bài tập ôn học sinh giỏi môn toán lớp 9 tham khảo (3)

BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài tập Nâng cao Chương 1
Bài 1: a) Tìm x và y trong mỗi hình bên
(a) (b)
b) Tìm x, y, z trong hình c
(c)
Bài 2: a) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính các
tỉ số lượng giác của góc B. từ đó suy ra các hệ thức tính các tỉ số lượng giác của
góc C.
b) Không dùng bảng và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau đây theo thứ
tự từ nhỏ đến lớn: sin24
0
; cos35
0
; sin54
0
; cos70
0
; sin78
0
.
c) Không dùng bảng số và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ
tự từ nhỏ đến lớn:
cotg25
0
; tg32
0
; cotg18
0
; tg44
0

; cotg62
0
.
Bài 3: a) Dựng góc nhọn
α
, biết rằng
4
tg
5
α
=
.
b) Dựng góc nhọn
α
, biết rằng
1
cot g
2
α
=
.
c) Dựng góc nhọn
α
, biết
3
sin
5
α
=
Bài 4:

1. Cho tam giác DEF có ED = 7 cm,
µ
$
0 0
D 40 , F 58= =
. Kẻ đường cao EI của tam giác
đó. Hãy tính:
a) Đường cao EI.
b) Cạnh EF.
2. Giải tam giác vuông ABC, biết rằng
µ
0
A 90=
, AB = 5, BC = 7.
3. Hãy tính các góc nhọn của một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là
13 : 21.
Bài 5: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy
điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tính AD.
b) Tính các góc BAD, BAC. Từ các kết quả đó, có thể kết luận rằng Ac là tia phân
giác của góc BAD không ?.
c) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
d) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB = 1 đơn vò độ dài. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của AB, AD.
a) Tính diện tích hình cánh diều AICJ bằng các cách khác nhau.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 1
5
4
z

y
x
25
9
x
10
8
x
y
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
b) Tính sinICJ.
Bài 7: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) đường cao AH, AB = 8 cm, CD = 12
cm, AD = 10 cm.
a) Tính AH.
b) Tính số đo góc ADC, suy ra số đo góc ABC.
c) Tính AC. Vì sao ta không có hệ thức
2 2 2
1 1 1
?
AD AC AH
+ =
Bµi 8. Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i B vµ C, AC ⊥ AD. BiÕt
µ
D
= 58
0
, AC = 8.
a) TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AD, BC
b) Chøng minh AC
2

= AB.DC
Bài 9: Cho ABC có
µ
0
A 60=
. Kẻ BH ⊥ AC và CK ⊥ AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều
Bài 10: Cho ABC có
µ
A
là góc nhọn. Chứng minh diện tích của tam giác đó là S=
1
2
AB.AC.sinA. p dụng: a) Tính
(ABC)
S
biết AB = 4 cm, AC = 7 cm và
µ
0
A 60=
b) Biết
(ABC)
S
=
5 2
(cm
2
), AB = 4 cm, AC = 5 cm. Tính số đo của
µ

A
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có
µ
A
< 90
0
. Chứng minh diện tích của hình đó
là
S =AB.AD.sinA. p dụng: Biết
(ABCD)
27 3
S
2
=
(cm
2
) , AB = 4,5 cm, AD = 6 cm.
Tính số đo các góc của hình bình hành ABCD.
Bài 12: Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O, tạo thành góc nhọn AOD.
Chứng minh:
·
(ABCD)
1
S AC.BD.sin AOD
2
=
. p dụng: Cho hình vuông ABCD (
µ
µ
0

A D 90= =
), AB = 12 cm, AD = 9 cm, DC = 18 cm. Hai đường chéo cắt nhau tại O.
Tính
·
sin AOD
.
Bài 13: Cho ABC (
µ
A
< 90
0
). Trên cạnh AB lấy điểm B’, trên cạnh AC lấy điểm
C’. Chứng minh:
(ABC)
(AB'C')
S
AB.AC
S AB'.AC'
=
.
Bài 14: Cho ABC có 3 góc nhọn, các cạnh đối diện với các góc
µ
µ µ
A , B,C
theo thứ
tự là a, b, c. Chứng minh:
a b c
sin A sin B sin C
= =
.

Bài 15: Tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 6 cm,
µ
A
= 120
0
. Kẻ đường phân giác
AD của
µ
A
. Tính độ dài của AD.
Bài 16: Cho ABC có
µ
A
= 70
0
, AB = 10 cm. Số đo của các góc B và C tỉ lệ với 4
và 3. Tính độ dài của các cạnh CA, CB và S
(ABC)
.
Bài 17: Cho ABC có
µ
0
C 45=
, AB.AC =
32 6
, AB:AC =
6 : 3
. Tính số đo cạnh
BC;
µ

B
và S
(ABC)
Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết đường chéo
AC = 14 cm,
·
sin AOD 0, 6=
. Tính
·
tgADB
và độ dài các cạnh hình chữ nhật.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 2
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài 19: Cho tam vuông ABC (
µ
A
= 90
0
), cạnh AB = 3 cm. Kẻ trung tuyến AM. Biết
·
sin AMB 0,8=
Tính tgB và S
(ABC)
.
Bài 20: Cho hình bình hành ABCD (
·
0
ACD 90<
).
a) Chứng minh :

·
2 2 2
AD CD CA 2CD.CA.cos ACD= + -
.
b) Nếu CD = 6 cm, CA = 4 cm,
·
1
cos ACD
3
=
thì tứ giác ABCD là hình gì?.
Tính diện tích của tứ giác đó.
Bài 21: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC;
µ
A
< 90
0
). Kẻ BK ⊥ AC.
a) Chứng minh :
µ
·
A 2.KBC=
.
b) Chứng minh :
A A
sin A 2.sin .cos
2 2
=
.
c) Biết

·
2
sin KBC
3
=
, tính sinA.
Bài 22: Cho tam giác vuông ABC (
µ
B
= 90
0
). Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH ⊥
BM, CK ⊥ BM.
a) Chứng minh :
·
CK BH.tgBAC=
.
b) Chứng minh :
·
2
MC BH.tg BAC
MA BK
=
.
Bài 23: Cho ABC có
µ
A
= 60
0
. Kẻ BH ⊥ AC và CK ⊥ AB.

a) Chứng minh : KH = BC.cosA.
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều.
Bài 24: Cho tam giác ABC có BC = a.
·
0
ACB 45=
. Về phía ngoài của ABC, vẽ
các hình vuông ABDE và ACFG. Giao điểm các đường chéo của hai hình vuông là
Q và N. Trung điểm của BC và EG là M và P.
a) Chứng minh AEC = ABG.
b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.
c) Biết
·
BGC a=
. Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a và
a
.
Bài 25: Cho hình chữ nhật MNPQ có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của hình thoi ABCD
( M ∈ AB, N ∈ BC, P ∈ CD, Q ∈ DA ). Các cạnh hình chữ nhật song song với các
đường chéo của hình thoi. Biết AB = 7 cm.
·
tgBAC 0,75=
.
a) Tính diện tích hình thoi ABCD.
b) Xác đònh vò trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích hình chữ nhật
MNPQ đạt giá trò lớn nhất và tính giá trò lớn nhất đó.
Bài 26: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH ⊥ AD
và CK ⊥ AB.
a) Chứng minh CKH ~ BCA.
b) Chứng minh

·
HK AC.sin BAD=
.
c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết
·
0
BAD 60=
, AB = 4 cm và AD = 5 cm.
Bài 27: Cho ABC (
µ
A
= 90
0
). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ⊥ BC. Nối AF
và BE.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 3
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
a) Chứng minh AF = BE.cosC.
b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính
·
sin AOB
.
Bài 28: Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB
và BC theo thứ tự là M và N. Nối CM và DN cắt nhau tại P.
a) Chứng minh CM ⊥ DN.
b) Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của góc
·
CMN
.

c) Nối MD, tính các tỉ số lượng giác của góc
·
MDN
và diện tích tam giác
MDN.
Bài 29: Cho hình chữ nhật ABCD;
·
sin DAC
= 0,8 ; AD = 42 mm, kẻ CE ⊥ BD và DF
⊥ AC.
a) AC cắt BD ở O, tính
·
sin AOD
.
b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó.
c) Kẻ AG ⊥ BD và BH ⊥ AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và
tính diện tích của nó.
Bài 30: Cho đoạn thẳng MN = 6 cm. Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm. Vẽ
đường tròn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt nhau tại A và B.
a) Chứng minh :
2 2 2
4 1 1
MB AM AN
= +
b) Tính số đo các góc của MAB.
Bài 31: Cho tam giác vuông ABC (
µ
A
= 90
0

). Kẻ đường thẳng song song với cạnh
BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N. Biết MB = 12 cm và NC = 9 cm,
trung điểm của MN và BC là E
và F .
a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng.
b) Trung điểm của BN là G. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của
EFG.
c) Chứng minh EFG ~ ABC.
Bài 32: Cho ABC, kẻ AH ⊥ BC, biết BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75. Trên
AH lấy điểm O sao cho OH = 2 cm.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OB lấy điểm P và trên OC lấy điểm N sao
cho
AM OP ON 2
AB OB OC 5
= = =
. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của MPN.
Bài tập Nâng cao Chương 2
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 4
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
1. Đònh nghóa và sự xác đònh đường tròn
Bài1: Cho đường tròn (O; R) và 1 điểm M nằm trên (O; R). dựng điểm N sao cho
MN vuông góc với OM đồng thời MN có độ dài bằng a cho trước.
a) Tìm tập hợp điểm N.
b) Tìm tập hợp chân đường vuông góc hạ từ M xuống ON.
c) Tìm hệ thức giữa a và R để cho đường tròn (O; R) là tập hợp trọng tâm của
MON.
Bài 2: Cho 1 đoạn thẳng cố đònh AB có độ dài bằng 2a. Gọi I là trung điểm của
AB. K là trung điểm của IB Trên tia Kx kẻ tuỳ ý, lấy 1 điểm M sao cho
¼

¼
KMB MAB=
.
a) So sánh hai tam giác KMB và MAB.
b) Tìm tập hợp điểm M.
c) Dựng điểm M với a = 3 cm.
¼
0
BKx 120=
(không dùng thước đo góc).
Bài 3: Cho một hình vuông ABCD, cạnh bằng a. Một đoạn thẳng MN có độ dài
thay đổi, M chạy trên AB, N chạy trên CD sao cho chu vi tam giác AMN luôn luôn
không đổi và bằng 2a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống MN. Chứng
minh rằng H luôn nằm trên một đường tròn cố đònh.
Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên cùng một đường thẳng theo thứ tự đó.
a) Hãy dựng đường tròn (O), (O
1
), (O
2
), (O
3
) có đường kính là AD, AB, BC, CD.
b) CMR mọi điểm nằm trên (O
1
), (O
2
), (O
3
) không kể hai điểm A và D đều nằm
trong (O).

c) CMR mọi điểm nằm trên (O
2
) không kể hai điểm B và C đều nằm ngoài (O
1
)
và (O
3
)
Bài 5: Cho hai điểm A và B cố đònh. Một đ.thẳng d đi qua A. Gọi P là điểm đối
xứng của B qua d.
a) Tìm q tích các điểm P khi d quay xung quanh điểm A.
b) Xác đònh vò trí của d để BP có độ dài lớn nhất, có độ dài bé nhất.
Bài 6: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC);
1
BC CD AD a
2
= = =
.
a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn. Hãy xác đònh tâm O và
bán kính của đường tròn này.
b) Chứng minh AC ⊥ OB.
Bài 7: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác, N, P, Q
lần lượt là trung điểm của AH, AB, AC. Chứng minh OPNQ là hình bình hành.
Bài 8: Cho ABC, các góc đều nhọn. Vẽ đường tròn tấm đường kính AB, vẽ
đường tròn tâm O đường kính AC. Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D và E,
cắt đường tròn (O) tại H và K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K).
a) Chứng minh BD, BE là những đường phân giác của góc
·
ABC
; CK, CH là những

đường phân giác của góc
·
ACB
.
b) Chứng minh BDAE, AHCK là những hình chữ nhật.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 5
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài 9: Cho đường tròn (O) dường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB tại
O. Lấy điểm M trên cung AC. Hạ MH ⊥ OA. Trên bán kính OM lấy điểm P sao
cho OP = MH.
a) Tìm q tích các điểm P khi M chạy trên cung AC
b) Tìm q tích các điểm P lấy trên bán kính OM sao cho OP bằng khoảng cách từ
M đến AB khi M chạy khắp đường tròn (O).
2. Tính chất đối xứng của đường tròn
Bài 1: Cho hai đường tròn bằng nhau (O ; R) và (O’; R) và hai dây AB, CD bằng
nhau theo thứ tự thuộc hai đường tròn ấy sao cho B và C nằm giữa A và D và AB <
2R.
a) Chứng minh rằng AD // OO’.
b) Chứng minh rằng AC = OO’ = BD.
c) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ rằng điểm I nằm trên một đường cố đònh
khi các dây AB, CD thay đổi vò trí sao cho AB, CD luôn luôn bằng nhau và B, C
luôn nằm giữa A, D.
Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên một đường tròn (O) sao cho AB là đường
kính. Gọi I, K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ A và B xuống đường
thẳng CD. Chứng minh CI = DK.
Bài 3: Cho đường tròn (O ; R) và đường kính CD vuông góc với dây AB tại điểm I.
a) Tìm công thức tính R theo AI, CI.
b) Miệng của một tháp nước hình vành khăn bò vỡ gần hết, chỉ còn sót lại một
mảng cung tròn. Hãy tìm cách đo đạc trên mảng còn lại đó để tính đường kính của
miệng tháp ấy.

Bài 4: Cho đường tròn (O ; R) và hai điểm A, B với AB < 2R. Dựng qua A, B hai
đường thẳng song song sao cho chúng tạo thành với đường tròn (O ; R) hai dây
bằng nhau.
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) và giao điểm I của hai đường chéo.
Chứng minh rằng I là điểm chung duy nhất của đường tròn (O ; R) đi qua ba điểm I,
A, D với đường tròn (O’ ; R’) đi qua I, B, C.
Bài 6: Cho ABC cân tại A có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O ; R). Các đường
phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại E và lần lượt cắt đường tròn tại D
và F. Chứng minh ADEF là hình thoi.
Bài 7: Cho góc
·
0
xOy 60=
. Lấy điểm I cố đònh trên tia phân giác Ot của góc xOy làm
tâm vẽ đường tròn sao cho nó cắt Ox tại A, Oy tại B (A và B không đối xứng nhau
qua Ot). Hạ ID ⊥ Ox, IE ⊥ Oy.
a) Chứng minh DA = EB.
b) Gọi T là tâm đường tròn qua A, I, B. Chứng minh TAI, TBI là các tam giác
đều. Xác đònh vò trí của T một cách nhanh nhất.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 6
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
c) Tìm q tích điểm T khi đường tròn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng vẫn
cắt Ox, Oy).
d) Tìm q tích điểm H, trực tâm của AIB (theo điều kiện câu c).
Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH. Trên đoạn thẳng
HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán
kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm
thứ hai của đường tròn (O) với đường thẳng AB. Chứng minh:
a) AEF là tam giác cân.
b) DO ⊥ OE.

c) D, A, O, E nằm trên cùng một đường tròn.
Bài 9: Cho hai điểm A, B ở ngoài đường tròn tâm O. Hãy dựng một đường kính CD
sao cho
CA = DB.
3. Vò trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Tiếp tuyến của đường tròn
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’). Một tiếp tuyến chung ngoài MM’, một tiếp
tuyến chung trong NN’ (M, N nằm trên (O) ; M’, N’ nằm trên (O’)). Các đường
thẳng MM’ , NN’ cắt nhau tại tiếp điểm P và các dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương
ứng tại các điểm Q, Q’.
a) Chứng minh rằng các tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy ra
M 'O ' MP
M ' P MO
=
.
b) Chứng minh rằng
O 'Q ' PQ
Q ' P QO
=
.
c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng ba điểm O, I, O’ thẳng
hàng.
Bài 2: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R). Kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến
MBC đi qua O.
a) Chứng minh rằng các tam giác MAB, MCA đồng dạng. Suy ra: MA
2
= MB.MC.
bính R, biết MA = 20 cm ; MB = 8 cm.
Bài 3: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R). Các tiếp tuyến MA, MB có độ

dài bằng a và tạo với nhau một góc
α
.
a) Tính bán kính R theo a và
α
.
b) Dựa vào câu a, hãy nêu tên phương pháp tính bán kính đáy của một chiếc cột
hình trụ, của một cái chum đang đựng đầy nước.
Bài 4: Cho góc xAy và một điểm M nằm trong góc ấy. Tìm trên Ax một điểm I sao
cho khoảng cách từ I đến Ay bằng IM.
Bài 5: Cho tam giác cân OAB trong đó OA = OB và
·
AOB
α
=
, một đường tròn (O ;
R) với R < OA. Hạ đường cao OH của tam giác OAB và kẻ từ A, B các tiếp tuyến
AM, BN với đường tròn (O ; R) sao cho chúng không đối xứng với nhau qua OH.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 7
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Gọi giao điểm của các đường thẳng AM với BN là I. Chứng minh rằng độ lớn góc
AIB không phụ thuộc vào R.
Bài 6: Cho tam giác cân có cạnh đáy bằng 10 cm, các cạnh bên bằng 13 cm. Tính
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Bài 7: Tìm cạnh đáy của một tam giác cân, nếu tâm đường tròn nội tiếp chia đường
cao thành hai đoạn từ tâm dến chân đường cao và từ tâm đến đỉnh theo tỉ số
3
12
.
Bài 8: Tìm đường kính của đường tròn nội tiếp một tam giác vuông nếu cạnh huyền

bằng c và tổng các cạnh góc vuông bằng m.
Bài 9: Cho góc
·
0
xOy 60=
. Một đường tròn tâm I bán kính R = 5 cm, tiếp xúc với Ox
tại A, tiếp xúc với Oy tại B. Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt
Ox tại E, cắt Oy tại F.
a) Tính chu vi OEF. Chứng tỏ rằng chu vi đó có giá trò không đổi khi M chạy trên
cung nhỏ AB.
b) Chứng minh
·
EIF
có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.
Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một dây AC tạo với AB góc
30
0
. Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt đường thẳng AB tại D. Chứng minh rằng:
a) OAC ~ CAD.
b) DB.DA = DC
2
= 3R
2
.
Bài 11: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính BH
cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh rằng:
a) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H.
b) EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (J) tại F.
Bài 12: Cho ABC cân tại A. Đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.

b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm D trên bán kính OB.
Gọi H là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại
C. Đường tròn tâm I đường kính DB cắt CB tại E.
a) Tứ giác ACED là hình gì ?
b) Chứng minh HCE cân tại H.
c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.
Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By
với nửa đường tròn. Lấy M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn, vẽ đường tiếp
tuyến, nó cắt Ax tại C, cắt By tại D. Gọi A’ là giao điểm của BM với Ax, B’ là
giao điểm của BM với By. Chứng minh rằng:
a) A’AB ~ ABB’ , suy ra AA’.BB’ = AB
2
.
b) CA = CA’ ; DB = DB’.
c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 8
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax tại điểm A của đường tròn. Trên Ax
chọn hai điểm B, C tùy ý (C nằm giữa A và B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường
tròn đã cho.
a) Chứng minh:
·
·
BOC DAE=
.
b) Giả sử B, C ở về hai phía đối với điểm A, chứng minh rằng trong trường hợp này
·
·
BOC DAE+

=180
0
.
4. Vò trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; 4 cm) và (O’ ; 3 cm) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A
và B. biết
OO’ = 5 cm. Từ B vẽ 2 đường kính BOC và BO’D.
a) Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng;
b) Chứng minh tam giác OBO’ là tam giác vuông;
c) Tính diện tích các tam giác OBO’ và CBD;
d) Tính độ dài các đoạn AB, CA, AD.
Bài 2: Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại điểm A. Đường thẳng OO’ cắt
hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở B và C (khác điểm A). DE là một tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn, D ∈ (O) ; E ∈ (O’). Gọi M là giao điểm của hai
đường thẳng BD và CE. Chứng minh rằng:
a)
·
0
90DME =
;
b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’);
c) MD.MB = ME.MC.
Bài 3: Cho đường tròn (O ; R), một điểm A nằm trên đường tròn và một điểm B
không nằm trên đường tròn ấy.
a) Hãy nêu cách dựng qua B một đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn đã cho
tại A.
b) Không cần dựng, hãy căn cứ vào các dữ kiện sau đây để xác đònh xem trường
hợp nào dựng được, trường hợp nào không dựng được đường tròn (O’) đi qua B tiếp
xúc trong với (O) (hoặc tiếp xúc ngoài (O)) tại A.
• R = 2 cm ; AB = 4 cm ; BO = 4,5 cm.

• R = 5 cm ; AB = 12 cm ; BO = 13 cm.
• R = 3 cm ; AB = 4 cm ; BO = 3,5 cm.
Bài 4: Cho một đường tròn (O ; R), một đường tròn (O
1
; r
1
) tiếp xúc trong với (O ;
R) và một đường tròn (O
2
; r
2
) vừa tiếp xúc trong với (O ; R) vừa tiếp xúc ngoài với
(O
1
; r
1
).
a) Tính chu vi tam giác OO
1
O
2
theo R.
b) Dựng hai đường tròn (O
1
; r
1
) và (O
2
; r
2

) biết R = 3 cm ; r
1
= 1 cm.
Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d và điểm A nằm trên d. Dựng đường
tròn tiếp xúc với (O ; R) đồng thời tiếp xúc với d tại A.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 9
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, đường tròn tâm A, bán kính AB cắt đường tròn
đường kính CD tại điểm M (M ≠ D). Chứng minh rằng đường thẳng DM đi qua
trung điểm I của BC.
Bài 7: Cho đường tròn (O ; R) tiếp xúc trong đường tròn (O’ ; R’) , R’ > R, tại điểm
A. Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn ấy lần lượt tại điểm thứ hai B, B’. Chứng
minh rằng tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn đường kính OO’, BB’ đi qua
A.
Bài 8: Cho hai đường tròn có bán kính bằng nhau cắt nhau tại A và B. Trong cùng
nửa mặt phẳng bờ OO’, vẽ hai bán kính OC và O’D song song với nhau. Gọi D’ là
điểm đối xứng của D qua O’.
a) Chứng minh AB, OO’, CD’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
b) Chứng minh A là trực tâm của tam giác BCD.
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Lấy A làm tâm vẽ đường tròn bán
kính AD, nó cắt AB tại E. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính BE, nó cắt tiếp
đường thẳng DE tại F.
a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) và (B ; BE) tiếp xúc nhau.
b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng.
Bài 10: Cho đường tròn tâm O và điểm A cố đònh thuộc đường tròn (O). Cho đường
thẳng d ở ngoài đường tròn. Hãy dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d
đồng thời tiếp xúc với (O) tại A.
Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (O’) bán kính lần lượt là 3R và R tiếp xúc ngoài
nhau tại A. Đường thẳng d
1

qua A cắt (O) tại B, cắt (O’) tại B’. Đường thẳng d
2
vuông góc với d
1
tại A cắt (O) tại C, cắt (O’) tại C’.
a) Chứng minh BC’, CB’ và OO’ đồng qui tại một điểm M cố đònh.
b) Chứng minh các tiếp tuyến chung ngoài PP’ và TT’ cắt nhau tại M.
c) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC’. Tìm q tích điểm I khi d
1
và
d
2
thay đổi vò trí (vẫn qua A và vuông góc với nhau).
Bài 12: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Góc vuông xAy quay
xung quanh điểm A, Ax cắt (O) tại B, Ay cắt (O’) tại C.
a) Chứng minh OB // O’C.
b) Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua O’. Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng.
c) Qua O vẽ d ⊥ AB, nó cắt BC tại M. Tìm q tích điểm M khi các dây AB, AC
thay đổi vò trí nhưng vẫn vuông góc với nhau.
Bài 13: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ABC có bán kính lần lượt
là R và r. Tính diện tích ABC biết rằng
µ
µ
$
µ
A C B A− = −
.
Bài 14: Cho tam nhọn ABC, phân giác CD. Lấy D làm tâm vẽ nửa đường tròn bán
kính R tiếp xúc với AC tại E, tiếp xúc với CB tại F. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc
với nửa đường tròn (D) tại K, và tiếp xúc với hai cạnh AC và BC của ABC.

a) Chứng minh C, O, D thẳng hàng.
b) Tính bán kính đường tròn tâm O biết AC = b, BC = a,
·
ACB
α
=
.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 10
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
5. ôân tập chương II
Bµi 1: Cho ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i A. Gäi BC lµ tiÕp tun chung
ngoµi cđa (O) vµ (O’); B, C lµ hai tiÕp ®iĨm. TiÕp tun chung trong cđa hai ®trßn t¹i A
c¾t BC t¹i M.
a) Chøng minh r»ng A, B, C thc ®êng trßn ( M ; BC/2 )
b) §êng th¼ng OO’ cã vÞ trÝ g× ®èi víi ®êng trßn ( M ; BC/2 )
c) X¸c ®Þnh t©m cđa ®êng trßn ®i qua 3 ®iĨm O, O’, M.
d) Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®i qua 3 ®iĨm O, O’, M.
Bµi 2: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ trung ®iĨm O cđa AB. Trªn mét nưa mỈt ph¼ng bê AB kỴ
hai tia Ax, By vu«ng gãc víi AB. Mét gãc vu«ng cã ®Ønh lµ O cã hai c¹nh c¾t Ax vµ By
t¹i C vµ D. Gäi C’ lµ giao ®iĨm cđa tia CO víi tia ®èi cđa tia By. Chøng minh:
a) Tam gi¸c CDC’ lµ tam gi¸c c©n.
b) §êng th¼ng CD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh AB.
c) §êng trßn ngo¹i tiÕp COD lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng th¼ng cè ®Þnh khi
gãc vu«ng t¹i O thay ®ỉi
Bµi 3: Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) ngoµi nhau. C¸c tiÕp tun chung ngoµi MN, PQ
( M,P n»m trªn (O); N, Q n»m trªn (O’) ).
a) CMR: MN ®èi xøng víi PQ qua ®êng th¼ng OO’.
b) CMR: 4 ®iĨm M, N, P, Q n»m trªn mét ®êng trßn.
c) Nèi MQ c¾t (O), (O’) t¬ng øng t¹i c¸c ®iĨm thø hai A, B. Chøng minh MA =
QB.

Bµi 4: Cho ®êng trßn (O) vµ tiÕp tun xy t¹i tiÕp ®iĨm C n»m trªn (O).
a) CMR nÕu d©y AB song song víi xy th× CA = CB.
b) CMR nÕu mét ®êng th¼ng d song song víi xy ®ång thêi tiÕp xóc víi (O) t¹i
mét ®iĨm D th× 3 ®iĨm C, O, D th¼ng hµng.
c) Cho hai ®êng th¼ng song song d
1
, d
2
c¸ch nhau mét kho¶ng b»ng 3 cm, mét
®iĨm M n»m gi÷a hai ®êng th¼ng d
1
, d
2
vµ c¸ch d
1
mét kho¶ng b»ng 1 cm.
H·y dùng mét ®êng trßn ®i qua M vµ tiÕp xóc d
1
, d
2
.
Bµi 5: Cho 2 ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc víi nhau t¹i A. Qua A kỴ ®êng th¼ng a c¾t
(O) t¹i C, c¾t (O’) t¹i C’ vµ ®êng th¼ng b c¾t (O) t¹i B, c¾t (O’) t¹i B’. Chøng minh
BC // B’C’.
Bài tập Nâng cao Chương 3
(Góc với đường tròn)
§1. Góc ở tâm - Số đo của cung - Liên hệ giữa cung và dây
Bài 1: Trên đường tròn (O ; R) có 5 điểm A, B, C, D, E trong đó AB là đường kính;
C là điểm chính giữa của cung AB; Tia OE nằm giữa các tia OA, OC và dây CD
bằng R. Ngoài ra, D và E không thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và

·
0
DOE 90=
. Tính độ lớn của tất cả các góc ở tâm nhỏ hơn 360
0
có chứa OC.
Bài 2: Gọi điểm chính giữa của một cung của một đường tròn (O ; R) là I, trung
điểm của dây trương cung ấy là K. Chứng minh rằng đường thẳng IK đi qua O.
Bài 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn với hai cung nhỏ hơn 180
0
, cung nào
lớn hơn thì có khoảng cách giữa điểm chính giữa của cung với trung điểm của dây
lớn hơn, và đảo lại.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 11
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài 4: Cho đường tròn (O ; r). Tìm hai cung không lớn hơn nửa đường tròn, biết
rằng cung này lớn gấp ba lần cung kia đồng thời có dây trương cung lớn gấp đôi
dây trương cung nhỏ.
Bài 5: Cho đường tròn (O). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại I.
Trung điểm của các dây cung BC và AD theo thứ tự là M, N. Chứng minh rằng
1 1
OM AD ; ON BC
2 2
= =
.
Bài 6: Trên nửa đường tròn đường kính EF, tâm O, người ta lấy ba điểm A, B, C
theo thứ tự E, A, B, C, F. Gọi M là điểm thuộc cung BC mà
¼
¼
BM MC=

.
a) Chứng minh
¼
»
»
( )
1
AM AB AC
2
= +
.
b) Chứng minh
·
·
·
( )
1
AOM AOB AOC
2
= +
Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm I, đường kính AB, và đường tròn
tâm K đường kính AC cắt nhau tại H (AB < AC).
a) Chứng minh điểm H nằm trên cạnh BC.
b) Một cát tuyến d qua A cắt đường tròn (I) tại E, cắt đường tròn (K) tại F (A nằm
giữa E và F). Hãy nêu đặc điểm của tứ giác BCEF.
c) d ở vò trí nào thì A là trung điểm của EF ?
Bài 8: Cho hai đường tròn đồng tâm (O ; r) và (O ; R). Tìm q tích những điểm M
sao cho từ đó vẽ các tiếp tuyến MP với (O ; R) và MQ với (O ; r) thì MP ⊥ MQ.
Bài 9: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa đường tròn đường kính AB
lấy hai điểm C, D (không điểm trùng với A, B). Từ C kẻ CH ⊥ AB, nó cắt tiếp

đường tròn tại E. Từ A kẻ AK ⊥ DC, nó cắt tiếp đường tròn tại F. Chứng minh DE
= BF.
Bài 10: Cho ABC, trên tia đối của tia BC, lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên tia
đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA.
a) Chứng minh điểm I, tâm đường tròn ngoại tiếp ADE, nằm trên phân giác của
góc
·
BAC
.
b) Điểm I có vai trò gì đối với ABC ?
Bài 11: Cho ABC vuông tại A. Đường tròn tâm I đường kính AB và đường tròn
tâm K đường kính AC cắt nhau tại H. Một đường thẳng d đi qua A, thuộc miền
ngoài của tam giác cắt đường tròn (I) tại E, cắt đường tròn (K) tại F.
a) Tìm q tích trung điểm M của EF khi d thay đổi vò trí.
b) Xác đònh vò trí của d để BCFE có chu vi nhỏ nhất.
§2. Góc nội tiếp – Góc giữa tiếp tuyến và một dây
Bài 1: Cho ABC cân tại A. Các đường tròn đường tròn đường kính AC, AB cắt
AB tại H, cắt AC tại K. Một đường thẳng xy qua A sẽ cắt đường tròn thứ nhất ở D,
đường tròn thứ hai ở E.
a) Chứng minh BK, CH, AN đồng qui (N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn).
b) Chứng minh D và E là hình chiếu vuông góc của B và C trên xy.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 12
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
c) Chứng minh NDE cân.
Bài 2: Từ điểm B bất kì trên đường tròn (O) kẻ đường vuông góc BH với tiếp tuyến
của đường tròn tại điểm A cho trước. Gọi I là giao điểm thứ hai của BH với đường
tròn (O), gọi B’ là điểm đối xứng của điểm B qua tâm O.
a) Chứng minh rằng
º
¼

IA AB'=
.
b) Chứng minh rằng BA là phân giác của góc OBH.
c) Khi B di động trên đường tròn, chứng minh rằng đường phân giác ngoài của góc
OBH đi qua một điểm cố đònh.
d) Gọi M là giao điểm của BH với đường phân giác của góc AOB, khi B di động M
chạy trên đường nào ?
Bài 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O),
·
0
BAC 45=
, điểm C nằm trên cung AB
lớn. Người ta kẻ dây BM vuông góc với AC và dây CN vuông góc với AB. Gọi P,
Q theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng BM và CN, BN và CM.
a) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (O).
b) Tứ giác ABQC là hình gì ?
c) Hãy xét vò trí tương đối của hai đường thẳng AO và PQ.
Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm chính giữa của cung AB, M là
một điểm chạy trên cung CB. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AM.
a) Chứng minh rằng NCM vuông cân.
b) Chứng minh rằng độ lớn của góc ONM không phụ thuộc vào vò trí của điểm M
trên cung CB.
c) Xác đònh vò trí của M sao cho MC // NB.
Bài 5: Cho đường tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB và C
là điểm bất kì nằm giữa A, B. Tia MC cắt đường tròn (O) tại D.
a) Chứng minh MC.MD = MA
2
.
b) Chứng minh MBC ~ MDB.
c) Chứng minh MB là tiếp tuyến với đường tròn (O

1
) đi qua ba điểm B, C, D tại B.
d) Chứng minh rằng khi C di động trên AB thì tổng bán kính các đường tròn (O
1
) và
đường tròn (O
2
) đi qua ba điểm A, C, D không đổi.
Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R). Các đường cao AD, BE và CI
cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại D’, E’ và I’.
a) Chứng minh DD’ = DH ; EE’ = EH.
b) Chứng minh rằng đường tròn đi qua H và hai trong ba đỉnh A, B, C đều bằng
đường tròn (O).
c) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp D’E’I’.
d) Hãy dựng ABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn O cho trước, điểm A cho trước
và trực tâm H cho trước nằm trong đường tròn.
Bài 7: Cho hai đường tròn đồng tâm và một điểm M cố đònh trên đường tròn nhỏ.
Qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường cắt đường tròn nhỏ ở A
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 13
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B và C. Khi hai đường thẳng này quay
quanh điểm M mà vẫn vuông góc với nhau. C/m:
a) Tổng MA
2
+ MB
2
+ MC
2
không đổi.
b) Trọng tâm tam giác ABC là điểm cố đònh.

Bài 8: Trên dây AB của đường tròn tâm O lấy điểm M tùy ý khác A và B. Vẽ
đường tròn qua A, M, O. Gọi C là giao điểm thứ hai của đường tròn.
a) So sánh các góc
·
·
AMC và ABC
.
b) So sánh MB và MC.
Bài 9: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD ⊥ AB tại H. Lấy điểm M tùy
ý trên đường tròn. Hai đường thẳng CM và AB cắt nhau tại F, hai đường thẳng DM
và AB cắt nhau tại E.
a) Chứng minh EMB ~ EAD ; EMB ~ EAC.
b) Chứng minh
EB FB
EA FA
=
.
Bài 10: Hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại M và N. Trên đường tròn
(O) lấy ba điểm A, B, C. Các đường thẳng MA, MB, MC cắt tiếp đường tròn (O’)
tại A’, B’, C’.
a) So sánh các tam giác NAA’, NBB’, NCC’. Tính tỉ số
NA
NA'
theo các bán kính R,
R’.
b) Chứng minh NAB ~ NA’B’ ; ABC ~ A’B’C’.
Bài 11: Cho đường tròn tâm O và điểm P ở ngoài (O). Vẽ đường tròn (P ; PO). Hai
đường tròn (O) và (P) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng OP cắt đường tròn (P) tại
điểm thứ hai C.
a) Chứng minh CA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Lấy điểm D thuộc cung BA của đường tròn (P) (cung có chứa điểm C). Chứng
minh DO là tia phân giác của góc
·
ADB
.
c) Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng OD với đường tròn (O). C/m: AI là tia phân
giác của góc
·
BAD
Bài 12: Cho đường tròn đường kính AB. Lấy M trên đường tròn (khác A, B) sao cho
MA < MB. Lấy MA làm cạnh vẽ hình vuông MADE (E thuộc đoạn thẳng MB). Gọi
F là giao điểm của DE và AB.
a) Chứng minh ADF ~ BMA.
b) Lấy C là điểm chính giữa cung AB (không chứa M). Chứng minh CA = CE =
CB.
c) Trên đoạn thẳng MC lấy điểm I sao cho CI = CA. C/m I là tâm đường tròn nội
tiếp AMB.
Bài 13: Từ điểm C ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến CA, CB.
a) Trình bày cách dựng đường tròn tâm K, qua C và tiếp xúc với đường thẳng AB
tại B.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 14
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
b) Đường tròn (O) và (K) cắt nhau tại B và M. C/m đường thẳng AM đi qua trung
điểm I của BC.
c) Chứng minh KCB ~ OAB.
Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB, dây AC và tia tiếp tuyến Bx với nửa
đường tròn (Bx trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn). Tia phân
giác của góc CAB cắt dây BC tại F, cắt nửa đường tròn tại H, cắt Bx tại D.
a) Chứng minh FB = BD ; HF = HD.
b) Chứng minh HBD ~ CAF.

c) Chứng minh DB
2
= DH.DA.
d) Gọi M là giao điểm của AC với Bx. Chứng minh MB
2
= MC.MA
Bài 15: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Trên đường
tròn(O) lấy hai điểm phân biệt B, C khác A. Các đường thẳng BA, CA cắt đường
tròn (O’) tại B’, C’. C/m BC // B’C’
Bài 16: Cho hai đường tròn tiếp xúc trong nhau tại A. Vẽ đường kính AB của đường
tròn lớn, nó cắt đường tròn nhỏ tại điểm thứ hai C. Từ B vẽ tiếp tuyến BP với
đường tròn nhỏ, nó cắt đường tròn lớn tại Q. Chứng minh AP là phân giác của góc
·
QAB
.
Bài 17: Lấy điểm M là trung điểm của cung AB thuộc đường tròn (O). Qua M vẽ
hai dây MD, ME, chúng lần lượt cắt AB tại C và F.
a) Chứng minh
·
·
AFM MDE=
. b) Chứng minh MC.MD =
ME.MF .
c) Chứng minh đường thẳng MA tiếp xúc với đường tròn qua A, D, C (tại A).
Bài 18: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB cố đònh và tia tiếp tuyến Ax trong
cùng nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn Lấy M tùy ý trên nửa đường tròn.
Vẽ tia phân giác của góc MAx, nó cắt đường thẳng BM tại I.
a) Chứng minh ABI cân tại B.
b) Tìm q tích các điểm I khi M chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Bài 19: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ tiếp tuyến

Ax với đường tròn (O) nó cắt đường tròn (O’) tại E. Qua A vẽ tiếp tuyến Ay với
đường tròn (O’) nó cắt đường tròn (O) tại D.
a) Chứng minh ABD ~ EBA.
b) Chứng minh
2
AE EB
AD BD
 
=
 ÷
 
.
§3. Góc có đỉnh bên trong hay bên ngoài đường tròn
Bài 1: Cho đường tròn (O). Đường kính AB chia đường tròn thành hai nửa đường
tròn và các điểm C, D nằm trên hai nửa đường tròn ấy. Gọi M, N theo thứ tự là các
điểm chính giữa của các cung AC, AD. Các giao điểm của MN với AC, AD tương
ứng là E, F.
a) Chứng minh AEF cân.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 15
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
b) Gọi giao điểm của CN và DM là P. xác đònh các giao điểm của hai đ.tròn (M ;
MA) và (N ; NA).
c) Giả sử các cung AC, AD không bằng nhau. Các đường thẳng MN, CD cắt nhau
tại điểm H và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) theo thứ tự tại I, K. HIK là
tam giác gì ?
Bài 2: Cho đường tròn (O ; R) với ba dây liên tiếp AB, BC, CD bằng nhau và cùng
nhỏ hơn R. Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại điểm I, các tiếp tuyến của đường
tròn tại B, D cắt nhau tại K.
a) So sánh các góc BIC và BKD.
b) Chứng minh ràng BC nằm trên tia phân giác của góc KBD.

c) Chứng minh rằng IBC ~ KBD và CBD ~ IBK.
d) Chứng minh rằng IK // BC.
Bài 3: Cho ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O ; R) và một điểm M bất kì trên
cung nhỏ AC. Tai Bx ⊥ AM cắt tai CM tại D.
a) Chứng minh
·
·
AMD ABC=
.
b) Chứng minh BMD cân.
c) Chứng minh rằng khi M di động thì D chạy trên một đường tròn cố đònh.
d) Xác đònh vò trí của M để tứ giác ABMD là hình thoi. Tính AM ở vò trí đó biết
·
BAC
α
=
Bài 4: Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) người ta kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến
SBC với đường tròn sao cho
·
0
BAC 90<
. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại
điểm D và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E. Các tiếp tuyến của(O) tại C, E cắt
nhau tại điểm N. Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và
CE; AE và CN.
a) Chứng minh SA = SD.
b) Chứng minh EN // BC.
c) So sánh hai tam giác QBC và PCE.
d) Chứng minh hệ thức:
1 1 1

CN CD CP
= +
.
Bài 5: Một đường tròn (O) đi qua đỉnh A của góc xAy cắt Ax, Ay lần lượt tại các
điểm B, C sao cho AC > AB. Đường trung trực của BC cắt cung BAC tại điểm D.
Lấy các điểm M, N tương ứng trên các tia Bx, Cy sao cho BM = CN.
a) So sánh
·
·
DBM với DCN
. Suy ra hai tam giác DBM và DCN bằng nhau.
b) Chứng minh rằng bốn điểm D, A, M, N nằm trên một đường tròn.
c) Bốn điểm B, C, M, N có nằm trên một đường tròn không ? Tại sao ?
Bài 6: Cho bốn điểm M, N, P, Q nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Hãy
dựng hình vuông ABCD sao cho các đường thẳng AB, CD, AD, BC lần lượt đi qua
các điểm M, N, P, Q.
Bài 7: Cho hình thang ABCD (AD // BC) và I là giao điểm của hai đường chéo.
Chứng minh rằng đường tròn (O) đi qua I, A, D tiếp xúc với đường tròn (O’) đi qua
I, B, C.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 16
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài 8: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) và I là giao điểm của hai đường chéo.
Chứng minh rằng đường vuông góc hạ từ I xuống đường thẳng AB là trục đối xứng
của đường tròn đi qua I, C, D.
Bài 9: Cho hai điểm A, B cố đònh. Tìm tập hợp các điểm C sao cho ABC có các
góc nhọn, trong đó A là góc nhỏ nhất và C là góc lớn nhất.
Bài 10: Trong đường tròn (O), cho góc nội tiếp
·
BAC
; tâm O thuộc miền trong của

góc. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ
»
»
BA,AC
. Dây MN lần
lượt cắt AB, AC tại D, E. Chứng minh ADE là tam giác cân tại A.
Bài 11: Cho nửa đường tròn đường kính AB, dây AC. Gọi D là điểm chính giữa của
cung AC. Từ D hạ DE ⊥ AB. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của AC với DE, BD.
a) So sánh
·
·
DAB với DQA
.
b) Chứng minh P là tâm đường tròn ngoại tiếp ADQ.
Bài 12: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I, K lần lượt là tâm đường tròn nội
tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A. Gọi P là điểm chính giữa của cung
»
BC
.
a) Chứng minh A, I, P, K thẳng hàng.
b) Chứng minh PI = PK = PB = PC.
Bài 13: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường phân giác trong của
các góc A, B, C cắt nhau tại I và lần lượt cắt đường tròn tại D, E, F.
a) Chứng minh BDI là tam giác cân.
b) Gọi P là giao điểm của AB và DF; Q là giao điểm của AC và DE. Chứng minh
P, I, Q thẳng hàng
c) Gọi K là giao điểm của AD và BC. Chứng minh
AI AD
IK BD
=

.
§4. Cung chứa góc
Bài 1: Bên trong góc ABC của tam giác đều ABC dựng điểm M sao cho:
·
·
·
·
0 0
BMC 30 ; BMA 17 .Tính góc BAM và BCM= =
.
Bài 2: Cho ABC, BC = a,
·
BAC
α
=
. Hai tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì
để chu vi của nó đạt giá trò lớn nhất ?
Bài 3: Cho đường tròn (O ; R) và tam giác cân ABC (AB = AC > R) có ba đỉnh nằm
trên đường tròn đó. Kẻ đường kính AI. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ
AC. Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối của tia MB lấy một điểm D sao cho MD
= MC.
a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của góc BMx.
b) Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O). Tứ giác
MIKD là hình gì ? Tại sao ?
c) Tìm q tích của điểm D khi M di động trên cung nhỏ AC.
Bài 4: Xét đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax và By
song song với nhau. Một đường tròn tâm M tiếp xúc với AB, Ax, By theo thứ tự tại
C, D, E.
a) Nêu cách dựng đường tròn (M).
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 17

BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
b) Chứng minh rằng AD + BE không phụ thuộc vào vò trí Ax, By. Chứng minh D,
M, E thẳng hàng.
c) Chứng minh AM ⊥ BM.
d) Tìm tập hợp điểm M.
Bài 5: Một điểm M nằm trên nửa đường tròn có đường kính AB cố đònh. Trên tia
đối của tia MA lấy một điểm H sao cho MH = MB.
a) Chứng minh rằng góc MHB có độ lớn không đổi. Tìm tập hợp điểm H.
b) Xác đònh điểm M sao cho chu vi tam giác MAB bằng 2,25 lần AB.
c) Gọi trung điểm của BH là K. Chứng minh rằng đường thẳng KM luôn đi qua một
điểm cố đònh.
Bài 6: Trên đường tròn (O), đặt cung
»
AB
cố đònh. Điểm C chạy trên cung này. Tìm
q tích tâm đường tròn nội tiếp ABC.
Bài 7: Cho nửa đ.tròn đường kính AB cố đònh. Trên dây AC kéo dài, lấy điểm D
sao cho CD = CB.
a) Tìm q tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn.
b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm q tích các điểm E khi C chạy
trên nửa đ.tròn.
c) Giải bài toán khi thay đường kính AB là dây PQ và C chỉ chạy trên cung nhỏ
»
PQ
.
Bài 8: Cho đường tròn (O), dây AB cố đònh (AB < 2R). Điểm C chạy trên cung lớn
AB. Tìm q tích trực tâm H của tam giác ABC.
Bài 9: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ dây AC. Trên tia AC lấy điểm
D sao cho
AD = CB. Đường vuông góc với AC tại D cắt tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn tại

E.
a) Chứng minh ADE = BCA.
b) Tìm q tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Bài 10: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho
OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB. Tìm q tích các điểm D khi C chạy trên
nửa đường tròn đã cho.
Bài 11: Cho ABC với
µ
µ
0 0
A 72 ; B 84= =
. Điểm M thuộc miền trong ABC thỏa
mãn:
·
0
AMB 102=
;
·
0
BMC 126=
. Tính số đo góc
·
MBA
.
§5. Tứ giác nội tiếp – Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
Bài 1: Cho tam giác ABC (
·
0
ACB 90>
) nội tiếp một đường tròn (O) và một điểm M

di động trên cung lớn AB. Gọi I là giao điểm của MC với AB và D là giao điểm
của các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại các điểm B và C.
a) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của IM, IA. Chứng minh rằng tứ giác BCQP nội
tiếp được.
b) Xác đònh vò trí của điểm M để tứ giác BICD nội tiếp được.
c) Xác đònh vò trí của M để cho tứ giác AMPQ nội tiếp được.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 18
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
d) Trong trường hợp tứ giác BICD và AMPQ đều nội tiếp được thì ABC là tam
giác gì ?
Bài 2: Cho đường tròn (O) với dây AB, S là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Từ
S kẻ các dây SM, SN lần lượt cắt AB tại các điểm P, Q.
a) Chứng minh rằng tứ giác MPQN nội tiếp được.
b) So sánh các tam giác SAM và SPA.
c) Xét vò trí tương đối của đường tròn ngoại tiếp MAP với đường thẳng Á.
Bài 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm M nằm trên nửa đường
tròn đó. Người ta kẻ trên nửa mặt phẳng, bờ AB, có chứa điểm M các tia Ax, By
vuông góc với AB. Một đường tròn (O’) đi qua A, M cắt đoạn thẳng AB và tia Ax
lần lượt tại các điểm C, P; đường thẳng PM cắt By tại một điểm Q.
a) Chứng minh tứ giác BCMQ nội tiếp được.
b) Chứng minh góc PCQ vuông.
c) Nêu nhận xét và giải thích về vò trí tương đối của đường thẳng QC và đường tròn
(O’).
Bài 4: Chứng minh đònh lý: “Trong một tứ giác lồi nội tiếp được, tích hai đường
chéo bằng tổng các tích của các cạnh đối”.
Bài 5: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) với AC > AB. Hạ đường cao AH và
đường kính AD.
a) Chứng minh:
·
·

BAH CAD=
.
b) Chứng minh rằng tia phân giác của góc BAC cũng là tia phân giác của góc
HAO.
c) Chứng minh:
·
·
·
ABC ACB HAO− =
.
Bài 6: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng
tâm của ABC và I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh: HA = 2OI.
b) Chứng minh rằng H, G, O thẳng hàng.
c) Dựng ABC, biết đường cao AD = 2 cm, trung tuyến AG = 3 cm và trực tâm H
là trung điểm của AD.
Bài 7: Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (O ; r).
a) Chứng minh rằng mỗi tiếp điểm thuộc một cạnh chia cạnh ấy thành hai đoạn sao
cho tổng của mỗi đoạn đó với cạnh không kề với nó bằng nửa chu vi ABC.
Chứng minh S = pr, trong đó S, p lần lượt là diện tích và nửa chu vi ABC.
b) Mở rộng bài toán cho trường hợp tứ giác.
c) Cho một ABC, các trung tuyến AM, BN cắt nhau tại điểm G và tứ giác
CMGN ngoại tiếp một đường tròn. Chứng minh rằng ABC cân.
Bài 8: Cho ABC có ba góc đều nhọn và một điểm M nằm giữa B, C. Qua M
dựng đường tròn (O) tiếp xúc với AB tại B và đường tròn (O’) tiếp xúc với AC tại
C; gọi giao điểm thứ hai của chúng là N. Chứng minh rằng:
a) tứ giác ABNC nội tiếp được.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 19
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
b) đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố đònh khi điểm M di động trên cạnh

BC.
c) Giả sử đường thẳng MN cắt tia AB, AC lần lượt tại các điểm Q, R. Qua R kẻ
đường thẳng tiếp xúc với (O) cắt tia AB tại điểm S; qua Q kẻ đường thẳng tiếp xúc
với (O’) cắt tia AC tại điểm T. Chứng minh rằng tứ giác QSRT ngoại tiếp được.
Bài 9: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) và một điểm M nằm trên (O). Gọi H, I,
K theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống các đường thẳng AB,
BC, CA. Chứng minh rằng H, I, K thẳng hàng.
Bài 10: Cho ABC cân tại A ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi các tiếp điểm của (O)
với AB, BC, CA lần lượt là D, E, F.
a) Chứng minh: DE // BF và AF ⊥ BC.
b) Chứng minh rằng đường tròn (O’) đi qua ba điểm B, O, C tiếp xúc với các cạnh
AB, AC.
c) Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng BE với đường tròn (O) là M; giao điểm
của các đường thẳng BC, DM là N. Chứng minh BN = NF.
Bài 11: Cho tứ giác ABCD và I là giao điểm của các đường chéo. Chứng minh rằng
nếu bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác IAB, IBC, ICD mà bằng nhau thì
ABCD là hình thoi.
Bài 12: Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn
(B, C là tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO
và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến này cắt đường
thẳng AB ở K. Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một một đường tròn.
Bài 13: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm, I là trung điểm của
BC.
a) Tính tỉ số các đoạn thẳng của OH bò trung tuyến AI chia ra.
b) Tính tỉ số các đoạn thẳng của AI bò đoạn OH chia ra.
c) Gọi G là trọng tâm của ABC. C/m O, G, H thẳng hàng và OG = 1/2GH (đường
thẳng qua O, G, H được gọi là đường thẳng Euler).
Bài 14: Cho ABC nhọn. Tìm tập hợp các điểm M thuộc miền trong tam giác thỏa
mãn điều kiện
·

·
·
·
BAM BCM ; CAM CBM= =
.
Bài 15: Cho hai đường tròn cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng qua A cắt hai
đường tròn tại C và D. Tìm q tích tâm đường trònngoaij tiếp tam giác BCD.
Bài 16: Cho ABC cân tại A,
µ
0
A 45=
, nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn đường
kính BC cắt AB tại M, cắt AC tại N.
a) Chứng minh O thuộc đường tròn đường kính BC.
b) Chứng minh: AMC ; ANB là những tam giác vuông cân.
c) Chứng minh MONB là hình thang cân. Suy ra
2
MN BC.
2
=
.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 20
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài 17: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Từ D kẻ dây DE // AC.
Gọi K là giao điểm của BE và AC (giả sử K và C ở hai nửa mặt phẳng khác nhau
bờ BD). Chứng minh:
a) ABK ~ DBC.
b) BC.AD + AB.CD = AC.BD.
Bài 18: Trên đường kính AB của đường tròn (O) lấy hai điểm T, S đối xứng nhau
qua O. Lấy điểm M trên đường tròn sao cho MA < MB. Các đường thẳng MT, MO,

MS cắt tiếp đường tròn lần lượt tại C, E, D. Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB
tại điểm F. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, nó cắt ME tại L, cắt MC tại
N.
a) Chứng minh LN = LD.
b) Hạ OH ⊥ CD. Chứng minh HLDE là tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh FE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 19: Cho ABC vuông tại A. Dựng ở miền ngoài tam giác các hình vuông
ABHK, ACDE.
a) Chứng minh H, A, D thẳng hàng.
b) Đường thẳng HAD cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại F. C/m FBC là tam
giác vuông cân.
c) Giả sử
·
0
ABC 45>
. Gọi M là giao điểm của BF và ED. Chứng minh năm điểm B,
K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn.
d) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABC.
Bài 20: Cho ABC nhọn. Các đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D, E, F
lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của IA,
IB, IC. Chứng minh:
a) FQRE là hình chữ nhật.
b) PEDQ, PRDF là hình chữ nhật.
c) PD, QE, RF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó.
d) 9 điểm H, K, L, D, E, F, P, Q, R nằm trên một đường tròn (đường tròn Euler).
Bài 21: Cho ABC nhọn, đường cao CH và phân giác AM cắt nhau tại I. Từ B kẻ
đường thẳng vuông góc với AB nó cắt đường thẳng AC tại D. Gọi F là hình chiếu
của AD trên đường thẳng AM. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC cắt BI tại điểm
thứ hai E. Chứng minh:
a) A, B, F, D, E thuộc cùng một đường tròn.

b) E, C, F thẳng hàng.
Bài 22: Cho đường tròn (O) và dây AB cố đònh. Lấy một điểm P tùy ý trên đoạn
thẳng AB. Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Qua B,
P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D)
cắt nhau tại điểm thứ hai N. Chứng minh:
a) OCPD là hình bình hành.
b)
·
0
PNO 90=
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 21
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
c) ANB ~ CPD. Khi P chạy trên đoạn thẳng AB thì N chạy trên đường nào ?
d) NP luôn đi qua một điểm cố đònh.
§6. Độ dài đường tròn – Diện tích đường tròn
Bài 1: Người ta chia một đường tròn thành 6 phần bằng nhau. Lấy các điểm chia ấy
làm tâm vẽ các cung tròn bán kính R. Tính chu vi của đường riềm 6 cánh.
Bài 2: Từ các đỉnh của một hình vuông, vẽ ở miền trong hình vuông những cung
tròn. Tính chu vi của đường riềm 4 cánh.
Bài 3: Cho 4 điểm A, B, C, D sắp theo thứ tự trên một đường thẳng sao cho AC =
DB = 2a, CD = 2b. Vẽ về cùng một phía đối với đường thẳng AB ba nửa đường
tròn có đường kính AB, AC, DB. Vẽ về phía kia nửa đường tròn có đường kính CD.
Chứng minh rằng diện tích của hình giới hạn bởi 4 nửa đường tròn trên bằng diện
tích của hình tròn có đường kính DA.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh a, vẽ về phía trong hình vuông 4 nửa đường
tròn đường kính AB, BC, CD, DA. Hãy tính theo a diện tích của hình giới hạn bởi 4
nửa đường tròn đó.
Bài 5: Cho ABC vuông tại A. Vẽ nửa đường tròn qua A, B, C và bên trong tam
giác vẽ hai nửa đường tròn khác có đường kính AB, AC. Chứng minh rằng tổng
diện tích của hai hình trăng khuyết giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính BC và

hai nửa đường tròn kia bàng diện tích ABC.
Bài 6: Cho hai đường tròn (C) và (S) cùng tâm o, bán kính R và 2R. Tiếp tuyến tại
M trên đường tròn (C) cắt đường tròn (S) tại A và B. Gọi C là giao điểm của tia
OM với đường tròn (S).
a) Chứng minh OAC và OBC là những tam giác đều.
b) Tính diện tích P hình viên phân ACB.
c) Tính diện tích P’ của hình giới hạn bởi hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn
(C).
d) Tính P + P’.
……………  ……………
Hướng dẫn giải
Chương 2: Đường tròn
§2. Tính chất đối xứng
Bài 7: a) Ta chứng minh được AA’ = BB’; suy ra AD = BE
b) Vì
·
0
xOy 60=
nên dễ dàng chứng minh
·
·
0
AIB DIE 120= =
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 22
A'
I
B
E
T
D

B'
A
O
y
t
x
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Ta chứng minh được ATI = BTI
Nên
·
·
0
ATI BTI 60= =
. Suy ra đó là những tam giác đều.
Lấy A (hoặc B) làm tâm vẽ cung tròn (A ; AI) nó cắt cung nhỏ AB tại T, đó chính
là tâm đường tròn qua A, I, B.
c) Ta chứng minh được rằng đường tròn tâm T bán kính TI đi qua O. Thật vậy, giả
sử (T) cắt IO tại O’ và cắt O’T tại T’.
Ta có
·
·
ITT' 2IO'T'=
. Nhưng
·
·
BTT' 2BO'T'=
. Suy ra
·
·
ITB 2IO'B=

, do đó
·
0
IO'B 30=
.
Ta có
·
0
IOB 30=
. Nếu O’B và OB là hai đường thẳng phân biệt thì
·
·
IO'B và IOB
có
một góc ở vò trí góc ngoài còn góc kia là góc trong của BOO’, như vậy chúng
không thể bằng nhau được. Do đó BO và BO’ trùng nhau, O’ trùng với O.
PHẦN THUẬN: Ta có TI = TO ⇒ T thuộc trung trực của OI cố đònh. Để đường
tròn tâm T cắt các tia Ox, Oy thì
· ·
TOx ; TOy
là các góc nhọn. Do đó T nằm ở miền
trong góc
·
uOv
xác đònh bởi Ou ⊥ Ox, Ov ⊥ Oy. Do đó T thuộc đoạn thẳng T
1
T
2
vừa
thuộc trung trực của OI, vừa thuộc miền trong của góc uOx (để A, B phân biệt).

PHẦN ĐẢO: Lấy T’ thuộc đoạn T
1
T
2
vẽ đường tròn bán kính TI, nó cắt Ox tại A’,
cắt Oy tại B, ta phải chứng minh đường tròn (I ; IA’) qua B. (Chứng minh IDA’ =
IEB’ ⇒ IA’ = IB’).
KẾT LUẬN: Q tích T là đoạn thẳng T
1
T
2
, không kể T
1
, T
2
.
d) AIBT là hình thoi nên trực tâm H của AIB nằm trên đường thẳng TI, Bz
⊥ AI, ta chứng minh được Bz ⊥ BT.
Ta chứng minh được H thuộc (I) và H đối xứng với T qua I.
Q tích các trực tâm H là đoạn thẳng H
1
H
2
đối xứng của T
1
T
2
qua I không kể H
1
,

H
2
.
Bài 8:
a) Ta c/m được AO là phân giác của góc FAE nên AO là trục đối xứng
của góc FAE. AO là đường thẳng chứa đường kính của (O) nên AO là
trục đối xứng của đường tròn (O). F là giao điểm của AB với (O).
Hình đối xứng của F là giao điểm của AC với (O), đó chính là điểm E.
F và E đối xứng nhau qua AO. Vậy AEF là tam giác cân.
b) Ta c/m được:
·
·
·
·
DOI 2DFO , EOI 2EFO= =
.
Suy ra
·
·
0
DOE 2DFE 90= =
hay DO ⊥ OE.
c) Lấy I là trung điểm của DE, ta có ID = IA = IE = IO. Vậy D, A, O, E nằm trên
một đường tròn tâm I bán kính DE/2.
Bài 9:
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 23
A
F
O
E

I
D
C
K
H
B

D

'

D

B

B

'

O

C

A

BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Ta có C và D đối xứng qua O.
Lấy B’ đối xứng của A qua O thì B’ cố đònh. CA có hình đối xứng qua O
Là DB’ nên CA = DB’, do đó DB = DB’.
Suy ra D nằm trên trung trực d của BB’….

§3. Vò trí tương đối của đường thẳng và đường tròn – Tiếp tuyến
Bài 9:
a) EM = EA ; FM = FB. Suy ra OE + EF + OF = OA + OB.
OIB có
·
0
IOB 30=
; ta tính được
OB R 3=
; do đó:
OE + EF + OF = 2R
3
.
Giá trò 2R
3
không phụ thuộc vào vò trí điểm M.
b) Ta tính được
·
·
·
·
·
0
1 1
AIB 120 ; EIM AIM ; MIF MIB
2 2
= = =
.
Suy ra
·

·
·
0
1
EIF AIB hay EIF 60
2
= =
. Vậy
·
EIF
có số đo không đổi khi M chạy trên cung
nhỏ AB.
Bài 10:
a) Tính số đo các góc, ta được
·
0
CAO 30=
.
Hai tam giác OAC và CAD có
·
· ·
0 0
CAO 30 (chung); ACO ADC 30= = =
Vậy OAC ~ CAD.
b) Tam giác COB là tam giác đều,
·
0
OCA 30=
(có nhiều cách chứng minh),
·

0
CBD 120=
. Dễõ dàng chứng minh được OAC ~ BCD. Suy ra BD = R.
DCB ~ DAC ⇒
DC DB
DA DC
=
. Do đó DA.DB = DC
2
mà DB = R , DA = 3R.
Vậy DA.DB = DC
2
= 3R
2
.
Bài 11:
a) Gọi I là trung điểm của BH thì I là tâm đường tròn đường
kính BH. Gọi J là trung điểm của HC thì J là tâm đường tròn
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 24
B
I
A
F
M
E
O
30
30
30
O

C
D
B
A
J
I
H
C
B
P
F
E
A
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
đường kính BH.
Ta có IH ⊥ AH suy ra AH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC.
Vậy AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I), (J).
b) Chứng minh không khó khăn AFHE là hình chữ nhật. Gọi P là giao điểm AH và
EF.
Ta có PE = PF = PH = PA.
Chứng minh PEI ~ PHI (c.c.c), suy ra
·
·
0
IEP IHP 90= =
. Vậy EF là tiếp tuyến của
đường tròn (I).
Chứng minh PFJ ~ PHJ (c.c.c), suy ra
·
·

0
PFJ PHJ 90= =
. Vậy EF là tiếp tuyến của
đường tròn (J)
Bài 12:
a) Gọi O là trung điểm của AI ta có OA = OI = OK. Vậy đường tròn tâm O
đường kính AI đi qua K.
b) Ta có AOK cân ⇒
·
·
AKO OAK=
(góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc).
Ta lại có HK = HB nên
·
·
HBK HKB=
. Từ đó ta c/m được OK ⊥ HK.
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn O.
Bài 13:
a) ACED là hình thang vuông
b) Đặt AB = 2R, AD = 2x, DB = 2y thì HA = HD = x.
Ta có các hệ thức sau: x + y =R hay HI = R
OH = OA – AH = (x + y) – x = y hay OH = y
Hai tam giác OHC và IEH có: OH = IE = y ; OC = IH = R ;
·
·
COH HIE=
(đv)
Suy ra OHC = IEH (c.g.c).
Do đó HC = EH hay HCE là tam giác cân tại H.

c) Do OHC = IEH nên
µ
µ
0
H E 90= =
, tức là HE ⊥ IE. Vậy HE là tiếp tuyến của
đường tròn tâm I
Bài 14:
a) Tự giải.
HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 25
K
I
H
C
B
O
A
E
I
D
O
H
B
C
A
O
I
K
C
A'

M
x
B'
D
B
A