Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 tham khảo (1)

Trờng

:

THCS Đinh Xá

Phan I: SO HOẽC
MOT SO KIEN THệC CAN GHI NHỚ
1/ nếu a1 ,a2, a3... đều chia hết cho b
Thì :
a/ a1+ a2 + a3 +… chia hết cho b
b/ a1n + a2.n + a3.n … chia heát cho b
* HỆ QUẢ :

a1 M b
Thì a2 M b
a1 + a2 M b

2/ b1\ a1 , b2 \ a2 , b3 \ a3 thì b1.b2 .b3 \ a1.a2.a3
* HỆ QUẢ: b\ a thì bn \ an
3/ bc\ ac ⇒ b \ a
4/ Nếu

a Mb
aM c
( b,c) = 1

và b.c \ a.c

( với mọi n ∈ N, c ≠ 0 , c ∈ Z )

( c ≠ 0)
⇒ a M b.c

5/ Nhị thức Niu-Tơn:
a/

an - bn = ( a-b)(an-1b0 + an-2b + an-3b2+…+a0bn-1) với n ∈ N, và a ≠ b

b/ an + bn = ( a+ b)(an-1b0 - an-2b + an-3b2 – an-4b3 +…-abn-2 + a0bn-1) với n ∈ N, n lẻ
và a ≠ -b
c/

( a+ b+ c)2 = a 2 + b2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc

d/

(a + b − c ) = a 2 + b2 + c 2 + 2ab − 2ac − 2bc

6/ Định lý BRu ( mở rộng chia hết trong đa thức )
Nếu f(x) có nghiệm là x0 thì f(x) = ( x-x0)g(x) họăc f(x) M ( x-x0).
Nói cách khác f(x) M(x- a) khi f(a) = 0
• CHÚ Ý:a/ Nếu tổng các hệ số của đa thức f(x) bằng 0 thì f(x) có
nghiệm bằng 1 . Hay f(x) M(x-1)
b/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì
f(x) có nghiệm x = -1 . Hay f(x) M(x+1)
1


Trờng

:

THCS Đinh Xá

7/ CHIA HET CHIA CO Dệ :
ã Ngòai các điều kiện chia hết học ở lớp 6 , ta cần nhớ thêm các điều
kiện sau:
+ Mọi số chẵn đều chia hết cho 2
+ ĐK chia hết cho 4 ( họăc 25) : Số có 2 chữ số tận cùng lập thành một số
có 2 chữ số chia hết cho 4 (hoặc 25) thì số ấy chia hết cho (4 họăc 25).
+ ĐK chia hết cho 8 ( họăc 125) : số có 3 chữ số tận cùng lập thành một
số có 3 chữ số chia hết cho 8 (hoặc 125) thì số ấy chia hết cho 8 (hoặc
125)
+ Tích 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8
+ Với a,b ∈ Z ; b ≠ 0 luôn tồn tại một cặp số nguyên q, r sao cho
a = b.q + r (0 ≤ r < b ). Ta gọi r là số dư , q là thương trong phép chia a cho
b
+ Định lý BRu mở rộng ( Tham khảo) : Phần dư của phép chia f(x) cho
nhị thức
g(x) = x-a là một hằng số bằng giá trị của f(a)
+ Lược đồ Hooc-Ne ( Tính hệ sốø của đa thương và dư trong phép chia
n
n −1
n−2
Đa thức f(x) = an x + an −1 x + an −2 x + ... + a1 x + a0 cho nhị thức x − α

an

α

an-1

an-2

bn=an bn −1 = α .bn + an −1

…

bn − 2 = α .bn −1 + an − 2

a1

b1 = α .b2 + a1

…

a0
r = α .b1 + a0

( Dòng thứ 2 : giá trị ở ô cuối cùng là số dư, giá trị ở mỗi ô còn lại là hệ số
của đa thức thương)
+ Tam giác PASSCAN:
1
1
1
1

2
3

4
5

1
1
3

6
10

4
10

2

1
1
5

1


Trờng

:

THCS Đinh Xá

1
1

6
7

15
21

20
35

15
35

6
21

1
7

1

1
8
28
56
70
56
28
8
1

( Caực soỏ ụỷ moói doứng cuỷa tam giác ứng với các hệ số trong khai triển các lũy
thừa của một tổng 2 số hạng)
8/ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN :
n
n −1
n−2
n
f(x) = a0 x + a1 x + a2 x + ... + an −1 x + a0
p

• Nếu có nghiệm hữu tỷ q thì : p là ước của an ( an Mp ) và q là ước của a0 (
a0 Mq )
• Nếu có nghiệm ngun x = a thì a là ước của an
• Nếu f(x) có nghiệm x = a thì (x- a ) là một nhân tử của f(x)
* VD1- Phân tích đa thức:
f(x) = x3 – x2 +4 thành nhân tử
+4 chia
hết cho x2+x+2)
+nghiệm nguyên nếu có của f(x) thì x = { −1;1; −2; 2}
+ Thử lại ta có x = 2 là nghiệm .
2
Vậy f ( x) = ( x − 2)( x + x + 2)

(

( CMR : x3 – x2

f ( x)
= x2 + x + 2 )
x−2

+ x2+x+2 coù ∆ = -7 < 0 ( VN)
* VD2 phân tích f(x) = 3x3 + 7x2 + 17x -5 thành nhân tử
Nghiệm nguyên nếu có của đa thức thì x ∈ { −1; +1; −5; +5}
Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức thì
Thử lại ta coù
9/ Phương

 1


1

5

5

x ∈ − 3 ; + 3 ; − 3 ; + 3 


1
1 2
là nghiệm . ⇒ f ( x) = 3( x − )( x − 2 x + 5) do x2-2x +5
3
3

trình bậc hai :
ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )

Có biệt thức : ∆ = b 2 − 4ac

* ∆ < 0 phương trình vơ nghiệm.
b
2a
−b + ∆
−b − ∆
* ∆ > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 =
, x2 =
2a
2a

* ∆ = 0 tphương trình có nghiệm kép x1 = x2 = −

VD-

3x2 – 8x + 4 = 0

10/ phương pháp chứng minh bằng quy nạp: f(x) = a
* CM f(x) đúng với x = 1
3

VN


Trờng

:

THCS Đinh Xá

* Giaỷ sửỷ f(x) ủuựng vụựi x = n

* Chứng minh f(x) luôn đúng với x = n+1
VD
I-PHÉP CHIA HẾT
−5

BÀI 1: 1, Cho biểu thức:

A = n−2
a, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số.
b, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên.
2, Tìm x biết:
a, x chia hết cho cả 12; 25; 30 và 0 ≤ x ≤ 500
b, (3x – 24). 73= 2. 74
c, x − 5 =16 + 2.(−3)
3, Bạn Hương đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145. Hỏi
bạn Hương đã dùng bao nhiêu chữ số ? Trong những chữ số đã sử dụng thì có
bao nhiêu chữ số 0 ?
BÀI 2: 1, Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596
a, Chứng minh: S M 126
b, Tìm chữ số tận cùng của S
2, Chứng minh A = n(5n + 3) M n với mọi n ∈ Z
3,Tìm a, b ∈ N, biết: a + 2b = 48
ƯCLN (a, b) + 3. BCNN (a, b) = 14
BÀI 2 :a. Chứng minh:

12n + 1
(n ∈ Z) tối giản
30n + 2

b.Bạn Hương đánh 1 cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn.

c, Bạn Hương cần bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sách đó ?
d, Trong dãy số trên thì chữ số thứ 300 là chữ số nào ?
e, Tính:
2
2
2
2
+
+
+ ..... +
1.3 3.5 5.7
99.101
7 . 9 + 14 . 27 + 21.36
BÀI 3: 1) Rót gän A = 21.27 + 42.81 + 63.108
3
3
3
3
+
+
++
n ∈N *
2) Cho S =
1.4 4.7 7.10
n(n + 3)

Chøng minh: S < 1
3) So sánh:

2003.2004 1

2004 .2005 1
và
2003.2004
2004.2005

4) Tìm số nguyên tố P sao cho các số P + 2 và P +10 là số nguyên tố
5) Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ hơn 10 của x và y sao cho 3x - 4y = - 21
n −5

6 )Cho ph©n sè: A = n + 1 (n ∈ Z ; n 1)
a) Tìm n để A nguyên.
b) Tìm n để A tối giản .
4


Trờng

:

THCS Đinh Xá

BI 4
1) Tìm các giá trị của a ®Ó sè 123a5
a) Chia hÕt cho 15
b) Chia hÕt cho 45
2/ Chøng minh r»ng: A = 10 n + 18n − 1 chia hÕt cho 27 (n lµ sè tù nhiªn).
3/ Cho A = n 3 + 3n 2 + 2n
a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3 víi mọi số nguyên n.
b) Tìm giá trị nguyên dơng của n víi n < 10 ®Ĩ A chia hÕt cho 15.
4/ Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không quá 130 em tham gia. Sau khi

chấm bài thấy số em đạt điểm giỏi chiếm
yếu chiếm

1
1
, đạt điểm khá chiếm , đạt điểm
9
3

1
tổng số thí sinh dự thi, còn lại là đạt điểm trung bình.
14

Tính số học sinh mỗi lo¹i.
BÀI 5:
1/ Cho A = 3 + 32 + 33 + .... + 32004
a) TÝnh tæng A.
b) Chøng minh r»ng A M130 .
c) A có phải là số chính phơng không ? Vì sao ?
2) Tìm n Z để n 2 + 13n − 13 Mn + 3
CHUYÊN ĐỀ TÍNH TỔNG HỮU HẠN
Bài 1:
a. Cho n là một số nguyên dương. Hãy so sánh:
2
1
1
1
1 

1+ và 1 + n 2 2


÷
( n+1)
n n+1 

b. Tính:
1
1
1
1
1
1
1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... +
2
3
3
4
4
5

1+

1
1
+
20052
20062

Bài 2:
Chứng minh rằng:

n
1 1
1
〈 1 + + + ... + n 〈 n
2
2 3
2 -1

với n ∈ N và

VÝ dô1(SGK-T8.Tr25)
Chøng minh r»ng: n 3 − n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Giải:
Ta cã n 3 − n =n.(n-1).(n+1). Trong ba sè nguyªn liên tiếp n,n-1,n+1 luôn
cómột số chia hết cho 2 , một số chia hết cho 3 và (2,3)=1 .Do đó n 3 − n M6 .
5


Trờng

:

THCS Đinh Xá

Qua bài toán trên ta thấy n 3 và n đồng d khi chia cho các số 2,3 và6 từ đó ta
đề xuất một số bài toán tơng tù nh sau.
Bµi1:
Chøng minh r»ng : n 3 + m 3 M6 ⇔ n + m M6(∀m, n ∈ Z ) .
Gi¶i: Tacã (n 3 + m 3 ) − (n + m) = (n 3 − n) + (m 3 − m) M6, (theoVD1 )
Tõ ®ã suy ra ®iỊu phải chứng minh.Tổng quát hoá ta đợc bài toán sau.

Bài2: Chøng minh r»ng:
3

3

3

3

x1 + x 2 + x3 + ........... + x n M ⇔ x1 + x 2 + x3 + ............ + x n M , ( xi ∈ Z , ∀i = 1, n)
6
6

Bµi3: Cho A= 13 + 2 3 + 33 + ............. + 983 + 99 3. Hái A cã chia hÕt cho 6 kh«ng?
Híng dẩn: Đặt S=1+2+3+4+............+98+99. Theo bài 2 ta có A-S chia hÕt cho
6,trong ®ã S=

99(99 + 1)
= 6.33.25 ⇒ S M . Do đó A M .
6
6
2

Bài4:(Thi học sinh giỏi T.P-HCM năm học 2003-2004).
Chứng minh rằng: ( x + y + z ) 3 − x 3 − y 3 − z 3 M6 với mọi số nguyên x,y,z.
Giải:

[

]

( x + y + z ) 3 − x 3 − y 3 − z 3 = ( x + y + z ) 3 − ( x + y + z ) − ( x 3 − x) − ( y 3 − y ) − ( z 3 − z ) .

Theo VD1 ta thấy các hạng tử của VP ®Òu chia hÕt cho 6, tõ ®ã suy ra ®iÒu phải
chứng minh.
Bài5:
Viết số 2005 2004 thành tổng của k số tù nhiªn tuú ý a1 , a 2 , a3 ,.........., a k .T×m sè d
cđa phÐp chia a13 + a 2 3 + a3 3 + ....... + a k 3 cho3.
Giải: Đặt N= a13 + a 2 3 + a3 3 + ....... + a k 3 vµ 2005 2004 = a1 + a 2 + a3 + ............ + a k .
Ta cã N- 2005 2004 = (a13 − a1 ) + (a 2 3 − a 2 ) + (a3 3 − a3 ) + ........... + (a k 3 − a k ) M3 ,(VD 1 )
Mặt khác 2005 2004 chia cho 3 d 1, do đó N chia cho 3 d 1.
Kết hợp với hằng đẳng thức đà học VD1 đợc phát triển thành các bài toán thú vị
sau.
Bài 6:
Cho P = (a 2 − ab + 1) 3 + (b 2 + 3ab − 1) 3 − (a + b) 2 . Chøng minh r»ng P chia hÕt cho
6 víi mäi sè nguyªn a,b.
Giải:
Đặt x = a 2 ab + 1; y = b 2 + 3ab − 1 ⇒ x + y = (a + b) 2 . Khi ®ã ta cã
P= x 3 + y 3 − ( x + y ) = ( x 3 − x) + ( y 3 − y ) M6 .
Bµi7: Chøng minh r»ng với mọi số nguyên x,y thì:
( x 3 + 3 xy 2 ) 3 + ( y 3 + 3 x 2 y ) M ⇔ x + y M .
3
3
3
2
3
2
Gợi ý: Đặt a = x + 3xy ; b = y + 3x y ⇒ a + b = ( x + y)3 ,:
6

Trờng

:

THCS Đinh Xá

Ta có a 3 + b 3 M3 ⇔ a + b M3( BT1 ) ⇔ ( x + y ) 3 M3 ⇔ x + y M3 (vì 3 là số nguyên tố).
Bài8: Cho các số nguyên x, y , z tho¶ m·n : x+y+z= 3.2006 2007
Chøng minh r»ng: M= ( x 2 + xy + yz ) 3 + ( y 2 + xy + xz ) 3 + ( z 2 + yz + xz ) 3 chia hết
cho 6.
Giải:
Đặt a = x 2 + xy + yz; b = y 2 + xy + xz; c = z 2 + yz + xz ⇒ M = a 3 + b 3 + c 3
Ta cã: a + b + c = x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + yz + zx) = ( x + y + z ) 2 M6(Theo − gt ) .
Do ®ã M M6 (theo-BT 2
)
Kết hợp ví dụ 1 với bài toán tìm nghiệm nguyên ta có một số bài toán sau.
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau:
a) ( x + y ) 3 + ( y + z ) 3 = x + 2 y + z + 20053 (1)
b) ( x 2 + y 2 − 1) 3 + (2 xy + 1) 3 = 189
(2)
Gi¶i:
a) (1) ⇔ [( x + y ) 3 − ( x + y )] + [( y + z ) 3 − ( y + z )] = 20053 (3)
DÔ thÊy VT cđa (3) chia hÕt cho 6 (theo-VD1).Nhng 20053 kh«ng chia hết cho
6,do đó phơng trình đà cho không có nghiệm nguyên.
b) Đặt p = x 2 + y 2 1; q = 2 xy + 1 ⇒ p + q = ( x + y ) 2 . Khi đó phơng trình (2) trở
thành : p 3 + q 3 = 189 . Vì 189 M3 nên p 3 + q 3 M3 ⇒ p + q M3(theo − BT1 ) .Từ đó suy ra
p+q là số chính phơng chia hết cho 3.
Mặt khác p 3 + q 3 = 189 ⇔ ( p + q)( p 2 − pq + q 2 ) = 9.3.7 .Do ®ã p+q chØ cã thÓ
b»ng 9 ⇒ ( x + y ) 2 = 9 ⇒ x + y = 3( x, y ∈ Z + ) , tõ ®ã suy ra phơng trình có hai

nghiệm (x,y)=(1,2)hoặc (2,1). Thử lại thấy thoà mÃn.

Bài 10 trang 14 (Sách bài tập tóan 9 tập I ) chøng minh r»ng
n +1 − n =

1
n +1 + n

với n là số tự nhiên.

Chứng minh : ( n + 1 − n )( n + 1 + n ) = n + 1 − n = 1
⇔

n +1 − n =

1
n +1 + n

Ph¸t biĨu c¸ch kh¸c :
1. Chứng tỏ với mọi số tự nhiên n thì ( n + 1 − n ) vµ ( n + 1 + n ) là hai số
nghịch đảo.
7


Trờng

:

THCS Đinh Xá

1

2.

= n +1 + n

n +1 n

(với n là số tự nhiên)

Bài 12: Tính
1

a.

2+ 1
1

b.

2+ 1

1

+

3+ 2
1

+

1

+

3+ 2

4+ 3
1

+

4+ 3

+ ... +

1
100 + 99

+ ... +

1
n + n −1

víi n ≥ 1

Gi¶i :
a.
=

1
2+ 1

1
3+ 2

+

1
4+ 3

1

+ ... +

100 + 99

2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + ... + 100 − 99 = 100 − 1 = 9
1

b.
=

+

2+ 1

+

1

3+ 2

1

+

4+ 3

+ ... +

1
n + n −1

víi n ≥ 1

2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + ... + n − n − 1 = n − 1

Bµi 13: TÝnh
a. A =
b. B =

1
1 2
1
1 2

Định hớng : 1 2 =

1
2− 3
1
2− 3
−1
1+ 2

+

+

1
3− 4
1
3− 4

+ ... +

+ ... −

1
20005 − 2006
1
2k − 2 k + 1

hay n − n + 1 =

Gi¶i :

8

−1
n + n +1


Trờng

:
1

a. A =

1 2

THCS Đinh Xá


1
2 3

+

1
3 4

1

+ ... +

20005 − 2006

= − ( 1 + 2 ) + ( 2 + 3 ) − ( 3 + 4 ) + ... − ( 2005 + 2006 )
= − 1 − 2 + 2 + 3 − 3 − 4 + ... − 2005 − 2006
= − ( 1 + 2006 )
1

b. B =

1− 2

1

−

2− 3

1

+

3− 4

1

+ ... −

2k − 2 k + 1

B = − ( 1 + 2 ) + ( 2 + 3 ) − ( 3 + 4 ) + ... + ( 2k + 2k + 1)
= − 1 − 2 + 2 + 3 − 3 − 4 + ... + 2k + 2k + 1
= ( 2k + 1 − 1)
ëBµi 71, thay 1 = x N ta có bài toán 3
Bài 14 Chøng minh: Víi x>0,n ≥ 0
n+x − n =

Ta cã:

x
n+ x + n

Bµi15 TÝnh
a. C =

3
4+ 1
1

b. D =

3+ 1

+

+

3
7+ 4
1

5+ 4

+

+

3
10 + 7
1
7+ 5

+ ... +

+ ... +

3
16 + 13
1
2k + 1 + 2k − 1

Víi k lµ số tự nhiên 1
Giải
a. áp dụng bài 3 vào bµi bµi 4 a. ( 4 ) 2 - 12 = 3 , ở đây x = 3
Ta có:
C =

3
4+ 1

+

3
7+ 4

+

3
10 + 7

+… +

3
16 + 13

9


Trờng

:

THCS Đinh Xá

= 4 1 + 7 4 + 10 − 7 + ... + 16 − 13
= 16 − 1 = 4 − 1 = 3
b. ¸p dơng bµi3vµo bµi bµi 4b ( 3 ) 2 - ( 1 ) 2 = 2, ở đây x = 2
Do đó ta đa về dạng bài toán 4a nh thế nào ? ( Nhân 2 vào 2 vế )
2
2
2

2
+
+
+ ... +
3+ 1
5+ 3
7+ 5
2k + 1 + 2k − 1

2D =

2D = 3 − 1 + 5 − 3 + 7 − 5 + ... + 2k + 1 − 2k − 1
2k + 1 − 1
2

2D = 2k + 1 − 1 ⇒ D =
Bµi 16: TÝnh
a. E =

1
2 1 +1 2

n n + 1 + (n + 1) n

n

= 1b.P =

1

=

n n +1

25 24 + 24 25

=?

1
=
n +1 + n

.

1

n +1 − n
n. n + 1

1

−

n +1
1

E=

3 2+2 3

+ ... +

n n + 1 + ( n + 1) n

1

1

1

1

Định hớng :

=

+

1
1
25



1
2

= 1

+

1
2



1
3

+ ... +

1
24



1
25

1 4
=
5 5

3
3
3
+
+ ... +
5 2 +2 5 8 5 +5 8
2006 2003 + 2003 2006

3(5 2 − 2 5)
=
3
Ta cã
(5 2 + 2 5)(5 2 − 2 5)
5 2+2 5

10


Trờng
=

:

THCS Đinh Xá

1
1
3(5 2 2 5) 5 2 2 5 5 2 2 5
=
=
= −
−
2
5
30
10
10

10
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+ ... +
−
2
5
5
8
2003
2006
1
1
P=
−
2
2006
P=

Bµi 17: Không dùng máy tính hÃy so sánh
A = 2007 2006 và B = 2006 2005
Giải :
ap dụng bài 71

1

A=

2007 + 2006
1

B=

2006 + 2005

⇒ A < B do
⇒

2007 > 2005

2007 2006 < 2006 2005

Bài 18: Tổng quát tõ bµi 6 ta cã :
n + 1 − n < n − n − 1 víi n ≥ 1

¸p dụng bài 71 (bài tập toán 9 tập I) ta có điều phải chứng minh.
Bài 8 : Thay 1 = x ë bµi 7 ta cã : Víi n ≥ x >1
A = n+x − n
B = n − n−x
ta có : A < B
từ bài toán 6 ta có bài toán sau:
Bài 19:

So sánh C và D

11


Trờng

:

THCS Đinh Xá

C = m+ p m
D = n+ p − n
Víi m > n > 0 ,p > 0
Ta cã
C=

p
m+ p + m

p

D=

n+ p + n

V× m > n ⇒ C < D
*ap dơng bµi 71 chøng minh bất đẳng thức
Bài 20 :
a.
b.

Chứng minh
n + 1 + n − 1 < 2 n (Víi n ≥ 1)
n + x + n − x < 2 n (víi n> x ≥ 0)

Chøng minh
a.

n +1 + n −1 < 2 n

⇔ n +1 − n < n − n −1

BÊt đẳng thức này đà chứng minh ở bài 7
b.

n+x + n−x <2 n

⇔ n+x − n < n − n−x

§· chøng minh ë bµi 8
Bµi 21 : Chøng minh : 2m + 2m + 2 < 2 2m + 1

víi m ≥ -1

Chøng minh: Víi n = 2 m +1, thay vào bài 10a thì ta đợc :
2m + 2m + 2 < 2 2m + 1

12

Trờng

:

THCS Đinh Xá

Bài 12:Không dùng máy tính và bảng số h·y chøng tá 101 − 99 > 0,1
Gi¶i
101 − 99 =

2
101 + 99

V× 0 < 101 + 99 < 2 100 ( Suy ra tõ bµi 10a )
⇔

2
101 + 99

>

2

⇔ 100 − 99 > 0,1

2 100

Bµi 22: a. Chøng minh r»ng víi mäi n ∈ N*
1
2 n +1

< n +1 − n

b. Chøng minh: 2( n + 1 − n ) <

1

< 2( n − n − 1)

n

Gi¶i
1

a.

2 n +1

⇔

1
2 n +1

< n +1 − n
1

<

n +1 + n

⇔ 2 n +1 >

( Ap dơng bµi 71 trang 14 )

n + 1 + n (hiển nhiên đúng )

b. 2( n + 1 − n ) <

1
n

< 2( n − n − 1)

* Chøng minh : 2 ( n + 1 - n ) <
⇔0<

1
n +1 + n

<

1
n

1
2 n

⇔

n +1 +

n >2



n +1 >

n

n

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng
13


Trờng

:

*

THCS Đinh Xá

Chứng minh
1
n

0<

1

2 n

< 2( n n 1)

<

1
n + n −1

⇔ 2 n > n + n 1


n > n 1

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng
Bất đẳng thức đà cho đợc chứng minh

Bài 23 : Cho S = 1+

1
2

1

+

3

+

1
4

+… +

1
100

Chøng minh
18 < S < 19
Chøng minh
Áp dơng bµi 13b ta cã : 2( n + 1 − n ) <

1
n

< 2( n − n − 1)

Thay n = 2,3,4,......100 ta cã:
2 ( 3− 2) <
2 ( 4 − 3) <

1
2
1
3

< 2 ( 2 − 1)
< 2 ( 3− 2)

2 ( 5 − 4) < 2( 4 − 3)
……………………….
2( 101 − 100 ) <

1
100

< 2( 100 − 99 )

Céng vÕ víi vÕ ta cã
14


Trờng

:

THCS Đinh Xá

1 + 2 ( 3 2 + 4 − 3 + ... + 101 − 100 )< S < 1 + 2( 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3
+ 100 − 99 )
⇔ 1+2 ( 100 − 2 )

< S <

1+2 ( 100 − 1 )

⇔ 1+2 ( 10 -1,5 )

< S <

1+2 (10-1)

VËy ta cã :

18 < S < 19

Chó ý : Cũng có thể thay đổi nội dung bài này nh sau :
Cách 1: Chứng minh S không phải là số tự nhiên
Cách 2: Tìm phần nguyên của S
Bài 24 So sánh A và B
A = 2 ( 2 + 4 + ... + 2006 ) + 2008 ; B = 2 ( 1 + 3 + ... + 2007 )
Áp dơng bµi 11 . 2m + 2m + 2 < 2 2m + 1

víi m ≥ -1

Cho m = 0 , 1, 2 , …,1003 ta cã:
0+ 2<2 1
2+ 4<2 3

……………..
……………..
……………..
2006 + 2008 < 2 2007

Céng vÕ víi vÕ ta cã:
⇒ 2( 2 + 4 + ... + 2006 ) + 2008 < 2( 1 + 3 + ... + 2007 )
⇒A < B

Bµi 25 : Chøng minh r»ng :

15


Trờng

:

1

1+

2

+

1
3

+

THCS Đinh Xá
1
4

1

+ ... +

2500

< 100
1

Chứng minh : Từ bài 13 b ta còng cã :

n +1

< 2( n + 1 n)

Lần lợt cho n = 0 , 1 , 2 , 3…, 2499 ta cã
1<2
1
2
1
3

< 2( 2 − 1)

< 2( 3 − 2 )

………………..
1
2500

< 2( 2500 − 2499 )

Céng vÕ víi vÕ ta cã:
1+

1
2

⇔ 1+

⇔ 1+

+
1
2
1
2

1
3
+

+

+
1
3
1
3

1
4
+

+

+ ... +
1
4
1
4

1
2500

+ ... +

+ ... +

< 2(1 + 2 − 1 + 3 − 2 + 2500 − 2499 )

1
2500
1
2500

< 2 2500

< 100

( Điều phải chứng minh )
C. Khai thác ứng dụng của bài 71 trong giải phơng trình
Bài 26 : Giải phơng trình
1
x+3 + x+2

+

1
x + 2 + x +1

1

+

x +1 + x

Gi¶i:
1
x+3 + x+2

+

1
x + 2 + x +1

+

1
x +1 + x

16

=1

= 1 víi x ≥ 0


Trờng

:

THCS Đinh Xá

( x + 3 x + 2 ) + ( x + 2 − x + 1) + ( x + 1 − x ) = 1
⇔ ( x + 3 − x = 1)
⇔ ( x + 3 + x − 2 x + 3) x = 1
⇔ 2 x + 2 = 2 x 2 + 3x
⇔ x + 1 = x 2 + 3x
⇔ x 2 + 2 x + 1 = x 2 + 3x x = 1

Bài 27: Giải phơng tr×nh :
x
2+

x

=9

x
2+
2 + ........
2+

( 18 )

x
1+ 1+ x

( Cã 2007 sè 2 )
Gi¶i :
Víi x ≥ -1 ta cã :
x
1+ 1+ x

Ta cã : 2 +

= 1 + x − 1 ( Tơng tự bài 7 )

x
1+ 1+ x

= 2 + 1+ x 1 = 1+ x +1

Phơng trình (18)


x +1 −1 = 9

⇔ x + 1 = 10
⇔ x + 1 = 100
x = 99

Bài 28 : Giải phơng trình :
( 2 + 3)x + ( 2 3)x = 4

( 19 )
17


Trờng

:

THCS Đinh Xá

Giải :
2 + 3)x ( 2 3)x =

Đặt y = (

1
y

Phơng trình (19)
y+

1
=4
y

y2 4y +1 = 0
∆/ = 4 − 1 = 3
⇒ y1 = 2 + 3
y2 = 2 − 3

Thay l¹i Èn x ta cã :
( 2 + 3)x = (
⇔x=2

3 + 2)2

( 2 + 3)x = 2 − 3
⇔ ( 2 + 3)x =

1
( 2 + 3)x

⇔ ( 2 + 3 ) x = ( 2 + 3 ) −2
⇔ x = 2

Vậy phơng trìmh đà cho có nghiệm
x=2
Bài 29 :Giải phơng trình
(20)

(9 4 5 ) x + ( 9 + 4 5 ) x = 18

Giải:
Đặt y = (9 + 4 5 ) x
x
=> (9 − 4 5 ) =

1
y

Phơng trình (20)
18


Trờng


:

THCS Đinh Xá

1
+ y = 18
y

y2 - 18y + 1 = 0

Cã ∆' = 81 − 1 = 80
y1 = 9 + 80 = 9 + 4 5
y1 = 9 - 80 = 9 - 4 5
Thay l¹i Èn x nÕu: y = 9 + 4 5
=> (9 + 4 5 ) x = (9 + 4 5 ) 2
Nếu y = 9 - 4 5

=> x=-2

Vậy phơng trình cã hai nghiƯm:

x=±2

*.Bµi tËp :
Bµi 1: TÝnh
a. A =

2
2
2
2
2
−
+
−
+ ... +
3− 7
7 − 11
11 − 15
15 − 19
2003 − 2007

b.B =

4
4
4
4
+
+
+ ... +
9 + 13

13 + 17
17 + 21
221 + 225

c.C =

1
1
1
+
+ ... +
6 1 + 1 6 11 6 + 6 11
2006 2001 + 2001 2006

Bµi2:Chøng minh S = 1+

1
2

+

1
3

+

1
4

+ +

1
không phải là số tự nhiên
40000

Bài 3:Giải phơng trình:
1
1
1
1

+

= 2 víi x ≥ -1
x +1 − x + 3
x+3 − x+5
x+5 − x+7
x+7 − x+9

III – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
19


Trờng

:

THCS Đinh Xá

Phần 2

CC BI TON V BIN I CN THỨC, PHÂN THỨC
Phần 1: Biến đổi các biểu thức chứa số.
1) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 6 + 2 5 − 29 − 12 5 .
b) B = 8 + 8 + 20 + 40 .
4
12 
 15
+
−
c) C = 
÷( 6 + 11) .
6 −2 3− 6 
 6 +1
.
2) Thu gọn P =

2+ 3+ 6+ 8+4
.
2+ 3+ 4

3) Tính giá trị của biểu thức A =
4) Chứng minh rằng 3 1 +
5) Rút gọn biểu thức A =

6) A =

3- 3
2=

3+ 2 2
2( 3 - 3)

+

1
1
1
1
,b =
+
với a =
.
2+ 3
2− 3
a +1 b +1

84 3
84
là một số nguyên.
+ 1−
9
9
3+ 5
10 + 3 + 5

3− 5

−

3+ 3
2+ 3 - 2 2
2( 3 + 3)

10 + 3 − 5

.

+
4- 2 3 + 4
4+ 2 3 - 4
2( 3 - 3)
2( 3 + 3)
=
+
3 - 1+ 4
3 + 1- 4
2( 3 - 3) 2 + 2( 3 + 3)2
=
3- 9
24 2
=
=- 4 2
- 6

20

.

Trờng

:

THCS Đinh Xá

7) Rỳt gn cỏc biu thc:
a) A =

2+ 3
2 + 2+ 3

+

2− 3
2 − 2− 3

 2
 2 + 3

3
3 
2
3 
+
+ 2 ÷
−
+
b) B = 

÷(24 + 8 6) 
÷.
2
2+ 3
2− 3
 3
 4 2
 2+ 3
8) Rút gọn các biểu thức:
a) A = 4 + 7 − 4 − 7 − 2
b.
9) Rút gọn biểu thức A = 3 2 3 − 4 2 . 6 44 + 16 6 .
10) Cho x =

3

10 + 6 3 ( 3 − 1)
6+2 5 − 5

. Tính P = (x 3 − 4x + 1)1997 .

11) So sánh hai số 10 + 13 và
12) Rút gọn biểu thức A =

7 + 17 .

2+ 3+ 4+ 5
.
2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 10 + 16

13) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 4 49 + 20 6 + 4 49 − 20 6
b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5
c) C = 4 + 15 + 4 − 15 − 2 3 − 5
14) Chứng minh rằng các số sau đây đều là các số nguyên:
a) M =

(5 + 2 6)(49 − 20 6) 5 − 2 6
9 3 − 11 2

15) Trục căn thức ở mẫu số:
a) A =

2
2 2+ 3 4+2

b) B =

6
23 2 − 2 + 3 4

c) C =

2
.
2+ 4 + 3 2

3

3

21


Trờng

:

THCS Đinh Xá

16) Tớnh giỏ tr ca biu thc A = (3x 3 + 8x 2 + 2) 2008 với x =

( 5 + 2) 3 17 5 − 38
5 + 14 − 6 5

.

17) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = ( 6 − 2 16 − 2 15 + 3) 2 .
b) B = (3 − 10) 19 + 3 40
c) C =

2 10 + 30 − 2 2 − 6
2
:
2 10 − 2 2
3 −1

d) D = 13 + 30 2 + 9 + 4 2
e) E = m + 2 m − 1 + m − 2 m − 1

f) F = 8 + 2 10 + 2 5 + 8 − 2 10 + 2 5 − ( 2 + 10) + 2008 .

18 (Rút gọn)
1.1.

5
4 + 11

+

11 − 3 11
11 − 3

4

−

5 −1

+ ( 5 − 2) 2

Phần 2: Biến đổi các biểu thức chứa biến.


Bµi 1 : Cho biĨu thøc A =  m +


2m.n
2m.n
+ m−

2
1+ n
1 + n2


1
. 1 + 2
n


(m ≥ 0 , n ≥ 1)

a ) Rót gän A
b ) Tìm giá trị của A với m = 3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2
c ) Tìm GTNN của A
Bài 2 : Chứng minh :
2
2
1 ) a + b = a+ a −b + a− a −b

2

2

2
2
2 ) a − b = a+ a −b − a− a −b

2

2

3/ trong hai số n + n + 2 và 2 n + 1 (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn?

22


Trờng

:

THCS Đinh Xá

( n + 2 n + 1)( n + 2 + n + 1) = ( n + 2 ) 2 − ( n + 1) 2
= n + 2 − (n + 1)
= n + 2 − n −1
=1
( n + 1 − n )( n + 1 + n ) = ( n + 1) 2 − ( n ) 2
= n +1− n
=1
nhưng ( n + 2 + n + 1) > ( n + 1 + n )
⇒ n + 2 − n +1 < n +1 − n
⇒ n + 2 + n < 2 n +1

4/ Rút gọn :
1.2.A =

ab − b 2
a
−

b
b

1.3.B =

( x + 2) 2 − 8 x
2
x−
x

 x+2
x −1
x −1 
+
−
5) Cho biểu thức A = 1: 
÷
 x x +1 x − x +1 x −1 
a) Với điều kiện nào của x thì A xác định.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Chứng minh rằng A > 1 với mọi x > 0 và x ≠ 1.
6)Cho biểu thức A =

4a 2
10a + 2
2a + 20
+
+
.
(a + 1)(a + 2) (a + 1)(a + 3) (a + 2)(a + 3)

a) Tìm điều kiện của a để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
2

 x
1   x −1
x +1
−
−
7) Cho biểu thức A = 
÷
÷.
x −1 
 4 4 x   x +1
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để 2A + x =
8) Cho biểu thức P =

5
.
4

3x + 9x − 3
x +1
x −2
−
−
.
x+ x −2

x +2
x −1

a) Rút gọn biểu thức P.

23


Trờng

:

THCS Đinh Xá

b) Tớnh giỏ tr ca P khi x = 3 + 2 2 .
8) Cho biểu thức P =

3x + 9x − 3
x +1
x −2
−
+
.
x+ x −2
x + 2 1− x

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho giá trị tương ứng của biểu thức A
nguyên.
1 

x +2 

10) Cho biểu thức M =  x +
1 −
÷.
÷
x +1 x + x +1

Tìm x để biểu thức M có nghĩa và rút gọn M.
11) Cho biểu thức P =

x x −1 x x +1 x +1
−
+
.
x− x
x+ x
x

a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P =

9
.
2

12) Cho biểu thức A = 1 − x −

x +x
.

x

a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức A có nghĩa. Với điều kiện đó, hãy rút
gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A + x - 8 = 0.
13) Cho biểu thức P =

x+2
x +1
x +1
+
−
.
x x −1 x + x + 1 x −1

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Chứng minh P <
14) Cho biểu thức P =

1
với x ≥ 0 và x ≠ 1.
3

2x + 2 x x − 1 x x + 1
+
−
.
x
x− x
x+ x

a) Rút gọn P.
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức
1 giá trị nguyên.

24

8
chỉ nhận đúng
P


Trờng

:

15) Cho biu thc

THCS Đinh Xá

A=

x+4 x4 + x4 x4
.
16 8
− +1
x2 x

a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A xác định.

b) Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

x +2
x +3
x +2 
x 
−
−
16) Cho biểu thức P = 
÷:  2 −
÷.
x −3  
x +1
 x −5 x +6 2− x
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để

1
5
≤− .
P
2

1
2 
x −1
 5x
+
−

17) Cho các biểu thức A =  2
÷:
2
 4x − 1 1 − 2x 1 + 2x  1 + 4x + 4x
B = 4 − 2 3 + 19 − 8 3 .
a) Với những giá trị nào của x thì A có nghĩa.
b) Rút gọn A và B.
c) Tìm những giá trị của x để A = B.
18) Cho biểu thức P =

x +1
x+2
x +1
−
−
.
x −1 x x −1 x + x + 1

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
19) Cho biểu thức A =

2
+ x.
P

x+2
x +1
1
+

−
.
x x −1 x + x +1
x −1

a) Tìm x để A có nghĩa. Hãy rút gọn A.
b) Tính A với x = 33 − 8 2 .
1
c) Chứng minh rằng A < .
3
x2 − x
2x + x 2(x − 1)
−
+
20) Cho biểu thức P =
.
x + x +1
x
x −1
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

25