Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 tham khảo (14)

BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM
CÁC BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC, PHÂN THỨC
Phần 1: Biến đổi các biểu thức chứa số.
1) Rút gọn các biểu thức sau:
a)
A 6 2 5 29 12 5= + − −
.
b)
B 8 8 20 40= + + +
.
c)
15 4 12
C ( 6 11)
6 1 6 2 3 6
 
= + − +
 ÷
+ − −
 
.
.
2) Thu gọn
2 3 6 8 4
P
2 3 4
+ + + +
=
+ +
.
3) Tính giá trị của biểu thức
1 1

A
a 1 b 1
= +
+ +
với
1 1
a ,b
2 3 2 3
= =
+ −
.
4) Chứng minh rằng
3 3
84 84
1 1
9 9
+ + −
là một số nguyên.
5) Rút gọn biểu thức
3 5 3 5
A
10 3 5 10 3 5
+ −
= −
+ + + −
.
6)
3 3 3 3
2 3 2 2 2 3 2 2
A

- +
= +
- + + -
.

2( 3 3) 2( 3 3)
4 2 3 4 4 2 3 4
- +
= +
- + + -

2( 3 3) 2( 3 3)
3 1 4 3 1 4
- +
= +
- + + -

2 2
2( 3 3) 2( 3 3)
3 9
- + +
=
-

24 2
4 2
6
= = -
-
7) Rút gọn các biểu thức:

a)
2 3 2 3
A
2 2 3 2 2 3
+ −
= +
+ + − −
1
BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM
b)
2 3 2 3 3 2 3
B 2 (24 8 6)
3 2
4 2 2 3 2 3 2 3
    
+
= + + − + +
 ÷ ÷  ÷
+ + −
    
.
8) Rút gọn các biểu thức:
a)
A 4 7 4 7 2= + − − −
b.
9) Rút gọn biểu thức
3 6
A 2 3 4 2. 44 16 6= − +
.
10) Cho

3
10 6 3( 3 1)
x
6 2 5 5
+ −
=
+ −
. Tính
3 1997
P (x 4x 1)= − +
.
11) So sánh hai số
10 13+
và
7 17+
.
12) Rút gọn biểu thức
2 3 4 5
A
2 3 5 6 8 10 16
+ + +
=
+ + + + + +
.
13) Rút gọn các biểu thức sau:
a)
4 4
A 49 20 6 49 20 6= + + −
b)
B 4 10 2 5 4 10 2 5= + + + − +

c)
C 4 15 4 15 2 3 5= + + − − −
14) Chứng minh rằng các số sau đây đều là các số nguyên:
a)
(5 2 6)(49 20 6) 5 2 6
M
9 3 11 2
+ − −
=
−
15) Trục căn thức ở mẫu số:
a)
3 3
2
A
2 2 4 2
=
+ +
b)
3 3
6
B
2 2 2 4
=
− +
c)
3 3
2
C
2 4 2

=
+ +
.
16) Tính giá trị của biểu thức
3 2 2008
A (3x 8x 2)= + +
với
3
( 5 2) 17 5 38
x
5 14 6 5
+ −
=
+ −
.
17) Rút gọn các biểu thức sau:
2
BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM
a)
2
A ( 6 2 16 2 15 3)= − − +
.
b)
B (3 10) 19 3 40= − +
c)
2 10 30 2 2 6 2
C :
2 10 2 2 3 1
+ − −
=

− −
d)
D 13 30 2 9 4 2= + + +
e)
E m 2 m 1 m 2 m 1= + − + − −
f)
F 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 ( 2 10) 2008= + + + − + − + +
.
18 (Rút gọn)
1.1.
2
)25(
15
4
311
11311
114
5
−+
−
−
−
−
+
+
Phần 2: Biến đổi các biểu thức chứa biến.
Bµi 1 : Cho biÓu thøc A =
222
1
1.

1
.2
1
.2
nn
nm
m
n
nm
m +






+
−+
+
+
(m ≥ 0 , n ≥ 1)
a ) Rót gän A
b ) T×m gi¸ trÞ cña A víi m =
33
257257 −++
c ) T×m GTNN cña A
Bµi 2 : Chøng minh :
1 )
22
22

baabaa
ba
−−
+
−+
=+
2 )
22
22
baabaa
ba
−−
−
−+
=−
3/ trong hai số
2++ nn
và
12 +n
(n là số nguyên dương), số nào lớn hơn?
1
1
)()1()1)(1(
1
12
)1(2
)1()2()12)(12(
22
22
=

−+=
−+=++−+
=
−−+=
+−+=
+−+=++++−+
nn
nnnnnn
nn
nn
nnnnnn
nhưng
)1()12( nnnn ++>+++
122
112
+<++⇒
−+<+−+⇒
nnn
nnnn
3
BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM
4/ Rút gọn :
1.2.A =
b
a
b
bab
−
−
2

1.3.B =
x
x
xx
2
8)2(
2
−
−+
5) Cho biểu thức
x 2 x 1 x 1
A 1:
x 1
x x 1 x x 1
 
+ − −
= + −
 ÷
−
+ − +
 
a) Với điều kiện nào của x thì A xác định.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Chứng minh rằng A > 1 với mọi x > 0 và x ≠ 1.
6)Cho biểu thức
2
4a 10a 2 2a 20
A
(a 1)(a 2) (a 1)(a 3) (a 2)(a 3)
+ +

= + +
+ + + + + +
.
a) Tìm điều kiện của a để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
7) Cho biểu thức
2
x 1 x 1 x 1
A
4
4 x x 1 x 1
   
− +
= − −
 ÷  ÷
+ −
   
.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để
5
2A x
4
+ =
.
8) Cho biểu thức
3x 9x 3 x 1 x 2
P
x x 2 x 2 x 1
+ − + −

= − −
+ − + −
.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi
x 3 2 2= +
.
8) Cho biểu thức
3x 9x 3 x 1 x 2
P
x x 2 x 2 1 x
+ − + −
= − +
+ − + −
.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho giá trị tương ứng của biểu thức A
nguyên.
10) Cho biểu thức
1 x 2
M x 1
x 1 x x 1
 
+
 
= + −
 ÷
 ÷
+ + +
 

 
.
Tìm x để biểu thức M có nghĩa và rút gọn M.
4
BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM
11) Cho biểu thức
x x 1 x x 1 x 1
P
x x x x x
− + +
= − +
− +
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
9
P
2
=
.
12) Cho biểu thức
x x
A 1 x
x
+
= − −
.
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức A có nghĩa. Với điều kiện đó, hãy rút
gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A + x - 8 = 0.

13) Cho biểu thức
x 2 x 1 x 1
P
x 1
x x 1 x x 1
+ + +
= + −
−
− + +
.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Chứng minh
1
P
3
<
với x ≥ 0 và x ≠ 1.
14) Cho biểu thức
2x 2 x x 1 x x 1
P
x x x x x
+ − +
= + −
− +
.
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức
8
P

chỉ nhận đúng
1 giá trị nguyên.
15) Cho biểu thức
2
x 4 x 4 x 4 x 4
A
16 8
1
x
x
+ − + − −
=
− +
.
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A xác định.
b) Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
16) Cho biểu thức
x 2 x 3 x 2 x
P : 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1
   
+ + +
= − − −
 ÷  ÷
− + − − +
   
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để

1 5
P 2
≤ −
.
5
BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM
17) Cho các biểu thức
2 2
5x 1 2 x 1
A :
1 2x 1 2x
4x 1 1 4x 4x
−
 
= + −
 ÷
− +
− + +
 

B 4 2 3 19 8 3= − + −
.
a) Với những giá trị nào của x thì A có nghĩa.
b) Rút gọn A và B.
c) Tìm những giá trị của x để A = B.
18) Cho biểu thức
x 1 x 2 x 1
P
x 1
x x 1 x x 1

+ + +
= − −
−
− + +
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
Q x
P
= +
.
19) Cho biểu thức
x 2 x 1 1
A
x x 1 x x 1 x 1
+ +
= + −
− + + −
.
a) Tìm x để A có nghĩa. Hãy rút gọn A.
b) Tính A với
x 33 8 2= −
.
c) Chứng minh rằng
1
A
3
<
.

20) Cho biểu thức
2
x x 2x x 2(x 1)
P
x x 1 x x 1
− + −
= − +
+ + −
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức
2 x
Q
P
=
nhận giá trị là số nguyên.
21) Cho biểu thức
1 2 x 2 x
P : 1
x 1
x 1 x x x x 1
   
= − −
 ÷  ÷
+
− − + −
   
, với x ≥0; x ≠ 1.
a) Rút gọn P.

b) Tìm x sao cho P < 0.
22) Cho biểu thức
2x x x x x x x 1 x
M .
x 1
x x 1 2x x 1 2 x 1
 
+ − + −
= − +
 ÷
−
− + − −
 
.
a) Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M.
b) Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ
nhất đó của M.
6
BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM
23) Cho biểu thức
2
2
2x x 1
P(x)
3x 4x 1
− −
=
− +
.
a) Tìm điều kiện để P(x) xác định, rút gọn P(x).

b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x). P(-x) <0.
24) Rút gọn biểu thức
2 2
x x x x
M x 1
x x 1 x x 1
− +
= − + +
+ + − +
với 0≤ x ≤ 1.
25) Cho biểu thức
2
x 1 x 1 1 x
P .
2
x 1 x 1 2 x
   
− +
= − −
 ÷  ÷
+ −
   
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
P
2
x
>
.

26) Cho biểu thức
x 2 x 1 1
M
x x 1 x x 1 1 x
+ +
= + +
− + + −
, với 0 ≤ x ≠ 1.
a) Rút gọn M.
b) Chứng minh rằng với 0 ≤ x ≠ 1, ta có M < 1/3.
27) Cho biểu thức
2 2 2 2
x y x y
P
(x y)(1 y) (x y)(1 x) (1 x)(1 y)
= − −
+ − + + + −
.
a) Tìm điều kiện để P xác định, rút gọn P.
b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2.
28) Cho biểu thức
a 3 a 2 a a a a
P :
a 1
( a 2)( a 1) a 1 a 1
 
+ + +
 
= − +
 ÷

 ÷
−
+ − + −
 
 
.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm a để
1 a 1
1
P 8
+
− ≥
.
29) Cho a, b, c là ba số phân biệt khác không và thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Đơn
giản biểu thức:
a b c b c c a a b
P
b c c a a b a b c
− − −
  
= + + + +
 ÷ ÷
− − −
  
.
30) Cho biểu thức
x 1 2 x
P 1 : 1
x 1

x 1 x x x x 1
   
= + − −
 ÷  ÷
+
− + − −
   
.
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P.
7
BDHSG-i s - ng Trung Thy- Trng THCS Th Trn Thi Bỡnh-CM
b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x biu thc
Q P x=
nhn giỏ tr nguyờn.
31) Cho biu thc
2 x 9 x 3 2 x 1
A
x 5 x 6 x 2 3 x
+ +
=
+
.
a) Rỳt gn biu thc A.
b) Tỡm giỏ tr ca x A < 1.
c) Tớnh giỏ tr ca biu thc A vi
x 29 12 5 29 12 5= +
.
d) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x sao cho A cng l s nguyờn.
PHNG TRèNH-H PHNG TRèNH
Chuyên đề 2 : Hệ phơng trình

I sơ lợc các vấn đề lý thuyết
1.Vấn đề số nghiệm
- Giải quyết tối thiểu đến số nghiệm của hệ phơng trình có một phơng trình bậc
nhất và một phơng trình bậc 2.
- Cần đề cập đến số nghiệm của hệ có chứa dấu giá trị tuyệt đối và dầu căn
2.Vấn đề tìm tập nghiệm của hệ phơng trình (Giải hệ)
- Học sinh cần đợc trang bị tất cả các phơng pháp giải hệ.
- Học sinh nắm chắc cách giải một số hệ cơ bản.
3.Vấn đề quan hệ giữa các yếu tố trong nghiệm của hệ :
*Cần đề cập đến 2 dạng toán cơ bản
- Tìm điều kiện để biểu thức giữa (x, y) là nghiệm của hệ thoả mãn điều kiện
cho trớc.
- Chứng minh biểu thức giữa (x, y) là nghiệm của hệ thoả mãn ĐK cho trớc.
*Cần lu ý đến các khía cạnh bất đẳng thức, cực trị, số học trong các ĐK trên.
4.Vấn đề quan hệ giữa các hệ phơng trình :
- Giải quyết quan hệ tơng đơng và quan hệ nghiệm chung
II Các dạng toán điểm hình
Bài 1 : Tìm số nghiệm của các hệ sau theo tham số



=
=+
4-3my-mx
25yx
22

=+
=+
2a12xy
2ayx
22



=
=
42y-mx
2m-y-x





=+
=+
2yx
2x my
Bài 2 : Giải các hệ PT sau :





=++
=+
012y8xyx

12y8x
23
22





=+
=+
x31y
3y1x
2
2





=+
=+
1yx
1yx
44
33
8
BDHSG-i s - ng Trung Thy- Trng THCS Th Trn Thi Bỡnh-CM
x -
x
z

z
y
y
111
==
= 1







=
=++
4
12
2
111
2
z
xy
zyx





=
=+

6
13
5
x
y
y
x
yx



=
=+
23
521
yx
yx





=+
=+
28
21
yyxx
xyyx
Bài 3 : Cho hệ PT :

=++
+=
myxm
mymx
22)1(
1
a ) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn xy lớn nhất (nhỏ nhất ) nếu có
b ) Tìm m để hệ có nghiệm nguyên (x, y)
c ) Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) mà
12 = yx
Bài 4 : Tìm giá trị của tham số để :
a >



=
=
1y-mx
m2x
2
y
và



=
+=
1my-x

12x
2
my
tơng đơng
b >



=
=+
23y-2x
m12my -mx
và



=+
=
4ymx
2-mmy-x
có nghiệm chung

PHNG TRèNH
Phng trỡnh vụ t
Phng phỏp nõng lờn ly tha
Dng cha cn bc hai: Ta bỡnh phng hai v ca phng trỡnh sau khi ó tỡm
iu kin cú ngha ca cỏc cn thc v ca phng trỡnh
Thớ d 1: Gii phng trỡnh
2y 1 y 2
= 0

Gii: iu kin:
1
2y 1 0
y
y 2
2
y 2 0
y 2












2y 1 y 2 0 =

2y 2 y 2 =

2 2
( 2y 2) ( y 2) =

2y 1 = y 2

y = 1 (khụng tha K)

Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim ( hay S =

)
Thớ d 2: Gii phng trỡnh:
2x 1 x 2 =
Gii: iu kin:
1
2x 1 0
x
x 2
2
x 2 0
x 2












9
BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM
Bình phương hai vế phương trình ta có
2x – 1 = (x – 2 )
2

⇔
2x – 1 = x
2
– 4x + 4
⇔
x
2
– 6x + 5 = 0
⇔
(x – 1)(x – 5) = 0
⇔
x 1 0 x 1( 2)
x 5 0 x 5
− = = <
 
⇔
 
− = =
 
Vậy phương trình có nghiệm là x = 5
Thí dụ 3: Giải phương trình
3
3
x 1 7 x 2+ + − =
Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)
3
= a
3
+ b

3
+ 3ab(a + b)
Lập phương hai vế ta có:
x + 1 + 7 – x + 3.
3
(x 1)(7 x).2 8+ − =
⇔
(x + 1)(7 – x) = 0
⇔
x 1
x 7
= −


=

, thỏa mãn phương trình đã cho
Vậy phương trình có hai nghiệm x = – 1 , x = 7
Phương pháp đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Áp dụng hằng đẳng thức biến đổi về dạng bình phương và đưa về phương trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối (chú ý xét điều kiện để khai triển các dấu giá trị tuyệt
đối)
Phương pháp đặt ẩn phụ:
Thí dụ: giải phương trình:
3x
2
+ 21x + 18 + 2
2
x 7x 7 2+ + =
(1)

Giải: Đk:
≥
0
Đặt
2
x + 7x + 7
= y
⇒
x
2
+ 7x + 7= y
2
(1)
⇔
3y
2
– 3 + 2y = 2
⇔
3y
2
+ 2y – 5 = 0. . . .
Phương pháp bất đẳng thức
Chứng tỏ tập giá trị của hai vế khác nhau khi đó phương trình vô nghiệm.
Thí dụ: Giải phương trình
x 1 5x 1 2x 1− − − = −
(*)
Giải:
Điều kiện:
x 1
x 1 0

1
5x 1 0 x x 1
5
2x 1 0
1
x
2


≥
− ≥


 
− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
 
 
− ≥


≥


Với điều kiện này ta có 1 < 5 nên x < 5x do đó
x 1 5x 1− < −
nên vế trái của
(*) là số âm.
Ta lại có 2 > 1 nên 2x – 1 > 0 nên vế phải của (*) là số dương. Vậy phương trình
vô nghiệm.
Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế

10
BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM
Thí dụ: Giải phương trình
2
x 2 4 x x 6x 11− + − = − +
Giải:
Điều kiện
x 2 0 x 2
4 x 0 x 4
− ≥ ≥
 
⇔
 
− ≥ ≤
 
Ta luôn có: x
2
– 6x + 11 = (x – 3)
2
+ 2
≥
2
Áp dụng bất đẳng thức
2
2 2
A B A B
2 2
+ +
 
≥

 ÷
 
vào vế trái ta được
x 2 4 x 2− + − ≤
.
Dấu “ = ” xảy ra khi x – 2 = 4 – x
⇔
x = 3
Vậy hai vế bằng nhau và bằng 2 khi x = 3
Giá trị x = 3 thỏa mãn điều kiện
2 x 4≤ ≤
.
Vậy phương trình có một nghiệm x = 3
Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “ = ” ở bất đẳng thức:
Thí dụ: Giải phương trình :
x x 2
2
x
x 2
+
+ =
+
Giải:
Điều kiện x + 2
≥
0
⇔
x
≥
– 2 (*)

Ta có bất đẳng thức
a b
2
b a
+ ≥
với a, b > 0 dấu “ = ” xảy ra khi a = b
Do đó phương trình tương đương
x 2 x+ =
Điều kiện x > 0 (**)
Bình phương hai vế ta có:
x + 2 = x
2

⇔
x
2
– x – 2 = 0
⇔
x 1
x 2
= −


=

Kết hợp với điều kiện (*) và (**) phương trình đã cho có nghiệm x = 2
Bài tập:
Bài 2.Giải các phương trình
2.1.
2

x 2x 4 2 x+ + = −
2.2.
2
4 2x x x 2+ − = −
2.3.
2
4 2z x z 2− + = −
2.4.
2
z 1 1 z− = −
Bài 3.Giải các phương trình
3.1.
3x 1 x 4 1+ − + =
3.2.
11 x x 1 2− − − =
3.3.
x 1 5x 1 3x 2− − − = −
Bài 4.Giải phương trình
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 4 4 2x x+ + + + + = − −
Bài 5.Giải phương trình
x 4x 1
2
x
4x 1
−
+ =
−
Bài 6.Giải phương trình
x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1+ − − + + − − =

11
BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM
BÀI TỐN CỰC TRỊ
A – ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Tìm giá trị nhỏ nhất: Đưa về dạng M = A
2
+ B
≥
B
⇒
Min M = B
⇔
A= 0
Bài 7.Áp Dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
7.1.A = 9x
2
+ 12x + 8
7.2.B = x(x + 1)(x
2
+ x – 4)
7.3.C = (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7)
7.4.D =
2
4 4 2x x+ +
7.5.E =
2
2 4 5 1x x− + +
7.6.F =
( 1)( 2)( 3) 5x x x x+ + + +
7.7.M = x

4
– 6x
2
+ 10
7.8.N = x
6
– 2x
3
+ x
2
– 2x + 2
7.9.P = x
4
– 4x
3
+ 6x
2
– 4x + 5
7.10. Q = 2x
2
+ 2xy + y
2
– 2x – 2y + 2
7.11. T = 4x
2
+ y
2
+ 9z
2
– 12x + 2y – 6z + 13

Tìm giá trị lớn nhất: Đưa về dạng M = - A
2
+ B
≤
B
⇒
Max M = B
⇔
A= 0
Bài 8.Áp Dụng: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
8.1.A = 3 – 4x – 4x
2
8.2.B = 1 – x
4
– 4x
3
– 4x
2
8.3.C = 2x
2
(6 – 2x
2
)
8.4.D = - 5 +
2
1 9 6x x− +
8.5.E =
2
4 21x x− +
8.6.F = -2x

2
– y
2
– 2xy + 4x + 2y + 2
8.7.I = -x
2
– 4y
2
– z
2
+ 2x + 12y + 6z – 18
B - XỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CĨ DẠNG
A B A B+ ≤ +
A B A B− ≥ −
Dấu “=” xảy ra
. 0A B⇔ ≥
Bài 9.Áp Dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
9.1.M =
9302542025
22
+−++− xxxx
811816825204
222
++=+−+++ xxxxxx
III-GIẢI CÁC BÀI TỐN CĨ LỜI VĂN
BÀI 1:
Hiện nay tuổi mẹ bằng 2,4 lần tuổi con. Mười năm về trước tuổi mẹ gấp 5,2 lần tuổi con . Hỏi
sau bao nhiêu năm nữa tuổi mẹ chỉ còn gấp đôi tuổi con?
HD:

Tuổi con là x, tuổi mẹ hiện nay là 2,4x . ta có 2,4x- 10 = 5,2( x-10)
⇒
x= 15
Vậy tuổi con là 15, tuổi mẹ là 36.
12
BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM
Ta lại có 36+y = 2( 15+y)
⇒
y = 6. Vậy 6 năm nữa tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con

BÀI 2:Năm nay tôi 27 tuổi. Năm mà tôi bằng tuổi bạn hiện nay thì bạn chỉ bằng nửa tuổi tôi .
vậy hiện nay bạn bao nhiêu tuổi?
HD:
x là tuổi hiện nay của bạn . Trước đây ( 27-x) năm ta có:
x-(27-x) =
2
x

⇒
x = 18
Bài 3: Hai anh em hiện nay có tuổi cộng lại bằng 63 .Tuổi người anh hiện nay gấp đôi tuổi người
em lúc người anh bằng tuổi của em hiện nay . hỏi tuổi hiện nay của mỗi người.
HD:
x là tuổi hiện nay của anh
⇒
tuổi em hiện nay là 63 – x.
Khi anh bằng tuổi em hiện nay ,tức là trước đây x – ( 63 – x) năm , ta có tuổi em lúc ấy là :
63 – x – [ x –( 63 – x ) ] = 126 – 3x
⇒
x = 36

Bài 4 Khối 9 có tất cả 264 học sinh gồm 1 lớp chọn dành cho học sinh khá và các lớp thường .
Nếu chuyển a học sinh lớp thường sang lớp chọn , rồi lại tuyển thêm ở ngòai cho lớp chọn từng
ấy học sinh nữa thì bấy giờ số học sinh lớp chọn sẽ bằng 65% số học sinh lớp thường . Hỏi lúc
đầu số học sinh lớp thường là bao nhiêu?
HD:
x là số HS lớp thường ( ĐK…)
( x – a).65% = 264 – x + 2a
⇒
x = 213
Bài 5 : Một cửa hàng có 472 lít dầu chứa trong 2 thùng chứa lớn. Nhưng người ta phát hiện ra
thùng thứ I có lỗ thủng ở phía trên , nên liền lấy bớt ở thừng thứ I ra 50 lít và đổ vào thùng
thứ II . lúc bấy giờ thùng thứ II chứa nhiều hơn thùng thứ I 24 lít . Tính xem lúc đầu mỗi thùng
đựng bao nhiêu lít dầu ?
ĐS:Th I = 274 lít
Bài 6: (dạng tìm số)
Một số A có 2 chữ số . Nếu ta viết thêm số 1 vào trước số đó thì ta được một số có 3 chữ số ,
nếu thêm chữ số 1 vào sau số đó ta cũng được một số có 3 chữ số . Biết rằng số viết lần sau
hơn số viết lần trước là 36 đơn vò. Tìm số A
HD: 100 +10a + b +36 = 100a +10b +1
⇒
10a + b = 15
⇒
b chia hết cho 5
• b = 0
⇒
a = 1,5 ( lọai)
• b = 5
⇒
a = 1 .
⇒

A = 15
Bài 7: Có 3 xe I, II , III Phải chuyển 1560 tấn hàng đến 3 đòa điểm cách kho hàng là 30 km , 45
km , 60 km . người ta giao cho mỗi xe chuyển số hàng tỉ lệ nghòch với khỏang cách cần vận
chuyển . Hỏi mỗi xe cần phải chở bao nhiêu tấn hàng?
HD:
Số hàng tỉ lệ nghòch với 30,45,60 tức tỉ lệ thuận với
1 1 1
, ,
30 45 60
. Nhân cả 3 phân số này
với BCNN( 30,45,60) = 180 .
13
BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM
Vậy số hàng vận chuyển tỉ lệ thuận với 5,4,3 . Gọi x,y,z là số hàng vận chuyển của xe I, II,III
ta có:
1560
130
5 4 3 12 12
650, 520, 390
x y z x y z
x y z
+ +
= = = = =
⇒ = = =
Câu 5: Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam. Cơ giáo chủ nhiệm dự
kiến chia lớp thành các tổ học tập:
- Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ.
- Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ.
- Số người trong mỗi tổ khơng q 15 người nhưng cũng khơng ít
hơn chín người.

Em hãy tính xem cơ giáo có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy
tổ ?
* Gọi số bạn nam được chia vào tổ là x,
số bạn nam được chia vào tổ là y,
x, y ngun dương.
Theo đề ra ta có hệ:
32 24
x y
=
(1)
9
≤
x + y
≤
15 (2)
Từ (1) ta có: 3x – 4y = 0 =>
4
3
x y
=
Đặt y = 3t, t > 0 và t
∈
z, ta có: x = 4t
Từ (2), ta có: 9
≤
3t + 4t
≤
15 hay 9
≤
7t

≤
15
=>
9
7
< t
≤

15
7
=>
2 2
1 2
7 7
t
< ≤
Vì t
∈
z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính ra x = 8; y = 6
Như vậy, mỗi tổ có 8 bạn nam, 6 bạn nữ.
Số tổ được chia là:
56
4
6 8
=
+
tổ
Cách 2 ( ƯCLN)
14
BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM

IV- HÀM SỐ
Bài 10. Cho hàm số f(x) đồng biến trong khoảng (0; 1) và f(
1
2
) = 0
Chứng minh rằng
3
f ( 3 ) 0
2
− <
và
1
f ( 2 ) 0
2
− >
Bài 11. Xác định a, b để hàm số y = a(x + 1)
2
+ b(x +2)
2
là hàm số bậc nhất
Bài 12.
12.1. Vẽ tứ giác ABCD trên mặt phẳng tọa độ, biết A(4; 2), B(2; – 1), C( – 4; –
1) và D( – 2; 2). Tứ giác đó là hình gì? Vì sao?
12.2. Tình khoảng cách từ các đỉnh của tứ giác đến gốc tọa độ.
12.3. Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD
Bài 13. Cho các đường thẳng (d
1
) : y = x + 2, (d
2
) : y = – 2x + 5, (d

3
) : y = 3x
(d) : y = mx + m – 5 trong cùng hệ trục tọa độ.
13.1. Chứng minh : (d
1
); (d
2
); (d
3
) đồng quy.
13.2. Tìm m để (d
1
); (d
2
); (d
3
) và (d) đồng quy.
Bài 14. Vẽ đồ thị các hàm số sau:
14.1. y =
x
14.2. y =
x
– 2
14.3. y =
x 1 x 3− + −
Bài 15. Cho hàm số y = (2m – 3)x – 1
15.1. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = – 5x + 3
15.2. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A( – 1; 0)
15.3. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho và các đường thẳng y = 1 và y =
2x – 5 đồng quy tại một điểm.

Bài 16. Cho hàm số y = (m – 1)x + m (1)
16.1. xác định giá trị của m để đường thẳng (1) đi qua gốc tọa độ? Cắt trục tung
tại điểm có tung độ bằng 1 –
2
16.2. xác định giá trị của m để đường thẳng (1) song song với đường thẳng y = –
5x + 1.
16.3. với giá trị nào của m thì góc
α
tạo bởi đường thẳng (1) với tia Ox là góc
tù? Góc 45
0
?
Bài 17. Cho hệ phương trình
ax y 2
x ay 3
− =


+ =

17.1. Giải hệ phương trình với a =
3 1−
17.2. Chứng minh rằng hệ đã cho luôn có nghiệm với mọi a
17.3. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện
x 2y 0− =
Bài 18. Cho hệ phương trình hai ẩn x và y:
2
(m 1)x my 2m 1
mx y m 2
+ + = −



− = −

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa: P = xy đạt giá trị lớn nhất
15
BDHSG-i s - ng Trung Thy- Trng THCS Th Trn Thi Bỡnh-CM
Bai 19. Gii h phng trỡnh :
x y 2 x y 1 3
2x y 1
+ + =


+ =


Bai 20. Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh sau cú nghim :
(m
2
1)x
2
+ 2(m + 1)x + 1 = 0
Bai 21. Chng minh rng phng trỡnh sau cú nghim vi mi giỏ tr ca a, b, c:
3x
2
2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0
Bai 22. Tỡm nghim ca phng trỡnh : (m 1)x
2
+ ( m + 1)x + 2 = 0
Bai 23. Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh sau cú hai nghim trỏi du:

x
2
5mx + 2m 1 = 0
Bai 24. Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh :
24.1.
21
11
xx
+
24.2.
2
212
2
1
xxxx +
24.3. (x
1
x
2
)
2
24.4.
3
2
3
1
xx +
Bai 25. Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh sau cú hai nghim phõn bit ln hn 1:
3x
2

(m 1)x m = 0
Bai 26. Cho phng trỡnh : x
2
+ 2(m 1)x (m + 1) = 0
26.1. Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh sau cú mt nghim nh hn 1, mt
nghim ln hn 1
26.2. Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh sau cú hai nghim nh hn 2
Bai 27. Cho phng trỡnh : x
2
mx + (m
2
+ 1) = 0 . Tỡm giỏ tr ca m cỏc
nghim x
1
, x
2
ca phng trỡnh trờn tha món
2
2
2
1
xx +
cú giỏ tr ln nht.
V- GII V BIN LUN NGHIM CA PHNG TRèNH
Bài 1:
Cho phơng trình
2 2
2 2 2 0 (1).x mx m + =
.
1. Tìm các giá trị của

m
để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân
biệt.
2. Tìm các giá trị của
m
để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1
x

và
2
x
thoả mãn hệ thức
3 3
1 2
5
2
x x+ =
.
3. Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của
m
để
nghiệm dơng của phơng trình đạt giá trị lớn nhất.
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
2
' 4 0 2 2m m = > < <
(*)
( ) ( )
2
3 3

1 2 1 2 1 2 1 2
5 5
3
2 2
x x x x x x x x

+ = + + =

2
2 3
3( 2) 5
6 5 0
2 2
m
m m m m


= + =


( )
( )
2
1 2,3
1 21
1 5 0 1;
2
m m m m m

+ = = =

m
Ta có:
2
1 21 3 21 1 21
2 0 2
2 2 2
x
+
= > = <
16
BDHSG-i s - ng Trung Thy- Trng THCS Th Trn Thi Bỡnh-CM
3
1 21
0 2
2
x
+
= > >
và
3 3
5 21
2 0 2
2
x x

= > <
Vậy: Có 2 giá trị của m thoả điều kiện bài toán:
1 21
1;
2

m m
+
= =
Phơng trình có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi:
2
2
' 4 0
2
0 2 2 (**)
2
0
m
m
P m
S m

=



=


= >


Khi đó 2 nghiệm của phơng trình là:
( )
2 2
1 2 1 2

4 4
; 0 2;2
2 2
m m m m
x x x x m
+

= =

Hai nghiệm này không thể đồng thời bằng 0, nên nghiệm dơng của phơng trình là
2
2
4
0
2
m m
x
+
= >
. Suy ra:
( )
2 2
2 2 2
2
2
4 2 4
2 4 4
4 4
m m
m m m m

x
+
+ +
= =
Theo bất đẳng thức Cô-si:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
4 2 4 2 4 4m m m m m m+
Suy ra:
2
2 2
2 2x x
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
2 2
4 2 2;2m m m

= =

.
Vậy nghiệm dơng của phơng trình đạt giá trị lớn nhất là
2 2khi m =
17