ôn thi THPt quốc gia oxyz

CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
Chương 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Tọa độ vectơ: Cho
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
a a ,a ,a ,b b ,b ,b
= =
r r
. Ta có

( )
1 1 2 2 3 3
a b a b ;a b ;a b
± = ± ± ±
r r

( )
1 2 3
k.a ka ;ka ;ka
=
r

1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=



= ⇔ =


=

r r

a
r
cùng phương
3
1 2
1 2 3
aa a
b
b b b
⇔ = =
r

1 1 2 2 3 3
a.b a b a b a b= + +
r r

1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b 0⊥ ⇔ + + =
r r

2 2 2

1 2 3
a a a a= + +
r

( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a b a b a b
cos a,b
a a a . b b b
+ +
=
+ + + +
r r
2. Tọa độ điểm: Cho
A; A A B; B B C; C C
A(x y ;z ),B(x y ;z ),C(x y ;z )

( )
B A B A B A
AB x x ;y y ;z z
= − − −
uuur

( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB AB x x y y z z
= = − + − + −

uuur
M là trung điểm của AB
A B A B A B
x x y y z z
M ; ;
2 2 2
+ + +
 
⇔
 ÷
 
G là trọng tâm tam giác ABC
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
M ; ;
3 3 3
+ + + + + +
 
⇔
 ÷
 
3. Tích có hướng của hai vectơ:
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
a a ,a ,a ,b b ,b ,b
= =
r r
Tích có hướng của hai vec tơ
a
r

và
b
r
là một vectơ, k/h:
3
1 2
3
2 1
2 3 1
3 1 2
a
a a
a
a a
a,b ; ;
b b b
b b b
 
 
=
 ÷
 
 ÷
 
r r
- Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng:
a,b,c
r r r
đồng phẳng
a,b .c 0

 
⇔ =
 
r r r
-
a
r
cùng phương
b a,b 0
 
⇔ =
 
r r r r
- Diện tích hình bình hành ABCD :
ABCD
S AB,AD
 
=
 
uuur uuur
- Diện tích tam giác ABC :
ABC
1
S AB,AC
2
 
=
 
uuur uuur
- Thể tích tứ diện ABCD :

ABCD
1
V AB,AC .AD
6
 
=
 
uuur uuur uuur
- Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D':
ABCD.A 'B'C 'D '
V AB,AD .AA'
 
=
 
uuur uuur uuuur
B. BÀI TẬP.
Bài 1. Cho tam giác ABC, biết A(2; 0; 1), B(1; -1; 2), C(2; 3; 1)
a) Tam giác ABC có góc A nhọn hay tù?
b) Tính chu vi tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho tam giác MBC vuông tại M.
Bài 2. Cho tam giác ABC biết A(3;4; -1), B(2; 0; 3), C(-3; 5; 4). Tính độ dài các cạnh tam giác ABC. Tính cosin
các góc A, B, C và diện tích tam giác ABC.
Bài 3. Cho 3 điểm A(3 ; 1 ; -1), B(-2 ; 2 ; 3), C(0 ; 3 ; 2)
GV HOA HOÀNG TUYÊN 1
CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
a. Xác định tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC
b. Xác định tọa độ điểm A' là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A
c. Gọi I là điểm chia đoạn HG theo tỉ số k = 3. Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 4. Cho 4 điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; a ; 0), C(0 ; 0 ; b), D(a ; a; b) với
0 a b

< ≤
.
a. Chứng minh AB vuông góc với CD
b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD
Bài 5 Cho 4 điểm A(-1; 2; 0), B(-3; 0; 2), C(0; 2; -1) và D(1; 4; 0). Chứng minh ABCD là một tứ diện. Tính thể
tích của nó.
Bài 6. Cho A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và
D Oy
∈
. Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 5. Tìm
tọa độ của D. Tìm tọa độ hình chiếu H của O lên mp(ABC)
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC, biết A(1; 2; -1), B(5; 0; 3), C(7; 2; 2),
A (ABC)S
⊥
,
( )S Oyz
∈
. Tìm tọa độ điểm S
Bài 8 Cho 2 điểm cố định A(1 ; 1; 0), B(0 ; 0 ; 1) và 2 điểm di động M(m ; 0 ; 0), N(0 ; n ; 0)
*
(m,n R )
+
∈
a) Tìm quan hệ giữa m, n để OA
⊥
MN
b) Tính thể tích của hình chóp B.OMAN
c) M, N di động sao cho m.n = 1. Tính m, n để V
B.OMAN
nhỏ nhất

Bài 9 Cho 4 điểm A(1 ; 1; 1), B(2 ; -1 ; 3), C(2 ; 1; 1) và D(3 ; 0 ; 2)
a. Chứng minh A, B, D, C đồng phẳng
b. Cho E(1 ; 3 ; 3). Chứng minh EA
⊥
(ABC). Tính thể tích tứ diện E.ABC
c. Tính khoảng cách từ B đến (ACE)
Bài 10. Cho 4 điểm A(2 ; -1 ; 3), B(1 ; 3 ; -2), C(-1 ; 2 ; 3) và D(0 ; m ; p). Xác định m và p để 4 điểm A, B, C, D
theo thứ tự tạo thành hình bình hành
Bài 11. Cho 2 điểm A(-2 ; 1 ; 2) và B(1 ; -2 ; 2)
a. Chứng minh OAB là tam giác vuông cân
b. Tìm M thuộc Ox nhìn đoạn AB dưới một góc vuông
c. Tìm tập hợp những điểm N thuộc mp(Oxy) nhìn đoạn AB dưới một góc vuông.
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
*
→→
≠
0n
là VTPT của mp(
α
) nếu:
( )n
α
→
⊥
Chú ý 1. Hai vectơ không cùng phương
→→
b,a
có giá chứa trong hoặc song song với (

α
). Khí đó:
,a b
→ →
 
 
 
là
vectơ pháp tuyến của (
α
)
Nhận xét: Một mp có vô số VTPT cùng phương với nhau.
2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (A
2
+ B
2
+ C
2

0
≠
)
+ Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = 0 thì có VTPT:
)C;B;A(n
=
→
+ Mặt phẳng qua M(x
0
; y
0

; z
0
) và có một VTPT là
)C;B;A(n =
→
thì có pt:
A(x - x
0
) + B(y - y
0
) + C(z - z
0
) = 0
+ Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) là:
1
c
z
b
y
a
x
=++
(phương trình theo đọan chắn)
+ MpOxy: z = 0 + Mp(Oyz): x = 0 + Mp(Ozx): y = 0
3) Khoảng cách từ
( )
0 0 0
; ;M x y z
đến (P) được tính theo công thức :
( )

0 0 0
2 2 2
Ax
;( )
By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
GV HOA HOÀNG TUYÊN 2
CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
3) Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mp (Ptrình chùm mặt phẳng):
Ax+By + Cz +D = 0 và A'x+B'y+ C'z + D'=0 là
m(Ax + By + Cz + D) + n( A'x + B'y + C'z + D') = 0 (m, n không đồng thời bằng 0)
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
LOẠI 1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG.
I. Phương pháp: Để viết phương trình của mặt phẳng (P) ta thường tìm 1 điểm
0 0 0
( ; ; ) ( )M x y z P∈
và 1 VTPT
( )
; ;n A B C
=
r
của mặt phẳng (P): khi đó (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z
− + − + − =

Nhận xét 1: Để tìm VTPT của mp ta thường sử dụng chú ý 1
Nhận xét 2. Cho (P): Ax + By + Cz + D = 0. Nếu (P)//(Q) thì (Q): Ax + By + Cz + D’ = 0
( )
'D D
≠
II. Bài tập.
Bài 1: Viết PT mp (P) qua A(-2 ; -1 ; 0) và song song với mp (Q): x - 3y + 4z + 5 = 0
Bài 2: Viết PT mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) Qua ba điểm A(1 ; -1; 2), B(2 ; 3 ; 0) và C(-2 ; 2 ; 2)
b) (P) Là mặt trung trực của AB
c) Qua C và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x + y - 2z = 0 và (R): x - z + 3 = 0
Bài 3: Cho A(1 ; -1 ; 3), B(3 ; 0 ; 1) và C(0 ; 4 ; 5)
a) Viết phương trình mp(ABC)
b) Viết phương trình mp qua O, A và vuông góc với (Q): x + y + z = 0
c) Viết phương trình của mặt phẳng chứa Oz và qua điểm P(2 ; -3 ; 5)
Bài 4. Trong không gian Oxyz, M(-4 ; -9 ; 12) và A( 2 ; 0 ; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, A và cắt
Oy, Oz lần lượt tại B và C sao cho OB = 1 + OC (B, C khác O)
Bài 5: Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua F(4 ; -3 ; 2) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng: (Q): x
- y + 2z - 3 = 0 và (T): 2x - y - 3z = 0
Bài 6. Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua E(3 ; 4 ; 1) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng:(R):
19x - 6y - 4z + 27 = 0 và (K): 42x - 8y + 3z + 11 = 0
Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x - 2y = 0,
(Q): 3x - 2y + z - 3= 0 và vuông góc với mặt phẳng: (R): x - 2y + z + 5 = 0
Bài 8. Cho hai mặt phẳng: (P): 2x - y + z = 0, Q): x - 3y + 2 = 0
a) Viết phương trình của mặt phẳng (
α
) qua giao tuyến của (P), (Q) và song song với Ox.
b) Viết phương trình mặt phẳng (
β
) qua giao tuyến của xOy và (Q) và tạo với 3 mặt phẳng tọa độ một tứ

diện có thể tích bằng
36
125
.
Bài 9. (ĐH- 2010D Phần riêng chương trình chuẩn). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) :
x + y + z – 3 = 0 ; (Q) : x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho
khoảng cách từ O tới (R) bằng 2.
Bài 10. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua G(-2 ; 3 ; 5) và cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho G là trọng tâm
của tam giác ABC (A, B, C không trùng với gốc tọa độ)
LOẠI 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
I. Phương pháp: Cho hai mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0. Khi đó:
- (P)//(Q)
' ' ' '
A B C D
A B C D
⇔ = = ≠
-
( ) ( )
' ' ' '
A B C D
P Q
A B C D
≡ ⇔ = = =
- (P) cắt (Q)
' '
A B
A B
⇔ ≠
hoặc
' '

B C
B C
≠
hoặc
' '
A C
A C
≠
Chú ý 2.
( ) ( ) AA' ' ' 0P Q BB CC
⊥ ⇔ + + =
II. Bài tập.
GV HOA HOÀNG TUYÊN 3
CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa các mặt phẳng cho bởi các phương trình sau :
1)
( ):2 1 0;( ) : 5 0P x y z Q x y z
− + − = − + − =
2)
( ) : 2 3 4 0;( ) : 2 4 6 3 0P x y z Q x y z
− + − = − + − + =
3)
1 3
( ) : 2 3 10 0;( ) : 5 0
2 2
P x y z Q x y z
− + − = − + − − =
Bài 2. Cho hai mặt phẳng
( )
( ) : 10 8 2 2 0P mx m y z

+ − − + =
;
2
( ): 2 4 0Q x m y z+ − − =
. Tìm m để
a)
( ) / /( )P Q
b) (P) cắt (Q)
LOẠI 3.CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN M. PHẲNG.
Bài 1. Tính khoảng cách từ các điểm M
1
(1;-3;4) , M
2
( 0;4 ;1) , M
3
( 2;-1;0 ) đến mặt phẳng
(α) : 2x –2y + z – 5 = 0
Bài 2. Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 1; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 1 = 0.
Bài 3. Cho (P): 2x + y – z – 2 = 0, (Q): -4x – 2y + 2z + 1 = 0.
a) Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).
b) Viết phương trình mp(R) song song và cách đều 2 mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 8. (ĐH- 2010B). Cho A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó b, c dương và mặt phẳng
(P): y – z +1 = 0. Xác định b và c, biết mp(ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến (ABC)
bằng
1
3
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1) Các dạng phương trình đường thẳng:
-Phương trình tham số:

0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= +


= +

, với
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
-Phương trình chính tắc:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
.
( )
1 2 3

. . 0a a a
≠
2) Vị trí tương đối, tìm giao điểm của hai đường thẳng:
Cho đường thẳng
1
∆
qua điểm
( )
1 1 1 1
; ;M x y z
có VTCP
( )
1 1 2 3
; ;u a a a=
ur
và đường thẳng
2
∆
qua điểm
( )
2 2 2 2
; ;M x y z
có VTCP
( )
2 1 2 3
; ;u b b b=
uur
. Khi đó:
-
1

∆
và
2
∆
đồng phẳng
1 2 1 2
; . 0u u M M
 
⇔ =
 
ur uur uuuuuur
-
1
∆
và
2
∆
cắt nhau
1 1 2 1
1 2 2 2
1 3 2 3
'
'
'
x a t x bt
y a t y b t
z a t z b t
+ = +



⇔ + = +


+ = +

có nghiệm duy nhất
0 0
( ; ')t t
hoặc
1 2 1 2
1 2
; . 0
; 0
u u M M
u u

 
=
 

 
≠

 

ur uur uuuuuur
ur uur r
. Khi
đó để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng thì thay t
0

và phương trình
1
∆
hoặc thay
'
0
t
vào phương trình
2
∆
-
1 2
/ /∆ ∆
1 2
;u u
⇔
ur uur
cùng phương và
1 2
M ∉∆
hoặc
1 2
1 2
; 0u u
M

 
=

 


∉∆


ur uur r
-
1 2
∆ ≡ ∆
1 2
;u u
⇔
ur uur
cùng phương và
1 2
M ∈∆
hoặc
1 2
1 2
; 0u u
M

 
=

 

∈∆


ur uur r

GV HOA HOÀNG TUYÊN 4
CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
-
1
∆
và
2
∆
chéo nhau
1 2
;u u
⇔
ur uur
không cùng phương và hệ
1 1 2 1
1 2 2 2
1 3 2 3
'
'
'
x a t x bt
y a t y b t
z a t z b t
+ = +


+ = +


+ = +


vô nghiệm hoặc
1 2 1 2
; . 0u u M M
 
≠
 
ur uur uuuuuur
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
LOẠI 1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
Bài 1: Lập phương trình của đường thẳng d đi qua M(2; 3; -6) và song song với đường thẳng
1
x 1 y 2 z
d :
3 1 1
− +
= =
Bài 2: Cho A(2; 3; 5) và mặt phẳng (P): 2x + 3y - 17 = 0
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P)
b) Tìm giao điểm của d với trục Oz.
Bài 3. Cho (d
1
) :
2
1
3 4
x t
y t
z t
= +



= − −


= +

;
2
1 2
( ):
13 4 11
x y z
d
− +
= =
−
và điểm A(1 ; 0 ; -3). Viết phương trình đường thẳng (d) qua
A vuông góc với (d
1
) và (d
2
).
Bài 4. Cho điểm A(2 ;1 ; -2), đường thẳng (d) :
1 1 3
2 1 3
x y z+ − −
= =
, mặt phẳng
( ) : 4 0P x y z

− − − =
. Viết phương
trình đường thẳng (d’) qua A, song song với (P) và vuông góc với đường thẳng (d)
Bài 5. Cho M(1 ; 1 ; -3) và đường thẳng
1 2
( ) : 2
3 3
x t
d y t
z t
= +


= −


= +

. Viết phương trình đường thẳng
( )
∆
qua M vuông góc và
cắt (d).
Bài 6. Cho (P) : x - 2y + z – 5 = 0, đường thẳng
( )
1 2
2
1 2
: 1 ;( ) :
2 1 3

3 2
x t
x y z
d y t d
z t
= −

− +

= − + = =


= +

. Viết phương trình đường
thẳng
( )
∆
chứa trong mp(P) và cắt (d
1
), (d
2
).
Bài 7. Cho A(2 ; -1 ; -1) đường thẳng
( )
1 2
1 2
: ; ( ): 1
1
x t x k

d y t d y k
z z k
= − =
 
 
= = +
 
 
= − =
 
. Viết phương trình đường thẳng (d) qua A
vuông góc với (d
1
) và cắt (d
2
).
Bài 8. Cho (P): x - y + z – 3 = 0, đường thẳng
1 2
( ) : 2
1 2
x t
d y t
z t
= − +


= −


= − +


. Viết phương trình đường thẳng
( )
∆
Chứa trong
(P) vuông góc với (d) và đi qua giao điểm của (P) với (d).
Bài 9. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
2
4z
1
3y
3
1x
+
=
+−
=
−
và song song với đường
thẳng d':
x 1 t
y 2 t
z 1 2t
= +


= +


= +



GV HOA HOÀNG TUYÊN 5
CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
Bài 10. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d:
x 1 t
y 2 t
z 1 2t
= +


= +


= +

và vuông góc với mp(Q): 2x - y - z = 0
Bài 11. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A(0;1;1), vuông góc với đường thẳng
1
x 1 y 2 z
d :
3 1 1
− +
= =
và cắt đường thẳng:
x 1 t
y 2 t
z 1 2t
= +



= +


= +

Bài 12. Lập phương trình đường thẳng d:
a) d qua A(1 ; 0 ; 3) và cắt hai đường thẳng: d
1
:
3
2z
1
1y
2
1x −
=
−
−
=
+
và d
2
:
3
2z
2
2y
1
x

−
−
=
+
=
−
b) d vuông góc với (P): x - y - z - 3 = 0 và cắt hai đường thẳng:
d
1
:
3
4z
2
3y
1
1x
−
=
+
=
−
và d
2
:
2
2z
1
1y
1
x

−
−
=
+
=
c) d là hình chiếu của
1
x 1 y 2 z
d :
3 1 1
− +
= =
xuống măt phẳng: (P): x - y - z + 4 = 0
Bài 13. Lập phương trình đường thẳng d qua A(2 ; -5 ; 6), cắt Ox và song song với mp(P): x + 5y - 6z = 0
Bài 14. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A(1 ; -2 ; 1) lên mp(P): x + 5y - 6z = 0
Bài 15 Lập phương trình tham số của đường thẳng d cắt hai đường thẳng:
1 2
1 3 3 1
: ; :
2 1 2 4 2 5
x y z x y z
+ − − −
∆ = = ∆ = =
− −
và song song với đường thẳng: d':
2
z
1
3y
2

1x
−
=
−
=
−
Bài 16. Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng:





+=
+=
−=





+−=
+−=
−=
t22z
t1y
t6x
:d;
t1z
t2y
t43x

:d
21
Bài 17 Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(-4 ; -2 ; 4), cắt và vuông góc với đường thẳng:
x 3 y 1 z 1
d':
2 1 4
+ − +
= =
−
Bài 18 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
1 2
1 3 3 1
: ; :
2 1 2 4 2 5
x y z x y z
+ − − −
∆ = = ∆ = =
− −
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa
1
∆
và song song với
2
∆
b) Cho điểm M(2 ; 1 ; 4). Tìm tọa độ điểm H
2
∈∆
sao cho độ dài MH nhỏ nhất.
Bài 19. Trong không gian cho hai điểm A(2 ; 3 ; 0), B(0 ; -
2

; 0) và đường thẳng d:
2
2z
1
1y
1
x
−
−
=
+
=
a) Lập phương trình mp(P) qua A và vuông góc với d.
b) Tìm tọa độ N thuộc mặt phẳng (Q): x - 2y + z - 3 = 0 sao cho NA + NB nhỏ nhất.
LOẠI 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Tìm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) trên đường thẳng (d) và VTCP
u
r
= ( a; b; c) của
GV HOA HOÀNG TUYÊN 6
CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ

(d). Tìm M’
0
(x’
0
;y’
0
;z’
0
) trên (d’) và VTCP
u '
ur
= ( a’; b’; c’) của (d’)
(d) và (d
’
) đồng phẳng ⇔
'
0 0
u,u' .M M 0
 
=
 
uuuuuur
r ur
(d) và (d’) cắt nhau ⇔
'
0 0
u,u' .M M 0
u,u' 0

 

=

 

 
≠

 

uuuuuur
r ur
r ur r
(d) // (d’) ⇔
0
u,u' 0
M (d)

 
=

 

∉


r ur r

(d) ≡ (d’) ⇔
0
u,u' 0

M (d)

 
=

 

∈


r ur r
(d) và (d’) chéo nhau ⇔
'
0 0
u,u ' .M M 0
 
≠
 
uuuuuur
r ur
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và của mặt phẳng:
Cho đường thẳng (d) qua M(x
0
;y
0
;z
0
), có VTCP
u
r

= ( a; b; c) và mặt phẳng (α ): Ax + By + Cz + D = 0 có
VTPT
n (A;B;C)
=
r
Cách 1. (d) cắt (α ) ⇔
n.u 0
≠
r r
⇔ Aa +Bb +Cc ≠ 0

0
n u
(d) / /( )
M ( )

⊥

α ⇔

∉ α


r r
⇔
0 0 0
Aa Bb Cc 0
Ax By Cz 0
+ + =



+ + ≠


(d) ( )
⊂ α
⇔
0
n u
M ( )

⊥


∈ α


r r
⇔
0 0 0
Aa Bb Cc 0
Ax By Cz 0
+ + =


+ + =

Cách 2. Xét hệ phương trình
0
0

0
(*)
Ax 0
x x at
x y bt
x z ct
By Cz D
= +


= +


= +


+ + + =

- Nếu (*) vô nghiệm thì
(d) / /( )
α

- Nếu (*) có nghiệm đúng với mọi t thì
(d) ( )
⊂ α
- Nếu (*) có nghiệm duy nhất
( )
0 0 0
; ;x y z
thì (d) cắt (α ) và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm.

Một số lưu ý:
1) Khi (d) cắt (
α
) để tìm tọa độ giao điểm của (d) và (
α
) ta giải hệ gồm các phương trình của (d) và (
α
)
2) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (
α
)
- Viết phương trình đường thẳng (
∆
) đi qua điểm M và (
∆
)
⊥
(
α
)
- Tìm giao điểm của (
∆
) với (
α
) đó là điểm cần tìm.
3) Tìm điểm M’ đối xưng với điểm M qua mặt phẳng (
α
)
- Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (
α

) .
- M’ đối xứng với M qua (
α
)
⇔
H là trung điểm đoạn MM’.
4) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường đương thẳng (d).
- Viết phương trình mặt phẳng (
α
) qua M và (
α
)
⊥
(d).
- Tìm giao điểm của (
α
) với (d) , đó là tọa độ H cần tìm.(còn cách 2 )
5) Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d) .
GV HOA HOÀNG TUYÊN 7
CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
- Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d).
- M’ đối xứng với M qua (d)
⇔
H là trung điểm đoạn MM’.
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm :
a) d:
zy
x
=+=

−
2
3
1
và d’
x 1
y t
x 1 t
= −


=


= +

b) d:
x 1 2t
y t
z 1 t
= −


=


= − −

và d’:
x 2 y z 3

7 5 1
− +
= =
− −
c) d:
3
3
6
2
9
1
−
=
−
=
−
zyx
và d’:
2
5
4
6
6
7 −
=
−
=
− zyx

Bài 2. Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng sau, nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm của

chúng:
a) d:
4
3
1
2
2
1
−
+
=
−
=
−
zyx
và (α) : 4x + 2y – 8z +2 = 0 b) d:
1
3
1
2
2
1
−
+
=
+
=
− zyx
và (α) : 2x + y – z –3 = 0
c) d:






+=
+=
+=
tz
ty
tx
1
39
412
(α) : 3x + 5y – z – 2 = 0
Bài 3. Cho điểm M(2; 1; 4) và đường thẳng (d) :.
x 1 t
y 2 t
z 1 2t
= +


= +


= +

a) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d). b) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (d).
Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho N( 2; -3; 1 ) và mặt phẳng (α) : x + 2y – z + 4 = 0.
a) Tìm hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng . b) Tìm điểm N’ đối xứng với N qua (α).

Bài 5. Cho mặt phẳng (α) : 2x + y + x – 2 = 0 và đường thẳng (d) :
3
2
12
1
−
+
==
−
zyx
.
a) Chứng minh (d) cắt (α) b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d) với (α).
c) Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mp(P).
Bài 6. Cho (d) :
x 1 y 2 z 3
m 2m 1 2
− + +
= =
−
, (α) : x +3y – 2z – 5 = 0. Định m để:
a). (d) cắt (α) b). (d) // (α) c). (d) ⊥ (α).
Bài 7. Cho
1
1 2 4
( ) :
2 1 3
x y z
d
− + −
= =

−
và
( )
2
x 1 t
d y t
z 2 3t
= +


= −


= − +

.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) cắt nhau.
b) Lập phương trình tổng quát của mp(P) chứa (d
1
) và (d
2
)
Bài 8. Cho
( )
1
x 3 2t

d y 1 t
z 5 t
= +


= −


= −

và
( )
2
x 3 4k
d y 3 2k
z 1 2k
= −


= − +


= −

.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) song song

b) Lập phương trình tổng quát của mp(P) chứa (d
1
) và (d
2
)
Bài 9. Cho
( )
1
x 1
d y 4 2t
z 3 t
=


= − +


= +

và
( )
2
x 3 3k
d y 1 2k
z 2
= −


= +



= −

.
a)Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau. b)Viết phương trình đường vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
)
GV HOA HOÀNG TUYÊN 8
CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
BÀI 3. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Khoảng cách từ M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mp (α): Ax + By + Cz = 0 là:
( )
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
d M ,( )

A B C
+ + +
α =
+ +
2. Khoảng cách từ điểm M
1
đến đt
∆
đi qua M
0
và có vectơ chỉ phương
u
r
là:
( )
0 1
1
M M ,u
d M ,
u
 
 
∆ =
uuuuuur r
r
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
∆
và
∆
' trong đó:

∆
đi qua điểm M
0
và có vectơ chỉ phương
u
r
,
∆
' đi qua điểm M
0
' và có vectơ chỉ phương
u '
ur
( )
0 0
u,u ' .M M '
d , '
u,u '
 
 
∆ ∆ =
 
 
r ur uuuuuuur
r ur
4. Góc giữa hai mặt phẳng: Cho
( )
1 1 1 1
: 0P A x B y C z D
+ + + =

và
( )
2 2 2 2
: 0Q A x B y C z D
+ + + =
. Khi đó góc giữa (P)
và (Q) là
α
xác định bởi:
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
os
.
.
n n
A A B B C C
c
n n
A B C A B C
α
+ +
= =
+ + + +
ur uur
ur uur
với

1 2
,n n
ur uur
là 2 VTPT của(P)và (Q).
Chú ý:
0 0
0 90
α
≤ ≤
nên dấu giá trị tuyệt đối trong công thức là bắt buộc.
B. BÀI TẬP.
Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng ∆:
3
1
2
1
1
2
−
+
=
−
=
+
zyx

Bài 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
(∆
1
):

1
1
12
1
−
−
=
−
=
+
zyx
và (∆
2
):
1
3
1
2
1
1
−
−
=
+
=
−
zyx
Bài 3. Tìm trên Oz điểm M cách đều điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 = 0
Bài 4. Cho đường thẳng (d):
x 1 2t

y 2 t
z 3t
= +


= −


=

và mặt phẳng (α) : 2x – y – 2z +1 = 0.
Tìm các điểm M ∈ (d) sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 3
Bài 5. Cho hai đường thẳng (d
1
):
5
4
3
3
2
2
−
+
=
−
=
− zyx
và (d
2
):

1
4
2
4
3
1
−
−
=
−
−
=
+
zyx

Tìm hai điểm M, N lần lượt trên (d
1
) và (d
2
) sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất.
Bài 6. (ĐH 2003-B) Cho A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho
(0;6;0)AC
=
uuur
. Tính khoảng cách từ trung điểm I
của BC đến đường thẳng OA.
Bài 7. (ĐH- 2005A). Cho đường thẳng
( )
1 3 3
:

1 2 1
x y z
d
− + −
= =
−
và mp(P): 2x + y -2z + 9 = 0.
a) Tìm điểm
I d
∈
sao cho khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2
b) Tìm A là giao điểm của mp(P) và (d). Viết phương trình tham số của đường thẳng
∆
nằm trong mp(P),
biết
∆
qua A và vuông góc với d.
Bài 8. (Dự bị ĐH- 2006D). Cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3)
a) Viết phương trình đường thẳng d qua O và vuông góc với mp(ABC).
b) Viết phương trình mp(P) chứa OA sao cho khoảng cách từ B đến mp(P) bẳng khoảng cách từ C đến
mp(P)
Bài 9. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 5) và song song với mp 2x - y + z – 17 = 0 và mặt phẳng (Q)
qua điểm B(1; -2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0). Tính góc hợp bởi (P) và (Q).
Bài 10. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz và tạo với
( )
: 2 5 0Q x y z+ − =
một góc 60
0
.
GV HOA HOÀNG TUYÊN 9

CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b; c), bán kính R:
+
2 2 2 2
(S) : (x a) (y b) (z c) R
− + − + − =
+Phương trình: x
2
+ y
2
+ z
2
-2ax -2by -2cz + d = 0 với a
2
+ b
2
+c
2
- d > 0 là phương trình mặt cầu tâm
I(a ; b; c), bán kính
2 2 2
R a b c d= + + −
2) Giao của mặt cầu và mặt phẳng - Phương trình đường tròn:
Cho mặt cầu
2 2 2 2
(S): (x a) (y b) (z c) R
− + − + − =
với tâm I(a ; b; c), bán kính R và mặt phẳng

(P): Ax + By + Cz + D = 0.
+ d(I, (P)) > R: (P) và (S) không có điểm chung
+ d(I, (P)) = R: (P) tiếp xúc (S)tại H ( H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P) )
+ d(I, (P)) < R: (P) cắt (S) theo đường tròn có tâm H là hình chiếu của I xuống (P), bán kính
2 2
r R d
= −
( H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P) )
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C):
2 2 2
2x 2y z 9 0
x y z 6x 4y 2z 86 0
− − + =


+ + − + − − =

Bài 2: Cho (S): x
2
+ y
2
+ z
2
-2mx + 2my -4mz + 5m
2
+ 2m + 3 = 0
a) Định m để (S) là mặt cầu. Tìm tập hợp tâm I của (S)
b) Định m để (S) nhận mặt phẳng (P): x + 2y + 3 = 0 làm tiếp diện
c) Định m để (S) cắt d:

x t 5
y 2t
z t 5
= +


=


= − +

tại hai điểm A, B sao cho
AB 2 3
=
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc Ox và tiếp xúc với hai mặt phẳng (Oyz)
và (P): 2x + y - 2z + 2 = 0.
Bài 4. Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz, cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;1), C(1;6;-1),
D(-1;6;2)
a. CMR: ABCD là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau. b. Tính khoảng cách giữa AB và CD.
c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 5. Cho điểm I(1;2;-2) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 5 = 0.
a. Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao của (S) và mp (P) là đường tròn có chu vi bằng
π
8
b. CMR. Mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng (Δ): 2x – 2y = 3 – z
c. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (CMN).
Bài 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng (d
1
) (d
2

) có phương trình
( )





=
=
=
4
2
:
1
z
ty
tx
d

( )



=−++
=−+
012344
03
:
2
zyx

yx
d
a. CMR: (d
1
) và (d
2
) chéo nhau. b. Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
c. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
Bài 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song có phương trình
tương ứng là:
( )
0122:
1
=−+−
zyxP

( )
0522:
2
=++−
zyxP
Và điểm A(-1;1;1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó. Gọi (S) là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt

phẳng (P
1
), (P
2
)
a.CMR: Bán kính của hình cầu (S) là một hằng số và tính bán kính đó.
b.Gọi I là tâm hình cầu (S). CMR: I thuộc một đường tròn cố định xác định tâm và tính bk đường tròn đó.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
GV HOA HOÀNG TUYÊN 10
CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
Bài 1. (ĐH-2007D). Cho A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng (d):
x 1 y 2 z
1 1 2
− +
= =
−
a) Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mp(OAB)
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc
∆
sao cho: MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất
Bài 2. (ĐH-2007B). Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2

+ z
2
- 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mp (P): 2x – y + 2z – 14 = 0
a) Viết phương trình mp (Q) chứa Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất
Bài 3. (ĐH-2007A). Cho hai đường thẳng
1
x y 1 z 2
d :
2 1 1
− +
= =
−
và
2
x 1 2t
d : y 1 t
z 3
= − +


= +


=

a) Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt cả hai đường
thẳng d
1

, d
2
.
Bài 4. (ĐH-2008A). Cho A(2;5;3) và đường thẳng d:
x 1 y z 2
2 1 2
− −
= =
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d
b) Viết phương trình mp (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất
Bài 5. (ĐH-2005B). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0); C
1
(0;0;4)
a) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mp(BCC
1
B
1
)
b) Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song với BC
1

. Mặt
phẳng (P) cắt A
1
C
1
tại N. Tính độ dài MN
Bài 6. (ĐH-2010D)
1. Chương trình Chuẩn: Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – 3 =0 và (Q): x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt
phẳng (R ) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng các htu72 O đến (R) bằng 2.
2. Chương trình Nâng cao: Cho hai đường thẳng
1
x 3 t
d : y t
z t
= +


=


=

và
2
x 2 y 1 z
d :
2 1 2
− −
= =
. Xác định tọa độ điểm M

thuộc d
1
sao cho khoảng cách từ M đến d
2
bằng 1
Bài 7. (ĐH-2010A)
1. Chương trình Chuẩn: Cho đường thẳng
x 1 y 2 z 3
:
2 3 2
− − +
∆ = =
và mặt phẳng (P): x – 2y + z = 0. Gọi C là
giao điểm của
∆
và (P), M là điểm thuộc
∆
. Tính khoảng cách từ M đến (P) biết MC =
6
2. Chương trình Nâng cao: Cho A(0;0;-2) và đường thẳng
x 2 y 2 z 3
:
2 3 2
+ − +
∆ = =
. Tính khoảng cách từ A đến
∆
. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt
∆
tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.

Bài 8. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3;2;1) cắt và vuông góc với đường thẳng (Δ) có phương trình:
1
3
42
+
==
zyx
Bài 9. Cho (P):
012
=−++
zyx
và
( )
3
2
2
1
:
−
+
==
−
z
y
x
d
. Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của (d)
và (P) vuông góc với (d) và nằm trong (P).
Bài 10. Cho A(2;-1;1) và
( )




=+−−
=−+
∆
022
04
:
zyx
zy
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với (Δ).
b) Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua (Δ).
GV HOA HOÀNG TUYÊN 11
CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
Bai 11. Cho
( )
1
: 9 2
12
x t
d y t
z t
= +


= − +


= −


và
( )
3
6
1
2
2
5
:
−
=
−
=
−
∆
zyx
a) CMR: (d) và (Δ) thuộc một mặt phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng đó.
c. Viết phương trình hình chiếu song song của (d) theo (Δ) lên mặt phẳng (P)
01223
=−−−
zyx
Bài 12. Cho
( )
3
1
2
1
7

3
:
1
−
=
−
=
−
−
∆
zyx
;
( )
1
9
2
3
1
7
:
−
−
=
−
=
−
∆
zyx
a) Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng (Δ
3

) đối xứng với (Δ
2
) qua (Δ
1
) b) Viết phương
trình chính tắc của đường phân giác góc A.
Bài 13. Cho A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng
01783
=−+−
zyx
a) Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)
b) Tìm toạ độ
( )
PC
∈
sao cho tam giác ABC đều.
Bài 14. Cho các điểm A(-2;1;0), B(-2;0;1), C(1;-2;-6), D(-1;2;2)
a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D lập thành tứ diện.
b). Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
c). Viết phương trình mặt phẳng (ABC), (BCD). Viết phương trình tham số của CD.
d) Viết phương trình đường thẳng qua d qua A vuông góc với (BCD).
e) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (BCD)
f). Tính khoảng cách giữa AB và CD.
g) Tìm trên CD một điểm I sao cho I cách đều (ABC) và (ABD).
Bài 15. Cho A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C. Chứng minh rằng O cũng nằm trên mặt phẳng (P).
b) Chứng minh rằng tứ giác OABC là hình chữ nhật, tính diện tích hình chữ nhật.
c) Tính thể tích hình chóp S.OABC biết S(9;0;0).
Bài 16. Cho A(1;3;-2), B(13;7;-4) và
( )

0922:
=−+−
zyx
α
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
α
. Xác định H.
b) Cho K(5;-1;1). CMR: A, I, K, H tạo thành tứ diện. Tính thể tích tứ diện.
Bài 17. Cho mặt phẳng (P): 16x – 15y – 12z + 75 =0
a) Lập phương trình mặt cầu (S) tâm là gốc toạ độ O, tiếp xúc với mặt phẳng (P).
b) Tìm toạ độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S).
c) Tìm điểm đối xứng của gốc toạ độ O qua mặt phẳng (P).
GV HOA HOÀNG TUYÊN 12