SKKN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHưƠNG TRÌNH HỆ PHưƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG

PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài:
a) Cơ sở lí luận:
Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dưỡng và
phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm trong
quá trình dạy học là nội dung của việc đổi mới phương pháp dạy học theo
chương trình cải tiến.
Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để vận
dụng kiến thức đã học vào thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức toán học được
trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc
dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán, nhưng để nắm vững cách giải 1
dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách
linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã
tích luỹ được để giải quyết các bài tập có liên quan. Thông qua việc giải bài tập
chống tư tưởng hình thức hoá, tư tưởng ngại khó đặc biệt việc xác định các vấn
đề thiếu căn cứ. Do đó nâng cao năng lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn
khả năng phán đoán, suy luận của học sinh.
b) Cơ sở thực tiễn:
Trong chương trình giảng dạy bộ môn toán ở khối lớp 8, lớp 9 tôi nhận thấy
học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc nhận dạng và giải bài toán bằng cách
lập phương trình – giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Việc giải bài
toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình đối với học sinh ở bậc
trung học cơ sở là một việc việc làm khá mới mẻ. đề bài toán đã cho không phải
là những phương trình viết sẵn mà nó được thể hiện dưới dạng một đoạn văn
mô tả các mối quan hệ giữa các đại lượng trong đó có những đại lượng cần tìm,
yêu cầu học sinh phải biết phân tích, tổng hợp liên kết các đại lượng với nhau,
chuyển đổi các mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tả bằng lời sang mối
quan hệ toán học.
Một đặc điểm quan trọng của “dạng toán chuyển động” là nội dung của
bài toán gắn liền với các chuyển động thực tế của con người. Do đó kết quả phải
phù hợp đúng thực tế. Chính vì lí do trên nhiệm vụ của người giáo viên không

chỉ đơn thuần là truyền đạt kiến thức như SGK mà còn phải xây dựng phương
pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng toán chuyển động để học
sinh có thể vận dụng vào thực hành giải dạng toán này. Đặc biệt nó mang nội
dung sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán; hình thành cho học
sinh thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc cụ thể trong cuộc
sống sau này. Chính vì vậy bài toán này thường xuyên có mặt trong các bài
kiểm tra, thi tuyển sinh vào lớp 10.
Qua một số năm giảng dạy Toán ở trường THCS được giao công tác bồi dưỡng
học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 tôi rất quan tâm vấn đề nay chính vì vậy tôi mạnh dạn
nghiên cứu và hoàn thành đề tài này. Với thời gian hạn chế và mong muốn
nghiên cứu sâu hơn nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề:
“GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHưƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHưƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG”
2) ĐỐI TưỢNG VÀ PHưƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1
a) Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh lớp 9
b) Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT toán đại số lớp 8; lớp 9. Đề thi vào trường
THPT, Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8, 9. Toán bồi dưỡng học sinh
Đại Số 9. Rèn luyện kĩ năng giải Toán THCS. Tuyển chọn các đề toán thi vào
lớp 10
- Nghiên cứu tài liệu Bồi duõng thường xuyên chu kì III quyển 1, 2.
PHẦN II - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ THUYẾT:
1) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn số:
Đối với phương trình bậc hai:
Biệt thức (Kí hiệu : đọc là đen ta)
+) Nếu  > 0 phương trình có hai nghiệm: ;
+) Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép là:
+) Nếu  < 0 phương trình vô nghiệm.

2) Các phương pháp giải phương trình – Hệ phương trình:
a) Giải phương trình:
+) Phương trình bậc nhất một ẩn có 1 nghiệm duy nhất
+) Phương trình bậc hai một ẩn số dùng công thức nghiệm.
b) Giải hệ phương trình:
+) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
+) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng.
+) Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
3) Cách giải bài toán bằng cách giải phương trình – hệ phương trình:
gồm 3 bước:
Bước 1: Lập phương trình– Hệ phương trình.
- Chọn ẩn số (chú ý ghi rõ đơn vị) và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn số và các số liệu chưa biết.
- Lập phương trình, hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình – Hệ phương trình.
Tuỳ thuộc vào dạng phương trình hay hệ phương trình mà có phương pháp giải
thích hợp.
Bước 3: Chọn kết qua thích hợp và trả lời bài toán.
Chú ý so sánh điệu kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không và trả lời kết quả
của bài toán.
Một số công thức về chuyển động
2
+) Công thức tính quãng đường trong chuyển động:
+) Công thức tính vận tốc trong chuyển động:
+) Công thức tính thời gian trong chuyển động:
+) Vận tốc xuôi dòng:
+) Vận tốc ngược dòng:
B. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHưƠNG
TRÌNH – HỆ PHưƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG:
DẠNG I: HAI VẬT CHUYỂN ĐỘNG CÙNG CHIỀU.

1. Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học: 2007 – 2008)
Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B cách nhau 108 km. Hai ôtô cùng khởi hành
một lúc từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên
đến B trước xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn cách giải:
Sau khi cho học sinh đọc kĩ đề bài toán trên màn hình tôi phát phiếu học tập và
yêu cầu các em trả lời câu hỏi rồi điền số liệu vào bảng số liệu trong bảng sau:
Ô tô thứ nhất Ô tô thứ hai
Vận tốc (km/h) (km/h)
(km/h)
Thời gian ( h) (h)
(h)
- Đổi 12 phút = ? (giờ)
- Bài toán yêu cầu tính đại lượng nào ? ( Vận tốc của mỗi xe)
- Nếu gọi vận tốc của Ô tô thứ hai là x thì vận tốc của Ô tô thứ nhất được
tính như thế nào ? ( )
- Biểu diễn thời gian di hết quãng đường AB của Ô tô thứ nhất và Ô tô thứ
hai qua ẩn số x. (h) và (h)
- Theo bài ra Ô tô thứ nhất đến B trước Ô tô thứ hai 12 phút nên ta có
phương trình nào ? - =
+) Với gợi ý trên tôi cho học sinh thảo luận nhóm sau 7 phút tôi kiểm tra kết
quả của các nhóm và đối chiếu kết quả trên máy chiếu.
+) Căn cứ vào những gợi ý trên các em đã trình bày lời giải bài toán như sau:
 Cách 1: Giải: Đổi: 12 phút = (h)
Gọi vận tốc của Ô tô thứ hai là x (km/h) (điều kiện x > 0)
thì vận tốc của Ô tô thứ nhất là (km/h)
Thời gian Ô tô thứ nhất đi là (giờ); Thời gian Ô tô thứ hai đi là (giờ)
Theo bài ra Ô tô thứ nhất đến sớm hơn Ô tô thứ hai 10 phút nên ta có phương
trình:
- =

Ta có: = 9 + 3240 = 3249 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt : ;
3
Nhận thấy > 0 (thoả mãn điều kiện), < 0 (loại)
Trả lời: Vận tốc của Ô tô thứ hai là 54 (km/h)
Vận tốc của Ô tô thứ nhất là 54 + 6 = 60 (km/h)
+) GV: Ai có cách giải khác bài toán này không ?
+) Gợi ý: (nếu cần) Nếu ta gọi vận tốc của Ô tô thứ nhất là x thì các đại lượng
trong bảng số liệu thay đổi như thế nào?
+) Hãy lập phương trình ?
 Cách 2: Bảng số liệu
Ô tô thứ nhất Ô tô thứ hai
Vận tốc (km/h) (km/h)
(km/h)
Thời gian ( h) (h)
(h)
Giải: Đổi: 12 phút = (h)
Gọi vận tốc của Ô tô thứ nhất là x (km/h) (điều kiện x > 6)
thì vận tốc của Ô tô thứ hai là (km/h)
Thời gian Ô tô thứ nhất đi là (giờ); Thời gian Ô tô thứ hai đi là (giờ)
Theo bài ra Ô tô thứ nhất đến sớm hơn Ô tô thứ hai 10 phút nên ta có phương
trình:
- =



Ta có:

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: ;
Nhận thấy > 0 (thoả mãn điều kiện), < 0 (loại)
Trả lời: Vận tốc của ô tô thứ nhất là 60 (km/h)
Vận tốc của ô tô thứ hai là 60 – 6 = 54 (km/h)
 Các em có nhận xét gì nếu ta thay đổi yêu cầu của bài toán như sau:
2. Ví dụ 2:
Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B cách nhau 108 km. Hai ôtô cùng khởi hành
một lúc từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên
đến B trước xe thứ hai 12 phút. Tính thời gian đi hết quãng đường AB của mỗi
xe.
- Vói yêu cầu này thì bài toán chuyển động ban đầu yêu cầu tính vận tốc của
mỗi xe trở thành tính thời gian đi hết quãng đường AB của mỗi xe, các em đã
biết vận dụng bài toán trên để lập bảng số liệu và trình bày lời giải như sau:
- Sau khi cho học sinh đọc kĩ đề bài toán tôi phát phiếu học tập và yêu cầu các
em trả lời câu hỏi rồi điền số liệu vào bảng số liệu trong bảng như bài toán trên.
Ô tô thứ nhất Ô tô thứ hai
Thời gian ( h) (km/h)
(km/h)
4
Vận tốc (km/h) (h)
(h)
GV cho học sinh đối chiếu kết quả và lên bảng trình bày lời giải bài toán này.
 Cách 1: Giải: Đổi: 12 phút = (h)
Gọi thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là x (giờ) (điều kiện x > 0)
Thì thời gian Ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là (giờ)
Vận tốc Ô tô thứ nhất là (km/h), Vận tốc Ô tô thứ hai là (km/h)
Theo bài ra mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km ta có phương
trình:
- = 6

Ta có:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: ;
Nhận thấy > 0 (thoả mãn điều kiện), < 0 (loại)
Trả lời: Thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là: (h) = 1giờ 36 phút.
Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là + = (h) =1 giờ 48 phút.
 Như vậy qua bài toán này tôi đã hướng dẫn cho học sinh cách giải bài
toán bằng cách lập phương trình dạng toán chuyển động cùng chiều và hướng
dẫn khai thác bài toán này ta sẽ có những bài toán có cách làm tương tự qua đó
các em được rèn luyện kĩ năng trình bày lời giải, vận dụng kiến thức, khả năng
phân tích, dự đoán. . .
3. Ví dụ 3: Bài 57: (SBT – 47)
Hai sân bay Hà Nội và Đà Nẵng cách nhau 600 km. Một máy bay cánh quạt từ
Đà Nẵng đi Hà Nội. Sau đó 10 phút một máy bay phản lực từ Hà Nội bay đi Đà
Nẵng với vận tốc lớn hơn vận tốc của máy bay cánh quạt là 300 km/h. Nó đến
Đà Nẵng trước khi máy bay kia đến Hà Nội 10 phút. Tính vận tốc của mỗi máy
bay.
Hướng dẫn cách giải:
- Nhìn chung các em đều nhận dạng được bài toán và trình bày lời giải sau khi
thảo luận trong nhóm
Bảng số liệu:
Máy bay cánh quạtMáy bay phản lực
Vận tốc (km/h) x (km/h) (km/h)
Thời gian ( h) (h)
(h)
- Sau khi kiểm tra kết quả của một số nhóm và đối chiếu với kết quả của GV
trên máy chiếu nhìn chung các em đều làm được bài tập này
Giải: Đổi: 10 phút = (h)

Gọi vận tốc của máy bay cánh quạt là x (km/h) (điều kiện x > 0)
5
thì vận tốc của máy bay phản lực là x + 300 (km/h)
Thời gian của máy bay cánh quạt đi là (giờ)
Thời gian máy bay phản lực đã đi là (giờ)
Theo bài ra máy bay phản lực đến sớm hơn máy bay cánh quạt 10 phút nên ta
có phương trình: - =


Giải phương trình này ta được:
Nhận thấy x = 600 > 0 thoả mãn điều kiện
Trả lời: Vận tốc của máy bay cánh quạt là 600 (km/h) và vận tốc của máy bay
phản lực là 900 (km/h)
4. Ví dụ 4: Bài 56: (SBT – 46)
Quãng đường từ Thanh Hoá - Hà Nội dài 150 km. Một Ô tô từ Hà nội vào
Thanh Hoá rồi nghỉ lại thanh Hoá 3 giờ 15 phút, rồi trở về Hà Nội hết tất cả 10
giờ. Tính vận tốc của ô tô lúc về, biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn lúc về là 10
km/h.
Hướng dẫn cách giải:
+) GV phát phiếu học tập và yêu cầu học sinh chọn ẩn và điền vào bảng số liệu
ở trong bảng (5 phút) Hãy thiết lập phương trình ?
GV Chiếu kết quả để học sinh đối chiếu với bài làm của nhóm.
Lúc Đi Lúc Về
Vận tốc (km/h) (km/h)
(km/h)
Thời gian ( h) (h)
(h)
Ta có phương trình sau: + + = 10
Từ đó giáo viên hướng dẫn và trình bày lời giải cho học sinh.
Giải: Đổi: 3 giờ 15 phút = (h)

Gọi vận tốc của Ô tô lúc về là x (km/h) (điều kiện x > 0)
thì vận tốc của Ô tô lúc đi là x + 10 (km/h)
Thời gian Ô tô đi từ Hà Nội vào Thanh Hoá là (giờ)
Thời gian Ô tô đi từ Thanh Hóa đến Hà Nội là (giờ)
Theo bài ra Ô tô từ Hà nội vào Thanh Hoá rồi nghỉ lại thanh Hoá 3 giờ 15 phút,
rồi trở về Hà Nội hết tất cả 10 giờ nên ta có phương trình:
+ + = 10




Giải phương trình này ta được
Nhận thấy x = 40 > (thoả mãn đ/k) nên vận tốc Ô tô lúc về là 40 (km/h).
+) Sau khi giải xong bài toán tôi hỏi có em nào có cách làm khác không ?
Có em đã nêu cách lập phương trình như sau: + = 10 -
6
từ đó cũng tìm được kết quả như trên
 Như vậy:
- Trong quá trình giải bài toán chuyển động các em cần hiểu đúng bản chất của
từng đại lượng trong đề bài đã cho để có lời giải hợp lí.
- Ta cần chú ý đến việc chọn ẩn (Yêu cầu tính đại lượng nào thì gọi đại lượng
đó làm ẩn số) và đặt điều kiện cho ẩn để từ đó có thể biểu diễn các đại lượng
chưa
biết qua ẩn dựa vào công thức từ đó thiết lập phương trình.
- Bài tập này tuy có một vật chuyển động cả xuôi chiều và ngược chiều nên
trong quá trình giải chúng ta cần xác định rõ các đối tượng tham gia chuyển
động để lập bảng số liệu cho phù hợp từ đó xây dựng cách giải.
- Khi tôi cho học sinh giải xong bài tập trên tôi yêu cầu các em làm bài tập sau:
5. Ví dụ 5: (STK – Rèn luyện kĩ năng giải toán THCS)
Một ôtô đi trên quãng đường dài 520 km. Sau khi đi được 240 km thì ôtô tăng

vận tốc thêm 10 km/h và đi hết quãng đường còn lại. Tính vận tốc của ôtô lúc
ban đầu, biết thời gian đi hết quãng đường là 8 giờ.
Hướng dẫn cách giải:
- GV yêu cầu học sinh xác định đoạn đường đi
+) Độ dài đoạn đường ôtô đi lúc đầu là ? 240 km
+) Độ dài đoạn đường còn lại là ? 520 - 240 = 280 (km)
- Dựa vào bài toán trên nhìn chung các em đều nhận thấy nội dung bài toán có
sự giống nhau xong còn một số em chưa xác định đúng độ dài đoạn đường đi
lúc đầu, đoạn đường đi lúc sau nên thiết lập phương trình còn sai.
Đoạn đầu Đoạn sau
Quãng đường ( km) 240 km 280 km
Vận tốc (km/h) km/h)
(km/h)
Thời gian (h) (h)
h)
Theo bài ra ta có phương trình:
Vậy trong trường hợp này chỉ có một vật tham gia chuyển động nhưng đoạn
đường đi được chia thành 2 đoạn nên ta cần xác định rõ đoạn đường đi lúc đầu,
đoạn đường sau để điền đúng số liệu vào bảng, từ đó có lời giải đúng khi đó ta
có lời giải như sau:
Giải:
Gọi vận tốc của ôtô đi lúc đầu là x (km/h) (điều kịên x > 0)
Thì vận tốc của ôtô trên đoạn đường còn lại là: x + 10 (km/h)
Thời gian ôtô đi đoạn đường đầu là (giờ)
Thời gian ôtô đi trên đoạn đường còn lại là (giờ)
Theo bài ra thời gian đi hết quãng đường là 8 giờ nên ta có phương trình:



7

Giải phương trình ta được: ;
Nhận thấy > 0 thoả mãn đ/k bài toán; < 0 không thoả mãn đ/k.
Trả lời: Vậy vận tốc của ôtô đi lúc đầu là: 60 (km/h).
6. Ví dụ 6: (STK – Rèn luyện kĩ năng giải toán THCS)
Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. vận tốc của họ hơn
kém nhau 3 km/h, nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của
mỗi người biết rằng quãng đường AB dài 30 km.
Hướng dẫn cách giải:
- Sau khi cho học sinh đọc kĩ đề bài toán này tôi yêu cầu học sinh thiết lập bảng
số liệu để từ đó thiết lập phương trình, nhưng các em gặp khó khăn không biết
xe đạp thứ nhất hay xe đạp thứ hai chuyển động nhanh, chậm nên không điền
được số liệu vào bảng số liệu.
- Tôi lưu ý cho học sinh trong 2 xe đạp thì chắc chắn có một xe đi nhanh và một
xe đi chậm nên nếu gọi vận tốc của xe đi chậm là x thì hãy điền số liệu vào bảng
số liệu trong bảng sau:
Xe đi chậm Xe đi nhanh
Vận tốc (km/h) (km/h)
(km/h)
Thời gian ( h) (h)
(h)
- Với gợi ý trên tôi cho học sinh thảo luận nhóm sau 7 phút tôi kiểm tra kết quả
của các nhóm và đối chiếu kết quả trên máy chiếu.
- Căn cứ vào những gợi ý trên tôi gợi ý các em đã trình bày lời giải như sau:
Giải: Đổi: 30 phút = (h)
Gọi vận tốc của xe đạp đi chậm là x (km/h) (điều kiện x > 0)
thì vận tốc của xe đạp đi nhanh là (km/h)
Thời gian xe đạp đi chậm đi là (h), Thời gian xe đạp đi nhanh đi là (h)
Theo bài ra hai xe đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút nên ta có phương trình:

- =



Ta có:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: ;
Nhận thấy > 0 (thoả mãn điều kiện), (loại)
Trả lời: Vận tốc của xe đạp đi chậm là 12 (km/h)
Vận tốc của của xe đạp đi nhanh là 12 + 3 = 15 (km/h)
- Qua bài tập này tôi lưu ý cho học sinh nếu đề bài cho biết mối quan hệ giữa
các đại lượng chưa rõ ràng thì ta cần xác định rằng trong 2 xe đạp này chắc chắn
có một xe đi nhanh, có một xe đi chậm để từ đó điền số liệu vào bảng số liệu và
giải.
8
 Phương pháp chung:
- Đọc kĩ đề bài và lập bảng số liệu để từ đó chọn ẩn và biểu diễn các đại lượng
chưa biết qua ẩn
- Đối với bài toán chuyển động thì chúng ta cần vận dụng linh hoạt các công
thức ; ; để biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn số. Từ đó tìm mối tương
quan giữa chúng để thiết lập phương trình.
 Chú ý:
- Điều kiện của bài toán thay đổi vì vậy trong quá trình chọn ẩn ta cần chú ý
đặt điều kiện của ẩn sao cho phù hợp.
- Nhận thấy kết quả của bài toán không thay đổi nếu ta thay đổi cách chọn
ẩn cùng loại.
- Khi chọn ẩn ta nên chọn đại lượng nhỏ làm ẩn để thuận lợi trong quá trình đặt
điều kiện và tính toán cũng như so sánh kết quả để trả lời bài toán.
 Bài tập áp dụng:
1. Bài 1: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT)
Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến đỉnh B cách nhau 36 km. Sau khi đi được 2

giờ người đó nghỉ lại 15 phút. Sau đó người đi xe đạp phải tăng vận tốc thêm 4
km /h và đến B đúng giờ qui định. Tìm vận tốc lúc đầu của người đi xe đạp.
2. Bài 2: (Toán nâng cao và chuyên đề Toán 8)
Một người đi xe đạp, một người đi xe máy, và một ôtô cùng đi từ A đến B,
khởi hành lần lượt lúc 7 giờ, 8 giờ, 9 giờ với vận tốc bằng 30km/h, 40km/h,
50km/h. Đến mấy giờ thì ôtô cách đều người đi xe đạp và người đi xe máy ?
DẠNG II: HAI VẬT CHUYỂN ĐỘNG NGưỢC CHIỀU.
1. Ví dụ 1:
Hai người đi xe máy khởi hành cùng một lúc, từ 2 địa điểm Hà Nội và Hải
Dương cách nhau 60 km và đi ngược chiều nhau, sau 40 phút họ gặp nhau tính
vận tốc của mỗi người. Biết vận tốc của người đi từ Hà Nội bằng vận tốc của
người đi từ Hải Dương.
Hướng dẫn cách giải:
- GV yêu cầu học sinh tìm hiểu đề và suy nghĩ tìm lời giải - phân tích trên hình
vẽ minh hoạ chuyển động theo sơ đồ sau:
Giải: Đổi 40 phút = (h)
Gọi vận tốc của người đi từ Hải Dương là x (km/h) (điều kiện x > 0)
Thì vận tốc của người đi từ Hà Nội là (km/h)
Quãng đường của người đi từ Hải Dương đi được sau 40 phút là: (km)
Quãng đường của người đi từ Hà Nội đi được sau 40 phút là . (km)
Theo bài ra quãng đường Hà Nội –Hải Dương dài 60 km nên ta có phương
trình:
+ . = 60
10 x + 8 x = 900
18 x = 900
x = 50
9
Nhận thấy >0 thoả mãn điều kiện bài toán.
Trả lời: Vận tốc của xe máy đi từ Hải Dương là: 50 (km/h).
Vận tốc của xe máy đi từ Hà Nội là: (km/h)

2. Ví dụ 2:
Một Ô tô du lịch đi từ A đến B, sau 17 phút một Ô tô tải đì từ B về A. Sau khi
xe tải đi được 28 phút thì hai xe gặp nhau. Biết vận tốc của xe du lịch hơn vận
tốc của xe tải là 20 km/h và quãng đường AB dài 88 km. Tính vận tốc của mỗi
xe.
Hướng dẫn cách giải:
+) GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập.
Sau khi cho học sinh đọc kĩ đề bài toán trên màn hình tôi phát phiếu học tập và
yêu cầu các em trả lời câu hỏi rồi điền số liệu vào bảng số liệu trong bảng sau:
Xe du lịch Xe tải
Vận tốc (km/h) (km/h)
(km/h)
Thời gian ( h) 17’+28’=45 phút = (h)
28 phút = (h)
Quãng đường ( km) km
km
Sơ đồ chuyển động:
- Đổi 28 phút = ? (giờ) ; 45 phút = ? (giờ)
- Bài toán yêu cầu tính đại lượng nào ? ( Vận tốc của mỗi xe)
- Nếu gọi vận tốc của xe du lịch là x (km/h) vận tốc của xe tải là y (km/h) thì
quãng đường từng xe đi được là bao nhiêu ? Tính như thế nào ?
- Theo bài ra vận tốc xe du lịch lớn hơn vận tốc xe tải là 20 km/h nên ta có
phương trình nào?
- GV hướng dẫn cho học sinh thiết lập phương trình hệ phương trình của bài
cần lập được là:
+) Với gợi ý trên tôi cho học sinh thảo luận nhóm sau 7 phút tôi kiểm tra kết
quả của các nhóm và đối chiếu kết quả trên máy chiếu.
+) Căn cứ vào những gợi ý trên tôi gợi ý các em đã trình bày lời giải bài toán
như sau:
 Cách 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn.

Giải:
Gọi vận tốc xe du lịch là x (km/h); Vận tốc xe tải là y (km/h) (Điều kiện: x > y
> 0) Theo bài ra vận tốc xe du lịch lớn hơn vận tốc xe tải là 20 (km/h) nên ta có
phương trình : (1)
10
- Quãng đường xe du lịch đi được trong 45 phút là: (km); Quãng đường xe tải
đi được trong 28 phút là: (km)
Theo bài ra quãng đường AB dài 88km nên ta có phương trình:
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
(thoả mãn)
Vậy vận tốc xe du lịch là 80 (km/h); Vận tốc xe tải là 60 (km/h)
 Cách 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất 1 ẩn.
Gọi vận tốc xe du lịch là x (km/h) (Đ/K: x>20) thì vận tốc xe tải là x - 20 (km/h)
Quãng đường xe du lịch đi được được trong 45 phút là: (km/h)
Quãng đường xe tải đi được trong 28 phút là: (km/h)
Theo bài ra quãng đường Hà Nội–Hải Dương dài 60 km nên ta có phương trình:
+ = 88
3.15x + 7.4.(x - 20) = 88.15 .4
45x + 28x - 560 = 5280
73x = 5840 x = 80 (Thoả mãn)
Vậy vận tốc xe du lịch là 80 (km/h); Vận tốc xe tải là 80 – 20 = 60 (km/h)
Như vậy trong trường hợp này ta có thể giải bài tập này bằng cách lập hệ
phương trình hoặc giải bài toán bằng cách lập phương trình đều cho ta một kết
quả duy nhất nên trong quá trình giải bài toán cần vận dụng phương pháp giải
hợp lí. (trong trường hợp này ta nên đưa bài toán về dạng phương trình bậc
nhất để giải cho thuận lợi cũng như tính toán)
3. Ví dụ 3: Bài 58: (SBT – 47)
Hà Nội cách Nam Định 90 km. Hai Ô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ Hà
Nội, xe thứ hai từ Nam Định và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ chúng gặp

nhau.
Hai xe tiếp tục đi, xe thứ hai tới Hà Nội trước khi xe thứ nhất tới Nam Định là
27 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn cách giải:
- Đối với bài toán này sau khi tìm hiểu đề bài các em gặp khó khăn trong việc
biểu diễn vận tốc của thứ hai vì không xác định được mối quan hệ về vận tốc
của 2 xe này.
- GV yêu cầu học sinh thảo luận nhóm và điền vào bảng số liệu trong phiếu học
tập sau khi trả lời các câu hỏi sau:
Xe thứ nhất (HN- NĐ) Xe thứ hai ( NĐ- HN)
Vận tốc (km/h) (km/h)
(km/h)
Quãng đường đi sau khi đã gặp nhau (km) (km)
(km)
Thời gian đi (h) (h)
(h)
11
- Nếu gọi vận tốc của xe thứ nhất là x, Sau 1 giờ 2 xe gặp nhau, thì tổng quãng
đường đi được của 2 xe trong 1 giờ là bao nhiêu km ? (90 km)
- Vận tốc của xe thứ hai được tính như thế nào? 90 – x (km/h)
- Xác định đoạn đường đi sau khi 2 xe đã gặp nhau? Biểu diễn thời gian đi trên
đoạn còn lại của mỗi xe?
- Sau khi gặp nhau cả 2 xe tiếp tục đi, xe thứ hai tới Hà Nội trước khi xe thứ
nhất tới Nam Định là 27 phút nên ta có phương trình nào?
Từ đó các em trình bày lời giải như sau:
Giải: Đổi 27 phút = (giờ)
Gọi vận tốc của Ô tô đi từ Hà Nội đến Nam Định là x (km/h) (ĐK: 0 < x < 90)
Vì sau 1 giờ thì 2 xe gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường đi được của 2 xe
trong 1 giờ là 90 km, hay tổng vận tốc của hai xe là 90km. Do đó vận tốc của
xe đi từ Nam Định đến Hà Nội là 90 – x (km/h)

Quãng đường mà xe thứ nhất phải đi tiếp là (90 – x) km
nên thời gian xe thứ nhất đi tiếp để tới Nam Định là (giờ)
thời gian xe thứ hai đi tiếp để tới Hà Nội là (giờ)
Theo bài ra ta có phương trình:





Giải phương trình này ta được: ;
Nhận thấy 90 > > 0 thoả mãn điều kiện, còn > 90 không thoả mãn điều kiện 0
< x < 90.
Trả lời: Vận tốc của Ô tô đi từ Hà Nội đến Nam Định là: 40 (km/h).
Vận tốc của xe đi từ Nam Định đến Hà Nội là: 90 - 40 = 50 (km/h)
4. Ví dụ 4: (500 bài toán nâng cao và cơ bản)
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc đó một ô tô khởi
hành từ B đến A với vận tốc hơn vận tốc xe đạp 18km/h. Sau khi 2 xe gặp nhau
xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tính vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn cách giải:
- GV yêu cầu học sinh tìm hiểu đề bài và tìm cách giải, nhưng các em gặp khó
khăn trong việc xác định quãng đường đi của xe đạp, của ôtô nên không tính
được thời gian đã đi của xe đạp và ôtô.
- Sau khi 2 xe gặp nhau xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B, thì quãng
đường còn lại của mỗi xe là bao nhiêu? Hãy biểu diễn thời gian đi trên đoạn
đường đó của mỗi xe?
– Dựa vào đâu để thiết lập phương trình? (GV lưu ý mối quan hệ thời gian của 2
xe)
Xe đạp Ôtô
Vận tốc (km/h) (km/h)
(km/h)

Quãng đường đi đến chỗ gặp nhau (km) (km)
(km)
12
Thời gian đi (h) (h)
(h)
Giải:
Gọi vận tốc của người đi xe đạp là x (km/h) ( Điều kiện: x > 0 )
thì vận tốc của ô tô là x + 18 (km/h)
Quãng đường xe đạp đi từ chỗ gặp nhau đến B là 4x (km)
Quãng đường Ô tô đi từ A đến chỗ gặp nhau là 108 – 4x (km)
Thời gian xe đạp đi từ A đến chỗ gặp nhau là (h)
Thời gian Ô tô đi từ B đến chỗ gặp nhau là (h)
Theo bài ra sau khi hai xe gặp nhau thì xe đạp phải đi 4 giờ nữa mới tới B, nên
ta có phương trình: =




Giải phương trình này ta được: ;
Nhận thấy x = 18 > 0 thoả mãn điều kiện
Trả lời: Vận tốc của của xe đạp là: 18 (km /h).
Vận tốc của Ô tô là: 18+18 = 36 (km/h)
 Phương pháp chung:
- Như vậy trong chuyển động ngược chiều thì cần xác định rõ mối quan hệ về
vận tốc của mỗi xe cũng như tính được quãng đường đi của mỗi xe để từ đó tính
thời gian đi trên đoạn đường đó từ đó tìm mối tương quan về thời gian để thiết
lập phương trình. (như các ví dụ 3 – Ví dụ 5)
- Đối với bài toán chuyển động thì chúng ta cần vận dụng linh hoạt công thức ;
; để biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn số. Từ đó tìm mối
tương quan giữa chúng để thiết lập phương trình.

- Phải so sánh kết quả tìm được với điều kiện ban đầu của bài toán để trả lời
(chú ý kết quả phải mang tính thực tế)
 Bài tập áp dụng:
1. Bài 1: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT- Năm học: 2006 -2007)
Khoảng cách giữa 2 thành phố A và B là 180 km. Một ôtô đi từ A đến B, nghỉ
90 phút, rồi lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về A là 10 giờ. Biết
vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô.
2. Bài 2: (Toán nâng cao và chuyên đề Toán 8)
Có 3 ôtô chạy trên cùng một đoạn đường AB. Cùng một lúc ôtô thứ nhất chạy
từ A, ôtô thứ hai chạy từ B. khi ôtô thứ nhất chạy tới B thì ôtô thứ ba bắt đầu đi
về A và cùng tới A với ô tô thứ hai. Tại giữa quãng đường AB một người thấy
rằng sau khi ôtô thứ nhất đi qua thì thấy ôtô thứ hai đi qua và sau đó 20 phút thì
thấy ôtô thứ ba đi qua. Vận tốc của ôtô thứ ba là 120 km /h. Tính vận tốc ôtô thứ
nhất, ôtô thứ hai và quãng đường AB.
DẠNG III: CHUYỂN ĐỘNG VỚI DÒNG NưỚC.
1. Ví dụ 1: Bài 60: (SBT – 47)
Một bè gỗ được thả trôi trên một dòng sông từ đập Ya – ly. Sau khi bè gỗ 5 giờ
13
20 phút, một xuồng máy cũng xuất phát từ đập Ya – ly đuổi theo và đi được 20
km thì gặp bè gỗ. Tính vận tốc của bè gỗ biết rằng xuồng máy chạy nhanh hơn
bè gỗ 12km/h.
Hướng dẫn cách giải:
- GV phát phiếu học tập và yêu cầu học sinh thảo luận nhóm điền số liệu vào
bảng khi ta gọi vận tốc của bè gỗ là x. Hãy biểu diễn các đại lượng còn lại qua
ẩn số.
Bè gỗ Xuồng máy
Vận tốc (km/h) x (km/h) (km/h)
Thời gian đi (h) (h)
(h)
Dựa vào các kiến thức đã học các em trình bày lời giải như sau.

Giải: Đổi: 5h20’ = h
Gọi vận tốc của bè gỗ là x (km/h) (ĐK: x > 0)
Thì vận tốc của xuồng máy là x + 12 (km/h).
Thời gian bè gỗ trôi đến lúc gặp xuồng là (h)
Thời gian xuồng máy đi đến khi gặp bè gỗ là (h)
Theo bài ra sau khi bè gỗ trôi được 5 giờ 20 phút thì xuồng đuổi theo và gặp bè
gỗ nên ta có phương trình: - =




Giải phương trình này ta được: ;
Nhận thấy x = 3 > 0 thoả mãn điều kiện , (loại)
Trả lời: Vậy vận tốc của bè gỗ là 3 (km /h).
2. Ví dụ 2: (Bài 177 - Toán bồi dưỡng học sinh Đại Số 9)
Một ca nô xuôi dòng 45 km và ngược dòng 18 km. Biết thời gian xuôi dòng lâu
hơn thời gian ngược dòng 1 giờ và vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược
dòng là 6 km/h. Tính vận tốc của ca nô lúc ngược dòng.
Hướng dẫn cách giải:
- Hãy xác định quãng đường xuôi dòng, quãng đường ngược dòng từ đó
biểu
diễn thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng theo ẩn.
- GV chiếu nội dung bảng số liệu để học sinh đối chiếu, so sánh, kiểm tra
lại kết quả và trình bày lời giải
Xuôi dòng Ngược dòng
Vận tốc (km/h) (km/h)
(km/h)
Thời gian đi (h) (h)
(h)
14

Giải: Đổi: 5h20’ = h
Gọi vận tốc của ca nô lúc ngược dòng là x (km/h) (ĐK: x > 0)
Thì vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng là x + 6 (km/h).
Thời gian xuôi dòng là (h); Thời gian ngược dòng là (h)
Theo bài ra thời gian xuôi dòng lâu hơn thời gian ngược dòng 1 giờ nên ta có
phương trình :



Giải phương trình này ta được: ;
Nhận thấy ; > 0 thoả mãn điều kiện
Trả lời: Vậy vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng là 12 (km /h), hoặc 9 (km/h)
 Lưu ý: Bài toán này có 2 kết quả đều thoả mãn điều kiện bài toán nên ta
kết luận có 2 kết quả còn các trường hợp khác thì thường chỉ nhận một giá trị
thoả mãn điều kiện.
3. Ví dụ 3: Bài 59: (SBT – 47)
Một xuồng máy xuôi dòng sông 30 km và ngược dòng 28 km hết một thời gian
bằng thời gian mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yêu lặng. Tính vận tốc của
xuồng khi đi trong hồ biết rằng vận tốc của nước chảy trên sông là 3 km/h.
Hướng dẫn cách giải:
- Đối với bài toán này các em cần vận dụng công thức chuyển động với dòng
nước (vxuôi = vThựcư + v nước ; vNgược = vThựcư - v nước)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn?
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h) điều kiện x > 3
- Biểu diễn vận tốc xuôi dòng, vận tốc ngược dòng khi biết vận tốc của dòng
nước là 3 km và vận tốc thực của ca nô là x (km/h)?
- Hoàn thành bảng số liệu sau
Xuôi dòng Ngược dòng Trong hồ
Vận tốc (km/h) (km/h)
(km/h)

x
Thời gian đi (h) (h)
(h)
(h)
- Lưu ý: Cần xác định dúng quãng đường xuôi dòng, ngược dòng và cách tính
thời gian và mối quan hệ giữa thời gian đi trong hồ với thời gian xuôi, ngược
dòng để từ đó thiết lập phương trình.
Giải:
Gọi vận tốc của xuồng khi đi trên hồ là x (km/h) (Điều kiện x > 3)
thì vận tốc xuôi dòng là x + 3 (km/h), vận tốc ngược dòng là x - 3 (km/h).
Thời gian xuồng khi đi trong hồ 59,5 km là (giờ)
Thời gian xuồng máy xuôi dòng 30 km là (giờ)
Thời gian xuồng máy ngược dòng 28 km là (giờ)
Theo bài ra ta có phương trình: + =
15





Giải phương trình này ta được: ;
Nhận thấy x = 17 > 0 thoả mãn điều kiện
Trả lời: Vậy vận tốc của xuồng khi đi trên hồ là 17 (km /h).
4. Ví dụ 4:
Trên cùng một dòng sông, một ca nô chạy xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63
km hết tất cả 7 h. Nếu ca nô xuôi dòng 81km và ngược dòng 84 km thì hết 7 h.
Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nước.
Hướng dẫn cách giải:
- GV Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi, lập bảng và điền vào bảng số liệu.
+) Ta cần tìm đại lượng nào? (Tính vận tốc thực của ca nô, vận tốc dòng nước)

+) Nếu gọi vận tốc thực của ca nô là x và vận tốc của dòng nước là y hãy biểu
diễn vận tốc xuôi dòng, vận tốc ngược dòng và thời gian đi tương ứng.
Xuôi dòng Ngược dòng
Vận tốc ( km/h) (km/h)
(km/h)
Thời gian lần 1 (h)
(h)
Thời gian lần 2 (h)
(h)
- Tính thời gian xuôi dòng 108km và thời gian ngược dòng 63 km ta có phương
trình nào ?
- Tính thời gian xuôi dòng 81 km và thời gian ngược dòng 84 km ta có phương
trình nào ?
Giải:
- Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h), vận tốc của dòng nước là y (km/h)
( Điều kiện: x > y > 0)
Thì vận tốc xuôi dòng là x + y (km/h), vận tốc ngược dòng là x - y (km/h)
- Theo bài ra thời gian xuôi dòng 108km và ngược dòng 63 km hết 7 giờ nên ta
có phương trình (1)
- Theo bài ra thời gian xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km hết 7 giờ nên ta
có phương trình (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: đặt: a = ; b =
Ta có hệ phương trình:
( thoả mãn )
Vậy vận tốc thực của ca nô là 24 (km/h), vận tốc của dòng nước là: 3 (km/h)
5. Ví dụ 5: (500 bài toán nâng cao và cơ bản)
16
Một chiếc thuyền xuôi dòng, ngược dòng trên một khúc sông dài 40 km hết 4
giờ 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5 km bằng thời gian thuyền ngược
dòng 4 km. Tính vận tốc của dòng nước.

Hướng dẫn cách giải:
- Bài toán cần tính gì ? Tính ntn ? ( Tính vận tốc của dòng nước – tính dựa vào
vận tốc xuôi dòng . . .)
- Bài toán có nội dung giống bài toán trên không ? Vậy khi đó ta tính vận tốc
của dòng nước như thế nào?
- Với những hướng dẫn trên các em nhận thấy nội dung bài tập tương tự bài tập
trên từ đó các em trình bày như sau.
Giải: Đổi 4 giờ 30 phút = (h)
Gọi vận tốc của thuyền khi nước yên lặng là x (km/h) và vận tốc của dòng nước
là y (km/h). (điều kiện x > y > 0)
Vận tốc của thuyền khi xuôi dòng là x + y (km/h)
Vận tốc của thuyền khi ngược dòng là x - y (km/h)
Thời gian xuôi dòng 5 km là (h), Thời gian ngược dòng 4 km là (h)
Theo bài ra ta có phương trình: = (1)
Thời gian xuôi dòng 40 km là (h)Thời gian ngược dòng 40 km là (h)
Theo bài ra ta có phương trình: + = (2)
Từ (1) và(2) ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được x = 18 và y = 2. (thoả mãn điều kiện bài toán)
Vậy vận tốc của dòng nước là 2 (km/h)
* Chú ý: Qua bài toán này GV lưu ý cho học sinh cách trình bày lời giải bài
toán tuy chỉ yêu cầu tính vận tốc của dòng nước nhưng ta vẫn tính vận tốc thực
và vận tốc của dòng nước từ đó tìm được vận tốc của dòng nước và cách vận
dụng kiến thức đã học để giải các bài toán có liên quan.
 Phương pháp chung:
- Đối với bài toán chuyển động với dòng nước nếu biết vận tốc của dòng nước
thì
ta vận dụng công thức tính ;
- Điều kiện của vận tốc thực phải lớn hơn vận tốc của dòng nước.
- Phải xác định đúng quãng đường xuôi dòng, quãng đường ngược dòng để từ
đó tính thời gian xuôi dòng và thời gian ngược dòng.

- Trong nhiều trường hợp ta cần phải đưa bài toán về giải hệ phương trình bậc
nhất hai 2 ẩn số.
DẠNG IV: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG KHÁC.
1. Ví dụ 1:
Một xe máy dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu tăng vận
tốc thêm 5 km/h thì đến B sớm 3 giờ. Nếu giảm vận tốc 5 km/h thì đến B muộn
6 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định đi lúc đầu.
Hướng dẫn cách giải:
- GV yêu cầu học sinh tìm hiểu đề bài và điền vào bảng số liệu khi trả lời các
câu hỏi sau.
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường
Dự định x (km/h) y (h)
17
Lần 1 (km/h)
(h)

Lần 2 (km/h)
(h)

- Gọi vận tốc dự định là x (km/h) và thời gian dự định là y (h). Tính quãng
đường AB ?
- Điều kiện của x và y là gì? và điền tiếp các đại lượng chưa biết qua ẩn số x và
y trong bảng số liệu trên. (ĐK: x > 5; y > 3)
- Nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h đến B sớm 3 giờ so với dự định ta có phương
trình nào ? (1)
Nếu giảm vận tốc 5 (km/h) thì đến B muộn 6 giờ so với dự định ta có phương
trình nào ? (2)
Giải:
Gọi vận tốc dự định là x (km/h) và thời gian dự định là y (h) (ĐK: x > 5; y > 3),
Thì quãng đường AB dài là x.y (km)

Nếu tăng vận tốc thêm 5 (km/h) đến B sớm 3 giờ so với dự định nên ta có
phương trình: (1)
Nếu giảm vận tốc 5 (km/h) thì đến B muộn 6 giờ so với dự định nên ta có
phương trình: (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

(thoả mãn) Vậy vận tốc dự
định đi là 15 (km/h) và thời gian dự định đi là 12 giờ.
2. Ví dụ 2:
Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm
15 (km/h) thì đến B sớm 1 giờ, nếu xe giảm vận tốc đi 15 (km/h) thì đến B
muộn
2 giờ. Tính quãng đường AB.
Hướng dẫn cách giải:
- Quãng đường AB được tính như thế nào ?
(Để tính được quãng đường AB ta cần tìm được vận tốc dự định và thời gian dự
định đi để từ đó xác định quãng đường AB dựa vào công thức tính )
- Như vậy ta cần làm tương tự bài toán trên để tính được vận tốc dự định và thời
gian dự định từ đó tính được quãng đường AB
- Tôi yêu cầu học sinh lập bảng số liệu và đối chiếu khi GV chiếu lên màn hình
bài tập trên các em trình bày lời giải như sau:
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)
Dự định x (km/h) y (h) (km/h)
Lần 1 (km/h)
18
(h)
(km/h)
Lần 2 (km/h)
(h)
(km/h)

Giải:
- Gọi vận tốc dự định là x (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là y (h)
(Điều kiện x > 15, y > 1). Thì quãng đường AB là x.y (km)
- Nếu tăng vận tốc đi 15 (km/h) thì vận tốc là x + 15 (km/h) thì đến sớm 1 giờ
thời gian thực đi là y –1 (giờ) nên ta có phương trình (1)
- Nếu giảm vận tốc đi 15 (km/h) thì vận tốc là: x – 15 (km/h) thì đến muộn 2
giờ thời gian thực đi là y + 2 (giờ) nên ta có phương trình (2)
Từ (1) và(2) ta có hệ phương trình:

(thoả mãn)
Vậy vận tốc dự định là 45 (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là 4 (h)
Quãng đường AB là: S = v.t = 45 . 4 = 180 (km)
3. Ví dụ 3: (Tuyển chọn các đề Toán thi vào lớp 10)
Hai người đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau 60 km và đi
đến điểm C. Hướng chuyển động của họ vuông góc với nhau và gặp nhau sau 2
giờ. Tính vận tốc của mỗi người biết vận tốc của người đi từ A nhỏ hơn vận tốc
của người đi từ B là 6 km/h.
Hướng dẫn cách giải:
- Giáo viên vẽ sơ đồ chuyển động của hai người và yêu cầu học sinh tìm
hiểu để bài tìm lời giải.
- Gọi vận tốc của người đI từ A là x km/h .
- Tính vận tốc người đi từ B ?
- Tính quãng đường đi được của mỗi người ?
- Ta có phương trình nào ? Vì Sao ?
Giải:
Gọi vận tốc của người đi từ A là x(km/h) (điều kiện x > 0)
thì vận tốc của người đi từ B là x + 6 (km/h)
Quãng đường đi được trong 2 giờ của người đi từ A là 2x (km), của người đi từ
B là 2(x + 6) (km)
Theo bài ra quãng đường AB dài 60 km và hướng chuyển động của 2 người

vuông góc với nhau nên áp dụng định lí Pytago ta có phương trình:




Giải phương trình này ta được x1 = -24 (loại); x2 = 18 ( thoả mãn )
Vậy vận tốc người đi từ A là 18 (km/h) và vận tốc người đi từ B là 24 (km/h)
 Phương pháp chung:
19
- Qua ví dụ 1 và ví dụ 2 tôi lưu ý cho học sinh cách phân tích yêu cầu của đề để
từ đó xác định đại lượng cần tìm và các đại lượng có liên quan. ( Ví dụ để tính
được quãng đường AB trong trường hợp này ta cần tìm được vận tốc và thời
gian đã đi để từ đó xác định quãng đường AB ( ) )
- Đối với bài toán hai vật chuyển động vuông góc với nhau thì ta áp dụng định lí
Pytago để thiết lập phương trình.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: (Rèn luyện kĩ năng giải toán THCS)
Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm
14 km/h thì đến B sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì đến B muộn 1 giờ.
Tính vận tốc dự định và thời gian dự định.
Bài 2: (Tuyển chọn các đề Toán thi vào lớp 10)
Một ôtô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Khi còn cách trung điểm
của quãng đường 60 km thì xe tăng vận tốc thêm 10 km/h, nên đã đến B sớm
hơn dự định 1 giờ. Tính quãng đường AB.
Bài 3: (Tuyển chọn các đề Toán thi vào lớp 10)
Hai người đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau 105 km và đi
đến điểm C. Hướng chuyển động của họ vuông góc với nhau và gặp nhau sau 5
giờ. Tính vận tốc của mỗi người biết vận tốc của người đi từ A lớn hơn vận tốc
của người đi từ B là 7 km/h.
 BÀI HỌC KINH NGHIỆM : Qua quá trình giảng dạy:

“GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHưƠNG TRÌNH
- HỆ PHưƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG”
- Nhìn chung các em đều có kĩ năng vận dụng tương đối thành thạo các kiến
thức vào giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình dạng toán
chuyển động đã học vào giải các bài tập tương tự và nâng cao.
- Đối với dạng toán này giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh biết cách thiết
lập bảng số liệu để từ đó chọn ẩn, đặt điều kiện và biểu diễn các đại lượng thông
qua ẩn số từ đó tìm mối tương quan để thiết lập phương trình (hệ phương trình).
Chú ý so sánh kết quả tìm được với điều kiện để trả lời bài toán.
- Qua một số bài toán thực tế đã tạo nên hứng thú học tập cho học sinh, tạo
niềm tin và hiểu rõ hơn các ứng dụng thực tế của toán học trong đời sống và
thực tiễn.
- Đối với mỗi dạng bài tập giáo viên cần phải có lời giải mẫu cùng với sự phân
tích để các em hiểu và nắm bắt được phương pháp trình bày. Từ một bài tập cụ
thể giáo viên cần phải khai thác các cách giải cũng như mở rộng kiến thức (Tìm
các cách giải khác nhau hoặc thay đổi đối tượng cần tìm để học sinh tìm tòi lời
giải) nhằm phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh
- Khi xây dựng đề tài giáo viên phải chọn lọc, sắp xếp phân loại các bài tập theo
trình tự lôgíc từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp, Giáo viên cần khái quát
cách giải từng dạng bài tập đó vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học
cũng như các hình thức tổ chức dạy học phù hợp sao cho hiệu quả nhất.
- Tôi thực hiện dạy trên 2 lớp 9A ; 9C dạy với nội dung trên, còn đối với lớp 9B
tôi không thực hiện việc phân chia dạng bài mà để học sinh làm tổng hợp
 Kết quả như sau:
20
Lớp
sĩ số
Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL % SL % SL % SL %
9A 40 11 27,5% 12 30% 16 35% 3 7,5%

9B 39 3 7,8% 12 30,8% 16 40,9% 8 20,5%
9C 38 7 18,4% 10 26,3% 17 44,8% 4
10,5%
PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1) Kết luận:
Sau một thời gian nghiên cứu kết hợp với kinh nghiệm giảng dạy cũng như
trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cùng với sự giúp đỡ của bạn bè đồng
nghiệp tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm :
“GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHưƠNG TRÌNH HỆ PHưƠNG
TRÌNH DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG”
Tôi thấy rằng đa số các em đều tự giác, tích cực trong học tập vận dụng tương
đối linh hoạt kiến thức đã học về “Giải bài toán bằng cách lập phương trình –
Hệ phương trình dạng toán chuyển động” vào giải quyết các bài tập tương tự và
nâng cao cũng như các ứng dụng thực tế của toán học trong cuộc sống. Tuy
nhiên trong quá trình thực hiện đề tài không tránh khỏi thiếu sót kính mong
được sự góp ý xây dựng của các thầy, cô và đồng nghiệp để đề tài ngày càng
đầy đủ hơn tạo được hứng thú học tập của học sinh phát huy được tính tích cực
chủ động của các em trong quá trình học tập. Từ đó giúp các em thêm yêu thích
môn Toán.
2) Kiến nghị:
a) Đối với nhà trường:
Cần tạo điều kiện thuận lợi hơn nữa để giúp giáp viên giảng dạy tốt hơn. Trang
bị thêm đồ dùng dạy học, sách tham khảo để phục vụ tốt công tác giảng dạy.
b) Đối với nghành:
Mở những buổi hội thảo chuyên đề về bộ môn Toán để nâng cao trình độ
chuyên môn và học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp
Tôi xin chân thành cảm ơn!
21
22