SỬ DỤNG máy TÍNH CASIO FX E75ES để GIẢI PHƯƠNG TRÌNH bất PHƯƠNG TRÌNH TRONG đề THI dại học

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

1
SKKN: NGUYỄN KHÁNH NAM
ĐƠN VỊ: THPT NGHÈN

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Chuyên đề phương trình và bất phương trình vô tỷ là một chuyên đề khó,
gây nhiều trở ngại cho học sinh trong các kì thi đại học và cao đẳng do tính đa
dạng và không có qui tắc trong mỗi bài toán, đồng thời đây cũng là dạng bài tập
rèn luyện được tính tinh hoạt, sáng tạo cho học sinh.
Ngày nay máy tính cầm tay là dụng cụ học tập không thể thiếu được của
mỗi học sinh phổ thông bởi tính tiện dụng và giúp học sinh rất nhiều trong công
việc tính toán. Trong toán học đó là giải các phương trình bậc hai, bậc ba, hệ
phương trình, đạo hàm, tích phân, số phức đặc biệt trong các bộ môn trắc
nghiệm như Vật lý, Hoá học.
Trong quá trình giảng dạy và tìm tòi tôi nhận thấy rằng công cụ máy tính
cầm tay hỗ trợ rất đắc lực trong việc giải các bài toán về phương trình và bất
phương trình vô tỷ, nếu học sinh được rèn luyện các kĩ năng dùng máy tính
thành thạo thì việc giải các bài toán thuộc dạng này trở nên rõ ràng hơn. Đó
cũng là lí do tôi chọn nghiên cứu chuyên đề:

“SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC”
2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh các kĩ năng sử dụng máy
tính cầm tay trong việc xác định nghiệm, kết hợp với các phép biến đổi về

phương trình, bất phương trình để giải quyết trọn vẹn bài toán phương trình, bất
phương trình vô tỷ. Qua đó học sinh vận dụng vào các chuyên đề khác trong
toán học và các môn khoa học khác.
3. Phương pháp nghiên cứu:
Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học.
Thực hành giải các bài toán trên máy tính cầm tay.
Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những khó khăn của học sinh trong quá
trình giải quyết bài phương trình, bất phương trình vô tỷ. Từ đó đề xuất phương
án giải quyết, tổng kết thành kinh nghiệm.
4. Phạm vi nghiên cứu:
Chuyên đề nghiên cứu các bài toán về phương trình, bất phương trình vô
tỷ, tuy nhiên đề tài chỉ đề cập đến các bài toán có thể dùng công cụ máy tính
GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

2
cầm tay hỗ trợ, cụ thể là máy tính Casio fx 570ES và Casio fx 570ES PLUS
(được phép sử dụng trong các kì thi). Các bài toán được tổng hợp trong quá
trình bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi đại học.

5. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 10 các lớp có học lực khá.
Các đề thi chính thức, thi thử đại học, các bài viết trên các diễn đàn toán học
liên quan đên vấn đề phương trình và bất phương trình vô tỷ.
6. Điểm mới của đề tài:
Rèn luyện được các kỹ năng tìm nghiệm bằng máy tính cho học sinh.
Với mỗi nội dung đều có trình bày bài toán, cú pháp dãy phím bấm, ví dụ minh
hoạ và bài tập đề nghị.
Định hướng lời giải các bài toán phương trình, bất phương trình vô tỷ
một các rõ ràng hơn, tạo thêm nhiều hứng thú cho học sinh khi gặp dạng toán
này.

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

3




B. NỘI DUNG

I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
THÀNH NHÂN TỬ.
1.1 Kiến thức cơ bản:

   


   
2
0g x
f x g x
f x g x


 







   


   
0g x
f x g x
f x g x


 






       
3
3
f x g x f x g x
  

Do khuôn khổ của chuyên đề, tôi không trình bày các chức năng cơ bản của
máy, phần này có thể xem ở tài liệu: “Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO
f
x
- 570ES ”.
1.2 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
2

4 8 2 3 1
x x x
   

Giải: Điều kiện
3
2
x
 

 
2
2
2
2
4 8 1 0 (1)
2 3 4 8 1
2 3 4 8 1 (2)
x x
x x x
x x x

   

     

    



4 2 3 2 4 3 2
(2) 2 3 16 64 1 64 8 16 8 32 28 7 1 0
x x x x x x x x x x
             
.
Đến đây chúng ta cần có sự hỗ trợ của máy tính:
B1: Nhập vào màn hình phương trình trên bằng cách bấm lần lượt các phím
8
4
x

32
3
x

28
2
x

7
x

1
ALPHA

0
.
B2: Bấm các phím
SHIFT
SOLVE

B3: Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X giá trị thuộc tập xác định, chẳng
hạn 1. Máy trả kết quả nghiệm
0,1043560763
X


Bấm
AC
, Bấm
ALPHA
SHIFT
STO
A

Nhập lại phương trình vào máy và bấm tiếp
SHIFT
SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X =2. Kết quả
1,780776404
X


Bấm
AC
, Bấm
ALPHA
SHIFT
STO

B

Nhập lại phương trình vào máy và bấm tiếp
SHIFT
SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X =-0,5. Kết quả
0,280776406
X
 

Bấm
AC
, Bấm
ALPHA
SHIFT
STO
B

Nhận xét:
ALPHA
A

ALPHA
B
=
1,885132483

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

4

ALPHA
B

ALPHA
C
=
3
2
,
Bấm tiếp
ALPHA
B
X
ALPHA
C
=
1
2

. Điều này chứng tỏ B và C là nghiệm
của phương trình bậc hai
2
2 3 1 0
x x
  
mà B và C cũng là nghiệm của phương
trình
4 3 2

8 32 28 7 1 0
x x x x
    
. Vậy phương trình đã cho tương đương với
  
2 2
5 21 3 17
2 3 1 4 10 1 0 ,
4 4
x x x x x x
 
        .
Đối chiếu với điều kiện, phương trình có nghiệm là
5 21 3 17
,
4 4
x x
 
 
Như vậy với sự hỗ trợ đắc lực của máy tính, chúng ta đã giải quyết được bài
toán một cách rất tự nhiên.
Ví dụ 2: Giải phương trình
2
1 1
3 2 3
2 4
x x x x
 
   
 

 

Giải: Bình phương 2 vế của phương trình ta có
2
2 2 4 3 2
1 1
3 12 16 32 232 8 1 0
2 4
x x x x x x x x
   
         
   
   

Đến đây chúng ta lại vận dụng máy tính tương tự như trong ví dụ 1 ta lại phân
tích được
  
2 2
5 2 6 3 2 2
4 20 1 4 12 1 0 ,
2 2
x x x x x x
  
       
Thử lại phương trình có nghiệm là
5 2 6 3 2 2
,
2 2
x x
  

  .
Nhận xét: Việc nhập các giá trị của biến X có thể
ngay từ đầu không cho kết quả như mong muốn nên ta phải thử một vài trường
hợp.
Ví dụ 3: Giải phương trình
23
2 2 2 6 3 0
x x x
     
.
Ta nhận thấy phương trình có chứa hai dấu căn, có thể giảm bậc của phương
trình bằng cách đặt
2
t x
 

Giải:
Điều kiện:
2
x

. Đặt 2
t x
 
với
0
t

ta có
2

2
x t
 
.
Phương trình đã cho trở thành
 
3
4 2 4 23
2 2 14 23 2 2 14 23
t t t t t t
        

Đến đây tiếp tục sử dụng kĩ thuật phân tích bằng máy tính ta được
  
2 2
1 5 3 129
1 2 3 15 0 ,
2 4
t t t t t t
  
         .
Đối chiếu điều kiện ta được
1 5 3 129
,
2 4
t t
  
 
Nếu
1 5 1 5

2
2 2
x x
  
   
Nếu
3 129 53 3 129
2
4 8
x x
  
   
GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

5
Nhận xét: Trong chuyên đề chỉ đề cập đến một số bài đưa về phương trình bậc
bốn nhưng phương pháp này vẫn áp dụng được cho các phương trình bậc cao
hơn, tuy nhiên việc phân tích cũng sẽ phức tạp hơn.
1.3 Một số bài toán tương tự:
Giải các phương trình sau
Bài 1:
2 2 2
4 3 3 4 1
x x x x x x
      

Bài 2:
 
2 2
2 5 2 3 1 1

3 3
x x x x
 
    
 
 

Bài 3:


3 1 4 2 3
x x x x x
     

Bài 4:
2
9 1 11 3 2 3
x x x x x
     

Bài 5:


2 3
2 6 5 8
x x x
   

Bài 6:
2

4 1 1
x x x x
    

Bài 7:
2
3 2 1 2 3
x x x x
     



II. PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP.
2.1 Kiến thức cơ bản:
Một số hằng đẳng thức hay dùng





2 2
x y x y x y
   






3 3 2 2

x y x y x xy y
    






3 3 2 2
x y x y x xy y
    








4 4 2 2
x y x y x y x y
    
.
Trong phần này chúng ta sẽ dùng chức năng tìm nghiệm phương trình của máy
tính
SOLVE
và tìm cách phân tích về nhân tử bằng cách nhân liên hợp.
2.2 Các ví dụ:
Ví dụ 1: (ĐH Khối D 2006)
2

2 1 3 1 0
x x x
    

Dễ dàng nhẩm được một nghiệm của phương trình là x=1. Tuy nhiên ở đây tôi
xin trình bày lại phương pháp nhẩm nghiệm bằng máy tính Casio như sau:
B1: Nhập vào màn hình phương trình trên băng cách bấm lần lượt các phím:
2
ALPHA
X

1


ALPHA
X
2
x

3
ALPHA
X

1
ALPHA

0
.
B2: Bấm các phím
SHIFT

SOLVE

B3: Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X giá trị thuộc tập xác định, chẳng
hạn 1.
Máy trả kết quả nghiệm bằng 1.
Từ nghiệm trên chúng ta sẽ phân tích phương trình về thừa số.
Giải:
ĐK
1
2
x

. Phương trình đã cho tương đương với
GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

6
 
2
2
2
2 1 2 1 0
1
( 1)
( 1) 1
1
1 1
2 1
2 1
x x x x
x

x
x
x x
x x
     


 

    


 

 


Phương trình (1) tương đương với
2
1 2 1 1 2 2 1
x x x x x
       

Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm
1, 2 2
x x  
.
Nhận xét: Bài trên có thể giải theo phương pháp bình phương đưa về phương
trình bậc bốn và tìm nghiệm.
Ví dụ 2: (Dự bị D 2006).

Giải phương trình:
2
2 7 2 1 8 7 1
x x x x x
        

Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng
SHIFT
SOLVE
:
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 6 máy tính được một nghiệm
x=5, tiếp tục bấm
SHIFT
SOLVE
và cho biến nhận giá trị 7 máy tính tiếp được
nghiệm thứ hai là x=4. Ta phân tích phương trình thành nhân tử
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với
   
  
1 2 1 2 7 ( 1)(7 ) 0
1 1 2 7 1 2 0
1 2 1 7 0
1 2 5
4
1 7
x x x x x
x x x x
x x x
x x

x
x x
        
        
      

  

 



  




Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn.
Ví dụ 3: (ĐH Khối B 2010)
Giải phương trình
2
3 1 6 3 14 8 0
x x x x
      
.
B1: Nhập vào màn hình phương trình trên băng cách bấm tổ hợp phím:
3
ALPHA
X


1


6

ALPHA
X

3
ALPHA
X
2
x

14
ALPHA
X

8

0
.
B2: Bấm các phím
SHIFT
SOLVE

B3: Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị thuộc tập xác định, chẳng
hạn 6.
Máy trả kết quả nghiệm bằng 5.
Rõ ràng để nhẩm được nghiệm bằng 5 không phải dễ dàng nếu không có công

cụ là máy tính.
Cách giải này trong đáp án của Bộ giáo dục.
Giải:
Điều kiện
1
6
3
x
  
.
Phương trình đã cho tương đương với:
GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

7





2
3 1 4 1 6 3 14 5 0
3( 5) 5
( 5)(3 1) 0
3 1 4 6 1
x x x x
x x
x x
x x
        
 

     
   


 
3 1
5 3 1 0
3 1 4 6 1
x x
x x
 
     
 
   
 

Do
3 1 1
3 1 0 ;6
3
3 1 4 6 1
x x
x x
 
       
 
   
 
nên phương trình đã cho có
nghiệm duy nhất x=5.

Ví dụ 4: (Thi Thử Đại học Sư phạm Hà Nội 2013)
Giải phương trình
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4
x x x x x x x
         
.
Dùng chức năng
SHIFT
SOLVE
ta dễ dàng nhẩm được nghiệm x=-3. Từ đó có
cách giải như sau:
Giải:
Điều kiện:
2
5 37
6
x
x

 






. Phương trình đã cho tương đương với
 
2 2 2 2

2 2 2 2
2 2 2 2
3 5 1 3 7 3 2 3 4 0
2 4 3 6
0
3 5 1 3 7 3 2 3 4
2 3
2 0
3 5 1 3 7 3 2 3 4
2
x x x x x x x
x x
x x x x x x x
x
x x x x x x x
x
          
 
  
        
 
   
 
        
 
 

(Thoả mãn điều kiện). Vậy phương trình có nghiệm x=2.
Ví dụ 5: Giải phương trình
2

9 20 2 3 10
x x x
   

Dùng chức năng
SHIFT
SOLVE
ta dễ dàng nhẩm được nghiệm x=-3. Từ đó có
cách giải như sau:
Giải: Điều kiện
10
3
x
 
. Phương trình đã cho tương đương với
 
  




2
2 3 10 1 3 10 1
9 18 2 3 10 2 3 6
3 10 1
x x
x x x x x
x
   
        

 



  
 
3( )
6 3
3 6
6
6
3 10 1
3 10 1
x TM
x
x x
x
x
x
 



   

 
 

 


Với
3
x
 
thì
6
3
3 10 1x

 
và
6 3
x
 
nên phương trình vô nghiệm
Với
10
3
3
x
   
tương tự có
6
3
3 10 1x

 
và

6 3
x
 
nên phương trình vô
nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=-3.
Ví dụ 6: Giải phương trình
2 2
12 5 3 5
x x x
    
(1)
GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

8
Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng
SHIFT
SOLVE
:
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 thì tìm ra nghiệm của phương
trình là:
0
2
x

. Ta có
2
0
12 4
x

 
nên -4 là hằng số cần thêm vào cho
2
12
x

và
2
0
5 3
x
 
nên -3 hằng số cần thêm vào cho
2
5
x

.
Giải:
Phương trình tương đương với




 
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2

12 4 5 3
x x
x x x x
x x
 
          
   
.
Nếu
2
x

thoả mãn
Nếu
2 2
2 2
4 4
3 0
12 4 5 3
x x
x x
 
  
   
(2).
Vì
2 2
12 5
x x
  

nên từ phương trình (1) suy ra
5
5 3 2 0
3
x x x
     
.
Vậy
2 2 2 2
2 2 2 2
3 0
12 4 5 3 12 4 5 3
x x x x
x x x x
   
    
       
nên (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm là
2
x

.
Ví dụ 7: Giải phương trình
3 2 3 3
12 46 15 5 1 2( 1)
x x x x x
      

Ta dễ dàng nhẩm nghiệm x=2, sử dụng kĩ thuật tách ẩn và theo nghiệm dự đoán

để có thể nhân liên hợp.
Phương trình đã cho tương đương với:
 
3 2 3 3
12 46 15 2 1 5 1 1 0
x x x x x
        

3 3
2 2
2
3 2 3 3
8 40 16 5 2
0
2 1 3(2 1) 1 3
12 46 15 5 1
2 4 2 4
x x x x
x x
x x x x
    
 
 
   
       
   
   

3 3
2 2

2
3 2 3 3
8( 5 2) 5 2
0
2 1 3(2 1) 1 3
12 46 15 5 1
2 4 2 4
x x x x
x x
x x x x
   
 
 
   
       
   
   

Mà
2 2
2
3 2 3 3
8 1
0
2 1 3(2 1) 1 3
12 46 15 5 1
2 4 2 4
x x
x x x x
 

 
   
       
   
   

nên
3
5 2 0 2, 1 2
x x x x       

Ví dụ 8 :




2 2 2
2 4 1 3 1 3
x x x x x x
    

Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng
SHIFT
SOLVE
:
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 và 10 thì tìm ra nghiệm của
phương trình là:
0, 1
x x
 

Thay x=1 vào
2
3
x x

kết quả bằng 2 nên tiếp tục dự đoán sẽ có nhân tử
2
3 2
x x x
 
.
Giải: Đk
2
3 0
x x
 

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

9
Phương trình tương đương với
 






 



2
2
2 2
2
2
2 2 2
2
2 2 1 3 3 1
2 3 2 3 2 3 1 0
0
2 3
1
x x x x x x
x x x x x x x x x
x
x x x
x
 
    
 
 
 
        
 
 


   





Cách 2: Có thể áp dụng phương pháp đạo hàm
Phương trình tương đương với
 


3
3
2 2
2 2 3 3
x x x x x x
    

Xét
3 2
( ) '( ) 3 1 0
f x x x f x x
     
suy ra
2
0
2 3
1
x
x x x
x



   




Ví dụ 9: Giải phương trình
2
3 1 5 4 3 3
x x x x
     

Dùng chức năng
SOLVE
ta có hai nghiệm là
0, 1
x x
 
, ta dự đoán
2
x x

là
thừa số chung cần phân tích.
Cần tìm
,
a b
sao cho phương trình



3 1 0
x ax b
   
(*)nhận
0, 1
x x
 
làm
nghiệm. Thay
0, 1
x x
 
vào (*) ta có
1 1
2 0 1
b b
a b a
 
 

 
   
 
. Vậy
1
x
 
là
biểu thức cần thêm vào cho
3 1

x

, tương tự
2
x
 
là biểu thức cần thêm vào
cho
5 4
x

.
Giải:
Điều kiện:
4
5
x
 
. Phương trình tương đương với
   


 
2
2 2
2
3 1 1 5 4 2 3
3
3 1 1 5 4 2
x x x x x x

x x x x
x x
x x x x
   
        
   
   
   
     

Nếu
2
0 0, 1
x x x x
    

Nếu
1 1
3 0
3 1 1 5 4 2x x x x
  
     
Vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm
0, 1
x x
 

Ví dụ 10: Giải bất phương trình
3 2

2 1 5 5 1
x x x x
    

Nghiệm của phương trình là
4
x


Điều kiện:
1
2
x
 
, Bất phương trình tương đương với


 
 
 
 
2
2
2 4
4 1
2 2 1 3
2
4 1 0 4
2 2 1 3
x

x x x
x
x x x x
x

   
 
 
       
 
 
 

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm
1
;4
2
S
 
 


 

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

10

Ví dụ 11: (Thi Thử Đại Học Vinh Khối A 2014)
Giải bất phương trình sau:





2
4 1 2 2 3 1 2
x x x x
     

Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng
SHIFT
SOLVE
:
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 máy tính được một nghiệm x=-
1, tiếp tục bấm
SHIFT
SOLVE
và cho biến nhận giá trị 10 máy tính tiếp được
nghiệm thứ hai là x=3. Ta phân tích phương trình thành nhân tử
Điều kiện:
1.
x
 
Nhận thấy
1
x
 
là một nghiệm của bất phương trình
Xét
1

x
 
khi đó bất phương trình tương đương với




   
 
 
     
3 2
2
2
4 1 2 2 2 3 3 2 12
4 3 4 3
3 2 4
1 2 2 3 3
4 4
3 1 3 0 1
1 2 2 3 3
x x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
        
 
     

   
 
      
 
   
 

Vì
1
x
 
nên
1 0
x
 
và
2 3 1
x
 
suy ra
 
2
4 4
3
1 2 2 3 3
4 4
1 3 0
1 2 2 3 3
x x
x

x x
 
   
     
   

Do đó bất phương trình (1)
3 0 3
x x
    
. Vậy tập nghiệm là
1
3
x
x
 




.
Ví dụ 12: Giải phương trình
2 2
2
1 1
2
4 2
1
x x x
x

x
 
  


.
Dùng chức năng
SOLVE
ta tìm được hai nghiệm là
1
1,732050808
X

lưu vào
biến nhớ A,
2
1,732050808
X
 
lưu vào biến nhớ B. Tính A+B =0 và AB=-3.
Do đó
1 2
,
X X
là hai nghiệm của phương trình
2
3 0
x
 
. Lại có

2
1 1
1
1
1
4
X X
X
 



nên -1 là hằng số cần thêm vào và
2
1
1 1
2
1X


nên
1
2

là hằng số thêm vào
cho
2
1
1
x


.
Giải:
Điều kiện
4
x
 
.
GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

11

Phương trình tương đương với
 
2 2
2
2 2 2
2 2 2
1 3 1 1
1 0
4 2 2 2
1
3 3 3
0 3
2
1 2 1 1 2
1
4
x x x
x

x
x x x
x
x x x x
x
 
 
 
     
 
 
 


 
 
  
      
 
    

 
 

 

Ví dụ 13: Giải phương trình
3 2
3 1 8 3
x x x

   
Đk:
2 6 2 6
3 3
x   ,
Trong bài toán này, ta không thể nhẩm ra ngay được nghiệm của phương trình
để dùng lượng liên hợp. Tuy nhiên với sự hỗ trợ đắc lực của máy tính Casio
fx570 Es thì mọi chuyện có vẻ dễ dàng hơn!
Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng
SHIFT
SOLVE
:
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 và 1 thì tìm ra 2 nghiệm của
phương trình là:
1 2
0,6180339887 ; 1,618033989
x x  
sau đó gán hai
nghiệm này vào hai biến A và B.
Cách làm: Sau khi bấm
SHIFT
SOLVE
và tìm được nghiệm
1
0,6180339887
x  
ta bấm tiếp
SHIFT
STO
ALPHA

A
, tìm nghiệm
2
1,618033989
x 
bấm tiếp
SHIFT
STO
B
,
Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay không bằng
cách bấm
ALPHA

A

ALPHA

B
và
ALPHA

A
x
ALPHA

B

Ta có
1, 1

A B AB
   
.
Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0
x x
  

Và từ đây, ta có thể dự đoán được
2
1
x x
 
chính là nhân tử của phương trình
Ta viết pt đã cho lại thành:
 
3 2
3 1 8 3 0
x x px q x px q
        

 
 


 
2
2
3

2
8 3
3 1 0 2
8 3
px q x
x x px q
x px q
  
      
  

 


2 2 2
3
2
3 2 8
3 1 0
8 3
p x pqx q
x p x q
x px q
   
      
  


Đến đây, để xuất hiện nhân tử
2

1
x x
 
thì




2 2 2 2
3 2 8 1
p x pqx q k x x
      
với k là một hệ số. Chọn k = 4 thì ta được
một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2). Khi đó (2) trở thành:
2
3
2
1
2 1 4 0
8 3 2
x x
x x
x x
 
   
  

 
2
2

4
1 1 0
8 3 2
x x x
x x
 
     
 
  
 

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

12

Xét
 
2
8 3 2
f x x x
   
ta có:
 
2
3
' 1
8 3
x
f x
x


 


2
3 2
'( ) 0 1
3
8 3
x
f x x
x

      


Ta có bảng biến thiên:











 
6 4 6

3
f x

 
kết hợp với
2 6
3
x 

 
6 4 6
0
3
f x

  

 
2
4 4 2 6 4
1 1 1 0
3
6 4 6
8 3 2
3
x x
f x
x x
          


  

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
2
1 5
1 0
2
x x x

    
.
Ví dụ 14: Giải phương trình
 
2 2
1 2 2 2
x x x x x
     

Cũng bằng cách làm như ở ví dụ trên ta phân tích được như sau:
   
2 2
2 7 3 2 2 2 2 0
x x x x x x
        

 


2 2
2 7 2 3 2 2 0

x x x x x
        

 
   
2
2
2
1 1 1
2 7 0
2 2 3
x x
x x
x x
 
   
 
   
 
  
 

1 7
1 7
x
x

 



 


.

Ví dụ 15: Giải bất phương trình


3 2
2 1 2 3 2 1
x x x x
   

Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng
SHIFT
SOLVE
:
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 và thì tìm ra nghiệm của
phương trình là:
0,41421356
x
 
Ta dự đoán nghiệm của phương trình là
1 2
x  

Bấm tiếp
SHIFT
STO
ALPHA

A
gán x cho A
Nhập vào máy tính
2 1
A
 
, Kết quả
0,4142135662
, tức là
2 1

Lại có
2 1
x
  
, nên tiếp tục dự đoán sẽ có nhân tử
2 1 0
x x
  

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

13

Ta có lời giải: Điều kiện
1
2
x
 

Bất phương trình tương đương với


   
3
3 2
2
2 2 1 3 2 1
2 1 2 2 1 0
1 2
2 1 0
1 1 5
2 2 1 0
2 2
x x x x
x x x x
x
x x
x x
x
   
     

 

  

 




  
  





Ví dụ 16: Giải phương trình


3 2 2 2
6 18 8 4 3 6 4 2 7 0
x x x x x x x
        

Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng
SHIFT
SOLVE
:
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 và thì tìm ra nghiệm của
phương trình là:
2,414213562
x

Ta dự đoán nghiệm của phương trình là
1 2
x  

Bấm tiếp

SHIFT
STO
ALPHA
A
gán x cho A
Nhập vào máy tính
2
2 7
A A
  
, Kết quả
2 2
, Lại có
2 2 2 2
x
 
, nên tiếp
tục dự đoán sẽ có nhân tử
2
2 7 2 2 0
x x x
    
. Bằng các phép biến đổi ta đi
đến phương trình




2
2 2

2 7 2 2 2 7 2 2 1 0
x x x x x x
 
         
 
 
Giải tiếp phương trình cơ bản.













2.3 Một số bài toán tương tự:
Bài 1:


3 2 2 2 6
x x x
    

Bài 2:
2

2
1 2
1
x x x
x x
 



Bài 3


9 4 1 3 2 3
x x x
    

Bài 4
2
2 4 2 5 1
x x x x
     

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

14

Bài 5
3
4 1 3 2
5

x
x x

   
Bài 6
2 2
2 16 18 1 2 4
x x x x
     
.
Bài 7
10 1 3 5 9 4 2 2
x x x x
      
.
Bài 8.
2
3
3 2 3 2 2 2 1
x x x x
    

Bai 9
2 2
5 2 1 2 1 1 3 3
x x x x x
       

Bài 10
2 2 2 2

2 1 3 2 2 2 3 2
x x x x x x x
         

Bài 11:
2
2 3 5 2 7 2 0
x x x x
      
.
Bài 12
2 3 2
3
1 6 3 2 0
x x x x x
      

Bài 13
2
3
4 9 2 1 4 27 0
x x x
    

Bài 14


2
4 10 61 2 3 2 1 2 0
x x x x x

      

Bài 15




2 2
3 1 1 4 12 4 28
x x x x x
      

Bài 16
3
3
1 2
1
3 9
x x
   

Bài 17


3 2 2
22 11 6 12 6 2 1
x x x x x x
     

Bài 18

3
3 7 6 3
7
4 7 3
x x
x
x
  


 

Bài 19
2 2
2 92 2 1 1
x x x x x
      

Bài 20
3
1 1
3 2 1
3 3 3 3
x x
x
x x
     

C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
Trong quá trình giảng dạy chính khoá, và dạy khối cho học sinh lớp 10
tôi tiến hành lồng ghép nội dung chuyên đề vào. Qua thực tế cho thấy
một số vấn đề sau:
1. Kỹ năng sử dụng máy tính:
Việc sử dụng máy tính cá nhân của học sinh vẫn chưa thật tốt, do đó
chuyên đề cũng nhằm giúp học sinh rèn luyện thêm kĩ năng sử dụng máy tính .
2. Tính phổ biến của phương pháp:
GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

15

Rõ ràng việc sử dụng máy tính đã giải quyết được rất nhiều bài toán khó
thuộc chủ đề nghiên cứu, tuy nhiên không phải lúc nào cũng vận dụng được
phương pháp này bởi tính linh hoạt của từng bài toán, do đó chúng ta cũng
không nên quá lạm dụng phương pháp mà làm mất đi sự linh hoạt trong tư duy
của học sinh. Giáo viên có thể cho học sinh tìm thêm các lời giải khác bên cạnh
phương pháp sử dụng máy tính.
3. Kiểm tra tính khả thi chuyên đề
Sau khi đưa chuyên đề vào giảng dạy ở một số lớp, tôi đã tiến hành cho
học sinh làm một bài kiểm tra với thời gian 15 phút .
Lớp thực nghiệm: 10B2 Đã học chuyên đề.
Lớp đối chứng: 10B1 Chưa học chuyên đề
Trình độ của hai lớp là tương đương và đều có học lực khá.

Đề bài: Giải phương trình
2
3 1 5 4 3 3
x x x x

     


Lớp 10B1
Lớp 10B2
Có 8/45 học sinh giải đúng bài Có 32/45 học sinh giải đúng bài
20/45 học sinh biết sử dụng chức
năng
SOLVE
tìm hai nghiệm
0, 1
x x
 

45/45 học sinh biết sử dụng chức năng
SOLVE
tìm hai nghiệm
0, 1
x x
 

6 học sinh biết cách thêm bớt vào
để nhân liên hợp bộ phận dựa vào
khả năng phán đoán của bản thân
38 học sinh biết vận dụng phương pháp
nhân liên hợp bằng cách tìm
,
a b
sao cho



3 1 0
x ax b
   
,


5 4 0
x ax b
   

20 học sinh giải bằng các phương
pháp khác như đặt ẩn phụ, bình
phương … nhưng chỉ có 3 học
sinh đi đến kết quả
32 học sinh giải quyết chính xác bài toán,
6 học sinh biến đổi sai trong các bước sau.






D. KẾT LUẬN

1. Ý nghĩa đề tài:
Đề tài được nghiên cứu dựa trên kinh nghiệm giảng dạy, tìm hiểu của bản
thân, hoàn thành đề tài tôi thấy cá nhân tích luỹ thêm được nhiều kỹ năng tốt
phục vụ cho công tác giảng dạy, đây cũng là một nội dung để các đồng nghiệp
trong đơn vị công tác thảo luận bởi máy tính là một nội dung được dạy trong

sách giáo khoa môn toán ở cả ba ba khối của THPT nhưng chưa có một đề tài
nào về vấn đề này. Mục tiêu nghiên cứu cơ bản hoàn thành.
GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

16

Qua chuyên đề học sinh hứng thú hơn trong việc giải các bài toán khó
thuộc chủ đề phương trình và bất phương trình vô tỷ.
2. Một số hướng phát triển của đề tài:
Giải quyết bài toán chứng minh phương trình bậc 4 đa thức vô nghiệm
bằng máy tính.
Kết hợp máy tính và phương pháp chiều biến thiên để giải các bài toán
thuộc chuyên đề
Triển khai các chuyên đề tương tự như phương trình lượng giác hệ
phương trình, tích phân
Để đề tài có thể đến gần học sinh hơn nữa tác giả rất mong được sự đóng
góp ý kiến chân thành từ các đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn!

Hà Tĩnh, tháng 3 năm 2014

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU 1
B. NỘI DUNG 3
I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO THÀNH
NHÂN TỬ 3
1.1 Kiến thức cơ bản: 3
1.2 Các ví dụ: 3
GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

17

1.3 Một số bài toán tương tự: 5
II. PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP 5
2.1 Kiến thức cơ bản: 5
2.2 Các ví dụ: 5
2.3 Một số bài toán tương tự: 13
C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 14
D. KẾT LUẬN 15