Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 tham khảo (15)

Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
Ngày soạn : 18/09/09
Ngày dạy : 22/09/09
Chủ đề 1
<t1>
A/Mục tiêu
Học xong tiết này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức. Biết vận
dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản.
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học
thông qua chứng minh các bất đẳng thức
Thái độ
- Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý
khi giải toán.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: Nghiên cứu kĩ giáo án
- HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Thế nào là một bất đẳng thức ? Cho ví dụ ?
- HS2: Nêu các tính chất của bất đẳng thức ? Cho các ví dụ minh họa ?
III. Bài mới
A Lí thuyết
1) Định nghĩa bất đẳng thức.

a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b, nếu a b < 0.
a lớn hơn b, kí hiệu là a > b, nếu a b > 0.
a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a

b, nếu a - b

0.
a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a

b, nếu a - b

0.
Ví dụ:
VD1:
7 5 7 6 >
vì
( 7 5) ( 7 6) 1 0 = >
VD2:
1 3 1 1
3 4 3 4
<
vì
1 3 1 1 1
0
3 4 3 4 2

= <
ữ ữ

VD3: a

2
+ 1 < a
2
+ 2 vì (a
2
+ 1) - (a
2
+ 2) = -1 < 0
2) Các tính chất của BĐT.
+ Tính chất 1: a > b

b < a.
+ Tính chất 2: a > b và b > c

a > c
+ Tính chất 3: a > b

a + c > b + c
+ Tính chất 4: a > b, c > d

a + c > b + d
a > b, c < d

a - c > b - d
+ Tính chất 5: a> b, c > 0

ac > bc ; a> b, <0

ac < bc
+ Tính chất 6: a > b

0, c > d

0

ac > bd
+ Tính chất 7: a > b > 0

a
n
> b
n
với mọi n
*
N
; a > b

a
n
> b
n
(n lẻ)

a b>
a
n
> b
n
(n chẵn)
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9

Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
3, Một số bất đẳng thức thông dụng :
a, Bất đẳng thức Côsi :
Với 2 số dơng a , b ta có :
ab
ba

+
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b
b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )
2


(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)
Dấu đẳng thức xảy ra <=>
y

b
x
a
=

c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :

baba ++
Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab

0
B Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
1. Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa
Phơng pháp chứng minh A > B :
- Bớc 1: Xét hiệu A B
- Bớc 2: Chứng minh A B > 0
- Lu ý : A
2


0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
Bài tập:
*) Bài tập 1: Chứng minh bất đẳng thức sau:
2
a b
ab
2
+

ữ


Bài làm : (Bất đẳng thức Côsi)
Xét hiệu

2
2 2
a b a 2ab b 4ab
ab
2 4
+ + +

=
ữ

2
a b
0
2


=
ữ


Vậy:
2
a b
ab

2
+


ữ

dấu = xảy ra khi a = b.
*) Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số a, b, x, y ta có

2 2 2 2 2
(a b )(x y ) (ax by)+ + +
(Bất đẳng thức Bunhiacôpxki)
Bài làm :
Xét hiệu
2 2 2 2 2
(a b )(x y ) (ax by)+ + +
= a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2

y
2
- a
2
x
2
- b
2
y
2
2byax
= (ay bx)
2


0
Vậy:
2 2 2 2 2
(a b )(x y ) (ax by)+ + +
dấu = xảy ra khi ay = bx hay
a b
x y
=
*) Bài tập 3: Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2
a b c d e a(b c d e)+ + + + + + +
Bài làm :
Xét hiệu
2 2 2 2 2

(a b c d e ) a(b c d e)+ + + + + + +

Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
=
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a a
ab b ac c ad d ae e
4 4 4 4

+ + + + + + +
ữ ữ ữ ữ
ữ ữ ữ ữ

=
2 2 2 2
a a a a
b c d e 0
2 2 2 2

+ + +
ữ ữ ữ ữ


Vậy:
2 2 2 2 2

a b c d e a(b c d e)+ + + + + + +
dấu = xảy ra khi
a
b c d e
2
= = = =
*) Bài tập 4: Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x
2
+ y
2
+ z
2
+3

2(x + y + z)
Bài làm :
Ta xét hiệu : H = x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2( x + y + z)
= x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2x - 2y - 2z

= (x
2
- 2x + 1) + (y
2
- 2y + 1) + (z
2
- 2z + 1)
= (x - 1)
2
+ (y - 1)
2
+ (z - 1)
2
Do (x - 1)
2


0 với mọi x
(y - 1)
2


0 với mọi y
(z - 1)
2


0 với mọi z
=> H

0 với mọi x, y, z
Hay x
2
+ y
2
+ z
2
+3

2(x + y + z) với mọi x, y, z .
Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1.
*) Bài tập 5: Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có : x
4
+ y
4


xy
3
+ x
3
y
Bài làm :
Xét hiệu : x
4
+ y
4
( xy
3
+ x

3
y ) = ( x
4
xy
3
) + ( y
4
x
3
y )
= x( x
3
y
3
) + y( y
3
x
3
) = ( x y )( x
3
y
3
)
= ( x y )
2
( x
2
+ xy + y
2
) = ( x y )

2
(
)
2
2
3
1
x y y
2 4

+ +



0
Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng . Dấu = xảy ra khi x = y .
*) Bài tập 6:
Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1
Chứng minh rằng : ( 1 +
1
a
)( 1 +
1
b
)

9 (1)
Bài làm :
Ta có ( a +
1

a
.)( b +
1
b
)

9 ab + a + b + 1

9 ab ( vì a,b > 0 )
a + b + 1

8 ab 2

8 ab 1

4 ab ( vì a + b = 1 )
( a + b )
2


4 ab ( a b )
2


0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng, các phép biến đổi là tơng đơng. Vậy bất đẳng thức (1) đợc
chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b
IV. Hớng dẫn về nhà
*) Giải bài tập 7: Chứng minh bất đẳng thức :

2
22
22






+

+ baba
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
Hớng dẫn:
Xét hiệu : H =
2
22
22






+

+ baba
=
4
)2()(2
2222
bababa +++
=
0)(
4
1
)222(
4
1
22222
=+ baabbaba
. Với mọi a, b .
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
*******************************
Ngày soạn : 20/09/09
Ngày dạy : 23/09/09
Chủ đề 1
<t2>
A/Mục tiêu
Học xong tiết này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức. Biết vận
dụng các tính chất của bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức
cơ bản.
Kĩ năng

- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học
thông qua chứng minh các bất đẳng thức
Thái độ
- Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý
khi giải toán.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: Nghiên cứu kĩ giáo án
- HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Viết các tính chất của bất đẳng thức ?. Giải bài tập 46/SBT
- HS2: Giải bài tập 7 (tiết trớc)
- HS3: Giải bài tập 45/SBT
III. Bài mới
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
2. Phơng pháp 2 : Dùng tính chất của bất đẳng thức
*) Bài tập 1 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện
x + y = 2. Chứng minh x
4
+ y
4

2
Bài làm :
- Ta có: (x

2
y
2
)
2


0 (với mọi x, y)


x
4
+ y
4


2x
2
y
2


x
4
+ y
4
+ x
4
+ y
4

x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4


2(x
4
+ y
4
)

(x
2
+ y
2
)
2
(1)
dấu = xảy ra khi x = y hoặc x = - y.
- Mặt khác, ta có: (x y)
2

0 (với mọi x, y)


x
2
+ y
2


2xy


2(x
2
+ y
2
)

(x + y)
2



x
2
+ y
2


2 (2) (vì x + y = 2)

dấu = xảy ra khi x = y.
- Từ (1) và (2) x
4
+y
4

2 dấu= xảy ra khi x = y = 1.
*) Bài tập 2 : Chứng minh rằng
2 2 2
3
a b c a b c
4
+ + +
Bài làm :
Ta có:
2
2
1 1
a 0 a a
2 4

+ +
ữ



2
2
1 1
b 0 b b

2 4

+ +
ữ


2
2
1 1
c 0 c c
2 4

+ +
ữ

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta đợc:

2 2 2
1 1 1
a b c a b c
4 4 4
+ + + + +

2 2 2
3
a b c a b c
4
+ + +
dấu = xảy ra khi a = b = c =
1

2

.
*) Bài tập 3 : Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng :
(1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Bài làm :
Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab
Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b .
Do c < 1 nên 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)
(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc .
Do 0 < a, b, c, d <1 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0
=>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
*) Bài tập 4 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng :
2a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
< 3 + a
2
b + b

2
c + c
2
a
Bài làm :
Do 0 < a, b < 1 => a
3
< a
2
< a < 1 ; b
3
< b
2
< b < 1 ; ta có :
(1 - a
2
)(1 - b) > 0 => 1 + a
2
b > a
2
+ b
=> 1 + a
2
b > a
3
+ b
3
hay a
3
+ b

3
< 1 + a
2
b .
Tơng tự : b
3
+ c
3
< 1 + b
2
c ; c
3
+ a
3
< 1 + c
2
a .
=> 2a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
< 3 + a
2
b + b
2
c + c
2
a

*) Bài tập 5 : Từ bất đẳng thức
( )
2
a b 0

, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau :
+)
( )
2
2 2
a b a b
2 2
+ +

+)
( )
2
a b 4ab
+
+)
( )
2
a b
ab
2
+

+)
( )
2

1 1
(a,b 0)
4ab
a b
>
+
+)
1 1 4
(a,b 0)
a b a b
+ >
+
+)
2 2
a b 2(a b ) (a,b 0)+ + >
(BĐT Bu-nhi-a-côp-xki)
+)
a b 2 ab (a,b 0)+ >
(BĐT cô-si)
*) Học sinh tự luyện tại lớp các bài tập sau:
*) Bài tập 6 : Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 3(m + 1) + m < 4(2 + m)
b) b(b + a)

ab
c) a(a b)

b(a b)
d)
2

c 1
c 1 2

+

*) Bài tập 7 : Cho các số dơng a, b, c có tích bằng 1.
Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(c + 1)

8
*) Bài tập 8 : Chứng minh các bất đẳng thức:
a) (x + y + z)
2


3(xy + yz + xz)
b) c
2
c 1
2
+

*) Bài tập 9 : Cho a, b là hai số thoả mãn điều kiện a + b = 2.
Chứng minh rằng a
4
+ b
4


a
3

+ b
3
.
*) Bài tập 10 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện x + y = 1. Chứng minh:
a) x
2
+ y
2

1
2


b)
1
8

x
4
+ y
4

IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài đã chữa
- Làm tiếp các bài tập từ 6 đến 10
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008

*******************************
Ngày soạn : 22/09/09
Ngày dạy : 03/10/09
Chủ đề 1
<t3>
A/Mục tiêu
Học xong tiết này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp biến
đổi tơng đơng và dùng bất đẳng thức quen thuộc nh Cô -si, Bu-nhi-a-côp -xki
hoặc bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học
thông qua chứng minh các bất đẳng thức
Thái độ
- Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý
khi giải toán.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Giải bài tập 10 câu a
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
- HS2: Giải bài tập 10 câu b

- HS2: Giải bài tập 9
III. Bài mới
3. Phơng pháp 3 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
- Quá trình chuyển từ một bất đẳng thức sang một bất đẳng thức tơng đơng gọi là một
phép biến đổi tơng đơng .
- Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất
đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng .
- Khi có hai bất đẳng thức tơng đơng , nếu một bất đẳng thức đúng thì bất đẳng thức
kia cũng đúng .
Ta có sơ đồ : A > B A
1
> B
1
A
2
> B
2
A
n
> B
n

*) Bài tập 1 :
Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng :

3
4
1
1
1

1

+
+
+ ba
Giải:
Dùng phép biến đổi tơng đơng
3(a + 1 + b + 1)

4(a + 1) (b + 1)
9

4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)
9

4ab + 8 1

4ab (a + b)
2


4ab
Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .
*) Bài tập 2 :
Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4
Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a)

a
3
b

3
c
3

Giải:
Từ : (a + b)
2


4ab , (a + b + c)
2
=
[ ]
cbacba )(4)(
2
+++
=> 16

4(a + b)c => 16(a + b)

4(a + b)
2
c

16 abc
=> a + b

abc
Tơng tự : b + c

abc
c + a

abc
=> (a + b)(b + c)(c + a)

a
3
b
3
c
3

*) Bài tập 3 :
Chứng minh bất đẳng thức :

3
33
22






+

+ baba
; trong đó a > 0 ; b > 0
Giải :

Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0

3
33
22






+

+ baba








+
+

+
2
).(
2
22
ba
baba
ba
.
2
2






+ ba
a
2
- ab + b
2



2
2

+ ba
4a
2
- 4ab + 4b
2


a
2
+ 2ab + b
2

3a
2
- 6ab + 3b
2
= 3(a
2
- 2ab + b
2
)

0
( )
2
3 a b 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra :
3
33
22






+

+ baba
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
Dấu = xảy ra a = b
*) Bài tập 4 :
Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a
3
+ b
3
+ ab


2
1
Giải :

Ta có : a
3
+ b
3
+ ab


2
1
<=> a
3
+ b
3
+ ab -
2
1


0
<=> (a + b)(a
2
- ab + b
2
) + ab -
2
1


0
<=> a

2
+ b
2
-
2
1

0 . Vì a + b = 1
<=> 2a
2
+ 2b
2
- 1

0
<=> 2a
2
+ 2(1-a)
2
- 1

0 ( vì b = a -1 )
<=> 4a
2
- 4a + 1

0
<=> ( 2a - 1 )
2

0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a
3
+ b
3
+ ab


2
1
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =
2
1
*) Bài tập 5 :
Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :

a
b
a




a
b
b
Giải :
Dùng phép biến đổi tơng đơng :

a
b
a




a
b
b
(
)() baabbbaa ++

0

[ ]
0)()()(
33
++ baabba

0)())(( +++ baabbababa

0)2)(( ++ bababa

2
( a b )( a b ) 0+

Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra :
a
b

a




a
b
b
*) Bài tập 6 :
Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1
Chứng minh rằng : ( 1 +
1
a
)( 1 +
1
b
)

9 (1)
Giải:
Ta có ( a +
1
a
.)( b +
1
b
)

9 ab + a + b + 1

9 ab ( vì a,b > 0 )
a + b + 1

8 ab 2

8 ab ( vì a + b = 1 )
( a + b )
2


4 ab ( a b )
2


0 (2)
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1) đợc
chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức a = b .
4. Phơng pháp 4 : Dùng các bất đẳng thức quan trọng và quen thuộc
- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Cô-si , Bu-nhi-a-côp-xki , bất
đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh ,
- Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x
2
+ y
2

2xy
Với a, b > 0 ,
2+
a
b
b
a
*) Bài tập 7 :
Giả sử a, b, c là các số dơng , chứng minh rằng:

2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a

Giải
áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
a + (b + c)
)(2 cba +

cba
a

cb
a
++

+
2
Tơng tự ta thu đợc :

cba
b
ac
b
++

+
2
,
cba
c
ba
c
++

+
2
Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có :
a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số
dơng ).
Từ đó suy ra :
2>

+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
*) Bài tập 8 :
Cho x , y là 2 số thực dơng thoả mãn :

x
2
+ y
2
=
22
11 xyyx +
Chứng minh rằng : 3x + 4y

5
Giải :
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có :
(x
2
+ y
2
)

2
= (
22
11 xyyx +
)
2
(
0 x 1<
;
0 y 1<
)


(x
2
+ y
2
)(1 - y
2
+ 1 - x
2
)
=> x
2
+ y
2


1
Ta lại có : (3x + 4y)

2


(3
2
+ 4
2
)(x
2
+ y
2
)

25
=> 3x + 4y

5
Đẳng thức xảy ra
2 2
x y 1
0 x 1,0 y 1
y
x
3 4


+ =

< <

=







=
=
5
4
5
3
y
x
*) Bài tập 9 :
Cho a, b, c

0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
a,
6+++++ accbba
b,
5,3111 <+++++ cba
Giải
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học

2009 - 2010
2008
a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
( )
( )
( ) ( ) ( )






++++++++++++
222
1111.1.1. accbbaaccbba
=>
(
)
2
a b b c c a 3.(2a 2b 2c) 6+ + + + + + + =
=>
6+++++ accbba
.
Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =
3
1
b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :

( )
(a 1) 1

a
a 1 a 1 .1 1
2 2
+ +
+ = + = +
Tơng tự :
1
2
1 ++
b
b
;
1
2
1 ++
c
c
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :

5,33
2
111 =+
++
+++++
cba
cba
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1
Vậy :
5,3111 <+++++ cba
*) Bài tập 10 :

Cho các số dơng a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 .
Chứng minh rằng :
9
111
++
cba
Giải :
Theo cô - si ta có :
a b
2
b a
+
với a , b > 0
Ta có :
=++
cba
111
)
111
(
cba
++
.1 =
)
111
(
cba
++
.(a + b + c)
=

111 ++++++++
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
=
++++++ )()()(3
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
3 + 2 + 2 + 2 = 9
=>
9

111
++
cba
Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c =
3
1
*) Bài tập 11:
Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng :
yxyx +
+
411

Giải
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
xyyx 2+
, chia cả hai vế cho xy > 0

yx
11
+



xy
2
, nhân cả hai vế với x + y ta có
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010

2008
=> (x + y)(
yx
11
+
)


xy
2
(x+y) =
xy
2
2 xy
= 4
=>
yx
11
+



yx +
4
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài tập đã chữa
- Giải các bài tập từ 12 đến 15
*) Bài tập 12:
Cho a, b > 0 ; c > 0; Chứng minh rằng:
A =

a + b
+
a + c
+
b + c
6
c b a
Hớng dẫn:
A =
a
+
b
+
b
+
c
+
a
+
c
c c a a b b
A = (
a
+
c
) + (
b
+
c
) + (

a
+
b
) 6
c a c b b a
(Lu ý: a, b > 0; c > 0; )

a
+
c
2;
b
+
c
2;
a
+
b
2;
c a c b b a
*) Bài tập 13:
Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng:
A =
(a + b)
2
+
(a + c)
2
+
(b + c)

2
4(a + b + c)
c b a
Hớng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
( ) ( )
2 2
a b a b
4c 2. .4c 4(a b)
c c
+ +
+ = +
Tơng tự:
(a + c)
2
+ 4b 4 (a + c)
b
(b + c)
2
+ 4a 4 (b + c)
a
Cộng vế với vế ta đợc điều phải chứng minh.
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
*) Bài tập 14:
Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng:
A =

(a + b)
+
(a + c)
+
(b + c)
> 4
c b a
Hớng dẫn:
(a + b)
=
(a + b)
c c (a + b)
với a, b , c > 0
có c (a + b)
(a + b + c)
2
(theo cô - si)
1

2
dấu "=" c = a + b
c (a + b ) a + b + c
a + b

2 (a + b)
dấu "=" c = a + b
c (a + b ) a + b + c
Tơng tự:
c + a

2(c + a)
dấu "=" b = c + a
b (c + a ) a + b + c
b + c

2(b + c)
dấu "=" a = b + c
a (b + c ) a + b + c
cộng vế của bất đẳng thức ta đợc điều phải chứng minh.
Chú ý: Trong bài này dấu "=" không xảy ra vì khi đó
a = b + c ; b = c+ a; c = a + b nên a + b + c = 0 (trái với giả thiết a, b, c > 0)
*) Bài tập 15:
Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng:
D =
(a + b)
+
(a + c)
+
(b + c)
3 2
c b a
Hớng dẫn: Ta có:
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9




Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010

2008
D
2
=
(a + b)
+
(a + c)
+
(b + c)
c b a
+ 2.(
(a+b) (b+c)
+
(a + b)(b+c)
+
(c+a)(b + c)
)
bc ac ab
áp dụng kết quả bài toán 12, ta có
a + b
+
a + c
+
b + c
6 dấu "=" a = b = c
c b a
mặt khác ta lại có:
(a + b)(c + a) a + bc
(a + b)(b + c) b + ac
(b + c)(a + c) c + ab (theo Bu nhi a- côp xki)

D
2
6 + 2 (
a + bc
+
b + ac
+
c + ab
)
bc ac ab
D
2
6 + 2 + 2 +2 + 2(
a
+
b
+
c
)
bc ac ab
mà
a
+
b
+
c
3
bc ac ab
(theo cô - si)
D

2
12 + 2 . 3 D
2
18 D 3 2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c
*******************************
Ngày soạn : 02/10/09
Ngày dạy : 06/10/09
Chủ đề 1
<t4>
A/Mục tiêu
Học xong tiết này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
- Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp sử
dụng các bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học
thông qua chứng minh các bất đẳng thức
Thái độ
- Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý
khi giải toán.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: Thớc, compa, êke
- HS: Thớc, compa, êke
C/Tiến trình bài dạy

I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Cho tam giác ABC. Hãy viết các bất đẳng thức về ba cạnh của
tam giác trong tam giác ABC
- HS2:
Với x, y > 0. CMR:
1 1 4
x y x y
+
+
. Dấu = xảy ra

x = y
III. Bài mới
5. Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác
a , b, c là độ dài ba cạnh của tam giác

a < b + c (1)
b < a + c (2)
c < a + b (3)
Từ 3 bất đẳng thức về tổng ba cạnh của tam giác ta suy ra đợc 3 bất đẳng thức về
hiệu hai cạnh
a < b + c (1)
a b c <
(4)
b < a + c (2)
b c a <
(5)
c < a + b (3)
c a b <

(6)
*) Bài tập 1:
Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của

)
Chứng minh rằng :

2
111


+

+
cpbpap
)
111
(
cba
++
Giải:
Trớc hết ta chứng minh bài toán :
Với x, y > 0. Chứng minh rằng
1 1 4
x y x y
+
+
. Dấu = xảy ra x = y
Ta có : p - a =
0

2
>
+ acb
Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0
áp dụng bài toán trên ta có:
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008

cbpapbpap
4
)()(
411
=
+


+

Tơng tự :
acpbp
411


+


bcpap

411


+

=>
)
111
(4)
111
(2
cbacpcpap
++

+

+

=> điều phải chứng minh .
Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c a = b = c .
Khi đó tam giác ABC là tam giác đều .
*) Bài tập 2:
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR:
(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)

abc
Giải:
Bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác cho ta viết

2 2 2

0 ( )b c a a b c a < <

2 2 2
0 ( )c a b b c a b < <

2 2 2
0 ( )a b c c a b c < <
Từ đó
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b a b c


(a + b - c)(a - b + c)(b - c + a)(b + c - a)(c - a + b)(c + a - b)
2 2 2
a b c

(a + b - c)
2
(b + c - a)
2
(c + a - b)
2
2 2 2
a b c

(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)

abc
Vì a, b, c, là ba cạnh của một tam giác nên

a + b - c >0
b + c - a >0
c + a - b >0 và abc > 0
Vậy bất đẳng thức đã đợc chứng minh
*) Bài tập 3:
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng:
MA + MB + MC >
+ +
AB AC BC
2
Giải:
Xét tam giác AMB; tam giác AMC; tam giác BMC
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
MA + MB > AB
MA + MC > AC
MB + MC > BC
Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của ba bất đẳng thức lại ta có:
2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
M
C
B
A
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
MA + MB + MC >
+ +
AB AC BC

2
( đpcm)
*) Bài tập 4:
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh: AM <
2
ACAB +
Giải:
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho
MD = MA. Dễ dàng chứng minh đợc


AMB =

DMC (c.g.c)
CD = AB (hai cạnh tơng ứng) (1)
Xét tam giác ACD theo bất đẳng thức ta có:
AC + CD > AD = 2AM mà CD = AB ( theo (1) )
AC + AB > 2AM
AM <
2
ACAB +
(điều phải chứng minh).
*) Bài tập 5:
Cho điểm I nằm trong tam giác ABC.
Chứng minh rằng: BI + IC < BA + AC
Giải:
Kéo dài BI cắt AC tại K.
Xét

AKB có BK < AB + AK (Bất đẳng thức tam giác)
BI + IK < AB + AK BI < AB + AK - IK (1)
Xét

KIC có IC < IK + KC (Bất đẳng thức tam giác)
IC < IK + (AC AK) (2)
Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của (1) với (2) ta có:
BI + IC < AB + AK IK + IK + AC AK
BI + IC < AB + AC (đpcm)

*)Nhằm khắc sâu hơn về bất đẳng thức tam giác trong quá trình bồi dỡng tôi đã cho
các em làm những bài tập có tính nâng cao hơn:
*) Bài tập 6:
Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy. Từ điểm M nằm trong góc xOz vẽ MH
vuông góc với Ox ( H thuộc Ox ), vẽ MK vuông góc với Oy( K thuộc Oy ).
Chứng minh: MH < MK.
Giải:
Gọi A là giao điểm của MK với Oz.
Vẽ AB

Ox ( B thuộc Ox ). Nối B với M.
Xét

KOA vuông tại K và

BOA vuông tại B có:
OA là cạnh chung

ã ã
BOA KOA=

(Oz là tia phân giác)
Do đó

KOA =

BOA( cạnh huyền góc nhọn )
AK = AB ( hai cạnh tơng ứng )
Xét

AMB có BM < AB + AM (Bất đẳng thức tam giác)
Do đó BM < AK + AM (AB = AK ) hay BM < MK
Mặt khác MH < BM (Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc)
Suy ra MH < MK. (Điều phải chứng minh)
*) Bài tập 7:
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
D
A
B C
M
K
x
M
A
B
z
y
O
H
K
A

C
I
B
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
Cho tam giác ABC có AB > AC, AD là tia phân giác của BAC ( D

BC).M là điểm
nằm trên đoạn thẳng AD. Chứng minh: MB MC < AB AC.
Giải:
Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AC
vì AB > AC nên E nằm giữa A và B suy ra
AE + EB = AB
EB = AB AE = AB AC
xét

AEM và

ACM có:
AE = AC (cách vẽ)

ã ã
=EAM CAM
(AD là tia phân giác của Â)
AM là cạnh chung
Do đó

AEM =

ACM (c.g.c)
Suy ra ME = MC (hai cạnh tơng ứng) .
Xét

MEB có MB ME < EB (Bất đẳng thức tam giác)
Vì MC = ME, EB = AB - AC
Do đó MB MC < AB AC (điều phải chứng minh).
*) Bài tập 8:
Cho tam giác ABC, gọi a, b, c lần lợt là độ dài ba cạnh của tam giác
Chứng minh rằng:
a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Giải:
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
a + b - c > 0 => c(a + b - c) > 0 (1)
b + c - a > 0 => a(b +c - a) > 0 (2)
a + c - b > 0 => b(a + c - b) > 0 (3)
Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta đợc:
c(a + b - c) + a(b +c - a) + b(a + c - b) > 0
=> ac + bc - c
2
+ ab + ac - a
2
+ ab + bc - b

2
> 0
=> 2(ab + bc + ca) - (a
2
+ b
2
+ c
2
) > 0
2(ab + bc + ca) > a
2
+ b
2
+ c
2
(điều phải chứng minh)
*) Bài tập 9:
Chứng minh rằng nếu: a = y + z ; b = z + x ; c = x + y thì a, b, c là độ dài các cạnh của
một tam giác. ( x, y, z lớn hơn 0)
Giải:
Theo bài ra ta có:
a = y + z
b = z + x => 2(x + y + z) = a + b + c => x + y + z =
)(
2
1
cba
++
c = x + y
Suy ra x =

2
acb +
; y =
2
bca +
; z =
2
cba +

Vì x, y, z > 0 =>
2
acb +
> 0 ;
2
bca +
> 0 ;
2
cba +
> 0
=> a, b, c thoả mãn là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
*) Bài tập 10:
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn a + b + c = 2.
Chứng minh: ab + bc + ac > abc + 1
Giải:
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
A
a
c b
C
B

A
M
E
C
B
D
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Suy ra : a + b > c
b + c > a
a + c > b
mà a + b + c = 2
suy ra a < 1 ; b < 1 ; c < 1
=> (a - 1)(b - 1)(c - 1) < 0
(ab - a - b + 1)(c - 1) = abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1 < 0
abc + ( a + b + c) - 1 < ab + ac + bc vì a + b + c = 2
=> abc + 1 < ab + ac + bc (điều phải chứng minh)
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài đã chữa
- Nếu không làm hết các bài tập trên lớp thì GV có thể hớng dẫn để HS
về nhà làm
*******************************
Ngày soạn : 04/10/09
Ngày dạy : 08/10/09
Chủ đề 1
<t5>
A/Mục tiêu

Học xong tiết này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp phản
chứng, phơng pháp đổi biến, dùng bất đẳng thức tổng quát chứa lũy thừa
các số tự nhiên, phơng pháp quy nạp toán học
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học
thông qua chứng minh các bất đẳng thức
Thái độ
- Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý
khi giải toán.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Cho tam giác ABC. Hãy viết các bất đẳng thức về ba cạnh của
tam giác trong tam giác ABC
- HS2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, thoả mãn:
a + b + c = 2. Chứng minh: ab + bc + ac > abc + 1
III. Bài mới
6. Phơng pháp 5 : Chứng minh phản chứng .
- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất
đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008

điều vô lý .
- Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái ngợc nhau , từ đó
suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng .
- Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :
+ Dùng mệnh đề đảo
+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết .
+ Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng .
+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau .
+ Phủ định rồi suy ra kết luận .
*) Bài tập 1:
Cho 0 < a,b,c,d <1 . Chứng minh rằng ; ít nhất có một bất đẳng thức sau là sai :
2a(1 - b) > 1
3b(1 - c) > 2
8c(1 - d) > 1
32d(1 - a) > 3
Giải:
Giả sử ngợc lại cả bốn bất đẳng thức đều đúng . Nhân từng về, ta có :
2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3
=>
[ ] [ ] [ ] [ ]
1
a(1 a) b(1 b) c(1 c) d(1 d)
256
>
(1)
Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

2
1
2

1
)1( =
+

aa
aa
=> a(1 - a)


4
1
Tơng tự : b(1 - b)


4
1
c(1 - c)


4
1
d(1 - d)


4
1
Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có :

[ ] [ ] [ ] [ ]
1

a(1 a) b(1 b) c(1 c) d(1 d)
256

(2)
Từ (1) và (2) suy ra vô lý .
Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai .
*) Bài tập 2:
Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau :
2
1
<+
b
a
;
2
1
<+
c
b
;
2
1
<+
a
c
Giải
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010

2008
Giả sử tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức :

2
1
<+
b
a
;
2
1
<+
c
b
;
2
1
<+
a
c
Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :

6
111
<+++++
a
c
c
b
b

a

6)
1
()
1
()
1
( <+++++
c
c
b
b
a
a
(1)
Vì a, b, c > 0 nên ta có :
1
a 2
a
+
;
1
b 2
b
+
;
1
c 2
c

+
(theo cô-si)
=>
1 1 1
a b c 6
a b c
+ + + + +
Điều này mâu thuẫn với (1)
Vậy không tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên . => đpcm
*) Bài tập 3:
Cho a
3
+ b
3
= 2 . Chứng minh rằng : a + b

2 .
Giải :
Giả sử : a + b > 2 => (a + b )
3
> 8
=> a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b) > 8
=> 2 + 3ab(a + b) > 8 ( Vì : a
3
+ b
3

= 2 )
=> ab(a + b) > 2
=> ab(a + b) > a
3
+ b
3
( Vì : a
3
+ b
3
= 2 )
Chia cả hai vế cho số dơng a + b ta đợc :
ab > a
2
- ab + b
2
=> 0 > (a - b)
2
Vô lý
Vậy : a + b

2
7. Phơng pháp 6 : Đổi biến số
- Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho về dạng
đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải
*) Bài tập 1:
Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì :

2
3

+
+
+
+
+ ab
c
ac
b
cb
a
Giải:
Đặt : b + c = x , c + a = y , a + b = z
=> a + b + c =
2
zyx ++
=> a =
2
xzy +
, b =
2
yxz +
, c =
2
zyx +
Khi đó :
VT =
ab
c
ac

b
cb
a
+
+
+
+
+
=
z
zyx
y
yxz
x
xzy
222
+
+
+
+
+
=
2
3
2
3
111
2
3
)(

2
1
)(
2
1
)(
2
1
=+++++++
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
*) Bài tập 2:
Cho a, b, c > 0 ; a + b + c

1 . Chứng minh rằng :

9
2
1
2
1
2
1
222

+
+
+
+
+ abccabbca
Giải :
Đặt : a
2
+ 2bc = x ; b
2
+ 2ca = y ; c
2
+ 2ab = z
Khi đó : x + y + z = a
2
+ 2bc + b
2
+ 2ca + c
2
+ 2ab

= (a + b + c)
2


1
Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z

1 .
Chứng minh rằng :

9
111
++
zyx
Ta chứng minh đợc : (x + y + z)(
9)
111
++
zyx
(Theo bất đẳng thức Côsi )
=>
9
1 1 1
x y z x y z
+ +
+ +
Mà : 0 < x + y + z

1 nên suy ra
9

111
++
zyx
.
8. Phơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự nhiên
*) Bài tập : Cho a > b > 0 CMR:

1996 1996
1996 1996
a b
a b

+
>
1995 1995
1995 1995
a b
a b

+
Giải :
Để chứng minh bất đẳng thức trên , ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau:
Nếu a > b > 0 và m,n là hai số tự nhiên mà m>n thì
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b

>
+ +

(1)
Thật vậy ta dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh
(1)

2 2
m m m n n n
m m n n
a b b a b b
a b a b
+ +
>
+ +


1-
2 2 2 2
1
m n m n
m m n n m m n n
b b b b
a b a b a b a b
> >
+ + + +
m n
m n
m n
m m n n
m m n n
m m n n
b b

b b
b b
a b a b
a b a b
b b b b
< <
+ +
+ +
1 1
1 1
m n
m n
a a
b b
<
+ +
1 1
m n
m n
a a
b b
+ > +
( ) ( )
m n
m n
m n
a a a a
b b b b
> >
(2)

Bất đẳng thức (2) luôn đúng vì a > b > 0 nên
1
a
b
>
và m > n
=> bất đẳng thức (1) luôn đúng
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
áp dụng bất đẳng thức trung gian
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b

>
+ +
với a > b > 0 và m > n
Nên khi m =1996, n =1995 thì bất đẳng thức phải chứng minh luôn đúng
1996 1996
1996 1996
a b
a b

+
>
1995 1995

1995 1995
a b
a b

+
9. Phơng pháp 8: Dùng phép quy nạp toán học .
- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n

n
0
bằng phơng pháp
quy nạp toán học , ta tiến hành :
+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n
0
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k

n
0
)
+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n

n
0
*) Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n

3 thì
2
n
> 2n + 1 (*)

Giải :
+ Với n = 3 , ta có : 2
n
= 2
3
= 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng thức (*) đúng
với n = 3 .
+ Giả sử (*) đúng với n = k (k

N ; k

3) , tức là : 2
k
> 2k + 1
+ Ta phải chứng minh : 2
k+1
> 2(k + 1) + 1 (k

N ; k

3)
hay : 2
k+1
> 2k + 3 (**)
- Thật vậy : 2
k+1
= 2.2
k
, mà 2
k

> 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp )
do đó : 2
k +1
> 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0)
Vậy (**) đúng với mọi k

3 .
+ Kết luận : 2
n
> 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n

3 .
*) Bài tập 2: Chứng minh rằng :

2
1
.
4
3
.
6
5

n
n
2
12


13

1
+n
(*) (n là số nguyên dơng )
Giải :
+ Với n = 1 , ta có : VT = VP =
2
1
. Vậy (*) đúng với n = 1 .
+ Giả sử (*) đúng với n = k

1 (
k N

)ta có :
2
1
.
4
3
.
6
5

k
k
2
12


13

1
+
k
Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 . Tức là:
2
1
.
4
3
.
6
5

k
k
2
12
.

+
+
)1(2
12
k
k

1)1(3
1
++k
Ta có:

2
1
.
4
3
.
6
5

k
k
2
12
.

+
+
)1(2
12
k
k

13
1
+
k
.
)1(2
12
+

+
k
k
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
Do đó chỉ cần chứng minh :
13
1
+
k
)1(2
12
+
+
k
k



1)1(3
1
++k
(**) (t/c bắc cầu)
Dùng phép biến đổi tơng đơng , ta có :
(2k + 1)
2
(3k + 4)

(3k + 1)4(k +1)
2

12k
3
+ 28k
2
+ 19k + 4

12k
3
+ 28k
2
+ 20k +4
k

0 (đúng) => (**) đúng với mọi k

1 .
Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dơng n .
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài đã chữa
- GV giới thiệu thêm một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
khác nh phơng pháp làm trội, tam thức bậc hai, và những ứng dụng của
bất đẳng thức để giải các dạng toán khác. Đề nghị học sinh có thể tìm hiểu
thêm ở sách tham khảo hoặc sau này sẽ bồi dỡng tiếp khi có điều kiện về thời
gian.
*******************************
Ngày soạn : 10/11/09

Ngày dạy : 13/11/09
Chủ đề 3 Bất đẳng thức và cực trị đại số
Buổi 1
Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị của một biểu thức
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh biết dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ
nhất của một biểu thức đại số
Kĩ năng
- Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức
Thái độ
- Học sinh tích cực giải bài tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
III. Bài mới
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2009 - 2010
2008
I - Các phơng pháp
Phơng pháp 1: áp dụng trực tiếp bất đẳng thức
*) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn điều kiện
1 1 1
x y 2

+ =
. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức A =
x y+
.
H ớng dẫn: Vì x > 0 và y > 0 nên
1 1
0; 0; x 0; y 0
x y
> > > >
Vận dụng BĐT cô-si cho hai số dơng
1 1
;
x y
tìm đợc
xy 4
Tiếp tục vận dụng BĐT cô-si cho hai số dơng
x và y
Ta có:
A x y 2 x . y 2 4 4= + = =
Dấu = xảy ra

x = y = 4. Vậy Min A = 4

x = y = 4
Phơng pháp 2: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của
bình phơng biểu thức đó.
*) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
3x 5 7 3x +
H ớng dẫn: ĐKXĐ:

5 7
x
3 3

Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
A 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x 4= + + + + =
Dấu = xảy ra

x = 2
Vậy Max A
2
= 4 => Max A = 2

x = 2
Phơng pháp 3: Nhân và chia cả tử và mẫu của một biểu thức với
cùng một số khác 0
*) Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x 9
A
5x

=
H ớng dẫn: ĐKXĐ:
x 9
( )
x 9
x 9
1

.3
3
x 9 3
2 3
1
A
5x 5x 5x 30


+

= = =
Dấu = xảy ra

x = 18
Vậy Max A =
1
30


x = 18
Phơng pháp 4: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các
biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số.
1) Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau
*) Bài tập 4: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
3
3x 16
A
x

+
=
H ớng dẫn:
4
4
3 3 3
3x 16 16 x.x.x.16
A x x x 4 8
x x x
+
= = + + + =
Dấu = xảy ra

x = 2
Vậy Min A = 8

x = 2
2) Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với
một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của
một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho (có thể sai khác một
Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9