hệ thống bài tập về thể tích khối đa diện




HTHNG I TP VTHCH KHI A DIN

ThS. NGUYN TH M
Trng THPT Chuyên i ng

A. t vn 
Nhng nm gn ây, trong c thi tuyn sinh i c luôn mt i n nh
c không gian câu i thng xoay quanh vn vthch khi a din. i vi
c sinh luôn mt i n .  !"p c sinh !#i quy$t i n %y, tôi &
xây d'ng “ Hthng i t(p vthch khi a din ” vi vic phân )ngc i n
thng g*p theo c mô nh a din c ph+ng ,p !#i cho t-ng )ng n.
Trong m.i )ng n luôn )/minh a c i t(p t'luyn &p s !"p
c sinh kh0c sâu ph+ng ,p 1ng thi v(n )/ng t' !#i quy$t c i n.
B. Giair quyt vn 
 !#i quy$t c vn &2nh y 3trên, hthng i t(p 4c chia nh 2
phn :
Phn I: 5c i n nh thch khi a din
Phn II: 6ng )/ng 7a thch  nh #ng ch t- mt im $n mt m*t
ph8ng, #ng ch gia hai ng th8ng 9o nhau.
1. Tính th tích khi a din
5hai ph+ng ,p nh thch khi a din, ph+ng ,p nh tr'c ti$p 
nh !n ti$p.
1.1. Tính trc tip
Vi ph+ng ,p nh tr'c ti$p, :y o mô nh, c nh cht /th7a a din
;ta <c =nh 4c ng cao 7a a din . Di ây ph+ng ,p nh thch
cho hai mô nh khi p khi lng 2/.
1.1.1. Th tích khi chóp
 tính th tích khi chóp ta cn nh din tích a giác áy)i ng cao

7a nh p. Tùy vào iu kin c7a t-ng khi chóp mà ta có th xác =nh 4c chân
ng cao và t- ó tính  dài ng cao và tính 4c th tích áy. Di ây mt
s)ng nh p thng g*p.
Dng 1. Hình chóp có các cnh bên bng nhau hoc các cnh bên hp vi áy các
góc bng nhau: chân ng vuông góc h t nh trùng vi tâm ng tròn ngoi tip
a giác áy.
Ví d 1: Cho hình chóp O.ABC có OA =
OB = OC = a, góc AOB = 60
0
, góc BOC = 90
0
,
góc COA = 120
0
. Tính th tích khi chóp
O.ABC .
>!#i
>i H  chân ng vuông c  t- O
xung m*t ph8ng (ABC). Do OA = OB = OC
nên HA = HB = HC do H tâm ng 2?n
% i ti$p tam !c ABC.
@p )/ng =nh m scosin ta nh 4c
AC a 3;BC a 2
= = suy ra tam !c ABC














vuông i B do tam ng 2?n % i ti$p 7a tam !c 2:ng vi trung im 7a
AC.
suy ra
2 2
a
OH OA HA
2
= − =

3
1 a 2
V OH.dtABC
3 12
 = =
i tp tng t:
i 1. Cho khi chóp S.ABC có áy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a, các
cnh bên h4p vi áy các góc bAng nhau và bAng 60
0
. Tính th tích khi chóp S.ABC.
3
25 3
V a
2

=

i 2. Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác nhn và cân 3 A, AB = AC = a,
góc B = góc C =
α
, các cnh bên cùng to vi áy mt góc bAng
(
)
0
0 90
< <
β β
.
Tính th tích khi chóp S.ABC.
3
cos .tan .a
V
6
=
α β

Dng 2. Hình chóp có các mt bên hp vi áy các góc bng nhau: chân ng
cao h t nh ch u c nh a a giác áy
Ví d 2. Cho khi chóp S.ABC có áy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a,
các m*t bên h4p vi áy các góc bAng nhau và bAng 60
0
. Tính th tích khi chóp
S.ABC.
>!#i
>i H  chân ng vuông c

 t- S xung mp(ABC). T- H  HE,
HF, HG ln l4t vuông c vi AC, BC,
AB. Khi c c SHE, SFH, SGH ln
l4t  c c gia mp(ABC)  c
mp(SAC), (SBC)  (SAB). Theo !#
thi$t c c SHE, SFH, SGH bAng nhau
do  c tam !c vuông SHE, SFH,
SGH bAng nhau suy ra HE = HF = HG
do H tâm ng 2?n ni ti$p tam
!c ABC.
Theo công thBc Herong ta nh
4c
2
S 2 6
S 6 6a r a
p 3
=  = =

Suy ra
0
SH r.tan 60 2 2
= = 

3
V 6 3a
=
Dng 3. Hình chóp có mt cnh bên vuông góc vi áy (hoc có hai mt bên
vuông góc vi áy): ng cao ca hình chóp chính là cnh bên ó (hoc là giao
tuyn ca hai mt bên ó).
Ví d 3. Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình ch nh(t, AB = a, cnh SA vuông

góc vi áy, cnh SC to vi áy góc 45
0

và to vi mp(SAB) góc 30
0
. Tính th tích
khi chóp S.ABCD.

















>!#i
Ta  c BSC  c gia SC mp(SAB)  c ACS SC  c gia SC 
mp(ABCD).
*t BC = x
2 2
SA AC a x

 = = +
.
Trong tam !c SBC SB =
x 3
.
Theo =nh Pitago cho tam !c SAB


2 2 2
SB SA AB
= +

3
a 2
x a SA a 2 V
3
 =  =  =
Bi tp tng t: (A – 09 ). Cho hình
chóp S.ABCD có áy ABCD là hình
thang vuông ti A và D; AB = AD = 2a,
CD = a; góc gia 2 m*t ph8ng (SBC) và
(ABCD) bAng 60
0
. Gi I là trung im c7a
cnh AD. Bi$t hai m*t ph8ng (SBI) và
(SCI) cùng vuông góc vi mp(ABCD), tính th tích khi chóp S.ABCD theo a.
3
3 15a
V
5

=
Dng 4. Hình chóp có mt mt bên vuông góc vi mt áy thì chân ng cao h
t nh thuc giao tuyn ca mt bên và mt áy ó.
Ví d 4. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh a, m*t bên
SAB là tam giác cân ti S, góc ASB =
α
. Tính th tích khi chóp S.ABCD.
>!#i
>i H trung im 7a AB. Do tam !c SAB cân nên SH vuông c vi AB.
Theo !#thi$t mp(SAB)
(
)
mp ABCD
⊥
nên theo =nh Cv giao tuy$n 7a 2 mp
vuông c ta 
(
)
SH ABCD
⊥
.
Trong tam !c SHA ta 
3
1 1 1
SH a.cot V SH.dtABCD a .cot
2 2 3 6 2
=  = =
α α
i tp tng t: Cho hình chóp có áy là
mt tam giác vuông cân cnh góc vuông

bAng a. M*t bên qua cnh huyn vuông góc
vi áy, hai m*t bên còn li u to vi áy
mt góc 45
0
. Tính th tích khi chóp.
3
a
V
12
=

1.1.2. Th tích khi lng tr
Dng 1. Khi lng tr ng: ng cao chính là cnh bên.
Ví d 5. Cho lng tr/ Bng ABC.A’B’C’ có áy ABC là tam giác cân Dnh A. Góc
gia AA’ và BC’ là 30
0
và kho#ng cách gia chúng là a. Góc gia hai m*t bên qua
AA’ là 60
0
. Tính th tích lng tr/.























>!#i
>i I  trung im 7a BC
(
)
AI BCC'B' AI a
 ⊥  =
.
Tam !c ABC u
2a
BC
3
 = . Ei  c
BCC’  c gia hai mp(ABB’A’)  (ACC’A’)


3
2a 3
CC' a V CC'.dtABC

3
 =  = =
Dng 2. Lng tr xiên
Lng tr/ xiên rt a dng,  xác =nh ng
cao c7a lng tr/ kF t- Dnh ta ph#i v(n d/ng các ph+ng pháp khác nhau  d'ng
ng vuông góc t- im $n m*t ph8ng.
Ví d 6. Cho hình hp ABCD.A’B’C’D’ có các cnh bên bAng a, áy ABCD là
hình ch nh(t,
AB a 3;AD a 7.
= = Hai m*t bên (ABB’A’) và (ADD’A’) ln l4t
to vi áy góc 45
0
và 60
0
. Gi H là hình chi$u vuông góc c7a A’ trên mp(ABCD). H
thuc min ch nh(t ABCD. Tính th tích hình hp.
>!#i
*t A’H = h . GF HK//AD, HI//AB
suy ra c AKH = 45
0
do HK = h. Ei
 c A’IK = 60
0
2 2 2 2
h 4
HI AH AK HK h
3
3
 =  = + =

H9t tam !c vuông A’AH 
2 2 2
3
AA' AH A 'H h a
7
= +  =
3
ABCD.A'B'C 'D'
V A'H.dtABCD 3a
 = =

i tp tng t:. Cho lng tr/ ABC.A’B’C’ có áy là tam giác u cnh a, A’A =
A’B = A’C = b.
a) Tính b theo a  m*t bên ABB’A’ h4p vi áy góc 60
0

b) Tính th tích lng tr/ theo a (vi b tìm 4c 3 câu a).
3
a 3
V
8
=
1.2. Tính gián tip
1.2.1. Phân chia khi a di n c!n tính th tích thành các khi a di n n gi"n hoc
ghép thêm vào khi a di n c!n tính  c khi a di n ã có cách tính th
tích.
Ví d 7. Cho lng tr/ Bng ABC.A’B’C’ có tt c# các cnh bAng a. M*t ph8ng i
qua A’B’ và trng tâm c7a tam giác ABC c0t AC và BC theo thB t' ti E và F. Tính
th tích khi chóp C.A’B’FE.
>!#i





































Ta mp(CA’F) chia khi p C.A’B’FE nh 2 khi p CA’EF CA’B’F,
do 
C.A'B' FE CA'EF CA 'B'F
V V V
= +
. I
2 2 3
FK AC FK BM . .a
3 3 2
⊥  = = (trong 
BM  ng cao 7a tam !c u ABC).J  mp(ABC)
(
)
(
)
AA'C'C FK A 'FC
⊥  ⊥

Do 
3 3
CA 'EF F.CA 'E
1 1 2 3 1 3
V V FK.dtA 'CE . . . .a a
3 3 3 2 2 18
= = = =

>i N trung im 7a B’C’ suy ra A’N vuông c vi mp(BCC’B’) suy ra
3 3
CA 'B'F A'FCB'
1 1 3 2 1 3
V V A' N.dtB'CF . . . a a
3 3 2 3 2 27
= = = =
Suy ra thch khi p C.A’B’FE 
3
5 3a
V
54
=









1.2.2. Dùng t s th tích
 tích th tích c7a khi a din H ta tính tD s th tích c7a H và khi H’, trong ó
th tích c7a khi H’ có th tính 4c mt cách t+ng i +n gi#n, t- ó suy ra th
tích c7a khi H.
Ví d 8. Cho hình chóp S.ABC có OA = a, OB = b, OC = c, góc AOB = 60
0
, góc
BOC = 90

0
, góc COA = 120
0
. Tính th tích khi chóp S.ABC .
>!#i
Trên c tia OB OC ly c im M 
N sao cho OM = ON = a.
Theo )/1 ta 
3
OAMN
a 2
V
12
= . Ei

OABC
OAMN
V OB OC b c
. .
V OM ON a a
= =  suy ra
OABC
abc 2
V
12
=
i tp tng t
i 1 Cho hình chóp S.ABCD có áy
ABCD là hình vuông cnh a, SA vuông góc
vi áy, SA = 2a. Gi B’. D’ ln l4t là hình
































chi$u vuông góc c7a A lên SB và SD. M*t ph8ng (AB’D’) c0t SC ti C’. Tính th tích
hình chóp S.AB’C’D’.
3
16a
V
45
=
i 2 Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi, AC c0t BD ti O, SO
vuông góc vi áy, OA = 2a, OB = a, SO =
2 2 a
. Gi M là trung im c7a SC, m*t
ph8ng (AMB) c0t SD ti N. Tính th tích khi chóp S.ABMN.
3
V 2a
=

2. ng dng th tích  tính khong cách
T- công thBc th tích hình chóp
1
V h.S
3
= , trong ó h là chiu cao và S là din
tích áy , ta có th tính kho#ng cách t- mt im $n m*t ph8ng thông qua th tích c7a
khi chóp.
Ví d 9. Cho hình hp ch nh(t ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC= 2a, AA’ = a. M
là im trên on AD sao cho AM = 3 MD. Tính kho#ng cách t- M $n mp(AB’C) .
>!#i
>i h #ng ch t-M $n mp(AB’C).Khi 
M.AB'C
M.AB'C AB'C

AB'C
1 3V
V h.S h
3 S
=  =
Ta V
M.AB’C
= V
B’.AMC
=
3
2
1 1 1 3 a
BB'.dtAMC a. .2a
3 3 2 4 4
= =

Tam !c ACB’ cân i C (AC
2
= B’C
2
= 5a
2
) nên ng trung tuy$n CI 1ng thi
 ng cao. Ta 
2 2
2 2 2
AB'C
9a 3a 3a
CI CA AI CI S

2 2
2
= − =  =  =

a
h
2
 =

i tp tng t
Ví d 1. (D – 07 ) Cho hình chóp
S.ABCD có áy ABCD là hình thang
vuông ti A và B, AB = BC = a, AD
= 2a, cnh bên SA vuông góc vi
áy, SA =
a 2
. Gi H là hình chi$u
vuông góc c7a A trên SB. Tính
kho#ng cách t- H $n mp(SCD).
a
d
3
=

Ví d 2 Cho hình chóp S.ABC
có áy là tam giác vuông ti B, cnh
SA vuông góc vi áy. Gi E là hình
chi$u vuông góc c7a A trên SC. Bi$t
AB = a, BC = b, SA = c. Tính kho#ng cách t- im E $n m*t ph8ng (SAB).





















2
2 2 2
bc
d
a b c
=
+ +


Ví d 3. Cho hình chóp S.ABC có SA= 3a và SA vuông góc vi m*t ph8ng
(ABC). Tam giác ABC có AB= BC= 2a, góc

·
0
120
ABC =
. Tính kho#ng cách t- im A
$n mp(SBC).
6
( ,( )
22
a
d A SBC =
3. Bài tp tng hpc sinh tluyn
Bài 1 Cho hình chóp tB giác u S.ABCD có cnh áy bAng a. Gi SH là ng
cao c7a hình chóp. Kho#ng cách t- trung im I c7a SH ti m*t bên (SBC) bAng b.
Tính th tích khi chóp S.ABCD.
3
.
2 2
2
3
16
S ABCD
a b
V
a b
=
−

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi cnh a,
·

0
60
BAD = , SA
vuông góc vi m*t ph8ng (ABCD), SA= a. Gi C’ là trung im c7a SC. M*t ph8ng
(P) i qua AC’ và song song vi BD, c0t các cnh SB, SD ln l4t tai B’, D’. Tính th
tích c7a khi chóp S.AB’C’D’.
3
. ' '
3
18
S ABC D
a
V =
Bài 3. Tính th tích khi tB din ABCD, bi$t AB = a, AC = b, AD = c và
·
· ·
0
60
BAC CAD DAB= = =

2
12
ABCD
abc
V =
Bài 4, Cho hình chóp tB giác u S.ABCD có cnh áy bAng a, góc gia cnh bên
và m*t áy bAng
(
)
0 0

0 90
ϕ ϕ
< < . Tính tan c7a góc gia hai m*t ph8ng (SAB) và
(ABCD) theo
ϕ
. Tính th tích khi chóp S.ABCD theo a và
ϕ
.
3
.
2
tan
6
S ABCD
a
V
ϕ
=
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác vuông ti B, cnh SA vuông góc
vi áy, góc
·
0
60
ABC = , BC= a,
3
SA a
= . Gi M là trung im c7a cnh SB.
a) ChBng minh mp(SAB) vuông góc vi mp(SBC).
b) Tính th tích khi tB din MABC.
3

4
MABC
a
V
=

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có tt c# các cnh u bAng nhau. Bi$t th tích là
3
9 2
2
V a
=
. Tính  dài cnh c7a hình chóp

3
x a
=

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông tâm O, cnh a, hai
m*t ph8ng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc vi m*t áy. SA = a. Gi H và K ln l4t
là chân ng vuông góc h t- A $n các cnh SB, SD.



a) Tính kho#ng cách t- H $n m*t ph8ng (SCD).
b) ChBng minh
(
)
SC AHK
⊥

.
c) Tính th tích c7a hình chóp O.AHK
a
d
2 2
= ,
3
a
V
24
=

Bài 8. (D – 08 ) Cho lng tr/ Bng ABC.A’B’C’có áy ABC là tam giác vuông,
AB=BC=a, cnh bên AA’=
2
a
. Gi M là trung im cnh BC.Tính theo a th tích
c7a khi lng tr/ ABC.A’B’C’ và kho#ng cách gia hai ng th8ng AM, B’C
3
. ' ' '
2
2
ABC A B C
a
V =
;
7
( ; ' )
7
a

d AM B C =

Bài 9. (B - 06). Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình ch nh(t vi AB = a; AD
=
a 2
; SA = a và SA vuông góc vi mp(ABCD). Gi M và N ln l4t là trung im
c7a AD và SC; I là giao im c7a BM và AC. ChBng minh (SAC)
⊥
(SMB) và tính
V
ANIB
.
3
a 2
V
36
=
Bài 10. (B – 08 ) Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông cnh 2a;SA = a;
SB =
a 3
; (SAB)
⊥
(ABCD). Go= M và N ln l+t là trung im c7a các cnh AB và
BC. Tính th tích khi chóp S.BMDN.
3
3a
V
3
=
Bài 11. ( D - 06). Cho hình chóp tam giác S.ABC có áy là tam giác u cnh a,

SA = 2a và SA vuông góc vi (ABC). Gi M và N ln l4t là hình chi$u vuông góc
c7a A trên các ng th8ng SB và SC. Tính th tích khi chóp A.BCNM
3
3 3a
V
50
=
Bài 12 (A – 07) Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông cnh a, m*t bên
SAD là tam giác u và nAm trong m*t ph8ng vuông góc vi áy. Gi M, N ,P ln l4t
là trung dim c7a SB, BC, CD. ChBng minh AM vuông góc vi BP và tính th tích
khi tB din CMNP.
3
3a
V
96
=
Bài 13. (A – 08 ) Cho hình lng tr/ ABC.A’B’C’ có cnh bên bAng 2a, áy ABC
là tam giác vuông ti A; AB = a, AC = a
3
và hình chi$u vuông góc c7a Dnh A’ trên
(ABC) là trung im c7a cnh BC.Tính theo a th tích khi chóp A’.ABC
3
a
V
2
=

Bài 14. (B – 09 ). Cho hình lng tr/ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc gia
ng th8ng BB’ và mp(ABC) bAng 60
0

; tam giác ABC vuông ti C và
·
0
60
BAC = .
Hình chi$u vuông góc c7a im B’ trên mp(ABC) trùng vi trng tâm c7a tam giác
ABC. Tính th tích khi tB din A’ABC theo a.



3
9a
V
208
=
 i 15. (D – 09 ) Cho hình lng tr/ Bng ABC.A’B’C’ có áy ABC là tam giác
vuông ti B, AB = a, A’C = 3a, AA’ = 2a. Gi M là trung im c7a A’C’, I là giao
im c7a AM và A’C. Tính theo a th tích khi tB din IABC và kho#ng cách t- A $n
mp(IBC).
3
4a 2 5a
V ;d
9 5
= =

C. Kt lun
i &2nh y 4c hthng c )ng n vnh thch khi a din 
Bng )/ng 7a thch, theo t-ng )ng mô nh a din vi c )/minh a c
i t(p t+ng t'cho m.i )ng n c sinh t'luyn nhAm kh0c sâu ph+ng ,p
mi.K i ra, tôi Lng &a ra hthng c i t(p tMng h4p ;n$u c sinh &

n0m ch0c c ph+ng ,p )ng n 3trên ch0c ch0n NO !#i quy$t 4c c i
t(p %y mt ch t+ng i +n !#n.
Qua th'c t$ !#ng )y phn thch khi a din theo hthng c i t(p 3trên,
tôi thy c sinh khi b0t u m c i t(p vnh c không gian &=nh hng
không ?n khn. Trong c nm ti$p theo, trong qu2nh !#ng )y trau d1i
ki$n thBc, n$u thêm c )ng i, c ph+ng ,p m i tôi NOxin bMsung 
Dnh sPa ti$p.
Do thi gian  n,  i không 2nh i thi$u Nt, rt mong nh(n 4c s'
ng p 7a c thy cô i n thin h+n.



HTHNG I TP VTHCH KHI A DIN

ThS. NGUYN TH M
Trng THPT Chuyên i ng

NhAm !"p c sinh !#i quy$t i n vthch khi a din, tôi &xây d'ng “
Hthng ! i tp vth"#ch khi a din ” vi vic phân )ng c i n thng
g*p theo c mô nh a din theo ph+ng ,p !#i. Th'c t$cho thy, sau khi c
sinh 4c c theo hthng i t(p %y, c em & !#i quy$t c i t(p vthch
khi a din mt ch =nh hng 2Q2ng không ?n khn.