Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực và véc tơ phân cực của các nơtron tán xạ trên bề mặt tinh thể phân cực trong điều kiện có phản xạ toàn phần

1

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG
TINH THỂ 3
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể. 3
1.2. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể 8
CHƯƠNG 2 TIẾN ĐỘNG HẠT NHÂN CỦA SPIN CỦA CÁC NƠTRON
TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN CỰC 12
2.1. Tính góc tiến động bằng phương pháp toán tử. 12
2.2. Tính góc tiến động bằng phương pháp hàm sóng 14
2.3. Sử dụng bảo toàn năng lượng để tính góc tiến động 18
CHƯƠNG 3 TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRÊN
BỀ MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU
KIỆN CÓ PHẢN XẠ 20
3.1. Tiết diện tán xạ hiệu dụng của tán xạ không đàn hồi của các nơtron trên
tinh thể có các hạt nhân phân cực. 20
3.2. Tiết diện tán xạ bề mặt hiệu dụng của các nơtron trong trường hợp có
phản xạ toàn phần. 27
CHƯƠNG 4 VÉC TƠ PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ HẠT
NHÂN TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC
TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ TOÀN PHẦN 31
KẾT LUẬN 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO 46



1

MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, sự tán xạ của nơtron chậm đã được sử dụng rộng
rãi để nghiên cứu vật lý các chất đông đặc [12, 13, 18].
Các nơtron chậm là một công cụ độc đáo trong việc nghiên cứu động học của
các hạt nhân nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của chúng [2, 13, 15, 19, 21]
Hiện nay, để nghiên cứu cấu trúc tinh thể, đặc biệt là cấu trúc từ của tinh thể
phương pháp quang học nơtron phân cực đã được sử dụng rộng rãi. Chúng ta dùng
chùm nơtron chậm phân cực bắn vào bia (năng lượng cỡ dưới 1 MeV và không đủ
để tạo ra quá trình sinh, hủy hạt).
Nhờ nơtron có tính trung hòa điện, đồng thời momen lưỡng cực điện vô cùng
nhỏ (gần bằng 0) nên nơtron không tham gia tương tác điện dẫn đến độ xuyên sâu
của chùm nơtron vào tinh thể là rất lớn, và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ
cho ta thông tin về cấu trúc tinh thể, cấu trúc từ của bia và hiểu rõ hơn về sự tiến
động spin của các nơtron trong bia có các hạt nhân phân cực [2, 15, 16]
Các nghiên cứu và tính toán về tán xạ phi đàn hồi của các nơtron phân cực
trong tinh thể phân cực cho phép chúng ta nhận được các thông tin quan trọng về
tiết diện tán xạ của các nơtron chậm trong tinh thể phân cực, hàm tương quan spin
của các hạt nhân…[11, 12, 13, 23]. Ngoài ra các vấn đề về nhiễu xạ bề mặt của các
nơtron trong các tinh thể phân cực đặt trong trường ngoài biến thiên tuần hoàn và sự
thay đổi phân cực của nơtron trong tinh thể cũng đã được nghiên cứu [7, 9, 10, 15].
Trong luận văn này, chúng tôi đã nghiên cứu: Tán xạ hạt nhân của các
nơtron phân cực và véc tơ phân cực của các nơtron tán xạ trên bề mặt tinh thể
phân cực trong điều kiệu có phản xạ toàn phần.




2

Nội dung của luận văn được trình bày trong 4 chương:

Chương 1: Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể
Chương 2: Tiến động hạt nhân của spin của các nơtron trong môi
trường phân cực.
Chương 3: Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực trên bề mặt tinh
thể có các hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản xạ toàn phần
Chương 4: Véctơ phân cực của các nơtron tán xạ hạt nhân trên bề mặt
tinh thể có các hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản xạ toàn phần.



3

CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM
TRONG TINH THỂ
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể.
Hiện tượng: Dùng một chùm nơtron chậm phân cực chậm bắn vào bia (năng
lượng dưới 1MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh hủy hạt), nhờ tính chất trung
hòa về điện, đồng thời moment lưỡng cực điện vô cùng nhỏ (gần bằng 0) nên
nơtron không tham gia tương tác điện, dẫn đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào
tinh thể là lớn và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin về cấu trúc
tinh thể và cấu trúc từ của bia.
Một chùm hạt nơtron phân cực khi đi vào trong tinh thể sẽ chịu tác dụng của
tương tác hạt nhân, tương tác trao đổi spin và tương tác từ gây ra bởi phân cực của
chùm nơtron và sự chuyển động của các electron, cả electron tự do và electron
không kết cặp trong bia tinh thể.
Nguyên nhân gây ra tương tác từ:
Nếu tính trung bình trong 1 chùm nơtron không phân cực thì moment spin sẽ
bằng 0, moment từ trung bình của chùm cũng bằng 0 (
mag

o
ms
m
=
urr
,
s
r
là spin của
nơtron,
1.1913
o
mm
=-
với
o
m
là manheton của hạt nhân
2
o
proton
e
mc
m
=
h
. Còn
trong trường hợp nơtron phân cực sẽ tồn tại một moment từ xác định. Sự chuyển
động của các electron tự do và các electron không kết cặp trong nguyên tử sẽ tạo ra
từ trường (từ trường của các electron kết cặp triệt tiêu nhau), từ trường này và

moment từ do sự phân cực của chùm nơtron đó sẽ là hai nguyên nhân gây ra tương
tác từ giữa tinh thể và chùm nơtron. Chính tương tác từ này sẽ cho ta thông tin về
tính chất từ của bia.
Nguyên nhân sinh ra tương tác spin:

4

Do nơtron có spin khi đi vào mạng tinh thể sẽ xảy ra tương tác trao đổi giữa
nơtron với hạt nhân và giữa nơtron với các electron trong nguyên tử, tương tác này
tỷ lệ với tích vô hướng véc tơ spin của nơtron với hạt nhân, cũng như giữa nơtron
với electron.
Từ những phân tích định tính trên, để tính toán tiết diện tán xạ của chùm
nơtron một cách thuận tiện ta có thể chọn lý thuyết nhiễu loạn với phép xấp xỉ gần
đúng Born.
Giả sử ban đầu hạt nhân bia được mô tả bởi hàm song
|
n
ñ
, là hàm riêng của
toán tử Hamilton của bia với năng lượng tương ứng là
n
E
:
||
n
HnEn
ñ=ñ

Sau khi tương tác nơtron, sẽ chuyển trạng thái khác
,

|
n
ñ

Còn nơtron có thể thay đổi xung lượng và spin của nó. Giả sử trạng thái ban
đầu của nơtron được mô tả bởi hàm song
|,
p
l
ñ
,
|,
p
l
ñ
là hàm riêng của toán tử
Hamilton và toán tử năng lượng
p
E
:
H|,|,
p
pEp
ll
ñ=ñ
và có véc tơ song là
!
"

Trạng thái của nơtron sau khi tương tác là

,,
|,
p
l
ñ
với năng lượng
,
p
E
và véc
tơ sóng là #
$
"
′

Theo lý thuyết nhiễu loạn, xác định xác suất để nơtron chuyển từ trạng thái
|,
p
l
ñ
sang trạng thái
''
|,
p
l
ñ
mà không cần quan tâm tới trạng thái của bia được tính theo
công thức:
,,,,
,

,,,2
\
,
2
W|,,||,,|()
mpn
pppn
nn
npVnpEEEE
ll
p
rlld
=áñ+
å
h

(1.1.1)
Trong đó:

5

V: là toán tử tương tác của nơtron với hạt nhân bia (thế nhiễu loạn gây ra sự
chuyển trạng thái, thế này bao gồm thế hạt nhân, thế trao đổi spin và thế từ)

m
r
: thành phần chéo của ma trận mật độ hạt nhân bia
,,
E,,,
np

np
EEE
là các năng lượng tương ứng của hạt nhân bia và nơtron trước
và sau khi tán xạ
,,
()
pn
pn
EEEE
d
+
- Hàm delta Dirac
,,
,,
()t
1
()
2
pn
pn
i
EEEE
pn
pn
EEEEedt
d
p
¥
-+
-¥

+ =
ò
h
h

Ở đây chúng ta đưa vào kí hiệu hỗn hợp để cho yếu tố ma trận

,
,,'
||V|n|||||
pp
nppnVn
áñ=áñ
uur
ur

Như vậy là các yếu tố ma trận của toán tử trong tương tác của nơtron với hạt
bia lấy theo các trạng thái của nơtron và
,
pp
V
là toán tử tương đối với các biến số
hạt bia.
` Viết (1.1.1) dưới dạng tường minh:
,,
,,
,,,,
\\
,
()t

,*,
2
\
,
1
W|||||
pn
pn
pppp
i
EEEE
nn
pp
nn
nVnnVnedt
llll
ll
r
+¥
-+
-¥
=áñáñ
å
ò
h
h

,,
,,,,
\\

,
()t()t
,,
2
,
1
|||||
np
np
pppp
ii
EEEE
nn
nn
nVnenVnedt
llll
r
+¥

+
-¥
=áñáñ
å
ò
hh
h

,,
,,,,
\\

,
()t()t
,,
2
,
1
|||||
pn
pn
pppp
ii
EEEE
nn
nn
enVnnVnedt
llll
r
+¥

+
-¥
=áñáñ
å
ò
hh
h
(1.1.2)

6

,
E,
n
n
E
là các giá trị riêng của toán tử Hamilton với các hàm riêng
,
|,|
nn
ññ
, ta viết
lại trong biểu diễn Heisenberg.
,
,,,,
\\
()t
,,
|||(t)|
n
n
pppp
i
EE
nVnenVn
llll
-
áñ=áñ
h
(1.1.3)
Với

,,,,
\\
HtHt
(t)
pppp
ii
VeVe
llll
-
=
hh

Thay (1.1.3) vào (1.1.2), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm
tới sự khác nhau của hạt bia trước và hạt bias au tương tác, vì vậy công thức lấy
tổng theo n
’
, n chính là vết của chúng và được viết lại:
,
,,
,,,,
\\
,
()tHtHt
,,
2
\
,
1
W|||||
p

p
pppp
iii
EE
nn
pp
nn
enVnneVendt
llll
ll
r
+¥

+
-¥
=áñáñ
å
ò
hhh
h


,
,,,,
\\
,
()t
,
2
,

1
||()|
p
p
pppp
i
EE
nn
nn
nVVtnedt
llll
r
+¥
-
+
-¥
=áñ
å
ò
h
h


{
}
,
,,,,
\\
()t
2

1
Sp()
p
p
pppp
i
EE
eVVtdt
llll
r
+¥
-
+
-¥
=
ò
h
h

,
,,,,
\\
()t
2
1
()
p
p
pppp
i

EE
eVVtdt
llll
+¥
-
+
-¥
=áñ
ò
h
h
(1.1.4)
Ở biểu thức trên, dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia
r
, các phần
tử đường chéo của ma trận của nó chính là xác suất
n
r

Theo quy luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt
động ta có hàm phân bô trạng thái:

7

()
H
H
e
Spe
b

b
r
-
-
=

với
1
z
kT
b
=
(1.1.5)
Trong đó
z
k
- hằng số Boltzman, T – Nhiệt độ tuyệt đối
Giá trị trung bình thống kê của đại lượng Vật lý được tính theo các hàm phân
bố là:
{
}
{ }
()
H
n
n
H
SpeA
AASpA
Spe

b
b
rr
-
-
áñ===
å
(1.1.6)
Do các detector hiện tại của chúng ta thường “mù” đối với sự định hướng
spin nên thong thường chúng ta lấy trung bình cho tất cả các trạng thái phân cực của
nơtron sau khi tán xạ:
,
,,,
,,,,
\\
,
()t
2
\
1
WW(())
p
p
pppp
i
EE
pppp
eSpVVtdt
llll
s

ll
l
r
+¥
-
+
-¥
==áñ
å
ò
h
h
(1.1.7)
Trong đó:
1
()
2
o
Ip
s
rs
=+
uurur
là ma trận mật độ của nơtron tới, I là ma trận
đơn vị,
()
o
pSp
s
rs

=
uurur
là véc tơ phân cực của nơtron,
s
ur
là các ma trận
Pauli.
Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị thì tiết diện tán xạ hiệu
dụng được tính trên một đơn vị góc khối và một khoảng đơn vị năng lượng
2
d
ddE
s
æö
ç÷
W
èø
là:
( )
,
2,
2
W
2
pp
dmk
ddEk
s
p
æö

=
ç÷
W
èø
h


8

( )
,
,,,,
\\
2,
()t
3
5
(())
2
p
p
pppp
i
EE
mk
eSpVVtdt
k
llll
s
r

p
+¥
-
+
-¥
=áñ
ò
h
h
(1.1.8)
Như vậy với một cấu trúc tinh thể xác định, về mặt nguyên tắc chúng ta có
thể tính toán được tiết diện tán xạ của chùm nơtron phân cực tán xạ trên bia tinh thể.
Trên đây chúng ta đã xem xét hiện tượng, các loại tương tác tham gia và đi tới công
thức tổng quát của tiết diện tán xạ của chùm nơtron phân cực trong bài toán nghiên
cứu.
1.2. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể
Thế tương tác của nơtron chậm và bia tinh thể gồm ba phần: thế tương tác
hạt nhân, thế tương tác từ và thế tương tác trao đổi giữa nơtron và hạt nhân, giữa
nơtron và electron tự do và electron không kết cặp trong bia tinh thể.
Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân
Thế tương tác hạt nhân và tương tác trao đổi giữa nơtron và hạt nhân được
cho bởi giả thiết Fermi:
(
)
(
)
nuclearnullll
l
VVIrR
absd

éù
º=+-
ëû
å
ururruur
(2.1.1)
Ở đây lấy tổng theo tất cả các hạt nhân trong bia
r
r
- véc tơ tọa độ của nơtron
l
R
uur
- véc tơ tọa độ của hạt nhân thứ l
,
ll
ab
- là các hằng số ứng với hạt nhân thứ l
I
l
- là spin hạt nhân thứ l
Phần gắn với tích
(
)
l
I
s
urur
là phần tương tác trao đổi spin giữa nơtron và hạt
nhân thứ l

9

Yếu tố ma trận của tương tác từ.
Tương tác từ của nơtron trong mạng tinh thể xuất hiện do các điện tử tự do
chuyển động. Và bản thân nơtron cũng có mômen từ sinh ra.
Mômen từ của nơtron là:
neutronneu
nu
mmgs
gm
º=
ururr

Trong đó:
1.913
g
=-
- độ lớn mômen từ hóa trên manheton Bohr hạt nhân
2;
2
nu
proton
e
g
mc
m
==
h

s
r
- spin của nơtron tới
Thế véc tơ do các electron tự do và các electron không kết cặp gây ra là:
33
()
()
()
44
j
j
j
electron
oo
B
jj
jj
gSrR
mrR
Ar
rRrR
mm
m
pp
´-
´-
==

åå
urrur

urrur
ur
rurrur

1
4
oB
j
j
j
g
S
rR
mm
p
éù
êú
=´Ñ
êú
-
ëû
å
ur
rur

B
m
là manheton Borh
o
m

là hệ số từ thẩm của chân không
j
R
ur
là tọa độ của electron thứ j
j
S
ur
là véc tơ moment spin của electron thứ j
Vậy từ trường do các electron gây ra tại vị trí có tọa độ
r
r
là:

10

1
()()
4
oB
j
j
j
g
BrArS
rR
mm
p
éù
éù

êú
êú
=Ñ´=Ñ´´Ñ
êú
êú
-
ëû
ëû
å
urrurrur
rur

Dùng công thức giải tích véc tơ:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
abbaababba
Ñ´´=Ñ-Ñ+Ñ-Ñ
rrrrrrrrrr

Ta có:
( )
2

11
()
4
oB
jj
jj
g
BrSS
rRrR
mm
p
éù
éùéù
-
êú
êúêú
=-ÑÑ+Ñ
êú
êúêú

ëûëû
ëû
urrurur
rurrur

Ta lại có:
2
1
0
j

rR
éù
êú
Ñ=
êú
-
ëû
rur

Nên:
( )
1
()
4
oB
j
j
g
BrS
rR
mm
p
éù
êú
=ÑÑ
êú
-
ëû
urrur
rur

Vậy thế tương tác từ gây ra bởi sự phân cực của nơtron và từ trường của các
electron trong bia là:
( )
1
4
oB
neuj
magnu
j
j
g
VmBgsS
rR
mm
gm
p
éù
êú
=-=-ÑÑ
êú
-
ëû
å
urrur
rur

( )
1
nuoB

j
j
j
sS
rR
gmmm
p
éù
êú
=ÑÑ
êú
-
ëû
å
rur
rur

Dấu
j
å
lấy tổng theo tất cả các electron tự do lẫn các electron không kết
cặp trong bia tinh thể.

11

Tương tác trao đổi spin giữa eletron và nơtron tới được cho bởi công thức:
(
)
ex
j

j
change
j
VFsSrR
d
=-
å
rurrur

Trong đó F là hằng số
Vậy thế tương tác tổng cộng là:
(
)
(
)
( ) ( )
intex
1
numagchangellll
l
nuoB
j
jj
jj
j
VVVVIrR
SFsSrR
rR
absd
gmmm

d
p
éù
=++=+-
ëû
éù
êú
+ÑÑ+-
êú
-
ëû
å
åå
ururruur
urrurrur
rur

Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực tán xạ
trong tinh thể, ngoài tương tác hạt nhân chúng còn tương tác từ và tương tác trao
đổi giữa nơtron và electron tự do và electron không kết cặp trong bia tinh thể. Tiết
diện tán xạ vi phân sẽ gồm đóng góp ba phần được đặc trưng bởi ba loại tương tác ở
trên.

12

CHƯƠNG 2
TIẾN ĐỘNG HẠT NHÂN CỦA SPIN CỦA CÁC NƠTRON TRONG MÔI
TRƯỜNG PHÂN CỰC
2.1. Tính góc tiến động bằng phương pháp toán tử.
Giả sử hạt tới và bia đều có spin. Chúng ta xem xét quá trình chuyển động
của nơtron chậm qua vật chất.
Trong trường hợp này, hàm sóng mô tả quá trình va chạm đàn hồi của nơtron
với hạt nhân được gắn ở điểm
i
R
có dạng:
()
µ
00
i
i
ikrR
ikR
ikr
nnnn
i
e
refe
rR
ycccc
-

=+
-
rruur
ruur
rr
r
ruur
(2.1.1)

Trong đó,
n
c
là hàm sóng spin của nơtron tới,
0
n
c
là hàm sóng spin của hạt
nhân.
Trong trường hợp các nơtron chậm, bước sóng lớn hơn nhiều so với kích
thước của hạt nhân, vì vậy biên độ tán xạ không phụ thuộc vào góc tán xạ và có thể
viết dưới dạng:
µ
fJ
abs
=+
ur
(2.1.2)
Trong đó:
2
S

s
=
ur
, S là toán tử spin của nơtron
s
ur
là toán tử ma trận được tạo bới các ma trận Pauli
J là toán tử spin của hạt nhân
1
2121
II
aa
II
a
+-
+
=+
++
và
21
aa
I
b
+-
-
=
+


13

a
+
là biên độ tán xạ trong trạng thái ứng với momen tổng cộng của nơtron và
hạt nhân là
1
2
I
+

a
-
là biên độ tán xạ trong trạng thái ứng với momen tổng cộng của nơtron và
hạt nhân là
1
2
I
-

Trong quá trình tán xạ trên hệ hạt nhân, hàm sóng viết lại có dạng như sau:
()
µ

i
i
ikrR
ikR
ikr
nnucminnucm
l

mm
i
e
refe
rR
ycccc
-
=+
-
å
ÕÕ
rruur
ruur
rr
r
ruur
(2.1.3)
Trong đó
.
nucm
m
c
Õ
là hàm sóng pin của các hạt nhân với giả thiết rằng các
hạt nhân không tương tác với nhau.
Để tìm sóng kết hợp trong trường hợp này, chúng ta làm trung bình cộng
công thức (2.1.3) theo phân bố của các hạt nhân bia và theo trạng thái spin của
chúng.
Sự trung bình hóa đó dẫn đến biểu thức sau của hàm sóng:
()

µ
i
i
ikrR
ikR
ikr
nin
l
i
e
refe
rR
ycc
-
=+
-
å
rruur
ruur
rr
r
ruur
(2.1.4)
Trong đó:
µ
fJ
abs
=+
ur
=

Ip
abs
+
ur

J
p
I
=
ur
ur
: Véc tơ phân cực của hạt nhân
I: spin của hạt nhân
Nếu các hạt nhân được phân bố hỗn loạn trên mặt phẳng z = z
o
thì chúng ta
sẽ nhận được biểu thức sau cho sóng kết hợp đi qua mặt phẳng trên:

14

() ( )
2
1
ikr
n
z
i
rIpe
k
pr

yabsc
æö
=++
ç÷
èø
rr
rur
(2.1.5)
Trong công trình [16], toán tử:
1
2
p
i
B
dqsh
=+
uruur
(2.1.6)
được gọi là toán tử spin quay xung quang một trục đặc trưng bởi véc tơ đơn vị
p
h
uur

một góc
dq
,
1
dq
=

So sánh (2.1.5) và (2.1.6) ta có thể kết luận: sau khi đi qua mặt phẳng phân
cực, spin của nơtron đã quay đi một góc:
4
Re()
z
Ip
k
pr
dqb
=
(2.1.7)
Nếu hàm sóng của các nơtron đi qua m mặt thì góc quay tổng cộng là:
4
Re()
m
z
Ipm
k
pr
qb
=
(2.1.8)
Hay, khi đi qua một tấm bia có độ dạy L xác định, chúng ta sẽ thu được: khi
nơtron đi qua bia phân cực này, spin của nó sẽ quay một góc:
4
Re()
z
IpL
k
pr

qb
=

Kết quả này có thể nhận được bằng các phương pháp khác
2.2. Tính góc tiến động bằng phương pháp hàm sóng
Chọn trục lượng tử song song với véc tơ phân cực của hạt nhân
p
ur
. Nếu nơtron tới
mặt phẳng có spin song song với véc tơ
p
ur
(
1
0
n
c
æö
=
ç÷
èø
), thì sóng kết hợp
(
)
r
y
+
r
có
dạng:

15


()
µ
1
2
1
0
ikr
z
i
rfe
k
pr
y
-
+
æö
æö
=+
ç÷
ç÷
èø
èø
rr
r
(2.2.1)
Trong đó:

µ
fIp
ab
-
=-
là biên độ tán xạ kết hợp đàn hồi dưới góc bằng 0 của nơtron với
spin phản song song với véc tơ phân cực của hạt nhân p
Nếu hàm sóng đi qua một lớp vật chất có độ dày xác định thì lặp lại tất cả
các lý luận dẫn đến biểu thức của hệ số khúc xạ đối với bia phân cực mà ta đã biết
thì chúng ta sẽ nhận được hệ số khúc xạ của các nơtron có spin song song với véc tơ
p
ur
như sau:
µ
( )
22
22
11
zz
i
nfIp
kk
prpr
ab
++
=+=++
(2.2.3)
Đối với các nơtron với sự phân cực ngược lại thì:
µ
( )

22
22
11
zz
i
nfIp
kk
prpr
ab

=+=+-
(2.2.4)
Hiệu số
µ
µ
(
)
2
2
z
nnff
k
pr
+-+-
-=-
(2.2.5)
được xác định bởi hiệu các biên độ tán xạ của sóng kết hợp tương ứng và khác 0 chỉ
trong bia phân cực.
Như vậy, trong hạt nhân bia phân cực, nơtron có hai hệ số khúc xạ.
Xét trường hợp nơtron có véc tơ phân cực tạo thành một góc tương đối với

hướng của véc tơ phân cực hạt nhân. Chọn một hướng của p tạo thành một góc
tương đối với trục z. Véc tơ phân cực của hạt nhân bia có phương vuông góc với bề
mặt.
Hàm sóng cơ sở có dạng:

16

(
)
ikr
n
re
yc
=
rr
r
,
1
2
n
c
c
c
æö
=
ç÷
èø
(2.2.6)
Hay:
()

12
10
01
ikrikr
rcece
y
æöæö
=+
ç÷ç÷
èøèø
rrrr
r

Trạng thái spin
1
0
æö
ç÷
èø
có liên quan đến chỉ số khúc xạ
n
+

Trạng thái spin
0
1
æö
ç÷
èø
có liên quan đến chỉ số khúc xạ

n
-

Hàm sóng của nơtron trong trạng thái phân cực thay đổi theo chiều sâu xác
định theo biểu thức sau:
()
(
)
()
1
1121
2
10
01
zz
ikriknzikriknz
cr
rcececece
cr
y
y
y
^^+^^-
+
-
æö
æöæö
ç÷
==+
ç÷ç÷

ç÷
ç÷
èøèø
èø
uuruuruuruuruuruur
r
r
r
(2.2.7)
Véc tơ phân cực của nơtron là:
n
p
ysy
=
ur
(2.2.8)
có các thành phần là:

12
2Im
ny
pcc
yy
**
+-
=
(2.2.9)

22
12nz

pcc
yy
+-
=-
Giả thiết rằng spin của nơtron có phương vuông góc với véc tơ phân cực của
hạt nhân và có phương song song với trục x, ta được
12
1
2
cc==
Sử dụng các đẳng thức (2.2.9) ta có:
(
)
Im()
cosRe
z
knnz
nxz
pknnze
+-

+-
=-éù
ëû

(
)
Im()
sinRe
z

knnz
nyz
pknnze
+-

+-
=-éù
ëû
(2.2.10)

17

2Im()2Im()
zz
knzknz
nz
pee
+-

=-

Suy ra, vộc t phõn cc ca ntron hp vi vộc t phõn cc ca ht nhõn mt
gúc:
( )
à
à
(
)
2
ReRe

z
z
knnzffz
k
pr
q
+-+-
=-=-ộự
ởỷ
(2.2.11)
Biu thc ca (2.2.11) phự hp vi (2.2.10)
Trong trng hp tng quỏt, vộc t phõn cc ca ht nhõn khụng xỏc nh.
mụ t hiu ng quay ca spin ntron ta dựng toỏn t quay spin i mt gúc
q
no
ú.
S dng (2.1.5) ta cú: sau khi i qua m mt phng phõn cc, hm súng ca
ntron l:
() ( )
2
1
m
ikr
n
z
i
rIpe
k
pr
yabsc

ổử
=++
ỗữ
ốứ
rr
rur
(2.2.12)
Sau khi ntron i qua lp vt cht cú b dy l z = ma (a l b dy ca mt
lp) thỡ
(
)
r
y
r
c vit nh sau:
(
)
$
1
z
ikriknz
n
rece
yc
^^
=
uuruuruur
r
(2.2.13)
$

à
()
2
2
10
z
nf
k
pr
=+
(2.2.14)
à
()
0
f
l biờn tỏn x n hi trờn ht nhõn vi mt gúc bng 0. So sỏnh
vi vic mụ t bng toỏn t quay spin ca ntron i mt gúc trong [16]:
2
in
Be
q
s
=
ur
, ta thy, trong trng hp ny, toỏn t quay spin ntron c mụ t
bi:

18

( )

2
expRe
np
z
BiInz
k
pr
bs
ổử
=
ỗữ
ốứ
ur
(2.2.15)
Ngoi ra, s quay spin ca ntron trong bia phõn cc cú th nhn c bng
cỏch khỏc.
2.3. S dng bo ton nng lng tớnh gúc tin ng
Gi nng lng ca súng kt hp l
'
kh
E

Nng lng ca súng t do trong chõn khụng l
tk
E

Theo nh lut bo ton nng lng thỡ th nng cú dng:

()
22 2

'2
2
(1)0
2
z
tkkh
k
UEEnf
mm
p
r
=-=-=-
h
h
(2.3.1)
Nh vy, trong ht nhõn bia phõn cc, súng ntron cú kh nng khỳc x vi
cỏc mc nng lng l:
()
22 2
2
2
(1)0
2
z
k
Unf
mm
p
r

=-=-
h
h
(2.3.2)
So sỏnh vi (2.2.14) ta vit li nng lng di dng toỏn t:
à
()
( )
22
22
0
UfIp
mm
pp
rabs
=-=-+
ur
hh
(2.3.3)
Khi ntron chuyn ng trong t trng, nng lng tng tỏc ca thnh
phn spin song song vi
H
uur
c tớnh theo cụng thc:
W
H
m
+
=-

Tng t vi thnh phn spin ngc li ta cú nng lng bng W
H
m
-
=

Hiu nng lng l: W-W2
H
m
+-
=-

Gii hn ca tn s chuyn ng tin ng ca ntron trong t trng H l:
2
R
H
m
w
=
h


19

Hoàn toàn tương tự, trong từ trường tồn tại hiệu số thế
-U
U
+-
, pin của
nơtron chuyển động tiến động quanh trục song song với véc tơ phân cực của hạt

nhân với tần số:
-U4
ReRe
U
Ip
m
pr
wb
+-
==
h
h
(2.3.4)
Trong thời gian t, spin của nơtron quay đi một góc
t
w
¶=

Nếu phần có từ trường có độ dài l, thời gian để nơtron đi qua là:
z
l
t
n
=

Vậy spin của nơtron quay đi một góc:
4
Re
zzz
lml

Ipl
kk
wpr
wb
n
¶===

Điều này hoàn toàn phù hợp với công thức (2.1.9)
Trong từ trường thì tương tác giữa spin của nơtron với hạt nhân có từ trường
hiệu dụng:
2
eff
H
w
m
=
h

Tương tự, nếu như bia phân cực có từ trường phụ thuộc vào thời gian
()
Bt
và
véc tơ phân cực của hạt nhân cũng phụ thuộc vào thời gian P = P(t) thì từ trường
hiệu dụng tổng hợp là:
()()()
eff
GtBtHt
=+

Trong đó:

2
2
()()
eff
I
Htpt
m
prb
m
=
h

Như vậy, năng lượng tương tác spin trong từ trường hiệu dụng là:
(
)
V()()
eff
GBtHt
mm
=-=-+
urur
(2.3.5)

20

CHƯƠNG 3
TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC
TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC
TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ
3.1. Tiết diện tán xạ hiệu dụng của tán xạ không đàn hồi của các nơtron trên

tinh thể có các hạt nhân phân cực.
Chúng ta đi xem xét tán xạ không đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh
thể khi có các hạt nhân phân cực khi có phản xạ và khúc xạ.
Giả sử chùm nơtron tiến tới tinh thể có các hạt nhân phân cực, được đặt ở
nửa không gian x > 0 và mặt của tinh thể trùng với mặt phẳng y0z.
Như chúng ta đã biết, trong tinh thể phân cực tác động lên chùm nơtron có
trường tổng cộng:
nuc
eff
eff
GBH
=+
ururuur

ở đó
nuc
eff
H
uur
là giả từ trường hiệu dụng hạt nhân [15]
Theo giả thuyết trên thì trong một nửa không gian x > 0, trong tinh thể có các
hạt nhân phân cực có từ trường hiệu dụng đồng nhất
()
eff
Gx
ur
dạng:
0;()
effxeffyeffzeff
GGGGx

q
===×
urururur
, ở đó
1,0
()
0,0
x
x
x
q
ì
=
í
î
f
p

Quá trình tán xạ phi đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh thể có các
hạt nhân phân cực được xác định bởi Hamilton [22,25]:
H = H
o
+ H
k
+ W
1
+ W
2
(3.1.1)
ở đó:

22
2
o
H
m
Ñ
=-
h


21

H
k
: Hamilton của tinh thể - bia tán xạ
1
W()()
eff
o
VxGx
ms
=-
urur

m
: Moment từ của nơtron
s
ur
tương ứng với các thành phần
,y,

xz
sss
là các ma trận Pauli
Số hạng thứ 2 của W
1
mô tả thế năng tương tác của nơtron với từ trường hiệu
dụng
(
)
(
)
2
W
lll
ll
j
ABJJrR
sd
éù
=+
ëû
å
urururururrur
mô tả phần thế nhỏ tương tác của
nơtron với hạt nhân.
,
l
rR
rur
: Véc tơ vị trí của nơtron, hạt nhân

J
ur
: Toán tử spin hạt nhân
Sử dụng phương pháp các sóng méo ta đi tính yếu tố ma trận chuyển
,
kk
T

của quá trính tán xạ trên
Theo [3,23]:
,,
()()
2
|W|
k
kkk
T
jj
-+
=
(3.1.2)
Ở đó
,
()
k
j
-
và
()
k

j
+
là nghiệm của phương trình schrodinger sau:
2
()()
2
ozeffkkk
VxGxE
m
msjj
éù
-Ñ+-=
êú
ëû
h
(3.1.3)
Với tiệm cận ở vô cùng trong dạng sóng phân kì và sóng hội tụ
Biểu diễn
k
j
trong dạng:

22

||
||
()
ikr
kka
ex

jjc
=
rr
(3.1.4)
12
10
01
a
CC
c
ổửổử
=+
ỗữỗữ
ốứốứ
hm súng spin riờng ca ntron
||
k
r
v
||
r
r
: cỏc thnh phn ca vộc t súng v vộc t v trớ ca ntron song
song vi b mt tinh th.
t (3.1.4) vo (3.1.3) ta cú phng trỡnh Schrodinger cho
()
k
x
j
:

2
2
()(V)()()0
xkxoeffk
m
xkGxx
jmqj

ỡỹ
ộự
D+-=
ớý
ởỷ
ợỵ
m
h
(3.1.5)
ú
2
2
0
x
mE
k
<
^

=>
h
khi x < 0

22
||
2
k
k
EE
m
^
=-
h
l nng lng chuyn ng dc ca ntron
Ký hiu
0
2
2
()
xeff
m
kEVG
m
>
^
=-
h
khi x > 0
Chỳng ta s nhn c nghim ca phng trỡnh (3.1.5) l:
,0
()
,0
ikx

x
x
ikx
x
ikx
o
k
o
eAex
x
Bex
j
>
<-
>
-




ỡ
+<
ù
=
ớ
ù
>
ợ

1

1
2
2
1
2
0
,0
0
0
,0
0
ikxikx
xx
x
ikxikx
xx
ikx
c
c
eAeAex
c
c
c
BeBex
c
>>
<
>>

+-
+-
ỡ
ổử
ổửổử
++<
ù
ỗữ
ỗữỗữ
ùốứốứ
ốứ
=
ớ
ổửổử
ù
+>
ỗữỗữ
ù
ốứốứ
ợ
(3.1.6)

23

Vi
||
||
()
ikr
ka

ex
jjc

=
rr
ta cú nghim ca phng trỡnh (3.1.3) trong dng
sau:
||||
||
||
1
1
2
2
1
2
0
,0
0
0
,0
0
ikxikx
xx
x
ikxikx
xx
ikx
ikr
a

k
ikr
a
c
c
eeAeAex
c
c
c
eBeBex
c
c
j
c
>>
<
>>


+-

+-
ỡ
ộự
ổử
ổửổử
++<
ù
ờỳ
ỗữ

ỗữỗữ
ốứốứ
ốứ
ù
ởỷ
=
ớ
ộự
ổửổử
ù
+>
ờỳ
ỗữỗữ
ù
ốứốứ
ởỷ
ợ
rr
rr
(3.1.7)
xx
xx
kk
A
kk
<>


<>

-
=
+
: Biờn ca súng phn x ntron
2
x
xx
k
B
kk
<

<>

=
+
: Biờn ca súng khỳc x ntron
Nh cỏc ma trn Pauli
s
ur
chỳng ta biu din (3.1.7) di dng:
t:
2
10
(0,0,);
01
MI
l
ổử
==

ỗữ
ốứ
uur

1
1
2()
2
ikx
x
x
ikx
eAAe
l
>
<-
+-
ộự
=++
ờỳ
ởỷ

2
1
()
2
ikx
x
AAe
l

>
-
+-
ộự
=+
ờỳ
ởỷ

2
(0,0,)
N
b
=
uur

1
1
B
2
ikxikx
xx
eBe
b
>>
+-
+-
ộự
=+
ờỳ
ởỷ

2
1
B
2
ikxikx
xx
eBe
b
>>
+-
+-
ộự
=-
ờỳ
ởỷ


24

Do ú:
1
1
1
2
2
0
0
ikxikx
xx

x
ikx
c
c
IMeAeAe
c
c
ls
>>
<
+-
ộự
ổử
ổửổử
ộự
+=++
ờỳ
ỗữ
ỗữỗữ
ởỷ
ốứốứ
ốứ
ởỷ
uurur

1
1
2
0
0

ikxikx
xx
c
INBeBe
c
bs
>>


+-
ộự
ổửổử
ộự
+=+
ờỳ
ỗữỗữ
ởỷ
ốứốứ
ởỷ
uurur

Thay vo (3.1.7) ta cú:
||
||
||
||
1
1
,0
,0

ikr
a
k
ikr
a
eIMx
eINx
lsc
j
bsc

ỡ
ộự
+<
ùởỷ
=
ớ
ộự
+>
ù
ởỷ
ợ
rr
rr
uurur
uurur
(3.1.8)
Bõy gi chỳng ta i tớnh tớch phõn (3.1.2)
( )
(

)
||
||
'
0
'
'
''''
||11
iQr
alllla
kk
l
TdredxIMABJJrRIM
clssdlsc
+**
-Ơ
ỡ
ộự
ộự
ộự
ộự
=++ +
ớ
ờỳ
ởỷ
ởỷ
ởỷ
ởỷ
ợ

ồ
ũũ
urr
uuuur
urururuururruuruurur

( )
(
)
'
''''
11
0
alllla
l
dxINABJJrRIN
cbssdbsc
+Ơ
+**
ỹ
ộự
ộự
ộự
ộự
+++ +
ý
ờỳ
ởỷ
ởỷ
ởỷ

ởỷ
ỵ
ồ
ũ
uuur
ururuururruuruurur

( ) ( )
||
||
0
'
''''''
||111111
iQr
allllll
dredxIAIBJJMAMBJJ
clllslslssl
+****
-Ơ
ỡ
ộ
=+-++-
ớ
ở
ợ
ũũ
urr
uuuuruuuur
ururuurururururuurur

(
)
(
)
(
)
'
''''
11
llllllla
IAMIBJJMMAMMBJJMrR
lslsssssssdc
****
ự
++-++
ỷ
uuuuruuuur
uurururuururuurururuururururuururuururru
ur
( ) ( )
'''''''
1111111
0
alllllll
dxIAIBJJNANBJJIAN
cbbbsbsbssbbs
+Ơ
+*****
ộ

++-++-+
ở
ũ
uuuruuur
uruurururururuururuurur
(
)
(
)
(
)
}
'
'''
1
lllllla
IBJJNNANNBJJNrR
bsssssssdc
***
ự
+-++
ỷ
uuuruuur
uruururuurururuururururuururuururruur

Vi
'
||||||
(,)
yz

QkkQQ
=-
ur
uurur