Nghiên cứu động lực học của dầm kép có vết nứt chịu tác dụng của tải trọng di động phục vụ cho việc giám sát kết cấu





























LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC KỸ THUẬT

ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀNỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CỦA DẦM KÉP CÓ VẾT NỨT
CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG
PHỤC VỤ CHO VIỆC GIÁM SÁT KẾT CẤU
Hà Nội - 2014
BÙI TUẤN ANH













LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC KỸ THUẬT
NGÀNH: CƠ HỌC KỸ THUẬT
CHUYÊN NGÀNH: CƠ KỸ THUẬT
MÃ SỐ: 60520101

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VIỆT KHOA



ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀNỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CỦA DẦM KÉP CÓ VẾT NỨT
CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG
PHỤC VỤ CHO VIỆC GIÁM SÁT KẾT CẤU
Hà Nội - 2014
BÙI TUẤN ANH
1
LỜICAMĐOAN
Tôixincamđoan:Luậnvăn:“Nghiên cứu động lực học của dầm kép có vết
nứt chịu tác dụng của tải trọng di động phục vụ cho việc giám sát kết cấu”
làcôngtrìnhnghiêncứucủariêngtôivớisựhướngdẫncủaTS.NguyễnViệt
Khoa.
Cácsốliệunêuravàtríchdẫntrongluậnvănlàtrungthực,khôngphảilàsao
chéptoànvăncủabấtkỳtàiliệu,côngtrìnhnghiêncứunàokhácmàkhôngchỉ
rõtrongtàiliệuthamkhảo.
Hà Nội, ngày 9 tháng 10 năm 2014
Tác giả luận văn


Bùi Tuấn Anh
















2
LỜICẢMƠN
LờiđầutiêntôixinbàytỏlòngbiếtơnsâusắctớiTS.NguyễnViệtKhoa–cán
bộhướngdẫn.Thầyđãtậntìnhchỉbảovàgiúpđỡtôirấtnhiềutrongsuốtquá
trìnhlàmluậnvăn.Nhờđó,tôiđãhọctậpđượcrấtnhiềukiếnthứcbổích.Thầy
đãtruyềnchotôiniềmsaymêcũngnhưphươngphápnghiêncứukhoahọcvà
nhữngkinhnghiệmvôcùngquýgiá.Tôixinchânthànhcảmơncáccánbộcủa
KhoaCơhọckỹthuật–ĐạihọcCôngNghệđãtạomọiđiềukiệnthuậnlợivà
giúpđỡtôitrongsuốtquátrìnhhọctậpvàhoànthànhluậnvăn.
Cuốicùng,tôixincảmơngiađình,bạnbèvàngườithânvềsựđộngviên,khích
lệtinhthầntrongsuốtquátrìnhhọctậpcũngnhưthựchiệnđềtàinày.
Hà Nội, ngày 9 tháng 10 năm 2014
Tác giả luận văn


Bùi Tuấn Anh














3
MỤCLỤC
MỞĐẦU 7

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG CỦA HỆ DẦM KÉP CÓ
VẾTNỨTDƯỚITÁCĐỘNGCỦAXEDICHUYỂN 8

1.1.

Dao động của hệ dầm kép dưới tác động của xe di chuyển, bỏ qua độ
mấp mô của mặt dầm 8

1.2.

Dao động của hệ dầm kép dưới tác động của xe di chuyển có xét đến độ
mấp mô của mặt dầm 10

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ PHƯƠNG PHÁP
NEWMARK 12

2.1.

Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn 12

2.2.

Rời rạc hóa kết cấu dầm và xác định các ma trận phần tử 13

2.3.

Xác định ma trận khối lượng, độ cứng của phần tử dầm có vết nứt 17

2.4.

Ghép nối các ma trận phần tử thành ma trận tổng thể của dầm. 19

2.5.

Áp đặt điều kiện biên 23

2.6.

Xác định ma trận cản Rayleigh 24

2.7.

Phương pháp giải bài toán động lực học dầm của Newmark 24

CHƯƠNG3:CƠSỞLÝTHUYẾTCỦABIẾNĐỔIWAVELET 26

3.1.

Biến đổi wavelet liên tục và biến đổi ngược của nó 26

3.2.

Biến đổi wavelet rời rạc và biến đổi ngược của nó 27

3.3.

Ví dụ áp dụng biến đổi wavelet phát hiện sự thay đổi đột ngột của tín
hiệu ………………………………………………………………………….28

CHƯƠNG4:MÔPHỎNGSỐVÀBIỆNLUẬN 31

4.1.

Ảnh hưởng của độ cứng và hệ số cản của môi trường đàn hồi giữa hai
dầm ………………………………………………………………………….31

4.2.

Ảnh hưởng đồng thời của biên độ và chiều dài mấp mô tới chuyển vị của
hệ dầm 32

4.3.

Ảnh hưởng đồng thời của biên độ mấp mô và vận tốc của xe tới chuyển
vị của hệ dầm 33

4.4.

Ảnh hưởng đồng thời của chiều dài mấp mô và vận tốc của xe tới chuyển
vị của hệ dầm 36

4
4.5.

Ảnh hưởng đồng thời của chiều dài mấp mô và vị trí vết nứt trên dầm
chính tới chuyển vị của hệ dầm 38

4.6.

Xác định vị trí vết nứt 40

4.6.1.

Mặtdầmbằngphẳng 40

4.6.2.

Mặtdầmmấpmô 42

KẾTLUẬN 45

TÀILIỆUTHAMKHẢO 46

DANHMỤCCÁCCÔNGTRÌNHĐÃCÔNGBỐ 48

PHỤLỤC:CHƯƠNGTRÌNHMÁYTÍNH 55





















5
DANHMỤCCÁCBẢNG
Bảng1:Ảnhhưởngcủaβ
m
và ζ
m
tớichuyểnvịlớnnhấtcủadầmchính(đơnvị:
mm) 31

Bảng2:Ảnhhưởngcủaβ
m
và ζ
m
tớichuyểnvịlớnnhấtcủadầmphụ(đơnvị:
mm) 32
























6
DANHMỤCCÁCHÌNHVẼ
Hình1.1.Môhìnhhệdầmképvàxe,bỏquađộmấpmôcủamặtdầm. 8

Hình1.2.Môhìnhhệdầmképvàxe,cóxétđếnđộmấpmôcủamặtdầm. 11

Hình2.1.Rờirạchóakếtcấu 13

Hình2.2.Chuyểnvịtạinútcủaphầntửdầm 13

Hình2.3.Biếndạngcủaphầntửdầmchịuuốn 14

Hình2.5.Môhìnhdầmcóvếtnứt 17

Hình3.1.Tínhiệuf(t)vớimộtxungnhỏẩnởđiểm150ms 29

Hình3.2.Biếnđổiwaveletliêntụccủatínhiệuf(t) 29

Hình3.3.Biếnđổirờirạccủatínhiệuf(t) 30
Hình4.1.Chuyểnvịcủađiểmchínhgiữadầmchínhkhiv=10m/s 33

Hình4.2.Chuyểnvịcủađiểmchínhgiữadầmphụkhiv=10m/s 33

Hình4.3.Chuyểnvịcủađiểmchínhgiữadầmchínhkhil
m
=1,34m 34

Hình4.4.Chuyểnvịcủađiểmchínhgiữadầmphụkhil
m
=1,34m 34

Hình4.5.Chuyểnvịcủađiểmchínhgiữadầmchínhkhil
m
=10m 35

Hình4.6.Chuyểnvịcủađiểmchínhgiữadầmphụkhil
m
=10m 35

Hình4.7.Chuyểnvịcủađiểmchínhgiữadầmchínhkhid
m
=0,1m 36

Hình4.8.Chuyểnvịcủađiểmchínhgiữadầmphụkhid
m
=0,1m 36

Hình4.9.Chuyểnvịcủađiểmchínhgiữadầmchínhkhid
m
=0,3m 37

Hình4.10.Chuyểnvịcủađiểmchínhgiữadầmphụkhid
m
=0,3m 37

Hình4.11.Chuyểnvịcủađiểmchínhgiữadầmchínhkhid
m
=0,5m,α =0,107,
độsâuvếtnứt30% 39

Hình4.12.Chuyểnvịcủađiểmchínhgiữadầmphụkhid
m
=0,5m,α =0,107,độ
sâuvếtnứt30% 39

Hình4.13.Chuyểnvịcủahaidầmvớiv =2m/s,mặtdầmbằngphẳng. 40

Hình4.14.BiếnđổiWaveletchuyểnvịcủadầmchính,vớivậntốcv=2m/s. 41

Hình4.15.BiếnđổiWaveletchuyểnvịcủadầmphụ,vớivậntốcv=2m/s. 42

Hình4.16.Chuyểnvịcủahaidầmvớiv=2m/s,mặtdầmmấpmô. 43

Hình4.17.BiếnđổiWaveletchuyểnvịcủadầmchính,vớivậntốcv=2m/s. 43

7
MỞ ĐẦU
Kếtcấudầmcóvaitròrấtquantrọngtrongkỹthuật,đặcbiệtlàtrongcácngành
cơkhí,xâydựng.Kếtcấudầmđơnđãđượcquantâmnghiêncứurấtnhiều.Tuy
nhiênkếtcấudầmképvẫnchưađượcnghiêncứuđầyđủ.Cácnghiêncứutrước
đây vềkết cấudầmképvẫncònrất nhiềuhạnchế. Z.Oniszczukđã có nhiều
nghiêncứucảvềhệtấmkép[4],dầmkép[1]vàdâykép[8,9].Trongnghiên
cứuvềdaođộngcưỡngbứccủahaitấmmỏnghìnhchữnhật[4],liênkếtvới
nhaubằngmôitrườngđànhồi,chịutảitrọngphânbốtùyý,tácgiảnàyđãđưa
rađượcnghiệmgiảitíchtổngquátnhưngchưagiảiđượckhithayđổiđiềukiện
biênhoặcxétđếntảitrọngđộng.Tươngtựnhưvậy,trongnghiêncứuvềhệdầm
kép[1],tácgiảmớinghiêncứudaođộngtựdocủahệmàchưaxétđếntảitrọng
độngvàcácloạitảitrọngkhác.Còntrongnghiêncứuvềdaođộngcủahệhai
dâyliênkếtvớinhaubằng môitrườngđànhồi[8,9],chịutảitrọngphânbố,
phươngtrìnhdaođộngcủadâykhácvớiphươngtrìnhdaođộngcủadầm.H.
ErolvàM.Gürgöze[10]đãnghiêncứudaođộngdọctrụccủahệthốnghaidầm
consonliênkếtvớinhaubằngmôitrườngđànhồi.Nhưngđểgiảihệphương
trìnhdaođộng,cáctácgiảđãgiảthiếthaidầmcóđộcứnggiốngnhau.Dođó
làm cho nghiên cứu không còn mang tính tổng quát. H. V. Vu và các đồng
nghiệp[3]đãnghiêncứudaođộngcưỡngbứccủahệdầmkép,nhưngtácgiả
cũngphảigiảthiếthaidầmcóđộcứnggiốngnhauđểgiảihệphươngtrìnhdao
động.Nhưvậy,đasốcácnghiêncứutrênđềuchủyếutậptrungvàonghiêncứu
cáchệdầmképbaogồmhaidầmgiốnghệtnhaudosựkhókhăncủaviệcgiải
cácphươngtrìnhdaođộngcủahệdầmképgồmhaidầmkhácnhau.Trongkhi

đó,cáckết cấuđược cấutạotừ hệhai dầm képvới haidầmkhácnhauchưa
đượcquantâmnhiều.Đểgiảibàitoánphứctạplàdầmképđượccấutạotừhai
dầmkhácnhauthìphươngphápphầntửhữuhạnlàmộtgiảiphápkhảdĩthay
cholờigiảigiảitích.Ngoàiracácnghiêncứuvềdầmképhiệnnàyhầuhếtchỉ
dừnglạiđốivớicácdầmnguyênvẹn,cònđốivớidầmképcóvếtnứt,theohiểu
biếttốtnhấtcủatácgiảluậnvănnày,thìhiệnvẫnchưacótácgiảkhácnghiên
cứu.
Vìnhữnglýdokểtrên,tácgiảcủaluậnvănnàyđềxuấtmộtnghiêncứuvềđộng
lựchọckếtcấucủahệdầmképcóvếtnứtchịutácđộngcủatảitrọngdiđộng.
Trongnghiêncứunàyhệdầmképđượccấutạobởihaidầmkhácnhau.Bàitoán
độnglựchọccủahệdầmképnàyđượcmôhìnhhóabằngphươngphápphầntử
hữu hạn và giải bằng phương pháp Newmark. Nghiên cứu này xét đến ảnh
hưởngcủavếtnứtđếndaođộngcủahệdầmképvàsửdụngbiếnđổiwaveletđể
phântíchdữliệudaođộngcủahệdầmnhằmpháthiệnvịtrívếtnứt.
8
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG CỦA HỆ DẦM KÉP CÓ
VẾT NỨT DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA XE DI CHUYỂN
1.1. Dao động của hệ dầm kép dưới tác động của xe di chuyển, bỏ qua độ mấp
mô của mặt dầm
Môhìnhhệdầmképvàxeđượcthểhiệntronghình1.1.Trongđóxeđượcmô
hìnhhóagồmlốpvàthânxelànhữngvậtthểcứngtuyệtđối.Xedichuyểnđều
vớivậntốcv.Độmấpmôcủamặtdầmđượcbỏquavàgiảthiếtbánhxeluôn
tiếp xúc với mặt dầm. Hệ dầm kép gồm 2 dầm liên kết với nhau bằng môi
trườngđànhồi.
X
Y
L
D
1
D

2
E
1
,I
1
,

1
E
2
,I
2
,

2
x

k
m
c
m

c
1
k
1
m
2
m
1

v
u
0
y
1

Hình1.1.Môhìnhhệdầmképvàxe,bỏquađộmấpmôcủamặtdầm.
Phươngtrìnhdaođộngcủaxe:
1 1 1 1 0 1 1 0
0m y +c (y -u )+k (y -u )=
  
(1.1)
Phươngtrìnhdaođộngcủadầmchính[14]:
 
 
* *
1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 0
T
M D C D K D K D D C D D N
m m
f
      
   
(1.2)
 
0 1 2 1 1 2 0
f = m +m g-m y -m u
 
(1.3)
Phươngtrìnhdaođộngcủadầmphụ[14]:

 
 
* *
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1m m n
      
   
M D C D K D K D D C D D 0
(1.4)
Trongđóm
1
,m
2
làkhốilượngthânxevàlốp;k
1
vàc
1
làđộcứngvàcảnnhớt
củaliênkếtgiữathânxevàlốpxe;y
1
làchuyểnvịtheophươngthẳngđứngcủa
thânxe;u
0
làchuyểnvịtheophươngthẳngđứngcủalốpxevàbằngchuyểnvị
theophươngthẳngđứngcủadầmchínhtạivịtrítiếpxúcvớilốpxe.M
1
,C
1
,K
1


9
làmatrậnkhốilượng,matrậncảnRayleighvàmatrậnđộcứngcủadầmchính.
M
2
,C
2
,K
2
làmatrậnkhốilượng,matrậncảnRayleighvàmatrậnđộcứngcủa
dầmphụ.C
m
,K
m
làmatrậncảnvàmatrậnđộcứngcủamôitrườngliênkết
giữahaidầmđượcxácđịnhtheocôngthứcsau:
 
 
1
*
1
1
*
1
m m
m m
k d
c d
X
L








T
T
K N N
C N N
 
 


(1.5)
D
1
vàD
2
làvectochuyểnvịnútcủadầmchínhvàdầmphụ.f
0
làđộlớncủalực
tácdụnglêndầmchính;N
T
làmatrậnchuyểncủahàmdạngtạivịtrícủalựcf
0
.
Tacómốiquanhệgiữau
0
vàD

1
là:
0 1
u =
ND
(1.6)
Cácđạohàmtheothờigiancủau
0
là:
0
( )
u u
u x,t = x+
x t
 
 
 
(1.7)
2 2 2
2
0
2 2
( )
u u u u
u x,t = x +2 x+ x+
x x t x t
   
    
   
(1.8)

Giảthiếtxechuyểnđộngđềunên:ẍ=0
Vậyphươngtrình(1.8)đượcviếtlạinhưsau:

2 2 2
2
0
2 2
( )
u u u
u x,t = x +2 x+
x x t t
  
   
  
(1.9)
VìNlàhàmphụthuộcx,Dphụthuộctnên:
2 2 2
x 1 xx 1 x 1 1 1
2 2
; ; ; ;
u u u u u
= = =
x x x t t t
    
 
     
N D N D N D ND ND
  
(1.10)
Vậycácđạohàmcủau

0
bằng:
0 x 1 1
( )u x,t = x+
N D ND

 
(1.11)
2
0 xx 1 x 1 1
( )u x,t = x +2 x+
N D N D ND
 
  
(1.12)
Thay(1.12)vàophươngtrình(1.4)tađược:
10
 
 
2
0 1 2 1 1 2 xx 1 x 1 1
f = m +m g-m y -m x +2 x+
 
  
N D N D ND
(1.13)
Thay(1.13)vàophươngtrình(1.2)tađược:
     
 
 

 
2
1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1
* *
1 2 1 2 1 2
2
x xx
m m
m m y m x m x
m m g
      
    
 
  
 
T T T T
T
M N N D N C N N D K N N D
K D D C D D + N
(1.14)
Thay(1.11)vàophươngtrình(1.1)tađược:
 
1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1
- - 0m y c +c y c x k +k y =
 

  
ND N N D
(1.15)
Kếthợp(1.4)(1.14)và(1.15)tađượcphươngtrìnhsau:

1 1
1 1 1 1 1 1
* * * *
1 1 1 1 1 1
* *
1 2 1 2
2 2
1 1 1 1
* * *
1 1
* *
1 2
.
. . .
n n n
T
n n n m m
n n n n m m
x n
n m m
n m m
y y
m c c
m
k c x k
  
 
  




   

   
   
   
      
   
   
   
   
 
   
   
 
 
 
   
 

 
 
 
 
 

0 0 N 0
N M M 0 D 0 C C C C D
0 0 M 0 C C C
D D

N N 0
0 K K K K
0 K K K
1
1 1 2
2 1
0
( ). .
T
n
y
m m g

 
 
 
 
  
 
 

 
 
 
 
D N
D 0
(1.16)
Trongđó:
* * * 2

2 2 2
; 2 ;
T T T
x xx
m m x m x  
M N N C N N K N N
 
(1.17)
1.2. Dao động của hệ dầm kép dưới tác động của xe di chuyển có xét đến độ
mấp mô của mặt dầm
Môhìnhhệdầmképvàxeđượcthểhiệntronghình1.2.Trongđóxeđượcmô
hìnhhóagồmlốpvàthânxelànhữngvậtthểcứngtuyệtđối.Xedichuyểnđều
với vận tốc v. Giả thiết độ mấp mô của mặt cầu được mô tả bằng hàm
 
m
m
2
1 cos
2
d X
r X
l
 
 
 
 
 
 
 


vàbánhxeluôntiếpxúcvớimặtdầm.Hệdầmkép
gồm2dầmliênkếtvớinhaubằngmôitrườngđànhồi.
11
X
Y
L
D
1
D
2
E
1
,I
1
,

1
E
2
,I
2
,

2
x

k
m
c
m

c
1
k
1
m
2
m
1
v
y
2
y
1
l
m
d
m

Hình1.2.Môhìnhhệdầmképvàxe,cóxétđếnđộmấpmôcủamặtdầm.
Phươngtrìnhdaođộngcủaxe:
1 1 1 1 2 1 1 2
0m y +c (y -y )+k (y -y )=
  
(1.18)
Trongđó:
2 0
( )y u +r X

(1.19)

m
2
( ) 1 cos
2
m
d
X
r X
l
 
 

 
 
 
 
 

(1.20)
Phươngtrìnhdaođộngcủadầmchínhvàdầmphụgiốngmục1.1:
 
 
* *
1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 0
T
M D C D K D K D D C D D N
m m
f
      

   

 
0 1 2 1 1 2 2
y
f = m +m g-m y -m
 

 
 
* *
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1m m n
      
   
M D C D K D K D D C D D 0

Phươngtrìnhdaođộngcủacảhệxe–dầm:
1 1
1 1 1 1 1 1
* * * *
1 1 1 1 1 1
* *
1 2 1 2
2 2
1 1 1 1
* * *
1 1
* *
1 2
.

. . .
n n n
T
n n n m m
n n n n m m
x n
n m m
n m m
y y
m c c
m
k c x k
  
 
  



   

   
   
   
      
   
   
   
   
 
   

   
 
 
 
   
 

 
 
 
 
 

0 0 N 0
N M M 0 D 0 C C C C D
0 0 M 0 C C C
D D
N N 0
0 K K K K
0 K K K
 
1
1 1 2
2 1
.
( ). .
T
n
k r X
y

m m g

 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
 
D N
D 0
(1.21)
12
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ PHƯƠNG PHÁP
NEWMARK
2.1. Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn
Phươngphápphầntửhữuhạn(PTHH)làphươngpháprấttổngquátvàhữuhiệu
cholờigiảisốnhiềubàitoánkỹthuậtkhácnhaunhưphântíchtrạngtháiứng
suất,biếndạngtrongcáckếtcấucơkhí,cácchitiếttrongôtô,máybay,tàu
thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu… Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ
thôngtinnhiềubàitoánphứctạpđãđượctínhtoánvàphântíchmộtcáchdễ
dàng.
Tưtưởngchủyếucủaphươngphápnàylàviệcchiavậtthểliêntụcthànhmộtsố
hữuhạncácphầntửcóhìnhđơngiản(vídụnhưđoạnthẳngtrongtrườnghợp
một chiều, tam giác hay tứ giác trong trường hợp hai chiều, khối hộp trong
trườnghợpbachiều).Cácphầntửđượcgiảthiếtliênhệvớinhauquamộtsố

điểmnúttạibiêncủachúng.Chuyểndịchcủacácnútnàylàẩncủabàitoán.
Xétbàitoán:KếtcấudầmhaiđầukhớpcóchiềudàilàL,chiềurộngmặtcắt
nganglàb,chiềucaomặtcắtnganglàh,khốilượngriêng

,modulđànhồiE.
KếtcấuchịutảitrọngF(t)dichuyểnvớivậntốckhôngđổiv.Yêucầuđặtralà
taphảitínhtoánhphảnứngđộngcủakếtcấubằngphươngphápPTHH.
Đểgiảibàitoánnàytacầnphảithựchiệnlầnlượtcácbướcsau:
Bước1:Rờirạchóakếtcấu,đánhsốbậctựdo.
Bước2:Thiếtlậpmatrậnphầntử:
- Matrậnkhốilượngphầntử:

e
M

- Matrậnđộcứngphầntử:
e
K

- Vectorlựcnút
e
F

Bước3:Ghépnốicácmatrậnkhốilượng,matrậnđộcứng,vectorlựcnút
củaphầntửtrêncơsởmatrậnmôhìnhtươngthíchđểtạothànhmatrậnkhối
lượngtổngthểM,matrậnđộcứngtổngthểK(cókểđếnđiềukiệnbiên).Riêng
matrậnhệsốcảnCthườngápdụngcácgiảthiếtnhằmđơngiảnhóavì:một
phầndobảnchấtphứctạpcủahệsốcản,phầnkhácdoyêucầucủacácphương
pháptínhtoán.Mộtdạngcảnthườngdùngtrongkếtcấulàmatrậnhệsốcản
RayleightínhquacácmatrậnMvàK.

Bước4:Giảihệphươngtrìnhđộnghọc
13
 
t
  
 
MU CU KU F
     (2.1)
Bước5:Đưarakếtquảtính.

2.2. Rời rạc hóa kết cấu dầm và xác định các ma trận phần tử
Giảsửdầmđượcchiathànhnephầntửbởine+1nút.Nếumỗinútcó2bậctự
dothìsốbậctựdocủacảhệlà
 
1 2
n ne
  
.
1 2 ne
1,2 3,4 5,6 n-3,n-2 n-1,n

Hình2.1.Rờirạchóakếtcấu
Ởđây,đểđơngiảntaxétdầmBernoulli.TacógiảthiếtBernoulli-Eulervềdầm
mỏngnhưsau:
 Mặtcắtduytrìphẳngtrongquátrìnhbiếndạnguốn.
 Khôngcóbiếndạngtrượtmặtphẳng,nghĩalàđườngtrunghòatrựcgiao
vớimặtcắttrướcvàsaubiếndạng.
Vậytheogiảthiếttrênthìmỗinútcó2bậctựdolàđộvõng
w


vàgócxoay

.
Vậytươngứngvớimỗiphầntửdầmcó4chuyểnvịnút:
 
 
1 2 3 4 1 1 2 2
; ; ; ; ; ;
T e e e e
e
U U U U w w 
 
U
 
(2.2)

Hình2.2.Chuyểnvịtạinútcủaphầntửdầm
Trườngchuyểnvị
U

biểudiễnquacácchuyểnvịnút
e
i
U
nhờcáchàmnộisuy
(hàmdạng):
e
U = NU
 
(2.3)

TrongđóNlàmatrậnnộisuychuyểnvị:
14
 
1 2 3 4
N N N N
N
 
(2.4)
Trongđó:
2 3
1
1 3 2
x x
N
l l
   
  
   
   
;
2
2
1
x
N x
l
 
 
 
 


2 3
3
3 2
x x
N
l l
   
 
   
   
;
2
4
1
x x
N
l l
 
 
 
 
(2.5)

Tacóquanhệgiữabiếndạngvàgócxoaykhidầmchịuuốnlà:
dw
dx


    (2.6)

Dođóchuyểnvịdọctrụcuvàđộvõngwcóquanhệ(hình2.3):
dw
u y
dx
 
  (2.7)
Trongđó:ylàkhoảngcáchtừđiểmđangxéttớiđườngtrunghòa.

Hình2.3.Biếndạngcủaphầntửdầmchịuuốn
Khiđóbiếndạngdọctrục:
2
2
x
du d w
y
dx dx

  
    (2.8)
Thay(2.2)vào(2.7)tacó
2
2
x e e
d
y
dx
  

N
U BU

   (2.9)
Trongđó
2
2
d
y
dx
 
N
B

Hay
2 3 2 2 3 2
6 4 6 2 6
12 ; 6 ; 12 ;
x x x x
y
l l l l l l l l
 
        
 
 
B
 (2.10)
15
Ứngsuấttạimọiđiểmcủadầmchịuuốn:
x x
E
 


     (2.11)
Hayởdạngmatrận:
 E 

Matrậnđộcứngphầntửdầmchịuuốnđượcxácđịnh:
.
e
T T
e
V l A
dV E dA dx
 
 
K B EB B B
  (2.12)


Hay:
2 2
3
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
z
e
l l
l l l l
EJ

l l
l
l l l l

 
 

 

 
  
 

 
K
(2.13)


Trongđó:
2
z
A
J y dA


làmomenquántínhcủamặtcắtnganglấyvớitrụcz.
Matrậnmatrậnkhốilượngphầntửnhậnđượctừtíchphânsau:
0
l
T

e
dx


M N mN
    (2.14)
2 2
2 2
156 22 54 13
22 4 13 3
54 13 156 22
420
13 3 22 4
e
l l
l l l l
Al
l l
l l l l

 
 

 

 

 
  
 


M
 (2.15)

Trongđó:

làkhốilượngriêng;Elàmodulđànhồi;Alàdiệntíchmặtcắt;
l
độ
dàicủaphầntử.
Tacócáchàmdạngvàcácđạohàmcủanóđãtínhđượcởtrênnhưsau:
2 3
1
1 3 2
x x
N
l l
   
  
   
   
;
2
2
1
x
N x
l
 
 

 
 

2 3
3
3 2
x x
N
l l
   
 
   
   
;
2
4
1
x x
N
l l
 
 
 
 

2
1
3
6 6dN x lx
dx l



;
2 2 3
2
3
3 4
dN lx l x l
dx l
 


16
2
3
3
6 6
dN
x lx
dx l
 

;
2 2
4
3
3 2dN lx l x
dx l




Chọnhệtrụctọađộnhưhình2.4,
x
làkhoảngcáchtừgốctọađộđếnlựcF(t):

Hình2.4.Quyđổilựcnútphầntử
1 1 1 2
. ( ) ; . ( ) ;
F F N x M F N x
 

2 3 2 4
. ( ) ; . ( )
F F N x M F N x
 

Lựcthểtíchtácdụnglênkếtcấulà:
f g


.Lựcnútcủaphầntửdolực
thểtíchgâyralà:
1
6
1
2
6
e
e T
V

V
l
gAl
dV
l
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

f N f

   
(2.16)
Vectorlựcnútcủaphẩntửlà:
1
2
2
3
2
4
. ( )
2

. ( )
12
. ( )
2
. ( )
12
F
F
e
F
F
gAl
F N x
gAl
F N x
gAl
F N x
gAl
F N x
 

 
 
 

 

 
 


 
 
 
 
 
 
F




   
(2.17)
17
2.3. Xác định ma trận khối lượng, độ cứng của phần tử dầm có vết nứt
Dầmđượcchiathànhnphầntử,vếtnứtxuấthiệnởphầntửthứi và R củadầm
chính nhưhình2.5.
P
i
M
i
P
i+1
M
i+1
a
i
x
i
Lc

i
x
R
Lc
R

Hình2.5.Môhìnhdầmcóvếtnứt
Giảthiếtvếtnứtchỉảnhhưởngđếnmatrậnđộcứng,khôngảnhhưởngđếnma
trậnkhốilượngvàmatrậncảnkếtcấucủaphầntửdầmchứavếtnứt.Cácphần
tửnguyênvẹncómatrậnđộcứngkhôngthayđổi.
Xácđịnhmatrậnđộcứngcủamộtphầntửcóvếtnứtnhưsau[15]:
Bỏquabiếndạngtrượt,nănglượngbiếndạngcủamộtphầntửkhôngcóvếtnứt
códạng:
 
2 3
0
2 2
1
2 3
P l
W = M l MPl
EI
 
 
 
 
(2.18)
TrongđóPvàMlàlựccắtvàmômenuốnởnútbênphảicủaphầntử(hình
2.5).Vớidầmchữnhậtcóchiềucaoh,chiềurộngb,nănglượngbiếndạngbổ
sungdovếtnứtđượctínhnhưsau:

 
 
 
2 2
2
I II
1
III
0
1
'
a
K K
ν K
W =b da
E E
 


 

 
 

(2.19)
Trongđóalàđộsâuvếtnứt,K
I,
K
II,
K

III,
làhệsốcườngđộứngsuấtchokiểu
mở,kiểutrượt,kiểuráchtươngứng,E’= Enếuứngsuấtphẳngvà
2
'
1
E
E
ν



nếubiếndạngphẳng.
18
Chỉtínhđếnlựcuốnthìphươngtrình(2.19)dẫnđến:
 
 
2
2
IM IP IIP
1
0
'
a
K K K
W =b da
E
 

(2.20)

Trongđó:
I I II
IM IP IIP
2 2
6 ( ) 3 ( ) ( )
; ;
M
πaF s Pl πaF s P πaF s
K K K
bh bh bh
  
(2.21)
4
I
0,923 0,199 1 sin
2
2
( ) tg
2
cos
2
πs
πs
F s
πs
πs
 
 
 
 

 
 
 
 

 
 
 
 
 
(2.22)
2 3
2
II
1,122 0,561 0,085 0,18
( ) (3 2 )
1
s s s
F s s s
s
  
 

(2.23)
Trongđóalàđộsâuvếtnứt,s = a/h.
Cácthànhphầncủamatrậnđộmềmcủaphầntửnguyênvẹnđượctínhnhưsau:
 
 
0
2

0
1 2
; 1,2; ,

   
 

ij
i j
W
c i,j P P P M
P P
(2.24)
Từ(2.18)và(2.24)tacó:
       
3 2
0 0 0 0
11 12 21 22
; ;
3 2
   
   
l l l
c c c c
EI EI EI
(2.25)
Hệsốđộmềmbổsunglà:
 
 
1

2
1
1 2
; 1,2; ,

   
 

ij
i j
W
c i,j P P P M
P P
(2.26)
Từ(2.19)và(2.26)tacó:
 
   
 
 
2 2 2 2
1 1
I II I
11 12
2 4 2 2 2 4
0 0
18 36
 
  
 
 

 
 
a a
πal F s 2πaF s πalF s
b b
c da; c da
E' b h b h E' b h

 
 
 
 
2 2
1 1
I I
21 12
2 4 2 4
0 0
36 72
 
 
 
a a
πalF s πaF s
b b
c da; c da
E' b h E' b h
 (2.27)
Dođó,hệsốđộmềmtổngthểlà:
19

   
0 1
 
  
ij ij ij
c c c
   (2.28)
Từđiềukiệncânbằngcủaphầntử,tacó:
   
T T
1 1 1 1

i i i+ i+ i+ i+
P M P M P MT
 (2.29)
Trongđó:
T
1 1 0
0 1 0 1
 
 

 

 
l
T
   (2.30)
Theonguyênlýcôngảo,matrậnđộcứngcủaphầntửcóvếtnứtđượctínhnhư
sau:

T 1
C



K T C T
         (2.31)
2.4. Ghép nối các ma trận phần tử thành ma trận tổng thể của dầm.
ĐểxácđịnhsựtươngứngcủamỗiphầntửU
e
thuộcUngườitalậpmatrậnchỉ
sốb(còngọilàmatrậnliênhệBoolean)màgiátrịcủamỗiphầntửthànhphần
chínhlàchỉsốtổngthểtươngứngbậctựdothứjcủaphầntửthứi.
Matrậnchỉsốbcósốhàngbằngsốphầntửcủahệ,sốcộtbằngsốbậctựdocủa
mộtphầntử.
Sauđâylàlàcáchghépnốiđốivớidầmđượcchiathànhne=3phầntửmột
chiềubậcnhất. Vớidầm chiathành ne phầntử ta cũng có thểlàmtheo cách
tươngtự.
Tacómatrậnkhốilượngcủacácphầntửlầnlượtlà:
(1) (1) (1) (1)
11 12 13 14
(1) (1) (1) (1)
(1)
21 22 23 24
(1) (1) (1) (1)
31 32 33 34
(1) (1) (1) (1)
41 42 43 44
e
M M M M

M M M M
M M M M
M M M M
 
 
 

 
 
 
 
M
;
(2) (2) (2) (2)
11 12 13 14
(2) (2) (2) (2)
(2)
21 22 23 24
(2) (2) (2) (2)
31 32 33 34
(2) (2) (2) (2)
41 42 43 44
e
M M M M
M M M M
M M M M
M M M M
 
 
 


 
 
 
 
M
;
20
(3) (3) (3) (3)
11 12 13 14
(3) (3) (3) (3)
(3)
21 22 23 24
(3) (3) (3) (3)
31 32 33 34
(3) (3) (3) (3)
41 42 43 44
e
M M M M
M M M M
M M M M
M M M M
 
 
 

 
 
 
 

M

Đểghépnốicácmatrận
(1)
e
M
;
(2)
e
M
;
(3)
e
M
thànhmatrậnđộcứngMtổngthểta
cầnthựchiệnlầnlượtcácbướcnhưsau:
 Bước1:Xâydựngmatrậnchỉsốbđểghépnốiphầntử:
Bậctựdo
Phầntử
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 3 4 5 6
3 5 6 7 8

 Bước2:Xétphầntử1:
(1) (1) (1) (1)
11 12 13 14
(1) (1) (1) (1)
(1)
21 22 23 24

(1) (1) (1) (1)
31 32 33 34
(1) (1) (1) (1)
41 42 43 44
1234
1
2
3
4
e
M M M M
M M M M
M M M M
M M M M
 
 
 

 
 
 
 
M
   (2.32)

Matrậnnàyđượccộngvàomatrậnkhốilượngtổngthểtasẽđược:
21
(1) (1) (1) (1)
11 12 13 14
(1) (1) (1) (1)

21 22 23 24
(1) (1) (1) (1)
31 32 33 34
(1) (1) (1) (1)
41 42 43 44
1234
1
2
3
4
M M M M
M M M M
M M M M
M M M M
 
 
 
 

 
 
 
 






    

M
  
(2.33)
 Bước3:Xétphầntử2:
(2) (2) (2) (2)
11 12 13 14
(2) (2) (2) (2)
(2)
21 22 23 24
(2) (2) (2) (2)
31 32 33 34
(2) (2) (2) (2)
41 42 43 44
3456
3
4
5
6
e
M M M M
M M M M
M M M M
M M M M
 
 
 

 
 
 

 
M
   (2.34)
Cácsốhạngcủamatrậnkhốilượngphầntử
(2)
e
M
đươccộngthêmvàomatrận
tổngthể:
(1) (1) (1) (1)
11 12 13 14
(1) (1) (1) (1)
21 22 23 24
(1) (1) (1) (2) (1) (2) (2) (2)
31 32 33 11 34 12 13 14
123456
0 0
0 0
M M M M
M M M M
M M M M M M M M 





M
(1) (1) (1) (2) (1) (2) (2) (2)
41 42 43 21 44 22 23 24
(2) (2) (2) (2)

31 32 33 34
(2) (2) (2) (2)
41 42 43 44
1
2
3
4
5
0 0
6
0 0
M M M M M M M M
M M M M
M M M M
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 





      
(2.35)
 Bước4:Xétphầntử3:
(3) (3) (3) (3)
11 12 13 14
(3) (3) (3) (3)
(3)
21 22 23 24
(3) (3) (3) (3)
31 32 33 34
(3) (3) (3) (3)
41 42 43 44
5678
5
6
7
8
e
M M M M
M M M M
M M M M
M M M M
 
 
 

 
 
 
 

M
  (2.36)
22
 Bước5:Cácsốhạngcủamatrậnkhốilượngphầntử
(3)
e
M
đươccộng
thêmvàomatrậntổngthểchungởtrên,tađượcmatrậnMtổngthểcủa
dầm3phầntửlà:
(1) (1) (1) (1)
11 12 13 14
(1) (1) (1) (1)
21 22 23 24
(1) (1)
31 32
12345678
0 0 0 0
0 0 0 0
M M M M
M M M M
M M M
M
(1) (2) (1) (2) (2) (2)
33 11 34 12 13 14
(1) (1) (1) (2) (1) (2) (2) (2)
41 42 43 21 44 22 23 24
(2) (2) (2) (3) (2) (3) (3) (3)
31 32 33 11 34 12 13 14
(2) (2) (2) (3) (2) (3) (3) (3)

41 42 43 21 44 22 23 24
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
M M M M M
M M M M M M M M
M M M M M M M M
M M M M M M M M
M
 
 
 
 
(3) (3) (3) (3)
31 32 33 34
(3) (3) (3) (3)
41 42 43 44
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0 0 0
M M M
M M M M

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

(2.37)
TươngtựtatìmmatrậnđộcứngKtổngthểtừmatrậnđộcứngcủakếtcấudầm
3phầntử.
Giảisửmatrậnđộcứngcủacácphầntửlầnlượtlà:
(1) (1) (1) (1)
11 12 13 14
(1) (1) (1) (1)
(1)
21 22 23 24
(1) (1) (1) (1)
31 32 33 34
(1) (1) (1) (1)
41 42 43 44
e
K K K K
K K K K

K K K K
K K K K
 
 
 

 
 
 
 
K
;
(2) (2) (2) (2)
11 12 13 14
(2) (2) (2) (2)
(2)
21 22 23 24
(2) (2) (2) (2)
31 32 33 34
(2) (2) (2) (2)
41 42 43 44
e
K K K K
K K K K
K K K K
K K K K
 
 
 


 
 
 
 
K
;
(3) (3) (3) (3)
11 12 13 14
(3) (3) (3) (3)
(3)
21 22 23 24
(3) (3) (3) (3)
31 32 33 34
(3) (3) (3) (3)
41 42 43 44
e
K K K K
K K K K
K K K K
K K K K
 
 
 

 
 
 
 
K


GhépnốitươngtựnhưghépnốimatrậnMởtrêntacómatrậnđộcứngKtổng
thểnhưsau:
23
(1) (1) (1) (1)
11 12 13 14
(1) (1) (1) (1)
21 22 23 24
(1) (1) (1) (2) (1) (2) (2) (2)
31 32 33 11 34 12 13 14
(1) (1) (1) (2) (1) (2) (2) (2)
41 42 43 21 44 22 23 24
(2) (2) (2) (3) (2) (
31 32 33 11 34 12
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
K K K K
K K K K
K K K K K K K K
K K K K K K K K
K K K K K K
 
 

 
K
3) (3) (3)
13 14

(2) (2) (2) (3) (2) (3) (3) (3)
41 42 43 21 44 22 23 24
(3) (3) (3) (3)
31 32 33 34
(3) (3) (3) (3)
41 42 43 44
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
K K
K K K K K K K K
K K K K
K K K K
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2.38)
Đốivớivectorlựcnút,giảsửvectorlựcnútcủacácphầntửlầnlượtlà:
(1)

1
(1)
(1)
2
(1)
3
(1)
4
e
F
F
F
F
 
 
 

 
 
 
 
F
;

(2)
1
(2)
(2)
2
(2)

3
(2)
4
e
F
F
F
F
 
 
 

 
 
 
 
F
;

(3)
1
(3)
(3)
2
(3)
3
(3)
4
e
F

F
F
F
 
 
 

 
 
 
 
F

Khiđótacóvectorlựcnúttổngthểnhưsau:
(1)
1
(1)
2
(1) (2)
3 1
(1) (2)
4 2
(2) (3)
3 1
(2) (3)
4 2
(3)
3
(3)
4

F
F
F F
F F
F F
F F
F
F
 
 
 
 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
F
    (2.39)
2.5. Áp đặt điều kiện biên
Liênkếttạihaiđầudầmlàliênkếtkhớp,dođóchuyểnvịtạibậctựdothứnhất

vàn-1bằngkhông.Nhưvậy,cácmatrậnvàvectotrongphươngtrình2.1trở
thành: