đại số tổ hợp và xác suất

GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT
Đt : 0919.008.716 Email :
1
PHẦN 1 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A.Qui tắc cộng, qui tắc nhân :
1.Qui tắc nhân
: 1 công việc A được chia thành nhiều giai đoạn (gắn liền nhau) thì số
cách chọn công việc A là tích các giai đoạn
VD: có 3 mặt đồng hồ (tròn, vuông, elip) và 4 loại dây (da, nhựa, kim loại, vải). Hỏi có bao
nhiêu cách chọn 1 cái đồng hồ
Giải : chọn đồng hồ gồm 1 mặt và 1 dây
Chọn mặt : có 3 cách
Chọn dây : có 4 cách
Vậy số cách chọn đồng hồ là : 3 x 4 = 12 cách
Bài tương tự :
1/ Bạn A có 5 quần tây và 6 áo sơ mi. Hỏi bạn A có bao nhiêu cáhc mặt đồng phục đến trường ?
2/ Từ các chữ số 1, 3, 5, 6, 7 ,8, 9 có thể lập bao nhiêu :
a.Số có 4 chữ số b.Số có 4 chữ số đôi một khác nhau
c.Số chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
d.Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau
2.Qui tắc cộng
: công việc A được chia thành nhiều trường hợp thì số cách chọn công
việc A là tổng các trường hợp (qui tắc công ít gặp hơn qui tắc nhân)
B.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
:
1.Hoán vị
: sắp xếp n phần tử 1 cách thứ tự ta có 1 hoán vị của n phần tử
Kí hiệu : ( :đọc là n giai thừa)
! 1.2.3.4.5
n
Pn== n !n

Qui ước : 1!=0!=1 Công thức : n!=(n-1)!.n
VD: sắp xếp 4 người ngồi vào 1 bàn gồm 4 ghế là 1 hoán vị của 4 phần tử :
4
4! 1.2.3.4 24P == = cách chọn
Chú ý :
Hoán vị theo 1 đường thẳng (bàn thẳng) là hoán vị thẳng, có
!
n
Pn
=
cách
Hoán vị theo 1 đường tròn (bàn tròn) là 1 hóan vị tròn, có
1
(1)
n
Pn
−
!
=
− cách
Bài tương tự : Có bao nhiêu cách xếp 4 người :
a/ Ngồi dọc thành 1 bàn dài 4 ghế
b/ Ngồi dọc thành 1 bàn tròn 4 ghế
2.Chỉnh hợp
: cho n phần tử, ta chọn ra k phần tử nào đó (
1 kn
≤
≤
) sau đó sắp xếp có thứ tự ta
được 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử

Kí hiệu :
!
()
k
n
n
A
nk
=
− !
(1 kn
≤
≤ )
VD: có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn lấy ra từ 6 bóng đèn cho trước
Giải : ta chọn 3 bóng từ 6 bóng sau đó sắp xếp có thứ tự nên số cách chọn là 1 chỉnh hợp chập 4
của 6 :
4
6
6! 6!
3.4.5.6
(6 4)! 2!
A ====
−


Ta cần lưu ý cách chia giai thừa :
()!
( 1).( 2).( 3) ( )
!
nk

nn n n
n
+
k
=
++ + +
VD :
7!
4.5.6.7
3!
=
,
9!
7.8.9
6!
=
,
8!
8
7!
=

3.Tổ hợp
: cho n phần tử, ta chọn ra k phần tử nào đó (
0 kn
≤
≤
) sau đó sắp xếp không cần thứ
tự ta được 1 tổ hợp chập k của n phần tử
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT

Đt : 0919.008.716 Email :
2
Kí hiệu :
!
!.( )!
k
n
n
C
knk
=
−
( 0 kn
≤
≤ )
Công thức bổ xung : ,
C
0
1
n
nn
CC==
knk
nn
C
−
=
11
1
kk k

nn n
C
,
CC
+
+
+
+=
( côngthứcpascal)
VD: 1 giỏ bông gồm 4 hồng và 5 lan. Chọn ra 3 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a/ 4 bông bất kì (không phân biệt thứ tự)
b/ 4 bông trong đó có 1 hồng và 3 lan
Giải :
a/ Chọn 4 bông bất kì từ 9 bông ( gồm hồng và lan ) ta được 1 tổ hợp chập 4 của 9 :
4
9
9! 9! 6.7.8.9

4!.(9 4)! 4!.5! 1.2.3.4
C ====
−

b/ ta chia làm 2 bước : chọn 1 hồng (từ 4 hồng) :
1
4
C
chọn 3 lan (từ 5 lan) :
3
5
C

vậy số cách chọn là : x =………
1
4
C
3
5
C
Bài tương tự :
Bài 1: Lớp học có 25 học sinh trong đó có 11 nam. Chọn ra 5 bạn đi trực nhật, hỏi có bao nhiêu
cách chọn nếu :
a/ 5 bạn không phân biệt nam nữ b/ 3 nam và 2 nữ
d/ 1 nam và 4 nữ e/ có nhiều nhất 2 nữ
f/ có ít nhất 3 nam g/ An và Bình không được tham gia
Bài 2:Các đa giác sau đây có bao nhiêu đường chéo :
a.Ngũ giác lồi b.đa giác lồi 12 cạnh c.đa giác lồi n cạnh
Bài 3: trong mặt phẳng có n điểm và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có boa nhiêu cách lập
tam giác
C.Nhị thức NewTon
: (dùng để khai triển hằng đẳng thức mũ cao)
00 111 222 333 0
0
( )
n
nn n n n knkk nn knkk
nn n n n n n
k
ab Cab Cab Ca b Cab Ca b Cab Ca b
−− − − −
=
+= + + + ++ ++ =

∑
k

chú ý cần nhớ :
số mũ của a : giảm từ n xuống 0
số mũ của b : tăng từ 0 đến n
0 n
nn
CC−−>
Mũ a giảm thì mũ b tăng
Số hạng thứ k + 1 :
1
.
knk k
kn
TCab
−
+
=
Số hạng tổng quát ;
0
() .
n
nknk
n
k
ab Ca b
−
=
+=

∑
Công thức cần biết :
1
1
2
1
;;;;.
n
m
nn mnm
n
mn
n
n
x
x x xx xxxx x
x
−+
==== =

Chú ý: ( quan trọng )
0123
0123
2
( 1) 0
nn
nnnn n
nn
nnnn n
CCCC C

CCCC C
+++++ =
−+−++− =
Bài tập :
1/Khai triển :
6
()
x
y+ , ,
5
(4)x +
6
(2)
x
y−
2/Cho khai triển
212
()xx
−
+
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT
Đt : 0919.008.716 Email :
3
b.tìm hệ số của số hạng chứa a.tìm số hạng thứ 3,5,8
3
x

c.tìm số hạng không chứa x
12
1

3/Tìm số hạng không chứ x trong khai triển :
()
x
x
+
4/Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển của các tổng sau
()
7
3
16 3+
()
9
3
32+
10
5
1
5
3
⎜
⎜
⎝
⎛⎞
⎟
⎜
+
⎟
⎟
⎟
⎠

10
5
2
2
3
⎛⎞
⎟
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠

5/Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của các tổng sau

()
21
12x+
11
12x
23
⎛⎞
⎟
⎜
+
⎟

⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠

(
)
100
10,5x+
.
MR :
n
nn
c/
6/ C
1
) 2
on
nn n
aC C C+++ =

nn n
011
)9 9 9 10
on
bC C C+++ =
(
)
1

1 0
n
on
n
CC C
n n
−
++− =

7 iết tổng các hệ số trong khai tr/ Cho khai triển b iển
(
)
2
1
n
x
+
bằng 1024 .Tìm n
8/ Chứng minh
01 2
2
11 1
5 6
55 5
nnn
nn n n
n
CC C C
⎛⎞
++ ++ =

⎜⎟
⎝⎠
(1)
HD :
(
)
11 2 2
15 5 5 6
no n n n n
nnnn
CCCC
−−
⇔
++ ++=

(
)
01
1
n
n
1 1

nn n
n n
n
n
x
Cx Cx C x C
−−

+
=+ +++

Chọn x=5
11 2
55 5
no n n n
nnnn
CC C
−−2
6
n
C
+
+++=

9/ Chứng minh
b)
2004 0 2003 1 2003 2004 2004
2004 2004 2004 2004
20 0 2003 1 1 2003 2003 2004 2004 2004
2004 2004 2004 2004
)3 3 3 4
)3 3 .4 3.4 4 7
aC C CC
bC C C C
++++=
++++=

a)

(
.Chọn x=3
)
2004
1 x+

(
)
2004
ab+
04
.Chọn a=3,b=4

XÁC SUẤT PHẦN 2:
A.Phép thử, không gian mẫu, biến cố :
1.Phép thử : là thử 1 cách ngẫu nhiên, không biết trước kết quả mà chỉ biết tập hết quả.
VD: gieo 1 con súc sắc có 6 mặt là 1 phép thử, ta không biết trước sẽ ra mắt nào nhưng biết chắc
hắn s
í hiệu là
c ố nút gieo được từ 1 Æ6
2.Không gian mẫu : tập các kết quả cúa phép thử, k
Ω

{
}
1, 2, 3, 4, 5, 6Ω= VD: gieo 1 con súc sắc 6 có 6 mặt thì không gian mẫu là :
3.Biến cố : là tập con của không gian mẫu
{
}
2, 4,6A =∈ VD: gieo 1 con súc sắc 6 có 6 mặt. Gọi biến cố A:”xuất hiện mặt chẵn” thì Ω

t 2 lần
b.Xác
thứ 2 mới xuất hiện mặt sấp”
ẫu
b.xác đ
Bài tập tương tự:
1/Gieo 1 đồng tiền cân đối đồng chấ
a.Xác định không gian mẫu
định các biến cố sau :
A:”kết quả 2 lần gieo như nhau”
B:”có ít nhất 1 lần x.hiện mặt sấp”
C:”lần gieo
2/Gieo 1 đồng tiền 3 lần
a.xác định không gian m
ịnh các biến cố :
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT
Đt : 0919.008.716 Email :
4
ảy ra ít nhất 1 lần”
A:”lần đầu xuất hiện mặt sấp”
B:”mặt sấp xảy ra đúng 1 lần”
C:”mặt ngửa x
B.Xác suất của biến cố
:
Biến cố hợp : AB∪ hay AB
+
, Biến c giao : AB hay
.
A
B

ố
∩
Biến cố bù :
A
l , kí hiệu à phần bù của A A \A=Ω
{
}
3,5A = VD: cho không gian mẫu
{
}
1, 2, 3, 4, 5, 6Ω=
, biến cố A là :
{
}
1, 2,4,A =
thì
6
Hai biến cố A và B được g khắc khi ABọi là xung
∩
=∅
()
()
()
A
nA
PA
n
==
Ω
Ω

Xác suất của biến cố A : , với ,()AnA là số phần tử trong A;
,( )nΩΩ là số phần tử trong Ω
VD: gieo 1 con súc sắc vô tư ta được không gian mẫu là :
{
}
1, 2,3Ω= , 4,5,6 .tính xác suất để
a/ biến cố A là số lẻ b/ biến cố B là 1 số lớn hơn 4
a/ Ta có
được :
Giải:
{
}
1, 3, 5A = nên
31
()
62
PA==

21
()
63
PB ==
b/ Ta có
{
}
5, 6B = nên
Bài tập tương tự :
1/Trong 1 bình đựng 6 viên bi giống nhau trong đó có 4 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi.
cân đối và đồng chất 2 lần
ơn 10”

ấm xuất hiện ít nhất 1 lần”
?
Tính xác suất để được 2 bi xanh
2/Gieo ngẫu nhiên 1 con súc sắc
a.Mô tả không gian mẫu
b.xác định các biến cố sau :
A:” Tổng số chấm 2 lần gieo không bé h
B:” mặt 5 ch
c.tính P(A), P(B)
C.Tính chất xác suất :

1 lý 1: a).Định Với mọi xác suất ta đều có :
10()PA
≤
≤
b)
() 0;()1PP∅= Ω=
c) u 2 biến cố A và B xung kh
()()
nế ắc thì
)(
P
AB PA∪= +PB

() () 1PA PA+=

2.Định lý 2
:
A
là biến cố bù của A, tức là \

A
A=Ω thì ta luôn có
3.Công thức công xác suất : với 2 biến cố A và B bất kì ta luôn có :
hi A,B xung khắc thì suy ra
() ()()A B PB PA B∪ − ∩

()P PA= +
K
AB∩=∅
() 0P
∅
=
nên trở về định lý 1

ỢP CÁC ĐỀ THI ĐH
iên :
m 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5
Bài 2:
PHẦN 3: TỔNG H
Bài 1: Có thể lập bao nhiêu số tự nh
a/ gồm 6 chữ số đôi một khác nhau
b/ số lẻ gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
c/ số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
d/ số gồ

GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT
Đt : 0919.008.716 Email :
5
.
n

ó có ít nhất 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
ữ GVCN muốn chọn 4 em vào ban trật tự.
Hỏi có

n ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.

uả sâu?
)
Một lớp 40 học sinh trong đó có 25 nam và 15 nữ. Thầy chọn
i có bao nhiêu cách :
bình hành được tạo nên ?

ông hồng trắng và 4 bông
bao nhiêu cách chọn bó bông nếu chỉ có đúng 1 bông hồng

5 nam và 3 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn một tổ công tác
ện, trong mỗi trường hợp sau:
Tổ phải
Giải các pt , bpt sau :

4
a)Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ các
chữ số đã cho
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số đôi 1 khác nhau, đôi một trong đó chữ số đầu tiê
là chữ số lẻ.
c) Có 2 giáo viên toán và 10 giáo viên sử. Hỏi có bao nhiêu cách lặp một ban công tác
gồm 8 người mà trong đó phải có ít nhất 1 giáo viên toán.
d) Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô giáo muốn chọn ra 1
tốp ca gồm 5 em, trong đ
e) Một toán học sinh gồm 4 trai, 3 gái. Chọn ra 3 em trong đó có ít nhất 1 trai, 1 gái. Hỏi

có bao nhiêu cách chọn.
f) Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 n
bao nhiêu cách chọn nếu phải có ít nhất 1 nam.
g) Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết 9?
h) Có 9 viên bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu
cách lấy ra 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ?
k) Có 9 viên bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu
cách chọ
l) Có 5 học sinh được xếp vào một bàn tròn. Tính số cách xắp xếp 5 học sinh đó vào bàn
tròn đó.
m) Có 40 quả táo, trong đó có 5 quả bị sâu. Có bao nhiêu cách chọn 5 quả táo mà trong
đó có ít nhất một q
n) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho hai bạn A, E
ngồi ở 2 đầu ghế.

Bài 3:
( ĐH Đà Nẵng – 1997 ) Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Cần lấy 1 nhóm 5 người trong đó có
2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Bài 4: ( ĐH Thái Nguyên – 1997
ra 3 học sinh đi tham gia tố chức lễ khai giảng. Hỏ
a/ Chọn ra 3 học sinh trong lớp
b/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có 1 nam và 2 nữa
c/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam
Bài 5: ( ĐH Dân Lập Đông Đô – 1999 ) Trong một mp cho 9 đường thẳng song song cắt 10
đường thẳng song song khác thì có bao nhiêu hình
Bài 6:
( ĐH Quốc gia TP.HCM – 2000 ) Từ 5 bông hồng vàng, 3 b
hồng đỏ người ta muốn chọn ra 1 bó gồm 7 bông
1/ Có
2/ Có bao nhiêu cách chọn bó bông trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng

đỏ ?
Bài 7: : Từ 1 tập thể 8 người gồm
gồm 4 người thoả điều ki
1 . Không có điều kiện gì thêm.
2. Tổ chỉ gồm 4 nam
3. gồm 2 nam và 2 nữ.
Bài 8:
1/ 2/
3
20
n
An=
5
2
18
nn
AA
−
= 3/
5
n
P
−

22
2
250
nn
AA+=
4/

PA 5/
32n
nn
AC
−
+ 6/
5
3
720 .
nn+
= 14n=
45 6
CC C
111
nn n
−=

GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT
Đt : 0919.008.716 Email :
6
8/7/
2
914n n=−
45 6
1
3
nn n
C C
123
66

nn n
CCC++ C
+
+= ( Tốt Nghiệp THPT – 2007 )
9/
32
521
xx
A
A+≤x
11/ 10/
C

64
nn
C<

22 3
2
16
10
2
xx x
AA C
x
−
≤+

12/
21

1
14
xx
AC
−
−= 13/
32
3C49
xx
Ax
+
= 14/
Tìm số nguyên dươ ho
012 0
3 3 3 1024
n
nn n n
CC C C++ ++ =
2
15/ ng n sao c
16/
Bà hạng không c g khai triển : i 9: tìm số hứa x tron
12
1
18
3
3
1
10
3

2
1
2x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
1/
x
x
+
⎜⎟
⎝⎠
2/
⎛⎞
x +
⎜
⎝⎠
x
⎛⎞
⎟
3/
Bài 10: Cho các số: 1,2,4,6,8,9
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm t 3 chữ số khác nhau đôi mộ
đi lao động.
ốt. Lấy
óng tốt
số từ 1 đến 4. Rút ngẫn nhiên 3 tấm.
u trắng, 4 quả câu đen, lấ ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác suất

c sắc thứ nhất “
đối. tính xác suất để :
Bài 11: rút gọn biểu thức sau :
0123 7
7777 7
SC C C C C=+++++
Bài 12: ( ĐH GTVT – 99 ) Gieo đồng thời 3 đồng xu đối xứng và đồng chất. Tính xác suất để ít
nhất 1 mặt sấp xuất hiện
Bài 13: ( ĐH Đà Nẵng -97 ) Một tổ sinh viên có 6 nam và 5 nữ. Chọn ra 4 sinh viên
Tính xác suất sao cho:
1/ Trong đó có 1 nữ 2/ Có không quá 3 nữ
Bài 14: ( Cao Đẳng Hải Quan – 98 ) Một hộp chứa 12 bóng đèn trong đó có 7 bóng t
ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để được :
a/ 3 bóng tốt b/ ít nhất 2 b
Bài 15: Có 4 tấm bìa được đánh
a) Mô tả không gian mẫu
b) Xác định các biến cố sau :
A:” Tổng các số trên 3 tấm bìa = 8 “
B: “ Các số trên 3 tấm bìa là các số tự nhiên liên tiếp “
c) Tính P(A) ; P(B) ?
Bài 16: Một hộp có 6 quả cầ
cho :
a) Bốn quả lấy ra cùng màu
b) Có ít nhất một quả màu trắng
Bài 17: Gieo Đồng thời hai con súc sắc
a) Mô tả không gian mẫu
b) Xác định các biến cố sau và tính xác suất của chúng :
A:” số nút trên 2 súc sắc là như nhau “
B:” Mặt 5 chấm xuất hiện ở sú
C:”Tổng số chấm bé hơn 10”

D:”Tích số chấm là số lẻ”
E:”Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm”
Bài 18: Gieo 3 đồng xu cân
a) Cả 3 đồng xu đều sấp
b) Có ít nhất 1 đồng xu sấp
c) Có đ1ung 1 đồng xu sấp
Bài 17: Một câu lạc bộ có 25 thành viên.
a) Có bao nhiêu cách chọn 4 thành viên vào Ủy ban Thường trực ? (ĐS: 12650)
b) Có bao nhiêu cách chọn Chủ Tịch, Phó Chủ tịch và thủ quỹ ? (ĐS:13800)
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT
Đt : 0919.008.716 Email :
7
ứ diện ? ( ĐS :126)
nhiên gồm 4 chữ số sao
t khác nhau b) Số lẻ đôi một khác nhau
triển
Bài 18: Trong không gian cho 9 điểm trong đó không điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập bao
nhiêu t
Bài 19: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự
cho :
a) Đôi mộ
c) Số chẵn đôi một khác nhau c) chia hết cho 5
Bài 20:
10
2
1
2x
a) Trong khai
x
⎛⎞

−
⎜⎟
. Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x

⎝⎠
b) Tìm hệ số
25 10
x
y khai triển
3
() trong
15
x
xy+
c) Biết hệ số của trong khai triển
(1 3 ) là 95. Tìm n
n
2
x
x
−
d) Từ khai triển
214
(1 )
x
+ .Tìm t ng các hệ số của khai triểổ n
c
2

3
1
n
x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
, biết rằng e) Tìm số hạng không chứa trong khai triển nhị thứ
f) Tìm hệ số của
trong khai triển của
trong khai triển nhị thức Niutơn của g) Tìm hệ số của
biết rằng
Bài 21: Chọn ngẫu nhiên 1 số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất để :
a) Số được chọn là số nguyên tố b) Số được chọn chia hết cho 3
Bài 22: Một túi xách có 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất
4 và P(AB)=0,2. Hỏi 2 biến cố A và B có :
a) Xung khắc nhau không b) Độc lập vơi nhau không ?
ài 24: Giải hệ phư ng trình:
để trong 4 quả cầu đó có cả màu đỏ và màu xanh ( ĐS : 97/105)
Bài 23: Cho P(A)=0,3;P(B)=0,
B ơ


Bài 25: Một tổ trực gồm 9 nam sinh và 5 nữ sinh. Giáo viên muốn chọn 4 học sinh trực thư viện.
ếu:
ữa sinh được chọn
trong đó 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
ời đó.

Có bao nhiêu cách chọn như thế n
a/ Chọn học sinh nào cũng được
b/ Có đúng 1 nữ sinh được chọn
c/ Có nhiều nhất 3 nữ sinh được chọn
d/ Có ít nhất 1 n
Bài 26: Một đội văn nghệ có 20 người,
người sao cho.
1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 ngư
123
7
Bài 27: ( Cao Đẳng Hải Quan – 2000 ) Giải pt :
2
x
CC x++

x x
C=
hết :
chia hết cho 100 2/
Bài 28: Chứng minh sự chia
chia hết cho 3 1/
10
11 1−
2.7 1
n
+
Bài 29: Chứng minh rằng:
a)

b) C
n
k
+ 2C
n
k-1
+ C
n
k-2
= C
n+2
k
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT
Đt : 0919.008.716 Email :
8
3C
n
k-1
+ 3C
n
k-2
+ C
n
k-3
= C
n+3
k
d) C
n
học sinh nữ nào là bao nhiu

ng
ấy ngẫu nhiên cùng lúc 3
để có ít nhất một bóng tốt
Bài 32: cho T = (1+x) + (1+x)
10
+ ố x
9
ÀI TẬP (CÓ ĐA)

hau. Hỏi có bao nhiêu cách.
4,
i và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia
a
êu cầu trên.
ội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có các đỉnh là 3
ọc sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối


4 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng
c)C
n
k
+
k
+ 4C
n
k-1
+ 6C
n
k-2

+ 4C
n
k-3
+ C
n
k-4
= C
n+4
k
Bài 30:
a)Một lớp có 45 học sinh trong đó có 25 nữ, giáo viên kiểm tra bài cũ 2 học sinh. Xác
suất để không có
b) Gieo đồng thời 2 con súc sắc. Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc
hơn kém nhau 2
c) Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 21.Xác suất để số được chọn chia hết
cho 5 là bao nhiu ?
d) Một hộp bóng đèn có 10 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 bó
đèn. Tính xác suất để lấy ra cả 3 bóng đều tốt.
Bài 31: Một hộp bóng đèn có 10 bóng đèn trong đó có 6 bóng tốt. L
bóng đèn. Tính xác suất
9
(1+x)
11
+ (1+x)
12
,tìm hệ s
2

Bài 33: Cho khai triển:
()

()
14
14
2
210
2
10
121 xaxaxaaxxx ++++=+++ . Hãy tìm giá trị của
6
a .

B
Bài 1. Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế có 7 chỗ ngồi sao cho 3 nam ngồi kề nhau và 2 nữ
ngồi kề n
Bài 2. Xét đa giác đều có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh. Tính số cạnh của đa giác
đều đó.
Bài 3. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3,
5 sao cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau.
Bài 4. Tính số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5
sao cho trong mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc 2.
Bài 5. Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề
nhau, nhóm thứ hai có 3 ngườ
thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền củ
mỗi người thỏa y
Bài 6. Từ 4 chữ số 0, 1, 2, 3 lập thành các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt. Tính tổng các số
được thành lập.
Bài 7. Tính số hình chữ nhật được tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giác đều có 20 cạnh nội
tiếp đường tròn tâm O.
Bài 8. Cho đa giác đều có 2n cạnh n
trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của

đa giác. Tính số hình chữ nhật.
Bài 9. Đội tuyển h
11 và 5 em khối 10. Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1
em được chọn.
Bài 10. Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác nhau. Tính số tập hợp con khác rỗng chứa một số
chẵn các phần tử của X.
Bài 11. Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách
chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu.
Bài 12. Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 1
trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số
điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT
Đt : 0919.008.716 Email :
9
c chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.
ợc
30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh
ọc sinh khối
ổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp
trong 3 lớp trên.
, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập thành số tự nhiên chẵn có 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn
ét 3 loại m 1 ghế có 3 chỗ, 1 ghế có 2 chỗ và 2 ghế có 1 chỗ ngồi.
ọn 2 trong 4 vị trí để sắp ghế 2 và 3 chỗ
chỗ có 3! = 6 cách.
ắp
Bài 2. Chọn 2 trong n đỉnh của đa giác ta lập được 1 cạnh hoặc đường chéo.
và đường chéo là . Suy ra số đư héo là
Bài 13. Tính số các số tự nhiên gồm 7 chữ số được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho chữ số 2 có mặt
đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và cá
Bài 14. Tính số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt và một trong 3 chữ số đầu tiên là 1 đư

thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Bài 15. Từ một nhóm
khối C chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C.
Tính số cách chọn.
Bài 16. Từ một nhóm 12 học sinh gồm 4 học sinh khối A, 4 học sinh khối B và 4 h
C chọn ra 5 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. Tính số cách chọn.
Bài 17. Tính số tập hợp con của X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa 1 mà không chứa 0.
Bài 18. Đội thanh niên xung kích của một trường ph
A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Tính số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho
4 học sinh này thuộc không quá 2
Bài 19. Từ các chữ số 0
25000. Tính số các số lập được.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.
X ghế gồ
+ Bước 1: do 2 ghế có 1 chỗ không phân biệt nên ch
ngồi có
2
4
A12= cách.
+ Bước 2: sắp 3 nam vào ghế 3
+ Bước 3: sắp 2 nữ vào ghế 2 chỗ có 2! = 2 cách.
Vậy có 12.6.2 = 144 cách s .
Số cạnh ờng c
2
n
C
2
n
Cn− .

Ta có:
2
n
C n 2n−= ⇔
n!
n 2n−=
. =>Vậy có 7 cạnh.
5 vị trí có 5! = 120 cách.
có 2 hoán vị chữ số 3 và 4.
ào 4 vị trí còn lại có 4! = 24 cách.
chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4.
ó 24.2 = 48 số.
h. Sắp 4 chữ số 0, 3, 4, 5 vào 4 vị trí có 4! =
.
đã có chữ số 0).
vị trí có
0 cách. Sắp 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 vị trí có 3! = 6
có 60 – 6 = 54 số.
2!(n 2)!−

n(n 1) 6n n⇔−=⇔=7
Bài 3. Xét số có 5 chữ số gồm 0, 1, 2, 5 và chữ số “kép” là (3, 4).
+ Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn có thể là 0.
- Bước 1: sắp 5 chữ số vào
- Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép
Suy ra có 120.2 = 240 số.
+ Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn là 0.
- Bước 1: sắp 4 chữ số v
- Bước 2: với mỗi cách sắp
Suy ra c

Vậy có 240 – 48 = 192 số.
Bài 4.
+ Loại 1: chữ số a
1
có thể là 0.
Sắp 4 trong 6 chữ số vào 4 vị trí có
4
6
A 360= các
24 cách. Suy ra có 360 – 24 = 336 số
+ Loại 2: chữ số a
1
là 0 (vị trí a
1
Sắp 3 trong 5 chữ số vào 3
3
5
A6=
cách. Suy ra
Vậy có 336 – 54 = 282 số.
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT
Đt : 0919.008.716 Email :
10
chữ số khác 0 sắp vào a
1
có 5 cách.
0 cách.
có 1 và 2).
3 chữ số khác 0 sắp vào a
1

có 3 cách.
lại vào 3 vị trí 3! = 6 cách.
vị trí 2 nền và 1 vị trí 3 nền.

i cho 3 nền có 3 cách và mỗi cách có 3! = 6
n nền cho mỗi người. Suy ra có 3.6 = 18 cách chọn nền.
6.
số hàng trăm có thể là 0.
ụ 012 + 321 = 333.
ra tổng
chữ số hàng trăm là 0.
í dụ 032 + 012 = 44.
ác số B là 3.44 = 132.
ệt và chữ số hàng trăm có thể là 0.
răm, hàng chục và đơn vị là như
nhau và bằng 24 : 4 = 6 lần.
a 24 số là:

ố A là
phân biệt và chữ số hàng trăm là 0.
hục và đơn vị là như nhau
+ 2 + 3) = 12.
ua đỉnh của đa giác đều thì d chia đa giác thành 2
i phần c a số đường chéo của đa giác đi qua tâm O là 10. Chọn 2 trong
ậ
Cách khác:
+ Loại 1: Số tự nhiên có 4 chữ số tùy ý.
- Bước 1: Chọn 1 trong 5
- Bước 2: Chọn 3 trong 5 chữ số khác a
1

sắp vào 3 vị trí còn lại có A
3
5
6=
Suy ra có 5.60 = 300 số.
+ Loại 2: Số tự nhiên có 4 chữ số gồm 0, 3, 4, 5 (không
- Bước 1: Chọn 1 trong
- Bước 2: Sắp 3 chữ số còn
Suy ra có 3.6 = 18 số.
Vậy có 300 – 18 = 282 số.
Bài 5. Xem lô đất có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 nền, 1
+ Bước 1: nhóm thứ nhất chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách có 2! = 2 cách chọn nền
cho mỗi người. Suy ra có 4.2 = 8 cách chọn nền.
+ Bước 2: nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí còn lạ
cách chọ
Vậy có 8.18 = 144 cách chọn nền cho mỗi người.
Bài
+ Xét số A có 3 chữ số phân biệt và chữ
Từ
3
4
A24= số A ta lập được 12 cặp số có tổng là 333. Ví d
Suy các số A là 12.333 = 3996.
+ Xét số B có 3 chữ số phân biệt và
Từ
2
3
A6= số B ta lập được 3 cặp số có tổng là 44. V
Suy ra tổng c
Vậy tổng các số thỏa yêu cầu là 3996 – 132 = 3864.

Cách khác:
+ Xét số A có 3 chữ số phân bi
- Số các số A là
3
4
A24= số. Số lần các chữ số có mặt ở hàng t
- Tổng các chữ số hàng trăm (hàng chục, đơn vị) củ
6.(0 + 1 + 2 + 3) = 36.
Suy ra tổng các s 36.(100 + 10 + 1) = 3996.
+ Xét số B có 3 chữ số
- Số các số B là
2
3
A6= số. Số lần các chữ số 1, 2, 3 có mặt ở hàng c
và bằng 6 : 3 = 2 lần.
- Tổng các chữ số hàng chục (đơn vị) của 6 số là 2.(1
Suy ra tổng các số B là 12.(10 + 1) = 132.
Vậy tổng các số thỏa yêu cầu là 3996 – 132 = 3864.
Bài 7. Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có 2 đường chéo là đường kính của đường
tròn. Vẽ đường thẳng d qua tâm O và không q
phần, mỗ ó 10 đỉnh. Suy r
10 đường chéo thì lập được 1 hình chữ nh t.
Vậy có
2
5= hình chữ nhật.
10
C4
Bài 8. + Lý luận tương tự câu 65 ta có
2
n

C hình chữ nhật.
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT
Đt : 0919.008.716 Email :
11
nh từ 3 trong 2n đỉnh của đa giác là .
+ Từ giả thiết ta có:
3
2n
C
+ Số tam giác tạo thà
(
)
(
)
32
2n n
(2n)! n !
C20C 20
3! 2n 3 ! 2! n 2 !
=⇔ =
−−


2n(2n 1)(2n 2) n(n 1)
20 n 8
62
−− −
⇔=

⇔=

.

cách.
ọn!
tính lặp lại.
ó c
cách.
cách chọ .
5
5
hợp con chứa 10 phần tử của X là 1.
p.
h.
bi vàng có ách.
ng có cách.
ờng hợp sau:
vàng có 240 cách.
Vậy có
2
C28= hình
8
chữ nhật.
Bài 9. Cách giải sai:
+ Chọn tùy ý 6 em trong đội có
6
C 18564= cách.
18
+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 11 có cách.
6
13

C 1716=
+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 10 có cách.
6
12
C 924=
+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 11 hoặc k
716 – 924 – 462 = 15462 cách ch
hối 10 có
C
6
11
462=
Vậy có 18564 – 1
Sai ở chỗ lớp 12 và lớp 11 ta đã
Cách giải đúng:
+ Chọn tùy ý 6 em trong đội có
6
C 18564= cách.
18
+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 11 c ách.
6
13
C 1716=
+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 và khối 10 có cách.
66
7
C C 917−=
12
em trong đội thuộc khối 11 và khối 10 có
6

C
+ Chọn 6
6
11 6
C 461−=
Vậy có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15454 n
Bài 10.
+ Số tập hợp con chứa 2 phần tử của X là
2
10
C4= .
+ Số tập hợp con chứa 4 phần tử của X là .
4
10
C 210=
+ Số tập hợp con chứa 6 phần tử của X là .
6
C 210=
10
8
+ Số tập hợp con chứa 8 phần tử của X là
10
C= 4.
+ Số tập
Vậy có 45 + 210 + 210 + 45 + 1 = 511 tập hợ
Bài 11.
+ Trường hợp 1: chọn 4 bi đỏ hoặc trắng có
4
9
C 126= các

+ Trường hợp 2: chọn 4 bi đỏ và vàng hoặc 4
209 c
44
10 4
C C−=

()
444
11 5 6
C C C 310−+=
+ Trường hợp 3: chọn 4 bi trắng và và
Vậy có 126 + 209 + 310 = 645 cách.
Cách khác:
+ Loại 1: chọn tùy ý 4 trong 15 viên bi có
15
C 136=
4
5 cách.
+ Loại 2: chọn đủ cả 3 màu có 720 cách gồm các trư
- Chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng và 1 bi vàng có 180 cách.
- Chọn 1 bi đỏ, 2 bi trắng và 1 bi
- Chọn 1 bi đỏ, 1 bi trắng và 2 bi vàng có 300 cách.
Vậy có 1365 – 720 = 645 cách.
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT
Đt : 0919.008.716 Email :
12
u
ểm của 2 đội trong 1 trận hòa là 2 nên tổng số điểm của 23 trận hòa là 2.23 = 46.
g số điểm của 68 trận không hòa là
3.68 = 204.

Bài 12. + Do thi đấu vòng tròn 1 lượt nên 2 đội bất kỳ chỉ đấu với nhau đúng 1 trận. Số trận đấ
của giải là
2
14
C91= .
+ Tổng số đi
+ Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận không hòa là 3 nên tổn
46 204 250+
Vậy số điểm trung bình của 1 trận là
91 91
=
điểm.
Bài 13. Xem số có 7 chữ số như 7 vị trí thẳng hàng.
+ Bước 1: chọn 2 trong 7 vị trí để sắp 2 chữ số 2 (không hoán vị) có
2
7
C21= cách.
trí còn lại để sắp 3 chữ số 3 (không hoán vị) có
0 cách.
: chọn 2 trong 3 chữ số 1, 4, 5 để sắp vào 2 vị trí còn lại (có hoán vị) có cách.
đầu để sắp chữ số 1 có 3 cách.
chữ số (trừ chữ số 1) để sắp vào các vị trí còn lại có cách.
2 vị trí thứ 2 và 3 để sắp chữ số 1 có 2 cách.
(trừ 0 và 1) để sắp vào các vị trí còn lại có
0 cách. Suy
0 = 240 số.
ọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B và khối A không thỏa yêu cầu.
hợp 2: Chọn 2 học sinh khối C, 9 học ối B và 4 học sinh khối A có
lại mỗi ó 1 học sinh.
a chọn 3 học sinh có cách.

có 1 họ
ta chọn 2 học sinh có cách.
i còn lại có 4 cách chọn. Suy ra có 3.6.6.4 = 432 cách.
h.
+ Bước 2: chọn 3 trong 5 vị
3
5
C1=
+ Bước 3
2
3
A6=
Vậy có 21.10.6 = 1260 số.
Bài 14.
+ Loại 1: chữ số a
1
có thể là 0.
- Bước 1: chọn 1 trong 3 vị trí
- Bước 2: chọn 4 trong 7
4
7
A 840=
Suy ra có 3.840 = 2520 số.
+ Loại 2: chữ số a
1
là 0.
- Bước 1: chọn 1 trong
- Bước 2: chọn 3 trong 6 chữ số
3
6

A12=
ra có 2.12
Vậy có 2520 – 240 = 2280 số.
Bài 15.
+ Loại 1: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B hoặc khối A có
213
525
CC cách.
+ Loại 2: Ch
- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối C, 10 học sinh khối B và 3 học sinh khối A có
5
cách.

2103
5101
CC C
- Trường sinh kh
29 4
51015
CC C
cách.
Vậy có
()
213 103 94
C C C C C C 51861950−− = cách.
525 1015 1015
Bài 16.
+ Trường hợp 1: 1 khối có 3 học sinh và 2 khối còn khối c
- Bước 1: chọn 1 khối có 3 học sinh có 3 cách.
- Bước 2: trong khối đã chọn t

3
=
4
C4
- Bước 3: 2 khối còn lại mỗi khối có 4 cách chọn.
Suy ra có 3.4.4.4 = 192 cách.
+ Trường hợp 2: 2 khối có 2 học sinh và khối còn lại c sinh.
- Bước 1: chọn 2 khối có 2 học sinh có
2
3
C3= cách.
- Bước 2: trong 2 khối đã chọn
2
4
C6=
- Bước 3: khố
Vậy có 192 + 432 = 624 các
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT
Đt : 0919.008.716 Email :
13
cách.
học sinh khối A và B (tương tự khối A và C, B và C) có
6 cách.
nào của
}
là .
ử của
}
là .
tập hợp con của là

2. Ta hợp các tập
i {1} thì được 32 tập hợp thỏa bài toán.
g hợp 2: chọn 4 học ặc lớp C có cách.
1 cách!
ặp lại trường hợp chỉ chọn 4 học sinh lớp A và trường hợp chỉ chọn 4 học sinh

à 1 học sinh lớp C có cách.
học sinh lớp B học sinh l C có cách.
60) = 225 cách.
Cách khác:
+ Chọn 5 học sinh tùy ý có
5
12
C 792=
+ Chọn 5
5
8
C5=
Vậy có 792 – 3.56 = 624 cách.
Bài 17.
+ Số tập hợp con không chứa phần tử
{
\ 1X 0;
0
5
C
+ Số tập hợp con chứa 1 phần tử của là .
{}
X\ 0; 1
1

5
C
+ Số tập hợp con chứa 2 phần tử của là .
{}
X\ 0; 1
2
5
C
+ Số tập hợp con chứa 3 phần tử của là .
{}
X\ 0; 1
3
5
C
+ Số tập hợp con chứa 4 phần t
{
\
+ Số tập hợp con chứa 5 phần tử của
{}
X\ 0; 1 là
5
5
C .
X 0; 1
4
5
C
{}
X\ 0; 1
012345

555555
CCCCCC 3+++++=
Suy ra số
hợp con này vớ
Bài 18.
Cách giải sai:
+ Trường hợp 1: chọn 4 học sinh lớp A hoặc lớp B có cách.
4
9
C
+ Trườn sinh lớp A ho
4
8
C
+ Trường hợp 3: chọn 4 học sinh lớp B hoặc lớp C có
4
7
C cách.
Vậy có
444
7
CCC 23++=
98
Sai do ta đã tính l
lớp B.
Cách giải đúng:
+ Loại 1: chọn tùy ý 4 trong 12 học sinh có
4
12
C 495= cách.

+ Loại 2: chọn 4 học sinh có mặt cả 3 lớp, ta có 3 trường hợp sau:
- Chọn 2 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có cách.
2
5
C .4.3 120=
- Chọn 1 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B v
2
4
5.C .3 90=
- Chọn 1 học sinh lớp A, 1 và 2 ớp
2
3
5.4.C 60=
Vậy có 495 – (120 + 90 +
Bài 19. Gọi số cần lập là
12345
Aaaaaa= với
1
1a 2≤≤.
+ Trường hợp 1: a
1
= 1.
Có 4 cách chọn a
5
và
3
5
A cách chọn các chữ số còn lại nên có
3
5

4.A 240= số.
+ Trường hợp 2: a
1
= 2, a
2
lẻ.
Có 2 cách chọn a
2
, 3 cách chọn a
5
và cách chọn các chữ số còn lại nên có số.
2
4
A
2
4
2.3.A 72=
+ Trường hợp 3: a
1
= 2, a
2
chẵn.
Có 2 cách chọn a
2
, 2 cách chọn a
5
và cách chọn các chữ số còn lại nên có số.
Vậy có 240 + 72 + 48 = 360 số.

2

4
A
2
4
2.2.A 48=