Đại số tổ hợp và xác suất

I S T HP, XC SUT 1
I. Các bài toán về phép đếm, hoán vị ,Chỉnh hợp, Tổ hợp
A. Bài tập phép đếm
Bài 1 : Khối 12 có 109 học sinh giỏi ,khối 11 có 91 học sinh giỏi.Cần chọn một
học sinh giỏi đi dự hội nghị .Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Bài 2: Có 35 trờng đại học, 25 trờng cao đẳng,21 trờng trung học chuyên nghiệp khác
nhau.Biết mỗi thí sinh chỉ đợc chọn một trờng thi .Hỏi một thí sinh có bao nhiêu cách
chọn một trong các trờng trên
Bài 3 : Có bao nhiêu biển đăng kí xe máy nếu mỗi biển số chứa một dãy gồm một chữ
cái tiếp đến là một số khác 0 và cuối cùng là 4 chữ số
Bài 4 : Mỗi ngời sử dụng máy tính đều có một mật khẩu dài từ 6 đến 8 kí tự ,trong đó
mỗi kí tự là một chữ viết hoa hay một số .Hỏi có bao nhiêu mật khẩu?
Bài 5 : Một lớp học có 56 học sinh.Hỏi có bao nhiêu cách giao 4 chức danh lớp trởng
,lớp phó,bí th ,phó bí th,biết rằng ,mỗi học sinh chỉ có thể nhận một chức danh và học
sinh nào cũng có thể đảm nhận đợc chức danh trên
Bài 6 :Dãy
1 2 10
( , ,..., )x x x
trong đó kí tự x
i
chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 đợc gọi là dãy nhị
phân 10 bit
1. Có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit
2. Có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit mà trong đó có ít nhất ba kí tự 0 và ít nhất ba kí tự
1
Bài 7 :Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng
giữa thì giống nhau
Bài 8 : Có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000,4000) từ các chữ số
1,2,3,4,5,6 nếu:
1. Các chữ số của nó không nhất thiết phải khác nhau
2. Các chữ số của nó là khác nhau

Bài 9 : Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. Có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn
( chia hết cho 5) có 4 chữ số nếu:
1. Các chữ số của nó không nhất thiết phải khác nhau
2. Các chữ số của nó là khác nhau
Bài 10 : Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. Có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ
số nhỏ hơn 567 nếu:
1. Các chữ số của nó không nhất thiết phải khác nhau
2. Các chữ số của nó là khác nhau
Bài 11 : Có bao nhiêu số nguyên dơng với các chữ số phân biệt nhỏ hơn 10000
Bài 12 : Có bao nhiêu số chẵn ,lớn hơn 5000 ,có 4 chữ số khác nhau
Nguyễn Giang Nam THPT Phụ Dực
I S T HP, XC SUT 2
I. Các bài toán về phép đếm, hoán vị ,Chỉnh hợp, Tổ hợp
B. Bài tập về PT,HPT BPT có liên quan đến các số P
n
;
k
n
C
;
k
n
A
Bài 1. Giải các phơng trình sau :
1)
4 3 4
1
23 24( )
n
n n n

A A C

+
=
; 2.
1 2 3
7
2
x x x
x
C C C+ + =
; 3.
2 2
. 72 6( 2 )
x x x x
P A A P+ = +

4.
4 3 2
1 1 2
5
4
x x x
C C A

=
;
5 6 7
1 2 14
5.

x x x
C C C
=
; 6.
1 1
5 5 5
2 35
x x x
C C C

+ + =
7.
2 4
. 48
x
x x
A C

=
; 8.
2 2
2
50
x x
A A+ =
; 9.
1 2 3 2
6 6 9 14
x x x
C C C x x+ + =

10.
1
1
1
6
x x
x
P P
P

+

=
; 11.
4
3 4
1
24
23
x
x
x x
A
A C

+
=

; 12.
4 5 6

1 1 1
x x x
C C C
=
Bài 2. Giải các hệ phơng trình sau:
1.
1
1
1
2 3 0
2 0
y y
x x
y y
x x
C C
C C

+


=


=


; 2.
1 1
1

6 5 2
y y y
x x x
C C C
+
+
= =
; 3.
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =


=


4.
1 1
1
: : 6 :5 : 2
y y y
x x x
C C C

+
+
=
; 5.
1 1 1
1 1
( ) : : 10 : 2 :1
y y y y
x x x x
A yA A C


+ =
6.
1
1
: 126
720
x x y
y x y
x
A P C
P


+

+ =

=


Bài 3. Giải các bất phơng trình sau:
1.
2
5
3
60
( )!
k
n
n
P
A
n k
+
+
+


; 2.
4
4
2
143
0
4.
x
x

x
A
P
P
+
+
<
; 3.
3
1
4
3
1
1
14
x
x
x
C
P
A


+
<
4.
3 2
5 21
x x
A A x+

; 5.
2 3 2 3 3
1 4 1 1x x x
x C A C xC
+

; 6.
2 2 3
2
1 6
10
2
x x x
A A C
x
+
7.
4 3 2
1 1 2
5
0
4
x x x
C C A

<
; 8.
2 2
1
3 3 30

x x
C A
+
+ <
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức
4 3
1
3
( 1)!
n n
A A
M
n
+
+
=
+
nếu
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
.
Bài 5. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n

4). Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử
của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A. ĐS: A có 18 phần tử.

Bài 6 : Tìm k sao cho
2 1
7 7 7
2
k k k
C C C
+ +
+ =
Nguyễn Giang Nam THPT Phụ Dực
I S T HP, XC SUT 3
C. Các bài tập về phép đếm có liên quan đến hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp
Bài 1 : Có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số
1,2,3,5,7,8. Tính tổng của tất cả các số lập đợc
Bài 2 : Cho các chữ số 0,1,2,3,4,6 .Có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số từ
các chữ trên biết
1. Chữ số 1 có mặt 4 lần ,các chữ số khác có mặt đúng một lần
2. Chữ số 1 có mặt 3 lần ,chữ số 3 có mặt 2 lần ,các chữ số khác có mặt đúng một lần
Bài 3 :Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho số đứng liền sau lớn hơn số đứng
liền trớc
Bài 4 : Cho các chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
khác nhau và
1. Có chứa số 1
2. Có chứa số 1 và 6
Bài 5. Có 6 phong bì th khác nhau và 5 tem th khác nhau. Ngời ta chọn và dán 3 tem lên
ba bì th, mỗi bì th gián một tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm nh thế? ĐS: 1200 cách
Bài 6. (ĐH K D - 2004)
Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10
câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hởi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm
tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại
câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. ĐS: 56.875 cách chọn đề

kiểm tra.
Bài 7. (ĐH K B - 2005)
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho
mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. ĐS:
4 1 4 1
12 3 8 2
. 207.900C C C C =

Bài 8. (ĐH K D- 2006)
Đội thanh niên xung kích của một trờng phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học
sinh lớp T, 4 học sinh lớp L, và 3 học sinh lớp H. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ,
sao cho 4 học sinh thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh
vậy? ĐS: 225 cách
Bài 9. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn
công tác gồm 3 nguời có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao
nhiêu cách?
ĐS: 90 cách
Bài 10. Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 4 quả
cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu vừa
khác số?
ĐS: 64 cách
Nguyễn Giang Nam THPT Phụ Dực
I S T HP, XC SUT 4
Bài 11. Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 ngời, sao cho mỗi ngời
nhận đợc ít nhất 1 đồ vật. ĐS: 150 cách
Bài 12. Trong một chi đoàn có 7 nam sinh và 4 nữ sinh u tú (trong đó có một nam sinh
tên là Cờng, và một nữ sinh tên Hoa). Cần lập một ban cán sự lớp từ 11 đoàn viên đó,
gồm 6 nguời với yêu cầu có ít nhất 2 nữ ngoài ra không có mặt đồng thời cả Hoa và C-
ờng. Hỏi có bao nhiêu cách lập? ĐS: 260 cách.

Bài 13. Cho hình thập giác đều.
1. Thập giác trên có bao nhiêu đờng chéo?
2. Hỏi có thể lập đợc bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác, nhng cạnh
của tam giác không là cạnh nào của thập giác đó? ĐS: 50
tam giác
3. Hỏi có thể lập đợc bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của thập giác?
Bài 14. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5
chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số đó đứng cạnh nhau.
ĐS: 360 số
Bài 15. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Ngời ta muốn
xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trờng A và 6 học sinh trờng B vào bàn nói trên, Hỏi có bao
nhiêu cánh xếp trong mỗi trờng hợp sau:
1) Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện nhau thì khác trờng.
2) Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trờng.
ĐS: 1) 2.6!.6! 2) 12.10.8.6.4.2.6!
Bài 16 : Có 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên
thành hàng dọc nếu
1. Các học sinh đứng tuỳ ý
2. 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau
3. Các học sinh nữ đứng cạnh nhau ,học sinh nam đứng cạnh nhau
Bài 17 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau sao cho chữ số hàng trăm là
lớn nhất
Bài 18 : Có bao nhiêu số có 5 chữ số sao cho tổng các chữ số là số lẻ
Bài 19 : Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số lứn hơn 500000 và chia hết cho 9
Bài 20 : Cho tam giác ABC .Xét 4 đờng thẳng // AB ,%đờng thẳng // BC ,6 đờng
thẳng //CA. Hỏi các đờng thẳng này tạo thành bao nhiêu tam giác và bao nhiêu hình
thang( không kể hình bình hành)
Bài 21 : Có bao nhiêu cách xếp 3 học sinh nữ và 7 học sinh nam thành một hàng dọc
sao cho có 2 học sinh nam xen kẽ với 3 học sinh nữ
Bài 22 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng

3 lần
Nguyễn Giang Nam THPT Phụ Dực
I S T HP, XC SUT 5
Bài kiểm tra số 2
Bài 1 ( 4,5 điểm) : Cho 7 chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên :
1. Có 5 chữ số và chia hết cho 5
2. Có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn
3. Có 6 chữ số khác nhau trong đó có chữ số 2 và 5 đứng cạnh nhau
Bài 2 ( 1,5 điểm) Cho hai đờng thẳng song song d
1
và d
2
.Trên d
1
có 10 điểm phân biệt ,
trên d
2
có n điểm phân biệt (
2n
) .Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã
cho .Tìm n
Bài 3 : (2 điểm ) Có bao nhiêu cách xếp 5 ngời A,B,C,D,E vào 5 ghế ngồi xếp hàng
ngang sao cho :
1. C ngồi chính giữa
2. A và E ngồi ở hai đầu
Bài 4 ( 2 điểm)Số nguyên dơng n đợc viết dới dạng :

= 2 .3 .5 .7n
.Trong đó

, , ,
là các số tự nhiên
1. Số n có bao nhiêu ớc số
2. áp dụng tính số ớc số của 35280
Bài kiểm tra số 2
Bài 1 ( 4,5 điểm) : Cho 7 chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên :
1.Có 5 chữ số và chia hết cho 5
2. Có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn
3. Có 6 chữ số khác nhau trong đó có chữ số 2 và 5 đứng cạnh nhau
Bài 2 ( 1,5 điểm) Cho hai đờng thẳng song song d
1
và d
2
.Trên d
1
có 10 điểm phân biệt ,
trên d
2
có n điểm phân biệt (
2n
) .Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã
cho .Tìm n
Bài 3 : (2 điểm ) Có bao nhiêu cách xếp 5 ngời A,B,C,D,E vào 5 ghế ngồi xếp hàng
ngang sao cho :
1. C ngồi chính giữa
2. A và E ngồi ở hai đầu
Bài 4 ( 2 điểm)Số nguyên dơng n đợc viết dới dạng :

= 2 .3 .5 .7n
.Trong đó

, , ,
là các số tự nhiên
1. Số n có bao nhiêu ớc số
2. áp dụng tính số ớc số của 35280
Nguyễn Giang Nam THPT Phụ Dực