SKKN một số phương pháp giải phương trình bậc cao trong chương trình toán THCS và các bài tập minh họa

Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
A - đặt vấn đề
1. Lời nói đầu:
Toán học là một môn khoa học có từ lâu đời, có ứng dụng hầu hết trong các
lĩnh vực của cuộc sống, từ xa xa con ngời đã biết đến toán học thông qua việc đo
đạc, tính toán
Môn toán là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên khác.
Trong nhà trờng, môn toán giữ một vai trò quan trọng, bởi môn toán có tính
trừu tợng cao, tính logic, chính xác và không bỏ tính thực nghiệm. Vì vậy, làm
thế nào để học giỏi toán, đó là câu hỏi đặt ra của nhiều thế hệ học sinh, thầy cô
và cha mẹ học sinh hay bất cứ ai quan tâm đến giáo dục và dạy học.
Phơng trình là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt quá trình học toán từ
cấp II đến cấp III và các cấp cao hơn. Bởi vậy, các em học sinh cần phải trang bị
cho mình những kiến thức thật vững chắc về phơng trình.
Trong chơng trình toán ở THCS hiện nay, sách giáo khoa chỉ đa ra cách giải
phơng trình bậc nhất và bậc hai đơn giản. Đối với các em học sinh thì việc giải
các phơng trình đó không gây khó khăn nhiều. Nhng khi gặp một số phơng trình
bậc cao thì các em thờng lúng túng, cha tìm ngay đợc các cách giải cho bài toán.
Ngay cả các giáo viên THCS cũng gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết ph-
ơng trình này.
Vỡ vy, tụi xin xut mt s phng phỏp gii phng trỡnh bc cao trong
chng trỡnh toỏn THCS v cỏc bi tp minh ha.
2 Mục đích - nhiệm vụ đề tài.
- Phơng pháp giải các phơng trình bậc cao một ẩn: Bằng cách đa về các ph-
ơng trình đã biết cách giải hoặc các dạng quen thuộc.
- Các ví dụ minh hoạ.
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức để giải phơng trình bậc cao một ẩn.
- Củng cố và hớng dẫn học sinh làm bài tập.
3. Đối t ợng nghiên cứu.
- Học sinh ở lứa tuổi 14 - 15 ở trờng THCS vì đa số các em chăm học, thích
học toán và bớc đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách tơng đối ổn định.

- Đối tợng khảo sát Học sinh lớp 9 trờng THCS xã Bình Lơng huyện Nh Xuân -
Thanh Hoá đợc phân loại theo học lực Giỏi - Khá - Trung Bình - Yếu- Kém.
4. Ph ơng pháp nghiên cứu
- Tham khảo, thu thập tài liệu.
- Phân tích, tổng kết kinh nghiệm.
- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh, nghiên cứu hồ sơ
giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học.
5. Dự kiến các kết quả đạt đ ợc của đề tài.
Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh ở trờng THCS
trong việc học và giải phơng trình bậc cao một ẩn. Qua đó các em có phơng pháp
giải nhất định tránh tình trạng định hớng giải cha đúng, lúng túng trong việc
trình bày cách giải, giúp học sinh hứng thú, tích cực học tập hơn, đạt kết quả cao
trong các kỳ thi.
Trang
1
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
B. Nội dung đề tài
I. Một số kiến thức cơ sở về ph ơng trình bậc cao
I.1.Cơ sở lý luận
1> Khái niệm về ph ơng trình một ẩn:
Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa biến x. Khi nói A(x) = B(x) là một
phơng trình ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tơng ứng của hai
biểu thức này bằng nhau.
Biến x gọi là ẩn
Giá trị tìm đợc của ẩn gọi là nghiệm
Mỗi biểu thức là một vế của phơng trình
Việc tìm nghiệm gọi là giải phơng trình
2> Định nghĩa hai ph ơng trình t ơng đ ơng
Hai phơng trình gọi là tơng đơng nếu tập hợp các nghiệm của chúng bằng
nhau.

3> Các phép biến đổi t ơng đ ơng các ph ơng trình
Định nghĩa phép biến đổi tơng đơng các phơng trình: Biến đổi một phơng
trình đã cho thành một phơng trình khác tơng đơng với nó, nhng đơn giản hơn
gọi là phép biến đổi tơng đơng.
a) Định lý 1:
Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn số vào hai vế của phơng trình thì đợc
một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ: 3x= 27 3x + 2x = 27 + 2x
Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phơng trình
đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với ph-
ơng trình đã cho
Ví dụ:
5x + 7 = 16x - 3 5x - 16x = -3 -7
Hệ quả 2: Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình
thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho
Ví dụ:
7x
3
+ 8x - 5=14 + 7x
3
8x -5 = 14
b. Định lý 2:
Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phơng trình thì đợc phơng
trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ:
204181029
2
1
=+=+
xxxx

I-2. Các dạng ph ơng trình
1. Ph ơng trình bậc nhất một ẩn:
1.1. Định nghĩa:
Phơng trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a 0, đợc gọi
là phơng trình bậc nhất một ẩn .
1.2. Tập xác định:
Tập xác định của phơng trình là R
1.3.Cách giải
Phơng trình bậc nhất ax + b = 0 có nghiệm duy nhất
a
b
x =
2.Ph ơng trình bậc hai một ẩn số :
2.1.Định nghĩa:
Phơng trình bậc hai có một ẩn số là phơng trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0
trong đó x là ẩn số, a, b, c là các hệ số đã cho, a 0.
Nghiệm của phơng trình bậc hai là những giá trị mà khi thay vào vế trái
của phơng trình ta đợc giá trị của vế trái bằng 0.
2.2. Cách giải
Trang
2
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
- Ta dùng các phép biến đổi tơng đơng, biến đổi phơng trình đã cho về các
dạng phơng trình đã biết cách giải (phơng trình bậc nhất, phơng trình dạng tích)
để tìm nghiệm của phơng trình.
- Khi nghiên cứu về nghiệm số của phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0

( a 0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt số của phơng trình:
= b
2
- 4ac
gọi là biệt số của phơng trình bậc hai vì biểu thức = b
2
- 4ac quyết
định nghiệm số của phơng trình bậc hai
Ta thấy có các khả năng sau xảy ra :
a) < 0 phơng trình bậc hai vô nghiệm
b) =0 phơng trình bậc hai có nghiệm kép ( hai nghiệm trùng nhau )
a
b
xx
2
21
==
c) >0 phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
1
+
=
;
a
b
x
2

2

=
2.3. Hệ thức Viet.
Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì tổng và
tích hai nghiệm đó là :
S = x
1
+x
2
= -
a
b
P = x
1
.x
2
=
a
c
3. Ph ơng trình bậc cao một ẩn.
3.1. Dạng tổng quát của ph ơng trình bậc cao một ẩn
Phơng trình tổng quát bậc n có dạng:
a

n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ +a
1
x+a
0
= 0 (a
n
0)
Trong đó: x là ẩn số,
a
n
, ,a
0
: là các hệ số
Đối với phơng trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát để
tìm nghiệm của nó. Ngay cả trong trờng hợp là phơng trình bậc 3 và bậc 4 mặc
dù có công thức nhng việc tìm nghiệm của phơng trình cũng hết sức phức tạp
nằm ngoài chơng trình THCS, THPT.
Ta cũng có hệ thức Viet liên quan giữa các nghiệm của phơng trình đại số
bậc cao.
3.2. Định lí Viet cho ph ơng trình bậc n một ẩn:
Cho phơng trình bậc n: a
n
x

n
+ a
n-1
x
n-1
+ +a
1
x+a
0
= 0 (a
n
0)
Giả sử phơng trình có n nghiệm x
1
, ,x
n
, trong các nghiệm đợc kê ra một
số lần bằng bội của nó, khi đó ta có hệ thức Viet sau:
n
n
n
a
a
xx
1
1


=++
n

n
nn
a
a
xxxxxx
2
14321



=+++
k
n
kn
iii
a
a
xxx
k
)1(
21
=


với 1i
1
<i
2
< <i
k

Trang
3
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
n
n
n
a
a
xxx
0
21
)1(
=
Đảo lại: Cho trớc n số bất kỳ x
1
x
2
, x
n
Đặt S
1
= x
1
+ +x
n
S
2
=x
1
x

2
+ x
3
x
4
+ +x
n-1
x
n
S
k
=

k
iii
xxx
21
với 1 i
1
< i
2
< < i
k
<n
S
n
=x
1
x
2

x
n
Khi đó x
1
x
2
, ,x
n
là nghiệm của phơng trình sau:
x
n
- S
1
x
n-1
+ S
2
x
n-2
+ +(-1)
k
S
n
= 0
Ví dụ:
Định lý Viet cho phơng trình bậc ba có dạng sau:
Cho phơng trình bậc ba: ax
3
+ bx
2

+ cx + d = 0 có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
.
Khi đó:

a
b
xxx =++
321
a
c
xxxxxx =++
433221
a
d
xxx =
321
- Hệ thức Viet cho phơng trình bậc bốn : ax
4
+ bx
3
+cx
2
+dx +e =0
Có dạng nh sau:
a

b
xxxx
=+++
4321
a
c
xxxxxxxxxxxx
=+++++
434232413121
a
d
xxxxxxxxxxxx =+++
432421431321
a
c
xxxx =
4321
II. Một số ph ơng pháp giải một số loại ph ơng trình đại số bậc cao một ẩn :
Khi gặp các phơng trình đại số bậc cao một ẩn thì có nhiều cách giải song
trong đề tài này tôi đề cập đến hai phơng pháp cơ bản để giải phơng trình đại số
bậc cao.
Đó là:
+ Phân tích đa thức thành nhân tử, đa phơng trình về dạng phơng trình tích.
+ Đặt ẩn phụ
II.1. Sử dụng ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
1.Cơ sở lý luận:
Ta biết rằng phơng trình:

=
=
=
0)(
0)(
0)().(
xg
xf
xgxf
Vì vậy phơng trình bậc cao nếu ta phân tích đợc vế trái thành nhân tử thì
sẽ đa phơng trình về dạng phơng trình tích của các nhân tử có bậc thấp hơn, dạng
phơng trình quen thuộc đã biết cách giải.
2. Nội dung
Trong nội dung nghiên cứu khi phân tích đa thức thành nhân tử tôi thờng
hớng dẫn học sinh sử dụng các phơng pháp sau:
a. Đặt nhân tử chung
b. Dùng hằng đẳng thức
Trang
4
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
c. Nhóm nhiều hạng tử
d. Tách hạng tử
e. Thêm bớt cùng một hạng tử
đ. Phối hợp nhiều phơng pháp
Ví dụ: Giải phơng trình sau:
a) 7x
3
- 63 x=0

7x(x

2
-9)=0

7x (x-3)(x+3)=0





=+
=
=

03
03
0
x
x
x






=
=
=

3

3
0
x
x
x
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm: x=0; x=3; x=-3
b) x
3
-6x
2
+ 12x - 8 =0

(x-2)
3
=0

x-2=0

x=2
Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm x=2;
c)x
3
- 3x
2
+ 6x - 18 = 0

(x
3
- 3x
2

) + ( 6x - 18 ) = 0

x
2
(x-3) + 6( x-3) = 0

( x
2
+ 6 )(x-3) = 0 ( 1)
Vì x
2
0
x
nên x
2
+ 6 6
x

x
2
+ 6 > 0
x
( 2)
Từ (1) và (2)

x-3=0

x=3
Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm : x= 3
d) x

4
+ 3x
2
- 28 = 0

x
4
+ 7x
2
- 4x
2
- 28 =0

x
2
(x
2
-4) + 7(x
2
-4) = 0

(x
2
+ 7)(x
2
- 4) =0

(x
2
+7 )(x-2)(x+2)=0 (1)

Vì x
2
0
x
nên x
2
+ 7 7
x

x
2
+ 7 > 0
x
( 2)
Từ (1), (2)

(x-2) (x+2)=0



=+
=

02
02
x
x

=
=

2
2
x
x
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x=2; x=-2
e) x
3
- 7x-6 =0

x
3
+ 8 -7x - 6- 8=0

(x
3
+ 8) -(7x+14)=0

(x+2)(x
2
-2x+4) - 7(x+2) =0

(x+2)(x
2
-2x-3)=0

=
=+

032
02
2
xx
x




=++
=+

0)1(2)1)(1(
02
xxx
x

Trang
5
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn





=

=+
=+

03
01
02
x
x
x






=
=
=

3
1
2
x
x
x
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm x=-1; x=-2; x=3
* Ngoài các phơng pháp trên ta còn sử dụng định lí Bơzu giúp các em
nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử .
Định lí Bơzu đợc phát biểu nh sau : Phần d của phép chia đa thức f(x) cho
nhị thức g(x) = x- a là một hằng số bằng giá trị f(a) của f(x) khi x=a .

- Khai thác cách nhẩm nghiệm :
a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ +a
1
x+a
0
= 0 (1) ( a
i
Z )
+) Nếu a
n
+ a
n-1
+ +a
1
+ a
0
= 0 thì phơng trình (1) có một nghiệm x = 1
+) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phơng trình (1) có
nghiệm x = - 1
+) Nếu số hữu tỉ x =
q
p

( p , q nguyên tố cùng nhau ) là nghiệm của phơng trình
(1) thì p là ớc của a
0
, q là ớc của a
n
.
Ví dụ : Giải phơng trình : x
4
- 2x
3
+ x
2
- 4 = 0 (*)
Ta thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phơng
trình (*) nhận x =- 1là nghiệm .
Theo định lí Bơzu ta thấy vế phải của phơng trình (*) chia hết cho x + 1,
do đó phơng trình (*) có thể viết đợc dới dạng :
(x +1 ). ( x
3
- 3x
2
+ 4x - 4 ) = 0
x + 1 = 0 (1)
x
3
- 3x
2
+ 4x - 4 = 0 (2)
(1) x+1 = 0 x = - 1
(2) x

3
- 3x
2
+ 4x - 4 = 0
T a thử các ớc của 4 và thấy x = 2 là nghiệm của (2), nên (2) phân tích đợc
thành : ( x - 2) . ( x
2
-x + 2 ) = 0
x -2 = 0 x = 2
x
2
- x + 2 = 0 '< 0 : vô nghiệm
Vậy phơng trình (*) có hai nghiệm là x = -1 ; x = 2 .
Bài toán áp dụng:
1. Giải phơng trình:
a) 3x
4
-12x
2
= 0
b) x
3
+ 14x
2
- 4x - 56 =0
c) 2x
3
+ 11x +9 =0
d) x
16

+x
8
-2 =0
e) 2x
4
+ 5x
3
-35x
2
+ 40x-12=0
2. Cho phơng trình : 2x
3
-(1+4m)x
2
+ 4(m
2
-m+1)x -2m
2
+ 3m -2=0
a. Xác định m để phơng trình đã cho có 3 nghiệm dơng phân biệt
b. Giải phơng trình với m=1
H ớng dẫn
2a) 2x
3
-(1+4m)x
2
+ 4(m
2
-m+1)x - 2m
2

+3m -2 =0 (*)

2x
3
-x
2
-4mx
2
+ 2x(2m
2
-3m+2+m)-2m
2
+3m-2=0

x
2
(2x - 1) -4mx
2
+ 2mx +2x(2m
2
-3m+2) -(2m
2
-3m +2)=0

x
2
(2x - 1) -2mx(2x-1) + (2m
2
-3m+2)=0

=++
=
02322
012
22
mmmxx
x

(1)

2x-1=0


2
1
=x
(2)

x
2
-2mx+2m
2
-3m+2=0
Trang
6
(1)

(2)


Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
Ta thấy phơng trình (*) luôn có 1 nghiệm
2
1
=x
Muốn phơng trình (*) có 3 nghiệm dơng phân biệt thì phơng trình (2) phải
có 2 nghiệm dơng phân biệt khác
2
1
Đặt f(x)=x
2
-2mx +2m
2
-3m +2 thì f(x) phải thỏa mãn các điều kiện sau:









>
>
>

0
0
0'
0)
2
1
(
P
S
f








>+
>
>++
+

0232
02
033
09168
2
2
2

mm
m
mm
mm









>+







>
>
+

0
4
1
2
3

2
0
0)2)(1(
01)1(8
2
2
m
m
mm
m



>
<<

0
21
m
m

21
<<
m
Vậy với 1<m<2 thì phơng trình (2) có 2 nghiệm dơng phân biệt khác
2
1

Phơng trình (*) có 3 nghiệm dơng phân biệt khi 1<m<2
II.2. Sử dụng ph ơng pháp đặt ẩn phụ

1.Cơ sở lí luận
Khi giải phơng trình bậc cao ta còn dùng đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu
thức chứa ẩn để đa phơng trình về dạng phơng trình quen thuộc đã biết cách giải
2. Nội dung ph ơng pháp
Trong chơng trình THCS học sinh thờng gặp các dạng phơng trình sau:
2.1. Ph ơng trình trùng ph ơng:
a. Dạng tổng quát:
Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng:
ax
4
+bx
2
+c =0 (1) (a 0)
Trong đó:
x là ẩn số
a, b, c là các hệ số
b.Cách giải:
Khi giải phơng trình loại này ta thờng dùng phơng pháp đổi biến số
Đặt y=x
2
( y 0) (2)
Khi đó phơng trình trùng phơng sẽ đa về dạng phơng trình bậc hai trung
gian: ay
2
+ by + c=0
Giải phơng trình bậc hai trung gian rồi thay giá trị tìm đợc của y vào (2) ta
đợc phơng trình bậc hai rút gọn với biến x ( y 0). Giải phơng trình này ta đợc
nghiệm của phơng trình trùng phơng ban đầu.
c.Ví dụ:
* Ví dụ 1 : Giải phơng trình x

4
-3x
2
+2 =0 (1)
Giải :
Đặt y=x
2
(y 0).
Phơng trình (1) trở thành : y
2
-3y +2 =0
Trang
7
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn

(y-1)(y-2)=0




=
=
02
01
y
y

=
=
2
1
y
y
Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn y 0
+ Với y=1 ta có x
2
=1

x
1
=1
x
2
=-1
+ Với y=2 ta có x
2
=2

x
3
=
2
x
4
=
2
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm là: x

1
=1;x
2
=-1; x
3
=
2
; x
4
=
2
* Ví dụ 2 : Xác định a để phơng trình: ax
4
- ( a - 3 ) x
2
+ 3a = 0 (a 0 ) (1)
Có bốn nghiệm phân biệt đồng thời một nghiệm nhỏ hơn -2 ; ba nghiệm kia lớn hơn -1
Giải :
Đặt y= x
2
0
(1) ay
2
- ( a - 3 ) y + 3a = 0 (2)
Giả sử (2) có nghiệm 0 < y
1
< y
2
thì (1) có 4 nghiệm phân biệt :
-

2
y
< -
1
y
<
1
y
<
2
y
Muốn phơng trình (1) có đồng thời một nghiệm nhỏ hơn -2 ; ba nghiệm
kia lớn hơn -1 thì :
-
2
y
< - 2 y
2
>4

1
y
> - 1 y
1
< 1
Vậy phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt y
1
, y
2
thoả mãn :

0 < y
1
< 1 < 4 < y
2
a .f(0) < 0 a . 3a < 0 3a
2
< 0
a . f(1) < 0 a . (a -a +3 +3a ) < 0 3a
2
+ 3a < 0
a. f(4) < 0 a . ( 16a - 4a + 12 + 3a ) < 0 15a
2
-12a < 0

a 0 a 0
3a ( a + 1 ) < 0 - 1 < a < 0 -
5
4
< a < 0
3a ( 5a + 4 ) < 0 -
5
4
< a < 0
Vậy với a ( -
5
4
, 0 ) thì phơng trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt ,
trong đó một nghiệm nhỏ hơn - 2 và ba nghiệm kia lớn hơn - 1
Bài tập áp dụng :
1) Giải phơng trình : 4x

4
-5x
2
+1 =0
2) Cho phơng trình:x
4
-2(2m-1)x
2
+4m
2
-3 =0 (*)
a. Với giá trị nào của m thì phơng trình 4 có 4 nghiệm phân biệt
b. Giải phơng trình với m=
10
9
H ớng dẫn:
2a) Đặt y=x
2
(y 0) phơng trình (*) trở thành:
y
2
-2(2m-1)y +4m
2
-3 = 0 (1)
=(2m-1)
2
-4m
2
+3 = -4(m-1)
Để (*) có 4 nghiệm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm dơng phân biệt

tức là (1) thỏa mãn:
Trang
8
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn







>
>
>
0
2
0)0(
0'
S
af






>
>
<

012
034
1
2
m
m
m

2
3
2
1
;
2
3
1
>









>
<
<
m

m
m
m
1
2
3
<<
m
2.2. Ph ơng trình bậc bốn đối xứng:
a. Dạng tổng quát :
Phơng trình bậc bốn đối xứng là phơng trình dạng:ax
4
+bx
3
+cx
2
+bx +a=0 (a 0)
b. Cách giải :
Vì x=0 không phải là nghiệm của phơng trình nên ta chia cả hai vế của ph-
ơng trình cho x
2
rồi đặt:
x
xy
1
+=

)2( y
c. Ví dụ
*Ví dụ 1: Giải phơng trình: 3x

4
+2x
3
-34x
2
+2x +3=0
Giải:
Phơng trình trên là phơng trình đối xứng( các hệ số có tính đối xứng )
Hiển nhiên x=0 không là nghiệm của phơng trình. Chia cả hai vế cho x
2
.
3x
2
+2x -34 +
0
32
2
=+
xx
034)
1
(2)
1
(3
2
2
=+++
x
x
x

x
Đặt
y
x
x =+
1
thì
,2
1
2
2
2
=+ y
x
x
ta có:
3(y
2
-2) +2y-34 =0

3y
2
+2y -40 =0
3
10
;4
21
== yy
Với y= - 4 thì
4

1
=+
x
x


x
2
+ 4x + 1=0


32
1
+=
x

32
2
=
x
Với
3
10
=y
thì
3
101
=+
x
x

3x
2
- 10x + 3 =0

3;
3
1
43
== xx
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm:
32
1
+=x
;
32
2
=
x
;
3;
3
1
43
== xx
.
* Ví dụ 2: Giải phơng trình : 2x
5
+5x-13x

2
+5x +2 =0 (1)
Giải:
Ta thấy x=-1 là nghiệm của phơng trình (1)
Phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình sau:
(x+1)(2x
4
+3x
3
-16x
2
+3x +2) = 0
Trang
9
(2)
(3)
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn



=+++
=+

0231632
01
234
xxxx
x
(2)

x+1=0
1
=
x
(3)

2x
4
+3x
3
-16 x
2
+3x+2 =0
Ta thấy x=0 không là nghiệm của phơng trình (3)
Chia cả hai vế của phơng trình (3) cho x
2
ta có:
0
23
1632
2
2
=+++
xx
xx
016)
1
(3)
1
(2

2
2
=+++
x
x
x
x
Đặt
x
xy
1
+=

2
22
1
2
x
xy
+=

( )
2

y
Ta có: 2(y
2
- 2) +3y -16 =0

2y

2
+ 3y - 20 = 0
Ta có

=9+160=169
2
5
1
=
y
;
4
2
=
y
+ Với
2
5
1
=
y
ta có:
2
51
=+
x
x

0252
2

=+
xx


=25-16=9

2;
2
1
21
==
xx
+Với y= - 4 ta có:
0144
1
2
=++=+
xx
x
x
314'
==
32;32
43
=+=
xx
Vậy phơng trình đã cho có 5 nghiệm:
2;
2
1

21
==
xx
;
32;32
43
=+=
xx
;x
5
=-1.
d. Bài tập áp dụng :
1. Cho phơng trình: x
4
+mx
3
+3mx
2
+mx +1 =0 (1)
a) Xác định m để phơng trình (1) có nghiệm.
b) Giải phơng trình
2. Giải phơng trình : x
4
+2x
3
+ 4x
2
+2x +1 = 0
Hớng dẫn:
1a) x=0 không là nghiệm của (1) nên chia cả hai vế của (1) cho x

2
ta đợc:
0
1
3
2
2
=++++
x
x
m
mmxx
03
11
2
2
=+






++

+
m
x
xm
x
x
Đặt
x
xy
1
+=
(
)2y
Phơng trình (1) trở thành : y
2+
my + 3m - 2 = 0 (2) (
)2y
Trang
10
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) có một nghiệm thỏa
mãn điều kiện
2

y
Ta xét bài toán tìm các giá trị của m để phơng trình (2) vô nghiệm:
+ Phơng trình ( 1) vô nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) vô nghiệm
hoặc phơng trình ( 2) có hai nghiệm thuộc (-2,2)
+ Phơng trình (2) vô nghiệm:
0<

=m
2
-(3m-2 ) < 0

m
2
-12m+8<0

726726
+<<
m
+ Phơng trình (2) có 2 nghiệm thuộc (-2,2):
Tức









<<
++=>
>

2
2
2

)23)((0)2(
0)2(
0
2
m
mmyyyfaf
af









<<
>+
>+
+

2
2
2
052
02
0812
2
m
m

m
mm










<<
>
>
+

44
5
2
2
726;726
m
m
m
mm
726
5
2
<

m
Vậy phơng trình (1) vô nghiệm khi
726
5
2
+<<
m
Do đó phơng trình (1) có nghiệm khi: m
5
2

hoặc
726 +>m
Chú ý:
a)Trong phơng trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì 1/a cũng là nghiệm .
b) Phơng trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x=-1
c) Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đợc đa về phơng trình bậc n bằng
cách đặt ẩn phụ
2.3. Ph ơng trình bậc bốn phản đối xứng
a. Dạng tổng quát :
Phơng trình có dạng ax
4
+ bx
3
+cx
2
bx +a =0 ( a 0) gọi là phơng trình
bậc bốn phản đối xứng
b. Cách giải :
Vì x=0 không là nghiệm của phơng trình nên chia cả 2 vế của phơng trình

cho x
2
rồi đặt
x
xy
1
=
c. Ví dụ
*Ví dụ 1 : Giải phơng trình : x
4
+ x
3
+x
2
- x +1 =0 (1)
Giải
Vì x=0 không là nghiệm của phơng trình (1). Chia cả hai vế của (1) cho x
2
ta có:
Trang
11
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
0
11
1
2
2
=+++
x
x

xx
01
11
2
2
=+






+






+
x
x
x
x
Đặt
2
22
1
2
1

x
xy
x
xy
+=+=
Thay vào ta có:
y
2
+2+y+1= 0 (2)

y
2
+y+ 3=0

=1 - 12 < 0

Phơng trình (2) vô nghiệm

Phơng trình (1) vô nghiệm
*Ví dụ 2: Cho phơng trình : x
4
-ax
3
-(2a+1)x
2
+ax + 1=0 (1)
Tìm a để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ?
Giải:
Vì x=0 không phải là nghiệm của (1) nên chia 2 vế của (1) cho x
2

0 ta có:
0
1
)12(
2
2
=+++
x
x
a
aaxx
0)12()
1
()
1
(
2
2
=++
a
x
xa
x
x
Đặt
x
xy
1
=
(*)

2
1
2
2
2
+=+
y
x
x
Ta đợc phơng trình: y
2
+ 2 ay ( 2a+1) =0
012
2
=+ aayy
(2)
Ta thấy phơng trình (*) luôn có 2 nghiệm với
y

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) phải có nghiệm kép:


0
=

a
2
+8a -4=0
'
=16+4=20

52'
=
524
1
=
a

524
2
+=
a
Vậy với
524 =a
hoặc
524
+=
a
thì phơng trình (1) có 2
nghiệm phân biệt.
d) Bài tập áp dụng
Giải phơng trình:
1) x
4
-3x
3
-6x
2
+3x+1=0
2) x
5

-4x
3
+2x
2
+2x-1=0
3) 6x
4
-35x
3
+62x
2
+35x+6=0
H ớng dẫn
2) x
5
-4x
3
+2x
2
+2x-1=0 (1)
Ta thấy x=1 là nghiệm của (1)
(1)

(x-1)(x
4
+x
3
-3x
2
x +1)=0

x-1 = 0 (2)
x
4
+x
3
-3x
2
x +1= 0 (3)
(2)

x - 1=0

x = 1
(3)

013
234
=++
xxxx
Vì x= 0 không là nghiệm của (3)
Chia hai vế của (3) cho x
2
0 ta có:
Trang
12
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
0
11
3
2

2
=++
xx
xx
03
11
2
2
=






+






+
x
x
x
x
Đặt
2
22

1
2
1
x
xy
x
xy
+=+=
Ta đợc phơng trình :y
2
+2+y-3=0

y
2
+ y -1 =0
514
=+=
2
51
1
+
=
y
;
2
51
2

=y
+ Với

2
51+
=y

2
511
+
=
x
x
22)51(
2
=+
xx
02)15(2
2
=+
xx
522216526
=+=
4
522251
1
+
=
x
;
4
522251
2

=x

+ Với y =
2
51

22)51(
2
=+
xx
02)51(2
2
=++
xx
16526
++=
=
5222
+
4
522251
3
++
= x
4
522251
4
+
= x

Vậy phơng trình đã cho có 5 nghiệm:
Trang
13
2
511
=
x
x
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn










++++
4
522251
;
4
522251
;
4
522251
;
4

522251
;1
2.4. Một số dạng ph ơng trình khác
Ngoài các dạng phơng trình đã nêu ở trên, trong một số kỳ thi học sinh
giỏi vào trung học phổ thông học sinh còn gặp một số dạng phơng trình sau:
2.4.1. Ph ơng trình dạng : ax
2n
+ bx
n
+c = 0 ( a 0)
a) Cách giải :
Đặt x
n
= y sau đó đa về phơng trình bậc hai đối với biến y: ay
2
+ by + c = 0
b) Ví dụ minh hoạ:
* Ví dụ 1: Giải phơng trình: x
6
- 3x
3
+ 2 = 0 (1)
Giải :
Đặt x
3
= y . Phơng trình ( 1) trở thành y
2
-3y +2 =0

y

1
=1
y
2
=2
Thay trở lại ta có : y
1
=1

x
3
= 1

x=1
y
2
= 2

x
3
= 2

x=
3
2
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x
1
=1 ; x
2
=

3
2
*Ví dụ 2 : Cho phơng trình : x
10
+ ( m-1)x
5
+ 4 =0 (2)
Tìm m để phơng trình ( 2) có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó ?
Giải
Đặt x
5
= y
Phơng trình ( 2)

y
2
+ (m-1)y + 4 = 0 ( 3)
Để phơnh trình (2 ) có nghiệm duy nhất thì phơng trình ( 3 ) phải có nghiệm kép
hay
0
=
:

(m-1)
2
- 4.4 =0

(m-1-4)(m-1+4)=0

(m-5)(m+3)=0

=+
=
03
05
m
m




=
=

3
5
m
m
Vậy với m = 5 hoặc m= - 3 thì phơng trình (2) có nghiệm duy nhất
Tìm nghiệm
+ Với m=5

(3)

y
2
+4y+4 =0

(y+2)
2
=0

y+2=0

y=-2
Với y=-2

x
5
= -2

x=
5
)2(
+ Với m=-3

( 3)

y
2
-4y+4=0

(y-2)
2
=0

y-2=0

y=2
Với y=2

x
5
= 2

x=
5
2
Kết luận :
Với m = 5 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x=
5
)2(
Với m=-3 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x=
5
2
c) Bài tập áp dụng :
Giải phơng trình:
1)7x
6
+ 8 x
3
+1 =0
2)12x
10
15x
5
+3=0

2.4.2. Ph ơng trình dạng : (x+a)
4
+ (x+b)
4
=c (1)
a) Cách giải:
Trang
14
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
Đặt y=x +
2
ba
+
. Ta có:
x+a = y+
2
ba
x+b=y-
2
ba
Khi đó phơng trình ( 1) trở thành:
2y
4
+
0
2
2
2
12
4

2
2
=







+







c
ba
y
ba
Đây là phơng trình trùng phơng mà ta đã biết cách giải.
b) Ví dụ :
*Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x+5)
4
+ (x+9)
4
=82 (1)
Đặt y=x+7 khi đó phơng trình ( 1) trở thành: (y-2)

4
+ (y+2)
4
=82

2y
4
+ 48y
2
+ 32 = 82

y
4
+24y
2
-15=0
Đặt t=y
2
với t
0
Ta có phơng trình : t
2
+ 24t -25 =0



=
=

25

1
t
t
Với t=1 ta có : y
2
=1

y=1 hoặc y=-1
Nếu t=1

x+7 = 1

x= - 6
Nếu t =- 1

x+7= - 1

x=-8
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm : x=-6 ; x=-8
*Ví dụ 2: Cho phơng trình sau: (x+m)
4
+ ( x+m+2)
4
=n (1)
a.Tìm điều kiện của m và n để phơng trình có nghiệm
b.Giải phơng trình với m=3, n=2
Giải
a.Giải phơng trình (1)

(x+m)

4
+ ( x+m+2)
4
=n ( 2)
Đặt y =x+m+1
Phơng trình trở thành: (y-1)
4
+ (y+1)
4
=n

2y
4
+12y
2
+2-n=0 (3)
Đặt t=y
2
ta đợc: 2t
2
+12t +2-n=0(4)
Để phơng trình (1) có nghiệm thì phơng trình (4) phải có ít nhất 1 nghiệm
không âm
Ta thấy : S=t
1
+ t
2
= -
06
2

12
<=
Vậy muốn phơng trình (4) có một nghiệm không âm thì :
P=t
1
.t
2
=
20
2
2


n
n
Vậy với n

2 thì phơng trình (1) có nghiệm.
b. Khi m=3, n=2 phơng trình ( 1) trở thành: (x+3)
4
+ (x+5)
4
=2
Đặt y=x+4

phơng trình ( 1)

2y
4
+12y

2
+0=0

y
2
(y
2
+6)=0





=+
=
06
0
2
2
y
y

y=0 ( vì y
2

x

0
nên y
2

+ 6
x

6
)
với y=0

x+4=0

x=-4
Vậy phơng trình có nghiệm x=-4
c)Bài tập áp dụng :
Giải phơng trình:
Trang
15
(loại)
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
1)(x+1)
4
+ (x+3)
4
=16
2)(x+5)
4
+ (x+9)
4
= 1
3)(x-6)
4
+ (x-8)

4
= 4
2.4.3. Ph ơng trình có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) =m.Trong đó a+d=b+c
a)Cách giải:
Nhóm [(x+a)(x+d)] và [(x+b)(x+c)] rồi triển khai các tích đó, ta đa về
dạng: [x
2
+ (a+d)x+ad][x
2
+9b+c)x+bc]=m
Do a+d=b+c

đặt x
2
+(a+d)x+k=t ( trong đó k có thể là ad hoặc bc)
Ta sẽ đa phơng trình về dạng: t
2
+nt-m=0
Giải phơng trình trên ta tìm đợc t. Sau đó thay t vào giải tiếp phơng trình :
x
2
+ (a+d)x+k=t
Ta sẽ tìm đợc nghiệm của phơng trình ban đầu.
b)Ví dụ :
*Ví dụ 1 :
Giải phơng trình :(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=9(1)
Ta thấy 1+7=3+5. ta biến đổi phơng trình (1) nh sau:
[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]=9

(x

2
+8x+7)(x
2
+8x+15)=9 (2)
Đặt y=x
2
+8x +7
(2)

y(y+8)=9

y
2
+8y-9=0




=
=
9
1
y
y
+ Với y=1

x
2
+8x+7=1

x
2
+ 8x+6=0
10616'
==

104
104
2
1
=
+=
x
x
+ Với y=-9

x
2
+8x+7=-9

x
2
+8x+16=0

(x+4)
2
=0

x+4=0

x=-4
Vậy phơng trình (1) có 3 nghiệm:
104
1
+=x
;
104
2
=x
; x
3
= -4
*Ví dụ 2:
Cho phơng trình: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=m (*)
a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm.
b.Giải phơng trình với m=-6
Giải
a. Phơng trình (*)

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=m

(x
2
+2x-3)(x
2
+2x-8)=m
Đặt x
2
+2x-3=y (1) ta có:
y(y-5)=m

y
2
-5y-m=0 (2)
Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm:
Ta xét bài toán phủ định tìm m để phơng trình (*) vô nghiệm :

Phơng trình (2) vô nghiệm hoặc phơng trình ( 2) có nghiệm nhng phơng trình
(1 ) vô nghiệm :
+ Phơng trình ( 2 ) vô nghiệm khi :
0
2
<

25+4m<0

m<
4
25

+ Phơng trình ( 2 ) có nghiệm, phơng trình (1) vô nghiệm:
Trang
16
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn




<

0
0
1





<





<++
+

4
4
25
04124
0425
y
m
y
m

<
>

4
2
0)4(
4
25
S
f
m







<
>+


4
4
5
02016

4
25
m
m
Vậy phơng trình (*) vô nghiệm khi m<
4
25


Phơng trình (*) có nghiệm khi m
4
25

b. Thay m=-6 vào (*) ta có:
(x-1)(x+32)(x-2)(x+4)=-6
Khi đó (2)

y
2
- 5y - 6 = 0




=
=
6
1
y
y

+ Thay y =-1 vào (1) ta có :
3'321'
==+=

+Thay y = 6 vào (1) ta có : x
2
+ 2x - 3 = 6


x
2
+ 2x - 9 = 0
'
= 1 + 9 = 10


10' =

x
1
= -1 +
10
x
2
= -1 -
10
Vậy với m = -6 phơng trình (*) có 4 nghiệm :
c) Bài tập áp dụng :
1. Giải phơng trình :
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3

b) (x + 2)(x - 3)(x + 1)(x + 6) = - 96
c) (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297
2. Giải phơng trình : (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = m
a. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
b. Giải phơng trình khi m = 40
H ớng dẫn :
a. Nhóm (x + 1)(x + 4) và (x + 2)(x + 3)
b. Nhóm (x + 2)(x + 1) và (x -3)(x + 6)
c. Nhóm (x - 1)(x + 5) và (x - 3)(x + 7)
2.a) (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = m





Đặt x
2
+ 14x + 45 = y (*)
Ta có : y (y + 3) = m

y
2
+ 3y - m = 0 (2)
Để phơng trình (1) có hai nghiệm thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm
phân biệt và phơng trình (*) phải có nghiệm kép hoặc phơng trình (2) có nghiệm
kép và phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
Trang
17
(vô lý)
x

2
+ 2x - 3 =-1


x
2
+ 2x - 2 = 0
x
1
= -1 +
3
x
2
= -1 -
3
x
1
= -1 +
3
; x
2
= -1 -
3
x
3
= -1 +
3
; x
4
= -1 -

10
[ ]
)9)(5( ++ xx
[ ]
)8)(6( ++ xx
= m
(x
2
+ 14x + 45)(x
2
+ 14x + 48)= m
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
2.b) Thay m = 40 vào (2) sau đó giải phơng trình:
y
2
+ 3y - 40 = 0
Tìm y rồi thay trở lại (*) tìm x.
Trang
18
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
C . kết luận
Đề tài ''Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn'' tuy là một
vấn đề khó và rộng nhng trong quá trình tìm hiểu và nhờ sự hớng dẫn của thầy cô
giáo, tôi thấy đây là một đề tài rất hữu ích cho giáo viên toán trờng THCS.
Trong đề tài này, tôi chỉ nêu ra một số phơng pháp giải phơng trình bậc cao
đa về phơng trình bậc nhất và bậc hai trong chơng trình giảng dạy môn toán ở lớp 8
và lớp 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc kết trong quá trình giảng dạy.
Trớc khi áp dụng các phơng pháp trên tôi thấy hầu hết học sinh lúng túng
không tìm ra đợc hớng giải khi gặp các phơng trình bậc cao.
Sau khi áp dụng đề tài, học sinh đã khắc phục đợc nhiều nhợc điểm, tỷ lệ

làm đợc bài tăng, học sinh hứng thú tích cực học tập hơn.
Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra dạng toán trên:
Năm học áp dụng đề tài
Kết quả kiểm tra
giỏi khá TBình yếu kém
2003 - 2004
cha áp dụng 5% 15% 35% 37,5% 7,5%
2004 - 2005
đã áp dụng 15% 27,5% 37,5% 17,5% 2,5%
Tuy nhiên, để đạt đợc kết quả nh mong muốn, đòi hỏi ngời giáo vien cần
hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng. Giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ
đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với
trình độ nhận thức chung của học sinh .
Ngời thầy cần chú trọng phát huy tính chủ động, tích cực và sáng tạo của
học sinh từ đó giúp các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hớng giải
toán đúng đắn. Làm đợc nh vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lợng giáo
dục trong nhà trờng.
Đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong đợc
sự góp ý bổ sung của quý thầy cô, các bạn để bài viết đợc hoàn chỉnh và hấp
dẫn hơn.
Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế
giảng dạy tôi còn đợc sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, các thầy, cô giáo
Tôi xin chân thành cảm ơn ./.

Ngời viết
Vũ Thị Thuý
D. tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa Đại số 8, Đại số 9 (NXB Giáo dục).
2. Giáo trình thực hành giải toán hệ cao đẳng s phạm của Phạm Gia Đức - Hoàng
Ngọc Hng - Đặng Đình Lăng (NXB Giáo dục)

3. 172 bài toán có chứa các tham số của Lê Khắc Bảo (NXB Giáo dục)
4. Giải toán Đại số sơ cấp của Vũ Thiện Căn - Võ Anh Dũng (NXB Giáo dục).
5. Bồi dỡng học sinh đại số 9 của Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều
(NXB Giáo dục).
6. 255 bài toán chọn lọc đại số của Vũ Dơng Thuỵ- Trơng Công Thành - Nguyễn
Ngọc Đặng
Và một số tài liệu khác có liên quan .
Trang
19
Híng dÉn häc sinh THCS gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao mét Èn
Trang
20
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
E. Giáo án tiết dạy chuyên đề
Tiết 54 : Phơng trình quy về phơng trình bậc hai
I. Mục tiêu :
- Học sinh biết giải một số phơng trình có thể biến đổi về dạng phơng trình
bậc hai.
- Rèn luyện kỹ năng giải các phơng trình quy về phơng trình bậc hai
- Phát triển t duy của học sinh
II. Chuẩn bị
Bài soạn và một số kiến thức bổ tự cho bài giảng
Học sinh : ôn cách giải phơng trình bậc hai, phơng trình chứa ẩn ở mẫu,
phơng trình tích.
III. Tiến trình giờ dạy :
A. Kiểm tra bài cũ :
Phơng trình bậc hai một ẩn số là gì ? Viết công thức nghiệm của phơng
trình bậc hai ?
Trong các phơng trình sau phơng trình nào là phơng trình bậc hai một ẩn :
x

3
+7x
2
-8x=0 (1) x
2
-7x -8=0 (2)
1
1
11
=

+
xx
(3) x
2
-3x +1=0 (4)
x
4
-5x
2
+4 =0 (5)
Hãy giải các phơng trình bậc hai đó ?
Đặt vấn đề : Các phơng trình (1), (3), (5) không phải là phơng trình bậc
hai. Tuy nhiên để giải đợc các phơng trình nh thế này ta có thể biến đổi đa về
dạng phơng trình bậc hai bài mới.
B- Tổ chức cho học sinh tiếp nhận nội dung kiến thức :
Ví dụ 1 : Giải phơng trình :
x
3
+7x

2
-8x =0

x(x
2
+7x -8 ) = 0
Ta đa về giải hai phơng trình x=0 ; x
2
+7x-8=0
Vậy phơng trình đã cho có 3
nghiệm : x
1
=0 ;x
2
=1 ;x
3
=-8
Ví dụ 2 : Giải phơng trình :
1
1
11
=

+
xx
TXĐ : x 0 ; x 1.
x-1 +x =x(x-1)
x
2
-3x +1=0

= (-3)
2
-4 =5>0
- GV nêu ví dụ 1 :
- Phơng trình đã cho là phơng trình bậc
mấy ? Giải bằng cách nào ?
Nếu học sinh không trả lời đợc, GV có thể
gợi ý.
+ Có nhận xét gì về các hạng tử của vế
trái ?
+ Đặt nhân tử chung của vế trái ?
- GV : Vế trái của phơng trình đã phân
tích thành nhân tử trong đó có 1 nhân tử
bậc 1 và 1nhân tử bậc hai. Việc giải ph-
ơng trình đã cho quy về việc giải phơng
trình bậc hai.
- GV nêu ví dụ 2 :
- Cho biết dạng của phơng trình này ?
- Nêu cách giải phơng trình chứa ẩn ở
mẫu ?
- HS lên bảng giải
- HS cả lớp nhận xét, bổ sung
Trang
21
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn


+
=
2

53
1
x
TXĐ


=
2
53
2
x
TXĐ
Vậy phơng trình đã cho có hai
nghiệm :
2
53
1
+
=
x
;
2
53
2

=
x
Ví dụ 3 : Giải phơng trình :
x
4

-5x
2
+4 =0 (*)
Đặt x
2
= X ( X0)
(*)

X
2
-5X +4 = 0
Vì a+b+c =1-5+4=0 nên
X
1
=1 ; X
2
=4 ( TMĐK)
* X
1
= 1

x
2
=1

x

{-1 ;1}
* X
2

= 4

x
2
=4

x

{-2 ;2}
Vậy phơng trình đã cho có 4
nghiệm :
x
1
=-1 ;x
2
=1 ;x
3
=-2 ;x
4
=2
Chú ý : SGK/92
- GV : nêu ví dụ 3.
- GV : phơng trình x
4
-5x
2
+4 =0
là phơng trình bậc 4, ta có thể đa phơng
trình này về phơng trình bậc hai bằng
cách đặt ẩn phụ : x

2
=X
- Tìm điều kiện của X ?
- Khi đó phơng trình đã cho trở thành ?
- Giải phơng trình X
2
-5X +4 =0 ?
- Vậy x= ?
- GV : Phơng trình x
4
-5x
2
+4 =0 gọi là
phơng trình trùng phơng
Tổng quát : Phơng trình có dạng :
ax
4
+bx
2
+c=0 (a0) gọi là phơng trình
trùng phơng
C. Củng cố, luyện tập :
* Học sinh làm các bài tập sau:
- Giải các phơng trình sau:
a) (x
2
-5x-4).(2x
2
-7x+3)=0
b) (2x

2
-x-1)
2
-(x
2
-7x+6)
2
=0
c) 2x
4
-7x
2
-4=0
d)
4
1
1
3
)1(2
1
2
=

+

x
x
- Làm bài tập 5a( SGK/92)
* Các bài toán giải phơng trình mà ta đã làm ở tiết học hôm nay có đặc điểm gì
chung ? ( đều quy về phơng trình bậc 2).

- GV chốt lại: ở ví dụ 1 để giải một phơng trình bậc lớn hơn 2 ta có thể đa về ph-
ơng trình tích trong đó có một nhân tử bậc 2.
ở ví dụ 2 : Việc giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu ta cũng quy về giải phơng trình
bậc hai .
ở ví dụ 3 : để giải phơng trình trùng phơng ta hạ bậc bằng cách đặt ẩn phụ để
giải phơng trình bậc hai và lu ý ẩn phụ có điều kiện không âm
D. H ớng dẫn về nhà :
- Xem lại các ví dụ và bài tập đã làm
- Làm bài tập 1(a ;d) ; bài 2 ; bài 3 ; bài 4 ; bài 5b
- GV hớng dẫn bài 5b.
- Khai thác số nghiệm của phơng trình trùng phơng thông qua phơng trình đợc
đặt ẩn phụ.
Thanh Hoá, ngày 5 tháng 4 năm 2005
Hiệu trởng trờng THCS xã Mậu Lâm
Trang
22
Híng dÉn häc sinh THCS gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao mét Èn
Trang
23