phương pháp giải đề toán đại học 2015 câu 8,9 điểm

VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2015 CÂU 8,9 ĐIỂM
Câu 9: Giải pt:
( )
( )
2
2
2 8
1 2 2
2 3
x x
x x
x x
+ −
= + + −
− +
(1)
+ĐK:
2
x
≥ −

( )
( )( ) ( )( )
(
)
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
2

2
3 2
2
2
3 2 2 4 3 2
2
2
4 3 2
2 2
2
2 4 1 2
1
4 1
2 3
2
2 2
2 3
2 2
2 4 2 5
4 2 5 3 1 3 7 0
3 13
3 1 0
2
3 7 0
1 11
7 0
2 4
x tm
x x x x
x x

x x
x
x x
x
x x x x x
x x x x x x x x x x x
x
x x
x x x x
x x x x vn
=

− + + −

⇔ = ⇔
+ +

− +
=
+ +

− +
+ +

⇔ + + = − − −
⇒ + + = − − − ⇔ − − + + + + =

+
=



− − =

⇔ ⇔


+ + + + =
   

+ + + + =

   
   


Cách 2:

( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2

2
4 1
4 2 2 1 2 3
2 3
2 2
2 2 2 2 1 2 1 2 2
2
1
x x
x x x x x
x x
x
x x x x f x f x
+ +
= ⇔ +⇔ + + = + − +
− +
+ +
⇔ + + + + = − + − + ⇔ + = −

VÕ TRỌNG TRÍ ( NGHỆ AN) Cách 3: CASIO thần chường
( )
( )
2
2
2 8
1 2 2
2 3
x x
x x
x x

+ −
= + + −
− +

Đặt:
2
2 0 2
t x x t
= + ≥
⇒
= −

Thay vào pt Bộ cho ta có:
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )
2
2 2
2 2 4 3 2
2
2 2
2
4 3 2
2 2 2 8

2 1 2 2 3 3 5 0
2 2 2 3
2 2
3 13
3 0
2
3 5 0
t t
t t t t t t t t t
t t
t x
t t x
f t t t t t
− + − −
= − + − ⇔ − − − + − − + =
− − − +
= ⇒ =


+

⇔ − − = ⇒ =


= + − − + =



Ta chứng minh với
0

t
≥
, pt
(
)
4 3 2
3 5 0
f t t t t t
= + − − + =
vô nghiệm.
Ta có:
( )
( )
3 2
1
' 4 3 6 1 0
7 33
0
8
t
f t t t t
t loai
=


= + − − = ⇔
− ±

= <




Vậy ta có bảng biến thiên, hàm số f(t) có cực tiểu tại t=1,
(
)
(
)
1 3 0
f t f
≥ = >
hay pt vô nghiệm
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, Kẻ AH vg với BC. Lấy D đx với B qua H. Kẻ CK vg với AD. Cho H(-5;-
5), K(9;-3), trung điểm M của AC thuộc đt: x-y+10=0. Tìm A?
VÕ TRỌNG TRÍ ( NGHỆ AN)
Dễ thấy MK=MH, gọi
(
)
, 10
M m m +
, ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
9 13 5 15
0 0;10
MK MH m m m m
m M
= ⇔ − + + = + + +
⇔ = ⇒

Ta chứng minh MH vg với VK.
(
)
5; 15
MH = − −

, pt MH:
(
)
3 10 0 3 10 0
x y x y
− − = ⇔ − + =

pt AK:
(
)
(
)
9 3 3 0 3 0
x y x y
− + + = ⇔ + =
.
Tọa độ L:
( )
3 10 0
3;1
3 0
x y
L
x y

− + =

⇒ −

+ =


Do MH song song với CK ( vì cùng vg với AK), M là trung điểm AC, nên L là trung điểm AK. Vậy
(
)
15;5
A −

VÕ TRỌNG TRÍ ( NGHỆ AN)Chứng minh MH vg với DA. Theo
nhiều cách: (PP tọa độ )
Gắn tọa độ mới X’O’Y’ với O’ trùng H, HB trục O’x’, HA trục
O’y’. Ta giả sử
(
)
(
)
(
)
;0 ;0 , 0;
B b D b A a
⇒ −

Pt đt AC: qua A vg với
(
)

;
AB b a
= −

:
(
)
(
)
2
' 0 ' 0 ' ' 0
b x a y a bx ay a
− − − = ⇔ − + =

Suy ra C là giao của đt AC với “trục hoành” HB:
2 2
;0 ;
2 2
a a a
C M
b b
   
− ⇒ −
   
   

Ta có:
( )
2
; , ;

2 2
a a
MH AD b a
b
 
= − = − −
 
 
 
, Ta thấy ngay:
2 2
. . 0
2 2
a a
MH AD b MH AD
b
= − + = ⇒ ⊥
 



L
M:x
-
y
+10=0
K
(9;-3)
D
H

(-5;-5)
C
A
B
L
M:x
-
y
+10=0
K
(9;-3)
D
H
(-5;-5)
C
A
B

VÕ TRỌNG TRÍ ( NGHỆ AN)Cách 2: Lấy T là điểm đx
của C qua H. Ta có CD =TB.
MH //AT. Ta cần chứng minh tam giác ADT vuông tại
A.
Xét hai tam giác ACD và ATB có: AT=AC ( vì tam giác
ACT cân tại A).
AD=AB ( vì tam giác ABD cân tại A)
TB=DC ( hiển nhiên theo tc đối xứng )
Vậy


ACD ATB CAD TAB

∆ = ∆ ⇒ =
, mà




0 0
90 90
CAT TAB CAT CAD TA AD HM AD
+ = ⇒ + = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

VÕ TRỌNG TRÍ ( NGHỆ AN)Cách 3: Chứng minh vg mà ko dùng véc tơ là Dại.
Đặt:
, ,
b AB c AC
= =
   
AH mb nc
= +
  

1 1
2 2
MH AH AM mb nc c mb n c
 
= − = + − = + −
 
 
       

(
)
2 1 2
AD AH HD mb nc BH mb nc BA AH m b nc
= + = + + = + + + = − +
           

Ta cần c/m
( )
2 2
1
. 0 2 1 2 0
2
MH AD m m b n n c
 
= ⇔ − + − =
 
 
 
(*)
Do A,B,H thẳng hàng nên:
1
m n
+ =
và do
(
)
(
)
2 2

. 0 0 0
AH BC mb nc b c mb nc
= ⇔ + − = ⇔ − =
     

Từ:
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
1 1
1
0
c
m n m n
m
m n
b c
m c m c
mb nc
b
n
n b m n b c
b c

+ = + =
 

=

+ =

  
+
⇔ ⇒ ⇒
   
− =
= =

  
=
+ +
 

+


Thay vào (*) thấy đẳng thức đúng.
T
L
M:
K
(9;-3)
D
H
(-5;-5)
C
A

B
L
M:x
-
y
+10=0
K
(9;-3)
D
H
(-5;-5)
C
A
B