dùng đạo hàm tìm giá trị LN, NN của hàm số

NỘI DUNG ÔN TẬP ỨNG DỤNG VỀ ĐẠO HÀM
Chương 1. Ôn tập phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
hàm số.
Chương 2. Hệ thống một số dạng toán tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phương pháp đổi
biến số.
Chương 3. Hệ thống một số dạng toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức nhiều biến số
bằng phương pháp đổi biến số.
Các dạng toán:
a. Căn cứ vào mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức để phát hiện ra cách đổi biến.
b. Phương pháp đổi biến số S = x + y, P = x.y đối với bài toán tìm GTLN, NN của biểu thức
đối xứng theo 2 biến số x, y.
c. Phương pháp đổi biến số đối với biểu thức đối xứng theo 3 biến số x, y, z.
d. Tìm GTLN, NN qua biểu thức trung gian (do biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến).
CHƯƠNG 1. ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG CÁCH
KHẢO SÁT TRỰC TIẾP HÀM SỐ
1.1/ Phương pháp giải bài toán: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D.
Phương pháp chung
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D. Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận.
Lưu ý 1: Nếu D là đoạn [a; b] thì có thể làm như sau:
- Tính đạo hàm y
’
.
- Tìm các nghiệm của y
’
trong đoạn [a; b], giả sử các nghiệm này là x
1
, x
2

- Tính f(a), f(b), f(x
1

), f(x
2
)
- KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b].
Lưu ý 2: Khi KL về GTLN, GTNN tìm được phải nêu rõ nó đạt được khi x nhận giá trị nào.
1.2/ Bài tập tự luyện - Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của các hàm số sau:
2
( ) 4f x x x= + −
( ) 1 3f x x x= + + −
2 2
( ) 1 1f x x x= − + +
( )
2
( ) 1 1 .f x x x= + −
(
)
2
( ) 1f x x x x= − +
2
2 3
( )
1
x
f x
x
+
=
+
( ) sin 2 , ; .
2 2

f x x x x
π π
 
= − ∈ −
 
 
f(x)=5cosx–cos5x,
.
4 4
x
π π
− ≤ ≤
x
sinx+2cos
2
( ) , 0; .
x
2
cosx+2sin
2
f x x
π
 
= ∈
 
 
4 4
2 2 2 6 2 6y x x x x
= + + − + −
[ ]

2 2
1 1, 1;1y x x x x x
= + + − − + ∈ −
2 2
4 21 3 10y x x x x
= − + + − − + +
1
CHƯƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP TÌM GTLN, NN CỦA HÀM SỐ BẰNG
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1.1/Phương pháp giải
Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định
của hàm số hoặc thuộc một tập số cho trước)
Bước 1. Lựa chọn cách đặt ẩn phụ t theo x.
Bước 2. Chuyển ĐK của biến số x sang ĐK của biến số t. Giả sử tìm được
.t K
∈
Bước 3. Chuyển bài toán ban đầu thành bài toán mới đơn giản hơn. Cụ thể là: Tìm GTLN,
GTNN của hàm số f(t) trên tập số K.
1.2/ Ví dụ minh họa
Trước tiên sẽ lưu ý đến sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải một bài toán bằng phương
pháp đổi biến số nói chung, và bài toán tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp đổi biến nói riêng
thông qua ví dụ sau:
Ví dụ 1
• Sai lầm thường gặp
Đặt t = sinx, ta có hàm số theo t:
2
1
( )
1
t

f t
t t
+
=
+ +
.
Ta có:
2
'
2 2
2
( )
( 1)
t t
f t
t t
− −
=
+ +
, f
’
(t) = 0
⇔
0
2
t
t
=



= −

;
lim ( ) 0
x
f x
→±∞
=
.
Bảng biến thiên của hàm số f(t) như sau:
t
−∞
-2 0
+∞
f
’
(t
)
- 0 + 0 -
f(t)
0 1

1
3
−
0
Từ BBT suy ra:
3
1
)2()inf( −=−= ftM

;
1)0()( == ftMaxf
.
Từ đó có GTNN, GTLN của hàm số ban đầu lần lượt là
3
1
−
và 1.
• Phân tích sai lầm
Theo lời giải trên thì hàm số f(x) nhận GTNN là
3
1
−
khi: sinx = -2, điều này không xảy ra.
2
Tìm GTNN, GTLN của hàm số
2
sin 1
sin sin 1
x
y
x x
+
=
+ +
Mặc dù đã lựa chọn biến mới: t = sinx hợp lí nhưng chưa tìm điều kiện cho nó dẫn đến bài
toán tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới
2
1
( )

1
t
f t
t t
+
=
+ +
không tương thích với bài
toán ban đầu (ngoài ví dụ đang xét thì trong các ví dụ sau đều phải lưu ý điều này).
• Lời giải đúng
Đặt t = sinx, điều kiện
1 1.t
− ≤ ≤

Bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số
2
1
( )
1
t
f t
t t
+
=
+ +
trên đoạn
[ ]
1;1−
.
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn

[ ]
1;1−
như sau:
t -1 0 1
+∞
f
’
(t) + 0 -
1
f(t)
0
3
2
Từ bảng biến thiên suy ra GTNN, GTLN của hàm số f(t) trên đoạn
[ ]
1;1−
lần lượt là 0 (khi
và chỉ khi t = -1) và 1 (khi và chỉ khi t = 0).
Từ đó có: Maxy = 1 đạt được khi và chỉ khi:
Π=
kx
, Miny = 0 khi và chỉ khi:
Π+
Π
− 2
2
k
.
Nhận xét
Nếu biểu thức xác định của hàm số có thể phân chia thành các nhóm số hạng và giữa

chúng có một mối liên hệ cho bởi các hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua nhau thì ta
có thể đưa bài toán đó về bài toán đơn giản hơn bằng phương pháp đổi biến số.
Mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức xác định hàm số ở ví dụ trên là rõ ràng
dễ thấy, điều này giúp ta phát hiện cách đổi biến số không mấy khó khăn, tuy nhiên có những
trường hợp mối liên hệ giữa các nhóm số hạng được ẩn kín bên trong, đòi hỏi nhiều phép biến đổi
và có cách nhìn tinh mới phát hiện ra được.
Ví dụ 2
Nhận xét và hướng dẫn giải
Xét mối liên hệ giữa hai nhóm số hạng: sinx + cosx và sinx cosx,
Chúng có mối liên hệ với nhau bởi hệ thức dễ thấy sau
(sinx + cosx)
2
= sin
2
x + cos
2
x + 2sinx cosx = 1 + 2sinx cosx,
Nhận xét đó gợi cho ta suy nghĩ, đặt ẩn phụ
sin cos 2 sin
4
u x x x
Π
 
= + = +
 ÷
 
, với điều kiện
của biến số mới là
2 2.u− ≤ ≤
3

Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = sinx + cosx + sinx cosx
Khi đó
2
1
sin cos
2
u
x x
−
=
và bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số
2
1
( )
2
u
f u u
−
= +

trên đoạn
2; 2 .
 
−
 

Trên đoạn
2; 2
 
−

 
dễ dàng tìm được GTNN, GTLN của hàm số f(u) lần lượt là -1 (khi
và chỉ khi u = -1) và
2
1
2 +
(khi và chỉ khi u =
2
).
Từ đó có GTNN, LN của hàm số ban đầu.
Ví dụ 3
Nhận xét và hướng dẫn giải
Ta có: sin
4
x + cos
4
x =
2
1
1 sin 2
2
x−
và
1
sin cos sin 2 .
2
x x x
=
Từ phân tích trên ta thấy nếu đặt t = sin2x (điều kiện
1 1t− ≤ ≤

) ta có hàm số theo biến số t
sau:
2
1 1
( ) 2
2 2
h t t t= − + +
.
Và bài toán trở thành tìm GTNN, GTNN của hàm số h(t) trên đoạn [-1; 1].
Đáp số: Maxy =
17
8

⇔

12
x k
Π
= + Π
hoặc
5
12
x k
Π
= + Π
; Miny = 2
⇔

( ).
4

x k k Z
Π
= + Π ∈
Ví dụ 4
Nhận xét và hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số là
[ ]
1;3D = −
.
Để ý rằng:
( )
2
1 3 4 2 ( 1)(3 )x x x x+ − − = − + −
,
Vì thế nếu đặt
1 3t x x= + − −
thì
2
4
( 1)(3 )
2
t
x x
−
+ − =
và ta có hàm số theo biến t sau:
2
( ) 2
2
t

g t t= + −
.
Để tìm điều kiện cho biến số t ta lưu ý rằng
[ ]
2
4 2 ( 1)(3 ) 4, 1;3t x x x= − + − ≤ ∀ ∈ −
, từ đó suy
ra
2 2.t− ≤ ≤
(hoặc lập BBT của hàm số
( ) 1 3t x x x= + − −
trên
[ ]
1;3D = −
để suy ra
2 2.t− ≤ ≤
)
Bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số
2
( ) 2
2
t
g t t= + −
trên đoạn
[ ]
2;2−
.
Đáp số: Maxy = 2
⇔
x = 3; Miny =

2
5
−

⇔
.
2
7
1−=x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau bằng phương pháp đổi biến số:
4
Tìm GTNN, GTLN của hàm số
1 3 ( 1)(3 )y x x x x= + − − − + −
Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = sin
4
x +cos
4
x +sinx.cosx +1
y =
1cos
1coscos2
2
+
++
x
xx
4cos
1
4sin

1
−
−
+
=
xx
y

6 6
sin cos .sin .cosy x x a x x
= + +
(với a là tham số)
xxy cos1sin1 +++=
y =
2 2
sin os 1
3 3
x c x+
+
)8cos4(cos
2
1
)4cos2sin1(2 xxxxy
−−+=
xx
xx
y
24
24
cos2sin3

sin4cos3
+
+
=
y =
xx
xx
44
66
cossin1
cossin1
++
++
2
cos
sin (2cos sin )
x
y
x x x
=
−
, với
0 .
3
x
Π
< ≤
( )
[ ]
3

6 2
4 1 , 1;1y x x x= + − ∈ −
y =
( )
2
2 2
3
1 1x x− + −
4 2 4 2 2 2
(4cos 3sin )(4sin 3cos ) 25sin cos .y
α α α α α α
= + + +
3 2
3 2
1 1 1
y x x x
x x x
= + − − + +
f(x)=
22
5884
2
234
+−
+−+−
xx
xxxx

4 2 2
2 2

2 1 1 1 3
( )
1 1 1
x x x
f x
x x
− + − + + +
=
− + + +
CHƯƠNG 3. TÌM GTLN, NN CỦA BIỂU THỨC CÓ NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG
PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
2.1/Phương pháp giải
Để tìm GTLN, GTNN của một biểu thức có chứa nhiều hơn một biến số nào đó ta có thể
dùng phương pháp đổi biến số như sau:
Bước 1. Biểu diễn các biến số của biểu thức ban đầu theo một biến số mới.
Bước 2. Tìm điều kiện cho biến số mới (dựa trên điều kiện của các biến số ban đầu).
Bước 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới tương ứng với điều kiện của nó.
Một số bất đẳng thức cơ sở thường sử dụng:
1/ Với a, b, c bất kỳ, ta có:

2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
1/ 2
2 /( ) 4
3/ 2( ) ( )
4 /

5/( ) 3( )
6 /3( ) ( ) .
a b ab
a b ab
a b a b
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b c a b c
+ ≥
+ ≥
+ ≥ +
+ + ≥ + +
+ + ≥ + +
+ + ≥ + +
2/ BĐT Côsi - Với a, b, c không âm, ta có:
( )
3
3
2 , 3 , 27a b ab a b c abc a b c abc
+ ≥ + + ≥ + + ≥

2.2/ Ví dụ minh họa
a. Căn cứ vào mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức để phát hiện ra cách
đổi biến.
Ví dụ 1
Nhận xét và hướng dẫn giải
5
Cho x, y, z là các số dương. Tìm GTNN của biểu thức
3
3

.
xyz
x y z
P
x y z
xyz
+ +
= +
+ +
Dễ thấy
3
3
. 1
xyz
x y z
x y z
xyz
+ +
=
+ +
, do đó nếu đặt
3
x y z
t
xyz
+ +
=
ta được biểu thức theo biến số t là:
1
( )P t t

t
= +
.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:
3
3 3
3
3
xyz
x y z
t
xyz xyz
+ +
= ≥ =
.
Do đó bài toán quy về tìm GTNN của hàm số
1
( )P t t
t
= +
trên khoảng
[
)
3; .+∞
Vì
2
'
2
1
( ) 0, 3

t
P t t
t
−
= > ∀ ≥
nên hàm số P(t) đồng biến trên khoảng
[
)
3; +∞
Từ đó có
[
)
3;
10
( ) (3)
3
Min P t P
+∞
= =
, đây cũng là GTNN của biểu thức P.
Ví dụ 2
Nhận xét và hướng dẫn giải
Ta có:
2
2 2
2 2
2 (2 ).
x y x y
a
y x y x

 
+ = + −
 ÷
 
2
2
2
4 4 2 2
4 4 2 2
2 2 2 (2 ).
x y x y x y
b
y x y x y x
 
 
 
 ÷
+ = + − = + − −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
Từ (2a) và (2b) ta thấy nếu đặt
x y
t
y x
= +
thì:

4 2
5 4T t t t= − + +
,
Cũng từ (2a) có:
2 2
2
2 2
2 4 4.
x y
t t
y x
= + + ≥ ⇒ ≥
Bài toán trở thành: Tìm GTNN của hàm số
4 2
( ) 5 4T t t t t= − + +
trên miền
( ; 2] [2; ).D = −∞ − ∪ + ∞
Ta có:
' 3 2
( ) 4 10 1 4 ( 4) 6 1T x t t t t t= − + = − + +
, để ý rằng
2
4 0,t x D− ≥ ∀ ∈
nên suy ra dấu của T
’
(t)
trên D và có bảng biến thiên như sau:
t
+∞
-2 2

+∞
T
’
(t
)
- +
+∞
+∞
T(t)
-2 2
Từ bảng biến thiên suy ra GTNN của T(t) trên D là -2 khi và chỉ khi: t = -2.
6
Cho x, y khác 0. Tìm GTNN của biểu thức
4 4 2 2
4 4 2 2
.
x y x y x y
T
y x y x y x
 
= + − + + +
 ÷
 
Từ đó có: Min(T) = -2, đạt được khi và chỉ khi x = - y (x và y khác 0) .
Ví dụ 3
Nhận xét và hướng dẫn giải
Ta có H =
( )
x
y

y
x
yx
yx ++=








++ 2
11
.
Vì thế nếu đặt
y
x
t =
ta có hàm số theo biến số t sau:
.
1
2)(
t
ttH ++=
Từ điều kiện ràng buộc
21 ≤≤≤ yx
ta suy ra:
1
2

1
≤≤
y
x
, do đó






∈ 1;
2
1
t
.
Bài toán trở thành: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
t
ttH
1
2)( ++=
trên đoạn






1;
2

1
.
Vì






∈∀≤
−
= 1;
2
1
0
1
)(
2
2
'
t
t
t
tH
nên H(t) là hàm số nghịch biến trên đoạn này
Từ đó có GTLN của H(t) trên đoạn







1;
2
1
là
2
9
khi: t =
2
1
, còn GTNN trên đoạn này của
H(t) bằng 4 khi: t = 1.
Đáp số: Max(H) =
2
9

⇔
(x; y) = (1; 2) ; Min(H) = 4
⇔
x = y (với
1 , 2).x y≤ ≤
Ví dụ 4
Nhận xét và hướng dẫn giải
Biến đổi:
2 2
2 2
1 1
2
2

x y x y
Q
x y
x y xy
xy y x
y x
xy
+
= + = + +
+ −
+ −
. Đặt
x y
t
y x
= +
, thì theo t ta có:
1
( )
2
Q t t
t
= +
−

Hơn nữa dễ thấy
2
x y
y x
+ >

(với x, y dương và x khác y) nên ta có t > 2.
Vì thế quy về bài toán quen thuộc: Tìm GTNN của hàm số
1
( )
2
Q t t
t
= +
−
trên khoảng
( )
∞+;2
.
Ta có



=
=
⇔=
−
+−
=
3
1
0)(',
)2(
34
)('
'

2
2
'
t
t
tQ
t
tt
tQ
. BBT của Q(t) trên khoảng
( )
∞+;2
như sau:
t 2 3
+∞
Q
'
(t
)
- 0 +

7
Tìm GTNN của
( )
2
2 2
1 1 1
Q xy
x y
x y

 
 ÷
= + +
 ÷
−
 
với x, y dương và x khác y.
Tìm GTLN, NN của H =
( )








++
yx
yx
11
. Biết x, y thoả mãn điều kiện
.21 ≤≤≤ yx
Q(t)
4
Từ bảng biến thiên suy ra GTNN của Q(t) trên khoảng
( )
∞+;2
là Q(3) = 4.
Đáp số: Min(P) = 4 đạt được khi và chỉ khi x

2
+ y
2
– 3xy = 0.
b. Tìm GTLN, NN của biểu thức M đối xứng với 2 biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏa
mãn một đẳng thức nào đó cũng đối xứng với x và y.
Cách giải:
1. Đặt
x y S
xy P
+ =


=

(ĐK
2
4S P≥
),
2. Biểu diễn giả thiết M theo S và P (1)
3. Biểu diễn biểu thức M theo S và P rồi kết hợp với (1) để biểu diễn M theo 1 biến S hoặc P.
4. Tìm ĐK cho S hoặc P (M theo biến nào thì tìm ĐK cho biến đó) bằng cách kết hợp (1) và
điều kiện
2
4S P≥
.
5. Tìm GTLN, NN của biểu thức M với điều kiện tìm được của biến số tìm được ở bước 4.
Lưu ý: Cách tìm ĐK ở bước 4 chỉ áp dụng khi cho x, y bất kỳ. Ví dụ nếu giả thiết cho thêm x > 0,
y > 0 thì phải lưu ý S > 0 và P > 0 để tìm ĐK cho chính xác.
Ví dụ 5

Nhận xét và hướng dẫn giải
Đặt S = x + y = 1, P = xy
Ta có: M = (xy)
3
– 3xy (x + y) + (x + y)
3
+ 1 = (xy)
3
– 3xy + 2 = P
3
– 3P + 2.
8
Cho x, y thoả mãn x + y = 1, Tìm GTLN, GTNN của M = (x
3
+ 1)(y
3
+ 1).
Lại có 1 = S
2

≥
4P suy ra:
1
.
4
P ≤

Vậy bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số M(P) = P
3
– 3P + 2 với

1
.
4
P ≤
Ta lập được bảng biến thiên của M(P) trên khoảng
1
;
4
 
−∞


 
như sau:
P
−∞
-1
1
4
M
’
(P
)
+ 0 -
4
M
’
(P
)
−∞

81
64
Từ bảng biến thiên suy ra GTNN không tồn tại còn GTLN của Q bằng 4, đạt được khi và
chỉ khi
1
1
x y
xy
+ =


= −

, giải hệ ta được
( )
1 5 1 5 1 5 1 5
; ; , ; .
2 2 2 2
x y
 
   
+ − − +
 
=
 ÷  ÷
 
 ÷  ÷
 

   
 
Ví dụ 6
Nhận xét và hướng dẫn giải
Ta có: M = 2(x + y)(x
2
+ y
2
– xy) – 3xy = 2(x + y)(2 – xy) – 3xy (6a),
Ngoài ra biến đổi giả thiết của bài toán ta có: x
2
+ y
2
= 2
⇔
(x + y)
2
– 2xy = 2 (6b)
Qua các phân tích trên thấy rằng nếu đặt t = x + y sẽ biểu diễn được xy theo biến t, từ đó
biểu diễn được biểu thức M theo t.
Thật vậy, từ (6b) có:
2 2
( ) 2 2
2 2
x y t
xy
+ − −
= =
, kết hợp với (6a) ta biểu diễn được biểu thức
ban đầu theo t là:

3 2
3
( ) 6 3
2
M t t t t= − − + +
.
Để x, y tồn tại ta phải có: (x + y)
2

≥
4xy nên t
2
≥
2(t
2
– 2) từ đó có
2 2t
− ≤ ≤
.
Từ đó có GTNN, GTLN của
( )M t
trên [-2; 2] là: Max(M) =
13
,
2
Min(M) = -7.
c. Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau:
Tính chất 1: M phụ thuộc vào 2 trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc x
2
+ y

2
+ z
2
.
Tính chất 2: Giả thiết cho trước giá trị của một trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc
x
2
+ y
2
+ z
2
.
9
Cho x, y thỏa mãn x
2
+ y
2
= 2, Tìm GTLN, NN của M = 2 (x
3
+ y
3
) – 3xy.
Cách giải:
1. Giả sử biểu thức M có mặt 2 trong 3 đại lượng nêu trên, khi đó có thể đặt một trong hai đại
lượng của biểu thức M là ẩn phụ t rồi dùng giả thiết của bài toán đã cho và kết hợp hằng đẳng thức
(x + y + z)
2
= x
2
+ y

2
+ z
2
– 2xy – 2yz – 2zx để biểu diễn đại lượng còn lại theo t.
2. Tìm ĐK cho t ta thường dùng một trong ba BĐT sau:
x
2
+ y
2
+ z
2

≥
xy + yz + zx hoặc (x + y + z)
2

≥
3(xy + yz + zx) hoặc 3(x
2
+ y
2
+ z
2
)
≥
(x + y + z)
2

3. Quy về bài toán đơn giản.
Ví dụ 7

Nhận xét và hướng dẫn giải
Ta có: R = (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
– xy – yz – zx) = (x + y + z)(1 – xy – yz – zx) (7a),
Viết lại giả thiết của bài toán thành: (x + y + z)
2
– 2(xy + yz + zx) = 1 (7b).
Đặt t = x + y + z thì từ (7b) ta có xy + yz + zx =
2
1
2
t −
, kết hợp với (7a) ta biểu diễn được
biểu thức ban đầu theo t là: R(t) =
1
2
(3t – t
3
).
Dễ dàng CM: x
2
+ y
2
+ z
2

≥
xy + yz + zx, từ đó suy ra
2
1
1
2
t −
≤
suy ra
3 3.t− ≤ ≤
Tìm GTLN, NN của R(t) trên đoạn
3; 3
 
−
 
, được: Max(R) = 1 ; Min(R) = -1.
d. Trường hợp biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìm GTNN,
GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian.
Ý tưởng: Nếu tìm GTLN, NN của biểu thức M không có dấu hiệu đổi biến số nhưng đánh giá
được M
≥
N thì thay vì tìm GTLN, NN của M ta đi thực hiện bài toán: tìm GTLN, NN của biểu
thức trung gian N.
Ví dụ 8
Nhận xét và hướng dẫn giải
Rõ ràng không có dấu hiệu nào để biểu diễn các biến số của biểu thức cho trong bài toán
theo một biến số mới, ta sẽ tìm GTNN của biểu thức M ban đầu thông qua việc tìm GTNN của
một biểu thức trung gian T, biểu thức này được xác định qua lập luận sau:
+ Trước hết theo BĐT Cô si ta có
M = x + y + z

3
3
1 1 1 3
3 xyz
x y z
xyz
+ + + ≥ +
, đẳng thức xảy ra
⇔
x = y = z (8a)
10
Cho x, y , z > 0 và x + y + z
3
2
≤
. Tìm GTNN của M = x + y + z
1 1 1
.
x y z
+ + +
Cho x, y , z thỏa mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= 1. Tìm GTLN, NN của R = x
3
+ y
3

+ z
3
– 3xyz.
+ Để tìm GTNN của biểu thức M ta đi tìm GTNN của biểu thức
3
3
3
3T xyz
xyz
= +
.
Đặt
3
3u xyz=
thì việc tìm GTNN của biểu thức T được quy về việc tìm GTNN của hàm số
9
( )T u u
u
= +
trên khoảng
3
0;
2
 


 
(vì
3
3

0 3
2
u xyz x y z< = ≤ + + ≤
).
Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến trên khoảng
3
0;
2
 


 
, nên
3
(0; ]
2
3 15
( )
2 2
MinT u T
 
= =
 ÷
 
.
Suy ra GTNN của biểu thức trung gian T là
15
2
(đạt được
⇔

x = y = z)
Tức là
3
3
3 15
3
2
T xyz
xyz
= + ≥
, đẳng thức xảy ra
⇔
x = y = z (8b).
+ Từ các kết quả (8a) và (8b) suy ra GTNN của biểu thức M ban đầu là
15
2
đạt được khi và chỉ khi
x = y = z.
Ví dụ 9
Nhận xét và hướng dẫn giải
Biến đổi giả thiết: xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1)
⇔
xy + yz + zx = 2xyz -1 + (x + y + z),
Do đó có: N = x
2
+ y
2
+ z
2
= (x + y + z)

2
– 2(xy + yz + zx)
= 2 - 2(x + y + z) + (x + y + z)
2
– 4xyz (9a)
Áp dụng BĐT Cauchy ta được
3
3






++
≤
zyx
xyz
, từ đây và (9a) suy ra:
3
2
3
4)()(22






++

−+++++−≥
zyx
zyxzyxN
, đẳng thức có
⇔
x = y = z. (9b)
Đặt t = x + y + z (0 < t < 3) thì từ (9b) ta có:
3
2
4
2 2 ( )
27
t
N t t f t≥ − + − =
.
Đến đây, bằng cách khảo sát hàm số ta được GTNN của hàm số f(t) trên khoảng (0 ; 3) là
4
3
, đạt được khi và chỉ khi
2
3
=t
. Từ đó có: Min(N) =
4
3
, đạt được khi và chỉ khi
.
2
1
=== zyx

Ví dụ 10
Nhận xét và hướng dẫn giải
Vì P > 0 với mọi x, y > 0 nên P đạt GTNN khi và chỉ khi P
2
đạt GTNN.
Kết hợp với giả thiết x + y = 1, ta có:
11
Cho các số x, y , z thuộc khoảng (0 ; 1) và thỏa mãn xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1).
Tìm GTNN của biểu thức N = x
2
+ y
2
+ z
2
.
Cho các số thực dương thoả mãn: x + y = 1. Tìm GTNN của biểu
thức:
.
11 y
y
x
x
P
−
+
−
=
[ ]
).()(32
1

32
1
2
3)()(
1
2
)1)(1(
2
11
32222
2
xyttft
t
xy
xy
xy
xy
xyyxyx
xyyx
xy
x
y
y
x
yx
xy
y
y
x
x

P
==−+=−+=
+
−++
=
+−−
++=
−−
+
−
+
−
=
Từ giả thiết và BĐT đúng
.
4
1
004)(
2
≤=<⇒>≥+ xytxyyx
Chứng minh được hàm số f(t) nghịch biến trên đoạn






4
1
;0

, suy ra GTNN của hàm số này
(chính là GTNN của P
2
) là
2)
4
1
( =f
, từ đó có kết quả bài toán.
BÀI TẬP
Bài 1 (PP thế). 1/ Cho x + y = 1. Tìm GTLN, NN của P = x
3
+ y
3
+ 3(x
2
– y
2
) + 3(x + y).
2/ Cho x, y
≥
0 và x + y = 1. Tìm GTNN của P = 3
2x
+ 3
y
.
3/ Cho x, y > 0 và x + y =5/4. Tìm GTNN của P =
4 1
.
4x y

+
4/ Cho
2
0, 12.y x x y≤ + = +
Tìm GTLN, NN của: xy + x + 2y +17.
Bài 2. (Dựa vào tính đẳng cấp).
1/ Tìm GTLN và GTNN của
2 2
2M x xy y= + −
biết: a.
2 2
1.x xy y− + =
b.
2 2
1.x xy y− + ≤
2/ Cho x
2
+ y
2
= 1. Tìm GTNN, GTLN của
2
2
2( 6 )
1 2 2
x xy
P
xy y
+
=
+ +

.
Bài 3. (Dấu hiệu đổi biến đơn giản)
1/ Cho x, y > 0. Tìm GTNN của
.
xy
x y
P
x y
xy
+
= +
+
2/ Cho các số dương x, y thỏa:
1
1x
y
+ ≤
. Tìm GTNN của biểu thức
x y
H
y x
= +
.
3/ Cho x, y dương và
1.x y+ ≤
Tìm GTLN, NN của:
1
C xy
xy
= +

.
12
Bài 3. (Đổi biến số S = x + y, P = xy với ĐK S
2
>= 4P hoặc S = x
2
+ y
2
, P = xy ĐK S
2
>= 4P
2
)
1/ Cho các số dương x và y thoả mãn x + y = 1. Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức sau:
a.
xyyx
A
11
33
+
+
=
, b.
11 +
+
+
=
x
y
y

x
B
, c. D = x
2
y
2
(x
2
+

y
2
).
2/ Cho x, y khác 0 thoả mãn: xy(x+y) = x
2
+ y
2
- xy. Tìm GTLN của
33
11
yx
N +=
.
3/ Cho 2 số x, y thỏa mãn: 1 – y
2
= x(x – y). Tìm GTLN, NN của F =
6 6
3 3
1x y
x y y x

+ −
+
4/ Cho các số thực không âm x, y không âm và thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của:
( ) ( )
2 2
S 4x 3y 4y 3x 25xy= + + +
5/ Cho x, y > 0 thỏa mãn x
2
y + y
2
x = x + y + 3xy. Tìm GTNN:
2
2 2
(2 1) 3
.
2
xy
A x y
xy
+ −
= + +
6/ Cho x, y thỏa mãn x
2
+ y
2
+ xy = 3. Tìm GTNN của N = x
3
+ y
3
– 3x – 3y.

7/ Cho x, y không âm và x
2
+ y
2
+ xy =3. Tìm GTLN, NN của P = x
3
+ y
3
– x
2
– y
2
.
8/ Cho x, y > 0 và x
2
- xy + y
2
= 1. Tìm GTLN, GTNN của P =
4 4
2 2
1
1
x y
x y
+ +
+ +
.
9/ Cho x, y thỏa x
2
(2x

2
– 1) + y
2
(2y
2
– 1) = 0. Tìm GTLN, NN của: P = x
2
(x
2
– 4) + y
2
(y
2
– 4) +
2(x
2
y
2
– 4).
10/ Cho x, y thỏa mãn 2(x
2
+ y
2
) = xy + 1. Tìm GTLN, GTNN của P = 7(x
4
+ y
4
) + 4x
2
y

2
.
11/ Cho x, y là hai số thực dương thỏa
2
33
=+ yx
. Chứng minh:
2
22
≤+ yx
.
12/ Cho x, y dương và xy + x + y = 3. CMR:
2 2
3 3 3
.
1 1 2
x y xy
x y
y x x y
+ + ≤ + +
+ + +
.
Bài 4 (PP Thế). Cho x, y, z thỏa x + y + z = 0 và x
2
+ y
2
+ z
2
= 1. Tìm GTLN của M = x
5

+ y
5
+
z
5
.
Bài 5 (Đổi biến).
1/ Cho x, y > 0 và x + 2y – xy = 0. Tìm GTNN của M =
2 2
4 8 1
x y
y x
+
+ +
.
2/ Cho a, b
≥
-1. Tìm GTLN của: P =
1 1.a b+ + +
3/ Cho các số thực x, y thoả mãn:
3 1 3 2x x y y− + = + −
. Tìm GTLN, GTNN của x + y.
4/ Cho 2 số x, y thỏa mãn: x
2
+ 4y
2
= 1. Tìm GTLN, NN của M =
( ) ( )
( )
2

1 4 1
2 1
x y x y
x y
+ + + +
+ +
.
5/ Cho các số x, y thỏa: x
2
+ xy + 4y
2
= 3. Tìm GTLN, NN của biểu thức P = x
3
+ 8y
3
– 9xy.
Bài 6.
1/ Cho các số thực x, y, z thay đổi thoả mãn đẳng thức x
2
+ y
2
+ z
2
=1.Tìm GTLN và GTNN của
biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx.
2/ Cho x, y, z không âm và x
2
+ y
2
+ z

2
= 3. Tìm GTLN, NN: Q = xy + yz + zx +
5
.
x y z
+ +
3/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của M =
2 2 2
2 2 2
.
xy yz zx
x y z
x y z
+ +
+ + +
+ +
13
Bài 7. (Đánh giá trung gian)
1/ Cho x, y thỏa (x – 4)
2
+ (y – 4)
2
+ 2xy
32
≤
. Tìm GTNN: N = x
3
+ y
3
+ 3(xy – 1)(x + y – 2).

2/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của P = 2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – 4xyz – 9x + 2012.
3/ Cho x, y > 0 và x + y
1.
≤
Tìm GTNN của
2 2
1 1 3
.
x y xy
A
x y x y xy
+ +
= + + +
+
4/ Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn
1x y+ ≥
. Tìm GTNN của:
( ) ( )
4 4 2 2 2 2
A 3 x y x y – 2 x y 1= + + + +
.
5/ Cho x, y, z > 0 và có tổng bằng 1. Tìm GTNN của:
1 1 1
Q x y z

y z x
 
  
= + + +
 ÷
 ÷ ÷
  
 
.
6/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của các biểu thức:
A =
3 3 3
xy yz zx
x y z
+ + + + +
và B =
1 1 1
x y z
x y z
+ + + + +
.
7/ Cho a, b, c > 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Tìm GTNN của M = a + b + c +
1
.

abc
8/ Cho ba số dương x, y, z. CMR:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 36
9
x y z
x y y z x z
+ + ≥
+ + +
.
9/ Cho a, b, c > 0, CMR:
1 1 1 9
2a b c abc
+ + ≥
+
.
10/ Cho
, , 0x y z >
và thỏa
1x y z+ + =
. Chứng minh rằng
18
2
xyz
xy yz zx
xyz
+ + >
+
.
11/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. CMR:

18
2
xyz
xy yz zx
xyz
+ + >
+
.
12/ Cho a, b, c > 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. CMR:
5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
.
3
a a a b b b c c c
b c a c a b
− + − + − +
+ + ≤
+ + +

14
15