Đề thi môn toán học

Khóa h
ọ
c
LTðH ñ
ả
m b
ả
o
môn
Toán
–

Th
ầ
y Phan Huy Kh
ả
i

ðề kiểm tra ñịnh kỳ số
01


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-




Bài 1

:
Cho hàm số y =
2 3
2
x
x
−
−
có ñồ thị là (C)
Tìm trên (C) những ñiểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB
ngắn nhất.
Giải:

Gọi M(x
o
;
0
0
2 3
2
x
x
−
−
)
∈
(C) .
Phương trình tiếp tuyến tại M: (
∆
) y =

2
0 0
2 2
0 0
2 6 6
( 2) ( 2)
x x
x
x x
− +
−
+
− −

(
∆
)
∩
TCð = A (2;
0
0
2 2
2
x
x
−
−
)
(
∆

)
∩
TCN = B (2x
0
–2; 2)
0
0
2
(2 4; )
2
AB x
x
−
= −
−

⇒
AB =
2
0
2
0
4
4( 2) 2 2
( 2)
cauchy
x
x
− +
−

≥

⇒
AB min =
2 2
⇔

0
3 (3;3)
1 (1;1)
o
x M
x M
= →


= →


Bài 2:

Cho hàm số
3 2
3( 1) 9
y x m x x m
= − + + −
, với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho ứng với

1
m
=
.
2. Xác ñịnh
m
ñể hàm số ñã cho ñạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
− ≤
.
Giải
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho ứng với
1
m
=
.
Víi
1
m
=
ta cã
3 2
6 9 1
y x x x

= − + −
.
* TËp x¸c ®Þnh: D = R
* Sù biÕn thiªn
HƯỚNG DẪN GIẢI
ðỀ KIỂM TRA ðỊNH KỲ SỐ 01

Khúa h

c
LTH ủ

m b

o
mụn
Toỏn


Th

y Phan Huy Kh

i

kim tra ủnh k s
01


Hocmai.vn Ngụi trng chung ca hc trũ Vit

Tng ủi t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-



Chiều biến thiên:
2 2
' 3 12 9 3( 4 3)
y x x x x
= + = +

Ta có
3
' 0
1
x
y
x
>

>

<

,
' 0 1 3
y x
< < <
.

Do đó:
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( ;1)

và
(3; )
+
.
+ Hm số nghịch biến trên khoảng
(1, 3).


Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
1
x
=
và
(1) 3
CD
y y
= =
; đạt cực tiểu tại
3
x
=
và
(3) 1
CT
y y
= =

.

Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
+
= = +
.

Bảng biến thiên:


Đồ thị:
Hc sinh t v
Đồ thị cắt trục tung tại điểm
(0, 1)

.
2. Xỏc ủnh
m
ủ hm s ủó cho ủt cc tr ti
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x

.
Ta có
2
' 3 6( 1) 9.
y x m x
= + +

+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
1 2
,
x x



phơng trình
' 0
y
=
có hai nghiệm pb là
1 2
,
x x



Pt
2
2( 1) 3 0
x m x
+ + =

có hai nghiệm phân biệt là
1 2
,
x x
.

2
1 3
' ( 1) 3 0
1 3
m
m
m

> +
= + >

<



(1)

+) Theo định lý Viet ta có
1 2 1 2
2( 1); 3.
x x m x x
+ = + =
Khi đó
( ) ( )

2 2
1 2 1 2 1 2
2 4 4 4 1 12 4
x x x x x x m
+ +


2
( 1) 4 3 1 (2)
m m
+

Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là
3 1 3
m
<
và
1 3 1.
m
+ <

Bi 3:

Cho hàm số
2
1
x
y
x
+

=

(C).
Khúa h

c
LTH ủ

m b

o
mụn
Toỏn


Th

y Phan Huy Kh

i

kim tra ủnh k s
01


Hocmai.vn Ngụi trng chung ca hc trũ Vit
Tng ủi t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-

Cho điểm A(0;a). Xác định a đ

từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tơng ứng nằm
về hai phía trục Ox.

Gii:

Phơng trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y=kx+a (1)
Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A:
2
2
(2)
1
3
(3)
( 1)
x
kx a
x
k
x
+

= +

=



có nghiệm
1
x


Thay (3) vào (2) và rút gọn ta đợc:
2
( 1) 2( 2) 2 0 (4)
a x a x a + + + =

Để (4) có 2 nghiệm
1
x

là:
1
1
(1) 3 0
2
' 3 6 0
a
a
f
a
a

=

>


= + >


Hoành độ tiếp điểm
1 2
;
x x
là nghiệm của (4)
Tung độ tiếp điểm là
1
1
1
2
1
x
y
x
+
=

,
2
2
2
2
1
x
y
x
+
=


Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục Ox là:
1 2
1 2
1 2
( 2)( 2)
. 0 0
( 1)( 1)
x x
y y
x x
+ +
< <


1 2 1 2
1 2 1 2
2( ) 4

9 6 2
0 0
( ) 1 3 3
x x x x
a
a
x x x x
+ + +
+
< < >
+ +

Vậy
2
1
3
a
<
thoả mãn đkiện bài toán.
Bi 4
:

Cho hm s y = x
3
- 3x
2
+ 4 (C)
Gi (d) l ủng thng ủi qua ủim A(2 ; 0) cú h s gúc k.Tỡm k ủ (d) ct (C) ti ba ủim phõn bit A;
M; N sao cho hai tip tuyn ca (C ) ti M v N vuụng gúc vi nhau.
Gii:

Gi (d) l ủng thng ủi qua ủim A(2 ; 0) cú h s gúc k.Tỡm k ủ (d) ct (C) ti ba ủim phõn bit A ;
M ; N sao cho hai tip tuyn ca (C ) ti M v N vuụng gúc vi nhau.
+ PT ủng thng d: y=k(x-2)
+Honh ủ A;M;N l nghim PT: x
3
-3x
2
+4=k(x-2)

(x-2)(x
2
-x-2-k)=0

x=2=x
A
;f(x)=x
2
-x-2-k=0
Khóa h
ọ
c
LTðH ñ
ả
m b
ả
o
môn
Toán
–

Th
ầ
y Phan Huy Kh
ả
i

ðề kiểm tra ñịnh kỳ số
01


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-


+ PT có 3nghiệm phân biệt
⇔
f(x)=0 có 2nghiệm phân biệt khác 2
⇔
0
9
0
(2) 0
4
k
f
∆ >

⇔ − < ≠


≠

.Theo Viét ta có
1
2
M N
M N
x x
x x k
+ =


= − −


+ Tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau
⇔
y
'
(x
M
).y
'
(x
N
)=-1
⇔
(
2 2

3 6 )(3 6 ) 1
M M N N
x x x x
− − = −

⇔
9k
2
+18k+1=0
3 2 2
3
k
− ±
⇔ = (thỏa mãn)
Bài 5:

Tìm m ñể pt sau có nghiệm:

3+x + 6-x + (x+3)(6-x) = m
Giải:
ðK: -3 ≤ x ≤ 6
ðặt t =
3+x + 6-x ⇒ t' = 0 ⇔ x =
3
2

Lập BBT ⇒ 3 ≤ t ≤ 3
2
PT ⇔
1

2
t
2

+ t -
9
2
= m
Xét hàm số: f(t) =
1
2
t
2

+ t -
9
2
∀t ∈ [3; 3 2]. ⇒ f'(t) > 0
Lập BBT ⇒ 3 ≤ m ≤ f(3
2) ⇔ 3 ≤ m ≤ 3 2 +
9
2






Nguồn :
Hocmai.vn