Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (275.79 KB, 48 trang )
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
CHUYÊN ĐỀ I
TÍNH GIÁ TRỊ CÁC BIỂU THỨC SỐ
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức sau:
a) B = 5290627917848 : 565432
Bài 2: Tính (Kết quả thu được viết dưới dạng phân số và số thập phân)
A =
28
521
4
7
581
2
52
123
3 −+
Bài 3: Tính và làm tròn đến 6 chữ số thập phân:
C =
013,0:00325,0
)045,02,1(:)965,11,2(
67,0)88,33,5(03,0632,0
)5,2:15,0(:09,04,0:3
×−
+
+−−+×
−
Bài 4: Tính và làm tròn đến 5 chữ số thập phân:
D =
−
×+
×−×
2
1
7:52875,0:1,0
2
1
4
18
7
2:
180
7
5,24,1
84
13
Bài 5: Tìm x và làm tròn đến 4 chữ số thập phân:
[ ]
11)1x(3,0:08,1140
3029
1
2928
1
2423
1
2322
1
2221
1
=−×+×
×
+
×
++
×
+
×
+
×
Bài 6: Tính:
5
3
:
2
1
5
6
17
1
2)
4
1
3
9
5
6(
35
2
:)
25
2
10(
25
1
64,0
25,1
5
4
:6,0
×+
×−
−
+
−
×
Bài 7: Tính:
M = 182
80808080
91919191
343
1
49
1
7
1
1
27
2
9
2
3
2
2
:
343
4
49
4
7
4
4
27
1
9
1
3
1
1
×
−+−
+++
−+−
+++
×
Bài 8: Tính:
N =
515151
434343
611
3
243
3
23
3
3
611
10
243
10
23
10
10
:
113
11
89
11
17
11
11
113
5
89
5
17
5
5
129
187
×
−++
−++
−++
−++
×
Bài 9: Tính:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
C = 26:
21
4
:
3
2
15,2557,28(:84,6
4)81,3306,34(
)2,18,0(5,2
)1,02,0(:3
+
−
×−
+
+×
−
D =
( )
[ ]
125,0:
4
1
1 )8333,125,0:
5
1
136:2,1(
8,12
1
8999,95,6:3567
×−+
×+××
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Bài 10: a) Tìm x biết:
13010137,0:81,17
20
1
62:
8
1
35
2
288,1
2
1
1
20
3
3,0
5
1
:465,2
20
1
3
003,0:
2
1
4x
=+
×
+
×
−
−
×
−
−
b) Tìm y biết:
−×+
×
−−
=
−×
25,3
2
1
58,02,3
5
1
1
2
1
2:
66
5
11
2
44
13
y
7,14:51,4825,02,15
Bài 11: Tính giá trị của x từ các phương trình sau:
a)
−=
×+×−×
+
×−
×−
4
3
5,2:2,5
8,05,1
4
3
4
2
1
2:
4
3
15,32,15
2
1
3
7
4
:8,125,1x
5
4
7
3
15,0
b)
( )
( )
[ ]
( )
)15,32,1(:
2
1
3
17
12
:75,03,05,0:
5
3
7
2
5,12
5
4
3
2
4
3
2,4x3:35,015,0
22
+=
×−×−
×+×++
Bài 12: a) Tính C biết 7,5% của nó bằng:
8
7
1:
20
3
5
2
217
3
1
110
17
6
55
7
8
−
×
−
b) Tìm x biết:
14
1
1
9,60125,08
7)25,6:53,2(
6
7
6
4,83,1:x:
7
4
5
=
+×
×+
−××+
Bài 13: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng phân số::
a) A =
++
−
+ 7,3
5
2
25,1:
4
6
4
3
1:
5
2
2
3
1
1
b) B =
+×
121
3
2:
11
2
3
4
3
1
7
5
1:12
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
c) C =
99
8
194
11
60
25,0
9
5
75,1
3
10
11
12
7
6
15
7
1
24
3
1
10
+×
−
−×−
−×
d) D = 0,3(4) + 1,(62) : 14
11
90
:
)5(8,0
3
1
2
1
11
7
+
−
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Bài 14: Tính giá trị của biểu thức sau:
[ ]
3
4
:
3
1
1
5
2
25
33
:
3
1
3:)2(,0)5(,0
×−
×
Bài 15: Tính:
a) A =
5
4
:)5,02,1(
17
2
2
4
1
3
9
5
6
7
4
:
25
2
08,1
25
1
64,0
25,1
5
4
:8,0
×+
×
−
−
+
−
×
b) Tìm 2,5% của:
04,0
3
2
2:
18
5
83
30
7
85
−
c) Tìm 5% của :
5,2:)25,121(
16
5
5
14
3
3
5
3
6
−
×
−
Bài 16: Tính:
a) A =
1989198819851983
1987)339721986()19921986(
22
×××
×−+×−
b) B = (649
2
+ 13
×
180)
2
– 13
×
(2
×
649
×
180)
Bài 17: Tính:
A =
( )
( )
[ ]
52,0:75,253,398,1:66,0
75,025,1505,48,3:619,64
2
2
2
2
−+
×+−
Bài 18: Tính
a) x =
7
5
3.24
3,189
143,3345,1 ×
b) y =
7
4
5
6
621,4
732,2815,1 ×
c) z =
5
17
73
35,712
13,816
×π
Bài 19:
a) Tính: T =
24
3
32
51,723,5
)14,275,3(213,2
−
+π
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
b) Tìm x biết:
2
2
)713,0(
4
3
2
162,0x
1
−=
+
Bài 20: Tính:
A =
33
549549
21217
223
21217
223
−+++
+
+
−
−
−
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Bài 21: Tính
a) B = 3
33
33
3
2520245
+−−−
b) C =
3
3
3
3
3
3
26
21
18
21
54
2126200
−
+
+
+
++
c) D =
3
4
8
9
98 432
+++++
d) E =
3
4
5
6
7
8
9
98765432
−+−+−+−
Bài 22: Tính gần đúng đến 6 chữ số thập phân:
a) A = 1-
109876543
1098765432
−+−+−+−+
b) B =
9
8
7
6
5
4
3
23456789
c) C = 7 -
7
1
6
2
5
3
4
4
3
5
2
6
+−+−+
Bài 23: Tính:
a) sin2
0
.sin18
0
.sin22
0
.sin38
0
.sin42
0
.sin58
0
.sin62
0
.sin78
0
.sin82
0
b) tag5
0
+ tag10
0
+ tag15
0
+ … + tag80
0
+ tag85
0
Bài 24: Cho sin x = 0,356 (0 < x < 90
0
)
Tính A = (5cos
3
x – 2sin
3
x + cos x) : (2cos x – sin
3
x + sin
2
x)
Bài 25: Cho cos
2
x = 0,26 (0 < x < 90
0
)
Tính B =
x2gcot4x2tg5
xtg3x2sin5xsin2
2
22
+
++
Bài 26: Cho biết sin x = 0,482 (0 < x < 90
0
)
Tính C =
xtg)xsinx(cos
xtg)xcos1.(xsin
333
233
+
++
Bài 27: Cho biết sin
2
x
= 0,5842 (0 < x <90
0
)
Tính D =
xcos1)xgcot1)(xtg1(
)xsin1(xcos)xcos1(xsin
322
33
+++
+++
Bài 28: Cho biết tgx = tg33
0
tg34
0
tg35
0
… tg55
0
tg56
0
(0 < x < 90
0
)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Tính E =
xcosxsin)xcosxsin1(
)xsin1(xgcot)xcos1(xtg
33
3232
+++
+++
Bài 29: Cho cos x.sin (90
0
– x) = 0,4585. (0 < x < 90
0
)
Tính F =
xgcotxtg
xsinxsinxsinxsin
22
234
+
+++
Bài 30 : Nêu một phương pháp(kết hợp giữa tính trên máy và giấy) tính chính xác
số: 1038471
3
= ?
Bài 31: Tìm kết quả chính xác của phép tính sau:
A = 12578963
×
14375 = ? B = 123456789
2
= ? C = 1023456
3
= ?
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
KẾT QUẢ DẠNG BIỂU THỨC SỐ:
Bài 1: 9 356 788, 999 Bài 2: A =
91
6166
Bài 3: C = 15
Bài 4: D = -
1393
10
Bài 5: x = 1,4 Bài 6: 28, 071 071 143
Bài 7: M =
320
281
25
Bài 8: N =
6
1
Bài 9:
C = 7
2
1
D =
260
89
39
Bài 10:
x
≈
6, 000 172 424
y = 25
Bài 11:
a) x
≈
-903, 4765135
b) x
≈
-1, 39360764
Bài 12:
a) C = 200
b) x = 20,384
Bài 13:
a) A =
57
112
b) B =
4
93
c) C =
7
3
d) D =
315
106
Bài 14:
-
225
79
Bài 15:
a)
7
3
b)
24
11
c)
448
51
Bài 16:
a) 1987
b) 179383941361
Bài 17
575,12
40
23
12 =
Bài 18:
a) x = 74,545129
b) y = 70,09716521
c) z = 96,26084259
Bài 19:
a) T = 0,029185103
b) x =
±
0,192376083
Bài 20: A = 5 Bài 21:
a) B = 0
b) C = 8
c) D = 1,911639216
d) E = 0,615121481
Bài 22:
a) A = -0,313231759
b) B = 1,319968633
c) C = 4,547219337
Bài 23:
a) 0,01727263568
b) 34,55620184
Bài 24:
2,524628397
Bài 25: B = 3,781221229 Bài 26: 3,750733882 Bài 27: D = 0,410279666
Bài 28: E = 1,657680306 Bài 29: F = 1,382777377 Bài 30:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
1119909991289361111
Bài 31: A = 180822593125 B = 15241578750190521 C =1072031456922402816
Chú ý: Bài 21 – 22: ta sử dung nút /Ans/ hoặc quy trình truy hồi ở máy f
x
570 MS
Bài 21 c: gán
9
9
vào A , 9 vào B . Nhập trên máy: B = B – 1: A =
B
AB
+
“=” “=” “=” …
Bài 21 d: Gán
9
9
vào A , 10 vào B , 9 vào C nhập: B = B – 2: A =
B
AB
−
: C = C – 2:
A =
C
AC
+
“=” “=” “=” …
Bài 22 a) gán –1 vào A nhập: A = A + 2: C = C+
A
A
: B + B + 2: C = C -
B
B
“=” “=” “=”
…
DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC
Bài 1: Tính (làm tròn đến 4 chữ số thập phân)
Cho C =
5x
1xx3x2x3
245
+
+−+−
khi x = 1,8363
Bài 2: Cho P(x) = 3x
3
+ 17x – 625
a) Tính P(2
2
)
b) Tính a để P(x) + a
2
chia hết cho x + 3
Bài 3:
Tính P(x) = 17x
5
– 5x
4
+ 8x
3
+ 13x
2
– 11x – 357 khi x = 2,18567
Bài 4:
a) Cho P(x) = x
3
– 2,531x
2
+ 3x – 1,356. Tính P(-1,235) với 3 chữ số thập
phân.
b) Tìm số dư với 3 chữ số thập phân của phép chia sau:
(3x
4
– 2x
3
– x
2
– x + 7) : (x – 4,532)
Bài 5: Tìm phần dư của phép chia đa thức:
(2x
5
– 1,7x
4
+ 2,5x
3
– 4,8x
2
+ 9x – 1) : (x – 2,2)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x
4
+ 2x
3
– 13x
2
– 14x + 24 b) x
4
+ 2x
3
– 25x
2
– 26x + 120
c) 20x
2
+ 11xy – 3y
2
d) 8x
4
– 7x
3
+ 17x
2
- 14x + 32
e) x
5
– 4x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
– 4x + 1 f) 6x
4
– 11x
3
– 32x
2
+ 21x + 36
Bài 7: Tính A =
5x3xx4
1xx3x2x3
23
245
++−
+−+−
khi x = 1,8165
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Bài 8:
a) Tìm số dư của phép chia
12x
7x35x9x
23
−
+−−
b) Tìm số dư của phép chia:
617,1x
321,7x256,3x
3
−
+−
Bài 9: Tìm số dư của phép chia :
318,2x
319,4x458,6x857,1x723,6x
235
+
+−+−
Bài 10: Tìm số dư của phép chia:
624,1x
723xxxxxx
245914
−
−+++−−
Bài 11:
Tìm a để x
4
+ 7x
3
+ 2x
2
+ 13x + a chia hết cho x + 6
Bài 12: Cho đa thức P(x) = 6x
3
– 5x
2
– 13x + a
a) Với điều kiện nào của a thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3
b) Với giá trị của a tìm được ở câu trên, hãy tìm số dư r khi chia đa thức P(x)
cho 3x – 2
Bài 13: Cho đa thức P(x) = x
4
+ 5x
3
– 4x
2
+ 3x – 50
Gọi r
1
là phần dư của phép chia P(x) cho x – 2 và r
2
là phần dư của phép chia
P(x) cho x – 3. Tìm bội chung nhỏ nhất của r
1
và r
2
.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Bài 14: Cho đa thức P(x) = 6x
3
– 7x
2
– 16x + m
a) Với điều kiện nào của m thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3
b) Với m tìm được ở câu a, hãy tìm số dư r khi chia đa thức 3x – 2
c) Với m tìm được ở câu a) hãy phân tích đa thức P(x) ra thừa số bậc nhất
d) Tìm m và n để hai đa thức P(x) = 6x
3
– 7x
2
– 16x + m và
Q(x) = 2x
3
– 5x
2
– 13x + n cùng chia hết cho x – 2
e) Với n tìm được ở câu trên, hãy phân tích Q(x) = 2x
3
– 5x
2
– 13x + n ra tích
của các thừa số bậc nhất.
Bài 15:
Cho hai đa thức P(x) = x
4
+ 5x
3
– 4x
2
+ 3x + m và Q(x) = x
4
+ 4x
3
– 3x
2
+ 2x + n
a) Tìm giá trị của m và n để đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2
b) Với giá trị m và n vừa tìm được, hãy chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x)
chỉ có nghiệm một duy nhất.
Bài 16: a) Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + f
Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 . Tìm các giá trị của P(6) ;
P(7) ; P(8)
b) Cho đa thức Q(x) = x
4
= mx
3
+ nx
2
+ px + q. Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7 ;
Q(3) = 9 ; Q(4) = 11. Tính giá trị Q(10); Q(11) ; Q(12) ; Q(13)
Bài 17: Cho đa thức f(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c . Biết f(
3
1
) =
108
7
; f(
2
1
−
) =
8
3
−
f(
5
1
) =
500
89
. Tính giá trị đúng và giá trị gần đúng với 5 chữ số thập phân của f(
3
2
)
Bài 18: Cho đa thức P(x) = x
5
+ 2x
4
– 3x
3
+ 4x
2
– 5x + m
a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003
b) Tìm giá trị m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5
c) Muốn cho đa thức có nghiệm x = 2 thì m có giá trị bằng bao nhiêu ?
Bài 19: Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e và cho biết P(1) = 3;
p(2) = 9 ; P(3) = 19; P(4) = 33; P(5) = 51.
Tính P(6) ; P(7) ; P(8) ; P(9) ; P(10) và P(11)
Bài 20: Cho đa thức P(x) =
x
35
32
x
63
82
x
30
13
x
21
1
x
630
1
3579
+−+−
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4
b) Chứng minh đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Bài 21: Cho đa thức f(x) = 1 + x
2
+ x
3
+ x
4
+ + x
49
Tính f(1,2008)
Bài 22: Tính giá trị biểu thức:
A =
1y
2
y
48
y
49
y
50
y
1x
2
x
48
x
49
x
50
x
++++++
++++++
khi x = 1, 2007 ; y = 1,2008
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
KẾT QUẢ
DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC
1) 7,1935 2) –509,0344879 3) 498,438088 4a) –10,805
4b) 1061,318 5) 85,43712 6a) (x – 1)(x + 2)(x – 3)(x + 4)
6b) (x – 2)(x + 3)(x – 4)(x + 5) 6c) (4x + 3y)(5x – y)
6d) (x
2
+ x + 2)(8x
2
– 15x + 16) 6e) (x – 1)
2
(x + 1)(x
2
– 3x + 1)
6f) (x + 1)(x – 3)(2x + 3)(3x – 4) 7) A = 1,498465582
8a) 19 8b) 6,284000113 9) 47,6454664 10) 108,5136528
11) a = 222 12a) a =12 12b) r = 2
9
8
13) –556
14a) m = 12 14b) r = 0 14c) (2x + 3)(3x – 2)(x - 2)
14d) m = 12 ; n = 30 14e) (x – 2)(x – 3)(2x + 5) 15a) m = -46 ; n = -40
15b) R(x) = P(x) – Q(x) = x
3
– x
2
+ x – 6 = (x – 2)(x
2
+ x + 3) đa thức x
2
+ x + 3
Vô nghiệm nên R(x) chỉ có một nghiệm duy nhất x = 2
16a) P(6) = 156 ;P(7) = 769; P(8) = 2584
16b) Q(10) = 3047; Q(11) = 5065 ;
Q(12) = 7947 ; Q(13) = 11909
17) f(2/3) = -0,34259 18a) 2144,40625 18b) m = -141,40625 18c) m = -46
19) P(6) = 193 ; P(7) = 819 ; P(8) = 2649 ; P(9) = 6883 ; P(10) = 15321;
P(11) = 30483
20a) P(-4) = P(-3) = P(-2) = P(-1) = P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0
20b) Do
±
4 ;
±
3 ;
±
2;
±
1 ; 0 ;
±
1;
±
2 ;
±
3 ;
±
4 là nghiệm của P(x) nên:
P(x) =
630
1
(x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
Với x nguyên ta có: (x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) là tích
của 9 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 630
Vậy P(x) luôn có giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Chú ý: Các dạng ở bài tập 16 đến 20 có nhiều cách để xác định đa thức P(x) nhưng cách gắn gọn
hơn hết ta có thể thực hiện như sau: Ví dụ ở bài tập 19:
Bước 1: (Giảm bậc)
Đặt P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + g(x) suy ra g(x) có bậc không lớn hơn 4
Bước 2: (thử chọn để tìm g(x) thường nên chọn bậc g(x) là 2)
Giả sử đa thức g(x) có bậc 2 : g(x) = ax
2
+ bx + c ta có :
g(1) = a + b + c = 3 (1)
g(2) = 4a + 2b + c = 9 (2)
g(3) = 9a + 3b + c = 19 (3)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Bước 3: Dùng máy giải hệ pt gồm 3 pt (1) , (2) , (3) được a = 2 ; b = 0 ; c = 1
⇒
g(x) = 2x
2
+ 1
Bước 4: Thử lại g(4) = 33 (đúng gt) ; g(5) = 51 (đúng gt)
Vậy P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 2x
2
+ 1 Từ đó ta giải quyết được bài toán.
DẠNG TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI
(Phibonacci)
Bài 1: Cho dãy số: u
1
= 2 ; u
2
= 20, u
n+1
= 2u
n
+ u
n-1
( n= 2; 3 …)
a) Tính u
3
; u
4
; u
5
; u
6
; u
7
b) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính các giá trị của u
n
với
u
1
= 2 ; u
2
= 20, u
n+1
= 2u
n
+ u
n-1
( n= 2; 3 …)
c) Sử dụng quy trình trên, tính giá trị của u
22
; u
23
; u
24
; u
25
Bài 2: cho dãy số u
0
= 2 ; u
1
= 10 ; u
n+1
= 10u
n
– u
n-1
(n = 1, 2, 3 …)
a) Lập một quy trình tính u
n+1
b) Tính u
2
, u
3
, u
4
, u
5
, u
6
c) Tìm công thức tổng quát của u
n
Bài 3: Cho dãy số u
0
= 2 ; u
1
= 3 ; u
n+1
= u
n
2
+ u
n-1
2
a) Lập quy trình tính u
n
b) Tính u
2
, u
3
, u
4
, u
5
.
Bài 4: Cho dãy số sắp thứ tự u
1
, u
2
, u
3
, …, u
n
, u
n + 1
…. Biết u
1
= 1; u
2
= 2 ; u
3
= 3
và u
n
= u
n – 1
+ 2u
n – 2
+ 3u
n – 3
a) Tính u
4
, u
5
; u
6
; u
7
.
b) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của u
n
với n
≥
4
c) Sử dụng quy trình trên để tính giá trị của u
22
, u
25
; u
28
; u
30
Bài 5: Cho dãy số: U
n
=
53
n
)53(
n
)53( −−+
a) Tính 4 số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Chứng minh: U
n + 2
= 6U
n + 1
– 4U
n
Lập quy trình ấn phím liên tục tính U
n + 2
trên máy Casio
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Bài 6: Cho dãy số : U
n
=
3
n
2
25
n
2
25
−
−
+
+
Với n = 1; 2; 3; ….
a) Tính 6 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập công thức truy hồi để tính U
n + 2
theo U
n
và U
n + 1
Lập quy trình ấn phím liên tục tính U
n + 2
trên máy casio
Bài 7: Cho dãy số u
1
= 8
; u
2
= 13 , u
n+1
= u
n
+ u
n-1
(n = 2; 3; 4 …)
a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị u
n+1
với mọi n
≥
2
b) Sử dụng quy trình trên tính giá trị u
13
; u
17
Bài 8: Cho dãy số u
n
=
32
)32()32(
nn
−−+
n = 0; 1; 2; 3 …
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy số này.
b) Lập công thức truy hồi để tính u
n+2
theo u
n+1
và u
n
c) Lập một quy trình tính u
n
trên máy casio
d) Tìm tất cả các số tự nhiên n để u
n
chia hết cho 3
Bài 9: Cho dãy số u
n
=
2
2
53
2
53
nn
−
−
+
+
n = 0; 1; 2; 3 …
a) Tính 5 số hạng đầu tiên
b) Lập một công thức truy hồi để tính u
n+1
theo u
n
và u
n-1
c) Lập một quy trình tính u
n+1
trên máy casio
d) Chứng minh rằng u
n
= 5m
2
khi n chẳn và u
n
= m
2
khi n lẻ
Bài 10: cho u
n
với u
1
= 0 ; u
2
= 14 ; u
3
= -18 và u
n+1
= 7u
n-1
– 6u
n-2
với n = 3; 4 …
a) Lập công thức tính u
n
và tính u
4
; u
5
; u
6
… u
20
b) Lập và chứng minh công thức tổng quát của u
n
c) Chứng minh với mọi số nguyên tố p thì u
p
chia hết cho p
Bài 11: Cho dãy số: u
n
=
72
)75()75(
nn
−−+
(1)
a) Lập công thức truy hồi.
b) Lập quy trình tính trên máy casio để tính u
n
và tính u
1
; u
2
; u
3
… u
10
Bài 12: Cho dãy số u
n
=
nn
2
53
2
53
−
+
+
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
a) Lập công thức truy hồi.
b) Lập công thức tính trên máy casio để tính u
n
và tính u
0
đến u
4
Bài 13: Cho u
1
= 1 ; u
2
= 2 và dãy số được xác định
Nếu n chẳn: u
2n+2
= 3u
2n+1
+ 5u
2n
- 1
Nếu n lẻ : u
2n+1
= 5u
2n
+ 3u
2n-1
a) Lập quy trình tính trên máy casio để tính u
12
, u
13
, S
12
; S
13
(S
12
bằng tổng các số hạng của dãy ứng n = 12)
b) Tính u
12
; u
13
và tính tổng S
12
; S
13
Chú ý1: Dãy số u
n
= au
n-1
+ bu
n-2
(1) gọi là công thức truy hồi để tính u
n
.
Dãy số : u
n
= c
1
u
1
n
+ c
2
u
2
n
(2) gọi là công thức tổng quát để tính của u
n
Công thức (1) và (2) cùng biểu diễn để tính giá trị của u
n
và có quan hệ với nhau.
Ở công thức (2) u
1
và u
2
là nghiệm của phương trình: u
2
= au + b hay u
2
– au – b = 0
Do vậy nếu biết được công thức truy hồi ta tìm được công thức tổng quát và ngược lại.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
HƯỚNG DẪN
Ví dụ1: (Bài 2)
cho dãy số u
0
= 2 ; u
1
= 10 ; u
n+1
= 10u
n
– u
n-1
(n = 1, 2, 3 …)
Tìm công thức tổng quát của u
n
Giải: Công thức tổng quát có dạng: u
n
= c
1
x
1
n
+ c
2
x
2
n
Trong dó x
1
và x
2
là nghiệm của phương trình: x
2
– 10x + 1 = 0 (*)
Giải pt (*) có x
1
=
625
+
; x
2
= 5 - 2
6
⇒
u
n
= c
1
(
625
+
)
n
+ c
2
(5 - 2
6
)
n
do u
0
= 2 ; u
1
= 10 nên ta có:
=−++
=+
10c)625(c)625(
2cc
21
21
⇔
c
1
= c
2
= 1
Vậy công thức tổng quát: u
n
= (
625
+
)
n
+ (5 - 2
6
)
n
Ví dụ 2: (Bài 8)
Cho dãy số : U
n
=
32
)32()32(
nn
−−+
Với n = 0; 1; 2; 3; ….
Lập công thức truy hồi để tính U
n + 2
theo U
n
và U
n + 1
Giải:
Cách 1: Ta biểu diễn U
n
dưới dạng tổng quát u
n
= c
1
u
1
n
+ c
2
u
2
n
như sau:
U
n
=
nn
)32(
32
1
)32(
32
1
−−+
⇒
c
1
=
32
1
; c
2
= -
32
1
; u
1
= 2+
3
;u
2
= 2-
3
Trong đó u
1
; u
2
là nghiệm của pt: (u – 2-
3
)(u – 2+
3
) = 0
Hay: u
2
– 4u + 1 = 0
⇔
u
2
= 4u – 1
Vậy công thức truy hồi: u
n+2
= 4u
n + 1
- u
n
với u
1
= 1 ; u
2
= 4
Cách 2: Đặt a = 2 +
3
; b = 2 -
3
Ta có: u
n
= a
n
/ 2
3
- b
n
/ 2
3
;
u
n + 2
= a
n
(2 +
3
)
2
/2
3
– b
n
(2 -
3
)
2
/ 2
3
= a
n
(4 + 4
3
+ 3) / 2
3
- b
n
(4 - 4
3
+ 3) /2
3
= a
n
(8 + 4
3
- 1)/2
3
- b
n
(8 - 4
3
- 1) / 2
3
= 4a
n
(2 +
3
) / 2
3
- 4b
n
(2 -
3
) / 2
3
- (a
n
/2
3
- b
n
/2
3
)
= 4 u
n+1
- u
n
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Vậy ta có công thức truy hồi: u
n+2
= 4u
n + 1
- u
n
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Chú ý 2: Để lập quy trình tính trên máy casio f
x
570 MS có nhiều quy trình ta nên
sử dụng theo quy trình sau là ngắn gọn nhất:
Ví dụ 1:
Cho dãy số: u
1
= 2 ; u
2
= 20, u
n+1
= 2u
n
+ u
n-1
( n= 2; 3 …)
Viết quy trình bấm phím liên tục để tính các giá trị của u
n
với
u
1
= 2 ; u
2
= 20, u
n+1
= 2u
n
+ u
n-1
( n= 2; 3 …)
Giải: 2 /shift / sto A (gán u
1
vào A)
20 /shift / sto B (gán u
2
vào B)
Alpha /A / Alpha / = /2 /Alpha /B / + / Alpha / A / Alpha / :
Alpha /B / Alpha / = /2 /Alpha /A / + / Alpha / B / Alpha / = (được u
3
)
Lặp lại dấu “ =” ta được các số hạng tiếp theo ….
Ví dụ 2: Cho dãy số u
n
= u
n – 1
+ 2u
n – 2
+ 3u
n – 3
Biết u
1
= 1; u
2
= 2 ; u
3
= 3
Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của u
n
với n
≥
4
1 /shift / sto A (gán u
1
vào A)
2 /shift / sto B (gán u
2
vào B)
3 /shift / sto C (gán u
3
vào C)
Alpha /A / Alpha / = /Alpha /C / + / 2 / Alpha / B / + / 3 /Alpha /A / Alpha /:
Alpha /B / Alpha / = /Alpha /A / + / 2 / Alpha / C / + / 3 /Alpha /B / Alpha /:
Alpha /C / Alpha / = /Alpha /B / + / 2 / Alpha / A / + / 3 /Alpha /C / Alpha / = (u
4
)
Lặp lại dấu “ =” ta được các số hạng tiếp theo ….
Ví dụ 3:
Cho u
1
= 1 ; u
2
= 2 và dãy số được xác định
Nếu n chẳn: u
2n+2
= 3u
2n+1
+ 5u
2n
- 1
Nếu n lẻ : u
2n+1
= 5u
2n
+ 3u
2n-1
a)Lập quy trình tính trên máy casio để tính u
12
; u
13
; S
12
; S
13
(S
12
bằng
tổng các số hạng của dãy ứng n = 12)
b) Tính u
12
; u
13
và tính tổng S
12
; S
13
Giải : Thiết lập quy trình tính trên máy như sau.
Gán u
1
= 1 vào A (lẻ) ( 1 /shift / sto/ A )
u
2
= 2 vào B (chẳn) (2 /shift / sto/ B)
S
2
= 3 vào C (3 /shift / sto /C)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Nhập:
A = 5B + 3A : (u
3
) (Alpha/A/Alpha/=/5/Alpha/B/+/3/Alpha/A/Alpha /:/)
C = C + A : (S
3
) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/A /:/)
B = 3A + 5B - 1: (u
4
) (Alpha/B/Alpha/=/3/Alpha/A/+/5/Alpha/B/-/1/Alpha /:/)
C = C + B (S
4
) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/B/=/=/=/=/…
Ấn liên tiếp các dấu bằng: Lần 1 “=” (được u
3
)
Lần 2 “=” (được S
3
)
Lần 3 “=” (được u
4
)
Lần 4 “=” (được S
4
)
Lặp lại dấu “=” cứ thế ta tìm được dãy số theo chu kì: (u
3
, S
3
, u
4
, S
4
) ; (u
5
, S
5
, u
6
, S
6
)
(u
7
, S
7
, u
8
, S
8
) ….
Như vậy ta dễ dàng giải quyết được bài toán:
u
12
=11980248 ; S
12
=15786430 ; u
13
=69198729 ; S
13
=84985159
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
ĐÁP ÁN:
DẠNG TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI
Bài 1: a) u
3
= 42 ; u
4
= 104 ; u
5
= 250 ; u
6
= 604 ; u
7
= 1458
1b) gán: 2
→
A ; 20
→
B ; ghi A = 2B + A : B = 2A + B ấn liên tục dấu “=”
1c) u
22
= 850268156 ; u
23
= 1941675090 ; u
24
= 4687618336; u
25
= 11316911762
Bài 2: a) gán: 2
→
A ; 10
→
B ; ghi A = 10B - A : B = 10A - B ấn liên tục dấu “=”
b) u
2
= 89 ; u
3
= 970 ; u
4
= 9602 ; u
5
= 95050 ; u
6
= 940898
c) CTTQ: có dạng U
n
= C
1
x
1
n
+ C
2
x
2
n
trong đó x
1
; x
2
là nghiệm pt: x
2
= 10x – 1 (*)
(*) có nghiệm: x
1
= 5 + 2
6
; x
2
= 5 - 2
6
thay vào u
n
ta tìm được c
1
= c
2
= 1
Vậy công thức tổng quát: u
n
= (5 + 2
6
)
n
+ (5 - 2
6
)
n
Bài 3: a) gán: 2
→
A ; 3
→
B ; ghi A = B
2
+ A
2
: B = A
2
+ B
2
ấn liên tục dấu “=”
b) u
2
= 13 ; u
3
= 178 ; u
4
= 31853 ; u
5
= 1014645293
Bài 4: a) gán: 1
→
A ; 2
→
B ; 3
→
C ghi A = C + 2B + 3A : B = A + 2C + 3B :
C = B + 2A + 3C ấn liên tục dấu “=” được các số hạng tiếp theo của dãy
b) u
22
= 53147701 ; u
25
= 711474236 ; u
28
= 9524317645 ; u
30
= 53697038226
Bài 5: a) u
0
= 0 ; u
1
=
3
2
; u
2
= 4 ; u
3
= 21
3
1
b) Đặt a = 3 +
5
; b = 3 -
5
ta có: u
n
=
53
ba
nn
+
; u
n + 1
=
( ) ( )
53
53b53a
nn
−++
u
n+2
=
( ) ( )
53
53b53a
2
n
2
n
−++
=
( ) ( )
53
45618b45618a
nn
−−+−+
=
( ) ( )
( )
53
ba
4
53
53b53a
6
nnnn
+
−
−++
= 6u
n + 1
- 4u
n
vậy: u
n+2
= 6u
n + 1
- 4u
n
c) gán: 0
→
A ; 3/2
→
B ; ghi A = 6B - 4A : B = 6A - 4B bấm “=” (được u
2
) = …
B6a) u
1
= 2 ; u
2
= 10,5 ; u
3
= 35,75 ; u
4
= 113,125 ; u
5
= 354, 8125; u
6
= 1118,34375
b) Chứng minh tương tự bài 5b ta có: u
n + 2
= 5u
n + 1
– 23/4u
n
– 21/4
c) gán: 2
→
A ; 10,5
→
B ; ghi A = 5B – 23/4A – 21/4 : B = 5A – 23/4B – 21/4
bấm “=” (được u
3
) = = … (được các số hạng của dãy tiếp theo)
B7a) : gán: 8
→
A ; 13
→
B ; ghi A = B + A : B = A + B bấm “=” (được u
2
) = …
b) u
13
= 2584 ; u
17
= 17711
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Bài 8: u
1
= 1 ; u
2
= 4 ; u
3
= 15; u
4
= 56; u
5
= 209; u
6
= 780; u
7
= 2911; u
8
= 10864
b) C/m tương tự bài 5b ta có: u
n+2
= 4u
n + 1
- u
n
với u
1
= 1 ; u
2
= 4
c) gán: 1
→
A ; 4
→
B ; ghi A = 4B - A : B = 4A - B bấm “=” (được u
3
) = …
d) Để u
n
chia hết cho 3 khi n = 3k
Bài 9: a) u
0
= 0 ; u
1
= 1 ; u
2
= 5 ; u
3
= 16 ; u
4
= 45
b) Tương tự bài 5b ta lập được công thức truy hồi: u
n + 2
= 3u
n+1
– u
n
+ 2
c) gán: 0
→
A ; 1
→
B ; ghi A = 3B – A + 2 : B = 3A – B + 2 bấm “=” (u
2
) = …
Bài 10: a) gán: 0
→
A ; 14
→
B ; -18
→
C ghi A = 7B –6A : B = 7C – 6B :
C = 7A – 6C bấm “=” (u
4
) = (u
5
) …
u
4
= 98; u
5
= -210; u
6
= 794 ; u
7
= -2058 ; u
8
= 6818 ; u
9
= -19170 ; u
10
= 60074
u
11
= -175098 ; u
12
= 535538 ; u
13
= -1586130 ; u
14
= 4799354; u
15
= -14316138
u
16
= 43112258 ; u
17
= - 129009090 ; u
18
= 387682634 ; u
19
= -1161737178;
u
20
= 3487832978
10b) Công thức tổng quát có dạng: u
n
= C
1
x
1
n
+ C
2
x
2
n
+ C
3
x
3
n
(*)trong đó x
1
; x
2
; x
3
là nghiệm của phương trình x
3
= 7x – 6
⇔
x
1
= 2; x
2
= -3; x
3
= 1 thay vào (*)
u
n
= C
1
2
n
+ C
2
(-3)
n
+ C
3
Xét n = 1; n = 2 ; n = 3 ta tìm được C
1
= C
2
= C
3
= 1
Vậy công thức tổng quát là: u
n
= 2
n
+ (-3)
n
+ 1
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: …
Bài 11: a) Tương tự bài 5b ta lập được: u
n + 2
= 10u
n+1
– 18u
n
với u
1
= 1; u
2
= 10
b) gán: 1
→
A ; 10
→
B ; ghi A = 10B -18A : B = 10A - 18B bấm “=” ( u
3
) = …
u
3
= 82; u
4
= 640; u
5
= 4924; u
6
= 37720 ; u
7
= 288568 ; u
8
= 2206720;
u
9
=
16872976; u
10
= 129008800
Bài 12: a) Tương tự bài 5b ta lập được CT: u
n+2
= 3u
n+1
- u
n
với u
0
= 2 ; u
1
= 3
b) gán: 2
→
A ; 3
→
B ; ghi A = 3B -A : B = 3A - B bấm “=” ( u
2
) = …
u
2
= 7; u
3
= 18 ; u
4
= 47; u
5
= 123
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Bài 13: Gán u
1
= 1 vào A (lẻ); u
2
= 2 vào B (chẳn) ; S
2
= 3 vào C
Nhập: A = 5B + 3A : C = C + A : B = 3A + 5B - 1: C = C + B
Bấm liên tiếp các dấu bằng: Lần 1 “=” (được u
3
)
Lần 2 “=” (được S
3
)
Lần 3 “=” (được u
4
)
Lần 4 “=” (được S
4
)
Lặp lại dấu “=” cứ thế ta tìm được dãy số theo chu kì: (u
3
, S
3
, u
4
, S
4
) ; (u
5
, S
5
, u
6
, S
6
)
(u
7
, S
7
, u
8
, S
8
) ….
Như vậy ta dễ dàng giải quyết được bài toán:
u
12
=11980248 ; S
12
=15786430 ; u
13
=69198729 ; S
13
=84985159
CHUYÊN ĐỀ VỀ HÌNH HỌC
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 5,2314 cm và AC = 6,3054 cm.
a) Tính BC và góc B, C
b) Tính độ dài đường cao AH và diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường trung tuyến AM và phân giác AD của tam giác ABC.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6,251 cm và góc B = 56
0
.
a) Tính BC, AC và góc C.
b) Tính độ dài đường cao AH và diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường trung tuyến AM và phân giác AD của tam giác ABC.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 12,3215 cm và AC = 16,2014 cm.
Tính bán kính của đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 4,2315 cm; AC = 5, 3641 cm và góc A = 65
0
.
a) Tính độ dài đường cao BK; CF của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Tính các góc còn lại của tam giác ABC.
d) Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC và cạnh BC.
N
M
C
B
A
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
e) Tính độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp và độ dài bán kính của đường
tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 5: Cho tam giác ABC biết độ dài BC = 6,12 cm; góc B = 65
0
; C = 46
0
.
a) Tính độ dài đường cao BK; CF của tam giác ABC.
b) Tính độ dài cạnh AC và AB và đường cao AH của tam giác ABC
c) Tính diện tích của tam giác ABC
Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 6,3031 cm; AC = 5,9652 cm và BC = 8, 35 cm.
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
a) Tính BH; HC và AH.
b) Tính các góc của tam giác ABC.
c) Tính độ dài bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 7: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh TT - Huế 2005)
Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ của kì đài trước ngọ môn
(Đại nội - Huế), người ta cắm hai cọc bằng nhau MA và NB cao 1,5 m
(so với mặt đất) song song , cách nhau 10m và thẳng hàng so với tim
của cột cờ. Đặt giác kế đứng tại A và B để nhắm đến đỉnh cột
cờ, người
ta đo được các góc lần lượt là 51
0
49
’
12
”
và 45
0
39
’
so với phương song
song với mặt đất. Hãy tính gần đúng chiều cao đó.
Bài 8: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh TT - Huế 2006)
Cho tam giác ABC có các độ dài của các cạnh
AB = 4,71cm; BC = 6,62 cm và AC = 7,62cm.
a) Hãy tính gần đúng độ dài đường cao BH, đường trung tuyến BM và đoạn
phân giác trong BD của góc B
b) Tính gần đúng diện tích tam giác BHD.
