Chuyên đề toán luyện thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.25 MB, 343 trang )
Lời nói đầu!
Sau những ngày tháng vật lộn với kì thi đại học, mình cũng sưu tầm được kha khá
tài liệu môn Toán, đây là môn học mang tính tuy duy cao, nó không chỉ là kiến thức phục
vụ trực tiếp cho các kì thi, mà qua Toán học ta có thể nâng cao sự tư duy, hoàn thiện bản
thân hơn, hãy đam mê nó sẽ thấy được những vẻ đẹp kì điều kì diệu của Toán học.
Những đường cong quyến rũ của đồ thị, mê cung kì diệu của hệ phương trình hay những
hình không gian hết sức trừu tượng, bộ tài liệu này mình khá là tâm đắc vì được mình sưu
tầm trên http:onluyentoan.vn .Hi vọng cuốn tài liệu này là những bước đầu trên con
đường chinh phục đỉnh cao Toán học . Quan trọng hơn là kì thi đại học sắp tới, nó sẽ là
những bước ngoặt lớn trong cuộc đời, chúc các bạn thành công!
Qua cuốn tài liệu này mình muốn gửi lời cảm ơn tới các thành viên của Diễn Đàn
“ Ôn luyện toán” và đặc biệt tới các thành viên như : Hâm-hấp; tkvn; nguoivn;
K.K.Đ.Đ.Đ.L.T; binhncb; dzitxiem; Storm Spirit; kienqb; tranphongk33;
cokeu14_bl…… Qua cách giải bài, trình bày, lí luận và tư duy, mình đã học hỏi được rất
nhiều, không chỉ có học mà từng cách ứng xử, lời ăn tiếng nói cũng được các thành viên
chỉ bảo lẫn nhau, đó là điều hứng thú nhất mà mình cảm thấy đây là diễn đàn đầu tiên
cảm nhận được vậy, cám ơn diễn đàn rất nhiều, hi vọng ngày càng nhiều thành viên tham
gia diễn đàn, chúc diễn đàn ngày càng lớn mạnh .
Nếu thấy hữu ích hãy gửi cho mình 1 SMS để là lời động viên cho mình nhé, My
phone : 01645362939, 01258774067
Dù đã cố gắng nhưng không thể không có sai sót, rất mong sự góp ý của các bạn
để mình hoàn thiện tài liệu này.
Thân ái:
Vũ Tùng Lâm
H/s: THPT Lục Ngạn số 3. A3K11.
S/v: BK2.15 K57.
Phụ Lục
Chuyên đề I: Khảo sát hàm số…………………………………………………
Phần 1: Hàm số bậc 3………………………………………………… 2
Phần 2: Hàm bậc nhất trên bậc nhất…………………………………. 35
Phần 3: Hàm số bậc 4………………………………………………… 52
Chuyên đề II: Phương Trình Lượng giác, PT-Hệ PT ………………………….
Phần 1: Phương Trình Lượng Giác……………………………………. 61
Phần 2: Hệ Phương Trình……………………………………………… 108
Phần 3: PT mũ – logarit……………….……………………………… 173
Phần 4: Phương Trình vô tỉ…………………………………………… 235
Chuyên đề III: Tích Phân, Nguyên Hàm 304
Chuyên đề IV: Thể tích khối chóp 317
Chuyên đề V: Tọa độ trong mặt phẳng, không gian
Phần 1 : Tọa độ trong không gian……………………………………… 335
Phần 2: Tọa độ trong mặt phẳng………………………………………….339
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 2 -
Lời Giải:
Trước tiên, đạo hàm của hàm số
3 2
( ) 3( 1) 3 ( 2) 12 8
f x x m x m m x m
là
2 2
( ) 3 6 ( 1) 3 6 .
f x x x m m m
2 2 2 2
2
( ) 0
3 6 ( 1) 3 6 0 2 ( 1) 2 0
2
( 1) 1
f x
x x m m m x x m m m
x m
x m
x m
Không mất tính tổng quát, ta có thể cho
x m
là hoành độ điểm
A
và
2
x m
là hoành độ
điểm
B
. Khi đó, ta tìm được tọa độ của chúng là:
3 2 3 2
( , 3 12 8), ( 2, 3 12 4).
A m m m m B m m m m
Khi đó,
2 3 2 2 2 3 2 2
( 3) ( 3 12 6) ( 1) ( 3 12 2) .
MA MB m m m m m m m m Áp dụng
Cauchy- Schwarz:
2 3 2 3 2 3 2
2 3 2 2 3 2 3 2
(3 ) ( 3 12 6)· 1 4 3 2( 3 12 6) 2 6 25 15,
( 1) ( 3 12 2) · 1 4 ( 1) 2( 3 12 2) 2 6 25 5.
m m m m m m m m m m m
m m m m m m m m m m m
Do đó,
5 10 2 5
. Do đó, giá trị nhỏ nhất của
là
2 5,
xảy ra khi và chỉ khi
2.
m
Có thể xứ lí gọn hơn như sau:
Nhận thấy
2 5,
AB do đó theo bất đẳng thức tam giác ta có:
2 5.
AM BM AB
Đẳng thức xảy ra khi:
, 0.
AM k AB k
Từ đó ta tìm được
2.
m
Chuyên đề I: Khảo sát hàm số
Phần 1: Hàm số bậc 3
Coppy right ©: Mobile_lam
Bài 1:
Cho hàm số
3 2
3( 1) 3 ( 2) 12 8
y x m x m m x m
có đồ thị là
( )
m
C
.
Tìm
m
để
( )
m
C
có hai điểm cực trị A,
B
sao cho
AM BM
nhỏ nhất với
(3;2).
M
Bài 2:
Chứng minh rằng
3 2 2 3
( ): 3 3( 1) 3
m
C y x mx m x m m
luôn tiếp xúc với hai đường thẳng
cố định.
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 3 -
Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng: 3
y ax b
. Khi đó hệ phương trình sau có nghiệm với mọi
m
3
2
( ) 3( ) 3 (1)
3( ) 3 3 (2)
x m x m ax b
x m a
để PT (2) có nghiệm m thì:
1
a
và khi đó ta thu được
1
x m a
(3) và
1
x x m a
(4)
Thay (3) vào (1) ta được:
3
( 1) 3( 1) 3 ( 1)
a a a m a b
có nghiệm với mọi
m
Phương trình bậc nhất
. 0
A m B
có nghiệm với mọi
m
khi
0
A B
.Suy ra
0
a
và
2
b
Thay (4) vào (1) Suy ra
0
a
và
2
b
Câu a. Để tìm điểm cố định, ta coi phương trình đã cho có ẩn là
m
còn
,
x y
là tham số. Điểm
( , )
A x y
là điểm cố định nếu phương trình ẩn m kia nghiệm đúng với mọi m.
Với phương trình
0,
am b
thì nghiệm đúng với mọi
m
khi
0.
a b
Áp dụng vào bài này ta
viết phương trình thành
3
2 2
1
3 6 0.
3 3
x
m x x x x y
Phương trình này có nghiệm với
mọi
m
khi và chỉ khi
3
2
2
3 0
3
1
6 0
3
x
x x
x x y
Giải ta được
1
0, .
3
x y
Vậy
1
0,
3
A
là điểm cố
định.
Câu b. Cực trị của hàm số liên quan đến dấu của đạo hàm cấp một, với hàm số bậc ba nó có hai
cực trị tương đương đạo hàm cấp một có hai nghiệm phân biệt. Ta có
2
2( 1) 3( 2).
y mx m x m
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì đạo hàm cấp một phải có hai
nghiệm phân biệt, điều kiện cần là
0.
m
Khi đó
2 2
( 1) 3 ( 2) 0 2 4 1 0. (1)
m m m m m
Với điều kiện
(1),
ta tính được hai nghiệm
của phương trình
0
y
rồi thế vào đẳng thức đề cho để giải tìm
m
chú ý rằng dấu của
m
sẽ cho
Bài 3:
Cho hàm số
3 2
1 1
( 1) 3( 2) .
3 3
y mx m x m x
Tìm điểm cố định của họ đồ thị của hàm số.
Với giá trị nào của
m
thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và
cực tiểu
1 2
,
x x
thỏa mãn điều kiện
1 2
2 1.
x x
Với giá trị nào của
m
thì hàm số đồng biến trên
[2, ).
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 4 -
ta hai trường hợp của
1 2
, .
x x
Câu c. Hàm số đồng biến trên
[2, )
khi đạo hàm cấp một không âm, khác hằng trên đó. Ta viết
lại
2
( 2 3) 2 6.
y m x x x
Khi đó
0
y
sẽ tương đương với
2
6 2
( ), [2, ).
2 3
x
m g x x
x x
Yêu cầu của bài toán dẫn đến ta cần tìm
m
để cận trên của
( )
g x
trên
[2, )
không vượt quá m.
Ta lập bảng biến thiên hàm
g
để tìm ra kết quả.
Phân tích hướng giải câu b. Khi nói đến cực đại và cực tiểu ta cần chú ý nó liên quan đến đạo hàm
cấp một, nghiệm và dấu của của y'. Đặc biệt bài toán lại đòi hỏi tính đối xứng của hai điểm qua
một đường thẳng cho trước nên ta cần biết tính chất hình học của nó bao gồm hai ý: đường thẳng
đi qua hai điểm phải vuông góc với đường thẳng cho trước và trung điểm của hai điểm đó phải
thuộc đường thẳng cho trước.
Lời giải. Ta có tập xác định:
.
D
Lại có:
2
3 6 .
y x ax
Từ đó:
2
0 3 6 0 3 ( 2 ) 0
0, 2
y x ax x x a
x x a
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình
0
y
có hai nghiệm phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua hai nghiệm đó. Điều đó tương thích với
điều kiện lúc này là
0.
a
Gọi tọa độ hai cực điểm đó là
3
(0,4 ), (2 ,0).
A a B a
Hướng giải 1. Ta có phương trình thẳng AB:
2 3
3
1 2 4 .
2 4
x y
y a x a
a a
Gọi
I
là trung
điểm của AB thì tọa độ điểm
I
là nghiệm của hệ phương trình:
3
2
2
2
A B
I
A B
I
x x
x a
y y
y a
Vậy
3
( ,2 ).
I a a
Có
,
A B
đối xứng qua đường thẳng
y x
khi có điều kiện:
Bài 4 :
Cho hàm số
3 2 3
3 4 .
y x ax a
Với a>0 cố định, hãy khảo sát sự biến của hàm số.
Xác định
a
để các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số là đối xứng với nhau qua đường thẳng
.
y x
Xác định
a
để đường thẳng
y x
cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt
, ,
A B C
sao cho
.
AB BC
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 5 -
2
2
3
1
( 2 )·1 1
1 2
.
2 2
2 4
AB d
k k
a
a a
I d
a a
Hướng giải 2. Ta quan sát thấy tọa độ hai
điểm
,
A B
rất đặc biệt đúng không? Thật vậy,
, .
A Ox B Oy
Lại một điều đặc biệt nữa đó là
đường thẳng
y x
là đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ nên điều kiện của bài toán
thỏa khi ta có:
3 2
1 2
4 2 .
2 2
A B
A B
x y
a a a a
y x
Vậy giá trị cần tìm là
2
.
2
a
C, Hoành độ
, ,
A B C
là nghiệm của phương trình
3 2 3
3 4 . (1)
x tx t x Yêu cầu của bài toàn thì
phương trình này phải có ba nghiệm phân biệt và
.
AB BC
Ta giả sử phương trình này đã có ba
nghiệm phân biệt rồi (tẹo nữa ta kiểm tra lại) và ba nghiệm đó theo thứ tự là
, ,
a b c
(ứng với các
hoành độ của
, , .
A B C
Và thế thì tọa độ của
( , ), ( , ), ( , ).
A a a B b b C c c
Ta có:
2 2 2 2
2( ) 2( ) 2 3 .
AB BC b a c b b a c b b a c b a b c
Nhưng, theo
định lý Viette cho phương trình bậc ba thì
3 .
a b c t
Thế cho nên
.
b t
Thay
b t
vào
phương trình
(1)
ta tìm được
1 1
0, , .
2 2
t t t
Giờ, ta kiểm tra lại xem với
t
nào thì
phương trình
(1)
có đủ ba nghiệm phân biệt là xong. Việc này mời các bạn tiếp tục nhé!
Gọi
0 0
( ; )
M x y
vì
M
thuộc đường thẳng
2
y
nên
0
( ; 2)
M x
và
0
( )
là tiếp tuyến có dạng
0
( ) 2
y k x x
Để từ
M
kẻ được 3 tiếp tuyến của đồ thì
( )
C
Hệ phương trình
3 2
0
2
3 2 ( ) 2
3 6
x x k x x
y x x k
có
3
nghiệm phân biệt
3 2
0 0
2 3( 1) 6 4 0
x x x x x
2
0
2
( ) 2 (1 3 ) 2 0
x
f x x x x
Để qua
M
kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị
( )
C
hàm số thì phương trình
( ) 0
f x
có hai nghiệm
phân biệt khác
2
.
Bài 5 :
Tìm điểm
M
trên đường thẳng
2
y
mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị hàm số
3 2
3 2
y x x
ba tiếp tuyến, trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 6 -
2
0 0
9 6 15 0
(2) 0
x x
f
0
0
1
5
2
3
x
x
Để tồn tại
2
tiếp tuyến vuông góc thì :
2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(3 6 )(3 6 ) 1 3( ) 18 ( ) 36 1
x x x x x x x x x x x x
Theo định lí Viet cho phương trình
( ) 0
f x
ta có :
2
1 2 1 2 1 2 1 2 0 0
23
3( ) 18 ( ) 36 1 9(3 1) 32 0
27
x x x x x x x x x x
( không thỏa điều kiện )
P/S : không biết tính toán có đúng không ?
Bài giải chắc là đã ổn, tuy nhiên khi lập luận cần trao đổi 1 chút.
Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến của đồ thì (C) thì hệ ( mà bạn trình bày ) phải có 3 nghiệm phân biệt
đồng thời phải có 3 giá trị k khác nhau
Khi ấy, phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 đồng thời có 2 giá trị k khác nhau và
khác 0.
Để minh chứng dễ mắc sai lầm trong lập luận của bạn , ta có thể thưởng thức bài toán sau :
Cho hàm số
4 2
2 3
y x x
, có đồ thị là
C
. Tìm trên đường thẳng y= 2 những điểm mà qua đó
ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị
C
.
Chứng minh rằng đồ thị hàm số
3 2
3 3 3 6 1 1
y m x m x m x m
luôn đi qua 3 điểm
cố định và viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó.
Phân tích hướng giải
Bài toán trên là bài toán " viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định của một hàm số "
. Vậy trước tiên ta cần nhớ lại cách đi tìm điểm cố định của một hàm số . Đặt một bài toán tổng
quát như sau :
"Chứng minh rằng đồ thị hàm số
( , )
y f x m
đi qua ba điểm cố định thẳng hàng "
Bài 7:
Chứng minh rằng đồ thị hàm số
3 2
3 3 3 6 1 1
y m x m x m x m
luôn đi qua 3
điểm cố định và viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó.
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 7 -
Với bài toán tổng quát này ta đi thực hiện các bước của bài toán :
Xét điểm
( ; )
T x y
là điểm cố định mà đồ thị đi qua
m
Khi đó phương trình :
( , ) 0
f x m
có nghiệm đúng
m
.
Phân tích theo nhóm bậc của
m
rồi cho các hệ số bằng
0
(thực ra bước này ta thường gặp phương
trình bậc nhất hoặc bâc hai theo
m
)
Để chứng minh tính thẳng hàng ta có hai cách để giải :
- Cách 1 ( tường minh) . Phương trình cho ta ba nghiệm "thực " đẹp lúc đó ta sử dụng tính thẳng
hàng của ba điểm .
- Cách 2 (bí ẩn ) . Phương trình không được ba nghiệm " thực " đẹp thì ta thường dùng phương
pháp mà mình hay gọi nôm na là " tính liên tục liên quan đến nghiệm " rồi sau đó dùng kĩ thuật
"tách cái củ cho ra mới " ta sẽ được đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán .
Hướng giải .
Gọi
( ; )
T x y
là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho đi qua
m
. Khi đó ta có phương trình :
3 2
3 3 3 6 1 1
y m x m x m x m
có nghiệm
m
.
3 2 3 2
( 3 6 1) 3 9 6 1 0
x x x m x x x y
3 2
3 2
3 6 1 0
3 9 6
1
x x x
y x x x
Xét hàm số
3 2
( ) 3 6 1
g x x x x
là hàm số liên tục trên
.
Mặt khác ta có :
( 2) 7; (0) 1; (1) 7; (5) 21
g g g g
.
Do đó ta có
( 2). (1) 0; (0). (1) 0; (1)(5) 0
g g g g g
Vậy phương trình
( ) 0
g x
có ba nghiệm phân biệt :
1 2 3
2 0 1 5
x x x
Nên đồ thị hàm số đã cho đi qua ba điểm cố định :
1 2 3
; ;
T T T
Mà ta có :
3 2
3( 3 6 1) 12 2 12 2
y x x x x x
Từ đây ta thấy rằng tọa độ ba điểm
1 2 3
; ;
T T T
nghiệm đúng phương trình
12 2
y x
nên ba điểm
cố định đó thẳng hàng và đường thẳng qua chúng là
12 2
y x
Phân tích hướng giải bạn Nguyentuan đã trình bày nên mình xin phép không nói lại nữa. Mình
chỉ nêu một cách tiếp cận khác của mình khi giải bài toán này như sau:
Gọi
( ; )
T x y
là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho đi qua
m
. Khi đó ta có phương trình :
3 2
3 3 3 6 1 1
y m x m x m x m
có nghiệm
m
.
3 2 3 2
( 3 6 1) 3 9 6 1 0
x x x m x x x y
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 8 -
3 2
3 2
3 6 1 0
3 9 6 1
x x x
y x x x
Xét hàm số
3 2
( ) 3 6 1
g x x x x
là hàm số liên tục trên
.
Đạo hàm
2
3( 2 2)
y x x
. Phương trình
0
y
có hai nghiệm :
1 3
x và
1 3
x .
Do đó ta có:
(1 3). (1 3) 0
y y
. vậy hàm số đang xét cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.Nên
đồ thị hàm số đã cho đi qua ba điểm cố định :
1 2 3
; ;
T T T
.
Mà ta có :
3 2
3( 3 6 1) 12 2 12 2
y x x x x x
Từ đây ta thấy rằng tọa độ ba điểm
1 2 3
; ;
T T T
nghiệm đúng phương trình
12 2
y x
nên ba điểm
cố định đó thẳng hàng và đường thẳng qua chúng là
12 2
y x
Cần tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Xác định tọa độ hai cực trị
,
A B
và điểm
C
để áp dụng công thức diện tích tam giác.
Cụ thể như sau:
Tập xác định
.
Đạo hàm:
2 2
3( 2 1).
y x x m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi
phương trình
0
y
có hai nghiệm phân biệt, hay
0
hay
2
0
m
hay
0.
m
Khi đó, hàm số có hai cực trị là
3 3
(1 ,2 2 ), (1 ,2 2 ).
A m m B m m
Hai điểm
,
A B
tạo với điểm
C
thành tam giác có diện tích bằng
1
khi và chỉ khi
· ( , ) 2.
AB d C AB
Từ đó giải ra m. Đến đây
bạn đọc triển khai nốt nhé. :D
Bổ xung đáp án:
1; 1
m m
Bài 8:
Tìm
m
để đồ thị
3 2 2 2
( ): 3 3( 1) 3 1
m
C y x x m x m
có hai điểm cực trị
,
A B
cùng với
điểm
(2,1)
C tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
Bài 9:
Cho hàm số
3 2
3 4
y x x mx m
có đồ thị
( ).
C
Đường thẳng 3
y x
cắt
( )
C
tại điểm
A. Tìm
m
để tiếp tuyến tại
A
của
( )
C
cắt lại
( )
C
tại điểm
B
khác A thỏa mãn tam giác AIB
vuông, với
(1,2).
I
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 9 -
Đây là một bài hay và đẹp, kết quả thu được
14
.
9
m Mời các bạn trao đổi!
Ta tính ra được tọa độ của
3 2
3 9 27 1 3
, .
2 8 8 8 8
a
B a a a
Ta tìm được
3 4 2
.
3
a
Ta tính được
14
.
9
m
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
3 2 2
2 ( 3) 4 4 ( 2 2) 0
x mx m x x x x mx m
2
0; 2 2 0(1)
x x mx m
(0;4)
A
Vậy để
( )
C
và
( )
d
, cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiêm phân biệt
và khác 0. Hay:
2
0
2 0
3 0
3
m m
m
m
Gọi
,
B C
x x
lần lượt là các nghiệm của phương trình (1), hay cũng chính là hoành độ của các điểm
B,C.Ta suy ra:
( , 4); ( , 4)
B B C C
B x x C x x
Theo định lí Viet ta có:
2
3
B C
B C
x x m
x x m
Ta có:
2 2 2
2( ) 2( ) 8 8 8 24
B C B C B C
BC x x x x x x m m
( , ) 2
kc I d
Ta có:
2 2
1 1
( , ) 2 8 8 24 8 2 8 8 24 16
2 2
IBC
S kc I d BC m m m m
Giải m nữa là O.K
Bài 10:
Cho hàm số
3 2
2 ( 3) 4
y x mx m x
(
m
C
). Tìm
m
để đường thẳng
: 4
d y x
cắt (Cm)
tại ba điểm phân biệt
(0;4), ,
A B C
sao cho tam giác IBC có diện tích bằng
8 2
với
(1;3)
I .
Bài 11 :
Tìm giá trị của
m
để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3 2
3 2
y x x
tiếp xúc đường tròn ( C ) có PT:
2 2
( ) ( 1) 5
x m y m
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 10 -
Hướng giải :
TXĐ R
Đạo hàm
2
3 6
y x x
. Ta có
2
0 3 6 0
y x x
hay
0; 2
x x
.
Vậy ta có 2 điểm cực trị
(0,2), (2, 2)
A B
. Từ đó dễ dàng tìm ra đường thẳng ABcó phương trình:
2 2 0
x y
.
Đường tròn (C) có tâm
( , 1)
I m m
, bán kính
5
R .Đường thẳng AB tiếp xúc đường tròn (C)
khi và chỉ khi hay:
Đến đây dễ dàng giải ra
m
. Bạn đọc triển khai tiếp nhé
Trước tiên ta tìm
m
để hàm số có hai cực trị.Ta có:
2
1
( 1) 2, 0
2
x
y x m x m y
x m
Để hàm số có hai cực trị thì
0
y
phải có hai nghiệm phân biệt, hay
2 1 3
m m
Ta có ODAB là hình bình hành nên trung điểm của AB cũng chính là trung điểm của OD.Từ đó ta
có hệ:
2 2
2 2
A B D
A B D
x x x
y y y
Giả sử:
1, 2
A B
x x m
.Từ phương trình đầu của hệ ta có:
1 3
m
hay
4
m
.Với
4
m
ta có:
11 5
(1; ), (2; )
6 3
A B
Lúc này ta kiểm tra được ngay phương trình thứ hai của hệ thỏa mãn, kết hợp với điều kiện
3
m
ta đi đến kết luận giá trị
4
m
là giá trị cần tìm!
Ở trên ta không đi giải trực tiếp hệ mà tiến hành làm như lời giải vì việc biến đổi là mất khá nhiều
thời gian, hơn thế còn dễ gây nhầm lẫn!
Bài 12 :
Cho hàm số
3 2
1 1
( 1) ( 2) 1
3 2
y x m x m x ,
m
là tham số . Tìm
m
để hàm số có hai
cực trị
,
A B
đồng thời hai cực trị đó tạo với hai điểm
7
3;
2
D
và gốc tọa độ
O
tạo thành
hình bình hành
OADB
theo thứ tự đó.
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 11 -
Lời giải:
Với những bài thế này, ta nghĩ ngay đến việc nhẩm nghiệm, rồi dùng tiếp định lý Viet để giải,tuy
nhiên bài này lại là một trường hợp ngoại lệ, ta không thể tìm được một nghiệm "đẹp" nào cả,vậy
là ta từ bỏ hướng này!Các bạn hãy cứ bình tĩnh,ta thấy rằng nghiệm của phương trình
0
y
cũng
có thể biểu diễn qua
m
, như thế bài toán giải sẽ vẫn đơn giản đúng không?Ý tưởng này lại càng
được củng cố thêm khi ta thấy ở hàm số
y
có mặt đủ cả
m
và
2
m
.
Suy nghĩ như vậy ta giải quyết bài toán như sau:
Ta đưa phương trình bậc ba đối với
x
về phương trình bậc hai đối với
m
.Thật vậy:
3 2 2 2 2 3
2 1 0 (2 1) 1 0
x mx m x m xm x m x
Giải phương trình bậc hai đối với ẩn
m
này ta thu được:
2
1
1
m x
x x
m
x
Như vậy ta có thể phân tích
3 2 2
2 1
x mx m x m
thành:
2
( 1)( ( 1) 1)
x m x m x
.Như thế:
3 2 2
2
1
2 1 0
( 1) 1 0
x m
x mx m x m
x m x
Để cho đồ thị hàm số
y
cắt trục hoành tại đúng hai điểm thì ta cần phải tìm
m
sao cho phương
trình
0
y
có đúng hai nghiệm.
Đặt:
2
( ) ( 1) 1
f x x m x
.Như vậy ta có:
TH1.
( ) 0
f x
nghiệm kép khác
1
m
.Hay:
2
0
2 3 0
( 1) 0
3 2 0
x
m m
f m
m
Giải ra ta được
1, 3
m m
.
TH2.
( ) 0
f x
có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng
1
m
.Hay:
2
0
2 3 0
( 1) 0
3 2 0
x
m m
f m
m
Giải ra ta được
3
2
m
Tóm lại có ba giá trị cần tìm của
m
là
3
3,1,
2
Bài này còn một cách giải nữa đó là ta khảo sát trực tiếp hàm số
y
rồi sau đó cho
. 0
cd ct
y y
, làm
như thế ta cũng thu được kết quả như trên, phần này các bạn tự tìm hiểu thêm nhé!
Bài 13:
Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
2 1
y x mx m x m
cắt trục hoành tại đúng 2 điểm.
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 12 -
Ta có:
2
3 2( 1) 4 2
y x m x m
Gọi tiếp điểm là:
( ; )
M a b
. Ta có:
2
( )
3 2( 1) 4 2
a
k y a m a m
Với
k
là hsg của đường thẳng tiếp tuyến.
Ta có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
10 30 0
x y
có hsg
1
1
10
k
, suy ra:
10
k
Ta có:
2 2
3 2( 1) 4 2 10 3 2( 1) 4 8 0(2)
a m a m a m a m
Do trên đồ thị chỉ có 1 điểm nên phương trình (2) phải có nghiệm kép hay:
2
0 10 25 0 5
m m m
Thay vào ta được
2 (2;29)
a M
.
Từ đó dễ dàng viết được phương trình tiếp tuyến là:
10 9
y x
Ta có lời giải như sau:
Gọi
( )
M C
có tọa độ:
3 2
0 0 0 0
( ; 6 9 1)
M x x x x
Hệ số góc:
2
0 0
3 12 9
k x x
Phương trình tiếp tuyến qua
M
là:
2 3 2
0 0 0 0 0 0
3 12 9 ( ) 6 9 1
y x x x x x x x
Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2 2 3 2
0 0 0 0 0 0
6 9 1 3 12 9 ( ) 6 9 1
x x x x x x x x x x
Sau một hồi biến đổi, tách ghép ta được:
2
0 0
( ) ( 2 6) 0
x x x x
Để tiếp tuyến cắt đồ thì thêm nữa khác tiếp điểm thì:
0 0 0
2 6 2
x x x
Tới đó ta kết luận được rồi.
Phân tích bài toán và hướng giải
Ở bài toán này về điểm cực đại và cực tiểu thì quá rõ ràng nên mình không nhắc thêm nữa mà
mình chú trọng đến yêu cầu vị trí của hai cực điểm so với đường tròn đã cho.
Nhắc lại. Nếu ta cho đường tròn
( )
C
có tâm
( ; )
I a b
và bán kính
R
thì ta có
M
nằm trong đường tròn khi và chỉ khi
IM R
Bài 14:
Biết rằng trên đồ thị hàm số
3 2
( 1) (4 2) 1
y x m x m x
(1) tồn tại đúng 1 điểm mà từ đó
kẻ được tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
10 30 0
x y
. Viết phương trình tiếp tuyến
c
ủa đồ thị (1) tại điểm đó.
Bài 15:
Cho hàm số
3 2
6 9 1
y x x x
Có ĐTHS (C). Tìm điểm M trên (C) để tiếp tuyến tại đó cắt
(C) tại 1 điểm nữa khác tiếp điểm.
Bài 16:
Cho hàm số:
3 2
( ) 3 2( )
y f x x x C
. Hãy xác định tất cả các giá trị của
a
để điểm cực đại
và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
( )
C
nằm về 2 phía khác nhau của đường tròn: (phía trong và
phía ngoài):
2 2 2
0
( ) : 2 4 5 1 0
C x y ax ay a
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 13 -
M
nằm ngoài đường tròn khi và chỉ khi
IM R
M
nằm trên đường tròn khi và chỉ khi
IM R
Bây giờ ta đem ứng dụng kiến thức vào bài toán.
Ta có :
2
3 6
y x x
Từ đó :
2
0 2
0 3 6 0
2 2
x y
y x x
x y
Ta gọi tọa độ hai cực điểm là
(0;2) , (2; 2)
A B
.
Mặt khác đối với đường tròn
( )
C
ta có sự biến đổi sau:
2 2
( ) ( 2 ) 1
x a y a
Từ đó ta có tọa độ tâm
( ;2 )
I a a
và
1
R
lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn
( )
C
Bây giờ ta tính
;
IB IA
ta có :
2 2 2 2
(2 2) ; ( 2) (2 2)
IA a a IB a a
Ta để ý rằng
2
2 2 2
2 36 6 5
( 2) (2 2) 5 4 8 5 1
5 5 5
IB a a a a a
Vậy điểm
B
nằm ngoài đường tròn
( )
C
. Vậy điều kiện bài toán chỉ được thỏa khi và chỉ khi
điểm
A
phải nằm trong đường tròn
( )
C
tức là ta phải có
:
2 2
3
(2 2 ) 1 5 8 3 0 1
5
IA R a a a a a
*)Nếu
0
m
: Lúc này ta có
2
5 9.
y x
Kiểm tra trực tiếp, ta thấy hàm này đạt cực đại tại
0
x
và tọa độ của điểm cực đại là
(0,9)
không thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Vậy
0
m
loại.
*)Nếu
0
m
: Theo giả thiết
y
có điểm cực trị thuộc Ox nên tồn tại
0
( ,0)
M x sao cho
0
( ) 0,
y x
tức là
2
0 0
10 0.
mx x m
Ngoài ra, do
0
m
nên y' là một tam thức bậc hai và như thế, để
y
có
cực trị thì y' phải có
2
nghiệm phân biệt, tức
0.
y
Từ đây suy ra
2
25.
m Do
2
2 ( 25) 16
5
3 3 3
m x m
x
y y
m m
và
0
( ) 0
y x
nên ta có
2
0
( 25) 16 0.
m x m
Vậy ta có
hệ phương trình
2
0 0
2
0
10 0
( 25) 16 0
mx x m
m x m
Do
0
m
nên từ phương trình thứ hai dễ thấy
0
0.
x
Đặt
0
1 1
, ,
a b
m x
ta có
2 2 2 2
0 0 0 0
2
0 0
10 1
10 1 (1 10 )
mx x m mx mx ab b
mx x
và
2 2 2 2
0 0 0
2
0
25 16
( 25) 16 1 (1 25 16 ).
m x m m x m x a ab
m mx
Do vậy, hệ ở trên trở thành
Bài 17:
Tìm
m
để đồ thị hàm số :
3
2
5 9
3
mx
y x mx
có điểm cực trị nằm trên trục Ox.
Tập xác định của hàm số là
.
D
Ta có
2
10 .
y mx x m
Xét các trường hợp sau:
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 14 -
2
2
10 1
25 16 1
ab b
a ab
tương đương
2 2
2
25 16 10
10 1
a ab ab b
ab b
Từ phương trình thứ nhất cho ta
a b
hoặc
25 .
b a
Nếu
25
b a
thì ta có phương trình thứ hai trở thành
2
375 1
a
(vô nghiệm). Vậy
25
b a
và như thế, ta có
.
b a
Thay vào phương trình thứ hai, ta được
1
,
3
a b
tức
3
m
(thỏa
2
25
m
).
Vậy tập hợp tất cả các giá trị cần tìm là
3
m
và
3.
m
Tập xác định của hàm số là
.
D
Ta có
2
10 .
y mx x m
Xét các trường hợp sau:
Vậy tập hợp tất cả các giá trị cần tìm là
3
m
và
3.
m
Ta có thể làm cách khác như sau:
Theo bài ra yêu cầu thì trục Ox tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho.Vậy nên hệ sau đây có
nghiệm
3
2
2
5 9 0(1)
3
10 0(2)
mx
x mx
mx x m
Từ (2) rút gọn ta được
2
10
1
x
m
x
thay vào (1) ta thu được phương trình trùng phương với nghiệm
rất chi là đẹp
2,Khá dễ dàng để xác định 2 điểm cực trị là:
(1;2); (3; 2)
A B
và đường thẳng đi qua 2 điểm cực
trị là:
:2 4 0
x y
Gọi điểm
M
thuộc đồ thị có tọa độ
0 0
( ; )
x y
với:
3 2
0 0 0 0
6 9 2
y x x x
Khi đó ta có:
0 0
| 2 4|
2 5; ( ; )
5
x y
AB d M
Ta có:
0 0
| 2 4|
1 1
. . ( ; ) .2 5. 6
2 2
5
MAB
x y
S AB d M
0 0
0 0
0 0
2 10
| 2 4| 6
2 2
x y
x y
x y
Với:
0 0 0 0
2 10 10 2
x y y x
. Mà ta lại có:
3 2
0 0 0 0
6 9 2
y x x x
, từ đó suy ra:
3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0
10 2 6 9 2 6 11 12 0
x x x x x x x
2
0 0 0 0
( 4)( 2 3) 0 4
x x x x
Với:
Bài 18:
Cho hàm số :
3 2
6 9 2 ( )
y x x x C
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
tại tiếp điểm
M
, biết
M
cùng với hai điểm cực
trị của đồ thị
( )
C
tạo thành một tam giác có diện tích bằng
6
.
Đề thử sức trước kỳ thi số 2 trên tạp chí THTT
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 15 -
0 0
4 2
x y
và ta viết được phương trình tiếp tuyến là:
9 34
y x
Với:
0 0 0 0
2 2 2 2
x y y x
thế vào ta được:
3 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 6 9 2 ( 6 11) 0 0
x x x x x x x x
Với:
0 0
0 10
x y
, ta viết được
phương trình tiếp tuyến là:
9 10
y x
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là:
9 34; 9 10
y x y x
2. Xét hàm số
3 2
| 2 3 1|
y x x
với
1
.
2
x
Ta có
3 2 2
2 3 1 (2 1)( 1)
x x x x
nên dễ dàng suy
ra
3 2
3 2
1
2 3 1 voi x
2
1 1
2 3 1 voi
2 2
x
x x x
y
x
Do đó,
2
2
1
6 6 voi
2
'
1 1
6 6 voi
2 2
y
x x x
x x x
Rõ ràng, phương trình
0
y
chỉ có một nghiệm duy nhất
0.
x
Do vậy, ta dễ dàng thiết lập được
bảng biến thiên của hàm số như sau
Dựa vào bảng biến thiên, ta dễ thấy điều kiện cần và đủ để phương trình
3 2
| 2 3 1| 2
x x m
có ba
nghiệm phân biệt là
1
2 1,
2
m
tức
1 1
.
4 2
m
Bài 19:
Cho hàm số
3 2
2 3 1 ( )
y x x C
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình:
3 2
2 3 1 2
x x m
có ba nghiệm phân
biệt thỏa
1
2
x
.
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 16 -
Câu b. Ta có:
2 2
3 4( 1) 4 1
y x m x m m
2
8 1
m m
Để hàm số có cực đại và cực tiểu
2
8 1 0
m m
Gọi
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
A x y B x y
là hai điểm cực đại cực tiểu.
Ta có phương trình qua hai điểm cực đại cực tiểu là
2 2 2 2
2 8 2
( ( 4 1) ( 1) ) 2( 1) ( 4 1)( 1)
3 9 9
y x m m m m m m m
Ta có đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu vuông góc với đường thẳng
9
5
2
y x
2 2 2
0
2 8 9
(( 4 1) ( 1) ) 1 8 0
8
3 9 2
m
m m m m m
m
Vậy có hai giá trị m thỏa là
0, 8
m m
Câu1b)
Ta có đường thẳng đi qua điểm
( 1,0)
I
và có hệ số góc là
m
thì có phương trình
y mx m
Phương trình hoành độ giao điểm đường thảnh và hàm số
( )
C
là
3 2
3 4
x x mx m
Hay là
2
( 1)[( 2) ] 0
x x m
Đường thẳng cắt đồ thị
( )
C
tai
3
điểm phân biệt khi và chỉ khi
m>0 và
9
m
Bài 20:
Cho hàm số
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)
y x m x m m x m
có đồ thị
( ).
m
C
Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi
0.
m
Tìm
m
để hàm số
( )
m
C
có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu
vuông góc với đường thẳng
9
5.
2
y x
Đề thi thử lần 1- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội
Bài 21 :
Cho hàm số:
3 2
3 4 ( )
y x x C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
( )
C
2. Gọi
( )
d
là đường thẳng đi qua điểm
( 1;0)
I
có hệ số góc là
m
. Tìm
m
để đường thẳng
d
cắt đồ thị hàm số
( )
C
tại
3
điểm phân biệt
, ,
I A B
sao cho
2 2
AB
Đề thi thử Trường THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 17 -
Với điều kiện của
m
thì ta tìm được
2
điểm
A
và
B
có tọa độ
(2 ,3 );(2 ,3 )
m m m m m m m m
Vậy thì đoạn thẳng
2 2
AB
Ta có
2 2 2
(2 ) (2 ) 8
AB m m m
Hay là
3
2 0
m m
suy ra
1
m
(Thỏa mãn điều kiện của
m
)
Vậy
1
m
là giá trị cần tìm
Bài toán này gốc gác của nó chính là tính chất tiếp tuyến của hàm số bậc ba đấy.
Trước tiên ta có
2
3 8 4.
y x x
Để tồn tại hai tiếp tuyến có cùng hệ số góc là
a
thì phương
trình sau đây phải có hai nghiệm phân biêt :
2
3 8 4
x x a
Mà điều này tương thích với điều kiện
4
0
3
a
Với điều kiện này ta có tọa độ hai điểm
;
M N
phải thỏa mãn hệ sau
:
2
3 2
2
2
4 8 7
(3 8 4)
3 9 9
4 4 1
3 8 4
3 8 4
x x
y x x
y x x x
x x a
x x a
8 4 7
(1)
3 9 9
a a
y x
Phươn
g trình
(1)
chính là phương trình đường thẳng MN cần tìm.
P/S : Chú ý bài toán này còn hai hỏi thêm là tìm điểm cố định mà đường thẳng MN đi qua hay
chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
Mình làm ý 2 nhé!
Phương trình đường thẳng
d
là:
( 1) 3
y m x
, khi đó ta có phương trình hoành độ giao điểm
Bài 22:
Cho hàm số
3 2
4 4 1
y x x x
.Tìm a sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc a của đồ thị
hàm số,gọi các tiếp điểm là M và N.Viết phương trình đường thẳng chứa M và N
Bài 22 :
Cho hàm số
3 2
3 1
y x x
có đồ thị là
( ).
C
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng
m
d
đi qua điểm
( 1; 3)
A
và có hệ số góc là
m
cắt đồ thị hàm số
( )
C
tại ba điểm phân biệt cách đều nhau.
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 18 -
của
( )
d
với
( )
C
là:
3 2 2
2
1
3 1 ( 1) 3 ( 1)( 4 4 ) 0
4 4 0 (1)
x
x x m x x x x m
x x m
Từ điều kiện
bài toán ta suy ra phương trình
(1)
phải có 2 nghiệm phân biệt khác
1
, và 2 nghiệm đó gọi là
1 2
;
x x
cùng với nghiệm
0
1
x
lập thành một cấp số cộng.
Đầu tiên ta phải có:
0 0
9 0 9
m
m m
Theo định lí Viet ta có:
1 2
1 2
4
. 4
x x
x x m
Bây giờ ta sẽ
xét 3 trường hợp: TH1: 3 nghiệm lập thành cấp số cộng theo thứ tự
1 2 0
; ;
x x x
. Khi đó ta có:
0 1 2 1 2
2 1 2
x x x x x
Kết hợp với điều kiện trên ta suy ra:
1 2
3; 1
x x
. Không thoả mãn.
TH2: 3 nghiệm sắp xếp theo thứ tự:
1 0 2
; ;
x x x
. Từ đó ta có:
1 2 0 1 2
2 2
x x x x x
. Dễ thấy
không thỏa mãn.
TH3: 3 nghiệm sắp xếp theo thứ tự:
0 1 2
; ;
x x x
, ta có:
0 2 1 1 2
2 2 1
x x x x x
, kết hợp với
điều kiện trên ta suy ra:
1 2
1; 3
x x
. Từ đó suy ra:
1
m
(Thỏa mãn).
Vậy giá trị cần tìm
1
m
.
Ta dễ dàng viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
:2 1 0
d x y
.
Viết phương trình đường tròn lại dưới dạng:
2 2
( 2) ( 1) 5
x y m
Ta suy ra điều kiện của
m
là:
5
m
Tâm (2;1); 5
I R m
Gọi
H
là trung điểm của
AB
. Khi đó ta có:
2 30 4
, ( , )
5
5
AH IH d I d .
Ta có:
2 2 2
5 8 3
R IH AH m m
Vậy giá trị
m
cần tìm là:
3
m
Trước tiên mình sẽ phân tích rõ về ý tưởng của câu hỏi này với bạn theo hiểu biết của mình như
sau :
Vì trong giả thiết đề bài nêu ra có một vấn đề khá quan trọng đó là " tồn tại hai tiếp tuyến phân biệt
của đồ thị có cùng hệ số góc
k
", điều này có nghĩa rằng trong bài toán này chúng ta cần xử lý một
vấn đề quan trọng đó là " điều kiện nào của hệ số góc
k
để làm thỏa mãn nhu cầu đó" và kéo theo
Bài 23 :
Cho hàm số
3 2
3 1
y x x
có đồ thị là
( ).
C
Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số. Tìm các
giá trị thực của
m
để đường thẳng nối hai cực trị của hàm số đã cho cắt đường tròn
2 2
( ): 4 2 0
T x y x y m
một dây cung có độ dài bằng
4 30
.
5
Bài 23 :
Cho hàm số
3 2
6 9 3( )
y x x x C
. Tìm k để tồn tại 2 tiếp tuyến của
( )
C
phân biệt có cùng
hệ số góc k , đồng thời đường thẳng đi qua hai tiếp điểm đó cắt Ox và Oy lần lượt tại A và B
và
2011
OB OA
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 19 -
đó là "dựa vào yếu tố nào để thiết lập điều kiện đó."
Chúng ta đã biết rằng về ý nghĩa hình học của tiếp tuyến thì hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm
chính là đạo hàm cấp
1
tại hoành độ của điểm đó. Vậy để tồn tại hai điểm phân biệt thuộc đồ thị đã
cho mà có cùng hệ số góc thì phương trình sau đây phải có hai nghiệm phân biệt
:
2
( ) 3 12 9 0 (1)
f x k x x k
Để toàn tại hai tiếp tuyến phân biệt có cùng hệ số góc
k
thì phương trình
(1)
phải có hai nghiệm phân biệt :
36 3(9 ) 0 3
k k
Khi đó với điều
kiện này ta thấy rằng tọa độ của hai tiếp điểm tạo ra hai tiếp tuyến phân biệt có cùng hệ số góc
k
phải thỏa mãn hệ phương trình
3 2
2
6 9 3
3 12 9
y x x x
k x x
Bây giờ thực tế của bài toán đã quay về một
vấn đề khác nảy sinh ra nữa đó là theo điều kiện bài toán rằng đường thẳng đi qua hai tiếp điểm
này sẽ cắt các trục tọa độ Ox,Oy tại A,B nên rõ ràng ta cần phải lập được đường thẳng đi qua hai
tiếp điểm này. Muốn vậy ta cần căn cứ vào hệ phương trình mà tọa độ hai điểm điểm được xác
đinh mà ở trên ta đã biết.
Và căn cứ vào hệ đó ta thấy ngay được rằng nếu ta thực hiện phép chia
y
cho y' và biến đổi theo
phương án thế ta sẽ thu được một hệ phương trình sau
2
2
1 2
(3 12 9) 2 3
3 3
6 2 9
(1)
3 3
3 12 9
y x x x x
k k
y x
k x x
Và
(1)
chính là phương trình
đi qua hai tiếp điểm mà mình cần. Và không khó để ta đi đến tọa độ hai tiếp điểm
là
9 2 2 9
;0 , 0; ,( 6).
6 3
k k
A B k
k
Theo bài ta có
2 9 9 2
2011 2011
3 6
k k
OB OA
k
Công việc này khá đơn giản nên bạn tiếp tục hoàn thiện giúp mình nhé. Phải nói rằng bài toán này
có ý tứ khá hay và lạ mắt nhưng lại dựa trên các yếu tố kiến thức cơ bản nhưng phải nắm thật sâu
đó chính là về mặt ý nghĩa hình học của tiếp tuyến, cách lập đường thẳng qua hai tiếp điểm mà ta
chưa có tọa độ. Và mình hy vọng rằng đã có thể giúp bạn được phần nào về mặt giải quyết bài toán
trên.
Ta có
2
3 6
y x x m
Để hàm số có cực trị thì
0
.Hay
9 3 0 3
m m
Ta có đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
2 1
( 2) 2
3 3
y x m m
Gọi
1 1
2 1
( ; ( 2) 2 )
3 3
A x x m m
và
2 2
2 1
( ; ( 2) 2 )
3 3
B x x m m
Bài 24:
Cho hàm số
3 2
3 2(1),
y x x mx
m
là tham số.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
(1)
khi
0.
m
Định
m
để đồ thị hàm số
(1)
có hai điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng
: 1.
d y x
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 20 -
Là 2 điểm cực trị của hàm số đã cho.Để 2 điểm cực trị này cách đều đường thẳng
1 0
x y
.Ta
phải có
( ;( )) ( ;( ))
d A d d B d
1 1 2 2
2 1 2 1
| ( 2) 2 1| | ( 2) 2 1|
3 3 3 3
x x m m x x m m
1 2
2 7 2 7
| ( ) | | ( ) |
3 2 3 2
x m x m
Đến đây các bạn có thể chia khoảng để giải,kết hợp với viet để tìm ra kết quả
Có thể dùng điều kiện sau : A, B cách đều đường thằng (d) khi
+) AB // (d) hoặc AB trùng (d)
+) trung điểm của AB nằm trên (d)
Khá dễ dàng ta tìm được hia điểm cực trị là:
(0;2); (2; 2)
A B
.
Khi đó gọi điểm
M
có tọa độ:
0 0
( ;3 2)
x x
, khi đó ta có:
2 2 2 2
0 0 0 0
(3 4) ( 2) 9
P MA MB x x x x
2 2
0 0 0 0
10 24 16 10 4 4
x x x x
Tới đây
ta xét hàm số:
2 2
0 0 0 0 0
( ) 10 24 16 10 4 4
f x x x x x
.Giải phương trình
0
( ) 0
f x
, ta thu
được:
0
4
5
x
.
Từ đó suy ra:
0
4
( ) ( ) 2 5
5
f x f .
Suy ra điểm
M
cần tìm là:
4 2
( ; )
5 5
Ta có :
2
3 6 3 ( 2)
y x x x x
Vậy với mọi
m
thì hàm này luôn có 2 cực trị là :
2
(0; 1)
A m m
;
2
(2; 3)
B m m
.
Mặt khác ta có :
(2; 4)
AB
và
| | 2 5
AB
; phương trình của đường thẳng AB là :
Bài 25:
Cho hàm số
3 2
3 2.
y x x
Tìm tọa độ điểm
M
thuộc đường thẳng
: 3 2
d y x
sao cho tổng khoảng cách từ
M
đến hai
điểm cực trị của
( )
C
là nhỏ nhất.
Trich đề thi thử trường Trần Quốc Tuấn lần 3 năm 2012
Bài 26:
Cho hàm số:
3 2 2
3 1 (1)
y x x m m
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
(1)
khi
1
m
.
2. Tìm
m
để đồ thị hàm số
(1)
có hai điểm cực đại cực tiểu
,
A B
, sao cho diện tích tam giác
ABC
bằng
7
với
( 2;4)
C
.
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 21 -
2
2 1 0
x y m m
. Tính
2
( ; )
| 1|
2 5
C AB
m m
d
.
Lúc này thì :
2
( ; )
1 | 1|
. . 7
2 2
ABC C AB
m m
S d AB
Giải ra ta được các giá trị của
m
là :
1 14
2
m
Gọi điểm
( ; 2)
A a
thuộc đường thằng
2
y
.
Phương trình đường thẳng đi qua
( ;2)
A a
là
( ) 2( )
y k x a
Để thoả mãn điều kiện
( )
là tiếp tuyến bài toán thì
( )
phải thoả mãn hệ sau
3 2
2
( ) 2 3 2(
1)
3 6 (2)
k x a x x
k x x
Thế
(2)
vào
(1)
ta được
2 3 2
(3 6 )( ) 3 4
x x x a x x
2
( 2) 3 ( ) 2) 0
x x x a x x
Đến đây công việc khá đơn giản rồi.Bạn chỉ việc tìm điều kiện của a để phương trình bậc 2 bên
trong có 2 nghiệm phân biệt đồng thời 2 nghiệm đó phải khác 2.
Vấn đề của bài này là tính
1 ( 2
( ); )
y x y x
.
Xử lý cái đó bằng nhận xét sau :
1 1 8
1
3 9 9 9
m
y y x x
. Và bây giờ thì sẽ có ngay :
Bài 27:
Cho hàm số y=x^3-3x^2+2 (C)
Tìm trên đường thẳng y=-2 các điểm mà từ đó có thể vẽ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số
(C)
Bài 28:
Cho hàm số
3 2
1(1)
y x x mx ,m là tham số
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
m
2.Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại
1 2
;
x x
sao cho
1 2
1 2
( ) ( )
3
y x y x
x x
Đề thi thử đại học 2012 THPT chuyên Lam Sơn-Thanh Hoá
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 22 -
1 1
2 2
8
( ) 1
9 9
8
( ) 1
9 9
m
y x x
m
y x x
Ta thu được :
1 2
1 2
( 9)( )
11
9 . 9
m x x
x x
Thay Viet với :
1 2
1 2
2
3
.
3
x x
m
x x
ta có :
2 8 11
9
m
m
.
Giải cái bất này thu được ngay
m
cần tìm .
Tập xác định
D R
.
Ta có:
2 2
3 6 3 ( 1) 0 2 ( 1) 0 (1)
y x x m m y x x m m
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
2
1 ( 1) 1 0
m m m m voi m
Vì
1
x
là nghiệm của( 1) nên
2
1 1
2 ( 1)
x x m m
. Suy ra:
3 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 ( 1) 1 ( 2 ) ( 2 ) 2 3 ( 1) 1
y x x m m x x x x x x x m m x
2
1 1 1 1
( 1) ( 1) 2 3 ( 1) 1 ( 1)( 2 1)
m m x m m x m m x m m x
Tương tự
2
2 2
( 1)( 2 1)
y m m x
Do đó
1 2 1 2 1 2 1 2
0 (2 1)(2 1) 0 4 2( ) 1 0
y y x x x x x x
2
1 6 1 6
4 ( 1) 5 0 4 4 5 0
2 2
m m m m m
Bài 29:
Cho hàm số
3 2
3 3 ( 1) 1
y x x m m x
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
0
m
,
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu.
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 23 -
Bài này rất hay, tác giả Nguyên Thiên chọn số liệu cùng ý đồ tính diện tích tứ giác nhờ 2 đường
chéo, đáp số đẹp, câu này mình rất thích.
Gợi ý :
Phần 1 các bạn tự làm nhé.
2. Ta có :
2
0
3 6 0 , 6 6
2
x
y x mx y x m
x m
Do m>0 nên :
(0) 6 0, (2 ) 12 0
y m y m m
suy ra
0
x
là điểm cực đại
, 2
x m
là điểm
cực tiểu của hàm số.
Ta viết phương trình của
là :
0,
x y
theo giả thiết ta có :
3
3
2 2 2 2
2| 0 4 | | 2 0| 1
8 2
2
1 1 1 1
m m
m m m
Vậy :
1
2
m
là giá trị cần tìm của m.
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là
d
:
y kx m
.
Bài 30:
Cho hàm số
3 2
3( 1) 3
y x m x m
có đồ thị là
( )
m
C
với
m
là tham số. Khảo sát và vẽ đồ thị
0
( )
C
của hàm số khi
0
m
. Tìm các giá trị thực của
m
để đường thẳng
( ): 3
d y x m
cắt
( )
m
C
tại ba điểm phân biệt
( 0), ,
A
A x B C
sao cho tứ giác BDCE có diện tích bằng
12 2
với
(1;6), ( 2;3)
D E
Trích từ đề thi thử đại học lần 2 _ nguồn : Nguyên Thiên
Bài 31:
Choa hàm số
3 2 3
3 4
y x mx m
( )
Cm
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi
1
m
2. Tìm giá trị m>0 để đồ thị hàm số
( )
Cm
có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu
đến đường thẳng
( )
bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực đại đến đường thẳng
( )
biết
( ):
y x
Đề thi thử lần 2-2012 chuyên Nguyễn Huệ
Bài 32:
Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
có đồ thị
( ).
C
Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số đã cho.
Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn hơn
1
và tạo với đường
thẳng
: 2 5
y x
một góc
với
5 29
cos .
29
Đề thi thử Đại học khối B năm 2012 - lần 2 - trường THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 24 -
Gọi tiếp điểm là:
0 0
( ; )
M x y
Với:
2
0 0
6 6
k x x
. Theo điều kiện ta có:
1
k
Ta lại có:
( ; 1); (2; 1)
d
n k n
, suy ra:
2
5 29 | 2 1| 5 29
cos
29 29
1. 5
k
k
2
12(t/m)
9 116 96 0
8
(k. t/m)
9
k
k k
k
Với :
12
k
thì ta có:
0
2 2
0 0 0 0
0
1
6 6 12 2 0
2
x
x x x x
x
Với:
0
1
x
, ta viết được phương trình tiếp tuyến
là:
12 8
y x
Với:
0
2
x
, ta viết được:
12 19
y x
Mình nghĩ là đặt
( )
t f x
thu được phương trình bậc 3 với ẩn
t
.Số nghiệm của
t
chính là số
nghiệm của phương trình
3 2
( ) 6 9 3
f x x x x
.
Khi đó :
| (1) | 1 | 2 7 | 1 4 3
3.
1 3 5 1
| ( ) | 1 | | 1 3
2 4 2
y a a
a
a
y a
Điều kiện đủ : Với
3
a
thì hàm số có dạng
3
4 3
y x x
Dễ chứng minh được
| | 1
y
khi
| | 1
x
.
Vậy
3
a
là giá trị cần tìm .
Bài 32:
Cho hàm số
3 2
1
2 3 1
3
y x x x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên
2) Gọi
3 2
( ) 6 9 3
f x x x x
, tìm số nghiệm của phương trình:
3 2
( ) 6 ( ) 9 ( ) 3 0
f x f x f x
Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá 2012
Bài 33:
Cho hàm số
3 2
4 ( 3)
y x a x ax
.
Xác định a để
| | 1
y
khi
| | 1
x
Điều kiện cần: Giả sử
| | 1
y
khi
| | 1
x
Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 25 -
Ta có
2
3 2( 1) 2( 2)
y x m x m
Đến đây mình xin giải quyết ý chính của bài này là ý tìm giá trị nhỏ nhất
Theo viet ta có
1 2
1 2
2( 1
)
3
2( 2)
.
3
m
x x
m
x x
Ta lại có
2
1 2
1 2
1 2( 1) 3 (2 1)
| | | | | |
3 2( 2) 6( 2)
m m
P x x
x x m m
Vậy
P
nhỏ nhất bằng 0.Đẳng thức xảy ra khi
1
2
m
Trước hết ta đi tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị.Thật vậy
Ta có
2
3 3
y x m
2
0
y x m
Để có hai điểm cực trị thì m > 0
lấy
y
chia y'
1
. 2 1
3
y x y mx
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị
3
( ;( ) 3 1)
A m m m m
3 2 3
4 ( 2( ) 6 ) 4 16
AB m m m m m m
: 2 1 0
d y mx
Bài 34:
Cho hàm số
3 2
( 1) 2( 2) 4 ( )
y x m x m x C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi
2
m
2. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
1 2
;
x x
sao cho biểu thức
1 2
1 2
1
| |
.
P x x
x x
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài 35:
Cho hàm số
3
3 1
y x mx
m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
1
m
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
m
C
có hai điểm cực trị A,B sao cho
diện tích tam giác IAB bằng
4 2
, trong đó
1;1
I
Đề thi thử đại học 2012 số 13
