Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 tham khảo (5)

Chuyên đề 1: dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật
= = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = =
(1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát
na
1
a
1
n)a.(a
n
+
=
+
- - - Chứng minh - - -
naanaa
a
naa
na
naa
ana
naa
n
+
=
+

+
+
=
+
+
=

+
11
).().().(
)(
).(
Bài 1.1 : Tính
a)
2009.2006
3

14.11
3
11.8
3
8.5
3
++++=A
b)
406.402
1

18.14
1
14.10
1
10.6
1
++++=B
c)
507.502

10

22.17
10
17.12
10
12.7
10
++++=C
d)
258.253
4

23.18
4
18.13
4
13.8
4
++++=D
Bài 1.2 : Tính:
a)
509.252
1

19.7
1
7.9
1
9.2

1
++++=A
b)
405.802
1

17.26
1
13.18
1
9.10
1
++++=B
c)
405.401
3
304.301
2

13.9
3
10.7
2
9.5
3
7.4
2
+++=C
Bài 1.3 : Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
a)

8
5
120
1

21
1
15
1
10
1
2008
=
x
b)
45
29
45.41
4

17.13
4
13.9
4
9.5
47
=+++++
x
c)
93

15
)32)(12(
1

9.7
1
7.5
1
5.3
1
=
++
++++
xx
Bài 1.4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a)
46)23)(13(
1

11.8
1
8.5
1
5.2
1
+
=
+
++++
n

n
nn
b)
34
5
)34)(14(
5

15.11
5
11.7
5
7.3
5
+
=
+
++++
n
n
nn
Bài 1.5 : Chứng minh rằng với mọi
2; nNn
ta có:
15
1
)45)(15(
3

24.19

3
19.14
3
14.9
3
<
+
++++
nn
Bài 1.6 : Cho
403.399
4

23.19
4
19.15
4
+++=A
chứng minh:
80
16
81
16
<< A
Bài 1.7 : Cho dãy số :
;
25.18
2
;
18.11

2
;
11.4
2
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S.
Bài 1.8 : Cho
2222
9
1

4
1
3
1
2
1
++++=A
. Chứng minh
9
8
5
2
<< A
Bài 1.9 : Cho
2222
2007
2

7

2
5
2
3
2
++++=A
. Chứng minh:
2008
1003
<A

1


∗ Bµi 1.10 : Cho
2222
2006
1

8
1
6
1
4
1
++++=B
. Chøng minh:
2007
334
<B

∗ Bµi 1.11 : Cho
222
409
1

9
1
5
1
+++=S
. Chøng minh:
12
1
<S
∗ Bµi 1.12 : Cho
2222
305
9

17
9
11
9
5
9
++++=A
. Chøng minh:
4
3
<A

∗ Bµi 1.13 : Cho
2
201
202.200

49
48
25
24
9
8
++++=B
. Chøng minh:
75,99>B
∗ Bµi 1.14 : Cho
1764
1766

25
27
16
18
9
11
++++=A
. Chøng minh:
21
20
40
43

20
40 << A
∗ Bµi 1.15 : Cho
100.98
99

6.4
5
5.3
4
4.2
3
3.1
2
22222
+++++=B
. T×m phÇn nguyªn cña B.
∗ Bµi 1.16 : Cho
2500
2499

16
15
9
8
4
3
++++=C
. Chøng minh C > 48
∗ Bµi 1.17 : Cho

59 321
1

4321
1
321
1
++++
++
+++
+
++
=M
. Chøng minh
3
2
<M
∗ Bµi1.18 : Cho
100.99
101.98

5.4
6.3
4.3
5.2
3.2
4.1
++++=N
. Chøng minh 97 < N < 98.
• Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè:

)2)((
1
)(
1
)2)((
2
nananaananaa
n
++
−
+
=
++
Chøng minh:
)2)((
1
)(
1
)2)(()2)((
2
)2)((
)2(
)2)((
2
nananaananaa
a
nanaa
na
nanaa
ana

nanaa
n
++
−
+
=
++
−
++
+
=
++
−+
=
++
)3)(2)((
1
)2)((
1
)3)(2)((
3
nananananaanananaa
n
+++
−
++
=
+++
∗ Bµi 1.19 : TÝnh
39.38.37

2

4.3.2
2
3.2.1
2
+++=S
∗ Bµi 1.20 : Cho
20.19.18
1

4.3.2
1
3.2.1
1
+++=A
. Chøng minh
4
1
<A
∗ Bµi 1.21 : Cho
29.27.25
36

7.5.3
36
5.3.1
36
+++=B
. Chøng minh B < 3

∗ Bµi 1.22 : Cho
308.305.302
5

14.11.8
5
11.8.5
5
+++=C
. Chøng minh
48
1
<C
∗ Bµi 1.23 : Chøng minh víi mäi n
∈
N; n > 1 ta cã:
4
11

4
1
3
1
2
1
3333
<++++=
n
A

2
∗ Bµi 1.24 : TÝnh
30.29.28.27
1

5.4.3.2
1
4.3.2.1
1
+++=M
∗ Bµi 1.25 : TÝnh
100.99
1

6.5
1
4.3
1
2.1
1
100
1

52
1
51
1
++++
+++
=P

Bµi 1.26: TÝnh:
2007.2005
1004.1002

)12)(12(
)1)(1(

9.7
5.3
7.5
4.2
5.3
3.1
++
+−
+−
++++=
nn
nn
Q
Bµi 1. 27: TÝnh:
2007.2005
2006

5.3
4
4.2
3
3.1
2

2222
++++=R
Bµi 1.28: Cho
12005
2

12005
2

12005
2
12005
2
12005
2
20052
2
2006
2
1
2
3
2
2
+
++
+
++
+
+

+
+
+
=
+
n
n
S
So s¸nh S víi
1002
1
 Hướng dẫn:
1k
m2
1k
m
1k
m
1k
m2
)1k)(1k(
mmkmmk
1k
m
1k
m
22
−
−
−

=
+
⇒
−
=
+−
+−+
=
+
−
−
Áp dụng vào bài toán với m ∈ {2; 2 , …., 2 } và k ∈ { 2005, 2005 , …
2006
2
2005
} ta có:
12005
2
12005
2
12005
2
2
2
−
−
−
=
+
12005

2
12005
2
12005
2
2
2
3
2
2
2
2
−
−
−
=
+
………………
(2). D·y 2: D·y luü thõa






n
a
1
víi n tù nhiªn.
Bµi 2.1: TÝnh :

10032
2
1

2
1
2
1
2
1
++++=A
Bµi 2.2: TÝnh:
10099432
2
1
2
1

2
1
2
1
2
1
2
1
−++−+−=B
Bµi 2.3: TÝnh:
9953
2

1

2
1
2
1
2
1
++++=C

3
Bài 2.4: Tính:
581074
2
1

2
1
2
1
2
1
2
1
++=D
Bài 2.5: Cho
n
n
A
3

13

27
26
9
8
3
2
++++=
. Chứng minh
2
1
> nA
Bài 2.6: Cho
98
98
3
13

27
28
9
10
3
4 +
++++=B
. Chứng minh B < 100.
Bài 2.7: Cho
9932
4

5

4
5
4
5
4
5
++++=C
. Chứng minh:
3
5
<C
Bài 2.8: Cho
22222222
10.9
19

4.3
7
3.2
5
2.1
3
++++=D
. Chứng minh: D < 1.
Bài 2.9: Cho
10032
3
100

3
3
3
2
3
1
++++=E
. Chứng minh:
4
3
<E
Bài 2.10: Cho
n
n
F
3
13

3
10
3
7
3
4
32
+
++++=
với n

N
*
. Chứng minh:
4
11
<F
Bài 2.11: Cho
10032
3
302

3
11
3
8
3
5
++++=G
. Chứng minh:
2
1
3
9
5
2 << G
Bài 2.12: Cho
10032
3
601

3
19
3
13
3
7
++++=H
. Chứng minh:
5
9
7
3 << H
Bài 2.13: Cho
10032
3
605

3
23
3
17
3
11
++++=I
. Chứng minh: I < 7
Bài 2.14: Cho
10132
3
904

3
22
3
13
3
4
++++=K
. Chứng minh:
4
17
<K
Bài 2.15: Cho
10032
3
403

3
15
3
11
3
7
++++=L
. Chứng minh: L < 4,5.
(3). Dãy 3: Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật:
Bài 3.1: Tính:
2500
2499

25

24
.
16
15
.
9
8
=A
.
Bài 3.2: Cho dãy số:
,
35
1
1,
24
1
1,
15
1
1,
8
1
1,
3
1
1
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy.
Bài 3.3: Tính:

=
780
1
1
15
1
1
10
1
1
6
1
1
3
1
1B
.

4
Bµi 3.4: Cho
200
199

6
5
.
4

3
.
2
1
=C
. Chøng minh:
201
1
2
<C
Bµi 3.5: Cho
100
99

6
5
.
4
3
.
2
1
=D
. Chøng minh:
10
1
15
1
<< D
Bµi 3.6: TÝnh:







+






+






+






+= 1
99
1

1
4
1
1
3
1
1
2
1
E
Bµi 3.7: TÝnh:






−






−







−






−= 1
100
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
F
.
Bµi 3.8: TÝnh:
2222
30
899

4
15
.

3
8
.
2
3
=G
.
Bµi 3.9: TÝnh:
64
31
.
62
30

10
4
.
8
3
.
6
2
.
4
1
=H
.
Bµi 3.10: TÝnh:
1000 001 100000001.10001.101
/12

 
sc
n
I
−
=
Bµi 3.11: Cho






−






−






−







−= 1
100
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
2222
K
. So s¸nh K víi
2
1−
Bµi 3.12: So s¸nh






−







−






−






−=
20
1
1
4
1
1
3
1
1
2

1
1L
víi
21
1
Bµi 3.13: So s¸nh






−






−






−







−=
100
1
1
16
1
1
9
1
1
4
1
1M
víi
19
11
Bµi 3.14: TÝnh:
51.49
50

5.3
4
.
4.2
3
.
3.1

2
2222
=N
Bµi 3.15: TÝnh






−






−






−







−=
7
10
1
7
3
1
7
2
1
7
1
1P
.
Bµi 3.16: TÝnh:






−






−







−






−=
2007
2
1
7
2
1
5
2
1
3
2
1Q
Bµi 3.17: TÝnh:







−






−






−






−=
99
1
2
1

7
1
2
1
5
1
2
1
3
1
2
1
T
Bµi 3.18: So s¸nh:
40 23.22.21
39 7.5.3.1
=U
vµ
12
1
20
−
=V
Bµi 3.19: Cho







+






+






+






+=
101.99
1
1
5.3
1
1
4.2
1

1
3.1
1
1V
. Chøng minh V < 2.
Bµi 3.20: Cho
199
200

5
6
.
3
4
.
1
2
=S
. Chøng minh:
400201
2
<< S

5
Bài 3.21: Cho
210
208

12
10

.
9
7
.
6
4
.
3
1
=A
. Chứng minh:
25
1
<A
Bài 3.22: Tính:
101.100
100

4.3
3
.
3.2
2
.
2.1
1
2222
=B
Bài 3.23: Tính:

+






+






+






+

+






+






+






+
=
1999
1000
1
3

1000
1
2
1000
1
1
1000
1
1000
1999
1
3
1999
1
2
1999
1
1
1999
1
C
Bài 3.24: Tính:

=
2
)12(
1
1
25
4
1

9
4
1
1
4
1
n
D
, với n

N,
1n
Bài 3.25: Cho






++++







++

+
=
n
E
321
1
1
321
1
1
21
1
1

và
n
n
F
2+
=
với n

N
*
. Tính

F
E
Bài 3.26: Cho






+






+






+

+






+=
1024
2
1
1
256
1
1
16
1
1
4
1
1
2
1
1G
và
2047
2
1
=H
Tính: G + H.

Bài 3.27: Cho
n
nn
I
2
22
2
2)12)(12(

65536
2257.255
.
256
217.15
.
16
25.3
.
4
23.1 ++++++
=
với n

N.
Chứng minh:
3
4
<I
Bài 3.28: Cho dãy số:
;

3
1
1;
3
1
1;
3
1
1;
3
1
1;
3
1
1
16842
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy. Chứng minh
A23
1

là số tự nhiên.
c) Tìm chữ số tận cùng của
A
B
23
3

=
Bài 3.29: Cho

n
nn
A
2
22
42
6
23

6
97
.
6
13
.
6
5 +
=
và
12
1
6
1

+
=
n
B
với n

N
a) Chứng minh :
B
A
M =
là số tự nhiên
b) Tìm n để M là số nguyên tố.

6
Bµi 3.30: Cho
n
n
A
2
2
42
3
16

3
1297
.
3
37
.
3
7 +
=







+






+






+






+







+=
n
B
2
842
3
1
1
3
1
1.
3
1
1
3
1
1
3
1
1
víi n
∈
N
a) Chøng minh : 5A – 2B lµ sè tù nhiªn.
b) Chøng minh víi mäi sè tù nhiªn n kh¸c 0 th× 5A – 2B chia hÕt cho 45.
Bµi 3.31: Cho

n
nn
A
2
22
42
3
23

3
97
.
3
13
.
3
5 +
=
.( víi n
∈
N ) Chøng minh: A < 3.
(4). TÝnh hîp lÝ c¸c biÓu thøc cã néi dung phøc t¹p:
Bµi 4.1: TÝnh:
99.98 4.33.22.1
)98 321( )321()21(1
++++
+++++++++++
=
A
Bµi 4.2: TÝnh:

99.98 4.33.22.1
1.98 96.397.298.1
++++
++++
=
B
Bµi 4.3: TÝnh:
400.29 9
1

104.3
1
103.2
1
102.1
1
400.10 1
1

302.3
1
301.2
1
300.1
1
++++
++++
=C
Bµi 4.4: TÝnh:
100

99

4
3
3
2
2
1
100
1

3
1
2
1
1100
++++






++++−
=
D
Bµi 4.5: TÝnh:
100.99
1

6.5
1
4.3
1
2.1
1
100
1

53
1
52
1
51
1
++++
++++
=E
Bµi 4.6: TÝnh
121
16
11
16
16
121
15
11
15
15
:

27
8
9
8
3
8
8
27
5
9
5
3
5
5
+−
+−
−+−
−+−
=F
Bµi 4.7: TÝnh
25
2
32,0
4
1
1.
5
1
1:2,1
56

43
4:
4
1
2
7
3
5
2
1
2:
5
1
15
2
3
+






−







−






+
=G

7
Bµi 4.8: TÝnh
500
1

55
1
50
1
45
1
100
92

11
3
10
2
9
1

92
:
100
1

4
1
3
1
2
1
1
99
2
98

97
3
98
2
99
1
++++
−−−−−
++++
+++++
=H
Bµi 4.9: TÝnh
2941
5

41
5
29
5
5
2941
4
41
4
29
4
4
:
1943
3
43
3
19
3
3
1943
2
43
2
19
2
2
−+−
−+−
−+−

−+−
=I
Bµi 4.10: TÝnh
91
7
169
7
13
7
7
91
3
169
3
13
3
3
:
85
4
289
4
7
4
4
85
12
289
12
7

12
12
+++
+++
−−−
−−−
=K
Bµi 4.11: TÝnh
20.1516.1212.98.64.3
10.58.46.34.22.1
++++
++++
=L
Bµi 4.12: TÝnh
5
2
:5,0.6,0
17
2
2.
4
1
2
9
5
5
7
4
:
25

2
08,1
25
1
64,0
25,1.
5
3
1:6,1
+






−






−
+
−







=M
Bµi 4.13: TÝnh
43
11
8:
1517
38
6
1591
94
11
5
1
8






−=N
Bµi 4.14: TÝnh







−+=
37.13.11.7.3
4
222222
5
111111
5
.10101P
Bµi 4.15: TÝnh
1.99
1
3.97
1

95.5
1
97.3
1
99.1
1
99
1

7
1
5
1
3
1
1

+++++
+++++
=Q
Bµi 4.16: TÝnh
1
199
2
198

197
3
198
2
199
1
200
1

4
1
3
1
2
1
+++++
++++
=R

8