
ଶ
ܾ
ൌ

1
ܾ
൅ 1
Hay là
ܾ൒
1
ܽ൅ ܿെ 1

Bất ñẳng thức của ta ñược chứng minh xong. Dễ thấy rằng từ các lập luận trên ta có ñẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ1.

L
ỜI
G
IẢI
2 (MIC Staff).
ðặt ݔൌ
ଵ
௔
,ݕൌ
ଵ
௕
,ݖൌ
ଵ
௖
thì ta phải chứng minh ݕ൑
ଵ
௫
൅
ଵ

௭
െ 1 với ݔ൒ݕ൒ݖ൐ሻ và ݔ൅ݕ൅ ݖൌ
ଵ
௫
൅
ଵ
௬
൅
ଵ
௭
. Từ giả thiết ݔ൅ ݕ൅ ݖൌ
ଵ
௫
൅
ଵ
௬
൅
ଵ
௭
, ta suy ra ñược
2ݕൌ
ሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
൬
1
ݔݕ
െ 1൰ ൅
ඨ
ሺ

ݔ൅ ݖ
ሻ
ଶ
൬
1
ݔݖ
െ 1൰
ଶ
൅ 4
Do ñó ta phải chứng minh
ሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
൬
1
ݔݖ
െ 1൰ ൅
ඨ
ሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
ଶ
൬
1
ݔݖ
െ 1൰
ଶ
൅ 4൑2൬
1
ݔ

൅
1
ݖ
െ 1 ൰
Hay là
This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 9



ඨ
ሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
ଶ
൬
1
ݔݖ
െ 1൰
ଶ
൅ 4൑
ሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
൬
1
ݔݖ
൅ 1൰ െ 2

Do
ሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
൬
1
ݔݖ
൅ 1൰ െ 2ൌݔ൅
1
ݔ
൅
ሺ
ݖ െ 1
ሻ
ଶ
ݖ
൐0
Nên ta có thể bình phương 2 vế bất ñẳng thức trên và thu gọn nó lại thành
4
ሺ
ݖ ൅ ݔ
ሻሺ
ݔ െ 1
ሻሺ
ݖ െ 1
ሻ
ݔݖ
൑0
Bất ñẳng thức này ñúng nếu ݔ൒1൒ݖ. Tuy nhiên, áp dụng giả thiết ݔ൅ ݕ ൅ ݖൌ
ଵ

௫
൅
ଵ
௬
൅
ଵ
௭
một lần
nữa, ta thấy rằng
2
ሺ
ݔ ൅ ݕ൅ ݖ
ሻ
ൌ2൬
1
ݔ
൅
1
ݕ
൅
1
ݖ
൰ൌݔ൅ ݕ ൅ ݖൌ
1
ݔ
൅
1
ݕ
൅
1

ݖ
ൌ൬ݔ൅
1
ݔ
൰ ൅ ൬ݕ ൅
1
ݕ
൰ ൅ ൬ݖ ൅
1
ݖ
൰൒6
Từ ñó suy ra
ݔ൒
ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
3
൒1,
1
ݖ
൒
1
ݔ
൅
1
ݕ
൅
1
ݖ
3
൒1֞ݖ൑1
Phép chứng minh của ta hoàn tất.

L
ỜI
G
IẢI
3 (VIMF). ðặt ܾܿൌݔ,ܽܿൌݕ,ܾܽൌݖ. Do
a b c
≤ ≤
nên
x y z
≥ ≥

Ta có
2 2 2
1 1 1
a b c ab bc ca a bc ab c abc x y z xy yz zx
a b c
+ + = + + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + +

Và bất ñẳng thức cần chứng minh ñược viết lại là
1 1
zx
ab bc b x z
y
+ ≥ + ⇔ + ≥ +

Chú ý rằng
x y z
≥ ≥
nên

2
( )
3 3 1
3
x y z
x y z xy yz zx x y z x x
+ +
+ + = + + ≤ ⇒ ≤ + + ≤ ⇒ ≥

Bây giờ ta xét 2 trường hợp
Trường hợp 1. Nếu
1
z
≥
thì ta chỉ cần chứng minh
zx
x
y
≥

Mà do
x y z
≥ ≥
và
1
x
≥
nên
1.
zx

x x
y
≥ ≥

Từ ñó ta có ñiều phải chứng minh
Trường hợp 2. Nếu
1
z
≤

Từ
x y z xy yz zx
+ + = + +
, suy ra
1
x z xz
y
x z
+ −
=
+ −
. Do ñó
( 1)
1 1 1 ( 1)( )
zx xz x z xz
x z x z x z x z x z xz xz
y x z xz x z xz
+ −
+ ≥ + ⇔ + − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ + − + − ≥
+ − + −

2
( ) ( )( 1) 0 ( )( 1) 0 ( )( 1)( 1) 0
x z x z xz x z x z xz x z x z
⇔ + − + + ≥ ⇔ + + − − ≥ ⇔ + − − ≥

Bất ñẳng thức trên ñúng do
1
x z
≥ ≥

Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ݔൌݕൌݖൌ1 hay ܽൌܾൌܿൌ1.


B
ÀI
O 9. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ thỏa mãn ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ൌ3. Chứng minh rằng
8
ሺ
2 െ ܽ
ሻሺ
2 െ ܾ
ሻሺ
2 െ ܿ

ሻ
൒
ሺ
ܽ൅ ܾܿ
ሻሺ
ܾ ൅ ܿܽ
ሻ
ሺܿ൅ ܾܽሻ
T
RẦN
Q
UỐC
L
UẬT
- MIC Staff 2009
L
ỜI
G
IẢI
1 (MIC Staff).
Giả sử ܿൌ݉݅݊ ሼܽ,ܾ,ܿሽ, suy ra 0൏ܿ൑1. Ta có các ñánh giá sau
2
ሺ
2 െ ܽ
ሻሺ
2 െ ܾ
ሻ
ൌ8െ 4
ሺ
ܽ ൅ ܾ

ሻ
൅ 2ܾܽൌ8െ 4
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ
൅
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ
ଶ
െ ܽ
ଶ
െ ܾ
ଶ
ൌ4െ ܽ
ଶ
െ ܾ
ଶ
൅
ሺ
ܽ ൅ ܾെ 2
ሻ
ଶ
൒4െ ܽ
ଶ
െ ܾ
ଶ
ൌ1൅ ܿ
ଶ
,

This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 10



ሺ
ܽ ൅ ܾܿ
ሻሺ
ܾ൅ ܿܽ
ሻ
൑
ሺ
ܽ ൅ ܾܿ൅ܾ ൅ ܿܽ
ሻ
ଶ
4
ൌ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
ଶ
ሺ
ܿ൅ 1
ሻ
ଶ
4
൑
ሺ

ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ሻሺ
ܿ
ଶ
൅ 1
ሻ
2
ൌ
ሺ
3 െ ܿ
ଶ
ሻሺ
ܿ ൅ 1
ሻ
ଶ
2
൑
ሺ
3 െ ܿ
ଶ
ሻሺ
ܿ
ଶ
൅ 1
ሻ
,
ܿ൅ ܾܽ൑ܿ൅

ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
2
ൌܿ൅
3 െ ܿ
ଶ
2
ൌ
3 ൅ 2ܿെ ܿ
ଶ
2
.
Vì vậy, ñể chứng minh bất ñẳng thức ñã cho ta chỉ cần chứng minh bất ñẳng thức sau là ñủ
8
ሺ
ܿെ 2
ሻ
൒
ሺ
3 െ ܿ
ଶ
ሻሺ
3 ൅ 2ܿ െ ܿ
ଶ
ሻ

Là một bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng vì
8

ሺ
2 െ ܿ
ሻ
െ
ሺ
3 െ ܿ
ଶ
ሻሺ
3 ൅ 2ܿ െ ܿ
ଶ
ሻ
ൌ
ሺ
7 െ ܿ
ଶ
ሻሺ
ܿ െ 1
ሻ
ଶ
൒0
Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ1.

L
ỜI
G
IẢI
2
(
MIC Staff). Tương tự như lời giải 1, ta cũng có ñánh giá 2
ሺ

2 െ ܽ
ሻሺ
2 െ ܾ
ሻ
൒1 ൅ ܿ
ଶ

Mặt khác theo bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ thì 2
ሺ
2 െ ܿ
ሻ
ൌ4െ 2ܿ൒4 െ
ሺ
ܿ
ଶ
൅ 1
ሻ
ൌܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ

Do vậy, theo bất ñẳng thức ܤݑ݄݊݅ܽܿ݋݌ݔ݇݅ thì
4
ሺ
2 െ ܽ
ሻሺ
2 െ ܾ
ሻሺ
2 െ ܿ

ሻ
൒
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ሻሺ
ܿ
ଶ
൅ 1
ሻ
ൌ
ඥ
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ሻ
ሺܿ
ଶ
൅ 1ሻ.
ඥ
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ሻ

ሺܿ
ଶ
൅ 1ሻ
൒
ሺ
ܽܿ൅ ܾ
ሻ
ሺܽ ൅ ܾܿሻ
Ngoài ra, áp dụng bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ ta cũng có
2ൌ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
2
൅
ܿ
ଶ
൅ 1
2
൒ܾܽ ൅ ܿ
Kết hợp với kết quả ở trên ta thu ñược ñiều phải chứng minh.


L
ỜI
G
IẢI
3 (VIMF). Không mất tính tổng quát, giả sử ܿൌ݉ܽݔ ሼܽ,ܾ,ܿሽ, khi ñó
3ൌܽ

ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൑3ܿ
ଶ
֜ܿ൒1, 3ൌܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൒2ܾܽ ൅ 1ܾ֜ܽ൑1,
Ta có
4 െ 2ܽൌܽ
ଶ
െ 2ܽ൅ 1 ൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൒ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ

ðánh giá tương tự ñối với ܾ và ܿ. Nhân các bất ñẳng thức lại với nhau ta ñược
8
ሺ
2 െ ܽ

ሻሺ
2 െ ܾ
ሻሺ
2 െ ܿ
ሻ
൒
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ሻ
ሺܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻ
ሺ
ܿ
ଶ
൅ ܽ
ଶ
ሻ

Và ta chỉ cần chứng minh ñược
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ

ሻሺ
ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻሺ
ܿ
ଶ
൅ ܽ
ଶ
ሻ
൒
ሺ
ܽ൅ ܾܿ
ሻሺ
ܾ ൅ ܿܽ
ሻሺ
ܿ൅ ܾܽ
ሻ
֞
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻሺ
ܽ
ଶ

ܾ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ܽ
ଶ
ሻ
െ ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൒ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ ܾܽܿ ൅ ܾܽܿ
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ

ଶ
ሻ
൅ ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ܽ
ଶ

Từ ñiều kiện ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ൌ3 ta thu gọn bất ñẳng thức này thành
2
ሺ
ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
൅ ܾ
ଶ

ܿ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ܽ
ଶ
ሻ
൒ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ 2ܾܽܿ֞ܿ
ଶ
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ሻ
െ 2ܾܽܿ൒ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
ሺܿ
ଶ
െ 1ሻ
Hay ta chỉ cần chứng minh
2ܿ

ଶ
ܾܽ െ 2ܾܽܿ൒ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
ሺ
ܿ
ଶ
െ 1
ሻ
֞2ܿ
ሺ
ܿെ 1
ሻ
൒ܾܽ
ሺ
ܿെ 1
ሻሺ
ܿ൅ 1
ሻ
֞2ܿ൒ܾܽሺܿ൅ 1ሻ
ðiều này hiển nhiên ñúng theo các ñánh giá 1൒ܾܽ,2ܿ൒ܿ ൅ 1
Vậy, ta có ñiều phải chứng minh.


B
ÀI
O 10. Chứng minh rằng nếu ܽ,ܾ,ܿ là các số dương thì
ܾܽܿ
ሺ

ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܾ ൅ ܿ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
൑
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ ൅ ܾ൅ 2ܿ
ሻ
ሺ
3ܽ൅ 3ܾ ൅ 2ܿ
ሻ
ଶ

T
RẦN
Q
UỐC

ANH
– MIC Staff 2009
L
ỜI
G
IẢI
1
(

MIC Staff). Theo bất ñẳng thức ܣܯ െܩܯ thì
ሺ
ܽ ൅ ܿ
ሻሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
ܾܽ
ൌ1൅
ܿ
ଶ
ܾܽ
൅ ܿ ൬
1
ܽ
൅
1
ܾ
൰൒1 ൅
4ܿ
ଶ
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ
ଶ
൅
4ܿ
ܽ൅ ܾ
ൌ
ሺ
ܽ ൅ ܾ൅ 2ܿ

ሻ
ଶ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
ଶ

Do ñó ta ñược
ܾܽܿ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܾ ൅ ܿ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
൑
ܿ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
ሺ
ܽ൅ ܾ൅ 2ܿ
ሻ
ଶ

Mặt khác ta thấy
This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources

Page 11



ܿ
ሺ
3ܽ ൅ 3ܾ൅ 2ܿ
ሻ
ଶ
ൌ
1
8
.8ܿ.
ሺ
3ܽ൅ 3ܾ ൅ 2ܿ
ሻ
.
ሺ
3ܽ ൅ 3ܾ൅ 2ܿ
ሻ
൑
1
8
൬
8ܿ൅ 3ܽ൅ 3ܾ ൅ 2ܿ൅ 3ܽ൅ 3ܾ൅ 2ܿ
3
൰
ଷ
ൌ
ሺ

ܽ ൅ ܾ൅ 2ܿ
ሻ
ଶ

Suy ra
ܿ
ሺ
ܽ൅ ܾ൅ 2ܿ
ሻ
ଶ
൑
ܽ൅ ܾ൅ 2ܿ
ሺ
3ܽ൅ 3ܾ ൅ 2ܿ
ሻ
ଶ

Nên từ ñây ta dễ dàng suy ra ñược ñiều phải chứng minh.

L
ỜI
G
IẢI
2
(
MIC Staff). Ta viết bất ñẳng thức cần chứng minh lại thành
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ ൅ ܾ൅ 2ܿ

ሻ
ܾܽܿ
൒
ሺ
3ܽ൅ 3ܾ ൅ 2ܿ
ሻ
ଶ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܾ ൅ ܿ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ

Sau khi phân tách và thu gọn ta thấy bất ñẳng thức có dạng tương ñương là
2൬
1
ܽ
൅
1
ܾ
൅
1
ܿ
൰ ൅
ܽ
ܾܿ
൅
ܾ

ܿܽ
൒
ሺ
3ܽ൅ 3ܾ ൅ 2ܿ
ሻ
ଶ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܾ൅ ܿ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ

ðến ñây áp dụng bất ñẳng thức ܥܽݑ݄ܿݕ െ ݄ܵܿݓܽݎݖ, ta thấy rằng
2൬
1
ܽ
൅
1
ܾ
൅
1
ܿ
൰ ൅
ܽ
ܾܿ
൅
ܾ
ܿܽ

ൌ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
ܾܿ
൅
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ܿܽ
൅
ܽ൅ ܾ
ܾܽ
ൌ
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻ
ଶ
ܾܿ
ሺ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
൅
ሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ
ܿܽ
ሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
൅
ሺ
ܽ൅ ܾ

ሻ
ଶ
ܾܽ
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ
൒
ሺ
3ܽ ൅ 3ܾ൅ 2ܿ
ሻ
ଶ
ܾܿ
ሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
൅ ܿܽ
ሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
൅ ܾܽ
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ
ൌ
ሺ
3ܽ ൅ 3ܾ൅ 2ܿ
ሻ
ଶ
ሺ
ܽ൅ ܾ

ሻሺ
ܾ ൅ ܿ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ

Phép chứng minh của ta hoàn tất.

L
ỜI
G
IẢI
3 (VIMF). Chuẩn hóa ܽ൅ ܾ ൅ ܿൌ1. Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh ñược viết lại
ܾܽܿ
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻሺ
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
ሻ
െ ܾܽܿ
൑
ሺ
1 െ ܿ
ሻሺ
1 ൅ ܿ
ሻ
ሺ
3 െ ܿ
ሻ
ଶ

֞
1
1
ܽ
൅
1
ܾ
൅
1
ܿ
െ 1
൑
1 െ ܿ
ଶ
ሺ
3 െ ܿ
ሻ
ଶ

Theo bất ñẳng thức ܥܽݑ݄ܿݕ െ ݄ܵܿݓܽݎݖ thì
1
1
ܽ
൅
1
ܾ
൅
1
ܿ
െ 1

൑
1
4
ܽ൅ ܾ
൅
1
ܿ
െ 1
ൌ
1
4
1 െ ܿ
൅
1
ܿ
െ 1
ൌ
ܿ
ሺ
1 െ ܿ
ሻ
ሺ
ܿ൅ 1
ሻ
ଶ

Do ñó ta chỉ cần chứng minh
ܿ
ሺ
1 െ ܿ

ሻ
ሺ
ܿ൅ 1
ሻ
ଶ
൑
1 െ ܿ
ଶ
ሺ
3 െ ܿ
ሻ
ଶ

Hay
ሺ
ܿ൅ 1
ሻ
ଷ
൒ܿ
ሺ
3 െ ܿ
ሻ
ଶ
֞
ሺ
3ܿെ 1
ሻ
ଶ
൒0
Bất ñẳng thức trên hiển nhiên ñúng. Vậy ta có ñiều phải chứng minh.



B
ÀI
O 11. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ,ݔ,ݕ,ݖ. Chứng minh rằng

2
( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4( )
bcx cay abz a b c
x y x z y z y x z x z y x y z
+ +
+ + ≤
+ + + + + + + +

ðề Thi Tài Năng Toán Học Trẻ THPT –
L
ỜI
G
IẢI
. ðặt
, ,
m x y n y z k z x
= + = + = +
thì bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với

2
( ) ( ) ( ) ( )
bc m k n ca m n k ab n k m a b c
mk mn nk m n k

+ − + − + − + +
+ + ≤
+ +

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
( )
bc m k n mk ca m n k mn ab n k m nk
a b c
mk mn nk
+ − + + − + + − +
⇔ + + ≤ + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )bc m k n ca m n k ab n k m
a b c
mk mn nk
+ − + − + −
⇔ + + ≤ + +

Nhưng từ cách ñặt ܴܽݒ݅ trên thì ta thấy ngay ݉,݊,݇ là ñộ dai 3 cạnh của tam giác
ABC
. Nên bất ñẳng
thức trên có thể viết lại thành
This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 12

2 2 2
2 cos 2 cos 2 cos
bc A ca B ab C a b c
+ + ≤ + +

Bất ñẳng thức này là một bất ñẳng thức ñã quá quên thuộc. Vậy ta có ñiều phải chứng minh.


B
ÀI
O 12. Cho ܽ,ܾ,ܿ là các số thực dương. Chứng minh bất ñẳng thức
( )
2 2 2
3
ab bc ca
a b c
c a b
+ + ≥ + +

Pháp 2005
L
ỜI
G
IẢI
1.Theo bất ñẳng thức ܣܯെ ܩܯ ta có
( )

2
2 2 2
3 3
ab bc ca ab bc bc ca ca ab
a b c
c a b c a a b b c
   
+ + ≥ + + = + +
   
   

Nên từ ñây ta suy ra ngay ñiều phải chứng minh.

L
ỜI
G
IẢI
2 (VIMF). Ta sẽ chứng minh bất ñẳng thức chặt hơn là
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
ab bc ca a b b c c a
a b c
c a b a b b c c a
+ + +
+ + ≥ + + ≥ + +
+ + +

Trước tiên ta chứng minh

( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
a b b c c a
a b c
a b b c c a
+ + +
+ + ≥ + +
+ + +

Bất ñẳng thức trên tương ñương với
( )
2 2
2 2 2
3 ( )
2
a b a b
a b c a b c
a b
 
+ +
− ≥ + + − + +
 
+
 
∑

Ta ñưa về dạng ࡿ.ࡻ.ࡿ với

( )
2 2 2
1 1
;
2( )
3
a
S
b c
a b c a b c
= −
+
+ + + + +
( )
2 2 2
1 1
;
2( )
3
b
S
a c
a b c a b c
= −
+
+ + + + +
( )
2 2 2
1 1
2( )

3
c
S
b a
a b c a b c
= −
+
+ + + + +
.

Dễ thấy các
, ,
a b c
S S S

ñều dương nên bất ñẳng thức trên ñúng.
Tiếp theo ta chứng minh
2 2 2 2 2 2
ab bc ca a b b c c a
c a b a b b c c a
+ + +
+ + ≥ + +
+ + +

Bất ñẳng thức này tương ñương với
2 2
2 2
ab a b a b a b
c a b
 

+ + +
 
− ≥ −
 
 
+
 
 
∑ ∑
.
Ta cũng ñưa về dạng ࡿ.ࡻ.ࡿ với
1 1 1
; ;
a b c
a b c
S S S
bc b c ac a c ab b a
= − = − = −
+ + +
.
Không mất tính tổng quát, giả sử
a b c
≥ ≥
thì theo bất ñẳng thức ܣܯ െܩܯ ta có
1 1 1 1 2 1 1
2. . 0
( ) ( )
a c
a c a c a c
S S

bc ab b a b c bc ab b a b c b b a b c b b a b b c
+ = + − − ≥ − − = − − = + >
+ + + + + + + +
Tương tự
1 ( )
0; 0
( )
b c b
b a b c bc
S S S
ac a c ac a c
− +
+ > = − = ≥
+ +
.
Vậy bất ñẳng thức trên ñược chứng minh.


B
ÀI
O 13. Cho các số thực dương ݔ,ݕ,ݖ. Chứng minh rằng
ݔ
ଷ
ሺ
ݕ
ଶ
൅ ݖ
ଶ
ሻ
ଶ

൅ ݕ
ଷ
ሺ
ݖ
ଶ
൅ ݔ
ଶ
ሻ
ଶ
൅ ݖ
ଷ
ሺ
ݔ
ଶ
൅ ݕ
ଶ
ሻ
൒ݔݕݖ
ሾ
ݔݕ
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻ
ଶ
൅ ݕݖ
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଶ
൅ ݖݔ

ሺ
ݖ ൅ ݔ
ሻ
ଶ
ሿ

USA TST 2009
L
ỜI
G
IẢI
1 (VIMF).
Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với
This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 13



ݔ
ሾ
ሺ
ݔݕ
ଶ
൅ ݔݖ
ଶ
ሻ
ଶ
െ

ሺ
ݕ
ଶ
ݖ ൅ ݕݖ
ଶ
ሻ
ଶ
ሿ
൅ ݕ
ሾ
ሺ
ݕݖ
ଶ
൅ ݕݔ
ଶ
ሻ
ଶ
െ
ሺ
ݔ
ଶ
ݖ ൅ ݔݖ
ଶ
ሻ
ଶ
ሿ
൅ ݖ
ሾ
ሺ
ݖݔ

ଶ
൅ ݖݕ
ଶ
ሻ
ଶ
െ
ሺ
ݔ
ଶ
ݕ ൅ ݔݕ
ଶ
ሻ
ଶ
ሿ
൒0
֞ݔ
ሺ
ݔݕ
ଶ
൅ ݔݖ
ଶ
൅ ݕ
ଶ
ݖ ൅ ݕݖ
ଶ
ሻ
ሾ
ݕ
ଶ
ሺ

ݔ െ ݖ
ሻ
൅ ݖ
ଶ
ሺ
ݔ െ ݕ
ሻ
ሿ
൅ ݕ
ሺ
ݕݔ
ଶ
൅ ݕݖ
ଶ
൅ ݔ
ଶ
ݖ ൅ ݔݖ
ଶ
ሻ
ሾ
ݔ
ଶ
ሺ
ݕ െ ݖ
ሻ
൅ ݖ
ଶ
ሺ
ݕ െ ݔ
ሻ

ሿ
൅ ݖ
ሺ
ݖݔ
ଶ
൅ ݖݕ
ଶ
൅ ݔ
ଶ
ݕ ൅ ݔݕ
ଶ
ሻ
ሾ
ݔ
ଶ
ሺ
ݖ െ ݕ
ሻ
൅ ݕ
ଶ
ሺ
ݖ െ ݔ
ሻ
ሿ
൒0
Hay
ݔ
ଶ
ሺ
ݕ െ ݖ

ሻሺ
ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
൅ ݕݖ
ଶ
൅ ݔ
ଶ
ݕݖ ൅ ݔݕݖ
ଶ
െ ݔ
ଶ
ݖ
ଶ
െ ݖ
ଶ
ݕ
ଶ
െ ݔ
ଶ
ݕݖ െ ݔݕ
ଶ
ݖ
ሻ
൅ ݕ
ଶ
ሺ
ݖ െ ݔ
ሻሺ

ݔ
ଶ
ݖ
ଶ
൅ ݖ
ଶ
ݕ
ଶ
൅ ݔ
ଶ
ݕݖ ൅ ݔݕ
ଶ
ݖ െ ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
െ ݔ
ଶ
ݖ
ଶ
െ ݔݕ
ଶ
ݖ െ ݔݕݖ
ଶ
ሻ
൅ ݖ
ଶ
ሺ
ݔെ ݕ
ሻሺ

ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
൅ ݖ
ଶ
ݔ
ଶ
൅ ݔݕ
ଶ
ݖ ൅ ݔݕݖ
ଶ
െ ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
െ ݕ
ଶ
ݖ
ଶ
െ ݔ
ଶ
ݕݖ െ ݔݕݖ
ଶ
ሻ
൒0
֞ݔ
ଷ
ሺ
ݕ െ ݖ

ሻ
ଶ
ሺ
ݔݕ ൅ ݔݖ െ ݕݖ
ሻ
൅ ݕ
ଷ
ሺ
ݖ െ ݔ
ሻ
ଶ
ሺ
ݔݕ ൅ ݕݖ െ ݖݔ
ሻ
൅ ݖ
ଷ
ሺ
ݔെ ݕ
ሻ
ଶ
ሺ
ݕݖ ൅ ݖݔെ ݔݕ
ሻ
൒0
Ta ñưa về dạng ܵ.ܱ.ܵ
ܵൌܵ
௫
ሺ
ݕ െ ݖ
ሻ

ଶ
൅ ܵ
௬
ሺ
ݖ െ ݔ
ሻ
ଶ
൅ ܵ
௭
ሺ
ݔെ ݕ
ሻ
ଶ
൒0
Trong ñó ܵ
௫
ൌݔ
ଷ
ሺ
ݔݕ ൅ ݖݔെ ݕݖ
ሻ
,ܵ
௬
ൌݕ
ଷ
ሺ
ݔݕ ൅ ݕݖെ ݖݔ
ሻ
,ܵ
௭

ൌݖ
ଷ
ሺݕݖ ൅ ݖݔെ ݔݕሻ
Không mất tính tổng quát, giả sử ݔ൒ݕ൒ݖ. Khi ñó dễ thấy ܵ
௬
൒0
Ta có
ܵ
௫
൅ ܵ
௬
ൌݔ
ସ
ݕ ൅ ݔ
ଷ
ݖ
ሺ
ݔെ ݕ
ሻ
൅ ݔݕ
ସ
൅ ݕ
ଷ
ݖ
ሺ
ݕ െ ݔ
ሻ
൒ݖ
ሺ
ݔെ ݕ

ሻሺ
ݔ
ଷ
െ ݕ
ଷ
ሻ
ൌݖ
ሺ
ݔെ ݕ
ሻ
ଶ
ሺ
ݔ
ଶ
൅ ݔݕ ൅ ݕ
ଶ
ሻ
൒0,
ܵ
௬
൅ ܵ
௭
ൌݕ
ସ
ݖ ൅ ݔݕ
ଷ
ሺ
ݕ െ ݖ
ሻ
൅ ݕݖ

ସ
൅ ݔݖ
ଷ
ሺ
ݖ െ ݕ
ሻ
൒ݔ
ሺ
ݕ െ ݖ
ሻሺ
ݕ
ଷ
െ ݖ
ଷ
ሻ
ൌݔ
ሺ
ݕെ ݖ
ሻ
ଶ
ሺ
ݕ
ଶ
൅ ݕݖ ൅ ݖ
ଶ
ሻ
൒0
Do ñó ܵൌ
൫
ܵ

௫
൅ ܵ
௬
൯
ሺ
ݕ െ ݖ
ሻ
ଶ
൅
൫
ܵ
௬
൅ ܵ
௭
൯
ሺ
ݔെ ݕ
ሻ
ଶ
൅ 2ܵ
௬
ሺ
ݔ െ ݕ
ሻሺ
ݕ െ ݖ
ሻ
൒0
Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ݔൌݕൌݖ.

L

ỜI
G
IẢI
2 (V
Õ
Q
UỐC
B
Á
C
ẨN
).
ðặt ݔൌ
ଵ
௔
,ݕൌ
ଵ
௕
,ݖൌ
ଵ
௖
thì bất ñẳng thức trở thành
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ሻ
ଷ
ܿ

ଷ
ܽ
ସ
ܾ
ସ
൅
ሺ
ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻ
ଶ
ܽ
ଷ
ܾ
ସ
ܿ
ସ
൅
ሺ
ܿ
ଶ
൅ ܽ
ଶ
ሻ
ଶ
ܾ
ଷ
ܿ

ସ
ܽ
ସ
൒
1
ܾܽܿ
ቆ
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ
ଶ
ܽ
ଷ
ܾ
ଷ
൅
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ
ܾ
ଷ
ܿ
ଷ
൅
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
ଶ
ܿ

ଷ
ܽ
ଷ
ቇ

Hay ܽ
ሺ
ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻ
ଶ
൅ ܾ
ሺ
ܿ
ଶ
൅ ܽ
ଶ
ሻ
ଶ
൅ ܿ
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ሻ
ଶ
൒ܽ

ଷ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ
൅ ܾ
ଷ
ሺ
ܿ ൅ ܽ
ሻ
ଶ
൅ ܿ
ଷ
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ
ଶ

Chú ý rằng
ܽ
ሺ
ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻ
ଶ
൅ ܾ
ሺ
ܿ

ଶ
൅ ܽ
ଶ
ሻ
ଶ
൅ ܿ
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ሻ
ଶ
ൌܽ
ሺ
ܾ
ସ
൅ ܿ
ସ
ሻ
൅ ܾ
ሺ
ܿ
ସ
൅ ܽ
ସ
ሻ
൅ ܿ
ሺ
ܽ

ସ
൅ ܾ
ସ
ሻ
൅ 2
ሺ
ܾܽ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ ܾܿ
ଶ
ܽ
ଶ
൅ ܿܽ
ଶ
ܾ
ଶ
ሻ
ൌܽ
ସ
ሺ
ܾ ൅ ܿ
ሻ
൅ ܾ
ସ
ሺ
ܿ ൅ ܽ
ሻ
൅ ܿ

ସ
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ
൅ ܽ
ଶ
ܾܿ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
൅ ܾ
ଶ
ܿܽ
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
൅ ܿ
ଶ
ܾܽሺܽ൅ ܾሻ
Do ñó bất ñẳng thức ñược viết lại thành
ሾ
ܽ
ସ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
൅ ܽ
ଶ
ܾܿ
ሺ

ܾ൅ ܿ
ሻ
െ ܽ
ଷ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ
ሿ
൅
ሾ
ܾ
ସ
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
൅ ܾ
ଶ
ܿܽ
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
െ ܾ
ଷ
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
ଶ
ሿ
൅

ሾ
ܿ
ସ
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ
൅ ܿ
ଶ
ܾܽ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
െ ܿ
ଷ
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ
ଶ
ሿ
൒0
Hay ܽ
ଶ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻሺ
ܽെ ܾ
ሻሺ
ܽ െ ܿ
ሻ
൅ ܾ

ଶ
ሺ
ܿ ൅ ܽ
ሻሺ
ܾെ ܿ
ሻሺ
ܾെ ܽ
ሻ
൅ ܿ
ଶ
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻሺ
ܿെ ܽ
ሻሺ
ܿെ ܾ
ሻ
൒0
Dễ dàng chứng minh ñược bất ñẳng thức này ñúng theo bất ñẳng thức ܸ݋݊݅ܿݑݎ ݄ܵܿݑݎ.
Vậy, ta có ñiều phải chứng minh.

N
HẬN
X
ÉT
. V
Õ
Q
UỐC
B

Á
C
ẨN
còn lưu ý rằng bất ñẳng thức trên còn thế viết lại thành bất ñẳng thức
ñúng sau
ݔ
ሺ
ݕ െ ݖ
ሻ
ଶ
ሺ
ݔݕ ൅ ݔݖ െ ݕݖ
ሻ
ଶ
൅ ݕ
ሺ
ݖ െ ݔ
ሻ
ଶ
ሺ
ݕݖ ൅ ݔݕ െ ݖݔ
ሻ
ଶ
൅ ݖ
ሺ
ݔെ ݕ
ሻ
ଶ
ሺ
ݖݔ൅ ݕݖ െ ݔݕ

ሻ
ଶ
൒0


B
ÀI
O 14. Chứng minh rằng với các số thực dương ݔ,ݕ,ݖ thõa mãn ݔ
ሺ
ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
ሻ
ൌ3ݕݖ, ta có
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻ
ଷ
൅
ሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
ଷ
൅ 3
ሺ
ݔ ൅ ݕ
ሻሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻሺ
ݖ ൅ ݔ
ሻ
൑5

ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ

Tuyển Sinh ðại Học Khối A 2009
L
ỜI
G
IẢI
.
Trước tiên là 2 bổ ñề ñược dùng xuyên suốt trong các lời giải của chúng ta
B
Ồ
ð
Ề
1. ݔ൑
ඥ
ݕݖ
Chứng minh 1. Theo bất ñẳng thức ܣܯെ ܩܯ ta có
3ݕݖൌݔ
ଶ
൅ ݔ
ሺ
ݕ൅ ݖ
ሻ
൒ݔ
ଶ
൅ 2ݔ
ඥ

ݕݖ֞
൫
ݔെ
ඥ
ݕݖ
൯൫
ݔ൅ 3
ඥ
ݕݖ
൯
൑0֜ݔ൑
ඥ
ݕݖ
Chứng minh 2. Từ ñiều kiện ta có
4ݕݖൌ
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
൒2
ඥ
ݔݕ.2
√
ݔݖ֜
ඥ
ݕݖ൒ݔ
This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources

Page 14



B
Ổ
ð
Ề
2. 2ݔ൑ݕ൅ ݖ
Chứng minh 1. Theo bất ñẳng thức ܣܯെ ܩܯ ta có
ݔ
ଶ
൅ ݔ
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ൌ3ݕݖ൑
3
4
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଶ
֞൬ݔെ
ݕ ൅ ݖ
2
൰
ቆ
ݔ ൅
3

2
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ቇ
൑0֜2ݔ൑ݕ ൅ ݖ
Chứng minh 2. Từ ñiều kiện ta có
ሺ
ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
ሻ
ൌ3ݔݕݖ൑
ሺ
ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ
9
֜ݔ
ଶ
൑
ሺ
ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଶ
9
֜2ݔ൑ݕ ൅ ݖ
Chứng minh 3. Theo bổ ñề 1 thì
ݔ൑
ඥ
ݕݖ൑
ݕ൅ ݖ

2
֜2ݔ൑ݕ ൅ ݖ

L
ỜI
G
IẢI
1 (ð
ÁP
Á
N
B
Ộ
GD&ðT – P
HAN
H
UY
K
HẢI
).
ðặt ܽൌݔ൅ ݕ,ܾൌݔ൅ ݖ,ܿൌݕ ൅ ݖ thì ݔൌ
௔ା௕ି௖
ଶ
,ݕൌ
௔ା௖ି௕
ଶ
,ݖൌ
௕ା௖ି௔
ଶ
và ñiều kiện ݔ

ሺ
ݔ൅ ݕ ൅
ݖ
ሻ
ൌ3ݕݖ trở thành ܿ
ଶ
ൌܽ
ଶ
െ ܾܽ ൅ܾ
ଶ
.
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương
ܽ
ଷ
൅ ܾ
ଷ
൅ 3ܾܽܿ൑5ܿ
ଷ
֞
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ
ଶ
െ ܾܽ ൅ ܾ
ଶ
ሻ
൅ 3ܾܽܿ൑5ܿ
ଷ
֞

ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ
ܿ
ଶ
൅ 3ܾܽܿ൑5ܿ
ଷ
֞
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ
ܿ൅ 3ܾܽ൑5ܿ
ଶ

Theo bổ ñề 2 ta thu ñược ܽ ൅ ܾ൑2ܿ
Suy ra
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ
ܿ൑2ܿ
ଶ
và 3ܾܽ൑
ଷ
ସ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
ଶ
൑3ܿ
ଶ

Từ ñây ta suy ra ñiều phải chứng minh.
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿ hay ݔൌݕൌݖ.

L
ỜI
G
IẢI
2 (L
Ê
T
HỐNG
N
HẤT
và các cộng sự). Từ giả thiết ta có
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
ൌ4ݕݖ
ðặt ܽൌݔ൅ݕ,ܾൌݔ ൅ ݖ. Ta có
ሺ
ܽെ ܾ
ሻ
ଶ
ൌ
ሺ
ݕ െ ݖ
ሻ

ଶ
và ܾܽൌ4ݕݖ
Mặt khác
ܽ
ଷ
൅ ܾ
ଷ
ൌ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ
ଶ
െ ܾܽ ൅ ܾ
ଶ
ሻ
൑
ඥ
2
ሺ
ݕ
ଶ
൅ ݖ
ଶ
ሻ
ሾ
ሺ
ܽ െ ܾ
ሻ
ଶ

൅ ܾܽ
ሿ
ൌ
ඥ
2
ሾ
ሺ
ܽെ ܾ
ሻ
ଶ
൅ 2ܾܽ
ሿሾ
ሺ
ܽ െ ܾ
ሻ
ଶ
൅ ܾܽ
ሿ
ൌ
ඥ
2ሾ
ሺ
ݕ െ ݖ
ሻ
ଶ
൅ 8ݕݖሿ
ሾ
ሺ
ݕ െ ݖ
ሻ

ଶ
൅ 4ݕݖ
ሿ
ൌ
ඥ
2
ሾ
ሺ
ݕ൅ ݖ
ሻ
ଶ
൅ 4ݕݖ
ሿ
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଶ
൑2
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ

Ta lại có 3
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻሺ
ݔ൅ ݖ
ሻሺ
ݕ ൅ ݖ

ሻ
ൌ12ݕݖ
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
൑3
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ

Cộng 2 bất ñẳng thức trên vế theo vế ta có ñiều phải chứng minh.

L
ỜI
G
IẢI
3 (N
GUYỄN
A
NH
D
ŨNG
và các cộng sự).
ðặt ݐൌݕ൅ ݖ, từ giả thiết suy ra ݕݖൌ
௫
మ
ା௫௧
ଷ

Theo bổ ñề 2 thì 2ݔ൑ݐ
Bất ñẳng thức phải chứng minh tương ñương với
ሺ
2ݔ ൅ ݕ൅ ݖ
ሻ
ଷ
െ 3
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻሺ
ݔ൅ ݖ
ሻሺ
2ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
ሻ
൅ 3
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻሺ
ݔ൅ ݖ
ሻሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
൑5
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ
֞
ሺ
2ݔ൅ ݕ ൅ ݖ

ሻ
ଷ
െ 3
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
2ݔ൑5
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଶ
֞
ሺ
2ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ
െ 6ݔ
ሾ
ݔ
ଶ
൅ ݔ
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
൅ ݕݖ
ሿ
൑5
ሺ

ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ
֞
ሺ
2ݔ൅ ݐ
ሻ
ଷ
െ 6ݔቈݔ
ଶ
൅ ݔݐ ൅
ݔ
ଶ
൅ ݔݐ
3
቉൑5ݐ
ଷ
֞2ݐ
ሺ
2ݔ
ଶ
൅ 3ݔݐെ 2ݐ
ଶ
ሻ
൑0
Vì 0൏ݔ൑
௧
ଶ
֜2ݔ
ଶ

൅ 3ݔݐ൑
௧
మ
ଶ
൅
ଷ௧
మ
ଶ
ൌ2ݐ
ଶ
֜2ݔ
ଶ
൅ 3ݔݐ െ 2ݐ
ଶ
൑0
Từ ñây suy ra ñiều phải chứng minh.

L
ỜI
G
IẢI
4 (B
ÁO
T
UỔI
T
RẺ
Online & T
HANH
N

IÊN
Online).
Từ ñiều kiện ݔ
ሺ
ݔ൅ ݕ൅ ݖ
ሻ
ൌ3ݕݖ suy ra 1 ൅
௬
௫
൅
௭
௫
ൌ3.
௬
௫
.
௭
௫

Theo bổ ñề 2 thì ݐൌݑ൅ ݒ൒2
Chia 2 vế của bất ñẳng thức cần chứng minh cho ݔ
ଷ
thì ta ñược bất ñẳng thức tương ñương là
This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 15

ሺ
1 ൅ ݑ
ሻ
ଷ
൅
ሺ
1 ൅ ݒ
ሻ
ଷ
൅ 3
ሺ
1 ൅ ݑ
ሻሺ
1 ൅ ݒ
ሻሺ
ݑ ൅ݒ
ሻ
൑5
ሺ
ݑ ൅ݒ
ሻ
ଷ
֞
ሺ
2 ൅ ݐ
ሻ
ଷ
െ 3
ሺ
1 ൅ ݑ

ሻ
ଶ
ሺ
1 ൅ ݒ
ሻ
െ 3
ሺ
1 ൅ ݑ
ሻሺ
1 ൅ ݒ
ሻ
ଶ
൅ 3
ሺ
1 ൅ ݑ
ሻሺ
1 ൅ ݒ
ሻ
ݐ൑5ݐ
ଷ
֞
ሺ
2 ൅ ݐ
ሻ
ଷ
െ 6
ሺ
1 ൅ ݑ
ሻሺ
1 ൅ ݒ

ሻ
൑5ݐ
ଷ
֞
ሺ
2 ൅ ݐ
ሻ
ଷ
െ 6
ሺ
1 ൅ ݑ ൅ ݒ൅ݑݒ
ሻ
൑5ݐ
ଷ
֞
ሺ
2 ൅ ݐ
ሻ
ଷ
െ 6൬1 ൅ ݐ൅
1 ൅ ݐ
3
൰൑5ݐ
ଷ
֞4ݐ
ଷ
െ 6ݐ
ଶ
െ 4ݐ൒0֞ݐ
ሺ

2ݐ ൅ 1
ሻሺ
ݐെ 2
ሻ
൒0
Bất ñẳng thức cuối hiển nhiên ñúng với ݐ൒2.

L
ỜI
G
IẢI
5 (canhang_2007). Theo bổ ñề 1 thì ݔ൑
ඥ
ݕݖ và chú ý
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
ൌ4ݕݖ
Sử dụng hằng ñẳng thức ݑ
ଷ
൅ ݒ
ଷ
ൌݑݒ
ሺ
ݑ ൅ݒ
ሻ
൅
ሺ

ݑ െݒ
ሻ
ଶ
ሺݑ ൅ ݒሻ ta ñược
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻ
ଷ
൅
ሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
ଷ
ൌ
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻሺ
ݔ൅ ݖ
ሻሺ
2ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
ሻ
൅
ሺ
ݕ െ ݖ
ሻ
ଶ
ሺ
2ݔ ൅ ݕ൅ ݖ
ሻ
൑4ݕݖ

൫
2
ඥ
ݕݖ ൅ ݕ൅ ݖ
൯
൅
ሺ
ݕെ ݖ
ሻ
ଶ
൫
2
ඥ
ݕݖ ൅ ݕ ൅ ݖ
൯
ൌ
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଶ
൫
ඥ
ݕ ൅
√
ݖ
൯
ଶ
൑2
ሺ
ݕ ൅ ݖ

ሻ
ଷ

Ngoài ra ta cũng có 3
ሺ
ݔ ൅ ݕ
ሻሺ
ݔ൅ ݖ
ሻሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ൌ12ݕݖ
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
൑3
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ

Nên cộng 2 ñánh giá này ta có ñiều phải chứng minh.

L
ỜI
G
IẢI
6 (tanpham90). Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với
ݔ
ଷ

൅ 3ݔ
ଶ
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
൅ 3ݔ
ሾ
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଶ
െ 2ݕݖ
ሿ
൅ 3ݔݕݖ൑2
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ
֞ݔ
ଷ
൅ 3ݔ
ଶ
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
൅ 3ݔ
൤
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ

ଶ
െ
2
3
ݔ
ሺ
ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
ሻ
൨
൅ 3ݔݕݖ൑2
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ

ðặt ݕ ൅ ݖൌ2ܽ. Ta có
ݔ
ଷ
൅ 6ݔ
ଶ
ܽ ൅ 3ݔ
൤
4ܽ
ଶ
െ
2
3
ݔ
ሺ
ݔ൅ 2ܽ

ሻ
൨
൅ ݔ
ଶ
ሺݔ ൅ ܽሻ൑16ܽ
ଷ
֞4
ሺ
ݔെ ܽ
ሻሺ
ݔ൅ 4ܽ
ሻ
ܽ൑0
Theo bổ ñề 2 ta có ñiều phải chứng minh.

L
ỜI
G
IẢI
7 (V
IMF
). Theo bổ ñề 2 thì 2ݔ൑ݕ൅ ݖ
Áp dụng ñẳng thức ܽ
ଷ
൅ ܾ
ଷ
൅ ܿ
ଷ
െ 3ܾܽܿൌ
ሺ

ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ሺܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
െ ܾܽ െܾܿെ ܿܽሻ
Lần lượt thay ܽ,ܾ,ܿ bởi ݔ൅ ݕ,ݔ൅ ݖ,െሺݖ൅ ݔሻ ta ñược
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻ
ଷ
൅
ሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
ଷ
൅ 3
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻሺ
ݖ ൅ ݔ
ሻ
൑5
ሺ
ݕ ൅ ݖ

ሻ
ଷ
֞
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻ
ଷ
൅
ሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
ଷ
െ
ሺ
ݕ൅ ݖ
ሻ
ଷ
൅ 3
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻሺ
ݖ ൅ ݔ
ሻ
൑4
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ

֞
ሺ
ݔ൅ ݕ ൅ ݔ൅ ݖെ ݕെ ݖ
ሻ
ሾ
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻ
ଶ
൅
ሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
ଶ
൅
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଶ
൅
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
൅
ሺ
ݔ൅ ݖ
ሻሺ
ݕ ൅ ݖ

ሻ
െ
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻሺ
ݔ൅ ݖ
ሻ
ሿ
൑4
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ
֞2ݔ
൫
ݔ
ଶ
൅ 3ݕ
ଶ
൅ 3ݖ
ଶ
൅ 3
ሺ
ݔݕ ൅ ݕݖ൅ ݖݔ
ሻ
൯
൑4
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ

ଷ

Do 2ݔ൑ݕ ൅ ݖ nên ta chỉ cần chứng minh
ݔ
ଶ
൅ 3ݕ
ଶ
൅ 3ݖ
ଶ
൅ 3
ሺ
ݔݕ ൅ ݕݖ൅ ݖݔ
ሻ
൑4
ሺ
ݕ൅ ݖ
ሻ
ଶ
֞ݔ
ଶ
െ 3ݕݖ ൅ 3ݔ
ሺ
ݕ൅ ݖ
ሻ
൑
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଶ
֞2ݔ

ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
൑
ሺ
ݕ൅ ݖ
ሻ
ଶ
֞
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻሺ
ݕ ൅ ݖെ 2ݔ
ሻ
൒0
Bất ñẳng thức trên ñúng do ݕ ൅ ݖ൒2ݔ.
Vậy, ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ݔൌݕൌݖ.

Lời giải 8 (V
IMF
). Theo bổ ñề 1 thì ݔ൑
ඥ
ݕݖ
Do ñó
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻ
ଷ
൅
ሺ

ݔ൅ ݖ
ሻ
ଷ
൅ 3
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻሺ
ݖ ൅ ݔ
ሻ
൑
൫
ඥ
ݕݖ ൅ ݕ
൯
ଷ
൅
൫
ඥ
ݕݖ ൅ ݖ
൯
ଷ
൅ 3
൫
ඥ
ݕݖ ൅ ݕ
൯൫
ඥ
ݕݖ ൅ ݖ

൯
ሺ
ݕ൅ ݖ
ሻ
ൌ
ඥ
ݕ
ଷ
൫
ඥ
ݕ ൅
√
ݖ
൯
ଷ
൅
ඥ
ݖ
ଷ
൫
ඥ
ݕ ൅
√
ݖ
൯
ଷ
൅ 3
ඥ
ݕݖ
൫

ඥ
ݕ ൅
√
ݖ
൯
ଶ
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ൌቀ
ඥ
ݕ
ଷ
൅
ඥ
ݖ
ଷ
ቁ
൫
ඥ
ݕ ൅
√
ݖ
൯
ଷ
൅ 3
ඥ
ݕݖ
൫
ඥ

ݕ ൅
√
ݖ
൯
ଶ
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ൌ
൫
ඥ
ݕ ൅
√
ݖ
൯
ସ
൫
ݕ ൅ ݖെ
ඥ
ݕݖ
൯
൅ 3
ඥ
ݕݖ
൫
ඥ
ݕ ൅
√
ݖ
൯

ଶ
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ൌ
1
4
൫
ݕ ൅ ݖ൅ 2
ඥ
ݕݖ
൯൫
ݕ൅ ݖ ൅
ඥ
ݕݖ
൯൫
4ݕ ൅ 4ݖെ 4
ඥ
ݕݖ
൯
൅ 3
ඥ
ݕݖ
൫
ඥ
ݕ൅
√
ݖ
൯
ଶ

ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
൑
1
4
ቆ
ݕ ൅ ݖ൅ 2
ඥ
ݕݖ ൅ ݕ൅ ݖ ൅
ඥ
ݕݖ ൅ 4ݕ൅ 4ݖ െ 4
ඥ
ݕݖ
3
ቇ
ଷ
൅ 3
ሺ
ݕ൅ ݖ
ሻ
2
൫
ඥ
2ሺݕ ൅ ݖሻ
൯
ଶ
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ

ൌ2
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ
൅ 3
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ
ൌ5
ሺ
ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଷ

This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 16



Vậy, ta có ñiều phải chứng minh.

Dựa vào các cách giải trên các bạn hãy giải bài toán sau, ñăng trên tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ số tháng
7 năm 2009
“Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho ܽ
ଶ
൅ 2ܽ

ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
ൌ5ܾܿ. Chứng minh rằng
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
ଷ
൅
ሺ
ܽ ൅ ܿ
ሻ
ଷ
൅
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ൅ ܿ
ሻሺ
ܾ ൅ ܿ
ሻ
൑3
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
ଷ
"


This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 17



B
BB
Bất
tt
t

ðẳng
ngng
ng

Th
ThTh
Thức
cc
c

S
SS
Sáng
ngng
ng

T
TT
Tạo
oo
o

V
VV
Và

S
SS
Sưu

uu
u

T
TT
Tầm
mm
m


LTG. ðây là những bài toán mà chúng tôi sưu tầm ñược từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau,
chủ yếu là trên các diễn ñàn Toán, ñặc biệt là Diễn ðàn Bất ðẳng Thức Việt Nam www.vimf.co.cc/
và chúng tôi chỉ tường thuật lại theo nguyên văn của người ñã gửi bài lên.
B
ÀI
ST1. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho ܽ ൅ ܾ൅ ܿൌ3. chứng minh rằng
1
ܾܽ ൅ 1
൅
1
ܾܿ൅ 1
൅
1
ܿܽ ൅ 1
൒
9
2
൫
√
ܽ ൅

√
ܾ൅
√
ܿ
൯

2math
L
ỜI
G
IẢI
(N
GUYỄN
A
NH
T
UẤN
).
Theo bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ ta có
1
1 ൅ ܾܽ
ൌ1െ
ܾܽ
1 ൅ ܾܽ
൒1െ
√
ܾܽ
2

Tương tự ñối với 2 bất ñẳng thức còn lại, cộng các bất ñẳng thức lại với nhau ta ñược

1
ܾܽ ൅ 1
൅
1
ܾܿ൅ 1
൅
1
ܿܽ ൅ 1
൒3െ
√
ܾܽ ൅
√
ܾܿ൅
√
ܿܽ
2
ൌ3െ
൫
√
ܽ൅
√
ܾ൅
√
ܿ
൯
ଶ
െ ܽെ ܾെ ܿ
4
ൌ
15

4
െ
൫
√
ܽ൅
√
ܾ൅
√
ܿ
൯
ଶ
4

Do ñó ta chỉ cần chứng minh
15
4
െ
൫
√
ܽ൅
√
ܾ൅
√
ܿ
൯
ଶ
4
൒
9
2

൫
√
ܽ൅
√
ܾ൅
√
ܿ
൯

ðặt ݐൌ
√
ܽ൅
√
ܾ൅
√
ܿ. Chú ý rằng
√ܽ ൅ ܾ൅ ܿ൑
√
ܽ൅ √ܾ ൅
√
ܿ൑
ඥ
3ሺܽ൅ ܾ ൅ ܿሻ
Nên
√
3൏ݐ൑3. Và bất ñẳng thức cần chứng minh ñược viết lại thành
15
4
െ
ݐ

ଶ
4
൒
9
2ݐ
֞ݐ
ଷ
െ 15ݐ ൅ 18൑0֞
ሺ
ݐെ 3
ሻ
ቆ
ݐെ
√
33 െ
√
3
2
ቇቆ
ݐ ൅
√
33 ൅
√
3
2
ቇ
൑0
Dễ thấy
√
3൐

√
ଷଷି
√
ଷ
ଶ
nên ñánh giá trên ñúng với ݐא
൫
√
3,3
൧

Phép chứng minh hoàn tất.


B
ÀI
ST 2. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ. Chứng minh rằng
ܽ൅
√
ܾܽ ൅
√
ܾܽܿ
య
3
൑
ඨ
ܽ.
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻ

2
.
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
3
య

L
ỜI
G
IẢI
1. Áp dụng bất ñẳng thức ܪ݋݈݀݁ݎ ta có
ܽ.
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
2
.
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
3
൒
ሺ
ܽ൅ ܽ ൅ ܽ
ሻ
൫
ܽ ൅
√
ܾܽ ൅ܾ
൯
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ

ሻ
27
൒
൫
ܽ൅ √ܾܽ ൅√ܾܽܿ
య
൯
ଷ

Từ ñây ta có ngay ñiều phải chứng minh.

L
ỜI
G
IẢI
2. Theo bất ñẳng thức ܣܯെ ܩܯ thì ta sẽ chứng minh bất ñẳng thức mạnh hơn là
ܽ൅
ඨ
ܾܽ.
ܽ൅ ܾ
2
య
൅√ܾܽܿ
య
൑3
ඨ
ܽ.
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ

2
.
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
3
య

Hay
ඨ
6ܽ
ଶ
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
య
൅
ඨ
3ܾ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
య
൅
ඨ
6ܾܿ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
య

൑3
Theo bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ thì
ඨ
6ܽ
ଶ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
య
ൌ
ඨ
1.
2ܽ
ܽ൅ ܾ
.
3ܽ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
య
൑
1
3
൬1 ൅
2ܽ
ܽ ൅ ܾ
൅
3ܽ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
൰,

This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 18



ඨ
3ܾ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
య
ൌ
ඨ
1.1.
3ܾ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
య
൑
1
3
൬1 ൅ 1 ൅
3ܾ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
൰ൌ
1
3
൬2 ൅
3ܾ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
൰,

ඨ
6ܾܿ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
య
ൌ
ඨ
1.
2ܾ
ܽ ൅ ܾ
.
3ܿ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
య
൑
1
3ቀ1 ൅
2ܾ
ܽ ൅ ܾ
൅
3ܿ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ቁ
.
Cộng các bất ñẳng thức này về theo vế ta thu ñược ñiều phải chứng minh.


B
ÀI
ST 3. Cho các số thực dương ܽ, ܾ,ܿ. Chứng minh rằng
൬ܽ൅
1
ܾ
െ 1൰൬ܾ൅
1
ܿ
െ 1൰ ൅ ൬ܾ൅
1
ܿ
െ 1൰൬ܿ൅
1
ܽ
െ 1൰ ൅ ൬ܿ൅
1
ܽ
െ 1൰൬ܽ ൅
1
ܾ
െ 1൰൒3
Vasile Cirtoaje
L
ỜI
G
IẢI
.
ðặt ݔൌܽ ൅
ଵ

௕
,ݕൌܾ ൅
ଵ
௖
,ݖൌܿ ൅
ଵ
௔
thì bất ñẳng thức ñược viết lại thành
ሺ
ݔ െ 1
ሻሺ
ݕ െ 1
ሻ
൅
ሺ
ݕെ 1
ሻሺ
ݖെ 1
ሻ
൅
ሺ
ݖെ 1
ሻሺ
ݔ െ 1
ሻ
൒3
Theo nguyên lí ܦ݅ݎ݄݈݅ܿ݁ݐ thì 2 trong 3 số
ሺ
ݔെ 2
ሻ

,
ሺ
ݕെ 2
ሻ
,ሺݖെ 2ሻ cùng dấu. Không mất tính tổng
quát, giả sử
ሺ
ݔെ 2
ሻሺ
ݕെ 2
ሻ
൒0֜ݔݕ ൅ 4൒2ݔ൅ 2ݕ֜2
ሺ
ݔ ൅ ݕ൅ ݖ
ሻ
൑2ݖ ൅ ݔݕ൅ 4 ሺ1ሻ
Lại có
ݔݕݖൌܾܽܿ൅
1
ܾܽܿ
൅ ݔ൅ ݕ ൅ ݖ൒2 ൅ ݔ ൅ ݕ൅ ݖ൒2 ൅ 2
ඥ
ݔݕ ൅ ݖ֜ݖ
ሺ
ݔݕ െ 1
ሻ
൒2
൫
ඥ
ݔݕ െ 1

൯
֜ݖ
൫
ඥ
ݔݕ െ 1
൯
൒2֜4൅ 2ݖ൒2
ඥ
ݕݖ.ݖݔ൑ݕݖ ൅ ݖݔ ሺ2ሻ
Từ
ሺ
1
ሻ
và
ሺ
2
ሻ
ta suy ra 2
ሺ
ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
ሻ
൑2ݖ ൅ ݔݕ൅ 4൑ݔݕ ൅ ݕݖ൅ ݖݔ
Vậy, ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ݔൌݕൌݖ, hay ܽൌܾൌܿൌ1


B
ÀI
ST 4. Cho ܽ,ܾ,ܿ là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác sao cho ܽ
ଶ
൅ ܾ

ଶ
൅ ܿ
ଶ
ൌ3. Chứng minh rằng
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ൒ܾܽܿ ൅ 2

N
GUYỄN
A
NH
T
UẤN

L
ỜI
G
IẢI
(VIMF).
ðặt ݌ൌܽ൅ ܾ൅ ܿ,ݍൌܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ,ݎൌܾܽܿ thì ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ൌ3֞݌
ଶ
െ 2ݍൌ3֞ݍൌ
௣
మ
ିଷ

ଶ

Do ܽ,ܾ,ܿ là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có một bất ñẳng thức quen thuộc là
2
ሺ
ܽ
ଶ
ܾ ൅ ܾܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ܿ൅ ܾܿ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ܽ ൅ ܿܽ
ଶ
ሻ
൒ܽ
ଷ
൅ ܾ
ଷ
൅ ܿ
ଷ
൅ 9ܾܽܿ֞3
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻሺ
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
ሻ

൒
ሺ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
ሻሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻ
൅ 18ܾܽܿ֞3݌ݍ൒3݌ ൅ 18ݎ֞
݌
ሺ
݌
ଶ
െ 3
ሻ
2
൒݌ ൅ 6ݎ
֜ݎ൑
݌
ଷ
െ 3݌
12
െ
݌
6

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với ݌൒ݎ൅ 2

Theo bất ñẳng thức trên thì ta chỉ cần chứng minh
݌
ଷ
െ 3݌
12
െ
݌
6
൑݌ െ 2֞݌
ଷ
െ 17݌ ൅ 24൑0֞
ሺ
݌ െ 3
ሻ
ቆ
݌ ൅
3 ൅
√
41
2
ቇቆ
݌ െ
√
41 െ 3
2
ቇ
൑0
Từ giả thiết ܽ
ଶ
൅ ܾ

ଶ
൅ ܿ
ଶ
ൌ3 suy ra
ඥ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൑ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ൑
ඥ
3ሺܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻ֜
√
3൑݌൑3
Chú ý rằng
√
3൐
√
ସଵିଷ
ଶ
nên bất ñẳng thức trên là hiển nhiên ñúng
Vậy, ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿ.



B
ÀI
ST 4. Cho ܽ,ܾ,ܿ là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh
0,8 0,8 0,8
0,2
2 2 2
3
8 8 8
a b c
a bc b ca c ab
     
+ + ≥
     
+ + +
     

L
ỜI
G
IẢI
(VIMF). Theo bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ 10 số ta có
This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 19

8 8
2 2 2 2 2
10 10
8
8 8 8 8 8 6 8
1 1 10. 10.
3 3 3 3 3
numbers
a bc a bc a bc a bc a a bc
a a a a a
   
+ + + + + +
+ + + + ≥ ⇒ ≥
   
   
   


Hay
0,8
2 2 2
3 3 .10 15
8 8 8 6 4 8 3
a a a
a bc a bc a a bc a
 
≥ =
 
+ + + + +
 

;
Và t
ươ
ng t
ự
ta có
0,8
2 2
3 15
,
8 4 8 3
b b
b ca b ac b
 
≥
 
+ + +
 

0,8
2 2
15
8 4 8 3
c c
c ab c ab c
 
≥
 
+ + +
 

.

Do
ñ
ó
0,8 0,8 0,8
2 2 2
3 3 3
8 8 8
a b c
a bc b ca c ab
     
+ +
     
+ + +
     
2 2 2
15 15 15
4 8 3 4 8 3 4 8 3
a b c
a bc a b ac b c ab c
≥ + +
+ + + + + +

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
15 15 15
4 8 3 4 8 3 4 8 3
a b c

a a bc a b b ac b c c ab c
= + +
+ + + + + +

( ) ( ) ( )
(
)
( )
2
3 3 3 2 2 2
15( )
( )
4 8 8 8 3
a b c
Schwarz
a a abc b b abc c c abc a b c
+ +
≥
+ + + + + + + +

( ) ( )
2
3 3 3 2 2 2
15( )
( )
4 ( ) 24 3
a b c
Bunhiacopxki
a b c a b c abc a b c
+ +

≥
+ + + + + + + +

Do
ñ
ó ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh
( ) ( )
2
3 3 3 2 2 2
15( )
3
4 ( ) 24 3
a b c
a b c a b c abc a b c
+ +
≥
+ + + + + + + +

Hay
(
)
(
)
2 2 2 3 3 3

2 10( ) 4 ( ) 24
a b c ab bc ca a b c a b c abc
+ + + + + ≥ + + + + +

Do
ܽ,ܾ,ܿ
là ba c
ạ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác nên
ñặ
t
ܽൌݔ ൅ ݕ; ܾൌݕ ൅ ݖ; ܿൌݖ ൅ ݔ
. Ta có
*
( ) ( )
2 2
2
4 4 ( )
a b c x y z p p x y z
+ + = + + = = + +
;
*
( )
2
2
( )

ab bc ca x y z xy yz zx p q q xy yz zx
+ + = + + + + + = + = + + ;
*
( )( ) (r=xyz)
abc x y z xy yz zx xyz pq r
= + + + + − = −

*
( )
3
3 3 3
24 3( )( ) 27
a b c abc a b c a b c ab bc ca abc
+ + + = + + − + + + + + =

3 2 3
8 3.2 ( ) 27( ) 2 21 27
p p p q pq r p pq r
= − + + − = + −

Do
ñ
ó
(
)
(
)
2 2 2 3 3 3
2 10( ) 4 ( ) 24
a b c ab bc ca a b c a b c abc

+ + + + + ≥ + + + + +

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2 3 2 3
4 3 2 2 2 21 27 7 3 4.2 2 21 27
p p q p p pq r p q p p pq r
⇔ + + ≥ + − ⇔ + ≥ + −


4 2 2
33 9 216 126
p q pr p q
⇔ + + ≥

Mà theo b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ

c
݄ܵܿݑݎ
thì
( )
3
3 4 2
9 4( )( ) 9 4 31,5 283,5 126
x y z xyz x y z xy yz xz p r pq p pr p q
+ + + ≥ + + + + ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ .
Nên ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh
4 2
1,5 9 67,5
p q pr
+ ≥

D
ễ
th
ấ
y b
ấ
t
ñẳ
ng th

ứ
c trên
ñ
úng theo b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ܥܽݑ݄ܿݕ െ ܤݑ݄݊݅ܽܿ݋݌ݔ݇݅

V
ậ
y ta có
ñ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch
ỉ

khi
ܽൌܾൌܿ.



This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 20




B
ÀI
ST 5. Cho các số thực không âm ܽ,ܾ,ܿ. Chứng minh bất ñẳng thức
2 2 2
3 3 3
2 2 2
3 . ( ) ( ) ( )
a b b c c a
a b c abc ab a b bc b c ca c a
ab bc ca
+ +
+ + + ≥ + + + + +
+ +

L
ỜI
G

IẢI
1 (VIMF).
Nếu
a b c
≥ ≥
thì
2 2 2 2 2 2
a b b c c a ab bc ca
+ + ≥ + +
, nên theo bất ñẳng thức Schur thì
2 2 2
3 3 3 3 3 3
2 2 2
3 . 3 ( ) ( ) ( )
a b b c c a
a b c abc a b c abc ab a b bc b c ca c a
ab bc ca
+ +
+ + + ≥ + + + ≥ + + + + +
+ +

Nếu
c b a
≥ ≥
thì bất ñẳng thức ñược viết lại như sau
2 2 2
3 3 3
2 2 2
3 3 . 1 ( ) ( ) ( ) 6
a b b c c a

a b c abc abc ab a b bc b c ca c a abc
ab bc ca
 
+ +
+ + − + − ≥ + + + + + −
 
+ +
 

( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 3 ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
abc a b b c c a
a b c a b b c c a a b c b c a c a b
ab bc ca
− − −
⇔ + + − + − + − − ≥ − + − + −
+ +

2 2 2
2 2 2
1 1 1 3 ( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
abc a b b c c a
a b c a b b c a b c c a b c a
ab bc ca

− − −
⇔ + − − + + − − + + − − ≥
+ +

Theo tiêu chuẩn 1 trong Kĩ thuật phân tích bình phương cho bất ñẳng thức hoán vị ࡿ.ࡻ.࡯ thì ta chỉ
cần chứng minh
2 2 2
3 ( )
2 0
abc c a
ac c a b
ab bc ca
−
+ + − − ≥
+ +

Quy ñồng, rút gọn và nhóm các số hạng lại với nhau ta ñược bất ñẳng thức tương ñương là
(
)
2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2
2 ( ) ( ) 2 2 2 0
bc ac a ab c b bc c b a c a b a c ab ac ca ac a bc
− + − + − + + + + + + ≥

Bất ñẳng thức trên ñúng do
c b a
≥ ≥

Vậy ta có ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ba biến bằng nhua hoặc một
trong 3 biến bằng 0 và 2 biến còn lại bằng nhau.

L
ỜI
G
IẢI
2 (dangtrung).
Nếu
a b c
≥ ≥
thì theo bất ñẳng thức ࡿࢉࢎ࢛࢘ ta có
2 2 2
3 3 3 3 3 3
2 2 2
3 . 3 ( ) ( ) ( )
a b b c c a
a b c abc a b c abc ab a b bc b c ca c a
ab bc ca
+ +
+ + + ≥ + + + ≥ + + + + +
+ +

Nếu
a b c
≤ ≤
thì bất ñẳng thức ñưa về dạng
2
2 2 2
6 ( )( )( )
( , , ) ( ) ( ) 0
abc a b b c c a

f a b c a b a b c
ab bc ca
− − −
= − + − − ≥
+ +
∑
(
)
2 2 2 2
( ) 6 ( )( )( )
ab bc ca a b abc a b b c c a
⇔ + + − ≥ − − −
∑

Mà
2
( ) 4( )( )
a b b c c a
− ≥ − −
và
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2
4 6 ( ) 2 3 3
ab bc ca bc a b ab bc ca b c abc
+ + ≥ − ⇔ + + + ≥ ,
hi
ể

n nhiên
ñ
úng nên ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c trong tr
ườ
ng h
ợ
p
ܽൌ0

Hay c
ầ
n ch
ứ
ng minh
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0 2( )( ) 0
b b c b c b c c c b b c b c
− + − + + − ≥ ⇔ + − ≥

B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c trên hi
ể
n nhiên
ñ
úng.
V
ậ
y ta có
ñ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch
ỉ

khi
ܽൌܾൌܿ
ho
ặ
c
ܽൌܾ,ܿൌ0
và các
hoán v
ị
.



B
ÀI
ST 6.
Cho các s
ố
th
ự
c không âm
ܽ,ܾ,ܿ
sao cho không có 2 s
ố
nào cùng b
ằ
ng 0. Ch
ứ
ng minh

2 2 2
1 1 1 1
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
a b b c c a ab bc ca
+ + ≥
+ + + + +

P
HẠM
K
IM
H
ÙNG


Về Kĩ thuật phân tích bình phương cho bất ñẳng thức hoán vị ࡿ.ࡻ.࡯ các bạn có thể xem thêm trong Chuyên ñề bất ñẳng
thức THPT của Diễn ðàn Bất ðăng Thức Việt Nam www.vimf.co.cc/

This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 21



L
ỜI
G
IẢI

(V
Õ
Q
UỐC
B
Á
C
ẨN
). Ta xét 2 trường hợp
Trường hợp 1. Nếu
2 2 2
4( )
ab bc ca a b c
+ + ≥ + +
thì
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
a c b a c b
a b b c c a a b a c b c b a c a c b
+ + +
+ + = + +
+ + + + + + + + +
2
2 2 2 2 2 2
9( )
( )
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
a b c

Schwarz
a b a c b c b a c a c b
+ +
≥
+ + + + + + + +
.
Ta chứng minh
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 4 2
2 2
9 ( 2 ) ( 2 ) 9 18
a ab a b a c a ab a ab
 
≥ + + ⇔ ≥ +
 
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
(
)
(

)
2 2
4 0
a ab ab a
⇔ − − ≥
∑ ∑ ∑ ∑
(
ñ
úng do
2 2 2
4( )
ab bc ca a b c
+ + ≥ + +
)
Trường hợp 2.
N
ế
u
2 2 2
4( )
a b c ab bc ca
+ + ≥ + +
. Không m
ấ
t tính t
ổ
ng quát, gi
ả
s
ử

ܽൌ݉ܽݔሼܽ,ܾ,ܿሽ
.
Ta ch
ứ
ng minh
2( )
a b c
≥ +
. B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c này
ñ
úng b
ở
i vì n
ế
u ng
ượ
c l
ạ
i
2( )
a b c
≤ +
thì

2 2 2
4( ) ( 2 2 ) ( ) ( ) 4 0
a b c ab bc ca a a b c b b a c c a bc
+ + − + + = − − + − + − − ≤

Tr
ở
l
ạ
i bài toán, theo b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ܣܯെ ܩܯ
ta có
2 2
1 1 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 2 )
a b b c a b b c
+ ≥
+ + + +
nên ta ch
ỉ

c
ầ
n ch

ứ
ng minh
2 1
( 2 2 ) 0
( 2 )( 2 )
b a b c
a b b c ab bc ca
≥ ⇔ − − ≥
+ + + +
(
ñ
úng do
2 2
a b c
≥ +
)
V
ậ
y ta có
ñ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
ðẳ
ng th
ứ

c x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
a b c
= =
.



B
ÀI
ST 7.

Cho các số thực không âm ܽ,ܾ,ܿ. Chứng minh rằng
ܽ
ሺ
ܽ െ ܾ
ሻሺ
ܽ െ ܿ
ሻ
൅ ܾ
ሺ
ܾെ ܿ
ሻሺ
ܾെ ܽ
ሻ
൅ ܿ
ሺ

ܿെ ܽ
ሻሺ
ܿെ ܾ
ሻ
൒
4ܾܽܿ
ሺ
ܽ
ଶ
െ ܾ
ଶ
ሻ
ଶ
ሺܽ൅ ܾ൅ ܿሻ
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻሺ
ܾ൅ ܿ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ

VIMF
L
ỜI
G
IẢI
(VIMF).
Xét

ܽ
ଷ
൅ ܾ
ଷ
൅ ܿ
ଷ
൅ 3ܾܽܿെ
ሺ
ܽ
ଶ
ܾ൅ ܾܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ܿ ൅ ܾܿ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ܽ ൅ ܿܽ
ଶ
ሻ
ൌܽ
ଷ
൅ ܾ
ଷ
൅ ܿ
ଷ
െ ܽ
ሺ
ܾ

ଶ
െ ܾܿ൅ ܿ
ଶ
ሻ
െ ܾ
ሺ
ܿ
ଶ
െ ܿܽ൅ ܽ
ଶ
ሻ
െ ܿ
ሺ
ܽ
ଶ
െ ܾܽ ൅ ܾ
ଶ
ሻ
ൌܽ
ଷ
൅ ܾ
ଷ
൅ ܿ
ଷ
െ
ܽ
ሺ
ܾ
ଷ
൅ ܿ

ଷ
ሻ
ܾ൅ ܿ
െ
ܾ
ሺ
ܿ
ଷ
൅ ܽ
ଷ
ሻ
ܿ൅ ܽ
െ
ܿ
ሺ
ܽ
ଷ
൅ ܾ
ଷ
ሻ
ܽ൅ ܾ
ൌ
ܾܽ
ሺ
ܽ
ଶ
െ ܾ
ଶ
ሻ
൅ ܽܿ

ሺ
ܽ
ଶ
െ ܿ
ଶ
ሻ
ܾ ൅ ܿ
൅
ܾܿ
ሺ
ܾ
ଶ
െ ܿ
ଶ
ሻ
൅ ܾܽ
ሺ
ܾ
ଶ
െ ܽ
ଶ
ሻ
ܿ൅ ܽ
൅
ܿܽ
ሺ
ܿ
ଶ
െ ܽ
ଶ

ሻ
൅ ܾܿ
ሺ
ܿ
ଶ
െ ܾ
ଶ
ሻ
ܽ൅ ܾ
ൌܾܽ
ሺ
ܽ
ଶ
െ ܾ
ଶ
ሻ
൬
1
ܾ൅ ܿ
െ
1
ܿ൅ ܽ
൰ ൅ ܾܿ
ሺ
ܾ
ଶ
െ ܿ
ଶ
ሻ
൬

1
ܿ൅ ܽ
െ
1
ܽ൅ ܾ
൰
൅ ܿܽ
ሺ
ܿ
ଶ
െ ܽ
ଶ
ሻ
൬
1
ܽ ൅ ܾ
െ
1
ܾ൅ ܿ
൰
ൌ
ܾܽ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ െ ܾ
ሻ
ଶ
ሺ
ܾ൅ ܿ

ሻ
ሺܿ൅ ܽሻ
൅
ܾܿ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻሺ
ܾെ ܿ
ሻ
ଶ
ሺܿ൅ ܽሻ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
൅
ܿܽ
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻሺ
ܿെ ܽ
ሻ
ଶ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
ሺܾ ൅ ܿሻ

Bây gi
ờ
ta có

ܾܽ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ െ ܾ
ሻ
ଶ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
ሺܿ൅ ܽሻ
൅
ܾܿ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻሺ
ܾെ ܿ
ሻ
ଶ
ሺܿ൅ ܽሻ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
൅
ܿܽ
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻሺ
ܿെ ܽ
ሻ

ଶ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
ሺܾ ൅ ܿሻ
ൌ
ܾܽܿ
ሺ
ܽ ൅ ܾ
ሻሺ
ܾ ൅ ܿ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
.
ቆ
ሺܽ
ଶ
െ ܾ
ଶ
ሻ
ଶ
ܿ
൅
ሺ
ܾ
ଶ
െ ܿ
ଶ
ሻ

ଶ
ܽ
൅
ሺ
ܿ
ଶ
െ ܽ
ଶ
ሻ
ଶ
ܾ
ቇ
൒
ܾܽܿ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܾ൅ ܿ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
.
ሺ
ܾ
ଶ
െ ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
െ ܿ

ଶ
൅ ܿ
ଶ
െ ܽ
ଶ
ሻ
ଶ

ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ൌ
4ܾܽܿ
ሺ
ܽ
ଶ
െ ܾ
ଶ
ሻ
ଶ
ሺܽ ൅ ܾ൅ ܿሻ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܾ ൅ ܿ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ

Phép ch
ứ
ng minh hoàn t

ấ
t.


This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 22



BÀI ST 8. Chứng minh rằng với mọi ܽ,ܾ,ܿ không âm ta có
1
ܽ
ଶ
൅ ܾܽ ൅ ܾ
ଶ
൅
1
ܾ
ଶ
൅ ܾܿ൅ ܿ
ଶ
൅
1
ܿ
ଶ
൅ ܿܽ൅ ܽ
ଶ
൒

1
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
൅
2
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ

D
ƯƠNG
ð
ỨC
L
ÂM

L
ỜI
G
IẢI
1 (VIMF). Ta xét 2 trường hợp
Trường hợp 1. nếu ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൑4ሺܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽሻ thì theo bất ñẳng thức quen thuộc

1
ܽ
ଶ
൅ ܾܽ ൅ܾ
ଶ
൅
1
ܾ
ଶ
൅ ܾܿ ൅ܿ
ଶ
൅
1
ܿ
ଶ
൅ ܿܽ൅ ܽ
ଶ
൒
9
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻ
ଶ

nên ta chỉ cần chứng minh
9
ሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ

൒
1
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
൅
2
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ


ñặt ݔൌܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
,ݕൌܾܽ ൅ ܾܿ ൅ ܿܽ thì bất ñẳng thức ñược quy về
9
ݔ൅ 2ݕ
൒
1
ݕ
൅
2
ݔ
֞9ݔݕ൒
ሺ

ݔ൅ 2ݕ
ሻ
ଶ
֞
ሺ
ݔെ ݕ
ሻሺ
ݔെ 4ݕ
ሻ
൑0
do ݔ൒ݕ và theo giả thiết ở trên ݔ൑4ݕ ta suy ra bất ñẳng thức trên ñúng
Trường hợp 2. nếu ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൒4ሺܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽሻ thì suy ra
2
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൑
1
2
ሺ
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ

ሻ

suy ra
1
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
൅
2
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൑
3
2
.
1
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ

nên ta chỉ cần chứng minh
1
ܽ
ଶ
൅ ܾܽ ൅ܾ
ଶ
൅
1
ܾ
ଶ

൅ ܾܿ ൅ܿ
ଶ
൅
1
ܿ
ଶ
൅ ܿܽ൅ ܽ
ଶ
൒
3
2
.
1
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ

ñến ñây theo bất ñẳng thức Iran 96 thì
bất ñẳng thức này ñúng theo bất ñẳng thức ܫݎܽ݊ 1996
1
ܽ
ଶ
൅ ܾܽ ൅ ܾ
ଶ
൅
1
ܾ
ଶ
൅ ܾܿ൅ ܿ
ଶ
൅
1

ܿ
ଶ
൅ ܿܽ ൅ ܽ
ଶ
൒
9
4
.
1
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
൒
3
2
.
1
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ


L
ỜI
G
IẢI
2 (D
ƯƠNG
ð
ỨC
L
ÂM
).
Sử dụng bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ ta có

ሺ
ܾ
ଶ
൅ ܾܿ൅ ܿ
ଶ
ሻሺ
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
ሻ
൑
1
4
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ
ሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ

Suy ra ta chỉ cần chứng minh
4
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻሺ

ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
ሻ
ଶ
൬
1
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
ଶ
൅
1
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ
൅
1
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
ଶ
൰൒
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻ
ସ

theo bất ñẳng thức ܪ݋݈݀݁ݎ thì
4
ሺ

ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻሺ
ܾܽ ൅ ܾܿ൅ ܿܽ
ሻ
ଶ
൬
1
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
ଶ
൅
1
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ
൅
1
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
ଶ
൰
ൌ

ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻ
൫
ܽ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
൅ ܾ
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
൅ ܿ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
൯൫
ܽ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
൅ ܾ
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ

൅ ܿ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
൯൬
1
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ
൅
1
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
ଶ
൅
1
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
ଶ
൰൒
ሺ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ସ

ðây chính là ñiều phải chứng minh.

L
ỜI
G
IẢI
3 (T
RẦN
Q
UỐC
A
NH
). Ta sẽ chứng minh bất ñẳng thức chặt hơn là
)(3
4
)(3
5111
222222222
cba
cabcab
acaccbcbbaba ++
+
++
≥
++
+
++
+
++

Ta viết lại bất ñẳng thức
2 2 2 2 2 2 2

( ) 5 4( )
3 3( )
a b c bc ab bc ca
b bc c b bc c a b c
+ + +
+ ≥ +
+ + + + + +
∑ ∑

Mà theo bất ñẳng thức quen thuộc
2 2
( )
2
a b c
b bc c
+
≥
+ +
∑
thì ta chỉ cần chứng minh
This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ
Olympiad Resources
Page 23



2 2 2 2 2
1 4( )
3 3( )

bc ab bc ca
b bc c a b c
+ +
+ ≥
+ + + +
∑

Dùng bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ ta sẽ chứng minh bất ñẳng thức chặt hơn là
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 4( ) 2( ) ( ) 2( )
3 2
3 3 3( )
bc ab bc ca bc a b c b c a b c
b c a b c b c a b c b c a b c
+ + + + + + +
+ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥
+ + + + + + + + +
∑ ∑ ∑

Bất ñẳng thức này ñúng theo ݄ܵܿݓܽݎݖ. Phép chứng minh của ta hoàn tất.


B
ÀI
ST 9. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho ܽ ൅ ܾ൅ ܿൌ3. Chứng minh rằng
ඨ
ܽ
ଶ
൅ ܾ

ଶ
൅ ܿ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
ଶ
൅
ඨ
ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ ܽ
ܾ൅ ܿ൅ ܽ
ଶ
൅
ඨ
ܿ
ଶ
൅ ܽ
ଶ
൅ ܾ
ܿ൅ ܽ൅ ܾ
ଶ
൒3
Jaanin
L
ỜI
G
IẢI
(VIMF). Theo bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ thì
ඨ

ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ଶ
ൌ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ඥ
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ሻሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ଶ
ሻ
൒
2
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ

ଶ
൅ ܿ
ሻ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ ܽ൅ ܾ ൅ ܿ

Tương tự cho 2 bất ñẳng thức cong lại và cộng lại với nhau ta ñược
ඨ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ଶ
൅
ඨ
ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ ܽ
ܾ൅ ܿ൅ ܽ
ଶ
൅

ඨ
ܿ
ଶ
൅ ܽ
ଶ
൅ ܾ
ܿ൅ ܽ൅ ܾ
ଶ
൒
2
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ ܽ ൅ ܾ൅ ܿ

Do ñó ta chỉ cần chứng minh
2
ሺ

ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
൒3
Hay ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൒ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ
Bất ñẳng thức này ñúng do ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൒

ଵ
ଷ
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻ
ଶ
ൌܽ ൅ ܾ൅ ܿ
Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ1.


B
ÀI
ST 10. Cho các số dương ܽ,ܾ,ܿ thỏa mãn ܾܽܿൌܾܽ൅ ܾܿ൅ ܿܽ. Chứng minh bất ñẳng thức
1
1 ൅ ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅
1
1 ൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅
1
1 ൅ ܿ
ଶ
൅ ܽ
ଶ

൑
3
19

dragon1
L
ỜI
G
IẢI
(N
GUYỄN
V
IỆT
H
ƯNG
).
ðặt ݔൌ
ଵ
௔
,ݕൌ
ଵ
௕
,ݖൌ
ଵ
௖
, từ ñiều kiện ñề bài ta có ݔ൅ ݕ൅ ݖൌ1 và bất ñẳng thức ñã cho tương ñương
1
1 ൅
1
ݔ

ଶ
൅
1
ݕ
ଶ
൅
1
1 ൅
1
ݕ
ଶ
൅
1
ݖ
ଶ
൅
1
1 ൅
1
ݖ
ଶ
൅
1
ݔ
ଶ
൑
3
19

Theo bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ thì

1
1 ൅
1
ݔ
ଶ
൅
1
ݕ
ଶ
൅
1
1 ൅
1
ݕ
ଶ
൅
1
ݖ
ଶ
൅
1
1 ൅
1
ݖ
ଶ
൅
1
ݔ
ଶ
൑

1
1 ൅
2
ݔݕ
൅
1
1 ൅
1
2ݕݖ
൅
1
1 ൅
2
ݖݔ
ൌ
ݔݕ
ݔݕ ൅ 2
൅
ݕݖ
ݕݖ ൅ 2
൅
ݖݔ
ݖݔ൅ 2

Chú ý rằng với mọi số dương t thì
ݐ
ݐ൅ 2
െ
162
361

ݐ൅
1
361
ൌെ
2
ሺ
9ݐെ 1
ሻ
ଶ
361
ሺ
ݐ ൅ 2
ሻ
൑0
Nên
௧
௧ାଶ
൑
ଵ଺ଶ
ଷ଺ଵ
ݐ൅
ଵ
ଷ଺ଵ

Áp dụng bất ñẳng thức này với ݔݕ,ݕݖ,ݖݔ thì ta ñược
ݔݕ
ݔݕ ൅ 2
൅
ݕݖ
ݕݖ ൅ 2

൅
ݖݔ
ݖݔ൅ 2
൑
162
361
ሺ
ݔݕ ൅ ݕݖ൅ ݖݔ
ሻ
൅
3
361
൑
64
361
ሺ
ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଶ
൅
3
361
ൌ
3
19

Bài toán ñược chứng minh xong. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ3

This file was downloaded from the
ࢂ࢏ࢋ࢚ࡺࢇ࢓ ࡵ࢔ࢋ࢛ࢗࢇ࢒࢏࢚࢟ ࡹࢇ࢚ࢎࢋ࢓ࢇ࢚࢏ࢉ

Olympiad Resources
Page 24



B
ÀI
ST 11. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ൌ1. Chứng minh rằng
ܽ
ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅
ܾ
ܿ
ଶ
൅ ܽ
ଶ
൅
ܿ
ܽ
ଶ
൅ ܾ

ଶ
൒
3
√
3
2

L
ỜI
G
IẢI
1. Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với
ܽ
1 െ ܽ
ଶ
൅
ܾ
1 െ ܾ
ଶ
൅
ܿ
1 െ ܿ
ଶ
൒
3
√
3
2
֞
ܽ

ଶ
ܽ
ሺ
1 െ ܽ
ଶ
ሻ
൅
ܾ
ଶ
ܾ
ሺ
1 െ ܾ
ଶ
ሻ
൅
ܿ
ଶ
ܿ
ሺ
1 െ ܿ
ଶ
ሻ
൒
3
√
3
2

Xét ݂
ሺ

ݔ
ሻ
ൌݔ
ሺ
1 െ ݔ
ଶ
ሻ
với ݔאሺ0;1ሻ
Ta có ݂
′
ሺ
ݔ
ሻ
ൌ1െ 3ݔ
ଶ
ൌ0֞ݔൌ
ଵ
√
ଷ
אሺ0;1ሻ
Từ ñó lập bảng biến thiên ta thấy ݂
ሺ
ݔ
ሻ
൑
ଶ
ଷ
√
ଷ
,׊ݔאሺ0;1ሻ, khi ñó ta có

ܽ
ଶ
ܽ
ሺ
1 െ ܽ
ଶ
ሻ
൅
ܾ
ଶ
ܾ
ሺ
1 െ ܾ
ଶ
ሻ
൅
ܿ
ଶ
ܿ
ሺ
1 െ ܿ
ଶ
ሻ
൒
3
√
3
2
ሺ
ܽ

ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻ
ൌ
3
√
3
2

Vậy, ta có ñiều phải chứng minh.

L
ỜI
G
IẢI
2 (N
GUYỄN
ð
ỨC
T
OÀN
). Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với
ܽ
1 െ ܽ
ଶ
൅
ܾ

1 െ ܾ
ଶ
൅
ܿ
1 െ ܿ
ଶ
൒
3
√
3
2
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻ

Ta sẽ chứng minh ñại diện cho một bất ñẳng thức và tương tự cho 2 bất ñẳng thức còn lại
ܽ
1 െ ܽ
ଶ
൒
3
√
3
2
ܽ

ଶ
֞ܽ
ሺ
1 െ ܽ
ଶ
ሻ
൑
2
3
√
3

Theo bất ñẳng thức ܣܯ െ ܩܯ thì
ܽ
ଶ
ሺ
1 െ ܽ
ଶ
ሻ
ଶ
ൌ
1
2
.2ܽ
ଶ
.
ሺ
1 െ ܽ
ଶ
ሻሺ

1 െ ܽ
ଶ
ሻ
൑
1
2
.
ቆ
2ܽ
ଶ
൅ 1 െ ܽ
ଶ
൅ 1 െ ܽ
ଶ
3
ቇ
ଷ
ൌ
4
27

Hay
ܽ
ሺ
1 െ ܽ
ଶ
ሻ
൑
2
3

√
3

Phép chứng minh của ta hoàn tất.

L
ỜI
G
IẢI
3 (VIMF). Ta có
ܽ
ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅
ܾ
ܿ
ଶ
൅ ܽ
ଶ
൅
ܿ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ൌ
ܽ
1 െ ܽ

ଶ
൅
ܾ
1 െ ܾ
ଶ
൅
ܿ
1 െ ܿ
ଶ

Từ bất ñẳng thức ñúng ቀܽ െ
ଵ
√
ଷ
ቁ
ଶ
൒0, ta ñược 1 െ ܽ
ଶ
൑െ
ଶ
√
ଷ
ܽ൅
ସ
ଷ
, tương tự ñối với 1 െ ܾ
ଶ
và
1 െ ܿ
ଶ

ta thu ñược
ܽ
1 െ ܽ
ଶ
൅
ܾ
1 െ ܾ
ଶ
൅
ܿ
1 െ ܿ
ଶ
൒
ܽ
െ
2
√
3
ܽ൅
4
3
൅
ܾ
െ
2
√
3
ܾ ൅
4
3

൅
ܿ
െ
2
√
3
ܿ൅
4
3

Theo bất ñẳng thức ݄ܵܿݓܽݎݖ thì
ܽ
െ
2
√
3
ܽ൅
4
3
൅
ܾ
െ
2
√
3
ܾ൅
4
3
൅
ܿ

െ
2
√
3
ܿ൅
4
3
ൌ
ܽ
ଶ
െ
2
√
3
ܽ
ଶ
൅
4
3
ܽ
൅
ܾ
ଶ
െ
2
√
3
ܾ
ଶ
൅

4
3
ܾ
൅
ܿ
ଶ
െ
2
√
3
ܿ
ଶ
൅
4
3
ܿ
൒
ሺ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ
െ
2
√
3
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ

൅ ܿ
ଶ
ሻ
൅
4
3
ሺ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ൌ
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻ
ଶ
െ
2
√
3
൅
4
3
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻ

Và ta chỉ cần chứng minh
ሺ
ܽ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
ଶ

െ
2
√
3
൅
4
3
ሺ
ܽ ൅ ܾ൅ ܿ
ሻ
൒
3
√
3
2

Bất ñẳng thức này tương ñương với bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng
൫
ܽ൅ ܾ ൅ ܿെ
√
3
൯
ଶ
൒0.
Phép chứng minh của ta hoàn tất.
