cách giải câu bđt trong đề thi toán THPTQG 2015

TỔNG HỢP LỜI GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC
ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015


Vậy là kỳ thi THPT QUỐC GIA đã tới và đã trôi dần qua những môn thi đầu tiên nhưng có lẽ để lại nhiều sức
hút nhất đó vẫn chính là môn TOÁN, môn học yêu thích bởi đại đa số học sinh, sinh viên. Đề thi thì cũng đã
xuất hiện cũng như rất nhiều đáp án, các bạn có thể xem trên moon.vn nơi cập nhất đáp án nhanh và chuẩn
xác. Rõ ràng có nhiều ý kiến trái chiều xung quanh đến cái đề TOÁN đó, lời ra tiếng vào, người này cho là thế
này, người kia lại đánh giá khác. Đó cũng là sự thú vị mà nó mang lại, nhưng riêng bản thân mình thì cho rằng,
đã là một đề thi THPT QUỐC GIA là nó sẽ hay, thực tế cũng chỉ ra điều đó, năm nào cũng có cái hay cái đẹp.
Và để lại ấn tượng với mình nhất chính là câu 10: Tìm giá trị lớn nhất … Một câu bất đẳng thức đẹp cũng như
người con gái đẹp vậy, nhiều chàng trai mê mẩn, cưa cẩm nhưng chẳng dễ mà đổ được, thì câu này cũng thế,
rất đẹp và rất nhiều lời giải đẹp xung quanh nó. Cuối cùng là chờ đón số điểm 10 môn TOÁN năm nay sẽ là
con số bao nhiêu, khi BẤT ĐẲNG THỨC năm nay nhẹ hơn năm ngoái nhưng cũng chẳng dễ dãi. Do vậy,
mình viết bài này là tổng hợp các lời giải của bài BẤT ĐẲNG THỨC từ mình, từ một số nguồn … để người
đọc, người đam mê TOÁN HỌC có cái nhìn cụ thể và tổng quát hơn. Nào chúng ta đi bắt đầu …




“ Cho các số thực
, ,a b c
thuộc đoạn
 
1;3
và thỏa mãn
6
a b c
  

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2
12 72 1
2
a b b c c a abc
P abc
ab bc ca
   
 
 


Trích đề thi THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 “





Phân tích: Mình muốn phân tích qua một chút, vì mình cũng như các bạn đi thi, ngồi ở nhà hóng đề và làm
một cách nghiêm túc. Vậy khi gặp câu này, đầu tiên trong đầu sẽ là đi dự đoán điểm rơi cho bài toán. Biểu
thức cực trị đối xứng, hiển nhiên có thể xảy ra tại các biến bằng nhau và kết hợp với giả thiết thì ta suy đoán
được
 
2 1;3
a b c   
. Nhưng một suy nghĩ khác là, chúng đối xứng, vai trò của chúng như nhau, chúng
có thể hoán vị cho nhau, đồng thời đặt ra câu hỏi “ Tại sao đề ra lại chặn điều kiện biến “ do đó suy đoán
được điểm rơi thức hai
 

, , 1;3
1; 2; 3
6
a b c
a b c
a b c



   

  


. Và rồi thay ngược lại biểu thức cực trị, điểm rơi
nào cho GTLN lớn hơn ta lấy điểm rơi đó.

Xong cơ sở phân tích, tiếp tục quan sát biểu thức cực trị và giả thiết, ở tử số có xuất hiện tổng của các bình
phương của ba hạng tử, ta phải nghĩ ngay ra là
 
 
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
12
ab bc ca a b b c c a a bc ab c abc
a b b c c a abc a b c

a b b c c a abc
       
     
   

Đến đây, ta đã đơn giản hóa được biểu thức cực trị, chỉ còn hai ẩn lớn đó là
ab bc ca 
và
abc
. Nên ý tưởng
tiếp theo là dồn về một trong hai ẩn đó. Nhưng ẩn
ab bc ca 
lại vừa xuất hiện ở cả tử và mẫu nên đánh giá
sẽ khó khăn hơn, do đó ta dồn về biến
abc
.



Khi đi giải một bài toán nào đó, cần đặt ra những câu hỏi, tại sao họ lại cho cái này, cái kia, để làm gì. Rõ ràng
là có lý do của họ. Vậy còn mỗi điều kiện
 
, , 1;3
a b c 
là chúng ta chưa khai thác tới, và lúc đó ta sẽ nghĩ ra
ý tưởng dùng nó để đánh giá
ab bc ca 
về
abc
. Cái tích

abc
, được hiểu là ba biểu thức chứa
, ,a b c
nhân
với nhau, vậy nên khi kết hợp với điểm rơi đã cho cùng giả thiết, ta có được
   
   
1 1 1 0
3 3 3 0
a b c
a b c

   


   


. Khi
đã xác định được biểu thức này, ta nhân phá ra như sau
      
   
   
1 1 1 0 1 1
1 0
5 0 5 1
a b c ab a b c
abc ab bc ca a b c
abc ab bc ca abc ab bc ca
        

        
          

Chỉ cần đến đây thôi thì ra đã đánh giá được
ab bc ca 
về
abc
. Khi đó chúng ta có:
 
2
72
5
2
ab bc ca
ab bc ca
P
ab bc ca
  
  
 
 

Có lẽ sẽ là một nụ cười nở trên môi, vì ta đã đưa được về hàm số mà ta muốn. Bây giờ nếu đặt
t ab bc ca  

thì ta cần phải tìm điều kiện cho
t
. Một cái đánh giá rất là cơ bản mà các bạn học bất đẳng thức ai cũng sẽ biết
ra ngay trong trường hợp này đó là
 

2
12
3
a b c
ab bc ca
 
   
. Về cái điều kiện đó mình sẽ không bàn
đến nữa. Bây giờ, quan trọng là tìm chặn dưới như thế nào. Nếu các bạn loay hoay tìm nó, mà chưa có ý tưởng,
vậy thì hãy đạo hàm biểu thức cực trị ngay lập tức, đó là
 
2
72 5
2
t t
P f t
t
 
  
với
12
t

thì hàm số
 
f t

này nghịch biến, và điều khá thú vị xảy ra là nếu
   
t y f t f y

  
, mà với điểm rơi ban đầu ta tìm được
thì chỉ có thể
1.2 2.3 1.3 11
y
   
. Đến đây, theo bản thân mình nghĩ thì cho dù mình không chứng minh
được
11
t

mà viết vào thì chắc cũng chỉ mất 0,25 điểm cho bài toán BẤT ĐẲNG THỨC. Còn việc chứng
minh, ta cần một bất đẳng thức nữa chưa xét tới, đó là:
      
   
   
3 3 3 0 3 3 9 3 0
9 27 3 0
3 27 0 3 27
a b c ab a b c
abc a b c ab bc ca
abc ab bc ca abc ab bc ca
         
        
          

Kết hợp với
 
1
, suy ra được điều sau

 
3 27 5 11
ab bc ca abc ab bc ca ab bc ca
           
. Coi
như bài toán của chúng ta đã giải quyết xong. Nhưng khi kết luận điểm rơi, cần cho thêm … và các hoán vị.

Ở trên, mình đã đi phân tích cái hướng để mình giải quyết trọn bài toán này và theo cá nhân nghĩ thì cách trên
chắc sẽ là cách của BỘ GIÁO DỤC đưa ra, hoặc là BỘ GIÁO DỤC có một đáp án thú vị hơn, hãy cùng chờ
đón nhé, dưới đây mình sẽ tổng hợp lại một số lời giải vắn tắt khác …

Cách 1 ( Nguyễn Thế Duy – moon.vn – facebook ).
Bài ra, chúng ta có
 
 
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
12
ab bc ca a b b c c a a bc ab c abc
a b b c c a abc a b c
a b b c c a abc
       
     
   

Do đó suy ra

 
2
2 2 2 2 2 2
72
12 72 1 1
2 2
ab bc ca
a b b c c a abc
P abc abc
ab bc ca ab bc ca
  
   
   
   

Mặt khác, đi từ giả thiết
 
, , 1;3
a b c 
và
6
a b c
  
ta có


   
   
 
1 1 1 0

5
11
3 27
3 3 3 0
a b c
abc ab bc ca
ab bc ca
abc ab bc ca
a b c

   
   

 
    
 
   
   





Và từ đó, ta có được
 
2
72
5
2
ab bc ca

ab bc ca
P
ab bc ca
  
  
 
 

Với
t ab bc ca  
, điều kiện
 
2
11 12
3
a b c
t
 
  
, xét hàm số … dễ thấy
160
11
P 
.

Cách 2 ( Nguyễn Thế Duy – facebook ).
Đặt
1; 1; 1a x b y c z     
, khi đó giả thiết đã cho trở thành
 

, , 0;2
3
x y z
x y z




  


và biểu thức cực trị đã cho
tương đương với:
 
 
2
72
1 72 1
2 2
72 1
9 4
9 2
ab bc ca
P abc ab bc ca abc
ab bc ca ab bc ca
xy yz zx xy yz zx xyz
xy yz zx
  
      
   

         
  

Mặt khác, chúng ta có
 
72
, , 0;2 0 7
2 9
xy yz zx
x y z xyz P
xy yz zx
 
      
  

Bây giờ chỉ cần tìm điều kiện của
t xy yz zx  
, ta có
 
 
   
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
, 0;2 2 0
3
y z yz y z y z
x y z x y z x x
      

        

Lại có điều sau do các biến đối xứng nên giả sử
 
       
2
2
max , , 3 3 1
1 2 0 5 1 2 5 3 5
x x y z x y z x x
x x x x x x
       
            

Từ đó suy ra
 
 
2
2 2 2
2
2 2 2
3 5
5 2
2 2
x y z x y z
x y z xy yz zx
    

        
, đồng thời kết hợp

với
 
2
3
3
x y z
xy yz zx
 
   
, do đó
 
2;3
t 
và đi xét hàm số
 
72
7
2 9
t
f t
t
  

…

Cách 3 ( Nguyễn Thế Duy – facebook ).
Bài ra, chúng ta có
 
 
2

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
12
ab bc ca a b b c c a a bc ab c abc
a b b c c a abc a b c
a b b c c a abc
       
     
   

Do đó suy ra
 
2
2 2 2 2 2 2
72
12 72 1 1
2 2
ab bc ca
a b b c c a abc
P abc abc
ab bc ca ab bc ca
  
   
   
   

Đặt

;
q ab bc ca r abc   
, giả sử
1 3
a b c
   
và
, ,a b c
là nghiệm của phương trình
       
 
3 2
3 2
0 0
6 0
x a x b x c x a b c x ab bc ca x abc
f x x x qx r
            
     

Dựa vào đồ thị của hàm số dễ dàng suy ra
     
1 0; 3 0; ' 0
f f f x
  
có nghiệm. Do đó


 
' 0

5 0 5
5
3 27 0 3 27
11 12
0 ' 36 3 0
f x
q r r q
r q
q r r p
q
q


    

 



      
  
 

 
     



Và cuối cùng, suy ra
 

2
72 5
; 11;12
2
q q
P q
q
 
  
…

Cách 4 ( facebook ).
Bài ra, chúng ta có
 
 
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
12
ab bc ca a b b c c a a bc ab c abc
a b b c c a abc a b c
a b b c c a abc
       
     
   

Do đó suy ra

 
2
2 2 2 2 2 2
72
12 72 1 1
2 2
ab bc ca
a b b c c a abc
P abc abc
ab bc ca ab bc ca
  
   
   
   

Với
 
, , 1;3
a b c 
suy ra
      
   
 
1 1 1 0 1 1
1 0
5 0 5
a b c ab a b c
abc ab bc ca a b c
abc ab bc ca abc ab bc ca
        

        
          

Vậy nên, chúng ta có
 
2
72
5
2
ab bc ca
ab bc ca
P
ab bc ca
  
  
 
 

Xét hàm số
 
2
f x x
, giả sử
a b c 
vì
1c 
nên
5 3 2
a b a b
     

do đó bộ
 
3;2;1
trội hơn bộ
 
; ;a b c
, mà
 
' 2
f x

suy ra
 
f x
là hàm lồi. Vậy áp dụng bất đẳng thức Karamate chúng ta có
 
 
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
36 14
3 2 1 14 11
2 2
a b c a b c
a b c ab bc ca
    

           

Với

t ab bc ca  
, điều kiện
 
2
11 12
3
a b c
t
 
  
, xét hàm số … dễ thấy
160
11
P 
.

Và tất nhiên, chắc sẽ còn một vài lời giải nữa, hay một số biến tấu nữa nhưng theo mình, nó cũng chỉ xuất phát
từ những ý tưởng và từ những lời giải trên. Bản thân nghĩ sẽ là một trong hai cách đầu có thể là đáp án mà BỘ
GIÁO DỤC công bố. Còn cách thứ ba, đây là một cách đi tự nhiên từ bộ
, ,p q r
, sẽ là một hướng đi khá tự
nhiên vì các em học sinh đều học qua hàm số bậc ba rồi. Và cách thứ ba cũng là cách mà mình nghĩ tới đầu
tiên trong đầu khi nhận được đề. Cách cuối cùng, sử dụng bất đẳng thức chúng ta không được học ở THPT,
nó ở đẳng cấp khác, mọi người tham khảo thôi nhé!!!

Lời kết: Bài viết này, tuy ngắn gọn, nhưng nó chứa đựng những gì mình muốn nói. Rõ ràng khi đứng trước
mặt các bạn, hay dạy các bạn mình sẽ nói được chi tiết hơn. Nhưng những cái ở trên đó, mình hi vọng các bạn
cũng học hỏi được điều gì đó, để chắp cánh thêm đam mê của mình, hi vọng các thầy cô giáo đọc và dạy cho
học sinh hiểu. Và điều mình mong muốn nhất là được nhận phản hồi từ bạn đọc. Xin vui lòng liên hệ qua địa
chỉ facebook và e – mail của mình ạ. Xin chân thành cảm ơn!!!

Nguyễn Thế Duy
Hà Nội, 2 – 7 – 2015
Facebook: Nguyễn Thế Duy
E – mail: