Tài liệu ôn toán lớp 9, luyện thi vào lớp 10 trung học phổ thông tham khảo (1)

Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
Phần 1 - chiến lợc giải toán
Trong quá trình giải bài tập rất cần khả năng suy nghĩ lập luận có tính chất chiến lợc để giải bài
toán, nh vậy cần tự mình đặt ra câu hỏi và cố gắng tự tìm câu trả lời trong khả năng có thể. Để rèn luyện
đợc thói quen này, ta nên làm theo những hớng dẫn suy luận sau:
1. Tìm hiểu bài toán:
- Gọi chung Giả thiết là: điều cho biết, dữ kiện bài toán, các điều kiện ràng buộc vv Kết luận là: điều
phải tìm, là ẩn vv
- Trớc hết hãy cố gắng viết tóm tắt đề bài bằng ngôn ngữ toán học và sử dựng các kí hiệu toán học.
- Cần xác định ngay dạng của bài toán để xác định rõ phơng hớng giải.
- Bài toán có điều kiện gì ? Cần phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả điều kiện đó
thành công thức không ?
- Nhớ lại các kiến thức liên quan đến bài toán, tìm mối liên hệ giữa điều đã cho với điều phải tìm.
- Phân tích điều phải tìm để đi tìm phơng hớng đi đến đích của bài.
2. Tìm tòi lời giải.
* Liên hệ với các bài toán đã giải:
+ Ta đã gặp bài toán này lần nào cha ? Hay đã gặp ở một dạng khác ?
+ Ta có biết một bài toán nào có liên quan không ?
+ Đây là bài toán có liên quan mà ta đã có lần giải rồi ? - Vậy thì : Có thể sử dụng nó không ? Có thể sử
dụng kết quả của nó không ? Có thể sử dụng kết quả ở bài trớc (đã giải) vào bài này không ? Có cần phải
đa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng đợc nó không ?
+ Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ?
* Với bài toán mới và cha giải lần nào:
+ Nếu cha giải đợc bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán có liên quan.
+ Ta có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một trờng
hợp riêng ? Một bài toán tơng tự ?
+ Ta có thể giải một phần bài toán không ? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó ẩn
đợc xác định đến một chừng mực nào đó, nó sẽ thay đổi nh thế nào ?
+ Ta có thể nghĩ ra một điều kiện khác giúp ta xác định đợc ẩn không ? Có thể thay đổi ẩn hay các dữ
kiện hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới đợc gần nhau hơn không ?
- Có thể bài toán này có những phần cần chú ý. Liệu ta có bỏ qua phần chú ý đó không ?

3. Trình bày lời giải
- Khi giải hãy kiểm tra lại từng bớc
- Ta đã thấy rõ mỗi bớc làm của ta đều đúng cha ?
- Những lập luận, biến đổi, trình bày của ta đã hợp Lôgíc cha ? Ta có thể chỉ ra những căn cứ cho những
lập luận, biến đổi đó không ?
- Ta có thể lập luận Logíc, chặt chẽ, chính xác lời giải hơn nữa không ? (Bổ sung thiếu sót, lợc bỏ những
chỗ dài dòng và rờm rà).
- Có còn sót trờng hợp nào của bài toán không.
4. Nghiên cứu thêm về lời giải:
- Kiểm tra kết quả. Xem xét các lập luận.
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
1
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
- Nhìn lại toàn bộ các bớc giải. Rút ra phơng pháp giải một loại toán hay một dạng toán nào đó. Rút ra
kinh nghiệm giải toán nh về:
+ Cách giải, phơng pháp giải loại toán đó
+ Những bài toán dạng này cần sử dụng kiến thức gì để giải
+ Những điểm cần chú ý, những sai lầm thờng mắc phải và cách khắc phục vv.
- Cố gắng tìm thêm cách giải khác (nếu có thể).
- Khai thác thêm các kết quả có thể có của bài toán, đề xuất các bài toán tơng tự, bài toán đặc biệt. Đặc
biệt nên cố gắng đa bài toán đã cho về dạng tổng quát của nó.
Kết luận chung
Trên đây chỉ là những câu hớng dẫn suy nghĩ để tập trung giải quyết bài toán, trong quá trình vận
dụng cần phải linh hoạt khéo léo, tuỳ từng bài toán cụ thể mà có những câu hớng dẫn ta có thể lợc bỏ.
Chiến lợc giải trên ngoài áp dụng cho Môn Toán học mà còn có thể áp dụng để học vào các môn Vật Lí,
Hoá Học.
Chúc các em học tốt !( Thầy Nguyễn Xuân Tờng )
Mời các em ghé thăm trang web của thầy : /> Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !

2
2 x 1 x
P : 1
x 1
x x x x 1 x 1
a) Rút gọn P
53
b) Tính giá trị của P tại x =
9 - 2 7
1
c) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

= + +
ữ ữ
ữ ữ
+
+ + + +

Cho biểu thứcBài 1.
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
Phần 2 các dạng toán
A.Toán rút gọn
x x 2 x 3 x 2
P 1 :
x 1 x 3 2 x x x 6
a) Rút gọn P
3- 5
b) Tính giá trị của P biết x =
2

c) Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên
d) Tìm x để P < 1
e) Tìm các giá trị c

+
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+ + +

Cho biểu thức
Bài 2.
ủa x để P = x 3

Bài 3 : Cho biểu thức
3
32
1
23
32
1115
+
+



+
+

=

x
x
x
x
xx
x
P
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x sao cho
2
1
=P
c) Chứng minh P
3
2
Bài 4 : Cho biểu thức
1- x x x 2 2 1- x
P - :
x - 2 1- x x - 3 x 2 x - 2 x - 2 x

+
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết
526 =x
c) Tìm giá trị lớn nhất của

x
P
Bài 5 : Cho biểu thức
144
1
:
21
1
14
5
2
2
1
++













+
=
xx

x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu
x 1=
c) Tìm các giá trị của x để
2
1
=P
d) Tìm các giá tri x nguyên để P nhận giá trị nguyên
Bài 6 : Cho biểu thức










+

+

=
xxxxx
x
P
1
2
1
1
:
1
1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biết
347 =x
c) Tìm các giá trị của m để có các giá trị x thoả mãn
xmxP =.
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
3
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
Bài 7: Cho biểu thức
12
1

:
1
11
+
+









+

=
xx
x
xxx
P
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá tri của x để
5
12
=
x
P
c) So sánh P với 1
Bài 8 : Cho biểu thức

+










+

=
x
x
xxx
x
P
1

3
2:
1
1
352
2
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 0
c) Tìm x để P =
P

Bài 9 : Cho biểu thức :








+
+
+

+

=
xx
xxxx
x
xx
xx
P
1
2
1
12
:
1
1
1
a) Rút gọn .
b) Tính P với x =
347
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a
Bài 10: Cho biểu thức:

+
+
+

+












=
3
5
5
3
152
25

:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
M
a) Rút gọn M .
b) Với giá trị nào của x thì M < 1 ?
b) Tìm giá trị của a để
Bài 11: Cho biểu thức :
( )

+
+








+


+

=
x
x
xx
x
x
xx
x
xx
P
1

1
.
1
1
:
1
1.
2
a) Rút gọn P.
b) Xác định các giá trị của x để ( x + 1 ).P = x 1
c) Biết
x
x
P
Q
31 +
=
Tìm x để Q có giá trị lớn nhất.
d) Tìm x để
32
>
P
Bài 12 : Cho biểu thức :

+


+
+
=
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x

x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
2
1
<P
c) Tìm x để :
( )
2223.
=+++
xxxP
d) Tìm m để có 1 giá trị của x thoả mãn :

( ) ( )
( )
mxxmxxxP
+=++
33.
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
4
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
B. Hàm số bậc nhất :
Bài 1 : Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trờng hợp sau:
a) a = - 1 và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

b) a = 3 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 5)
c) Đồ thị của hàm số song song với đờng thẳng
2y x=
và đi qua điểm B(1;
2 3+
)
d) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(2;-3)
e) Đồ thị hàm số đi qua M(2;- 3) và vuông góc với đờng thẳng y = x 2
Bài 2: Với điều kiện nào của k và m thì hai đờng thẳng :
y = (k 2)x + m 1 và y = (6 2k)x + 5 2m.
a) Trùng nhau b) Song song c) Cắt nhau
Bài 3 : Cho hàm số y = (a - 1)x + a
a) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 3
b) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a tìm đợc ở các câu a và b trên cùng một hệ trục toạ
độ. Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng vừa vẽ đợc.
Bài 4 : Cho đờng thẳng y = (m - 2)x + n (m 2) (d)
Tìm các giá trị của m và n trong các trờng hợp sau:
a) Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;4)
b) Đờng thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
1 2
+
và cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng
2 2
+
c) Đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng 2y + x 3 = 0
d) Đờng thẳng (d) trùng với đờng thẳng y 2x + 3 = 0
Bài 5 :
a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ Oxy đồ thị các hàm số sau :

y = x (d
1
) ; y = 2x (d
2
) ; y = - x + 3 (d
3
)
b) ờng thẳng (d
3
) cắt hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) theo thứ tự tại A , B. Tìm toạ độ của các điểm
A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 6 : Cho hàm số y = (1 - 2m)x + m + 1 (1)
a) Tìm m để hàm số (1) đồng biến, nghịch biến.
b) Tìm m để hàm số (1) song song với đờng thẳng y = 3x 1 + m
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đờng thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định duy
nhất. Tìm điểm cố định đó.
Bài 7 : Cho hai đờng thẳng
y = - 4x + m - 1 (d1) và y =
4
15 3
3
x m
+
(d
2
)

a) Tìm m để hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại điểm trên trục tung.
b) Với m ở trên hãy tìm toạ độ giao điểm A, B của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) với trục hoành.
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC
d) Tính các góc của tam giác ABC.
Bài 8 : Cho hàm số
( )
3y m x k= +
(d) . Tìm giá trị của m và k để đờng thẳng (d):
a) Đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(-3 ; 4).
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
1 2
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
1 2+
.
c) Cắt đờng thẳng
2 4 5 0y x + =
d) Song song với đờng thẳng
2 1 0y x =
e) Trùng với đờng thẳng
3 5 0x y+ =
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !

5
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
C. Quan hệ giữa Parabol y = ax
2
và đờng thẳng y = mx + n
I. Tóm tắt lý thuyết :
1/ Toạ độ giao điểm của Parabol y = ax
2
(a 0) và đờng thẳng y = mx + n là nghiệm của hệ phơng trình
2
mx n y
ax y
+ =


=


2/ Hoành độ giao điểm của Parabol y = ax
2
(a 0) và đờng thẳng y = mx + n là nghiệm của phơng trình
ax
2
= mx + n tức ax
2
- mx n = 0
(1)
a) Nếu phơng trình (1) có > 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt, đờng thẳng cắt Parabol tại hai điểm
phân biệt.
b) Nếu phơng trình (1) có = 0 thì (1) có nghiệm kép, đờng thẳng tiếp xúc với Parabol.

c) Nếu phơng trình (1) có < 0 thì (1) vô nghiệm, đờng thẳng và Parabol không giao nhau
II. Bài tập
Bài 1 : Cho hai hàm số y = x
2
(P) và y = 2x + 3 (d)
a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ hai hàm số (P) và (d).
b) Xác định toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d).
c) Gọi C và D thứ tự là hình chiếu vuông góc của B và A trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác
ABCD.
Bài 2 : Cho Parabol y = x
2
(P) và đờng thẳng y = 2x - m (d)
a) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, tiếp xúc nhau, không giao nhau.
b) Khi (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, xác định toạ độ điểm A và B với m = - 3 .
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm (-2 ; 1) và tiếp xúc với (P)
d) Tìm toạ độ trung điểm của AB.
Bài 3 : Cho Parabol (P): y =
2
2
x
và đờng thẳng y =
1
2

x + n
a) Tìm giá trị của n để đờng thẳng tiếp xúc với (P).
b) Tìm giá trị của n để đờng thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng với (P) nếu n = 1. Vẽ đồ thị của (P) với đờng thẳng
trong trờng hợp ấy.
Bài 4: Cho Parabol (P): y =

2
2
x
và đờng thẳng (d): mx + y = 2.
a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đờng thẳng d luôn đi qua 1 điểm cố định.
b) Chứng minh rằng: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
c) Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất. Tính diện tích AOB ứng với giá trị tìm đợc của m.
d) Chứng minh rằng: Trung điểm I của AB khi m thay đổi luôn nằm trên Parabol cố định.
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
6
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
D. Phơng trình bậc hai một ẩn - Hệ thức Vi-et
Bài 1 : Cho phơng trình : 2x
2
+ ( 2m - 1)x + m - 1 = 0
1) Giải phơng trình khi m = -1
2) Chứng minh rằng phơng trình luôn có ngiệm với mọi giá trị của m.
2) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
trái dấu .
3) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
cùng âm .
4) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm x
1

và x
2
cùng dơng .
5) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 3x
1
- 4x
2
= 11 .
6) Tìm một đẳng thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m .
7) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
4 4 2 2
1 2 1 2
17
x x x x
4
+ =
.
Bài 2 : Cho phơng trình :

2
3 2 0x x + =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
.
Không giải phơng trình trên, hãy lập phơng trình bậc 2 ẩn là y có hai nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn :
1 2
1
1
y x
x
= +
và
2 1
2
1
y x
x
= +
Bài 3 : Cho phơng trình (m - 1)x
2
- 4mx + 4m - 1 = 0 (x là ẩn, m là tham số)
a) Giải phơng trình với m = 2
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất.

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
f) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 1.
Bài 4 : Cho phơng trình :
2
1 0x mx m + =
a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng lớn hơn 5
f) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 2
g) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm nằm giữa -1 và 2
h) Gọi
1
x
và
2
x
là các nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
( )
1 2
2 2
1 2 1 2

2 3
2 1
x x
B
x x x x
+
=
+ + +
i) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn x
1
< 3 < x
2

j) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn 3x
1
4x
2
= 5
Bài 5 : Cho phơng trình :
( )
2
4 2 2 0m x mx m + =

.
a) Tìm m để phơng trình trên có nghiệm
2x =
. Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tính :
2 2
1 2
x x+
theo m.
d) Tính :
3 3
1 2
x x+
theo m.
e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm (
1 2
1 1
x x
+
) ;
và Tổng bình phơng nghịch đảo các nghiệm : (
2 2
1 1
1 1
x x
+
)
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !

7
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
Bài 6 : Cho phơng trình
( )
2
2 2 1 0x m x m + + + =
(2)
a) Giải phơng trình khi
3
2
m =
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (2) có nghiệm.
c) Gọi
1
x
và
2
x
là 2 nghiệm của phơng trình (2). tìm các giá trị của m để:
( ) ( )
2
1 2 2 1
1 2 1 2x x x x m + =
e. Hệ phơng trình :
I. Hệ phơng trình bậc nhất ( giải bằng phơng pháp thế, cộng đại số, đặ ẩn phụ )
Bài 1. Giải các hệ phơng trình sau :
a)
( ) ( )
( ) ( )
2 2

2 2
1 2 9
3 2 5
x x y
y y x

+ =


+ =


b)
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
7 5 6
2 6 4
u u v
v v u

+ + =


=


c )
1 1

3
3 8
7 9 2
u v
u v

=



=

d)
4 5 10 0
1
0
5 3 3
a b
a b
=



+ =


e)
1
1
8

x y
y z
z x
=


=


+ =

f)
3
6
1
x y
y z
z x
+ =


+ =


+ =

g)
3 1 3
1 2 4
5 3 29

1 2 12
y x
y x

=

+



+ =

+

h)
1 1 2
3
1 1 1
3
x y x y
x y x y

+ =

+



=

+

Bài 2. Tìm các giá trị của m và n để các hệ phơng trình
a)
( ) ( )
2 1 7 2 6
1 2
2
6 6
m x n y
m n
x y

+ =


+
+ =


có nghiệm (x ; y) = (1 ; 2)
Bài 3. Cho hệ phơng trình
3
4 1
x my
mx y
+ =


+ =

a) Giải hệ phơng trình với m = 3
b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất
Bài 4. Cho hệ phơng trình
2 5
2 2 1
x ay
ax y a
+ =


+ = +

a) Giải hệ phơng trình với a = 3
b) Với giá trị nào của a thì hệ vô nghiệm ? Hệ vô số nghiệm ?
Bài 5. Cho hệ phơng trình
2 3 2 6
2
x y m
x y m

= +


= +


(với m là tham số và m 0)
a) Giải hệ phơng trình với m = 4.
b) Giải hệ phơng trình trên sao cho x + y nhỏ nhất.

Bài 6 : Cho hệ phơng trình :
( 2)
1
m x y m
mx y
+ + =


=

a) Giải hệ với m = 1
b) Tìm m để hệ có nghiệm
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm thoả mãn x = y.
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
8
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
9
Bµi tËp to¸n 9 «n thi THPT Biªn so¹n : Ngun Xu©n Têng
II. HƯ 2 ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 1 ( lµ HPT kh«ng ®ỉi nÕu thay ®ỉi vai trß c¸c Èn )
C¸ch gi¶i : §Ỉt S = x + y ; P = xy tõ ®ã t×m S, P sau ®ã t×m x, y
Bµi t©p : Gi¶i c¸c hƯ ph¬ng tr×nh sau :
{
{
{
{
2 2 2 2
2 2

2 2
2x 2y 16 x y 25 x y xy 5 x xy y 4
a) b) c) d)
xy 3 xy 12 x xy y 2
x y 5
x y 36
x y y x 30
x y 11 x xy y 3
e) f) g) h)
y
xy 28 x 41
x y xy 2
x x y y 35
y x
20
 
+ = + = + + = + + =
 
= = + + =
+ =
 
+ =


+ =
 
− = + + =
 
=
+ =

+ =
+ =




III. HƯ 2 ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2 ( lµ HPT khi ®ỉi vai trß cđa x vµ y th× ph¬ng
tr×nh (1) trë thµnh ph¬ng tr×nh (2) )
C¸ch gi¶i : Trõ tõng vÕ cđa ph¬ng tr×nh (1) cho ph¬ng tr×nh (2)
Bµi t©p : Gi¶i c¸c hƯ ph¬ng tr×nh sau :
{ {
2 2 2
2 2 2
2x y x 2y 2x y
a) b)
2y x y 2x 2y x
= − = +
= − = +
III. HƯ 2 ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp ( lµ HPT mµ c¸c h¹ng tư chøa biÕn cã cïng bËc )
C¸ch gi¶i :
+ Trêng hỵp x = 0 ( hc y = 0).
≠ ≠
y x
+Tr?êng hỵp x 0(hc y 0). ®Ỉt k = ( hc k = ) ®?a vỊ ph?¬ng tr × nh Èn k vµ gi¶i.
x y
Bµi t©p : Gi¶i c¸c hƯ ph¬ng tr×nh sau :
{ { {
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3x 2xy y 11 3x 5xy 4y 38 2x xy 1

a) b) c)
x 2xy 3y 17 5x 9xy 3y 15 4x 4xy y 7
+ + = + − = − =
+ + = − − = + − =
f. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh
Bµi 1: Mét ngêi ®i xe ®¹p xt ph¸t tõ A. Sau 4 giê, mét ngêi ®i xe m¸y còng ®i tõ A vµ ®i theo trªn
cïng mét con ®êng vµ gỈp ngêi ®i xe ®¹p c¸ch A lµ 60 km. TÝnh vËn tèc cđa mçi ngêi biÕt vËn tèc cđa
ngêi ®i xe m¸y lín h¬n vËn tèc cđa ngêi ®i xe ®¹p lµ 20 km/h.
Bµi 2: Hai bÕn tµu A vµ B c¸ch nhau 48 km.Mét tµu thủ ®i tõ bÕn A ®Õn bÕn B råi trë l¹i, c¶ ®i lÉn vỊ
hÕt 5 giê. TÝnh vËn tèc riªng cđa tµu, biÕt vËn tèc dßng níc kh«ng ®ỉi vµ vËn tèc riªng cđa tµu c¶ ®i lÉn
vỊ lµ kh«ng ®ỉi.
Bµi 3: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 20km trong mét thêi gian ®· ®Þnh. Sau khi ®i ® ỵc mét
giê víi vËn tèc dù ®Þnh, ngêi ®ã gi¶m vËn tèc ®i 2 km/h trªn qu·ng ®êng cßn l¹i, nªn ®· ®Õn B chËm 15
phót so víi dù ®Þnh. TÝnh vËn tèc dù ®Þnh cđa ngêi ®i xe ®¹p.
Bµi 4 : Mét c«ng nh©n ®ỵc giao kho¸n s¶n xt 120 s¶n phÈm trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh. Sau khi
lµm ®ỵc mét nưa sè lỵng ®ỵc giao, nhê hỵp lý ho¸ mét sè thao t¸c nªn mçi giê ngêi ®ã lµm thªm ®ỵc 3
s¶n phÈm n÷a. Nhê ®ã, møc kho¸n ®ỵc giao ®· ®ỵc ngêi c«ng nh©n hoµn thµnh sím 1 giê. TÝnh n¨ng
st vµ thêi gian dù ®Þnh cđa ngêi c«ng nh©n ®ã.
Bµi 5 : Mét nhãm thỵ ®Ỉt kÕ ho¹ch lµm 4000 s¶n phÈm. Trong 8 ngµy ®Çu hä thùc hiƯn ®óng møc ®Ị ra.
Nh÷ng ngµy cßn l¹i hä lµm vỵt møc mçi ngµy 40 s¶n phÈm nªn ®· hoµn thµnh kÕ ho¹ch sím 2 ngµy.
Hái theo kÕ ho¹ch mçi ngµy nhãm thỵ ph¶i lµm bao nhiªu s¶n phÈm.
Học để ngày mai lập
nghiệp !
10
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
Bài 6 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy. Nếu chảy
riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình đầy bể trong
bao lâu ?
Bài 7: Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc sau 6 giờ thì đầy bể. Nếu mở riêng vòi thứ
nhất trong 2 giờ, vòi thứ hai trong 3 giờ thì đợc

2
5
bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu thì đầy
bể ?
Bài 8 : Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật
mới nên tổ I đã vợt mức 18% và tổ II vợt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành v-
ợt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm đợc giao của mỗi tôt theo kế hoạch ?
Bài 9 : Tổng của hai chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số là 18. Nếu
đổi chỗ chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì sẽ đợc số mới lớn hơn số ban đầu 54 đơn vị. Tìm số
ban đầu.
Bài 10: Một ô tô khách đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 200km. Sau đó 30 phút một ô tô con khởi hành
từ tỉnh B đến tỉnh A trên cùng con đờng ấy, đi đợc 2 giờ thì gặp ô tô khách. Tính vận tốc của mỗi ô tô,
biết rằng vận tốc của ô tô con lớn hơn vận tốc của ô tô khách là 10km/h.
Bài 11: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15km/h. Sau đó một thời gian, một ngời khác đi xe
máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30km/h và nếu không có gì thay đổi sẽ đuổi kịp ngời đi xe đạp tại
B. Nhng sau khi đi đợc một nửa quãng đờng AB, ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3km/h nên hai ngời
gặp nhau tại C cách B 10 km. Tính quãng đờng AB.
Bài 12: Một ca nô chạy trên khúc sông dài 95 km. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 1giờ 12
phút. Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nớc là 3km/h.
Bài 13 : Hai ngời cùng làm chung một công việc thì sẽ hoàn thành trong 4 ngày. Nếu ngời thứ nhất làm
một nửa công việc, sau đó ngời thứ hai làm nốt công việc còn lại thì sẽ hoàn thành toàn bộ công việc
trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi ngời làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc trong mấy ngày.
Bài 14: Cho một số có hai chữ số. Tìm các chữ số của số đó biết rằng số đó bằng tổng bình ph ơng các
chữ số của nó trừ đi 11, và số đó cũng bằng hai lần tích của hai chữ số của nó cộng thêm 5.
Bài 15: Lớp 9A có 14 học sinh giỏi toán, 13 học sinh giỏi văn, số học sinh vừa giỏi toán vừa giỏi văn
bằng nửa số học sinh không giỏi toán mà cũng không giỏi văn. Hỏi có bao nhiêu học sinh vừa giỏi toán
vừa giỏi văn, biết rằng sĩ số của lớp 9A là 35.
Bài 16 : Một ca nô xuôi dòng 45km rồi ngợc dòng 18km. Biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngợc
dòng là 6km/h và thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngợc dòng là 1 giờ Tính vận tốc xuôi dòng và
vận tốc ngợc dòng của ca nô.

g. phơng trình quy về phơng trình bậc hai.
Bài 1. Giải các phơng trình sau:
a)
056 =+ xx
b)
0752 =++ xx
c)
098 =+ xx
d)
9
20
1
20
=+
xx
e)
( )( )
xxx 2112 =+
f)
03613
24
=+ xx
g)
0169
24
=++ xx
h)
0352
24
=+ xx

i)
065
24
=++ xx
j)
15
5
100
5
100
=

+
+ xx
k)
2
2
2
2
2
=
+
+
+ x
x
x
x
l)
1
12

2
1
2
1
+
+
=


+
+
+
x
x
x
x
x
x
Bài 2. Giải các phơng trình sau:
a)
01
235
=+ xxx
b)
0673676
234
=++ xxxx
c)
02772
23

=+++ xxx
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
11
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
d)
0188
23
=+ xxx
e)
04
23
=++ xx
g)
0485
23
=+
xxx
Bài 3. Giải các phơng trình sau:
a)
( )( )( )
01321 =++++ xxxx
b)
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 7 8 144x x x x+ + =
c)
( )( )( )( )
2977531 =++ xxxx
d)
( )( )( )( )

1086321 =+++ xxxx
e)
( )( )( )( )
207531 = xxxx
f)
( )( )( )( )
412311214 =+++ xxxx
g)
( ) ( )( )
3512356
2
=+++ xxx
h)
( ) ( )( )
31223712
2
=+++ xxx
i)
( ) ( )( )
1832121
2
=+++ xxx
j)
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 5 8 10 72x x x x x =
k)
( ) ( ) ( ) ( )
2
10 12 15 18 2x x x x x+ + + + =

Bài 4. Giải các phơng trình sau:
a)
( ) ( )
253
44
=+++ xx
b)
( ) ( )
8231
44
=++ xx
c)
( ) ( )
8262
44
=+ xx
d)
( ) ( )
6442
44
=+ xx
Bài 5. Giải các phơng trình sau:
a)
01102610
234
=++ xxxx
b)
01464
234
=+ xxxx

c)
0122
234
=++ xxxx
d)
046143
234
=++ xxxx
e)
4 3 2
4 9 8 4 0x x x x + + =
f)
4 3 2
5 10 15 9 0x x x x+ + + + =
Bài 6. Giải các phơng trình sau:
a)
04
5
35
2
2
=+
+
+
+
xx
x
x
xx
b)

5
5
7
2
2
=
+
+
xx
xx
c)
064
104
21
2
2
=+
+
xx
xx
d)
2
2
4 2
4x x
x x

+ =
ữ

e)
( ) ( )
253
44
=+++ xx
Bài 7. Giải các hệ phơng trình sau:



=
=++
3
1
.
22
xyyx
yxyx
a



=+
=+
10
58
.
22
yx
yx
b

=+
=+
2
13
.
22
yx
yxyx
c



=++
=++
2
4
.
22
xyyx
yxyx
d
Bài 8. Giải các hệ phơng trình sau:
2 2
2 2
2 3 2
.
2 3 2

x y y
a
y x x
=


=









=
=
y
x
xy
x
y
yx
b
43
43
.

+=
+=
xyxy
yxyx
c
22
22
.
22
22




=+
=+
yxyy
xxyx
d
32
32
.
2
2
h. Hình học .
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại B. Một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, đờng tròn đờng kính MC cắt
tia AM tại điểm thứ hai N và cắt tia Bn tại điểm thứ hai D.
a) Chứng minh A, B, N, C cùng nằm trên một đờng tròn

b) Chứng minh CB là tia phân giác góc ACD
c) Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, K là điểm đối xứng với M qua AC. Chứng minh tứ giác
AHCK nội tiếp
d) Xác định vị trí của điểm M để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCK có đờng kính nhỏ nhất có thể
đợc.
Bài 2 : Cho (O;R) đờng kính AB, M là một điểm thuộc (O) và MA < MB. Từ M kẻ đờng thẳng vuông
góc với AB tại H và cắt (O) tại điểm thứ hai N. Trên tia đối của tia MN lấy điểm C. Nối C với B cắt đờng
tròn tại điểm thứ hai I. Giao điểm của AI với MN là K.
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
12
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
a) Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp
b) Chứng minh : CI. CB = CK . CH
c) Chứng minh IC là tia phân giác góc ngoài của tam giác IMN
d) Cho MN =
3R
và AN // BC. Tính MC.
Bài 3 : Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB và một điểm C trên nửa đờng tròn đó (AC < BC), D là
một điểm trên dây BC nhng không trùng với B và C. AD cắt nửa đờng tròn tại điểm thứ hai là E, BE
cắt đờng thẳng AC tại F.
a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.
b) Chứng minh
ã
ã
CDF BAC=
c) Gọi giao điểm thứ hai của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BED với đờng kính AB là G. Chứng
minh FD đi qua G.
d) Biết dây AC = a, dây CB = b, tính tổng BE. BF + AC. AF theo a và b.
Bài 4 : Cho (O) và một điểm A cố định ở ngoài đờng tròn. Qua A kẻ một cát tuyến d cắt đờng tròn tại

điểm B và C (B nằm giữa A và C). Tiếp tuyến AM, AN tiếp xúc với đờng tròn tại M và M, gọi I là
trung điểm của BC.
a) Chứng minh : AM
2
= AB. AC
b) Chứng minh các tứ giác OMAN và IMAN nội tiếp đợc.
c) Đờng thẳng qua B song song với AM cắt MN tại E. Chứng minh IE // MC
d) Khi d quay quanh A thì trọng tâm G của tam giác MBC chạy trên đờng nào ?
Bài 5 : Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, A là một điểm thuộc cung BC sao cho
ằ
ằ
AB AC<
. Tia phân
giác của
ã
BAC
cắt (O) tại M, cắt BC tại I.
a) Chứng minh AB. IC = AI. MB
b) Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Kẻ Dx vuông góc với DA cắt tia AM tại E. Tứ giác
ADEC là hình gì ? Chứng minh.
c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tia DE tại G. Chứng minh rằng tứ giác BDGC nội tiếp.
d) Chứng minh rằng B; M; G thẳng hàng.
Bài 6 : Từ một điểm S ở ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC tới đờng
tròn sao cho
ã
90
o
BAC <
. Tia phân giác của
ã

BAC
cắt dây BC tại D và cắt đờng tròn tại điểm thứ hai
E. Các tiếp tuyến của (O) tại C và E cắt nhau tại N. Gọi P và Q theo thứ tự là giao điểm của các cặp
đờng thẳng AB và CE; AE và CN.
a) Chứng minh SA = SD
b) Chứng minh EN // SD
c) So sánh tam giác PCB và tam giác QCE
d) Chứng minh :
1 1 1
= +
CN CD CQ
Bài 7 : Cho tam giác ADC (
à
90
o
A =
). Điểm B nằm giữa A và C (B A, B C). Đờng tròn (O) đờng
kính BC giao CD tại M. Tia MA giao với (O) tại điểm thứ hai N.Kẻ NP vuông góc với AC (P (O)).
a) Chứng minh CM. CD = CB. CA
b) Chứng minh D, B, P thẳng hàng
c) Chứng minh tứ giác ADCP nội tiếp .
d) Khi B di động trên đoạn AC. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác BCD luôn nằm trên đờng
thẳng cố định.
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
13
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
Phần 3 các đề tổng hợp
Đề số 1
Bài 1: Cho M =

6
3
a a
a
+
+
a) Rút gọn M.
b) Tìm a để / M / =

1
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài 2: Cho hệ phơng trình
4 3 6
5 8
x y
x ay
=


+ =

a) Giải phơng trình. b) Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất âm.
Bài 3: Giải toán bằng cách lập phơng trình
Một đoàn xe dự định chở 40 tấn hàng. Nhng thực tế phải chở 14 tấn nữa nên phải điều thêm hai xe và
mỗi xe phải chở thêm 0,5 tấn. Tính số xe ban đầu.
Bài 4: Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đờng tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm M,
N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT với đờng tròn (O)
a) Chứng minh: PT
2
= PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, T thuộc một

đờng tròn cố định.
b) Gọi giao điểm của TT với PO, PM là I và J. K là trung điểm của MN.
Chứng minh: 4 điểm O, K, T, P cùng thuộc một đờng tròn và 4 điểm O, K, I, J cùng thuộc
một đờng tròn
c) Chứng minh: Khi đờng tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TT luôn đi qua điểm cố định.
d) Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc

TPT = 60
0
.
Bài 4: Giải phơng trình
3
4 2
1
3 7 4
x x
x x

=
+
Đề số 2
Bài 1: Cho biểu thức
C =
3 3 4 5 4 2
:
9
3 3 3 3
x x x x
x
x x x x x

+ +

ữ ữ
ữ ữ

+

a) Rút gọn C
b) Tìm giá trị của C để / C / > - C
c) Tìm giá trị của C để C
2
= 40C.
Bài 2: Giải toán bằng cách lập phơng trình
Hai ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60km với cùng một vận tốc. Đi đợc 2/3 quãng đờng ngời thứ
nhất bị hỏng xe nên dừng lại 20 phút đón ôtô quay về A. Ngời thứ hai vẫn tiếp tục đi với vẫn tốc cũ và
tới B chậm hơn ngời thứ nhất lúc về tới A là 40 phút. Hỏi vận tốc ngời đi xe đạp biết ôtô đi nhanh hơn xe
đạp là 30km/h.
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
14
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
Bài 3: Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng d vuông góc với AC tại
A. Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt đờng thẳng d tại D; Tia AM cắt
đờng tròn tại điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P.
a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc.
b) Chứng minh: Tích CM. CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
c) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên một đờng tròn cố định.
Bài 4:

a) Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
(P)
b) Tìm hệ số góc của đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 sao cho đờng
thẳng ấy :
Cắt (P) tại hai điểm
Tiếp xúc với (P)
Không cắt (P)
Đề số 3
Bài 1: Cho biểu thức
4 3 2 4
:
2 2 2
x x x x
P
x x x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ


a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tính giá trị nhỏ nhất của
P
d) Tìm giá trị của m để có giá trị x > 1 thoả mãn:

( )

4123
=
xmpxm

Bài 2: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx -
2
m
- 1 và parabol (P) có phơng trình y =
2
2
x
.
a) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P).
b) Tính toạ độ các tiếp điểm
Bài 3: Cho ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ hơn 60
0
; trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho
AD = AC.
a) Tam giác BCD là tam giác gì ? tại sao?
b) Kéo dài đờng cao CH của ABC cắt BD tại E. Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với CD tại F.
Qua C vẽ tiếp tuyến thứ hai CG của đờng tròn này. Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc
một đờng tròn.
c) Các đờng thẳng AB và CG cắt nhau tại M, tứ giác AFGM là hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh: MBG cân.
Bài 4:
Giải phơng trình: (1 + x
2
)
2
= 4x (1 - x

2
)
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
15
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
Đề số 4
Câu 1 ( 3 điểm )
1) Giải các phơng trình sau :
a) 4x + 3 = 0
b) 2x - x
2
= 0
2) Giải hệ phơng trình :
2 3
5 4
x y
y x
=


+ =

Câu 2( 2 điểm )
1) Cho biểu thức : P =
( )
3 1 4 4
a > 0 ; a 4
4
2 2

a a a
a
a a
+
+

+
a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P với a = 9 .
2) Cho phơng trình : x
2
- ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m là tham số )
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm còn lại .
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn
3 3
1 2
0x x+

Câu 3 ( 1 điểm )
Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km . Một ô tô đi từ A đến B , nghỉ 90 phút ở B ,
rồi lại từ B về A . Thời gian lúc đi đến lúc trở về A là 10 giờ . Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5
km/h . Tính vận tốc lúc đi của ô tô .
Câu 4 ( 3 điểm )
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình
chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm
của BD và CF là N

Chứng minh :
a) CEFD là tứ giác nội tiếp .
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .
c) BE . DN = EN . BD
Câu 5 ( 1 điểm )
Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2
1
x m
x
+
+
bằng 2 .
Để 5
( Thi tuyển sinh lớp 10 - THPT năm 2006 - 2007 - Hải Dơng - 120 phút - Ngày 30 / 6 / 2006
Câu 1 (3 điểm )
1) Giải các phơng trình sau :
a) 5( x - 1 ) = 2
b) x
2
- 6 = 0
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = 3x - 4 với hai trục toạ độ .
Câu 2 ( 2 điểm )
1) Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình : y = ax + b .
Xác định a , b để (d) đi qua hai điểm A ( 1 ; 3 ) và B ( - 3 ; - 1)
2) Gọi x
1
; x
2

là hai nghiệm của phơng trình x
2
- 2( m - 1)x - 4 = 0 ( m là tham số )
Tìm m để :
1 2
5x x+ =
3) Rút gọn biểu thức : P =
1 1 2
( 0; 0)
2 2 2 2 1
x x
x x
x x x
+

+
Câu 3( 1 điểm)
Một hình chữ nhật có diện tích 300 m
2
. Nếu giảm chiều rộng đi 3 m , tăng chiều dài thêm 5m thì
ta đợc hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu . Tính chu vi
hình chữ nhật ban đầu .
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
16
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
Câu 4 ( 3 điểm )
Cho điểm A ở ngoài đờng tròn tâm O . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn (B , C là tiếp
điểm ) . M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC ( M B ; M C ) . Gọi D , E , F tơng ứng là hình chiếu
vuông góc của M trên các đờng thẳng AB , AC , BC ; H là giao điểm của MB và DF ; K là giao điểm của

MC và EF .
1) Chứng minh :
a) MECF là tứ giác nội tiếp .
b) MF vuông góc với HK .
2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD . ME lớn nhất .
Câu 5 ( 1 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ ( Oxy ) cho điểm A ( -3 ; 0 ) và Parabol (P) có phơng trình y
= x
2
. Hãy tìm toạ độ của điểm M thuộc (P) để cho độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất .
Đề số 6
Câu 1 ( 3 điểm )
1) Giải phơng trình :
8152 =++ xx
2) Xác định a để tổng bình phơng hai nghiệm của phơng trình x
2
+ax +a 2 = 0 là bé nhất .
Câu 2 ( 2 điểm )
Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( 3 ; 0) và đờng thẳng x 2y = - 2 .
a) Vẽ đồ thị đờng thẳng. Gọi giao điểm của đờng thẳng với trục tung và trục hoành là B và E.
b) Viết phơng trình đờng thẳng qua A và vuông góc với đờng thẳng x 2y = -2 .
c) Tìm toạ độ giao điểm C của hai đờng thẳng đó . Chứng minh rằng EO. EA = EB . EC và
tính diện tích của tứ giác OACB .
Câu 3 ( 2 điểm )
Giả sử x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình :
x
2

(m+1)x +m
2
2m +2 = 0 (1)
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép , hai nghiệm phân biệt .
b) Tìm m để
2
2
2
1
xx +
đạt giá trị bé nhất , lớn nhất .
Câu 4 ( 3 điểm )
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . Kẻ đờng cao AH , gọi trung điểm của AB , BC theo thứ
tự là M , N và E , F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của của B , C trên đờng kính AD .
a) Chứng minh rằng MN vuông góc với HE .
b) Chứng minh N là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF .
Đề số 7
Câu 1 : ( 2 điểm )
Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)
1) Tính giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 )
2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là - 3 .
3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là - 5 .
Câu 2 : ( 2,5 điểm )
Cho biểu thức :
1 1 1 1 1
A= :
1- x 1 1 1 1x x x x

+ +
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x =
7 4 3+
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
Câu 3 : ( 2 điểm )
Cho phơng trình bậc hai :
2
3 5 0x x+ =
và gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
. Không
giải phơng trình , tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
2 2
1 2
1 1
x x
+
b)
2 2
1 2
x x+

Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
17

Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
c)
3 3
1 2
1 1
x x
+
d)
1 2
x x+
Câu 4 ( 3.5 điểm )
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn đờng kính BD cắt BC
tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn .
c) AC song song với FG .
d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy .
Đề 8
I. Trắc nghiệm
Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu sau:
1. Căn bậc hai số học của số a không âm là :
A. số có bình phơng bằng a B.
a
C.
a
D. B, C đều đúng
2. Cho hàm số
( ) 1y f x x= =
. Biến số x có thể có giá trị nào sau đây:
A.

1x
B.
1x
C.
1x
D.
1x
3. Phơng trình
2
1
0
4
x x+ + =
có một nghiệm là :
A.
1
B.
1
2

C.
1
2
D. 2
4. Trong hình bên, độ dài AH bằng:
A.
5
12
B.
2,4

C.
2
D.
2,4
II. Tự luận
Bài 1: Giải các hệ phơng trình và phơng trình sau:
a)
17 4 2
13 2 1
x y
x y
+ =


+ =

b)
2
1
2 0
2
x x+ =
c)
4 2
15
1 0
4
x x+ =
Bài 2: Cho Parabol (P)
2

y x=
và đờng thẳng (D):
2y x= +
a) Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phẳng toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm A, B của (P) và (D) bằng phép tính.
c) Tính diện tích AOB (đơn vị trên 2 trục là cm).
Bài 3: Một xe ôtô đi từ A đến B dài 120 km trong một thời gian dự định. Sau khi đợc nửa quãng đờng thì
xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên xe đến B sớm hơn 12 phút so với dự định. Tính vận tốc ban đầu của
xe.
Bài 4: Tính:
a)
2 5 125 80 605 +
b)
10 2 10 8
5 2 1 5
+
+
+
Bài 5: Cho đờng tròn (O), tâm O đờng kính AB và dây CD vuông góc với AB tại trung điểm M của OA.
a) Chứng minh tứ giác ACOD là hình thoi.
b) Chứng minh : MO. MB =
2
CD
4
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
18
4
3
B

A
C
H
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
c) Tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau tại N. Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp
CDN và B là tâm đờng tròn bàng tiếp trong góc N của CDN.
d) Chứng minh : BM. AN = AM. BN
Đề 9
I. Trắc nghiệm
Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu sau:
1. Căn bậc hai số học của
2
( 3)
là :
A.
3

B.
3
C.
81

D.
81
2. Cho hàm số:
2
( )
1
y f x
x

= =
+
. Biến số x có thể có giá trị nào sau đây:
A.
1x
B.
1x
C.
0x
D.
1x
3. Cho phơng trình :
2
2 1 0x x+ =
có tập nghiệm là:
A.
{ }
1
B.
1
1;
2




C.
1
1;
2

D.

4. Trong hình bên, SinB bằng :
A.
AH
AB
B. CosC
C.
AC
BC
D. A, B, C đều đúng.
II. Phần tự luận
Bài 1: Giải các hệ phơng trình và phơng trình sau:
a)
1 2
4
2 3
3 2 6
x y
x y

=



+ =

b)
2
0,8 2, 4 0x x+ =
c)
4 2
4 9 0x x =
Bài 2: Cho (P):
2
2
x
y

=
và đờng thẳng (D):
2y x=
.
a) Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phẳng toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (D) và (P) bằng phép toán.
c) Viết phơng trình đờng thẳng (D') biết (D') // (D) và (D') tiếp xúc với (P).
Bài 3: Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 7 m và có độ dài đờng chéo là 17 m. Tính chu
vi, diện tích của hình chữ nhật.
Bài 4: Tính:
a)
15 216 33 12 6 +
b)
2 8 12 5 27
18 48 30 162
+

+
Bài 5: Cho điểm A bên ngoài đờng tròn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đờng
tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.
a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh HA là tia phân giác của
ã
BHC
.
c) DE cắt BC tại I. Chứng minh :
2
AB AI.AH=
.
d) Cho
AB=R 3
và
R
OH=
2
. Tính HI theo R.
Đề 10
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
19
B
A
C
H
B
A
C

Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
I. Trắc nghiệm
Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu sau:
1. Căn bậc hai số học của
2 2
5 3
là:
A. 16 B. 4 C.
4
D. B, C đều đúng.
2. Trong các phơng trình sau, phơng trình nào là phơng trình bậc nhất hai ẩn x, y:
A. ax + by = c (a, b, c R) B. ax + by = c (a, b, c R, c0)
C. ax + by = c (a, b, c R, b0 hoặc c0) D. A, B, C đều đúng.
3. Phơng trình
2
1 0x x+ + =
có tập nghiệm là :
A.
{ }
1
B.

C.
1
2




D.

1
1;
2




4. Cho
0 0
0 90

< <
. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng:
A. Sin

+ Cos

= 1 B. tg

= tg(90
0




)
C. Sin

= Cos(90
0

) D. A, B, C đều đúng.
II. Phần tự luận.
Bài 1: Giải các hệ phơng trình và phơng trình sau:
a)
12 5 9
120 30 34
x y
x y
=


+ =

b)
4 2
6 8 0x x + =
c)
1 1 1
2 4x x
=
+
Bài 2: Cho phơng trình :
2
1
3 2 0
2

x x =
a) Chứng tỏ phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Không giải phơng trình, tính :
1 2
1 1
x x
+
;
1 2
x x
(với
1 2
x x<
)
Bài 3: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng
3
7
chiều dài. Nếu giảm chiều dài 1m và tăng chiều rộng
1m thì diện tích hình chữ nhật là 200 m
2
. Tính chu vi hình chữ nhật lúc ban đầu.
Bài 4: Tính
a)
2 3 2 3
2 3 2 3
+
+
+
b)
16 1 4

2 3 6
3 27 75

Bài 5: Cho đờng tròn (O ; R) và dây BC, sao cho
ã
0
120BOC =
. Tiếp tuyến tại B, C của đờng tròn cắt
nhau tại A.
a) Chứng minh ABC đều. Tính diện tích ABC theo R.
b) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB, AC lần lợt
tại E, F. Tính chu vi AEF theo R.
c) Tính số đo của
ã
EOF
.
d) OE, OF cắt BC lần lợt tại H, K. Chứng minh FH OE và 3 đờng thẳng FH,
EK, OM đồng quy.
Đề 11
I. Trắc nghiệm
Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu sau:
1. Căn bậc ba của
125
là :
A. 5 B.
5

C.
5

D.
25

2. Cho hàm số
( )y f x=
và điểm A(a ; b). Điểm A thuộc đồ thị của hàm số
( )y f x=
khi:
A.
( )b f a=
B.
( )a f b=
C.
( ) 0f b =
D.
( ) 0f a =
3. Phơng trình nào sau đây có hai nghiệm phân biệt:
A.
2
1 0x x+ + =
B.
2
4 4 1 0x x + =
C.
2
371 5 1 0x x+ =
D.
2
4 0x =
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp

nghieọp !
20
30
0
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
4. Trong hình bên, độ dài BC bằng:
A.
2 6
B.
3 2

C.
2 3
D.
2 2
II. Phần tự luận
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a)
2 3 2x x+ = +
b)
4 5
3
1 2x x
=

c)
( )
2
3 2 1 3 2 0x x + + =
Bài 2: Cho (P):

2
4
x
y =
và (D):
1y x=
a) Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phẳng toạ độ.
b) Chứng tỏ (D) tiếp xúc (P), tìm toạ độ tiếp điểm bằng phép toán.
Bài 3: Một hình chữ nhật có chiều dài bằng 2,5 lần chiều rộng và có diện tích là 40m
2
. Tính chu vi của
hình chữ nhật.
Bài 4: Rút gọn:
a)
( )
2
2
4
4
2 4 4
x
x x

+
với x 2.
b)
:
a a b b a b b a a b
a b a b a b

+

ữ ữ
ữ ữ
+ +

(với a; b 0 và a b)
Bài 5: Cho hai đờng tròn (O ; 4cm) và (O' ; 3cm) với OO' = 6cm.
a) Chứng tỏ đờng tròn (O ; 4cm) và (O' ; 3cm) cắt nhau.
b) Gọi giao điểm của (O) và (O') là A, B. Vẽ đờng kính AC của (O) và đờng
kính AD của (O'). Chứng minh C, B, D thẳng hàng.
c) Qua B vẽ đờng thẳng d cắt (O) tại M và cắt (O') tại N (B nằm giữa M và N).
Tính tỉ số
AN
AM
.
d) Cho
ằ
0
120sd AN =
. Tính
AMN
S

?

Đề 12
I. Trắc nghiệm
Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu sau:
1. Kết quả của phép tính

25 144+
là:
A. 17 B. 169
C. 13 D. Một kết quả khác
2. Cho hàm số
( )y f x=
xác định với mọi giá trị của x thuộc R. Ta nói hàm số
( )y f x=
đồng biến
trên R khi:
A. Với
1 2 1 2 1 2
, ; ( ) ( )x x R x x f x f x < >
B. Với
1 2 1 2 1 2
, ; ( ) ( )x x R x x f x f x > >
C. Với
1 2 1 2 1 2
, ; ( ) ( )x x R x x f x f x > <
D. Với
1 2 1 2 1 2
, ; ( ) ( )x x R x x f x f x
3. Cho phơng trình
2
2 2 6 3 0x x+ + =
phơng trình này có :
A. 0 nghiệm B. Nghiệm kép
C. 2 nghiệm phân biệt D. Vô số nghiệm
4. Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác là:
A. Giao điểm 3 đờng phân giác của tam giác

B. Giao điểm 3 đờng cao của tam giác
C. Giao điểm 3 đờng trung tuyến của tam giác
D. Giao điểm 3 đờng trung trực của tam giác
II. Phần tự luận
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
21
6
Bài tập toán 9 ôn thi THPT Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng
Bài 1: Giải các hệ phơng trình và phơng trình sau:
a)
2
1 1
0
6 9
x x =
b)
2
3 4 3 4 0x x + =
c)
2 2
5 3 5 2
x y
x y
=



=

Bài 2: Cho phơng trình :
2
4 1 0x x m + + =
(1) (m là tham số)
a) Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm m sao cho phơng trình (1) có hai nghiệm
1 2
;x x
thoả mãn biểu thức:
2 2
1 2
26x x+ =
c) Tìm m sao cho phơng trình (1) có hai nghiệm
1 2
;x x
thoả mãn
1 2
3 0x x =
Bài 3: Một hình chữ nhật có diện tích là 240 m
2
. Nếu tăng chiều rộng thêm 3m và giảm chiều dài đi 4m
thì diện tích không đổi. Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu.
Bài 4: Tính
a)
4 3
2 27 6 75
3 5
+
b)

( )
3 5 . 3 5
10 2
+
+
Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn
thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.
a) Chứng minh
DMC

đều.
b) Chứng minh MB + MC = MA.
c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp đợc.
d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đờng cố định nào ?
đề 13 .
Câu 1 ( 2 điểm )
Cho phơng trình : x
2
+ 2x 4 = 0 . gọi x
1
, x
2
, là nghiệm của phơng trình .
Tính giá trị của biểu thức :
2
2
1
2
21
21

2
2
2
1
322
xxxx
xxxx
A
+
+
=
Câu 2 ( 3 điểm)
Cho hệ phơng trình



=+
=
12
7
2
yx
yxa
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là ( x , y) . Tìm các giá trị của a để x + y = 2 .
Câu 3 ( 2 điểm )
Cho phơng trình x
2
( 2m + 1 )x + m
2

+ m 1 =0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m .
b) Gọi x
1
, x
2
, là hai nghiệm của phơng trình . Tìm m sao cho : ( 2x
1
x
2
)( 2x
2
x
1
) đạt giá
trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất ấy .
c) Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m .
Câu 4 ( 3 điểm )
Cho hình thoi ABCD có góc A = 60
0
. M là một điểm trên cạnh BC , đờng thẳng AM cắt cạnh
DC kéo dài tại N .
a) Chứng minh : AD
2
= BM.DN .
b) Đờng thẳng DM cắt BN tại E . Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp .

c) Khi hình thoi ABCD cố định . Chứng minh điểm E nằm trên một cung tròn cố định khi m
chạy trên BC .
Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !
22