- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
Hệ phương trình đặng thành nam
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.24 MB, 111 trang )
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email :
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202
Cùng với phương trình, bất phương trình vô tỷ thì hệ phương trình là bài toán luôn xuất hiện
trong đề thi các năm
Thứ tự ưu tiên các hướng khi giải hệ phương trình
+ Các hệ mà 2 phương trình của hệ có dạng tương đương thì trừ 2 vế của hệ, hoặc cộng 2 vế của
hệ sẽ được nhân tử chung.
+ Biến đổi tương đương hệ phương trình đã cho, biến đổi rút ra một phương trình trong hệ là
phương trình tích.
+ Các hệ có biệt thức
2 2 2
; ;( ) ; ; ,
xy x y x y x y x y đặt
;
u x y v xy
+ Có các nhân tử chung ở các phương trình của hệ thì đặt ẩn phụ.
+ Thường thì Đề thi Đại Học cho đặt ẩn phụ nhưng ta không thể nhận thấy ngay được nên đặt
cái gì. Vì vậy phải chia hoặc nhân với một biểu thức của biến nào đó( chẳng hạn như
2 3
, , , , ,
x y x x xy
) sau đó mới đặt ẩn phụ được.
+ Hệ có một phương trình dạng là hàm bậc 2 của
x
hoặc của y, giải phương trình này theo ẩn
đó sẽ rút ra
x
theo
y
(hoặc
y
theo
x
).
+ Thay biểu thức ở một phương trình vào phương trình còn lại.
+ Biến đổi các phương trình trong hệ rùi dung phương pháp hàm số.
+ Đánh giá nhờ vào điều kiện có nghiệm của hệ, các bất đẳng thức.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình:
2 2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0 (1)
( , )
( ) 2 ( ) (2)
x y xy y x y
x y
xy x y x y
Lời giải:
Biến đổi phương trình thứ hai của hệ:
2 2 2 2 2 2 2
( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( )
xy x y x y xy x y x y x y
2 2
( ) ( 1) 2( 1)( 1) 0 ( 1)(( ) 2( 1)) 0
x y xy xy xy xy x y xy
2 2
2 2
1
( 1)( 2) 0
2
xy
xy x y
x y
(i). Với
1
xy
, thay vào (1) ta được:
2 2 3
5 4 3 2 ( ) 0
x y xy y xy x y
2 2 3 2
3 6 3 0 ( ) 0
x y xy y y x y
, nhưng do
1
xy
nên
1
1
x y
x y
x y
(ii). Với
2 2
2
x y
, thay vào (1) ta được:
2 2 3 2 2
5 4 3 ( )( ) 0
x y xy y x y x y
3 2 2 3 2
2
4 5 2 0 ( 2 )( ) 0
x y
x x y xy y x y x y
x y
Thay vào phương trình (1) ta suy ra các nghệm của hệ là
2 2
2 2
1 1
5 5
; ; ;
1 1
2 2
5 5
x x
x x
y y
y y
Bài 2. Giải hệ phương trình
2 2
2
,
4 5 2
x y
x y
x y x y xy
Lời giải:
Điều kiện:
0
xy
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Hệ tương đương với
2
2
2 4 5 2 0
x y
x y xy x y xy
2
2 2 4 0
x y
x y xy x y xy
2
2
2
2
1, 1
2 0
3 2 2
22 8 6 22 8 6
2 2
,
25 25
2 4 0
3 2 4 2
x y
x y
x y
x y xy
x x x
x y x y
x y
x y xy
x x x
Vậy hệ có hai nghiệm là
22 8 6 22 8 6
, 1,1 ; ,
25 25
x y
Bài 2. Giải hệ phương trình
2
2 2 1 7 2
4 1 7 3
x y x y x x y
x x y
Lời giải:
3 2 2 2
2
2 2 2 7 2
4 7 3
x x y xy y x x y
x x y
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được phương trình
3 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 0
x x y xy y x y x x y y x y x y
2
2
2
2 1 0
1
y x
x y x y
y x
Đến đây xét từng trường hợp ta suy ra nghiệm của hệ
Bài 3. Giải hệ phương trình
3 2 3
3
4 12 9 6 5
xy x y
x x x y y
Lời giải:
Hệ tương đương với
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
4
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
1
3
3
2 2
1 2 2 0
3
y x
xy x y
xy x y
y x
x y x y
xy x y
1 1
1 1 3 1 1 3
2 2 2 2
2 2 2 2 3 2 2 2 2 3
y x y x
x x x x x x x x
y x y x
x x x x x x x x
5 5
4
2 2 5
4
x
y
Vậy hệ có hai nghiệm là
5 5 2 2 5
, ,
4 4
x y
Bài 4. Giải hệ phương trình
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x x y x
y x
Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với
2 2
2 2
16 4
4 5
x x y y
y x
Bình phương hai vế phương trình thứ nhất của hệ ta được
2 2
2 2 2 2
16 4
x x y y
và thay
2 2
4 5
y x
vào ta được
2 2
2 2 4 2 2 2 2
16 25 4 5 4 1 31 64 0
x x x x x x x
- Với
0
x
ta được
2
4 2
y y
- Với
2
1
x
hệ trở thành
2
1
3
15 5
9
1
3
x
y
x y
y
x
y
Vậy hệ có bốn nghiệm là
0, 2 ; 1,3 ; 1, 3
Cách khác: Xem phương pháp đồng bậc
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
5
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 5. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1
2 1 3
1
2 1 1
x
x y
y
x y
Lời giải:
Điều kiện
0, 0
x y
.
Khi đó hệ phương trình tương đương với
2 2 2 2
2 2
1 3 2 3 1
1
2 2 2
1 1 3 1
1 2 (*)
2 2 2
x y x x y x y
x y y x y
Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được
4 2 2 4
2 2 2 2
4 9 1
9 8 0
4 4
y x y x
x y x y
2 2 2 2 2 2
9 0 9 3
y x y x x y x y
Từ đây thay vào phương trình (*) ta được nghiệm của hệ là
3 1
, ,
2 2
x y
.
Bài 6. Giải hệ phương trình:
2 6 2 (1)
2 3 2 (2)
x
y x y
y
x x y x y
Lời giải:
Từ phương trình (1) của hệ ta suy ra:
2
2 2 6 0 (*)
x y y x y y
Ta đặt
2
t x y
, khi đó phương trình (*) trở thành:
2 2
6 0
t yt y
, phương trình này có biệt
thức
2
25
y
, do đó
2 3
3
2
2 2
x y y
t y
t y
x y y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
6
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
(i). Với
2 3
x y y
, khi đó ta có hệ
2 3
2 3 2
x y y
x x y x y
(ii). Với
2 2
x y y
ta có hệ
2 2
2 3 2
x y y
x x y x y
Bài 7. Giải hệ phương trình :
3 3 3 2
2 2 2 2
16 9 2 4 3
4 2 3
x y y xy y xy
x y xy y
Lời giải :
Nhận thấy
0
y
không là nghiệm của hệ đã cho, khi đó ta chia hai vế của phương trình thứ nhất
cho
3
y
và chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho
2
y
, khi đó hệ trở thành :
3
2
2
2
3
16 9 2 1 4 (1)
3
4 2 1 (2)
x x x
y
x x
y
Thế
2
3
y
từ phương trình (2) vào phương trình (1), ta được :
3 2 3 2
16 9 2 1 4 4 2 1 16 9 2 1 4 2 1
x x x x x x x x x
3 3
16 9 8 1 1
x x x
, thay vào phương trình (2) ta suy ra
2
3
3 1
y
y
.
Vậy hệ có hai nghiệm là
, 1, 1 ; 1,1
x y
.
Bài 8. Giải hệ phương trình:
2 2
2
1 1 3 4 1
1
x y x y x x
xy x x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
7
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Nhận thấy
0
x
không là nghiệm của hệ, từ phương trình thứ hai của hệ ta có
2
1
1
x
y
x
ta thế vào phương trình thứ nhất, ta được
2 2
2 2 3 2
1
1 1
3 4 1 1 2 2 4 0
2
x
x x
x x x x x x x x
x
x x
do
0
x
.
Với
1 0
x y
.
Với
5
2
2
x y
Vậy hệ có hai nghiệm là
5
, 1;0 ; 2;
2
x y
.
Bài 9. Giải hệ phương trình :
2 5
3 4
x y xy x y xy
x y xy x y xy
Lời giải :
Nhận thấy
0, 0
x y
là một nghiệm của hệ.
Với
0, 0
x y
hoặc
0, 0
x y
không là nghiệm của hệ.
Ta xét
0
xy
, khi đó chia theo vế cả hai phương trình trong hệ cho
xy
thì hệ trở thành
1 1
2 5
1 1
3 4
x y
x y
x y
x y
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta suy ra :
2 1 2 1
y x x y
ta thế vào phương trình
thứ hai của hệ ta được :
3 2
2 1 2 1 5 3 4 2 1 10 19 10 1 0
y y y y y y y y y y
2
1 1; 1
1 10 9 1 0
9 41 1 41 9 41
;
20 10 20
y x y
y y y
y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
8
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 10. Giải hệ phương trình :
2 2
1
1
x y x y x y
x y
Lời giải :
Điều kiện :
0
x y
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
1
1 1 0
1
x y
x y x y
x y
(i). Với
1
x y
khi đó hệ trở thành
1
0; 1
1; 0
1
x y
x y
x y
x y
(ii). Với
1
x y
khi đó hệ trở thành
1
1; 0
1
x y
x y
x y
Vậy hệ có hai nghiệm là
; 1;0 ; 0;1
x y
.
Bài 11. Giải hệ phương trình:
2 3 2
4 2
5
4
( , )
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y
x y xy x
Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với:
2 2
2 2
5
( 1) (1)
4
5
( ) (2)
4
x y xy x y
x y xy
Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được :
2 2 2 2 2
( )(1 ( )) ( ) 0 ( )( 1 ( )) 0
x y x y xy x y x y xy x y
2
2
0
1 ( ) 0
x y
xy x y
+ Với
2 2 2
3
3
5 5 25
0 .( )
4 4 16
x y y x HPT x x x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
9
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
+ Với
2 2
2
5
1 ( 2)
4
1 ( ) 0 1
5
( 1)
4
xy xy xy
xy x y x y xy HPT
xy xy
2
2
3
1
9 3
2
( ) 3 0
3
1
4 2
2
2
x
xy
xy xy xy
y
x y
Vậy nghiệm của hệ là:
3
3
3 5 25
, 1, ; ,
2 4 16
x y
Bài 12. Giải hệ phương trình:
2
2
( 1) 3 0
( , )
5
( ) 1 0
x x y
x y
x y
x
Lời giải:
Điều kiện
0
x
Khi đó hệ phương trình tương đương với:
2 2
2 2
3 3
1 0 1
5 3 5
( ) 1 0 ( 1) 1 0
x y x y
x x
x y
x x x
2
1
3
1
1
3
1
2
1
3 2 0
3
2
2
x
x y
y
x y
x
x
x
x
x x
x
y
Vậy hệ có hai nghiệm:
3
, 1,1 ; 2,
2
x y
.
Bài 13. Giải hệ phương trình :
2 2
( 9) 1 1 0 (1)
(18 1) 3 22 ( 1) (2)
x y y
y x x xy
Lời giải:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
10
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Điều kiện:
1
y
Khi đó từ (1) ta suy ra:
2 2 2 2
1 1 0 ( 9) 81 18 2 1 0 (3)
y x y x x y x y y y
và (2) tương đương với:
2 2 2
18 3 22 2 1
x y y x x y xy
2 2 2
18 3 2 22 0 (4)
x y y x x y xy
Lấy (3) cộng với (4) theo vế ta được:
2
81 3 22 2( 1) 0 (*)
x x xy y
Mặt khác từ (1) ta lại có:
1 9 1
xy y x
, thay vào (*) ta suy ra:
2 2
81 3 22 2(9 1) 0 81 21 20 0
x x x x x
Bài 14. Giải hệ phương trình:
3
2
x y x y
x y x y
Lời giải:
Điều kiện:
0
(*)
0
x y
x y
Khi đó hệ tương đương với:
2 3
2
ÐK (*)
2
( ) ( )
( ) ( 1) 0
2
( ) ( ) 2
x y x y
x y x y
x y
x y x y
2
0
1 2
1 0
2
1
x y
x y
x x
y y
x y
x y
Vậy hệ có hai nghiệm:
, 1,1 ; 2,0
x y
.
Bài 15. Giải hệ phương trình:
2
19
( 3 4 5 )2 2( 3 8)
log 1
y
x x x
x
y x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
11
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
+ Điều kiện
0 5
x
+ Từ (2) ta có
2 2
2 2
1 log log 2
y
y x
x x
, thay vào phương trình (1) ta được phương trình:
2
3 4 5 19 3 8
x x x x
2
( 3 4 4) (1 5 ) 16 3 8
x x x x
3 12 4
( 4)(3 4)
3 4 4 1 5
x x
x x
x x
3 1
( 4)( 3 4) 0
3 4 4 1 5
x x
x x
4 0( 0) 4 1
x x x y
Vậy nghiệm của hệ là
( ; ) (4; 1)
x y
Bài 16. Giải hệ phương trình:
4 3 2 2
2
2 2 9 (1)
( , ) (*)
2 6( 1) (2)
x x y x y x
x y
x xy x
Lời giải:
+ Thay
2
2 6 6
xy x x
ở (2) vào phương trình (1), ta được
2
4 2 2 2
6 6
(6 6 ) ( ) 2 9
2
x x
x x x x x
2 2 2
4 (6 6) (6 6 ) 4(2 9)
x x x x x
4 2 2
2 (6 6) (6 6) 4(2 9)
x x x x x
4 3 2 3 2
12 48 64 0 ( 12 48 64) 0
x x x x x x x x
3
0
( 4) 0
4
x
x x
x
+ Với
0 9
0 (*)
0 6
x VN
+ Với
4
4 (*)
17
4
x
x
y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
12
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
17
, 4,
4
x y
.
Bài 17. Giải hệ phương trình:
3
1 1 4
x y xy
x y
Lời giải:
+ Điều kiện
0
(*)
, 1
xy
x y
Khi đó hệ phương trình tương đương với
3
3
2 1 14
3 2 4 14
x y xy
x y xy
x y xy x y
xy xy xy
2
3 3
4( 4 ) (11 ) 3 26 105 0
x y xy x y xy
xy xy xy xy xy
(*)
6
3
3
3
3
3
x y
x y xy
x
y
xy
xy
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
, 3,3
x y
.
Bài 18. Giải hệ phương trình:
2 2 2
1 7 (1)
( , )
1 13 (2)
xy x y
x y
x y xy y
Lời giải:
Nhận thấy
0
y
, không là nghiệm của hệ, do đó ta chia cả 2 vế của (1) cho y; chia cả 2 vế của
(2) cho
2
y
.
Khi đó hệ trở thành:
2
2
1
7
1
13
x
x
y y
x
x
y y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
13
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
1
( ) 7
1
( ) 13
x
x
y y
x
x
y y
2 2
1 1
( ) 7 ( ) 7
(7 ) 13 ( ) 15 36 0
x x
x x
y y y y
x x x x
y y y y
1
( ) 7
12
1
12
1
1
3
3
x
x
x
y y
y
x
x
y
x
y
y
Vậy hệ có hai nghiệm
1
, 12,1 ; 1,
3
x y
.
Bài 19. Giải hệ phương trình :
3
3
3
y
x y x
x
x y x x
Lời giải :
Điều kiện :
0; 3
x y
.
Khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
3
3 3
33
y
y y
x
x y x x
x y x
(i). Với
3
y
, khi đó
2 3 0 3
x x
loại.
(ii). Với
3
x y x x
, khi đó hệ trở thành
3
3 3
1; 8
3
3
x y x x
x x
x y
x y x x
x y x x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
, 1,8
x y
.
Bài 20. Giải hệ phương trình:
2
4 2 2 2
3 0
3 5 0
x xy x y
x x y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
14
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với
2
2
2
2
2 2 2 2 2
3
3
5 0 3 5 0
x y x xy
x y x xy
x y x y x x xy x y x
2
2 2
3
5 4 0
x y x xy
x y y
2
2
0
0
0
0
1
2 1 0
1
1
4
4 0
x
y
x
y
y
x x
x
y
y
x x
Vậy hệ có hai nghiệm là
; 0;0 ; 1;1
x y
.
Bài 21. Giải hệ phương trình
3 3
3 3
3 5 2 6
2 3 3 8
x y xy
x y xy
Lời giải:
Hệ tương đương với
3 3
3 3
3 5 2 6
2 3 3 8
x y xy
x y xy
Lúc này coi đây là hệ với hai ẩn là
3 3
;
x y
từ đó suy ra hệ tương đương với
3
3
22 21
13 12
x xy
y xy
nhận thấy
0
x
hoặc
0
y
không thỏa mãn hệ nên nhân hai vế của hệ với nhau
ta được
3 2
22 21 13 12 1 274 264 0
xy xy xy xy xy xy
1
137 19033
xy
xy
- Với
1
1
1
x
xy
y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
15
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
- Với
3
3
22 21 137 19033
137 19033
13 12 137 19033
x
xy
y
Vậy hệ có ba nghiệm
Bình luận: Dạng bài toán này có cách giải rất hay và hết sức cơ bản, ta có thể sáng tạo nhiều bài
toán tương tự
Bài 22. Giải hệ phương trình
3 2 2
2 1 1
1 1 10
x x y x y y
x y y
Lời giải:
Điều kiện:
2
2 1 0
1
x y
y
Khi đó biến đổi phương trình thứ nhất của hệ
3 2 2 2 2
2 1 1 2 1 1 0
x x y x y y x x y x y y
Nếu cả
2
2
1
1 2 1 0
1
y
y x y
x
thay vào phương trình đầu của hệ ta được
3 2
1 1 3 0
x x x x y
không thỏa mãn vậy chúng không đồng thời bằng 0, khi
đó biến đổi phương trình như sau
2 2
2 2
2 2
0 0
2 1 1 2 1 1
x y x y
x x y x y x
x y y x y y
nhưng do
1 1 10 1
x y y x y
nên
2
2
0
2 1 1
x y
x
x y y
Vậy
y x
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình
2
2
1
1
2 1 1 10 3
3 4 4 17 0
1 2 1 100
x
x
x x x
x x x
x x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 3;3
x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
16
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 23. Giải hệ phương trình
3 3 3
2 2
1 19
6
x y x
y xy x
Lời giải:
Nhận thấy
0
x
không thỏa mãn hệ phương trình, với
0
x
nhân vào hai vế của phương trình
thứ hai với
x
ta được hệ
3 3 2 2
3 3 3
2 2 3
3 3 3
19
1 0
1 19
6
6
1 19
x y xy x y
x y x
xy x y x
x y x
3 3 3
1
3
2 3
1 0
2
3 2
1
1 19
2
3
x
xy xy xy
y
x
x y x
y
Vậy hệ có hai nghiệm là
1 1
; ; 2 ; ;3
3 2
x y
Bài 24. Giải hệ phương trình
2
2 2 16 0
4 32
x xy x y
x y xy
Lời giải:
Hệ tương đương với
2 16 2 16
4 32 4 32
x x y x y x y x
x y xy x y xy
0
8
16 32
2
2
4
2 16
2
2 16
6
2
x
y
xy x
x
x y xy
x y x
y
x y x
x
y
Vậy hệ có ba nghiệm
; 0;8 ; 2;2 ; 6;2
x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
17
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 25. Giải hệ phương trình
3 3
12 7 16 0
2 2 2
x y xy x y
x y x y
Lời giải:
Điều kiện
2 0
2 0
x y
x y
Khi đó hệ tương đương với
2
2 2
2 2
3
3 2 0
2
2 2 4 4
4 2
x y
x y x y
x y
x x y
x x y
2
3
2; 1
5 2 3
9 3 5 3 5
;
2
2 2
2 2
x y
x y
y y
x y
x y
y
Vậy hệ có hai nghiệm là
9 3 5 3 5
; 2;1 ; ;
2 2
x y
Bài 26. Giải hệ phương trình
2
3 2
2 1 4 1 0
2 2 1 1
x x y x y x
y y x y x
Lời giải:
Viết phương trình thứ hai của hệ dưới dạng
3 2 3 2
2 2 1 1 2 2 1 2 1
y y x y x y y y x x
2 2
2 2 1 2 2 1
y y x y y x
, thay vào phương trình đầu tiên của hệ ta được
phương trình
2
2 2 3 1 0
x x x x
Nếu
0
x
thì vế trái của phương trình luôn lớn hơn 0, vậy nên phương trình có nghiệm nếu
0
x
, nên chia cả hai vế của phương trình cho
2
, 0
x x
ta được
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
18
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 0 1 2 3
x x x x x x x x
2
22
2 2
1 1
3 0
1 1 1 10
9
1 1 1 1
1 2 9
x x
x x
x x x x
2
0
3 13 4 10 10 1
1 10
6
1 0
9
x
x
x x
Suy ra
3 13 4 10 10 1 6
12
y
Bài 27. Giải hệ phương trình
2 2
2 2 2 2
3
1 4 1 8
x y xy x
x xy y x
Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với
2 2
2 2 2 2 2 2 3 2 2 2
2 2 3 2 2 2 2
2 2 2 2
3 0 3 0
3 3 4 8
4 8
3
xy x xy x
x y x y x x y x x y x y
x y x y x y
x y x y x
2
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
0
3 0
0; 0
0
1 0
5
1
1;
5
3
3
x
xy x
x y
y
x y x
x
x y
x y x y x
x y x y x
Vậy hệ có ba nghiệm là
5
; 0;0 ; 1;
5
x y
Bài 28. Giải hệ phương trình
2 3 4 6
2
2 2
2 1 1
x y y x x
x y x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
19
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Điều kiện
1
y
Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ
2 3 4 6 2 2 2 4 2 2
2 2 2 0
x y y x x x y x y x x x y y
2
2 2 4 2 2
2 4 2 2 2 4 2
2 0
2 2 0
y x
x y x x x y y
x x x y y x y x y
- Nếu
2 4 2
2 0 0
x y x y x y
thử lại nghiệm thấy không thỏa mãn.
- Nếu
2
y x
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình
2
2 2
2 1 1 2 1
x x x x x
(*)
Đến đây ta đặt
2
1
t x
khi đó phương trình (*) trở thành
2
2
2
1 2
2 2 2 0 3
1
x
t x x t t x t x
x x
suy ra
3
y
Vậy hệ có hai nghiệm là
; 3;3
x y
Bài 29. Giải hệ phương trình
2
1 1
1 2 0
x x y
y x x y x
Lời giải:
Điều kiện:
0
1 0
x
x y
Khi đó hệ tương đương với
2
2 2
1 1
2 1 1
1 2 0
2 0
x x y
x x x y
y x x y x
y y x x xy
2 2
2 2
2 2
y x
y x
y x y x
y x xy
y x y x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
20
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
4; 2
3 2 2 1
1
; 1
3 2 2 1
4
2 2
17 1
; 2 17 2 2
2
x y
x x x
x y
x x x
y x
x y
Bài 30. Giải hệ phương trình
3 2
2 1 3
4 1 9 8 52 4
x y
x x y x y xy
Lời giải:
Điều kiện:
1
y
Hệ phương trình tương đương với
2
2 2
3 2
3
6 5
4
3 6 5 6 5
4 . 9 8. 52 4 .
2 4 4
x
x x
y
x x x x x
x x x x
2
2
6 5
4
7
4 21 0
3
3
x x
y
x
x x
y
x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 7;3
x y
Bài 31. Giải hệ phương trình
3 3
3 3 3
3
1
2 6 3 5 5
xy
x y
x y
x y x y x y x y
Lời giải:
Điều kiện:
0
x y
Khi đó biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta được
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
21
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
3 3 3 3
3
1 3 0
xy
x y x y x y xy x y
x y
2
2 2
3 0
x y x y xy xy x y
2 2
3 3 0
x y x y xy xy x y
4 2
3 1 0
x y x y xy x y
3 2
1 1 3 1 0
x y x y x y x y xy x y
(*)
Nhưng do
3 2
1 3 1
x y x y x y xy x y
3 3 2 2 2 2 2 2
1 0
x y x y xy x y x y x y xy x y xy
Với
0
x y
Vậy nên phương trình (*) tương đương với
1 0
x y
; lúc này thay vào phương trình thứ hai
của hệ ta được phương trình
3 3 3
3 1 5 1 2
x x x
( phương trình này được giải bằng cách lập phương hai vế; chi tiết xem
Chuyên đề phương trình, bất phương trình vô tỷ).
Giải phương trình trên có 3 nghiệm
0 0, 1
1 1 6
,
5 5 5
1 1 2
,
3 3 3
x x y
x x y
x x y
Vậy hệ có ba nghiệm là
1 6 1 2
; 0;1 ; ; ; ;
5 5 3 3
x y
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau:
Bài 1. Giải hệ phương trình:
2 2
3 3 14
14 36
x y x y xy
x y x xy y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
22
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 2. Giải hệ phương trình:
12
15
x y
x y
x y x y
xy
Bài 3. Giải hệ phương trình:
2
2 2
2 2
2 3 0
4 0
xy x y x y
xy x y x y x y
Bài 4. Giải hệ phương trình
3 3
2 2
2 3 4
5 1 3 4 3 2
x y y x
y x
Bài 5. Giải hệ phương trình
2 2
2
2 2
1 2 3 2 2 1 5
17 12 4 7 3 8 5
x x xy x y y x y y
x y x y x x y
Bài 6. Giải hệ phương trình
3 3
3 3
2 2 1
2 2 5
x y xy
x y xy
Bài 6. Giải hệ phương trình
3 3 2 2
3 3
2
1
x y x y xy
x y xy
Bài 7. Giải hệ phương trình
3 2 2 2
1 3 1
1 1 10
x x y y x y y
x y y
Bài 8. Giải hệ phương trình
1 2 2 1 9
3 1 1 10
x y x y
x y y
Bài 9. Giải hệ phương trình
3 2
2 2 2
2 2 1 1
2 2 2 2 3
y y x y x
x y y x x y
Bài 10. Giải hệ phương trình
2
2
2 5 6 7 0
5 4 5 11 2 7
x y y
x y x y
Bài 11. Giải hệ phương trình
2
2 3 2 2
6 12
3 3 0
xy y
x y x x y xy x y
Bài 12. Giải hệ phương trình
3 1 3
3
2 2
log 3 log 1 log 2
2 3 35 0
x y x y
x y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
23
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 13. Giải hệ phương trình
2 2
2
35
12
1
x y x x x y x
x
x
y
Bài 14. Giải hệ phương trình
2
2 2
2 2
1 1 3
6 5 2 3 6
x y y x
x y
x y
x y x y
xy y x
HỆ ĐỐI XỨNG
(i). Hệ đối xứng loại 1.
Hệ đối xứng loại 1 là hệ mà vai trò của
,
x y
trong hệ là như nhau.
Nếu
0 0
,
x y
là nghiệm của hệ thì
0 0
,
y x
cũng là nghiệm của hệ.
Phương pháp:
Đặt
S x y
P xy
với điều kiện
2
4
S P
.
(ii). Hệ đối xứng loại 2.
Hệ đối xứng loại 2 là hệ mà khi ta đổi vai trò
,
x y
cho nhau thì phương trình này chuyển thành
phương trình kia.
Nếu
0 0
,
x y
là nghiệm của hệ thì
0 0
,
y x
cũng là nghiệm của hệ.
Phương pháp:
Trừ theo vế hai phương trình trong hệ ta được
, 0
, 0
x y
x y f x y
f x y
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
8
x y xy
x y
Lời giải:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
24
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
Đặt
,
S x y P xy
. Khi đó hệ trở thành
2
2
2
2 2
2
2
6 3
3 8
0
8
2
S
P
S P
S
S
S S P
P
S S
2 2 0
0 0 2
x y x x
xy y y
Vậy hệ có hai nghiệm là
, 2,0 ; 0,2
x y
.
Bài 2. Giải hệ phương trình:
3 3
19
8 2
x y
x y xy
Lời giải:
Đặt
,
S x y P xy
. Khi đó hệ trở thành
2
3
2 83 19
1
6
3 2 8 19
8 2
SP SS S P
S
PS S
S P
1 3 2
6 2 3
x y x x
xy y y
Vậy hệ có hai nghiệm là
, 3, 2 ; 2,3
x y
.
Bài 3. Giải hệ phương trình :
2 2
3 3
3
3
2 3
6
x y x y xy
x y
Lời giải :
Đặt
3
3
,
x a y b
khi đó hệ trở thành :
3 3 2 2
2 3
6
a b a b b a
a b
Đặt ,
S a b P ab
khi đó hệ trên trở thành
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
25
Dang Thanh Nam, Auditing 51a, National Economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
2 3 3
6 6 4 64 2
8 8 2 8 4
6
S S P SP
S a b a x a
P ab b y b
S
Từ đó suy ra nghiệm của hệ là
, 64,8 ; 8,64
x y
.
Bài 4. Giải hệ phương trình :
3
1 1 4
x y xy
x y
Lời giải :
Điều kiện :
0
, 1
xy
x y
Đặt
,
S x y P xy
khi đó hệ trở thành
2
2
3 , 3
3
2 2 1 16
2 3 1 14
P S S
S P
S S P
S S S
6 6 3
9 9 3
S x y x
P xy y
Bài 5. Giải hệ phương trình :
3 2 2
3 2 2
3 2
3 2
x x y
y y x
Lời giải :
Từ hai phương trình của hệ suy ra hệ có nghiệm nếu
, 0
x y
.
Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được
3 3 2 2 2 2
3 3 0
x y x y x y x y xy x y
2 2
3 0
x y
x y xy x y
(i). Nếu
x y
, khi đó ta được hệ
3 2 2
0
1
3 2
x y
x y
x y
x x y
