Tuyển tập các câu hỏi trắc nghiệm về hệ phương trình - Phạm Thành Luân

103
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Xét hệ phương trình:
(m 4)x (m 2)y 4
(2m 1)x (m 4)y m
+−+=
⎧
⎨
−+− =
⎩

Trả lời từ câu 1 đế câu 3.

1.Với giá trò nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất.
a.
m3≠−
b.
m3≠−
và
m2≠
c.
m2≠−
và
m4≠

d.
m2≠
e. Một kết quả khác.
2. Với giá trò nào của m thì hệ vô nghiệm.
a. m = - 2 b. m = 2 c. m = - 3 d. m = 4

e. Đáp số khác.
3. Với giá trò nào của m thì hệ vô số nghiệm (x, y).
a. m = 2 b. m = - 3 c. m = - 2 d. m = 1
e. m = 3

Xét hệ phương trình:
ax 2y a 1
2x ay 2a 1
+=+
⎧
⎨
+=−
⎩

Trả lới các câu hỏi từ câu 4 đến câu 6.

4. Với giá trò nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất:
a. a 2≠− b. a 2≠+ c. a 3≠± d. a 2
≠ ±
e. a 3≠−
5. Hệ thức độc lập giữa các nghiệm là:
a.
22
2x 2y 5y x 3 0−+++=
b.
22
2(x y ) 5y x 2 0−−++=

c.
22

xy5yx10−++−= d.
22
2(x y ) 5y x 3 0++−−=
6. Với giá trò nguyên nào của a thì hệ có nghiệm nguyên duy nhất.
a.
a1,=±
a3=± b.
a2,=±
a4=± c. a 2= ±
d. a 3=± e. Đáp số khác.

104
7. Đònh a để hệ có nghiệm thỏa:
22
(x y )+
nhỏ nhất:
2x y 5
2y x 10a 5
+=
⎧
⎨
− =+
⎩

a.
3
a
2
= − b.
1

a
2
= − c. a = 1 d.
1
a
2
=
e. Một số khác.

8. Đònh a để hệ có nghiệm thỏa x, y lớn nhất.
2x y 5
2y x 10a 5
+=
⎧
⎨
− =+
⎩

a.
3
4
b.
1
2
−
c.
1
4
d. 1 e.
2

3


9. Cho hệ phương trình:
mx 2y m 1
2x my 2m 5
+ =+
⎧
⎨
+ =+
⎩
và các mệnh đề:
(I) Hệ có nghiệm duy nhất khi m 2
≠
(II) Hệ có vô số nghiệm khi m = - 2
(III) Hệ vô nghiệm khi m = 2
Các mệnh đề nào đúng ?
a. Chỉ (I) b. Chỉ (II) c. Chỉ (III) d. Chỉ (II) và (III)
e. Chỉ (I) và (III).

10. Tìm điều kiện để hệ có vô số nghiệm:
4x my 1 m
(m 6)x 2y 3 m
−+ =+
⎧
⎨
+ +=+
⎩

a. m = 3 b. m = - 3 c. m = 1 d. m = 2

e. m = - 2

11. Nghiệm của hệ phương trình:
22
xy xy 6
xy x y 5
⎧
+ =
⎪
⎨
+ +=
⎪
⎩
là cặp nào ?
a. (1, 2) và (2, 1) b. (1, 2) c. (2, 1)
d. (1, 1) e. Đáp số khác.

105
12. Cho hệ phương trình:
22
xxyya1
xy yx a
++=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

Đònh a để hệ có ít nhất một nghiệm (x, y) thỏa điều kiện: x > 0 và y >
0:
a.
1
0a
4
<≤
b. a 2≥ c.
a2≥

∨

1
0a
4
< ≤

d.
a2≤

∨

1
0a
3
<≤ e. Đáp số khác.

13. Nghiệm của hệ phương trình:
2
2

x3x2y
y3y2x
⎧
=+
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
là cặp nào ?
a. (0, 0), (5, 5) b. (0, 0), (5, 5), (-1, 2) và (2, -1) c. (-1, 2), (2, -1), (0,
0)
d. (5, 5), (3, 3) e. Một kết quả khác.

14. Hệ phương trình:
22
22
2x 3xy y 15
xxy2y8
⎧
++=
⎪
⎨
++ =
⎪
⎩
có bao nhiêu cặp nghiệm
(x, y).
a. 1 b. 3 c. 2 d. 4 e. Vô
nghiệm.

15. Hệ phương trình:
22
x 2xy 3y 0
xx yy 2
⎧
+−=
⎪
⎨
+=−
⎪
⎩
có cặp nghiệm là:
a.
(1,1)−−
b.
31
,
22
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
c. (2, 2),
11
,
43
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

d.
31
,(3,3)
22
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
e.
31
(1,1), ,
22
⎛⎞
−− −
⎜⎟
⎝⎠



106
16. Nghiệm của hệ phương trình:
xyz9
xy yz zx 27
111
1
xyz
⎧
⎪
++=

⎪
⎪
+ +=
⎨
⎪
⎪
++=
⎪
⎩
là bộ ba nào ?
a. (2, 2, 2) b. (3, 3, 3) c. (4, 4, 4) d. (2, 2, 1) e. Một
kết quả khác.

17. Đònh m để phương trình sau có nghiệm:
x1 y m
y 1x1
⎧
+ +=
⎪
⎨
+ +=
⎪
⎩

a. m = 1 b. m = 2 c. m = - 1 d. m = 3 e. m =
- 2.

18. Hệ phương trình:
22
xxyy4

xxyy2
⎧
+ +=
⎪
⎨
++=
⎪
⎩
Có bao nhiêu cặp nghiệm
(x,y).
a. 3 b. 4 c. 2 d. 1 e. Cả 4
câu trên đều sai.

19. Nghiệm của hệ:
22
22
x2y2xy
y2x2yx
⎧
− =+
⎪
⎨
− =+
⎪
⎩
là:
a. (0, 0),(1, 1) b. (-3, -3) c. (2, 2),(0, 0) d. (0, 0), (-3, -
3)
e. Một kết quả khác.

20. Số cặp nghiệm của hệ:
33
66
xy3x3y
xy1
⎧
− =−
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
là:
a. 4 b. 1 c. 2 d. 3 e. Cả 4
câu trên đều sai.


107
HƯỚNG DẪN GIẢI

1b.
m4 (m2)
D 3(m3)(m2)
2m 1 m 4
+−+
==+−
−−

x
4(m2)

D (m2)(m8)
mm4
−+
==−+
−

2
y
m4 4
D (m2)
2m 1 m
+
==−
−

Nếu
D0 3(m3)(m2)0 m 3≠⇔ + − ≠ ≠−
và
m2
≠
thì hệ có nghiệm
duy nhất.

2c. Với m = - 3 thì D = 0,
x
D250:=− ≠
hệ vô nghiệm.

3a. Với m = 2 thì D = 0, hệ
6x 4y 4 3x 2y 2

3x 2y 2 3x 2y 2
−= −=
⎧⎧
⇔⇔
⎨⎨
−= −=
⎩⎩

⇒
Hệ có vô số nghiệm (x, y) với 3x – 2y = 2 hay:
x tùy ý
3x 2
y
2
⎧
⎪
⎨
−
=
⎪
⎩
.

4d. Ta có:
2
a2
D a4
2a
==−
Để hệ có nghiệm duy nhất

2
D0 a 40 a 2⇔≠⇔ −≠⇔≠±.

5e. Ta có:
22
a(x 1) 1 2y
12y 12x
2(x y ) 5y x 3 0
a(y 2) 1 2x
x1 y2
−=−
⎧
−−−
⇒= ⇔−+−−=
⎨
−=−−
−−
⎩


6a.
2
x
a12
D a3a2(a1)(a2)
2a 1 a
+
==−+=−−
−

2
y
aa1
D 2a 3a 2 (a 2)(2a 1)
22a1
+
==−−=−+
−


108
Với
a2≠ ±⇒
hệ có nghiệm duy nhất.
x
Da1 3
x1
Da2 a2
−
== =−
+ +
;
y
D
2a 1 3
y2
Da2 a2
+
== =−

+ +

Vậy x, y nguyên
a2⇔+
là ước số của 3
11
13
a2 a
31
33
−
⎡ ⎡
⎢ ⎢
− −
⎢ ⎢
⇔+= ⇔=
⎢ ⎢
⎢ ⎢
− −
⎢ ⎢
⎣ ⎣


7b. Ta có:
21
D 5,
12
==
−

x
51
D 5(2a1)
10a 5 2
= =− +
+
;
y
25
D 5(4a3)
110a 5
= =+
−+

Hệ có nghiệm:
x
22 2
y
D
x2a1
D
x y f(a) 20a 20a 10
D
y4a3
D
⎧
==−+
⎪
⎪
⇒+= = + +

⎨
⎪
==+
⎪
⎩

f'(a) 40a 20,
= +
11
f'(a) 0 a f 1
22
⎛⎞
= ⇔=−⇒ − =−
⎜⎟
⎝⎠

Bảng biến thiên:

⇒
Min
22
(x y 1)+=−
khi
1
a
2
= −


109

8c. Hệ
2x y 5
x2y10a5
+=
⎧
⇔
⎨
−+ = +
⎩
D = 5 ,
x
51
D 5(2a1)
10a 5 2
==−+
+
;
y
25
D 20a
110a 5
==
−+

x
2
y
D
x2a1
D

xy f(a) 8a 4a
D
y4a
D
⎧
==−+
⎪
⎪
⇒⇒==−+
⎨
⎪
==
⎪
⎩

f'(a) 16a 4,⇒=−+

1
f'(a) 0 a ,
4
=⇔=

11
f
42
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

Bảng biến thiên:

1
Max(xy)
2
⇒=
khi
1
a
4
=
.

9d. Ta có:
2
m2
D m 4 (m 2)(m 2)
2m
==−=+−

x
m1 2
D (m 5)(m 2),
2m 5 m
+
==−+
+

y
mm1

D (m2)(2m1)
22m5
+
==+−
+

. Nếu D 0 m 2
≠⇔ ≠±
thì hệ có nghiệm duy nhất.
. Nếu D = 0
m2⇔=±

+ m = 2:
x
D120:=− ≠
hệ vô nghiệm
+ m = - 2: hệ trở thành:
2x 2y 1
2x 2y 1
−=
⎧
⇒
⎨
−=
⎩
hệ có vô số nghiệm.

110
10e. Để hệ có vô số nghiệm trước tiên phải có:
2

4m
D 8m6m0
m62
−
= =− − − =
+

2
m6m80m2m4
⇔ ++=⇔=−∨=−

. Với m = - 2: hệ trở thành:
4x 2y 1
4x 2y 1
4x 2y 1
−− =−
⎧
⇔ +=⇒
⎨
+=
⎩
hệ có vô
số nghiệm m 2
⇒=−
(nhận).
. Với m = - 4: Hệ trở thành:
3
4x 4y 3
2x 2y
2

2x 2y 1
2x 2y 1
⎧
−− =−
+ =
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
+=−
⎩
⎪
+ =−
⎩
Vô
nghiệm.
Vậy m = - 2 hệ có vô số nghòêm.

11a. Hệ
SP 6 S 2 S 3
PS5 P3 P2
===
⎧⎧⎧
⇔⇔∨
⎨⎨⎨
+= = =
⎩⎩⎩

. S = 2, P = 3 không thỏa
2

S4P0
− ≥
(loại)
. S = 3, P = 2:
x1 x2
y2 y1
= =
⎧⎧
⇔∨
⎨⎨
= =
⎩⎩


12c. Hệ
SPa1 Sa S1
SP a P 1 P a
+=+ = =
⎧⎧⎧
⇔⇔∨
⎨⎨⎨
===
⎩⎩⎩

. Với
Sa
P1
=
⎧
⎨

=
⎩
điều kiện để x > 0, y > 0 là:
2
2
S0
a0
P0 a2
a40
S40
⎧
>
>
⎧
⎪
⎪
>⇔ ⇔≥
⎨⎨
−≥
⎪
⎪
⎩
−≥
⎩


111
. Với
S1
Pa

=
⎧
⎨
=
⎩
Điều kiện để x > 0, y > 0 là:
2
S0
a0
1
P0 0a
14a0 4
S40
⎧
>
>
⎪⎧
>⇔ ⇔<≤
⎨⎨
−≥
⎩
⎪
−≥
⎩

Vậy
1
a20a
4
≥∨<≤ .

13b.
2
2
x3x2y (1)
y3y2x (2)
⎧
=+
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
(1) – (2): (x - y)(x + y - 1) = 0
TH 1: y = x thay vào (1):
2
x5xx0 x5=⇔=∨=

x0 y0;=⇒= x5 y5=⇒=
TH 2:
xy10 y1x+−=⇔=−
thay vào (1):
22
x3x2(1x)xx20=+ −⇔−−=

x1x2⇔=−∨=

x1y2,=− ⇒ = x2 y 1=⇒=−.
Vậy hệ có 4 nghiệm: (0, 0), (5, 5), (-1, 2) và (2, -1).

14d. Ta thấy x = 0, y = 0 không phải là nghiệm hệ phương trình:
Đặt x = ky thì hệ phương trình đã cho trở thành:
22
22
(2k 3k 1)y 15 (1)
(k k 2)y 8 (2)
⎧
++ =
⎪
⎨
++ =
⎪
⎩

Vì y 0≠ nên (1)và (2) cho
2
12
k9k220k2, k 11+−=⇔= =−

. k = 2
2
x2y y 1 y 1⇒= ⇒ =⇔=±.
Vậy nghiệm của hệ: (2, 1) ; (-2, -1)
. k = - 11 thì :
2
11
x11yy y
14
14
=− ⇒ = ⇔ =±

⇒
nghiệm hệ:
11 1 11 1
,;,
14 14 14 14
⎛⎞⎛⎞
−−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
Tóm lại hệ có 4 cặp
nghiệm.

112
15e.
22
x 2xy 3y 0 (1)
x x y y 2 (2)
⎧
+−=
⎪
⎨
+=−
⎪
⎩

Ta xem (1) là phương trình ẩn số x ta có:
22 2
'y 3y 4y∆= + =
xyx 3y

⇔ =∨=−
Do đó hệ phương trình trở thành:
xy x 3y
yy yy 2 3y 3y yy 2
==−
⎧⎧
⎪⎪
∨
⎨⎨
+ =− − − + =−
⎪⎪
⎩⎩

xy 1
xy
3
2y y 2
x
2
x3y
1
y
8y y 2
2
==−
⎡
⎡
=
⎧
⎪

⎢
⎢
⎨
⎧
=−
⎢
⎪
⎢
⎩
=−
⎪
⇔ ⇔⇒
⎢
⎪
⎢
=−
⎧⎨
⎢
⎪
⎢
⎪
⎨
⎢
⎢=
=
⎪
⎢
⎪
⎩
⎢

⎣
⎩
⎣
Đáp số:
3
x
2
xy 1
1
y
2
⎧
= −
⎪
⎪
==−∨
⎨
⎪
=
⎪
⎩


16b. Điều kiện
x0, y0, z0≠≠≠
. Hai vế của (3) nhân cho xyz:
x y z 9 (1)
xy yz zx xyz (4)
xy yz zx 27(2)
(2)và(4) xyz 27 (5)

111
1 (3)
xyz
⎧
⎪
++=
⎪
++=
⎪
++=
⎨
⇒=
⎪
⎪
++=
⎪
⎩

Nhân 2 vế của (2) với x, ta được :
222
xy xyz zx 27x x(y z) xyz 27x++=⇔ ++= (6)
(1) y z 9 x
⇔ +=− (7)
Từ (5), (7) thế vào (6) :
2
x(9 x) 27 27x−+ =

32 3
x9x27x270(x3)0x3⇔ −+−=⇔−=⇔=

Thay x = 3 vào (1) và (5) :
yz6
yz3
yz 9
+=
⎧
⇒==⇒
⎨
=
⎩

Đáp số: x = y = z = 3.