Giá trị LN-NN của các biểu thức lượng giác

GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
Su tm & Biờn son: Lc Phỳ a Vit Trỡ - Phỳ Th 10/12/2011 Tr: - 1 -
MT S PHNG PHP TèM GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
I. MT VI NH NGHA. NH Lí:
1. nh ngha: Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn tp D.
x D
0 0
x D
0 0
f(x) M, x D
1) M= max f(x)
x D : f(x )=M
f(x) m, x D
2) m= min f(x)
x D : f(x )=m

Ta tha nhn hai tớnh cht quan trng ca cỏc hm s liờn tc:
3. nh lý 1: Hm s f(x) liờn tc trờn on [a; b] thỡ b chn trờn on ny.
Chỳ ý: nh lý 1 khụng cũn ỳng na nu hm s f(x) cú im giỏn on thuc [a; b] hoc nu trong nh lý,
on [a; b] c thay bng khong (a; b) (hoc (a; b], hoc [a; b)).
4. nh lý 2: Nu hm s f(x) liờn tc trờn on [a; b] thỡ nú t c giỏ tr ln nht v nh nht trờn on ny,
tc l tn ti ớt nht mt im
1
x [a; b]
sao cho:
1
f(x) f(x ), với x [a;b]
.
v tn ti ớt nht mt im
2
x [a; b]
sao cho:
2
f(x) f(x ), với x [a; b].
II. MT S PHNG PHP TèM GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
A/ Kiến thức c bn :
1/ Các hàm cơ bản
a/
;1cos1;1sin1 xx
b/ Hàm số tanx và cotx không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên tập xác định của nó. Nhng trên
một đoạn nào đó nó có thể có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
2- Cỏc bc tỡm giỏ tr LN& NN .
+ B1: Tìm miền xác định của hàm số
+ B2: Lựa chọn phơng pháp ( lợng giác, đại số, giải tích, )
+ B3: Tiến hành tìm GTLN, GTNN của hàm số

+ B4: Kiểm tra lại các kết quả nh:
- Dấu đẳng thức có xảy ra không
- Xảy ra tại giá trị nào của biến.
+ B5: Kết luận
3/ Cỏc phng phỏp thng dựng tỡm giỏ tr LN& NN.
1. Phng phỏp lợng giác(S dng cỏc phộp bin i v ỏnh giỏ thớch hp)
+ Dùng công thức hạ bậc, sin2x,
+ Có thể sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình lợng giác : Asinx + Bcosx = C
là A
2
+ B
2

C
2
2. Phng phỏp sử dụng các bất đẳng thức Cô-si, Bunhiacopxki,
1)Bất đẳng thức Cô sy:
n
n
n
aaaa
n
aaaa


321
321


Với

0
i
a
2)Bất đẳng thức Bunhiacopski



2
2211
22
2
2
1
22
2
2
2

nnnn
xaxaxaxxaaa
3. Phng phỏp tam thc bc hai.
4. Phng phỏp min giỏ tr ca hm s.
5. Phng phỏp o hm.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
Sưu tầm & Biên soạn: Lộc Phú Đa Việt Trì - Phú Thọ 10/12/2011 Tr: - 2 -
B Các ví dụ và bài tập.
Dạng 1: Sử dụng các phép biến đổi và đánh giá thích hợp
Bài 1 . Tìm GTNN và GTLN của các hàm số:
a)

3sin 2
2
x
y  
;
HD: Hàm số xác định với mọi
x 
.
Ta có
1 sin 1
2
x
  
nên
 
5 3. 1 2 3sin 2 3.1 2 1
2
x
y         
 
 
1 sin 1 4
2
1 sin 1 4
2
x
y x k k
x
y x k k
 

 
      
         


Vậy
   
max 1 4 , ; min 5 4 ,y y k k y y k k
   
         


 
b)
4 4
cos sin 1y x x  
c)
2
cos cos
3
y x x

 
  
 
 
.
HD: Áp dụng công thức
cos cos 2cos .cos
2 2

a b a b
a b
 
 
ta có
2
cos cos 2cos .cos 3 cos
3 6 6 6
y x x x x
   
     
      
     
     
Suy ra
3 cos 3
6
y x

 
    
 
 
7
3 cos 1 2 , ;
6 6
3 cos 1 2 ,
6 6
y x x k k
y x x k k

 

 

 
          
 
 
 
        
 
 


Vậy
7
max 3 2 , ;min 3 2 ,
6 6
y y k k y y k k
 
 
   
          
   
   


 
d)
2sin 2 3y x  

;
e)
2
3sin 2 2sin 1y x x  
f)
6 6
1
sin cos 5
y
x x

 
g)
cot cosy x x 
trên đoạn
5
;
4 6
 
 
 
 
HD: Vì các hàm số
cos , coty x y x 
nghịch biến trên đoạn
5
;
4 6
 
 

 
 
nên với mọi
5
;
4 6
 
 
 
 
ta có:
5
cot cos
6 4
y y x x y
 
   
   
   
   
hay
5 5
cos cot cos cot
6 6 4 4
y
   
   
h)
sin tany x x 
trên đoạn

0;
4
x

 

 
 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
Sưu tầm & Biên soạn: Lộc Phú Đa Việt Trì - Phú Thọ 10/12/2011 Tr: - 3 -
i)
sin 3cosy x x 
trên đoạn
2
;
3
x


 

 
 
j)
2sin 5cosy x x 
trên đoạn
;
4 3
x

 
 

 
 
k)
3cot 4tany x x 
trên đoạn
2 5
;
3 6
x
 
 

 
 
Bài 2 . Tìm min của hàm số:
f(x, y) =
ycosdxsinc
ycosbxsina
22
44


+
ysindxcosc
ysinbxcosa
22
44



. (với a, b, c là các hằng số dương)
Bài 3 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
4sincos2
3sin2cos



xx
xx
y
HD: Hàm số xác định với mọi x
 
     
         
 
 
 
      
       
         
  
  
0 0
0
0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0 0
0

cosx 2 sin x 3
Gäi y lµmét gi¸ trÞ cña hµm sè th× pt:y cã nghiÖm x R
2 cosx sin x 4
pt : y 2cosx sin x 4 cosx 2sin x 3cã nghiÖm x R
2y 1 cosx y 2 sin x 4y 3 0 cã nghiÖm x R
2y 1 y 2 4y 3 11 y 32 y 4 0
16 2 53 16
y
11
    
  
2 53 16 2 53 16 2 53
max y ;min y
11 11 11
Bài 4 Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Tìm GTNN của biểu thức:
f(A, B, C) =













2

A
sin
1
1













2
B
sin
1
1














2
C
sin
1
1
.
HD :
Ta có:
f(A, B, C) = 1 +
2
A
sin
1
+
2
B
sin
1
+
2
C
sin
1
+
2

B
sin
2
A
sin
1
+
2
C
sin
2
B
sin
1
+
2
A
sin
2
C
sin
1
+
2
C
sin
2
B
sin
2

A
sin
1

1
+ 3
3
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
1
+ 3
3
2
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
1













+
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
1
=
3
3
2
C
sin
2

B
sin
2
A
sin
1
1














3
3
8
1
1
1














= 27.

min f = 27 khi tam giác ABC đều.
Bài 5 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
1/
4sincos2
3sin2cos



xx
xx
y
2/
xxxxy sin.coscos.sin
33

3/
xxy
44

sincos 
4/
xxy
22
cos2sin4 
GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
Su tm & Biờn son: Lc Phỳ a Vit Trỡ - Phỳ Th 10/12/2011 Tr: - 4 -
5/
x
y
2
cos
1

6/
xxy cossin
7/
xxy cossin
8/
4sincos2
3sin2cos



xx
xx
y
9/
xxxxy sin.coscos.sin

33

10/
xxy
44
sincos
11/
xxy
22
cos2sin4
12/
os 2 os 2y Sinx C x SinxC x
;
13/
os 2 osy Sinx C x SinxC x
14/
2 2y Sinx Sinx
15/

2
f(x)=2sin x 4sinxcosx+ 5.
(Hc vin Cụng ngh BCVT Nm 1999)
Bi 6.Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC nu:

4p(p a) bc (1)
; vớiBc=a,CA=b,AB=c,2p=a+b+c
A B C 2 3
sin sin sin (2)
2 2 2 8
(DB-2003)
Bi 7 .Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC biu thc:

2 2 2
Q sin A sin B sin Cđạt giá trị nhỏ nhất.
(DB-2003)
Bi 8 . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:

4 4 2 2
P=cotga cotgb 2tga.tgb 2
; (H GTVT -1999)
HD:





2
2
4 4 2 2 2 2
P=cotg a cotg b 2tg a.tg b 2 cotg a cotg b +2 cotga.cotgb tga.tgb +6 6
dấu( )xảyrakhia b
4
Bi 9 .

Trong mọi tam giác ABC những tam giác nào làm cho biểu thức sau:


3 3 3
3 3 3
sinA sinB sinC
Q=
A B C
cos cos cos
2 2 2
đạt giá trị lớn nhất ?
Bỏch khoa H Ni Khi A Nm, 2000)
Bi 10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của


1
y 2 1 sin 2x.cos 4x cos 4x cos8x
2
(H Dc -2001)
Bi 6.Chng minh vi mi tam giỏc ta luụn cú: cosA +cosB +cosC >1 ( H nng-1997)
Bi 11. 1/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của


3sin x
y 1
2 cos x
(H GTVT -1997)
2/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

2 2
2x 4x
y sin cos 1
1 x 1 x
(H GTVT -1998)
Bi 12 .Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC nu:

5
cos2 3 cos2 cos2 0
2
A B C
(ĐHSP HN- A-2001)
HD: C1.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
Sưu tầm & Biên soạn: Lộc Phú Đa Việt Trì - Phú Thọ 10/12/2011 Tr: - 5 -
 
2
2 2 2
5 5
cos2 3 cos2 cos2 0 2cos 1 2 3cos( ).cos( ) 0
2 2
4cos 4 3 cos .cos( ) 3 0 [2cos 3 cos( )] 3 ( ) 0
5
;
6 12
A B C A B C B C

A A B C A B C sin B C
A B C
 
          
          
    
C2.
 
 
          
    
        
 
    
2
2
2
2 2
5 5
cos2A 3 cos2B cos 2C 0 2cos A 1 2 3 cos(B C).cos(B C) 0
2 2
4cos A 4 3 cosA.cos(B C) 3 0
m µ 4 cos A 3 cosA.cos(B C) 3 4cos A 3 cosA 3 2 cosA 3 0
5
A ;B C
6 12
Bài 13 . A,B,C là 3 góc của tam giác ABC ; Tìm GTLN của
 
  M 3 cosA 2 cosB cosC
Bài 14. A,B,C là 3 góc của tam giác ABC thoả mãn

  
0
C B A 90
; Tìm GTNN của
 


A B
A B
M cos .sin .sin
2 2 2
Bài 6. Bài 15. ×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
20 20
cos siny x x 
HD: (ĐH Luật HN -1999)
+ Cm hàm số tuần hoàn chu kì
2

C1. Dùng PP hàm số, khảo sát trực tiếp.
C2. Dùng bất đẳng thức Cô si:
   
   
      
   
     
   
   
        
10 10
2 2 2 2

10 10
10 10
2 2 2 2
9 9
2 2
9 9 9 9 9
y sin x cos x sin x cos x 1 max y 1
¸p dông C«si cho 10 sè:
1 10 1 10
sin x 9 sin x; cos x 9 cos x
2 2
2 2
9 10 10 1 1
y (sin x cos x) ; y ; min y
2 2 2 2 2
C2. Dùng bất đẳng thức
; ??
2 2
n
n n
a b a b 
 

 
 
   
       
      
 
 

 
 
 
      
 
 
 
 
 
10 10
2 2 2 2
10
10 10
2 2 2 2
10 9 9
y sin x cos x sin x cos x 1 max y 1
sin x cos x sin x cos x
1 1 1
y ; y ; min y
2 2
2 2 2
Bài 16. Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Tìm GTNN của biểu thức:
GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
Su tm & Biờn son: Lc Phỳ a Vit Trỡ - Phỳ Th 10/12/2011 Tr: - 6 -
1 1 1
2 cos2 2 cos2 2 cos2
M
A B C

(H M-C -1999)
Bi 17. A,B,C l 3 gúc ca tam giỏc ABC tho món

0
0 A B C 90
; Chng minh:


2 cos 3C 4 cos 2C 1
2
cosC
(H M-C - 2000)
Bi 18. Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s


1 1
y ; với 0 x .
sin x cosx 2
(HV NgõnHng-1998)
Bi 19. Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s


2
y x cos x ; với 0 x .
2
(H NN- H Ni-1999)
Bi 20. Cỏc gúc ca tam giỏc ABC tho món
cos (sin sin ) sin .cos( )C A B C A B
,Tớnh giỏ tr ca biu

thc:
cos cosA B
(H Nụng Nghip I-2000)
Bi 21. Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC nu trong tam giỏc ú ta cú:
2 2 2
9
sin sin 2sin sin 3cos cos
4
A B A B C C
(HV QH QT-1999)
Bi 22. Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s
4 4
cos sin sin cos 1y x x x x
( HV QY-2000)
HD:


4 4 2
2
1 1
y cos x sin x sin x cosx 1 sin 2x sin 2x 2
2 2
1 1 17
y f(t) t t 2; với t=sin 2x; t 1; kết quả: miny= maxy=
2 2 8
Dng 2: Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht bng tam thc bc hai
2
D
D
b

Tọa độ đỉnh của parabol f(x)=ax bx c là I - ; - .
2a 4a
Kí hiệu : maxf(x) là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D.
minf(x) là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D.
a) Trờng hợp 1





R R
: D=R
b
* a<0, max f(x) f , không tồn tại min f(x).
2a 4a

R R
D
D
b
* a>0, min f(x) f , không tồn tại max f(x).
2a 4a
b) Trờng hợp 2 : D= x R x hoặc D= x R x
* a>0 :
b b
Min f(x)=Min f - , f( ) , hoặc Min f - , f( )
2a 2a
không tồn tại max f(x)







D
.
GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
Su tm & Biờn son: Lc Phỳ a Vit Trỡ - Phỳ Th 10/12/2011 Tr: - 7 -

D
D
D
D
a 0 :
b b
Max f(x)=Max f - , f( ) , hoặc Max f - , f( )

2a 2a
không tồn tại min f(x).
b b
Nếu - D thì không xét f - .
2a 2a
c) Trờng hợp 3 : D= ;
b
* max f(x) max f
2a
Chú ý :











D
b
, f( ), f( ) * min f(x) min f , f( ), f( )
2a
b b
Nếu - D thì không xét f - .
2a 2a
Chú ý :
Bi 23.

4 2
4 2
3cos x 4sin x
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= .
3sin x 2cos x
(HSP H Ni Khi A - Nm 2001)
Li gii.


4 4 2 2
4 2
3(cos x-sin x)+4sin x 2 cos x
Viết lại y-1=
3sin x 2cos x
;




4 2
2
2
1
y-1=
3sin x 2cos x
1
Đặt sin x t, t [0; 1], hàm số trở thành y-1=
3t 2t 2

/
2
/
f(t)>0, t [0; 1], do 5 0 và a=3>0
Gọi f(t)=3t 2t 2. Thấy rằng
b 1
- [0; 1]
a 3




/
2
D D D
D D D
2
Suy ra:
5 3 3 8 1 1
* Min f(t)=- = max(y-1)= max y= +1= , có đợc t sin x= .
a 3 5 5 5 3 3
1 1 4

* Max f(t)=max{f(0); f(1)}=max{2; 3}=f(1)=3 min(y-1)= min y= +1= ,
3 3 3
có đợc khi và chỉ khi t=1 sin x=1.
8 4
Tóm lại, giá trị lớn nhất của hàm số bằng ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .
5 3
Bi 24. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của





2 2
2x 4x
y sin cos 1
1 x 1 x
(H GTVT -1998)
Bi 25 :
GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
Su tm & Biờn son: Lc Phỳ a Vit Trỡ - Phỳ Th 10/12/2011 Tr: - 8 -





2
2
Tìm a để phơng trình sau có nghiệm thuộc 0; :
2

2
(1-a)tg x 1 3a 0. ( 5. II B tuy n sinh H)
cos x
Dng 3: Phng phỏp min giỏ tr ca hm s:
C s ca phng phỏp ny l: tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s y = f(x) trờn mt
min D ta tin hnh nh sau:
- Tỡm iu kin phng trỡnh y
0
= f(x) cú nghim (vi y
0
l mt giỏ tr tu ý ca hm s y = f(x) trờn min
D).
- T iu kin trờn bin i dn n dng y
1
y
0
y
2
.
- Kt lun:
2 1
x D x D
max f(x) y , min f(x) y


Chỳ ý: Cú trng hp ta tỡm c giỏ tr ln nht nhng khụng tỡm c giỏ tr nh nht hoc ngc li.
Bi 26.


Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:

sinx
y= với x [0; ].
2+cosx
(HSP Quy Nhn - Nm 1999)
HD:
Xét hàm số đã cho trong một chu kì: x [ ; ].
Tập giá trị của hàm số với x [ ; ] cũng là tập giá trị của hàm số với x (- ; + ).
sinx
Phơng trình y= sinx ycosx 2y
2+cosx
Phơng trình ẩn x trên có nghiệm





2 2 2
1 1
1 y (2y) y .
3 3
Mặt khác, với x (0; ) thì sinx 0 y 0.
1 2 1
Do đó 0 y , x [0; ]. Mặt khác, khi x=0 thìy=0 và khi x= thì y= nên
3
3 3
1
miny=0; maxy= .
3

Bi 27. Tỡm giỏ tr ln nhtca hm s
y=sin x. cosx cosx. sin x
.
(HAn Giang -1998)
Bi 28. Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s
4
y= sinx cosx
.
(HQG H Ni Khi B - Nm 1999)
Bi 29: Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s f(x) = (2sinx + cosx)(2cosx - sinx).
(H Cn Th Khi A - Nm 2001)
Dng 4: S dng cỏc bt ng thc Cauchy, Bu-nhia-Cpxki:
Bi 30.
4 4
1 2
Tìm GTNN của hàm số y=
cos x 1 cos x


( ĐHSP Hải Phòng - Năm 2001)
GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
Su tm & Biờn son: Lc Phỳ a Vit Trỡ - Phỳ Th 10/12/2011 Tr: - 9 -
Li gii.C1:
4
Đặt t=cos x (0; 1)

2 2
1 1 1 2 1 t 2t 1 t 2t
y= 3 1 2 3 3 2 . 3 2 2 (Do BĐT Cauchy)
t 1 t t 1 t t 1 t t 1 t
1-t 2t
Đẳng thức xảy ra (1 t) 2t 1 t 2t (Do t (0; 1)) t= 2 1
t 1 t
Vậy miny=3+2 2.








C2:PP hm s (o hm)



1 2
1 2
y= ;0 t 1.Tính f '(t),f '(t) 0 t 1 2 0;1 ,t 1 2 0;1
t 1 t
;Lp btt ta cú kq
C3:Tt bc 2:
Bi 31 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

9
y f x 4x sin xtrên 0;
x
(H KTQD -1999)
HD: C1.










0 x
9
Do x 0 nên theocôsi: 4x 12 ;Lại cósin x 1; x R f(x) 12 1
x
3
mặt khác f 12 1; 12 1.
2
min f(x)
Bi 32 .




2 2 2
Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 1 1
M= .
A B C
sin sin sin
2 2 2
(ĐH QG HCM- 1998)
Bi 33 .


2sinB 2sinC 2sinA
Giả sử tam giácABC có ba góc đều nhọn.Cmr: sin A sin B sin C 2
(ĐH SP 2- 1998)











2 (1)
2
1 2
y= ;( 0 t 1)
t 1 t
t 1
y f(t) yt (1 y)t 1 0 có nghiệm trong khoảng(0;1)

t t
*xét y 0 t 1( không xảy ra)
*y 0;Xét f(0) 0(loại); xét f(1) 0(loại)
f(0).f(1) 0(loại)
0
y.f(0) 0
phơng trình (1) có nghiệm trong(0;1) khi
y





















y 3 2 2

.f(1) 0
S
0 1
2
GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
Su tm & Biờn son: Lc Phỳ a Vit Trỡ - Phỳ Th 10/12/2011 Tr: - 10 -
Bi 34 . Cho x, y, z > 0; x + y + z =
2

. Tỡm Min ca biu thc
f(x, y, z) =
tgxtgy1
+
tgytgz1
+
tgxtgz1
.
Dng 5: Phng phỏp o hm:
C s ca phng phỏp ny: Ch yu l dựng o hm kho sỏt chiu bin thiờn ca hm s v da
vo iu y cựng vi cỏc giỏ tr c bit trờn tp xỏc nh ca hm s suy ra kt qu.
Bi 35 . .


4 2
4 2
3cos x 4sin x
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= .
3sin x 2cos x
(ĐHSP Hà Nội Khối A- Năm 2001)

Lời giải
2
2 2
2 2 2
/ /
2 2
Đặt sin x t, t [0; 1], ta đợc:
3(1-t) 4t 3t 2t 3 1
y= 1
3t 2(1 t) 3t 2t 2 3t 2t 2
6t 2 1
y , y 0 khi t= [0; 1].
(3t 2t 2) 3







Ta có bảng biến thiên sau:
8 4
Vậy maxy= , miny= .
5 3
Bi 36 . : Tìm giá trị m

2
2sin x m cosx 3 0 nghiệm đúng với x 0;
2
(H GTVT -1998)
Bi 38 . Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s :
1 sin 1 cosy x x
(CKA2004)
Bi 39 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
4 4
1 2
;
cos 1 cos 2
k
y x
x x






(HSP HaiPhong-2001)
C2:PP hm s (o hm)



1 2
1 2
y= ;0 t 1.Tính f '(t),f '(t) 0 t 1 2 0;1 ,t 1 2 0;1
t 1 t

;Lp btt ta cú kq
C3:Tt bc 2:
t
0
1
3
1
y
+ 0 -
y
8
5
3
2
4
3
GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
Su tm & Biờn son: Lc Phỳ a Vit Trỡ - Phỳ Th 10/12/2011 Tr: - 11 -
Bi 40 . . Tìm giá trị ln nht v nhỏ nhất của
6 6
cos sin sin cosy x x a x x
(H TMi-2000)
Bi 41 . Tìm giá trị ln nht của



2 2 2
2 2 2
sin A sin B sin C

Tìm gtln của M ; với A,B,C là các góc của tam giác A BC
cos A cos B cos C
(H TLi- 1998)
Bi 42 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = 2sin
8
x + cos
4
2x
(ĐH Tài chính Kế toán Hà Nội - Năm 2000)
Bi 43. Cho tam giỏc ABC cú
90A

v tho món ng thc
sin 2sin .sin .tan
2
A
A B C
.
Tớnh giỏ tr nh nht ca biu thc :
1 sin
2
.
sin
A
M
B


(DB-2004)

Bi 44 .Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s :
5
sin 3cos y x x
(DB-2003)
HD:
C1: Tìm max y:
5 4
sin 3cos sin 3cosy x x x x
Ta chứng minh




4
2
4 2
2
3
sin 3 cos 3, ;
3 1 cos sin 0 3 1 cos 1 cos 0
1 cos . 3 (1 cos ) 1 cos 0
1 1 4 32
: (1 cos ) 1 cos 1 cos (2 2cos ) 1 cos 1 cos . 3
2 2 3 27
x x x R
x x x x
x x x
Theo BDTCosi x x x x x x

Dấu đẳng thức xảy ra khi cosx=1 khi x= 0 .Vậy max y =
3
Tìm min y:
5 4
sin 3 cos sin 3 cosy x x x x











2 (1)
2
1 2
y= ;( 0 t 1)
t 1 t
t 1
y f(t) yt (1 y)t 1 0 có nghiệm trong khoảng(0;1)

t t
*xét y 0 t 1( không xảy ra)
*y 0;Xét f(0) 0(loại); xét f(1) 0(loại)
f(0).f(1) 0(loại)
0
y.f(0) 0
phơng trình (1) có nghiệm trong(0;1) khi
y





















y 3 2 2

.f(1) 0
S
0 1
2
GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
Su tm & Biờn son: Lc Phỳ a Vit Trỡ - Phỳ Th 10/12/2011 Tr: - 12 -




4
2
4 2
2
3
sin 3 cos 3, ;
3 1 cos sin 0 3 1 cos 1 cos 0
1 cos 3 (1 cos ) 1 cos 0
1 1 4 32
: (1 cos ) 1 cos 1 cos (2 2cos ) 1 cos 1 cos . 3
2 2 3 27
x x x R
x x x x
x x x
Theo BDTCosi x x x x x x

Dấu đẳng thức xảy ra khi cosx=-1 khi x =

.Vậy min y = -
3
;
C2: Đánh giá nh trên và sử dụng pp KSHS .
Bi 45. Cho x,y,z

[0 ;1] , thoả mãn điều kiện x+y+z =3/2.Tìm max,min của S = cos(x
2
+y
2
+x
2
).
HD : C1 : Do x,y,z

[0 ;1] nên 0 < x
2
+y
2
+x
2
< x+y+z = 3/2 <

2
. Vì hàm số y = cosx là hàm số nghịch
biển trên (0,

2
) nên bài toán trở thàmh tìm GTLN&NN của (x
2
+y
2
+x
2
)
* x
2
+y
2
+z
2
=



2
2 2 2 2 2 2
1 1 3
(1 1 1 )
3 3 4
x y z x y z
;
* Không mất tính tổng quát ta giả sử z = max{x,y,z} thì

1
;1
2
z
.Biến đổi đa về tam thức
bậc hai biến z : x
2
+y
2
+x
2
= z
2
+ (x+y)
2
- 2xy




2
2 2
3 9
2 3 ( )
2 4
z z z z f z

với




1
;1
2
z
.
đồ thị hàm số f(z) là parbol quay bề lõm lên trên ,nên ta có








1 5
( ) max , 1
2 4
Maxf z f f
Suy ra

3 5
max cos ; min cos
4 4
S S
Bi 46 . Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s:

2
x
f(x)= sin x trên đoạn - ;
2 2 2
(H Kinh t Quc dõn Khi A Nm 2000)
Bi 47 . Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s :

1
y=2(1+sin2x.cos4x)- (cos4x cos8x).
2
(ĐH Dợc Hà Nội - Năm 2001)
Bi 48 .
1/ Cho
24

x
, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
)cos(sincos
sin
2
xxx
x
y

2/ Tìm giá trị lớn nhất của
x
xx
y
4
22
cos
)sin41(sin3

3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
2
2
2
2
sin
1
sin
cos
1
cos

x
x
x
xy
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
Sưu tầm & Biên soạn: Lộc Phú Đa Việt Trì - Phú Thọ 10/12/2011 Tr: - 13 -
4/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè
 
3
2 2
1
cos sin
cos .sin
y x x
x x
  
5/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè
xxy
22
sin31cos21 
6/ Gi¶ sö cosa.cosb + cosb.cosc + cosc.cosa = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
cbay
444

coscoscos 
7/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè
 









2
;0
cos.sin
cossin
2
3

x
xx
xx
y
8/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè
xx
xxy
44
44
sin
1

cos
1
sincos 
9/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè
nn
x
x
x
x
y





















2
2
2
2
cos
cos1
sin
sin1
10/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè
2
0
)cos1(4
cos).cos1(
2




 xvoi
x
xx
y
11/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2
2 sin 2
2 cos



x

y
x
12/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2
2 sin 2
2 cos



x
y
x
13/ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 2 sinx + sin2x trên đoạn
3
0;
2

 
 
 
14/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
cos 2sin 3
2cos sin 4
x x
y
x x
 

 
(ĐHKinhTế-1995)

15/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
sin cosy x x 
;(ĐH YKhoa TB-1997)
16/ Cho hàm số:
2 cos 1
; ( )
cos sin 2
k x k
y k R
x x
 
 
 
a)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số khi k = 1 ;
b)tìm k để giá trị lớn nh ất của
k
y
đạt giá trị nhỏ nhất. (ĐH QG HN-1997)
17/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
1 2sin 1 2cosy x x   
;
Bài 49 .( Lớp 12) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè:
1/.
3
4
2
3
y Sinx Sin x 
trên đoạn a).
 

0;

; b).
0;
6

 
 
 
; c). trên R
4/
3
os2 inx 2y Sin x C x S   
5/
2
inx 2
inx 2
S
y
Sin x S


 
7/
os 2 osy Sinx C x SinxC x  
8/
2 2y Sinx Sinx   
9/
 
 

   
 
 
y 5cosx cos5x víi x ;
4 4
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
Sưu tầm & Biên soạn: Lộc Phú Đa Việt Trì - Phú Thọ 10/12/2011 Tr: - 14 -
10/ Cho
 
 
   
  
2
2
2
f(x) cos 2x 2 cosx sinx - 3sin2x m
t×m max ; min cña f(x), tõ ®ãt×m m®Ó f(x) 36, x R
Bài 50. 1/ Cho tam giác ABC, tính giá trị lớn nhất của tổng S = sinA + sinB + sinC .
2/ Tính các góc của tam giác ABC biết rằng : sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 9/4 .
Bài 51. Cho tam giác ABC với A>B>C. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 
  
 

    
x sinA x sin B
f(x) 1
x sin C x sin C
tõ ®ãsuy rapt: x sin A x sinB x sin C chØ cã1 nghiÖm.
Còn nữa