bài tập giải tích 12 ôn thi tột nghiệp thpt và luyện thi đại học

TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š






BÀI TẬP










ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

Năm 2010

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 1





1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K Û ("x
1
, x
2
Î K, x
1
< x
2
Þ f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số f nghịch biến trên K Û ("x
1
, x

2
Î K, x
1
< x
2
Þ f(x
1
) > f(x
2
)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Î I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f¢(x) = 0, "x Î I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.


VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y
¢
. Tìm các điểm mà tại đó y
¢
= 0 hoặc y

¢
không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y
¢
(bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số.

Baøi 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)
2
245
yxx
=-++
b)
2
5
44
x
yx
=+-
c)
2
43
yxx
=-+

d)
32
22
yxxx

=-+-
e)
2
(4)(1)
yxx
=
f)
32
341
yxxx
=-+-

g)
42
1
21
4
yxx
=
h)
42
23
yxx
= +
i)
42
11
2
1010
yxx

=+-

k)
21
5
x
y
x
-
=
+
l)
1
2
x
y
x
-
=
-
m)
1
1
1
y
x
=-
-

n)

2
226
2
xx
y
x
++
=
+
o)
1
3
1
yx
x
=-+-
-
p)
2
4159
3
xx
y
x
-+
=


CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ V
Ẽ ĐỒ THỊ CỦA H
ÀM S
Ố

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 2

Baứi 2. Xột chiu bin thiờn ca cỏc hm s sau:
a)
432
6831
yxxx
=-+
b)
2
2
1
4
x
y
x
-
=
-
c)
2
2

1
1
xx
y
xx
-+
=
++

d)
2
21
x
y
x
-
= e)
2
32
x
y
xx
=
-+
f) 322
yxx
=++-

g) 213
yxx

=
h)
2
2
yxx
=- i)
2
2
yxx
=-
k) sin2
22
yxx
ổử
=-<<
ỗữ
ốứ
pp
l) sin2
22
yxxx
ổử
= <<
ỗữ
ốứ
pp


VN 2: Tỡm iu kin hm s luụn ng bin hoc nghch bin
trờn tp xỏc nh (hoc trờn tng khong xỏc nh)

Cho hm s
(,)
yfxm
=
, m l tham s, cú tp xỏc nh D.

ã
Hm s f ng bin trờn D

y
Â


0,
"
x
ẻ
D.

ã
Hm s f nghch bin trờn D

y
Â

Ê
0,
"
x
ẻ

D.
T ú suy ra iu kin ca m.
Chỳ ý:
1) y
Â
= 0 ch xy ra ti mt s hu hn im.
2) Nu
yaxbxc
2
'
=++
thỡ:

ã

0
0
'0,
0
0
ab
c
yxR
a
ộ
ỡ
==
ớ
ờ

ợ
"ẻ
ờ
ỡ
>
ờ
ớ
ờ
Ê
ợ
ở
D

ã

0
0
'0,
0
0
ab
c
yxR
a
ộ
ỡ
==
ớ
ờ
Ê

ợ
Ê"ẻ
ờ
ỡ
<
ờ
ớ
ờ
Ê
ợ
ở
D

3) nh lớ v du ca tam thc bc hai
2
()
gxaxbxc
=++
:

ã
Nu
D
< 0 thỡ g(x) luụn cựng du vi a.

ã
Nu
D
= 0 thỡ g(x) luụn cựng du vi a (tr x =
2

b
a
- )

ã
Nu
D
> 0 thỡ g(x) cú hai nghim x
1
, x
2
v trong khong hai nghim thỡ g(x) khỏc du
vi a, ngi khong hai nghim thỡ g(x) cựng du vi a.
4) So sỏnh cỏc nghim x
1
, x
2
ca tam thc bc hai
2
()
gxaxbxc
=++
vi s 0:

ã

12
0
00
0

xxP
S
ỡ
>
ù
<<>
ớ
ù
<
ợ
D

ã

12
0
00
0
xxP
S
ỡ
>
ù
<<>
ớ
ù
>
ợ
D

ã

12
00
xxP
<<<

5) hm s
32
yaxbxcxd
=+++
cú di khong ng bin (nghch bin) (x
1
; x
2
) bng d
thỡ ta thc hin cỏc bc sau:

ã
Tớnh y
Â
.

ã
Tỡm iu kin hm s cú khong ng bin v nghch bin:

0
0
a
ỡ

ạ
ớ
>
ợ
D
(1)

ã
Bin i
12
xxd
-=
thnh
22
1212
()4
xxxxd
+-=
(2)
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 3


ã
S dng nh lớ Viet a (2) thnh phng trỡnh theo m.

ã
Gii phng trỡnh, so vi iu kin (1) chn nghim.

Baứi 1. Chng minh rng cỏc hm s sau luụn ng bin trờn tng khong xỏc nh (hoc tp

xỏc nh) ca nú:
a)
3
513
yxx
=++
b)
3
2
391
3
x
yxx
=-++
c)
21
2
x
y
x
-
=
+

d)
2
23
1
xx
y

x
+-
=
+
e)
3sin(31)
yxx
=-+
f)
2
21
xmx
y
xm

=
-

Baứi 2. Chng minh rng cỏc hm s sau luụn nghch bin trờn tng khong xỏc nh (hoc
tp xỏc nh) ca nú:
a)
5cot(1)
yxx
=-+-
b)
cos
yxx
=-
c)
sincos22

yxxx
=
Baứi 3. Tỡm m cỏc hm s sau luụn ng bin trờn tp xỏc nh (hoc tng khong xỏc
nh) ca nú:
a)
32
3(2)
yxmxmxm
=-++-
b)
32
21
32
xmx
yx
= +
c)
xm
y
xm
+
=
-

d)
4
mx
y
xm
+

=
+
e)
2
21
xmx
y
xm

=
-
f)
22
23
2
xmxm
y
xm
-+
=
-

Baứi 4. Tỡm m hm s:
a)
32
3
yxxmxm
=+++
nghch bin trờn mt khong cú di bng 1.
b)

32
11
231
32
yxmxmxm
=-+-+
nghch bin trờn mt khong cú di bng 3.
c)
32
1
(1)(3)4
3
yxmxmx
=-+-++-
ng bin trờn mt khong cú di bng 4.
Baứi 5. Tỡm m hm s:
a)
3
2
(1)(1)1
3
x
ymxmx
=++-++
ng bin trờn khong (1; +Ơ).
b)
32
3(21)(125)2
yxmxmx
=-++++

ng bin trờn khong (2; +Ơ).
c)
mx
ym
xm
2
4
(2)
+
=ạ
+
ng bin trờn khong (1; +Ơ).
d)
xm
y
xm
+
=
-
ng bin trong khong (1; +Ơ).
e)
22
23
2
xmxm
y
xm
-+
=
-

ng bin trờn khong (1; +Ơ).
f)
2
23
21
xxm
y
x
+
=
+
nghch bin trờn khong
1
;
2
ổử
-+Ơ
ỗữ
ốứ
.




Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 4

VN 3: ng dng tớnh n iu chng minh bt ng thc
chng minh bt ng thc ta thc hin cỏc bc sau:

ã
Chuyn bt ng thc v dng f(x) > 0 (hoc <,

,
Ê
). Xột hm s y = f(x) trờn tp xỏc
nh do bi ch nh.

ã
Xột du f
Â
(x). Suy ra hm s ng bin hay nghch bin.

ã
Da vo nh ngha s ng bin, nghch bin kt lun.
Chỳ ý:
1) Trong trng hp ta cha xột c du ca f
Â
(x) thỡ ta t h(x) = f
Â
(x) v quay li
tip tc xột du h
Â
(x) cho n khi no xột du c thỡ thụi.
2) Nu bt ng thc cú hai bin thỡ ta a bt ng thc v dng: f(a) < f(b).
Xột tớnh n iu ca hm s f(x) trong khong (a; b).

Baứi 1. Chng minh cỏc bt ng thc sau:
a)
3

sin,0
6
x
xxxvụựix
-<<>
b)
21
sintan,0
332
xxxvụựix
+><<
p

c) tan,0
2
xxvụựix
<<<
p
d) sintan2,0
2
xxxvụựix
+><<
p

Baứi 2. Chng minh cỏc bt ng thc sau:
a)
tan
,0
tan2
aa

vụựiab
bb
<<<<
p
b) sinsin,0
2
aabbvụựiab
-<-<<<
p

c) tantan,0
2
aabbvụựiab
-<-<<<
p

Baứi 3. Chng minh cỏc bt ng thc sau:
a)
2
sin,0
2
x
xvụựix
><<
p
p
b)
335
sin,0
66120

xxx
xxxvụựix
-<<-+>

c) xxxvụựixsincos1,0
2
p
+><<

Baứi 4. Chng minh cỏc bt ng thc sau:
a)
1,0
x
exvụựix
>+>
b)
ln(1),0
xxvụựix
+<>

c)
1
ln(1)ln,0
1
xxvụựix
x
+->>
+
d)
(

)
22
1ln11
xxxx
++++
Baứi 5. Chng minh cỏc bt ng thc sau:
a)
0
tan551,4
> b)
0
17
sin20
320
<< c)
23
log3log4
>
HD: a)
000
tan55tan(4510)
=+. Xột hm s
1
()
1
x
fx
x
+
=

-
.
b) Xột hm s
3
()34
fxxx
=- .
f(x) ng bin trong khong
11
;
22
ổử
-
ỗữ
ốứ
v
0
17
,sin20,
320
ẻ

11
;
22
ổử
-
ỗữ
ốứ
.

c) Xột hm s
()log(1)
x
fxx
=+
vi x > 1.


Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 5

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

·
Chọn được nghiệm x
0
của phương trình.

·
Xét các hàm số y = f(x) (C
1
) và y = g(x) (C
2
). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến
và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C
1
) và (C
2
) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành

độ x
0
. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.

Baøi 1. Giải các phương trình sau:
a)
55
xx+-= b)
53
1340
xxx
+ +=

c)
571614
xxxx
+-++++=
d)
22
15328
xxx
+=-++

Baøi 2. Giải các phương trình sau:
a)
555
1230
xxx
+++++=

b)
ln(4)5
xx
-=-

c)
345
xxx
+=
d)
23538
xxx
++=

Baøi 3. Giải các bất phương trình sau:
a)
345
157751378
xxxx
++-+-+-<
b)
2
272735
xxxxx
+++++<

Baøi 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
32
32

32
21
21
21
xyyy
yzzz
zxxx
ì
+=++
ï
í
+=++
ï
+=++
î
b)
32
32
32
2
2
2
xyyy
yzzz
zxxx
ì
=++-
ï
í
=++-

ï
=++-
î

c)
32
32
32
6128
6128
6128
yxx
zyy
xzz
ì
=-+
ï
í
=-+
ï
=-+
î
d)
xyyx
xy
xy
tantan
5
23
4

,
22
p
pp
ì
-=-
ï
ï
+=
í
ï
-<<
ï
î

e)
xyxy
xy
xy
sinsin33
5
,0
p
ì
-=-
ï
ï
+=
í
ï

>
ï
î
f)
xyyx
xy
xy
sin22sin22
23
0,
2
p
p
ì
-=-
ï
ï
+=
í
ï
<<
ï
î

g)
xyxy
xy
xy
cotcot
572

0,
p
p
ì
-=-
ï
+=
í
ï
<<
î
h)
HD: a, b) Xét hàm số
32
()
ftttt
=++
c) Xét hàm số
2
()6128
fttt
=-+

d) Xét hàm số f(t) = tant + t

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 6




I. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D Ì R) và x
0
Î D.
a) x
0
– điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x
0
Î (a; b) sao cho
f(x) < f(x
0
), với "x Î (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f.
b) x
0
– điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x
0
Î (a; b) sao cho
f(x) > f(x
0

), với "x Î (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x
0
là điểm cực trị của f thì điểm (x
0
; f(x
0
)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trị tại điểm đó thì f¢ (x
0
) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm trên
(a; b)\{x
0
}
a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0

thì f đạt cực tiểu tại x
0
.
b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x
0
thì f đạt cực đại tại x
0
.
2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
, f¢ (x
0
) = 0 và có
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x
0
.
a) Nếu f¢¢ (x
0
) < 0 thì f đạt cực đại tại x
0
.
b) Nếu f¢¢ (x
0
) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x
0
.


VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số
Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

·
Tìm f
¢
(x).

·
Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

·
Xét dấu f
¢
(x). Nếu f
¢
(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trị tại x
i
.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

·
Tính f
¢
(x).

·
Giải phương trình f

¢
(x) = 0 tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, …).

·
Tính f
¢¢
(x) và f
¢¢
(x
i
) (i = 1, 2, …).
Nếu f
¢¢
(x
i
) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x
i
.
Nếu f
¢¢
(x
i
) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x
i
.


II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 7

Baøi 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
23
32
yxx
=- b)
32
221
yxxx
=-+-
c)
32
1
415
3
yxxx
=-+-
d)
4
2
3
2
x
yx
=-+
e)
42

45
yxx
=-+
f)
4
2
3
22
x
yx
=-++

g)
2
36
2
xx
y
x
-++
=
+
h)
2
345
1
xx
y
x
++

=
+
i)
2
215
3
xx
y
x

=
-

Baøi 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
34
(2)(1)
yxx
=-+
b)
2
2
421
23
xx
y
xx
+-
=
+-

c)
2
2
344
1
xx
y
xx
++
=
++

d)
2
4
yxx
=-
e)
2
25
yxx
=-+
f)
2
2
yxxx
=+-
Baøi 3. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
3

2
1
yx
=+
b)
3
2
21
x
y
x
=
+
c) 4
xx
yee
-
=+
d)
2
552ln
yxxx
=-++ e)
2
4sin
yxx
=- f)
2
ln(1)
yxx

=-+


VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x
0
thì f
¢
(x
0
) = 0 hoặc tại x
0
không có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x
0
thì f
¢
(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
.
Chú ý:

·
Hàm số bậc ba
32
yaxbxcxd
=+++
có cực trị
Û
Phương trình y

¢
= 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x
0
) bằng hai cách:
+
32
0000
()
yxaxbxcxd
=+++

+
00
()
yxAxB
=+
, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y
¢
.

·
Hàm số
2
''
axbxc
y

axb
++
=
+
=
()
()
Px
Qx
(aa
¢¹
0) có cực trị
Û
Phương trình y
¢
= 0 có hai
nghiệm phân biệt khác
'
'
b
a
-
.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x
0
) bằng hai cách:

0

0
0
()
()
()
Px
yx
Qx
=
hoặc
0
0
0
'()
()
'()
Px
yx
Qx
=


·
Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.

·
Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là
định lí Vi–et.

Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:
a)
3223
33(1)
yxmxmxm
=-+
b)
32
23(21)6(1)1
yxmxmmx
=-++++

c)
224
(1)1
xmmxm
y
xm
+ +
=
-
d)
2
2
1
xmxm
y
xm
+-+
=

-+

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 8

Baøi 2. Tìm m để hàm số:
a)
32
(2)35
ymxxmx
=+++-
có cực đại, cực tiểu.
b)
322
3(1)(232)(1)
yxmxmmxmm
= +-+
có cực đại, cực tiểu.
c)
322
3(1)2
yxmxmx
=-+-+
đạt cực đại tại x = 2.
d)
42
2(2)5
ymxmxm
=-+-+-
có một cực đại

1
.
2
x
=

e)
2
22
xmx
y
xm
-+
=
-
đạt cực tiểu khi x = 2.
f)
22
(1)42
1
xmxmm
y
x
-+-+-
=
-
có cực đại, cực tiểu.
g)
2
1

xxm
y
x
-+
=
-
có một giá trị cực đại bằng 0.
Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:
a)
32
3334
yxxmxm
=-+++
b)
32
3(1)1
ymxmxmx
=+

c)
2
5
3
xmx
y
x
-++
=
-
d)

22
(1)42
1
xmxmm
y
x
-+-+-
=
-

Baøi 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:
a)
32
yaxbxcxd
=+++
đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng
4
27
tại x =
1
3

b)
42
yaxbxc
=++
có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x =
3
.
c)

2
1
xbxc
y
x
++
=
-
đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.
d)
2
axbxab
y
bxa
++
=
+
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
e)
2
2
2
1
axxb
y
x
++
=
+
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.

Baøi 5. Tìm m để hàm số :
a)
3222
2(1)(41)2(1)
yxmxmmxm
=+-+-+-+
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
12
12
111
()
2
xx
xx
+=+.
b)
32
1
1
3
yxmxmx
=-+-
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2

sao cho:
12
8
xx
-³
.
c)
32
11
(1)3(2)
33
ymxmxmx
= +-+
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
12
21
xx
+=
.
Baøi 6. Tìm m để hàm số :
a)
2
2
1
xmxm
y

xm
+-+
=
-+
có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu.
b)
22
(1)42
1
xmxmm
y
x
-+-+-
=
-
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 9

tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
c)
2
3
4
xxm
y
x
-++
=
-

có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả
4
Mm
-=
.
d)
2
232
2
xxm
y
x
++-
=
+
có
12
CÑCT
yy
-<
.
Baøi 7. Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
32
4
yxmx
=-+-
có hai điểm cực trị là A, B và
2
2

900
729
m
AB = .
b)
42
4
yxmxxm
=-++
có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ
O làm trọng tâm.
c)
2
2
xmxm
y
xm
++-
=
-
có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh
hai điểm cực trị luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành.
d)
2
1
xmx
y
x
+
=

-
có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.
e)
2
25
1
xmx
y
x
-++
=
-
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường
thẳng y = 2x.
f)
2
23
xxm
y
xm
+++
=
-
có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
Baøi 8. Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
32
21213
yxmxx
=+

có hai điểm cực trị cách đều trục tung.
b)
323
34
yxmxm
=-+ có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác
thứ nhất.
c)
323
34
yxmxm
=-+ có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng
(d):
3280
xy
-+=
.
d)
22
(21)1
1
xmxm
y
x
++++
=
+
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng
(d):
2310

xy
=
.
Baøi 9. Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
2
(1)21
xmxm
y
xm
-++-
=
-
có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt
phẳng toạ độ.
b)
222
2(41)322
2
mxmxmm
y
xm
++++
=
+
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ
hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.
c)
222
(1)4

mxmxmm
y
xm
-+++
=
-
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất và
điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.
d)
22
(21)1
1
xmxm
y
x
++++
=
+
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành (tung).


Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 10

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1) Hàm số bậc ba
32
()
yfxaxbxcxd
==+++

.

·
Chia f(x) cho f
¢
(x) ta được: f(x) = Q(x).f
¢
(x) + Ax + B.

·
Khi đó, giả sử (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) là các điểm cực trị thì:

111
222
()
()
yfxAxB
yfxAxB
ì
==+
í
==+

î


Þ
Các điểm (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
2) Hàm số phân thức
2
()
()
()
Pxaxbxc
yfx
Qxdxe
++
===
+
.

·
Giả sử (x
0
; y

0
) là điểm cực trị thì
0
0
0
'()
'()
Px
y
Qx
=
.

·
Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị ấy là:
'()2
'()
Pxaxb
y
Qxd
+
== .

Baøi 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :
a)
32
21
yxxx
= +

b)
23
32
yxx
=- c)
32
368
yxxx
= +

d)
2
21
3
xx
y
x
-+
=
+
e)
2
1
2
xx
y
x

=
-

Baøi 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số:
a)
3223
33(1)
yxmxmxm
=-+
b)
2
6
xmx
y
xm
+-
=
-

c)
322
3(1)(232)(1)
yxmxmmxmm
= +-+
d)
2
2
1
xmxm
y
xm

+-+
=
-+

Baøi 3. Tìm m để hàm số:
a)
32
23(1)6(2)1
yxmxmx
=+-+
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song
với đường thẳng y = –4x + 1.
b)
32
23(1)6(12)
yxmxmmx
=+-+- có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên
đường thẳng y = –4x.
c)
32
73
yxmxx
=+++
có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với
đường thẳng y = 3x – 7.
d)
322
3
yxxmxm
=-++

có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng (D):
15
22
yx
=-
.





Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 11



1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D Ì R).
a)
00
(),
max()
:()
D
fxMxD
Mfx
xDfxM
ì
£"Î

=Û
í
$Î=
î

b)
00
(),
min()
:()
D
fxmxD
mfx
xDfxm
ì
³"Î
=Û
í
$Î=
î

2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì
[;][;]
max()(),min()()
abab
fxfbfxfa
==.
b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì
[;][;]

max()(),min()()
abab
fxfafxfb
==.

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

·
Tính f
¢
(x).

·
Xét dấu f
¢
(x) và lập bảng biến thiên.

·
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].

·
Tính f
¢
(x).

·
Giải phương trình f
¢

(x) = 0 tìm được các nghiệm x
1
, x
2
, …, x
n
trên [a; b] (nếu có).

·
Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
).

·
So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.

{
}
12
[;]
max()max(),(),(),(), ,()
n
ab
Mfxfafbfxfxfx
==

{
}
12
[;]
min()min(),(),(),(), ,()
n
ab
mfxfafbfxfxfx
==

Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
43
yxx
=++
b)
34
43
yxx
=- c)
42
22
yxx
=+-

d)
2
2
yxx

=+-
e)
2
1
22
x
y
xx
-
=
-+
f)
2
2
245
1
xx
y
x
++
=
+

g)
2
1
(0)
yxx
x
=+>

h)
2
2
1
1
xx
y
xx
-+
=
++
i)
42
3
1
(0)
xx
yx
xx
++
=>
+

Baøi 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
32
23121
yxxx
=+-+
trên [–1; 5] b)

3
3
yxx
=-
trên [–2; 3]
c)
42
23
yxx
=-+
trên [–3; 2] d)
42
25
yxx
=-+
trên [–2; 2]
e)
31
3
x
y
x
-
=
-
trên [0; 2] f)
1
1
x
y

x
-
=
+
trên [0; 4]
g)
2
477
2
xx
y
x
++
=
+
trên [0; 2] h)
2
2
1
1
xx
y
xx
-+
=
+-
trên [0; 1]
III. GIÁ TR
Ị LỚN NHẤT

VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 12

i)
2
100
yx
=- trờn [6; 8] k) 24
yxx
=++-

Baứi 3. Tỡm GTLN, GTNN ca cỏc hm s sau:
a)
2sin1
sin2
x
y
x
-
=
+
b)
2
1
coscos1
y
xx
=
++

c)
2
2sincos1
yxx
=-+

d)
cos22sin1
yxx
=
e)
33
sincos
yxx
=+ f)
2
42
1
1
x
y
xx
-
=
-+

g)
22
42523
yxxxx

=-++-+
h)
22
443
yxxxx
=-++-+


VN 2: Tỡm GTLN, GTNN ca hm s bng cỏch dựng bt ng thc
Cỏch ny da trc tip vo nh ngha GTLN, GTNN ca hm s.

ã
Chng minh mt bt ng thc.

ã
Tỡm mt im thuc D sao cho ng vi giỏ tr y, bt ng thc va tỡm c tr thnh
ng thc.

Baứi 1. Gi s
{
}
(;;)/0,0,0,1
Dxyzxyzxyz
=>>>++=
. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu
thc:
111
xyz
P
xyz

=++
+++
.
HD:
111
3
111
P
xyz
ổử
=-++
ỗữ
+++
ốứ

S dng bt ng thc Cụsi:
[ ]
111
(1)(1)(1)9
111
xyz
xyz
ổử
++++=++
ỗữ
+++
ốứ


ị

P
Ê

3
4
. Du = xy ra

x = y = z =
1
3
. Vy
3
min
4
D
P
=
.
Baứi 2. Cho D =
5
(;)/0,0,
4
xyxyxy
ỡỹ
>>+=
ớý
ợỵ
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:

41

4
S
xy
=+ .
HD:
( )
11111
425
4
xxxxy
xxxxy
ổử
++++++++
ỗữ
ốứ



41
4()25
4
xy
xy
ổử
++
ỗữ
ốứ

ị
S

5. Du = xy ra

x = 1, y =
1
4
. Vy minS = 5.
Baứi 3. Cho D =
{
}
(;)/0,0,1
xyxyxy
>>+<
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:

22
1
11
xy
Pxy
xyxy
=++++
+
.
HD:
22
1
(1)(1)2
11
xy

Pxy
xyxy
=++++++-
+
=
111
2
11xyxy
++-
+
.
S dng bt ng thc Cụsi:
[ ]
111
(1)(1)()9
11
xyxy
xyxy
ổử
-+-++++
ỗữ
+
ốứ



1119
112
xyxy
++

+

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 13


Þ
P
³

5
2
. Dấu “=” xảy ra
Û
x = y =
1
3
. Vậy minP =
5
2
.
Baøi 4. Cho D =
{
}
(;)/0,0,4
xyxyxy
>>+³
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

22

2
342
4
xy
P
x
y
++
=+.
HD:
2
11
2
4882
xyyxy
P
x
y
æö
+
=+++++
ç÷
èø
(1)
Theo bất đẳng thức Cô–si:
11
2.1
44
xx
xx

+³=
(2)

3
22
113
3
88884
yyyy
yy
++³=
(3)

Þ
P
³

9
2
. Dấu “=” xảy ra
Û
x = y = 2. Vậy minP =
9
2
.

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị
Xét bài tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.
Gọi y
0

là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

0
()(1)
(2)
fxy
xD
ì
=
í
Î
î

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy
(sau khi biến đổi) có dạng: m
£
y
0

£
M (3)
Vì y
0
là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min();max()
DD
fxmfxM
==

Baøi 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)
2
2
1
1
xx
y
xx
++
=
-+
b)
2
2
2723
210
xx
y
xx
++
=
++
c)
2sincos1
sin2cos3
xx
y
xx
++

=
-+

d)
2sincos3
2cossin4
xx
y
xx
++
=
-+



VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min();max()
DD
fxmfxM
==
. Khi đó:
1) Hệ phương trình
()fx
xD
ì
=
í
Î
î
a

có nghiệm
Û
m
£

a

£
M.
2) Hệ bất phương trình
()fx
xD
ì
³
í
Î
î
a
có nghiệm
Û
M
³

a
.
3) Hệ bất phương trình
()fx
xD
ì
£

í
Î
î
b
có nghiệm
Û
m
£

b
.
4) Bất phương trình f(x)
³

a
đúng với mọi x
Û
m
³

a
.
5) Bất phương trình f(x)
£

b
đúng với mọi x
Û
M
£

b
.


Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 14

Baøi 1. Giải các phương trình sau:
a)
44
242
xx
-+-=
b)
3562
xx
x
+=+
c)
55
1
(1)
16
xx
+-=

Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
2

21
xxm
++=
b) 22(2)(2)
xxxxm
-++ +=

c) 36(3)(6)
xxxxm
++ +-=
d) 72(7)(2)
xxxxm
-++ +=

Baøi 3. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Î R:
a)
2
21
xxm
++>
b)
2
29
mxxm
+<+
c)
4
40
mxxm
-+³

Baøi 4. Cho bất phương trình:
32
210
xxxm
-+-+<
.
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Baøi 5. Tìm m để các bất phương trình sau:
a)
31
mxxm
£+
có nghiệm. b)
(2)1
mxmx
+-³+
có nghiệm x Î [0; 2].
c)
22
(1)1
mxxxx
-+£++
nghiệm đúng với mọi x Î [0; 1].

Trn S Tựng Kho sỏt hm s

Trang 15



1. nh ngha:
im
(
)
00
;()
Uxfx
gl im un ca th hm s y = f(x) nu tn ti mt khong (a; b)
cha im x
0
sao cho trờn mt trong hai khong (a; x
0
) v (x
0
; b) tip tuyn ca th ti
im U nm phớa trờn th cũn trờn khong kia tip tuyn nm phớa di th
2. Tớnh cht:
ã Nu hm s y = f(x) cú o hm cp hai trờn mt khong cha im x
0
, fÂÂ(x
0
) = 0 v
fÂÂ(x) i du khi x i qua x
0
thỡ
(

)
00
;()
Uxfx
l mt im un ca th hm s.
ã th ca hm s bc ba
32
yaxbxcxd
=+++
(a ạ 0) luụn cú mt im un v ú l
tõm i xng ca th.

Baứi 1. Tỡm im un ca th cỏc hm s sau:
a)
32
632
yxxx
=-++
b)
32
399
yxxx
= +
c)
42
63
yxx
=-+

d)

4
2
23
4
x
yx
=-+
e)
432
124810
yxxx
=-++
f)
54
3532
yxxx
=-+-

Baứi 2. Tỡm m, n th ca hm s sau cú im un c ch ra:
a)
32
3334
yxxmxm
=-+++
; I(1; 2). b)
3
2
8
(1)(3)
33

x
ymxmx
=-+-++-
; I(1; 3)
c)
32
1
ymxnx
=++
; I(1; 4) d)
32
2
yxmxnx
=-+-
;
2
;3
3
I
ổử
-
ỗữ
ốứ

e)
3
2
32
x
ymx

m
=-+-
; I(1; 0) f)
32
34
ymxmx
=++
; I(1; 2)
Baứi 3. Tỡm m th ca cỏc hm s sau cú 3 im un:
a)
5
43
4
(43)51
53
x
yxmxx
=-+++-
b)
2
2
1
1
xmx
y
x
+-
=
+

Baứi 4. Chng minh th ca cỏc hm s sau cú 3 im un thng hng:
a)
2
21
1
x
y
xx
+
=
++
b)
2
1
1
x
y
x
+
=
+
c)
2
2
23
1
xx
y
x
-

=
+

d)
2
21
1
x
y
x
+
=
+
e)
2
1
x
y
x
=
+
f)
2
2
25
1
xx
y
xx
++

=
-+

g)
2
2
23
33
xx
y
xx
-
=
-+
h)
2
2
3
1
xx
y
x
+
=
+
i)
3
2
45
x

y
xx
=
-+

Baứi 5. Tỡm m, n th ca cỏc hm s:
a)
432
2621
yxxxmxm
= ++-
cú hai im un thng hng vi im A(1; 2).
b)
3
2
2
33
x
yxmx
= ++
cú im un trờn ng thng
2
yx
=+
.
c)
42
1
4
yxmxn

=-++
cú im un trờn Ox.


IV. I
M UN CA TH

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 16



1. Định nghĩa:
· Đường thẳng
0
xx
=
đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
()
yfx
=
nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

0
lim()
xx
fx
+
®

=+¥
;
0
lim()
xx
fx
+
®
=-¥
;
0
lim()
xx
fx
-
®
=+¥
;
0
lim()
xx
fx
-
®
=-¥

· Đường thẳng
0
yy
=

đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
()
yfx
=
nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

0
lim()
x
fxy
®+¥
=
;
0
lim()
x
fxy
®-¥
=

· Đường thẳng
,0
yaxba
=+¹
đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
()
yfx
=

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

[
]
lim()()0
x
fxaxb
®+¥
-+=
;
[
]
lim()()0
x
fxaxb
®-¥
-+=

2. Chú ý:
a) Nếu
()
()
()
Px
yfx
Qx
== là hàm số phân thức hữu tỷ.
· Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x
0
thì đồ thị có tiệm cận đứng

0
xx
=
.
· Nếu bậc(P(x)) £ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.
· Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.
b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các
công thức sau:

[ ]
()
lim;lim()
xx
fx
abfxax
x
®+¥®+¥
==-
hoặc
[ ]
()
lim;lim()
xx
fx
abfxax
x
®-¥®-¥
==-

Baøi 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a)
25
1
x
y
x
-
=
-
b)
103
12
x
y
x
+
=
-
c)
23
2
x
y
x
+
=
-

d)
2

43
1
xx
y
x
-+
=
+
e)
2
(2)
1
x
y
x
-
=
-
f)
2
745
23
xx
y
x
++
=
-

Baøi 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a)
2
45
x
y
xx
=
-+
b)
2
2
9
x
y
x
+
=
-
c)
2
2
45
1
xx
y
x
++
=
-

d)
2
2
233
1
xx
y
xx
++
=
++
e)
3
2
1
1
xx
y
x
++
=
+
f)
4
3
4
1
xx
y
x

-+
=
-

Baøi 3. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a)
2
4
yxx
=- b)
2
42
9
x
y
x
+
=
-
c)
2
1
43
y
xx
=
-+

V. ĐƯ
ỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 17

d)
1
1
x
yx
x
-
=
+
e)
3
23
3
yxx
=-
f)
2
32
2
xx
y
x
-+
=
-

Baøi 4. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a)
21
21
x
x
y
+
=
-
b) ln
2
xx
ee
y
-
-
= c)
2
ln(56)
yxx
=-+

Baøi 5. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:
a) y
xmxm
22
3
42(23)1
=

+++-
b)
2
2
2
32(1)4
x
y
xmx
+
=
+++
c)
2
3
2
x
y
xxm
+
=
++-

d)
x
y
xmxm
22
3
2(2)1

-
=
++++
e)
x
y
xmxm
22
1
2(1)2
-
=
+-+-
f)
2
3
221
y
xmxm
=
++-

Baøi 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có tiệm cận xiên:
a)
2
(32)21
5
xmxm
y
x

+++-
=
+
b)
2
(21)3
2
mxmxm
y
x
++++
=
+

Baøi 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau chắn trên
hai trục toạ độ:
a)
2
31
1
xx
y
x
++
=
-
b)
2
34
2

xx
y
x
-+-
=
+
c)
2
7
3
xx
y
x
+-
=
-

Baøi 8. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam giác
có diện tích S đã chỉ ra:
a)
2
1
1
xmx
y
x
+-
=
-
; S = 8 b)

2
(21)23
1
xmxm
y
x
+ +
=
+
; S = 8
c)
2
22(21)45
1
xmxm
y
x
+++-
=
+
; S = 16 d)
2
22
1
xmx
y
x
+-
=
-

; S = 4
Baøi 9. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị của các hàm số
đến hai tiệm cận bằng một hằng số:
a)
2
1
1
xx
y
x
-+
=
-
b)
2
254
3
xx
y
x
+-
=
+
c)
2
7
3
xx
y
x

+-
=
-



















Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 18




1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
· Tìm tập xác định của hàm số.

· Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y¢.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y¢ bằng 0 hoặc không xác định.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.
· Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
– Tính y¢¢.
– Tìm các điểm tại đó y¢¢ = 0 và xét dấu y¢¢.
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị.
+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ
độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức
tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác
hơn.
+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.
2. Hàm số bậc ba
32
(0)
yaxbxcxda
=+++¹
:
· Tập xác định D = R.
· Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
· Các dạng đồ thị:

a > 0 a < 0
y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Û ’ = b
2
– 3ac > 0

y’ = 0 có nghiệm kép
Û ’ = b
2
– 3ac = 0


y’ = 0 vô nghiệm
Û ’ = b
2
– 3ac < 0

3. Hàm số trùng phương
42
(0)
yaxbxca
=++¹
:
y

x

0

I

y

x

0

I

y

x

0

I

y

x

0

I

VI. KH
ẢO SÁT SỰ BIẾN THI
ÊN

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 19

ã Tp xỏc nh D = R.

ã th luụn nhn trc tung lm trc i xng.
ã Cỏc dng th:

4. Hm s nht bin
(0,0)
axb
ycadbc
cxd
+
=ạ-ạ
+
:
ã Tp xỏc nh D = \
d
R
c
ỡỹ
-
ớý
ợỵ
.
ã th cú mt tim cn ng l
d
x
c
=-
v mt tim cn ngang l
a
y
c

=
. Giao im ca
hai tim cn l tõm i xng ca th hm s.
ã Cỏc dng th:


5. Hm s hu t
2
(.'0,)
''
axbxc
yaatửỷkhoõngchiaheỏtchomaóu
axb
++
=ạ
+
:
ã Tp xỏc nh D =
'
\
'
b
R
a
ỡỹ
-
ớý
ợỵ
.
ã th cú mt tim cn ng l

'
'
b
x
a
=-
v mt tim cn xiờn. Giao im ca hai tim
cn l tõm i xng ca th hm s.
ã Cỏc dng th:

a.a > 0 a.a < 0

a > 0 a < 0
y = 0 cú 3 nghi
m phõn
bit
ab < 0







y = 0 ch cú
1 nghim
ab > 0

y

x

0

y

x

0

y

x

0

y

x

0

0

ad bc > 0

x

y



0

ad bc < 0

x

y

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 20

y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt


y¢ = 0 vô nghiệm

Baøi 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
32
391
yxxx
= +
b)
32
335
yxxx
=+++
c)
32
32
yxx
=-+-

d)
2
(1)(4)
yxx
=
e)
3
2
1
33
x
yx
=-+

f)
32
342
yxxx
= +

Baøi 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
42
21
yxx
=
b)
42
41
yxx
=-+
c)
4
2
5
3
22
x
yx
=-+

d)
22
(1)(1)

yxx
=-+
e)
42
22
yxx
=-++
f)
42
248
yxx
=-++

Baøi 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
1
2
x
y
x
+
=
+
b)
21
1
x
y
x
+

=
-
c)
3
4
x
y
x
-
=
-

d)
12
12
x
y
x
-
=
+
e)
31
3
x
y
x
-
=
-

f)
2
21
x
y
x
-
=
+

Baøi 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
2
1
1
xx
y
x
++
=
+
b)
2
2
1
xx
y
x
++
=

-
c)
2
2
1
xx
y
x
+-
=
+

d)
1
1
1
yx
x
=-++
-
e)
2
1
x
y
x
=
-
f)
2

2
1
xx
y
x
-
=
+

Baøi 5. Vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
3
32
yxx
=-+
b)
32
32
yxx
=-+-
c)
42
23
yxx
=

d)
1
1
x

y
x
+
=
-
e)
2
2
1
xx
y
x
-+
=
-
f)
2
33
2
xx
y
x
++
=
+


0

x

y

0

x

y

Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 21



1. S TNG GIAO CA CC TH
1. Cho hai th (C
1
): y = f(x) v (C
2
): y = g(x). tỡm honh giao im ca (C
1
) v (C
2
)
ta gii phng trỡnh: f(x) = g(x) (*) (gi l phng trỡnh honh giao im).
S nghim ca phng trỡnh (*) bng s giao im ca hai th.
2. th hm s bc ba
32
(0)
yaxbxcxda

=+++ạ
ct trc honh ti 3 im phõn bit
Phng trỡnh
32
0
axbxcxd
+++=
cú 3 nghim phõn bit.
Hm s
32
yaxbxcxd
=+++
cú cc i, cc tiu v
.0
CẹCT
yy
<
.

Baứi 1. Tỡm to giao im ca cỏc th ca cỏc hm s sau:
a)
2
3
3
22
1
22
x
yx
x

y
ỡ
=-+-
ù
ù
ớ
ù
=+
ù
ợ
b)
2
24
1
24
x
y
x
yxx
ỡ
-
=
ù
ớ-
ù
=-++
ợ
c)
3
43

2
yxx
yx
ỡ
=-
ớ
=-+
ợ

d)
42
2
1
45
yxx
yx
ỡ
ù
=-+
ớ
=-
ù
ợ
e)
32
2
5105
1
yxxx
yxx

ỡ
ù
=-+-
ớ
=-+
ù
ợ
f)
2
1
31
x
y
x
yx
ỡ
ù
=
ớ
-
ù
=-+
ợ

Baứi 2. Bin lun theo m s giao im ca cỏc th ca cỏc hm s sau:
a)
yxx
ymx
3
32

(2)
ỡ
=
ớ
=-
ợ
b)
32
2
32
113
212
xx
yx
ymx
ỡ
=+-
ù
ù
ớ
ổử
ù
=++
ỗữ
ù
ốứ
ợ
c)
3
3

3
(3)
x
yx
ymx
ỡ
ù
=-+
ớ
ù
=-
ợ

d)
21
2
2
x
y
x
yxm
ỡ
+
ù
=
ớ
+
ù
=+
ợ

e)
1
1
2
x
y
x
yxm
ỡ
+
ù
=
ớ
-
ù
=-+
ợ
f)
2
63
2
xx
y
x
yxm
ỡ
-+
ù
=
ớ

+
ù
=-
ợ

g)
1
3
1
3
yx
x
ymx
ỡ
ù
=-++
ớ
-
ù
=+
ợ
h)
2
33
2
41
xx
y
x
ymxm

ỡ
-+
ù
=
ớ
-
ù
=
ợ
i)
yxx
ymx
3
2
21
(1)
ỡ
ù
=-+
ớ
=-
ù
ợ

Baứi 3. Tỡm m th cỏc hm s:
a)
2
(2)1
;1
2

x
yymx
x
+-
==+
+
ct nhau ti hai im phõn bit.
b)
2
23
;2
1
xxm
yyxm
x
-+
==+
-
ct nhau ti hai im phõn bit.
c)
2
;2
1
mxxm
yymx
x
++
==+
-
ct nhau ti hai im cú honh trỏi du.

d)
2
45
;2
2
xx
yymx
x
++
==+
+
ct nhau ti hai im cú honh trỏi du.
e)
2
(2)
;3
1
x
yymx
x
-
==+
-
ct nhau ti hai im thuc hai nhỏnh khỏc nhau.
VII. MT S BI TON LIấN QUAN
N KHO ST HM S
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 22

f)

2
1
mxxm
y
x
++
=
-
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Baøi 4. Tìm m để đồ thị các hàm số:
a)
32
32;2
yxxmxmyx
=+++=-+
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b)
32
3(12)1
ymxmxmx
=+
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c)
22
(1)(3)
yxxmxm
= +-
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d)
322

2221;22
yxxxmyxx
=+-+-=-+
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e)
3222
23;21
yxxmxmyx
=+-+=+
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Baøi 5. Tìm m để đồ thị các hàm số:
a)
42
21;
yxxym
= =
cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.
b)
423
(1)
yxmmxm
=-++ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
c)
422
(23)3
yxmxmm
= +- cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Baøi 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số:
a)
31

;2
4
x
yyxm
x
+
==+
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB
ngắn nhất.
b)
41
;
2
x
yyxm
x
-
==-+
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB
ngắn nhất.
c)
2
24
;22
2
xx
yymxm
x

-+
==+-
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính AB
theo m.
Baøi 7. Tìm m để đồ thị của các hàm số:
a)
32
368
yxmxmx
=-+-
cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số
cộng.
b)
32
391;4
yxxxyxm
= +=+
cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của
đoạn AC.
c)
422
(24)
yxmxm
=-++ cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số
cộng.
d)
32
(1)(1)21
yxmxmxm

=-+ +-
cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành
một cấp số nhân.
e)
32
3(22)9192
yxmxmx=++++ cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một
cấp số nhân.











Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 23

2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

· Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)

· Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một
trong các dạng sau:
Dạng 1: F(x, m) = 0 Û f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m
· d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
· Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0 Û f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.
Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.

Dạng 3: F(x, m) = 0 Û f(x) = kx + m (3)
(k: không đổi)
Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = kx + m
· Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương
với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m).
· Viết phương trình các tiếp tuyến d

1
, d
2
, … của (C)
có hệ số góc k.
· Dựa vào các tung độ gốc m, b
1
, b
2
, … của d, d
1
, d
2
, …
để biện luận.

Dạng 4: F(x, m) = 0 Û f(x) = m(x – x
0
) + y
0
(4)
Khi đó (4) có thể xem là phương trình
hoành độ giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m(x – x
0
) + y
0

· d quay quanh điểm cố định M

0
(x
0
; y
0
).
· Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, …
của (C) đi qua M
0
.
· Cho d quay quanh điểm M
0
để biện luận.


Chú ý:

·
Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:
a

£
x
£

b

thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với
a

£
x
£

b
.

·
Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.



y

c.
x

m

A

(C)

c
.
(d) : y = m

c.
y
CĐ

y
CT

x
A

y

x

A

y = kx

c.
m

(C)

M
1

M
2

b

1

b
2

d
1

d

d
2

O

y

x
0

d
3

d
1

y
0

0

(C)

c.
M
1

M
2

d
2

m = –
¥

m = +
¥

m > 0

m = 0

m < 0

d


I

IV


(–)

(+)

M

x

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 24

VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các
dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.

Baøi 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m
số nghiệm của phương trình:
a)
33
31;310
yxxxxm
=-+-+-=
b)
33
31;310
yxxxxm

=-+ ++=

c)
332
31;3220
yxxxxmm
=-+ =
d)
33
31;340
yxxxxm
=-+ ++=

e)
4
242
22;4420
2
x
yxxxm
=-++ +=
f)
4242
22;220
yxxxxm
=-+ +=

Baøi 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m
số nghiệm của phương trình:
a)

2
2
57
;(5)370
3
xx
yxmxm
x
-+
=-+++=
-

b)
2
2
242
;22(2)320
23
xx
yxmxm
x
-+
=-+-+=
+

c)
2
2
1
;(1)210

x
ymxx
x
+
=-+-=

d)
2
2
24
;2(1)4(1)0
24
xx
yxmxm
x
-+
=-+++=
-

Baøi 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m
số nghiệm của phương trình:
a)
2
2
2
;2sin2cos20(0)
21
x
ymm
x

=+ =££
-
aaap

b)
2
23
;cos2(3)cos210(0)
2
xx
ymm
x
-
=-+++=££
-
aaap

c)
2
2
33
;cos(3)cos320(0)
2
xx
ymm
x
++
=+-+-=££
+
aaap

d)
3232
36;cos3cos60
yxxxxm
=-+-+-=

Baøi 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m
số nghiệm của phương trình:
a)
2
57
;2(37)25
3
tt
xx
ymm
x
-
-+
=++=+
-

b)
2
1
;2(1)21
1
tt
xx

ymm
x
-
+-
=+-=-
-

c)
2
2
254
;2(5)40
1
tt
xx
yemem
x
-+
=-+++=
-

d)
2
2
54
;(5)40
tt
xx
yeme
x

-+
=-++=

Baøi 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T).
Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a)
222
363636
():;():;20
111
xxxxxx
CyTym
xxx
-+-+-+
==-=