SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 vn plus GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

PHẦN 1:MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài.
Để bắt kịp xu hướng phát triễn của xã hội trong bối cảnh bùng nổ công
nghệ thông tin thì ngành giáo dục phải đổi mới phương pháp dạy học một
cách mạnh mẽ nhằm đào tạo ra những con người lao động có đầy đủ phẩm
chất của thời đại như năng động, sáng tạo, có hướng suy nghĩ tìm giải pháp
tối ưu khi giải quyết công việc. Mặt khác trước sự thay đổi hình thức thi Tốt
nghiệp THPT QG năm 2017 ở môn Toán đó là chuyển từ thi tự luận với thời
gian làm bài là 180 phút sang thi trắc nghiệm với thời gian làm bài là 90 phút.
Thời gian làm bài ít hơn mà số lượng câu hỏi phải giải quyết thì nhiều hơn rất
nhiều đòi hỏi học sinh phải có phương pháp giải nhanh các bài toán. Từ đó
việc đổi mới phương pháp dạy học với các bộ môn khác nói chung và môn
toán nói riêng là một vấn đề cấp thiết của ngành Giáo dục và đào tạo hiện nay.
Muốn đạt được những điều trên thì cần phải sử dụng các phương tiện hiện đại
hỗ trợ vào quá trình dạy học trong đó có máy tính cầm tay.
Việc giải phương trình lượng giác là một trở ngại không nhỏ đối với
nhiều em học sinh gây cho các em không ít sự bối rối khi giải các loại phương
trình này. Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THPT bản thân tôi lại trực tiếp
phụ trách giảng dạy học sinh khối lớp 11 và nhận nhiệm vụ bồi dưỡng học
sinh giỏi Toán 11 nên tôi cũng rất trăn trở về vấn đề này. Vấn đề đặt ra là làm
thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình lượng
giác? Và khi gặp bất cứ một dạng toán nào về phương trình lượng giác các em
cũng có thể tìm ra cách giải một cách tốt nhất?
Với tất cả những lí do nêu trên. Tôi quyết định chọn đề tài “SỬ DỤNG
MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO 570VN PLUS GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC” trong khuôn khổ chương trình bậc THPT.
II. Mục đích của đề tài.
Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học
sinh, tìm ra những phương pháp giải phương trình lượng giác một cách hiệu
quả nhất.

Trang 1


III. Phạm vi nghiên cứu.
Để thực hiện đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu tại lớp 11A10 của
trường THPH lê Hữu Trác và những học sinh tham gia đội tuyển học sinh
giỏi Toán của trường năm học 2016–2017.
IV. Phương pháp nghiên cứu.
Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
– Phương pháp nghiên cứu lý luận
– Phương pháp khảo sát thực tiễn
– Phương pháp phân tích
– Phương pháp tổng hợp
– Phương pháp khái quát hóa
– Phương pháp quan sát
– Phương pháp kiểm tra
– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
V. Bố cục của đề tài.
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung của đề tài
Phần 3: Kết luận

PHẦN 2: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO 570VN PLUS GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Để giải được phương trình lượng giác thì cần phải nắm được các kiến
thức sau:
I – Công thức lượng giác.
Nắm được định nghĩa các giái trị lượng giác, giá trị lượng giác của các
cung có liên quan đặc biệt, công thức lượng giác cơ bản, công thức cộng,

công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tích thành tổng và
công thức biến đổi tổng thành tích...

Trang 2


II – Phương trình lượng giác cơ bản.
Nắm được các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:
sin x  a,cosx  a,tan x  a,cot x  a . Biết sử dụng MTCT để giải phương
trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ 1: Giải phương trình lượng giác:

sin 3x  

1
2

Giải:
Để máy tính ở chế độ Rad: SHIFT MODE 4
Nhập SHIFT Sin



1
1
 
2 = thì trên máy tính xuất hiện 6


 k2

�
�
3
x



k
2

x



�
1 �
6
18
3 k�Z
sin 3x   � �
k�Z � �



2 � 7
7 k2
�
3
x



k
2

x

�
�
6
�
3
� 18
Vậy





6 2
cos 2x  250 
4
Ví dụ 2: Giải phương trình lượng giác:

Giải:
Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
6 2
4
= thì trên máy tính xuất hiện 75

Nhập SHIFT cos





�
2x  250  750  k3600
6 2
0
cos 2x  25 
��
 k�Z
0
0
0
4
2x  25  75  k360
�
Vậy
�
x  500  k1800
��
 k�Z
0
0
2
x


25


k
180
�
Trang 3


Nhận xét: Đối với ví dụ này nếu không sử dụng MTCT thì rất khó để có thể
xác định được góc 750.





3
tan x 150 
3
Ví dụ 3: Giải phương trình lượng giác:

Giải:
Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
3
Nhập SHIFT tan 3 = thì trên máy tính xuất hiện 30.

Vậy





3
tan x  150 
� x  150  300  k1800  k�Z � x  450  k1800  k�Z
3

Ví dụ 4: Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình cot x  2 .
Giải:
Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
1
0
Nhập SHIFT tan 2 = o,,, thì trên máy tính xuất hiện 26 33'54.18'' .

Vậy

cot x �
2 x 26033'54,18'' k1800  k Z

Nhận xét: Đối với ví dụ này nếu không sử dụng MTCT thì không thể đưa ra
được kết quả gần đúng trên.
III – Phương trình lượng giác thường gặp.
1/ Phương trình bậc nhất và phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối
với một hàm số lượng giác.

Trang 4


Ví dụ 5: Giải phương trình

3cot x 3  0.

Giải:
3cot x  3  0 � cot x  3 � x 


 k  k�Z
6

Đối với bài toán này ta có thể giải bằng MTCT như sau:
Để máy tính ở chế độ Rad: SHIFT MODE 4
1
1

Nhập SHIFT tan 3 = thì trên máy tính xuất hiện 6

Vậy các nghiệm của phương trình là:

x


 k  k�Z
6

Ví dụ 6: Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:
16sin xcosxcos2x 1 0
Giải

16sin xcosxcos2x  1 0 � 8sin2xcos2x  1 0
� 4sin4x  1 0 � sin4x  

1

4

Đến đây ta sử dụng MTCT để giải tiếp như sau:
Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
Nhập SHIFT sin



1
0
4 = o,,, thì trên máy tính xuất hiện 14 28'39.04''

Vậy các nghiệm của phương trình là:
x �3037'9,76'' k900; x  48037'9,76'' k900  k�Z

Trang 5


2/ Phương trình bậc hai và phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai
đối với một hàm số lượng giác.
2
Ví dụ 7: Giải phương trình 3cos x  5cosx  2  0

Giải:

cosx  1
�
�
x  k3600
2

�
3cos x  5cosx  2  0 �
 k�Z
2� �
0
�
cosx 
x
�
�
4811'22,87''
�
3 �
Ví dụ 8: Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:
3tan x  6cot x  2 3  3  0

Giải:
Điều kiện: sin x �0,cosx �0





3tan x  6cot x  2 3  3  0 � 3tan2 x  2 3  3 tan x  6  0
�
tan x  3
��
tan x  2
�
Đến đây ta sử dụng MTCT để giải tiếp như sau:

Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
Nhập SHIFT tan

3 = thì trên máy tính xuất hiện 60

0
Nhập SHIFT tan 2= o,,, thì trên máy tính xuất hiện 63 26'5.82''

Vậy các nghiệm của phương trình là:
x  600  k1800; x  63026'5,82'' k1800  k�Z

Ví dụ 9: Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:
Trang 6


2sin2 x  5sin xcosx  cos2 x  2
Giải:
Xét
Vậy
Xét

cosx  0 � x 
x


 k  k�Z
2
: phương trình trở thành 2  2(vô lí)



 k  k�Z
2
không phải là nghiệm của phương trình.

cosx �۹
0 �x


k  k Z
2





2sin2 x  5sin xcosx  cos2 x  2 � 2tan2 x  5tan x  1 2 1 tan2 x

tan x  1
�
� 4tan x  5tan x  1 0 � �
1
�
tan x 
�
4
2

Đến đây ta sử dụng MTCT để giải tiếp như sau:
Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
Nhập SHIFT tan 1= thì trên máy tính xuất hiện 45

1
0
Nhập SHIFT tan 4 = o,,, thì trên máy tính xuất hiện 14 2'10.48''

Vậy các nghiệm của phương trình là:
x  450  k1800; x  1402'10,48'' k1800  k �Z

3/ Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx:





asin x  bcosx  c; a2  b2  0

Cách giải:
2 2 2
Phương trình có nghiệm khi a  b  c �0

Trang 7


2 2 2
Phương trình vô nghiệm khi a  b  c  0

a2  b2 ta được:

Cách 1: Chia hai vế phương trình cho

a
sin x 
2
2
a b
cos 
Đặt
sin x    

b
cosx 
2
2
a b

c
a2  b2

a
b
, sin 
a2  b2
a2  b2 thì phương trình trở thành:
c
a2  b2

Đây là phương trình lượng giác cơ bản nên việc giải nó rất dễ dàng.
Cách 2:
Xét
Xét

x    k2 �

x 
  k
2 2
có là nghiệm hay không?

x �۹ k2

cos

x
0.
2

x
2t
1 t2
t  tan , thay sin x 
, cosx 
2
1 t2
1 t2 ta được phương trình bậc hai
Đặt:
2
theo t: (b c)t  2at  c  b  0 (*)
Vì x �  k2 � b c �0 nên (3) có nghiệm khi:
 '  a2  (c2  b2) �0 � a2  b2 �c2.
x

tan  t0.
2
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình:
Từ cách giải này ta suy ra các nghiệm của phương trình asin x  bcosx  c là

�a � a2  b2  c2 �
� k2  k�Z
x  2arctan�
�
b c
�
�
�
Ví dụ 10: Giải phương trình cosx  3sin x  2 .
Giải:
Cách 1:

1
2

cosx  3sin x  2 � cos x 

3
2
sin x 
2
2

Trang 8

� 7
x
 k2
�

� �
12
cos�x  � cos � �
 k�Z
3
4

�
�
�
x   k2
� 12
3 � A,1� B, 2 � C

Cách 2: Nhập vào màn hình máy tính

Để máy tính ở chế độ Rad: SHIFT MODE 4

A  A2  B2  C2
7

B C
Nhập 2 SHIFT tan
= thì trên máy tính xuất hiện 12

A  A2  B2  C2
1

B C
Nhập 2 SHIFT tan
= thì trên máy tính xuất hiện 12

Vậy

x

7

 k2 �x   k2 ;k�Z
12
12

Nhận xét: Khi bài toán không yêu cầu trình bày bài toán một cách chi tiết
hoặc giải bài tập trắc nghiệm thì sử dụng MTCT là một phương pháp rất hữu
ích.
4/ Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
a sin x  cosx  bsinxcosx  c  0

Cách giải:
� �
t  sin x cosx 2sin�x  �; t � 2.
� 4�
Đặt

1
� t2  1 2sin x.cosx � sin x.cosx  (t2  1).
2

Trang 9


  

Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải
phương trình này tìm t thỏa t � 2. Suy ra x.
Ví dụ 11: Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:
4sin2 2x  10(sin x  cosx)  7

Giải
Đặt

 với t � 2 . Suy ra sin2x  t2  1



t  sin x  cosx  2sin x  450

4
2
Phương trình trở thành: 4t  8t  10t  3 0
4
2
Xét hàm số: f (t)  4t  8t  10t  3
 Ta có: f '(t) 16t3 16t 10; f '(t) 0

t

1,23

Bảng biến thiên:
t

�

f’(t)
f(t)

+�

-1.23
-

0

�

+
�

-18.25
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f (t)  0 có đúng hai nghiệm
Dùng chức năng SLOVE ta tìm được hai nghiệm gần đúng

t1 �0,44;t2 �1,88

t
(nghiệm 2 không thõa mãn điều kiện)





�
x �26 53'2,11''
t  t1  2sin x  450 � �
0
x
�
116
53'2,11''
�
Với
0

Nhận xét: Nếu bài toán này chúng ta không sử dụng MTCT thì việc giải nó rất
phức tạp.

Trang 10


IV – Một số phương trình lượng giác khác.
sin3 x  1
2cos2 x  cot2 x 
sin2 x . Tìm tổng tất cả các
Ví dụ 12: Cho phương trình

nghiệm của phương trình trên đoạn

 0;50 .

Giải:
Điều kiện: sin x �0
sin3 x  1
2
2
2cos x  cot x 
� 2cos2 x  cot2 x  sin x  1 cot2 x
sin2 x

sin x  1
�
 k2
2
� 2sin x  sin x  1 0 � �
� x 
 k�Z
1
�
6
3
sin x 
�
2

 k2
0� 

�50� k  0;23
6
3
Ta có:
Dãy các nghiện trên lập thành một cấp số cộng nên
�  46 �
24�  
6 6
3 �
� 188
S �
2
Tuy nhiên cách tính này khá phức tạp đối với nhiều học sinh.
Ta có thể làm như sau:
23 � 2 x �
�� 
3 �
x
�ta được kết quả 188
Nhập vào màn hình máy tính : 0�6

Ví dụ 13 : Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình :
cos4x  cos3x  21cos3 x  34cos2 x  6cosx  27  0

Giải :
Ta có :
Trang 11


2

2
2
cos4x  2cos 2x  1 2 2cos x  1  1 8cos4 x  8cos2 x  1





cos3x  4cos3 x  3cosx
3
2
Suy ra : cos4x  cos3x  21cos x  34cos x  6cosx  27  0
� 8cos4 x  25cos3 x  26cos2 x  3cosx  26  0

Đặt

t  cosx;t � 1;1

, ta được :





8t4  25t3  26t2  3t  26  0 �  t  2 8t3  9t2  8t  13  0
t 0,7075563476

0
0
Suy ra x ��44 57'48,82'' k360

Ví dụ 14 : Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình :
5cos3x  8sin2 x  2  0
Giải :
5cos3x  8sin2 x  2  0 � 5 4cos3 x  3cosx  8 1 cos2 x  2  0
�
2 5
cosx 
�
5
�
�
3
� 4 5cos3 x  8cos2 x  3 5cosx  6  0 � �
cosx 
2
�
�
3
cosx  
�
2
�
Đến đây ta sử dụng MTCT để giải tiếp như sau:
Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
2 5
0
Nhập SHIFT cos 5 = o,,, thì trên máy tính xuất hiện : 26 33'54.18''

Trang 12

3
Nhập SHIFT cos 2 = thì trên máy tính xuất hiện : 30

Nhập SHIFT cos



3
2 = thì trên máy tính xuất hiện : 150

Vậy các nghiệm của phương trình là :
x ��26033'54,18'' k3600; x  �300  k3600; x  �1500  k3600  k�Z

V – Một số bài tập trích trong đề thi học sinh giỏi máy tính cầm tay.
Ví dụ 15 : Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình:
2  3cos2 x  sin 2 x  4cos2 3 x

(Trích đề thi HSG MTCT Đăk Lăk năm 2013)
Giải:

2  3cos2 x  sin 2 x  4cos2 3 x � 2  3cos2 x  sin 2 x  2  1  cos6 x 
1
3
� sin2x  3cos2x  2cos6x � sin2x 
cosx  cos6x
2
2









� sin 2x  600  cos6x � cos 1500  2x  cos6x

�
�
6x  1500  2x  k3600
x  18045' k450
��
 k�Z � �
 k�Z
0
0
0
0
6
x


150

2
x


k
360
x


37
30'

k
45
�
�
Ví dụ 16: Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình:
cos6 x  sin6 x  5cos3 x  6cosx  1 0

(Trích đề thi HSG MTCT Huế năm 2013)
Giải:
Trang 13


cos6 x  sin6 x  5cos3 x  6cosx  1 0
� 1 3sin2 xcos2 x  5cos3 x  6cosx  1 0
� 1 3cos4 x  3cos2 x  5cos3 x  6cosx  1 0
� 3cos4 x  5cos3 x  3cos2 x  6cosx  2  0

Đặt

t  cosx;t � 1;1

4

3
2
ta được: � 3t  5t  3t  6t  2  0

Dùng chức năng SLOVE giải phương trình ta được hai nghiệm:

t1 �0,314691610;t2 �0,921570007
Vậy các nghiệm của phương trình là:
x ��71039'28'' k3600; x ��22050'36'' k3600 k�Z

Ví dụ 17: Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình:
1
4
 sin32x  cos32x  sin2x
2
3
(Trích đề thi HSG MTCT Đồng Tháp năm 2014)
Giải:





t  sin2x  cos2x  2sin 2x  450 ;t ��
 2; 2�
�
�
Đặt

�t2  1�

t  sin 2x  cos 2x  3�
t
�
2
�
� với sin4x  t2  1.
Suy ra
3

3

3

Phương trình trở thành:





2
1 3 3 t 1 t 4 2
t 
 t  1 � 3t3  8t2  9t  11 0
2
2
3





Đến đây ta sử dụng MTCT giải phương trình bậc 3 ta được:
t �3,2430
�
�
t �1,3898 � A
�
�
t �0,8314 � B
�
Nghiệm t �3,2430không thõa điều kiện

t ��
 2; 2�
�
�

Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
Trang 14


A
0
Nhập SHIFT sin 2 = o,,, thì trên máy tính xuất hiện : 79 21'21.82''

B
0
Nhập SHIFT sin 2 = o,,, thì trên máy tính xuất hiện : 35 6'49.48''

Vậy các nghiệm của phương trình là:

x �17010'40,91'' k1800; x �27010'19,09'' k1800;
x �4003'24,74'' k1800; x �8503'24'' k1800 k�Z





Ví dụ 18: Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:
sin 2 2 x  4(sin x  cos x)  3

(Trích đề thi HSG MTCT Huế năm 2008)
Giải:





�� sin2x  t2  1
t  sin x  cosx  2cos x  450 ;t ��

2;
2
�
�
Đặt
4
2
Phương trình trở thành: t  2t  4t  2  0

Dùng chức năng SOLVE , lấy giá trị đầu của X là  2; 2 ta được 2 nghiệm

t, loại bớt nghiệm 2,090657851   2
2 4t 2 0
t4 �
2t

t 0,6764442885

A

Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
A
0
Nhập SHIFT cos 2 = o,,, thì trên máy tính xuất hiện : 61 25'27.74''

Trang 15


Vậy các nghiệm của phương trình là:

x �106025'27,74" k 3600 ; x �16025'27,74" k 3600  k �Z
Ví dụ 19: Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:

4cos 2 x  3sin x  2
(Trích đề thi HSG MTCT Bạc Liêu năm 2010)
Giải:
�
3  73
sin x 
�
16

4cos 2 x  3sin x  2 � 8sin 2 x  3sin x  2  0 � �
�
3  73
�
sin x 
16
�

Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
3 73
0
Nhập SHIFT cos 16 = o,,, thì trên máy tính xuất hiện : 46 10'42.53''

3 73
0
Nhập SHIFT cos 16 = o,,, thì trên máy tính xuất hiện : 2016'24.25''

Vậy các nghiệm của phương trình là:
x �46010'42,53'' k3600; x �133049'17,47'' k3600
0
0
x �2016'24,25''
 k3600; x �20016'24,25''
 k3600  k�Z

Ví dụ 20: Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:

sin 2 x cos x  2cos 2 x  sin x  2  0
Trang 16

(Trích đề thi HSG MTCT Thanh Hóa năm 2012)
Giải:
sin 2 x cos x  2cos 2 x  sin x  2  0 � 2sin 3 x  4sin 2 x  3sin x  4  0
sin x �1, 08433(VN )
�
�
��
sin x �2, 27280(VN )
�
sin x �0,81153 � A
�

Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
0
Nhập SHIFT sin A = o,,, thì trên máy tính xuất hiện : 54 14'44.64''

Vậy các nghiệm của phương trình là:
x �54014 '44,64" k 3600 ; x �1250 45 '15,36" k 360 0  k �Z

VI – Áp dụng MTCT vào giải toán trắc nghiệm
0;2 �
�
�là:
Ví dụ 21: Phương trình sin 2 x  3  0 có tập nghiệm trong �
� 4 5 �
T � ; ; �
�3 3 3
A.

�  2 5 �
T � ; ; ; �
�6 3 3 6
B.

�  7 4 �
T � ; ; ; �
�6 3 6 3
C.

 5 7 �
T �
; �
� ;
6
6
6
�
D.

Giải:
� 
x   k
�
3
2sin 2 x  3  0 � sin 2 x 
�� 6
 k �Z

2

�
x   k
�
� 3

  7 4
; ;
;
0;2

�
�
Vậy các nghiệm của phương trình trong đoạn � �là: 6 3 6 3

Chọn đáp án C
Nhận xét: Đối với bài toán này ta có thể sử dụng chức năng CALC của máy
tính để tìm nghiệm của nó.

Trang 17


Ví dụ 22: Các nghiệm của phương trình
A.
C.

x

5
11
 k2 ; x 

 k2  k�Z
12
12

x

2
 k2  k�Z
3

3sin x  cosx  2 là:

B.
D.

x 
x

2
 k2  k�Z
3


 k2  k�Z
2

Giải:
Nhập vào màn hình máy tính

3 � A,1� B, 2 � C

Để máy tính ở chế độ Rad: SHIFT MODE 4

A  A2  B2  C2
11

B C
Nhập 2 SHIFT tan
= thì trên máy tính xuất hiện 12

A  A2  B2  C2
5

B C
Nhập 2 SHIFT tan
= thì trên máy tính xuất hiện 12

Vậy

x

5
11
 k2 ; x 
 k2 ;k�Z
12
12

Chọn đáp án A
Nhận xét: Đối với bài toán này nếu không sử dụng MTCT thì Phải chia cả hai

vế của phương trình cho 2 rồi giải nó. Quá trình này tương đối dài dòng và
tốn thời gian.

1 cos2x sin2 x  1

2
cos4x  cot x 
sin2 x
Ví dụ 23: Cho phương trình
. Tổng tất
cả các nghiệm của phương trình trên đoạn
A. 660

B. 640

 1;64

là:

C. 600
Trang 18

D. 620


Giải:
Điều kiện: sin x �0
1 cos2x sin2 x  1

2

cos4x  cot x 
sin2 x
1
� cos4x  cot2 x  1 cos2x  2
sin x
� cos4x  cos   2x
4x    2x  k2
�
 k
��
 k�Z � x    k�Z
4x    2x  k2
6 3
�
Vì

x� 1;64

nên k  1;60.

�  x �
� � 
�
Nhập vào màn hình máy tính x1�6 3 �ta được kết quả 620
60

Chọn câu D
Ví dụ 24: Nghiệm của phương trình

3sin2x  1 2cosx  cos2x biết

2700  x  4500 là:
0
A. 360

0
B. 320

0
C. 340

0
D. 270

Giải:
3sin2x  1 2cosx  cos2x
� 2 3sin xcosx  1 2cosx  1 2cos2 x



� 2cosx

cosx  0
�
3sin x  cosx  1  0 � �
� 3sin x  cosx  1



cosx  0 � x  900  k1800  k�Z

+ Với
nghiệm.
+

. Suy ra phương trình không có

3sin x  cosx  1

Trang 19


Nhập vào màn hình máy tính

3 � A,1� B,1� C

Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3

A  A2  B2  C2
B C
Nhập 2 SHIFT tan
= thì trên máy tính xuất hiện 120

A  A2  B2  C2
B C
Nhập 2 SHIFT tan
= thì trên máy tính xuất hiện 0

Vậy x  360 .
0

Chọn đáp án A
Nhận xét: Đối với ví dụ này nếu ta sử dụng chức năng CALC của máy tính thì
nhanh hơn rất nhiều.
Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
Nhập vào màn hình máy tính:

3sin 2X   1 2cos X   cos 2X 

0
0
Dùng chức năng CALC thì tại X  360 ; X  270 giá trị của hàm số này
bằng 0.

Loại đáp án C do 2700 không thõa màn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án A.
2
Ví dụ 25: Nghiệm của phương trình lượng giác 2sin x  3sin x  1  0 thõa

điều kiện

0 �x 


2 là :

Trang 20


A.

x


3

B.

x


2

C.

x


6

D.

x

5
6

Giải:
� 
x   k 2

�
2
�
�
sin x  1

�
2sin 2 x  3sin x  1  0 � �
1 � �x  6  k 2  k �Z
�
sin x 
�
2
�
5
�
x
 k 2
�
6

Chọn đáp án C
Nhận xét: Đối với bài toán này ta có thể sử dụng chức năng CALC của máy
tính để tìm nghiệm của nó.
3
3
Ví dụ 26: Các nghiệm của phương trình cos x  sin x  sin x  cosx là:

A.
C.

x


4

x 

 k  k�Z

B.


 k  k�Z
3

D.

x


 k  k�Z
3

x 


2

 k2  k�Z

Giải:





cos3 x  sin3 x  sin x  cosx �  cosx  sin x cos2 x  sin2 x  sin xcosx  1  0
�1
�
�  cosx  sin x � sin2x  2� 0 � cosx  sinx � x    k  k�Z
�2
�
4

Chọn đáp án A
Nhận xét: Đối với bài toán này ta có thể sử dụng chức năng CALC của máy
tính để tìm nghiệm của nó mà không cần phải giải phương trình.

PHẦN 3: KẾT LUẬN
I – Kết quả nghiên cứu:
Để đánh giá hiệu quả của biện pháp này tôi cho khảo sát bằng đề kiểm tra 45
phút phần phương trình lượng giác cho lớp 11A10.

ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT
Quy ước: k�Z
Trang 21


Câu 1: Phương trình

sin 2x 

A. 1

1
2 có bao nhiêu nghiệm thõa : 0  x  

B. 3

C. 2

D. 4

3
cos 2 2 x  cos 2 x   0
4
Câu 2: Phương trình
có nghiệm là :
2
x  �  k
3
A.


x  �  k
3
B.



x  �  k
6
C.


x  �  k 2
6
D.

Câu 3: Phương trình :
A.

x

5
 k 2
6

sin x 

B.

x

1


�x �
2 là :
2 có nghiệm thõa 2


6

C.

x


 k 2
3

D.

x


3

0; 
Câu 4: Số nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 trên khoảng 
là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

2
Câu 5: Nghiệm của phương trình lượng giác : sin x  2sin x  0 có nghiệm
là :

A. x  k 2
C.

x


 k
2

B. x  k
D.

x


 k 2
2

Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. sin x + 3 = 0

2
B. 2cos x  cos x  1  0

C. tan x + 3 = 0

D. 3sin x – 2 = 0

2
Câu 7: Nghiệm dương bé nhất của phương trình : 2sin x  5sin x  3  0 là :

A.

x


6

B.

x


2

C.

Câu 8: Số nghiệm của phương trình :
A. 1

B. 0

x

3

2

D.

x

�
� 1
� 4 � với  �x �3 là :

sin �
�x 

C. 2

Trang 22

D. 3

5
6


Câu 9: Các nghiệm thuộc khoảng

 0;2 

của phương trình:

sin 4 X  cos4 x  5

2
2 8 là:
 ; 5 ; 
A. 6 6
C.

  3
; ;
4 2 2

 ; 2 ; 4
B. 3 3 3

 ; 3 ; 5
D. 8 8 8

x
2cos  3  0
2
Câu 10: Giải phương trình lượng giác
có các nghiệm là
5
x  �  k 2
3
A.

5
x  �  k 2
6
B.

5
x  �  k 4
6
C.

5
x  �  k 4
3
D.

cos x  3 sin x
0
1
sin x 
2
Câu 11: Phương trình lượng giác
có các nghiệm là :
A.
C.

x


 k2
6

x



 k
6

B. Vô nghiệm
D.

x

7
 k2
6

2
Câu 12: Nghiệm của phương trình lượng giác : cos x  cos x  0 thõa điều kiện

0  x   là :
A.

x


2

C. x  

B. x = 0

Câu 13: Số nghiệm của phương trình :
A. 0

A.
C.

x


 k
3

x


 k
6

B.
D.


2

�
� 1
� 3 � với 0 �x �2 là :

2 cos �
�x 

B. 2

C. 1

Câu 14: Phương trình lượng giác :

D.

x

D. 3

3 tan x  3  0 có nghiệm là :

x


 k 2
3

x


 k
3
Trang 23


2
Câu 15: Giải phương trình tan x  3 có các nghiệm là :

A.

x


3

 k

C. vô nghiệm

B.
D.


x  �  k
3

x


3

 k

Câu 16: Nghiệm của phương trình :





sin x 2cos x  3  0

x  k
�
�

�
x  �  k 2
6
A. �

x  k
�
�

�
x  �  k
6
B. �

x  k 2
�
�

�
x  �  k 2
3
C. �



x  �  k 2
6
D.

là :

Câu 17: Một nghiệm của phương trình lượng giác
sin2 x  sin22x  sin23x  2 là:


A. 3


C. 6


B. 12


D. 8

2
2
Câu 18: Phương trình 2cos x  3 3 sin 2 x  4sin x  4 có các nghiệm là:
� 
x   k
�
2
�


�
x   k
� 6
A.

C.

x


 k
6

B.
D.

x


 k 2
2

x


 k
2

Câu 19: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
2cos2 x  cosx  sin x  sin2x là:


A. 6


B. 4


C. 3

2
D. 3

4
6
Câu 20: Phương trình cos x  cos2x  2sin x  0 có các nghiệm là:
x    k
x  k 
2
4
2
A.
B.
C. x  k
D. x  k 2

Trang 24


sin 2 2x  2cos2 x  3  0

4
Câu 21: Phương trình
có các nghiệm là:
x  �  k
x  �  k
4
6
A.
B.
C.

x  �  k
3

D.

x  �2  k
3

�
�
� 5
cos2 �
�x  � 4cos �  x �
3�
�
�6
� 2 có các nghiệm là:
Câu 22: Phương trình

A.

�
x     k2
�
6
�
�
x    k2
�
2
�

C.

�
x     k2
�
3
�
� 5
x   k2
�
6
�

B.

�
x    k2

�
6
�
� 3
x   k2
�
2
�

D.

�
x
�
�
�
x
�
�

  k2
3
  k2
4

�
4� � 5
sin 4 x  sin 4 �
�x  � sin �x  �
4�

�
� 4 � 4 có các nghiệm
Câu 23: Phương trình
là:
x  k 
x  k 
8
4
4
2
A.
B.
x    k
2
C.
D. x   k2

�
�
�
cos �
�2x  � cos �2x  � 4sin x  2  2  1  sin x 
4�
4�
�
�
Câu 24: Phương trình
có
các nghiệm là:

A.

�
x    k2
�
� 12
� 11
x
 k2
�
12
�

C.

�
x
�
�
�
x
�
�

  k2
3
2  k2
3

B.

�
x    k2
�
6
�
� 5
x   k2
�
6
�

D.

�
x    k2
�
4
�
� 3
x   k2
�
4
�

Trang 25