Tài liệu ôn toán lớp 9, luyện thi vào lớp 10 trung học phổ thông tham khảo (28)

Những tình huống điển hình trong dạy học toán
Biên soạn: Mai Xuân Vinh cùng Đội ngũ cốt cán CM toán sở GD&ĐT Nghệ An
I. Một số khái niệm th ờng gặp
Nội dung môn toán ở trờng phổ thông liên hệ mật thiết trớc hết với những hoạt
động toán học sau đây:
+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện
Nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động trái ngợc nhau liên hệ với một
định nghĩa, một định lý hay một phơng pháp .
Tuy hai hoạt động trái ngợc nhau nhng lại liên quan mật thiết với nhau và đan
kết vào nhau.
- Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tợng cho trớc có thoả mãn
định nghĩa đó hay không. Thể hiện một khái niệm là tạo một đối tợng thoả mãn định
nghĩa đó.
- Nhận dạng một định lý là xét xem một tình huống cho trớc có ăn khớp với định
lý đó hay không, còn thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống ăn khớp với định
lí cho trớc.
- Nhận dạng một phơng pháp là phát hiện xem một loạt tình huống có phù hợp
với các bớc thực hiện phơng pháp đó hay không, thể hiện một phơng pháp là tạo ra
một dãy tình huống phù hợp với các bớc của một phơng pháp đã biết.
+ Những hoạt động toán học phức hợp: nh chứng minh, định nghĩa, giải toán
dựng hình, quỹ tích
Những hoạt động này xuất hiện lặp đi lặp lại trong sách giáo khoa toán phổ
thông. Học sinh luyện tập những hoạt động này làm cho họ nắm vững những nội dung
toán học và phát triển những kỹ năng và năng lực toán học tơng ứng.
- Suy luận: Là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp xuất phát từ một hay
nhiều điều đã biết để đi đến những phán đoán mới.
- Suy đoán: Trên cơ sở thực nghiệm, thấy có một số dấu hiệu giống nhau nào
đó đề ra giả thuyết theo hình thức quy nạp không hoàn toàn.
- Phán đoán: Là một hình thức t duy trong đó khẳng định một dấu hiệu nào đó
thuộc hay không thuộc một đối tợng nào đó xác định.
Phán đoán trong logic hình thức có tính chất đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy

ra một trong hai trờng hợp đó.
Phán đoán đợc hình thành bởi hai phơng thức chủ yếu: Trực tiếp và gián tiếp.
Nếu hình thành trực tiếp, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên cứu của một quá trình tri
giác một đối tợng. Hình thành gián tiếp thờng thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt
nào đó gọi là suy luận.

- Chứng minh: Là quá trình xác nhận tính đúng đắn hoặc bác bỏ một phán đoán nào
đó dựa vào các phán đoán đã biết từ trớc.

Nh vậy chứng minh (chẳng hạn một BTT) là tìm một dãy hữu hạn các phán
đoán thoả mãn:
* Mỗi phán đoán của dãy hoặc là tiên đề hoặc là định nghĩa hoặc định lí hoặc là
giả thiết đã cho hoặc là những phán đoán đi trớc của dãy nhờ các quy tắc suy luận.
*Phán đoán A
n
của dãy là điều cần chứng minh của BTT.
+ Những hoạt động trí tuệ phổ biến: Lật ngợc vấn đề, xét tính giải đợc, phân chia
trờng hợp
+ Những hoạt động trí tuệ chung: Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tơng tự, đặc
biệt hoá, trừu tợng hoá, khái quát hoá
- Phép phân tích là phơng pháp suy luận đi từ cái cha biết đến cái đã biết.
- Phép tổng hợp là phơng pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái cha biết. Nếu A
là phán đoán cần chứng minh và A
i
(i = 1, 2, 3 , n) hoặc là tiên đề hoặc định lí hoặc
là giả thiết đã biết thì sơ đồ của phép tổng hợp nh sau: A
1
=> A
2
=> => A

n
= A.
- So sánh: Phát hiện những điểm chung và những điểm khác nhau của một số
đối tợng.
- Tơng tự: Là thao tác t duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ giữa
các đối tợng toán học khác nhau.
Sự tơng tự do tính trực quan và dễ phát hiện ra nó, thờng đợc áp dụng
trong giải BTT. Tuy nhiên cần lu ý cũng giống nh phơng pháp quy nạp không hoàn
toàn, tơng tự cũng dễ dẫn đến kết quả sai.
- Khái quát hoá: Là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chất nào đó có
ngoại diên hẹp sang khái niệm hay tính chất có ngoại diên rộng hơn bao gồm tập
hợp các đối tợng ban đầu. (khái quát hoá ngoại diên).
Khái quát hoá cũng là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chất nào đó
sang khái niệm hay tính chất rộng hơn, bao gồm cả khái niệm hay tính chất ban đầu
(khái quát hoá nội hàm).
Hoạt động khái quát hoá có liên quan mật thiết đến đặc biệt hoá, phân tích, tổng
hợp, so sánh, tơng tự, trừu tợng hoá và hệ thống hoá.
- Đặc biệt hoá: Là thao tác t duy ngợc với khái quát hoá. Đặc biệt hoá là thao tác
t duy chuyển từ một khái niệm hay một tính chất nào đó từ ngoại diên rộng sang tập
các đối tợng có ngoại diên hẹp hơn, chứa trong tập ban đầu (đặc biệt hoá ngoại diên).
Đặc biệt hoá cũng là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chất tổng quát về
khái niệm hay tính chất xuất phát (đặc biệt hoá nội hàm)
- Trừu tợng hoá: Là thao tác tách ra từ một đối tợng toán học một tính chất (về
quan hệ số lợng hoặc hình dạng logic của thế giới khách quan) để nghiên cứu riêng
tính chất đó. Trừu tợng hoá thoát ra khỏi mọi nội dung có tính chất liệu.
+ Những hoạt động ngôn ngữ Việc sử dụng ngôn ngữ, nói riêng trong giới học
sinh, còn có những điều đáng bàn. chúng ta có thể tổ chức dạy và học đạt tới trình độ
ngôn ngữ hay. Đó là công cụ của ngời viết văn chẳng hạn.
Nhng khi nói đến rèn luyện ngôn ngữ thì ngời ta chủ yếu nhìn vào mục tiêu là
ngôn ngữ đúng, ngôn ngữ chuẩn mực. Việc xây dựng kỹ năng sử dụng ngôn ngữ

đúng, về nguyên tắc phải đợc hình thành ở bậc phổ thông. Nhng trên thực tế, ở nớc ta
học sinh tốt nghiệp phổ thông, viết nói tiếng mẹ đẻ cha tốt lắm. Cho nên, muốn giữ gìn
sự trong sáng của tiếng Việt, chúng ta phải tốn nhiều công sức cho việc rèn luyện
ngôn ngữ, trớc hết, tập trung vào luyện kỹ năng sử dụng ngôn ngữ đúng, chuẩn xác .
Trecnsepxki cho rằng Cái gì anh hình dung không rõ thì diễn đạt không sáng,
diễn đạt thiếu chính xác và lộn xộn thì chứng tỏ ý nghĩ của mình rối rắm, phức tạp mà
thôi
- Ngôn ngữ toán học
Toán học theo nghĩa nào đó là một thứ ngôn ngữ để mô tả một tình huống cụ
thể nảy sinh trong nghiên cứu khoa học, hoặc trong hoạt động thực tiễn của loài ngời.
Bởi vậy: "Dạy toán, xét về mặt nào đó là dạy học một ngôn ngữ, một ngôn ngữ đặc
biệt, có tác dụng to lớn trong việc diễn tả các sự kiện, các phơng pháp trong các lĩnh
vực rất khác nhau của khoa học và hoạt động thực tiễn .
Ngôn ngữ toán học là kết quả của sự cải tiến ngôn ngữ tự nhiên theo các
khuynh hớng sau:
- Khắc phục sự cồng kềnh của ngôn ngữ tự nhiên.
- Mở rộng các khả năng biểu diễn của nó.
- Loại bỏ sự đa nghĩa của ngôn ngữ tự nhiên.
Nhà vật lý học Niels Bohr coi ngôn ngữ toán học là sự cải tiến ngôn ngữ chung,
sự trang bị cho nó những công cụ thuận tiện để phản ánh những mối quan hệ phụ
thuộc mà nếu biểu diễn bằng ngôn ngữ thông thờng thì không chính xác .
Học sinh thực hiện những hoạt động ngôn ngữ trong học toán khi phát biểu, giải
thích một định nghĩa, một mệnh đề, khi biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác
(chẳng hạn từ dạng kí hiệu toán học sang ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngợc lại), trình bày
lời giải của bài tập toán
II. Dạy học khái niệm toán học
1, Khái niệm toán học
KháI niệm là một hình thức t duy phản ánh một lớp đối tợng.
- Do đó khái niệm có thể đợc xem xét theo hai phơng diện:
- Lớp đối tợng xác định khái niệm đợc gọi là ngoại diên.

- Các thuộc tính chung của lớp đối tợng này đợc gọi là nội hàm của khái niệm.
Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ có tính quy luật: Nội hàm càng mở
rộng thì ngoại diên càng hẹp và ngợc lại.
Ví dụ: Mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành, bổ sung có một góc
vuông ta đợc một lớp là hinh chữ nhật là một bộ phận thực sự của lớp hình bình hành.
2, Định nghĩa khái niệm
Định nghĩa một khái niệm là một thao tác lôgic nhằm phân biệt một lớp dối t-
ợng, thờng bằng cách chỉ ra nội hàm của khái niệm đó.
- Có những khái niệm không định nghĩa:
- Để định nghĩa một khái niệm mới dựa vào khái niệm đã biết mà quá trình
đĩnh nghĩa cứ tiếp tục đến một khái niệm không thể dựa và khái niệm khác để định
nghĩa vậy khái niệm đó đợc thừa nhận là điểm xuất phát, gọi là những khái niệm
nguyên thủy.
Ví dụ: Khái niệm điểm, đờng thẳng, mặt phẳng.
3, Yêu cầu của dạy khái niệm:
Trong việc dạy toán ở phổ thông ,điều quan trọng bậc nhất là hình thành
một cách vững chắc cho hs một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở toàn bộ kiến
thứcToán học của hs, là tiền đề quan trọng cho hs khả năng vận dụng các kiến thức
đã học.
Việc dạy kn toán cần làm cho hs dần dần đạt đợc các yêu cầu sau:
- Nắm vững các đặc điểm đặc trng cho một khái niệm.
- Biết nhận dạng và thể hiện khái niệm
- Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa khái niệm.
- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải
toán và ứng dụng vào thực tiễn.
- Biết phân loại kn, nắm đợc mối quan hệ của một khái niệm với một khái niệm
khác trong cùng một hệ thống.
4, Các hoạt động trình tự trong quá trình dạy học khái niệm
- HĐ1: Tiếp cận khái niệm
- HĐ2: Định nghĩa khái niệm

- HĐ3: Cũng cố khái niệm ( nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn
ngữ, vận dụng khái niệm vào giải bài tập ; khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa
những khái niệm đã học)
5, Các con đ ờng tiếp cận khái niệm:
- Con đờng suy diễn;
- Con đờng quy nạp;
- Con đờng kiến thiết;
a, Con đ ờng suy diễn
- Các kn Toán học đợc đn nh là một trờng hợp riêng của một khái niệm đã biết.
- Xuất phát từ một kn đã biết thêm vào nội hàm của kn đó một số đặc điểm mà
ta quan tâm.
- Phát biểu đn bằng một cái tên mới và đn nó nhờ một kn tổng quát hơn cùng
với những đặc điểm hạn chế một bộ phận trong kn tổng quát đó.
- Đa ra ví dụ minh họa
Ví dụ: Đn hình chữ nhật, hình thoi nh là trờng hợp riêng của hình bình hành.
b, Con đ ờng quy nạp
Xuất phát từ đối tợng riêng lẻ, mô hình, hình vẽ phân tích, so sánh, trừu tợng
hóa, khái quát hóa tìm ra dấu hiệu đăc trng của khái niệm ở các trờng hợp cụ thể đó
đi đến định nghĩa từ đó đi đến đĩnh nghĩa tờng minh hay một sự hiểu biết trực giác khái
niệm đó tùy theo yêu cầu của chơng trình.
Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đờng quy nạp
- Gv đa ra một số ví dụ cụ thể để hs thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một loạt
đối tợng nào đó.
- Dẫn dắt hs phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối
tợng đang xem xét.
- Gợi mở cho hs phát biểu đn bằng cách nêu tên và đặc trng của kn.
Ví dụ: Đn tứ giác( ở lớp 8), hàm số ( ở lớp 9)
c, Con đ ờng kiến thiết
Kết hợp những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn.
Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đờng kiến thiết.

- Xây dựng một hay nhiều đối tợng đại diện cho khái niệm cần đợc hình thành
hớng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ môn toán.
- Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tợng đại diện, đi tới đặc điểm đặc
trng cho kn cần hình thành.
- Phát biểu biểu đn theo gợi ý kết quả bớc 2.
(Con đờng kiến thiết không thấy xuất hiện ở Toán THCS)
Ví dụ: Kn lũy thừa số mũ âm, Vận tốc tức thời của chuyển động.
6, Dạy học phân chia khái niệm
Đn một khái niệm (ở dạng tờng minh hoặc không tờng minh), thì nội hàm và
ngoại diên của nó đợc xác định. Ngoại diên của khái niệm đợc sáng tỏ hơn nữa nhờ sự
phân chia khái niệm. Biết phân chia khái niệm là một trong những biểu hiện của việc
nắm vững những khái niệm toán học
Để học sinh biết phân chia khái niệm, trớc hết cần cho họ hiểu đúng thế nào là
phân chia khái niệm. Một khái niệm có ngoại diên tơng ứng là A đợc phân chia thành
các khái niệm có ngoại diên tơng ứng là A
1
, A
2
, A
n
có nghĩa là các điều kiện sau đây
thõa mãn:
i) A
i
với i = 1, 2, n;
ii) A
i
A
j
= với i j

iii)
n
i
i 1
A A
U
=
=
Ví du: Số phức phân thành số thực và số ảo, số thực phân thành số vô tỉ và số hũ tỉ
III. Dạy học định lý toán học :
Việc dạy học các định lý Toán học nhằm đạt đợc các yêu cầu sau đây:
- Học sinh nắm đợc hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có
khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng nh giải quyết các vấn đề trong
thực tiễn;
- Học sinh thấy đợc sự cần thiết phải chứng minh định lý, thấy đợc chứng minh
định lý là một yếu tố quan trọng trong phơng pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học;
- Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán học, từ chỗ hiểu
chứng minh, trình bàylại đợc chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ để
tìm ra chứng minh, theo yêu cầu chơng trình phổ thông.
Hai con đờng dạy học định lý:
Mục này đợc trình bày dựa theo Pietzsch 1980 (tr. 22-23)
Trong việc dạy học những định lý Toán học, ngời ta phân chia hai con đờng:
con đờng có khâu suy đoán và con đờng suy diễn. Hai con đờng này đợc minh họa
bằng sơ đồ sau:
Sự khác biệt căn bản giữa hai con đờng đó là ở chỗ: theo con đờng có khâu
suy đoán thì việc dự đoán phát hiện trớc việc chứng minh định lý, còn ở con đờng suy
diễn thì hai việc này nhập lại thành một bớc.
Con đờng có khâu suy đoán Con đờng suy diễn
Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Dự đoán và phát biểu định lý Suy diễn dẫn tới định lý

Chứng minh định lý Phát biểu định lý
Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề
Củng cố định lý
a. Con đ ờng có khâu suy đoán
- Gợi động cơ lập định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong
nội bộ Toán học.
- Dự đoán và phát biểu định lý dựa vào những phơng pháp nhận thức mang
tính suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngợc vấn đề, tơng tự hóa, khái quát hóa
một định lý đã biết, nghiên cứu trờng hợp suy biến, xét mối liên hệ và phụ thuộc,
- Chứng minh định lý, trong đó đặc biệt chú ý việc gợi động cơ chứng minh và
gợi học sinh thực hiện những hoạt động ăn khớp với những phơng pháp suy luận,
chứng minh thông dụng và những quy tắc kết luận logic thờng dùng.
Tùy theo yêu cầu của chơng trình, trong những trờng hợp nhất định, việc chứng
minh một số định lý có thể không đặt ra cho chơng trình phổ thông.
- Vận dụng định lý vừa tìm đợc để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi
động cơ.
- Củng cố định lý, khâu này đợc trình bày chung cho cả hai con đờng.
Ví dụ:
b. Con đ ờng suy diễn
- Gợi động cơ học tập định lý nh ở con đờng thứ nhất.
- Xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, dùng suy diễn logic dẫn tới định
lý.
- Phát biểu định lý
- Vận dụng định lý, giống nh ở con đờng có khâu suy đoán.
- Củng cố định lý, khâu này sẽ đợc trình bày chung cho cả hai con đờng.
Ví dụ:
IV. Dạy học các quy tắc và ph ơng pháp
Thực ra, những quy tắc, phơng pháp không hoàn toàn độc lập với định nghĩa và
định lý. Có những quy tắc, phơng pháp dựa vào một định nghĩa hay định lý, thậm chí
có khi chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay định lý. Tuy nhiên,

việc dạy học loại hình tri thức này có những nét riêng, vì thế nó đợc trình bày tách biệt
trong mục này.
a, Những quy tắc, phơng pháp có tính chất thuật toán:
Thuật toán đợc hiểu nh một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác
để ngời (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt đợc mục đích đặt ra hay giải
một lớp bài toán nhất định. Đây cha phải là một định nghĩa chính mà chỉ là một cách
phát biểu giúp ta hình dung khái niệm thuật toán một cách trực giác.
ở trờng phổ thông, học sinh đợc hoạt động với nhiều thuật toán nh thuật toán
cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên và số hữu tỷ, thuật toán tìm ớc số chung lớn nhất
của hai số, bội chung nhỏ nhất của hai số, thuật toán giải hệ phơng trình bậc nhất hai
ẩn, thuật toán giải phơng trình bậc hai Ngời thầy giáo cần có ý thức thông qua việc
dạy học các quy tắc trên mà rèn luyện cho học sinh một loại hình t duy quan trọng: t
duy thuật toán, một yếu tố học vấn phổ thông của con ngời trong thời đại máy tính.
T duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán đã trình bày ở trên.
Do đó, phơng thức t duy này thể hiện ở những khả năng sau đây:
- Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật
toán cho trớc.
- Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần đợc thực hiện theo
một trình tự xác định.
- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
- Khái quát hóa một hoạt động trên trên những đối tợng riêng lẻ thành một hoạt
động trên một lớp đối tợng.
- So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát
hiện thuật toán tối u.
Để tập luyện cho học sinh thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định
phù hợp với một thuật toán cho trớc, có thể phát biểu một số quy tắc toán học thành
những thuật toán dới dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ khối (nếu học sinh đã đợc
học phơng tiện này) rồi yêu cầu họ thực hiện các quy tắc ấy, thông qua đó nhấn mạnh
các bớc và trình tự tiến hành các bớc trong mỗi quy tắc.
V. Dạy luyện tập toán

ở trờng phổ thông dạy toán là dạy hoạt động toán học.Đối với hs có thể xem giải toán
là hình thức chủ yếu của hạot động toán học. Các bài toán là phơng tiện rất có hiệu
quả và không thể thay thế trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triễn t duy,
hình thành kỷ năng, kỷ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập
toán ở trờng phổ thông là điềukiện thực hiện tốt mục dích dạy học bộ môn toán. Vì vậy
tổ chức có hiệu quả việc dạy luyện tập toán có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy
học toán.
Bài tập toán học có chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát
triển và chức năng kiểm tra
- Chức năng day học: Nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ
năng, kỷ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
- Chức năng giáo dục: Nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện
chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất ngời lao động.
- Chức năng phát triển: Nhằm phát triển năng lực t duy của học sinh, đặc biệt là
rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất t duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học,đánh giá khả
năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh [19, tr. 163].
Tác dụng của mỗi bài tập toán phụ thuộc vào nội dung cũng nh khả năng khai
thác lời giải của nó nhằm góp phần rèn luyện hoạt động toán học.
Theo Polya G. Trong toán học nắm vững phơng pháp bộ môn quan trọng hơn
nhiều so với khối lợng kiến thức thuần tuý.
Học sinh nắm vững môn toán ở bậc phổ thông là phải biết giải toán kể cả những
bài tập bình thờng và cả những bài tập đòi hỏi có t duy độc lập, óc phán đoán, , mục
đích chính của dạy học ở phổ thông là dạy cho học sinh suy nghĩ.
Ông dành công sức chủ yếu vào công việc tìm tòi, sắp xếp hệ thống hoá các bài tập
toán, hớng suy nghĩ, các phơng pháp tìm ra cách giải
1.Hiểu rõ ý tởng SGK, dạy sát đối tợng học sinh.
a. Hiểu đợc hệ thống BTT trong SGK
- Các BTT đợc các tác giả đa vào SGK đều có ý tởng cụ thể của nó GV hiểu đ-
ợc một cách tờng minh về tác dụng của BTT đó, khi sử dụng BTT đó cần hiểu rõ chức

năng của nó.
- Trong hệ thống các BTT đã nêu của từng bài học, một số bài học, của bài tập
ôn chơng, GV phải biết phân loại các dạng BTT và chức năng của các dạng BTT đó.
- Cách sử dụng các BTT đó cho từng đối tợng học sinh.
b. Dạy sát đối tợng
Theo L.X. Vygotski, dạy học phải theo đúng chức năng của nó, phải đi trớc sự
phát triển, nó sẽ thúc đẩy, kéo theo sự phát triển đi lên. Mấu chốt của dạy học phát
triển là xác định đúng các trình độ phát triển của học sinh: Trình độ phát triển hiện thời
và khả năng phát triển gần nhất. Mức độ hiện tại đợc biểu hiện qua quá trình HS độc
lập giải quyết nhiệm vụ, không cần sự trợ giúp từ bên ngoài. Còn khả năng phát triển
gần nhất đợc thể hiện trong tình huống HS hoàn thành nhiệm vụ khi có sự hợp tác,
giúp đỡ của ngời khác. Từ đó ông đa ra nguyên lý dạy học phải tác động vào vùng
phát triển gần nhất, có nghĩa là phơng pháp dạy học tuân theo nguyên tắc tôn trọng
kinh nghiệm đã có của HS và tăng dần mức độ khó khăn.
Có ý kiến cho rằng dạy luyện tập toán giống nh luyện tập quân sự; đối với đối t-
ợng học sinh khá, giỏi thầy chỉ hớng dẫn các thao tác và HS tự mình làm đợc; đối với
học sinh trung bình thầy làm mẫu các động tác và học sinh làm theo đợc; đối với HS
yếu thầy giáo phải cho HS làm từng động tác theo mình cho đến lúc HS tự làm đợc mà
không có thầy làm mẫu ở phía trớc.
Qua thực tế dạy học và công tác quản lý dạy và học, chúng tôi đa ra một số
định hớng cho tiết dạy luyện tập hình học nh sau:
+ Phân loại các bài tập ở SGK, SBT (BTT củng cố kiến thức của bài học, BTT ôn
kiến thức của bài học trớc, BT bổ sung lý thuyết, BT khắc sâu kiến thức).
+ Căn cứ vào đối tợng HS của lớp giáo viên giảng dạy để lựa chọn một trong
các ý tởng :
- Với đối tợng học sinh của lớp là học sinh học trung bình và yếu môn toán:
. Thờng dùng các BTT ôn tập kiến thức để kiểm tra nhanh đầu tiết luyện tập
(những bài cha đợc sử dụng sau phần học lý thuyết).
. Hớng dẫn học sinh giải các BTT bổ sung lý thuyết và BTT khắc sâu kiến thức
(các BT ở SGK và SBT đợc lựa chọn), qua việc sử dụng các BTT đó, giúp học sinh tìm

đợc quy trình hoặc định hớng giải các BTT cùng dạng.
- Với đối tợng là học sinh trung bình và trung bình khá:
.Cơ bản học sinh đã giải đợc các BTT thầy giáo ra về nhà chuẩn bị nên nếu đến
lớp trong tiết dạy luyện tập thầy giáo hớng dẫn giải các BTT đó sẽ không tạo ra đợc sự
mới mẻ, dẫn đến HS không hứng thú trong học tập.
Trong trờng hợp này, giáo viên chọn một BTT tơng tự và thêm các câu hỏi nhằm
xâu chuỗi các BTT, HS đã đợc chuẩn bị. Thực tế cho thấy HS hứng thú trong học tập
và tiết dạy thành công hơn nhiều.
- Đối tợng là học sinh khá, giỏi:
.Thầy giáo chỉ kiểm tra nhanh các BTT có tính chất củng cố kiến thức.
Dùng BT điển hình luyện tập với các định hớng khác nhau nhằm tạo ra nhiều
cách giải (nếu có thể), từ BTT đã có tạo ra BTT mới bằng các hoạt động tơng tự, khái
quát hoá, lật ngợc vấn đề tạo thành một số BTT nhằm phát triển t duy sáng tạo cho
HS.
Lu ý rằng: Những BTT mới có thể hoàn thiện tại lớp, có thể cha giải đợc cũng có
thể là ý tởng tạo ra BTT mới chứ cha hoàn thiện HS làm tiếp ở nhà sau tiết luyện tập.
2. Tiến trình giải bài tập toán
Giải BTT là thực hiện một loạt các hoạt động liên tục và khá phức tạp vì BTT là
sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm , quan hệ toán học Vì vậy để giải đợc BTT đòi
hỏi học sinh nắm chắc các khái niệm, định lý, quy tắc các kiến thức trong mối quan
hệ toán học của chơng trình đã học.
Theo V.M. Brađixơ BTT có thể xem là đã đợc giải chỉ sau khi đã tìm đợc lời
giải đảm bảo các điều kiện: Không sai sót, có lập luận khoa học, mang tính toàn diện
và tối u.
Theo Polya G. Giải một BTT chúng ta phải lập đợc một lợc đồ xác định mạnh
lạc những thao tác (lôgíc, toán học hay thực tiễn) bắt đầu từ giả thiết và kết thúc bằng
kết luận, dẫn dắt từ các đối tợng mà ta có trong tay đến đối tợng ta muốn đạt tới.
+ Polya G. quan niệm giải một BTT là một quá trình tìm kiếm những hoạt động
thích hợp để đạt kết quả. Theo ông tiến trình giải một BTT gồm 4 bớc:
- Hiểu rõ BTT (understanding the problem)

- Xây dựng chơng trình giải (devising a plan)
- Thực hiện chơng trình giải (carrying out the plan)
- Kiểm tra lời giải tìm đợc (looking back)
+ Rubinstêin X.L.và X.B Fenby cho rằng các bớc giải BTT đợc hình thành theo
hớng tâm lý hoạt động. Các tác giả cũng nêu tiến trình giải bài tập toán theo 4 bớc:
Quan sát bài tập toán; Vạch kế hoạch; Làm ; Đánh giá.
+ Nguyễn Bá Kim Vũ Dơng Thuỵ khi nghiên cứu về dạy học phát hiện và giải
quyết vấn đề đã xem BTT là một vấn đề cần giải quyết gồm 3 bớc: Tri giác vấn đề;
Giải quyết vấn đề; Kiểm tra nghiên cứu lời giải.
+Với quan điểm Học tập là một quá trình xử lý thông tin. Quá trình này đợc học
sinh thực hiện bằng những hoạt động của mình: Đa tin vào, ghi nhớ và biến đổi thông
tin; Đa tin ra và điều phối. John Dewey trong cuốn Giải toán theo lý thuyết thông tin
chia tiến trình giải BTT thành 6 bớc:
- Tìm hiểu thông tin.
- Phân cấp thông tin.
- Đề xuất và xử lý thông tin về các phơng án giải BTT.
- Xem xét hiệu quả và khả năng của từng phơng án.
- Thử nghiệm phơng án thích hợp phù hợp với kênh thông tin tối u.
- Kiểm tra và kết luận lời giải.
+ Fanghaenel thì cho rằng Giải một BTT là dự kiến trong t duy và thực hiện một
dãy hữu hạn các thao tác :
- Chúng đợc hớng về mục đích của BTT.
- Giải quyết mối quan hệ giữa cái đã cho và các điều kiện, giả thiết và kết
luận.
-Thông qua chúng đạt mục đích đã cho.
Với cách hiểu BTT là đối tợng đòi hỏi chủ thể có các hành động nhằm mục đích
giải đợc BTT có thể hoàn toàn nhất trí với quan điểm cho rằng giải BTT đợc xem nh
thực hiện một hệ thống các hành động: Hiểu rõ BTT; Xây dựng chơng trình giải; Thực
hiện chơng trình giải; Khảo sát lời giải đã tìm đợc
Bớc 1: Hiểu rõ bài tập toán

- Xác định đối tợng và các điều kiện và hệ thống hành động, làm rõ các mối
quan hệ ở giả thiết, mối quan hệ giữa giả thiết và kết luận. Xác định đợc dạng BTT,
xem xét cấu trúc của BTT từ đó suy nghĩ hớng giải BTT đó.
Bớc 2: Xây dựng chơng trình giải
- Từ sự phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố của BTT, từ suy nghĩ hớng giải ở
bớc 1, HS tìm con đờng cụ thể, khả năng đạt đợc mục đích, định hớng các hành động
tiến tới quá trình giải BTT.
- Quá trình này kết hợp giữa logic hình thức (việc vạch ra cấu trúc của kế
hoạch) và lôgic biện chứng (chỉ ra tính cụ thể, tính khả thi và phơng thức thực hiện kế
hoạch).
Bớc 3: Thực hiện chơng trình giải
- Kế hoạch giải vẫn còn ở ý tởng, HS phải thực hiện một hệ thống hành động phù
hợp với những chi tiết cụ thể của BTT.
- Sử dụng các thao tác t duy những lập luận logic để thực hiện kế hoạch.
- Có thể giải BTT theo nhiều cách giải khác nhau, tìm ra cách giải tối u.
- ở bớc này thao tác t duy logíc, hoạt động ngôn ngữ đóng vai trò quan trọng.
Bớc 4: Khảo sát lời giải tìm đợc
- Công việc đợc tiến hành trong suốt quá trình giải BTT, việc kiểm tra nhằm chính
xác hoá lời giải (các bớc suy luận, các khâu tính toán ).
- Qua khảo sát lời giải còn rút ra đợc kinh nghiệm cho HS, giải bài BTT là ph-
ơng tiện học tập. Từ khảo sát lời giải HS có thể hợp thức hoá BTT thành tri thức và
kinh nghiệm của bản thân.
* Giải bài tập toán theo định hớng angôrit và ơristic
Các angôrit tồn tại dới nhiều hình thức biểu diễn khác nhau, ngôn ngữ tự nhiên,
ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phơng trình, lập trình , angôrit (thuật toán,
thuật giải) là một bản quy định những thao tác cần thực hiện để giải một BTT .
Thuật toán đợc hiểu nh một quy tắc mà từ những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác
để ngời (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt đợc mục đích đặt ra hay giải
một lớp BTT nhất định.
Với những bài tập hình học điển hình việc dùng thuật toán để giải là rất ít gặp mà

thờng giải BTT theo hớng ơristic.
R. Đề Các đã nghĩ đến một phơng pháp toàn năng để giải mọi bài tập, Leibnis
thì đa ra ý niệm rõ ràng về một phơng pháp toàn mỹ để giải toán. Polya G. đã rất đề
cao việc hình thành và phát triển năng lực sáng tạo qua giải bài tập toán nhng ông đã
khẳng định Tìm kiếm một phơng pháp toàn năng và toàn mỹ chẳng mang lại kết quả
gì hơn đi tìm một viên đá thần kỳ, để có thể biến mọi kim loại thành vàng. Nh vậy
không thể có phơng pháp để giải tất cả các BTT, ngoài những dạng toán có thể dùng
phơng pháp theo định hớng angôrit còn phải sử dụng phơng pháp ơristic.
Thuật ngữ ơristic có nguồn gốc Hy Lạp là ơrêca đợc hiểu là sự tìm tòi, tìm đoán,
sáng tạo
Ơristic đợc hiểu là tổng thể nói chung các quy tắc phơng pháp khái quát từ kinh
nghiệm quá khứ đợc dùng trong quá trình nghiên cứu phát hiện, sáng tạo ra cái mới .
Giải toán theo định hớng Ơristíc mang tính chất tìm đoán thờng dùng để giải
những BTT mang tính chất là một vấn đề, tìm hiểu và phát hiện ra vấn đề, tìm cách
giải quyết vấn đề đó là hoạt động toán học cần thiết cho học sinh.
Tóm lại: Tài liệu đã nêu lên những định hớng chung để soạn bài và dạy các
tiết lên lớp của giáo viên toán. Căn cứ vào đối tợng học sinh của mình các thầy,
cô giáo soạn bài giảng sát đối tợng nhằm từng bớc đa chất lợng học sinh của
mình ngày một khá hơn .