Số Topo bán nguyên trong mô hình Skyrmion

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN








Nguyễn Thị Hiền







SỐ TOPO BÁN NGUYÊN TRONG MÔ HÌNH SKYRMION








LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2014

2


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN






Nguyễn Thị Hiền




SỐ TOPO BÁN NGUYÊN TRONG MÔ HÌNH SKYRMION

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 60.44.01.03




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC




HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. PHẠM THÚC TUYỀN






Hà Nội – Năm 2014

3

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc TS. Phạm Thúc
Tuyền, thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi hoàn

thành bản luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô tại bộ môn Vật lý lý
thuyết – trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội – nơi tôi
đã hoàn thành bản luận văn này.
Cuối cùng, tôi muốn dành tình cảm biết ơn sâu nặng tới những người thân
trong gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã thông cảm, động viên và chia sẻ cho tôi
rất nhiều để tôi vượt qua những khó khăn trong suốt những năm tháng học tập.
Học viên

Nguyễn Thị Hiền


4


MỞ ĐẦU……………………… …………………………………….1
Chương 1 –SKYRMION TRONG MÔ HÌNH

-PHI TUYẾN………… ……5
1.1. Lý thuyết


phi tuyến (Skyrme)…… ….5
1.2. Biểu diễn phi tuyến của nhóm đối xứng chiral SU(2)xSU(2)… …… 10

Chương 2 – SKYRMION TRONG MÔ HÌNH BẤT BIẾN PHI TUYẾN 21
2.1. Nghiệm con nhím và dạng của hàm chiral …………………… 21
2.2. Lượng tử hóa skyrmion trong phương pháp tọa độ tập thể. … …… 26
2.3. Biểu thức các dòng topological, vector và Nother ………… … … 32

Chương 3 – CÁC ĐẶC TRƯNG TĨNH CỦA NUCLEON TRONG MÔ HÌNH
SKYRMION 35
3.1. Tổng quan………… ……35
3.2. Điều kiện biên và nghiệm……… 37
3.3. Skyrmion và năng lượng tới hạn 40
3.4. Mật độ hạt nhân và skyrmion mới 42
3.5. Đặc trưng tĩnh của skyrmion 45
3.6. Kết quả số của Skyrmion loại II 47
KẾT LUẬN…………………………………………………………………… 53
Tài liệu tham khảo…………………………… ………………………………54
Phụ lục………………………………………………………………………… 55



5


MỞ ĐẦU
Theo lý thuyết hiện nay (Standard Model) các hadron, hạt tham gia tương tác
mạnh, bao gồm baryon và meson, được cấu tạo từ các quark và phản quark. Quark gồm
có 6 hương: u, c, t có điện tích 2/3 và d, s, b có điện tích -1/3. Spin của chúng bằng 1/2,
như vậy, chúng cũng là fermion. Trạng thái ba quark là baryon còn trạng thái quark và
phản quark là meson. Mỗi hương quark có ba màu, có thể gọi tên là đỏ (red), vàng
(yellow) và xanh (blue) hoặc gì đó tương tự.
Quark tương tác với nhau thông qua trường gluon. Khác với quark, lượng tử của
trường gluon là các hạt vectơ, tức là có spin bằng 1. Như vậy, gluon là boson. Lý
thuyết tương tác giữa quark và gluon là sắc động lực học lượng tử (QCD). Lý thuyết
này diễn tả tương tác giữa những hạt có màu giống như tương tác điện từ diễn tả tương
tác giữa những hạt có điện tích.
QCD tỏ ra là một lý thuyết hợp lý cho tương tác mạnh ở năng lượng cao (cỡ trên

dưới 1 Gev), còn ở năng lượng thấp, cần đến một lý thuyết hiệu dụng, đơn giản hơn.
Do các meson là trạng thái liên kết của quark - phản quark, baryon là trạng thái
liên kết của ba quark, cho nên, ngay trong những phản ứng đơn giản nhất:

+
-
p
π + n
n
π +p



Đã có sự tham gia của tám hạt. Việc nghiên cứu một hệ nhiều hạt như vậy trong
lý thuyết trường lượng tử là không khả thi.
Để nghiên cứu một phản ứng thực trong thế giới các hạt hadron, ta phải có những
lý thuyết hiện tượng luận, thỏa mãn hai điều kiện:
- Một là: Nó phải là một lý thuyết hiệu dụng của mô hình tiêu chuẩn.
- Hai là: Nó phải cho một thuật tính đơn giản và triệt để.
Trong những cách thức mô tả hạt hadron thỏa mãn hai điều kiện ở trên là Lý
thuyết

- phi tuyến và Lý thuyết bất biến phi tuyến. Cả hai lý thuyết này đều có chung
6

mục tiêu là mô tả hadron như hạt soliton lượng tử. Ý tưởng này đã được Skyrme đề
xuất trong Lý thuyết

- phi tuyến, cho nên, soliton lượng tử mô tả hadron sau này
được gọi là skyrmion [27]. Lý thuyết bất biến phi tuyến đã được N.A.Việt và P.T.

Tuyền đề xuất [20]. Soliton tương ứng được gọi là skyrmion mở rộng [19].
Ý tưởng của Skyrme là xây dựng một mô hình cho trường

- meson, trong đó có
chứa những số hạng phi tuyến, sao cho, lý thuyết trường cổ điển tương ứng với nó có
nghiệm ổn định (không bị phân tán theo thời gian) và có kích thước không gian hữu
hạn (không phải là nghiệm điểm). Nghiệm như vậy được gọi là soliton. Khi lượng tử
hóa nghiệm này bằng các biến gọi là biến tập thể, ta được các hạt lượng tử khác nhau,
và đặc biệt nhất là chúng có một đại lượng mang tính chất topology (tính hình học), có
thể coi là spin. Như vậy, trong một lý thuyết của meson (spin bằng không), ta có thể
thu được nghiệm baryon (có spin bằng 1/2). Ý tưởng đó quá kỳ lạ, cho nên rất nhiều
năm trôi qua, kể từ sau khi được đề xuất, đã không được cộng đồng vật lý quan tâm
thích đáng.
Chỉ đến khi nhóm E.Witten dùng ý tưởng của Skyrme tính toán được các đặc
trưng của nucleon, và các kết quả này khá phù hợp với thực nghiệm, ý tưởng về
skyrmion mới được mọi người để ý [7]. Tuy nhiên, những tính toán sau này của nhóm
Witten, có tính đến đóng góp của K - meson, lại cho kết quả càng ngày càng xa với
những số liệu thực nghiệm.
Cũng trong thời gian đó, nhóm Việt - Tuyền đã đề xuất một mô hình, trong đó
Lagrangian bất biến đối với một quy luật biến đổi, gọi là phép biến đổi phi tuyến. Mô
hình này cũng có chứa số hạng phi tuyến và do đó cũng có nghiệm soliton. Nếu coi đây
là nghiệm cơ bản và sau đó lượng tử hóa nó, ta cũng thu được hạt có spin, mà sau đó đã
đồng nhất với các nucleon. Mô hình Skyrmion đó cũng dẫn đến các kết quả phù hợp
với số liệu thực nghiệm giống như mô hình

- phi tuyến. Hơn thế nữa, khác với mô
hình

- phi tuyến, mô hình bất biến phi tuyến sẽ cho các kết quả tốt hơn khi kể đến
các đóng góp của K - meson.

7

Sau đó không lâu, xuất phát từ hai mô hình nói trên, nhóm H.Y.Cheung, F.Gursey
đã đề xuất một mô hình Skyrme tổng quát, trong đó có chứa một số tự nhiên n, sao cho
khi n = 1, ta được mô hình

- phi tuyến, và khi n = 2, ta được mô hình Việt - Tuyền và
khi n = 3, mô hình này cho kết quả hoàn toàn phù hợp với số liệu thực nghiệm. Tuy
nhiên, sau khi xem xét tỷ mỉ hơn, họ đã chứng tỏ rằng, với n = 2 vẫn là thích hợp nhất
[13].
Mục tiêu của luận văn bao gồm các công việc sau đây:
- Tính toán các đặc trưng tĩnh của nucleon trong mô hình skyrmion bất biến phi
tuyến với số topo bán nguyên bằng các phương pháp số và biến tổ hợp.
- Nêu một số khả năng mở rộng mô hình khi tính đến siêu đối xứng.
Luận văn này ngoài phần mở đầu và kết luận thì phần chính được chia
làm ba chương.
- Chương 1: Giới thiệu mô hình

- phi tuyến và phương pháp lượng tử
hóa theo biến tập thể.
- Chương 2: Trình bày mô hình bất biến phi tuyến, khả năng giải phương trình
số cho hàm góc chiral và các công thức tính số cho các đặc trưng của hạt.
- Chương 3: Trình bày mô hình bất biến phi tuyến khi số topo là bán nguyên.
Khi tính toán, chúng tôi dùng phương pháp bắn thử Runge-Kutta. Chương trình
tính góc chiral, đồ thị hàm dạng của skyrmion và các đặc trưng tĩnh của nucleon cho
trong phần cuối của luận văn.



8

CHƯƠNG 1
SKYRMION TRONG MÔ HÌNH


PHI TUYẾN

1.1. Lý thuyết


phi tuyến (Skyrme).
Chương này giới thiệu ngắn gọn về mô hình Skyrme, phân biệt giữa mô hình
tuyến tính và phi tuyến tính. Ví dụ đơn giản nhất là mô hình

tuyến tính và phi tuyến.
Mô hình Skyrme được xuất hiện tự nhiên thông qua việc đưa vào số hạng bậc bốn của
hàm trường vào Lagrangian của mô hình

phi tuyến. Số hạng này cho phép tồn tại
soliton ổn định (skyrmion) trong không gian 3 chiều, chính vì vậy, nó được gọi là số
hạng ổn định. Tổng quan đầy đủ có thể xem trong [9].
Về mặt toán học, các hạt cơ bản lập thành những đa tuyến của một biểu diễn
tuyến tính thuộc nhóm đối xứng nào đó. Ví dụ, các quark tạo thành một đa tuyến thực
hiện biểu diễn cơ bản của nhóm SU(3). Như ban đầu Gell - Mann và Neuman đề
xướng, sau đó được mở rộng thành nhóm SU(4), SU(5) rồi SU(6). Các đa tuyến này là
những vector của một không gian nào đó có tích vô hướng và từ các tích tensor của các
đa tuyến này, ta có các đa tuyến của các hadron - các hạt tham gia tương tác mạnh.
Để mô tả tương tác giữa các quark ta có trường gluon
α
μ

A
. Các đại lượng này
biến đổi như một vector bốn chiều dưới tác động của nhóm Lorent, như một bát tuyến
dưới tác dụng của nhóm đối xứng chuẩn SU(3), và một đơn tuyến dưới tác dụng của
nhóm hương SU(6). Khi đó Lagrangian sẽ là một Lagrangian Yang - Mills với dạng
tổng quát như sau:
 
ε μνα μ
μν μ μ
1
L =- F .F +Ψ.γ . +ig .
Ψ + Ψ.M.Ψ
4


1.1
Trong đó g là hằng số tương tác, M là ma trận khối lượng bất biến dưới tác dụng
của nhóm mầu:
α α
μ μ
A = A .
λ

1.2
α
λ
là các ma trận Gell - Mann của SU(3).
9

α α α αβγ β γ
μν μ μ ν μ μ ν
F = A - A + g.f .A .A
 

1.3
αβγ
f
là hằng số cấu trúc của nhóm SU(3).
QCD áp dụng cho vùng năng lượng cỡ GeV rất tốt, tuy nhiên khi năng lượng
giảm xuống thấp hơn, QCD gặp khó khăn khi phải mô tả tính chất động học của các
quark và gluon. Do đó, cản trở việc xây dựng một lý thuyết hiệu dụng cho các hadron.
Khó khăn trên là do hằng số tương tác mạnh
α
g 1
quá lớn (so với tương tác điện từ với
hằng số tinh tế
2
α = e / 4π 1/137

, tương tác yếu với hằng số Fermi
2 -39
p
Gm 6.10

,
tương tác hấp dẫn với hằng số hấp dẫn
2 -5
F p
G m 10


) [3]. Việc thiếu một tham số nhỏ để
qua đó ta có thể khai triển các số hạng tương tác giữa các hadron theo lũy thừa và
tương tác, dẫn đến việc không thể tìm được một mô hình hiệu dụng của QCD ở thang
năng lượng thấp.
Xuất hiện từ những khó khăn như vậy, T.H.R.Skyrme đưa ra ý tưởng khi xét
QCD ở năng lượng thấp thì chỉ cần lý thuyết hiệu dụng của các meson, đặc biệt là của
π
- meson và từ lý thuyết này ta cũng thu được các baryon và tương tác giữa chúng.
Như vậy ở năng lượng thấp nền tảng của thế giới vật chất lại là boson (hạt có spin
nguyên) chứ không phải meson (hạt có spin bán nguyên). Nhưng hướng đi chính thống
ý tưởng này rất có ích khi xây dựng mô hình hạt có kích thước. Mà lý thuyết QCD xét
các hạt là những hạt điểm, rõ ràng quan điểm này chỉ là ý tưởng chứ không phải thực
tế. Bên cạnh đó ý tưởng này coi baryon như kết quả của việc lượng tử hóa quanh
soliton. Mặt khác soliton lại là nghiệm kỳ dị của lý thuyết trường meson có phân bố
không gian hữu hạn. Như vậy, soliton tương ứng với hạt có kích thước không gian và
baryon là các kết quả “mặc áo” khác nhau của soliton “trần” này cũng sẽ là hạt có kích
thước.
Để khắc phục khó khăn đó, vào năm 1974, T’Hoof đã đề ra ý tưởng lấy 1/N
C
-
nghịch đảo của số mầu trong lý thuyết làm tham số. Và phân loại QCD theo tham số
10

này với hy vọng lý thuyết này sẽ đơn giản đi khi N
C
đủ lớn. Sau đó người ta chứng tỏ
rằng giới hạn khi
C
N

 
là có tồn tại, và khi đó QCD sẽ trở thành lý thuyết hữu dụng
của các
π
- meson.
Vào năm 1979, E.Witten và các cộng sự đã chứng minh rằng, khi
C
N
 
, các
khối lượng của các baryon có thể xác định được thông qua tham số cỡ 1/N
C
, trong khi
đó , N
C
không có mặt trong phương trình xác định kích thước và hình dáng của baryon
và cả trong biên độ tán xạ baryon - baryon hoặc baryon - meson.
Năm 1961 T.H.R.Skyrme đã giả thiết một mô hình mới, theo nó các hạt baryon
có thể thu được từ lý thuyết của meson [27]. Sau hai thập kỷ, ý tưởng này hầu như bị
lãng quên. Mãi đến năm 1980 nó mới được xem như là một mô hình lý thuyết hiệu
dụng của QCD. Khi đó mô hình này có thể cung cấp cầu nối giữa QCD và bức tranh
quen thuộc của tương tác baryon dựa trên sự trao đổi meson.
Mô hình Skyrme đưa ra hai giả thuyết:
Một là: Ở năng lượng thấp ta chỉ cần lý thuyết hiệu dụng của các meson, và từ lý
thuyết này ta thu được baryon và tương tác giữa chúng. Theo lý thuyết này thì ở vùng
năng lượng thấp, nền tảng của thế giới vật chất là các boson và nó rất hữu dụng khi ta
xây dựng lý thuyết cho các hạt có kích thước trong khi QCD coi chúng là hạt điểm.
Từ kết quả của R.Rajaraman và E.Witten đã gợi ý rằng baryon có thể được xem
như là kết quả sau khi lượng tử hóa quanh nghiệm soliton của lý thuyết meson hiệu
dụng [9]. Do đó, ta không cần quan tâm đến cấu trúc quark của chúng nữa. Mặt khác,

nghiệm soliton lại là nghiệm kỳ dị của lý thuyết trường meson có phân bố không gian
hữu hạn và soliton ‘mặc áo’ kiểu khác nhau, sẽ cho ta các baryon khác nhau. Do đó,
baryon xây dựng trên mô hình này cũng là hạt có kích thước.
Để có được kết quả trên, Skyrme đã đi từ Lagranggian của
π
- meson:
2
μ
μ
1 m
L = .
π. .π - .π.π
2 2
 
   

1.4
11

Trong đó
π

lập thành không gian đồng vị ba chiều. Sau đó, Skyrme đã làm một
việc là mở rộng không gian đồng vị ba chiều thành bốn chiều tương tự như mở rộng từ
không gian ba chiều sang không thời gian bốn chiều.
Nhóm đồng vị SU(2) mở rộng thành nhóm mới với đại số:
 
 
 
i k ijk l

i k ijk l
i k ijk l
V ,V = 2i
ε V
A ,A = 2i
ε A
V ,A = 2i
ε A






1.5
Các vi tử V
i
là tích vector còn các vi tử A
i
là các tích axial, dưới tác dụng của
phép biến đổi chẵn lẻ P:
PV
i
P
-1
= V
i
; PA
i
P

-1
= A
i
1.6
Không gian đồng vị bây giờ sẽ gồm bốn thành phần
 
4
φ,φ

và biến đổi theo quy
luật sau:
   
ik k ik l i 4
V ,
φ = 2iε φ ; V ,φ = 0

1.7
   
i k ikl l i 4 i
A ,
φ = -2iε φ ; A ,φ = 2iφ

1.8
Các hạt được mô tả bởi
i
φ
sẽ là các hạt giả vô hướng và tạo thành các vector
đồng vị. Các hạt mô tả bởi
4
φ

có chẵn lẻ dương, spin và spin đồng vị (isospin) bằng
không, hạt này chính là chân không.
Nếu thay cho V
i
và A
i
ta dùng:
   
i i i i i i
1 1
L = V -A R = V + A
2 2

1.9
Thì đại số của
 
i i
L ,A
sẽ là:
 
 
 
i k ijk l
i k ijk l
i k
L ,L = 2i
ε L
R ,R = 2i
ε R
L ,R = 0







1.10
12

Do đó, nhóm mở rộng chính là nhóm chiral SU(2)xSU(2). Vì SU(2)xSU(2) và
O(4) có cùng đại số cho nên để Lagrangian xây dựng từ
 
4
φ,φ

bất biến, nó phải chứa
các tích vô hướng hoặc tích đạo hàm của các vector này.
Thứ hai: Coi các thành phần của trường
π
- meson bốn chiều làm thành mặt cầu
ba chiều:
2 2
4
φ (x,t) + φ (x,t) = const


1.11
Từ đó, phần thế năng trong Lagrangian trở thành một hằng số, bởi vì chúng là đạo
hàm của tích vô hướng của trường
π

- meson. Vì vậy, để mô hình có nghiệm soliton,
thì Lagrangian phải chứa số hạng đạo hàm cao hơn bậc hai của hàm trường
π
- meson.
Gần đây, người ta kết hợp bốn trường
π
- meson
 
4
φ,φ

vào một ma trận U -
unitary 2x2:
 
π
U = exp i
σ.π(x, t) = cosπ +i.σ. .sinπ
π

  

1.12
Trong đó
2
π = π

và
σ

là các ma trận Pauli:

1 2 3
0 1 0 -i 1 0
σ = ;σ = ;σ =
1 0 -i 0 0 -1
     
     
     

1.13
Các trường pion trước đây được liên hệ với các trường
π

theo hệ thức:
4
φ cosπ
π
φ sinπ
π





1.14
Khi đó, Lagrangian trong mô hình Skyrme sẽ là:
 
2
μ μ ν
μ μ ν
2

F
1
L = .Tr(L .L ) + .Tr L ,L . L ,L
16 32e

 
 
 
 

1.15
Với dòng ‘trái’ được xem như là dạng Maurer - Cartan và được xác định bằng:
+
μ μ
L = u . .u

1.16
13

Lagrangian này không chứa số hạng khối lượng của trường
π
- meson, vì số hạng
khối lượng của trường
π
- meson chỉ chứa phần không gian
π

của tích vô hướng sẽ vi
phạm bất biến chiral.
Với mô hình này, Skyrme đã chứng minh rằng tồn tại nghiệm soliton:

o
r
u = exp i
σ. .F(r)
r
 
 
 



1.17
Trong đó, F(r) được gọi là góc chiral và các baryon khác nhau là kết quả của việc
lượng tử hóa quanh nghiệm kỳ dị (1.17) này. Nghiệm (1.17) được gọi là nghiệm con
nhím (ansatz).
Mô hình của hadron nói trên được gọi là mô hình

- phi tuyến.
Trong những năm 1983 - 1986, G.Adkins, C.Nappi và E.Witten đã dùng mô hình
Skyrme để tính các đặc trưng tĩnh cho baryon [10]. Nhóm tác giả này đã lượng tử hóa
quanh nghiệm con nhím, mà sau này sẽ được gọi là nghiệm ansatz con nhím 1.17. Kết
quả là, họ đã thu được phổ của các baryon. Baryon có spin 1/2, isospin 1/2 đã được
đồng nhất với các nucleon, và baryon có spin 3/2, isospin 3/2 đã được đồng nhất với
các hạt cộng hưởng Δ. Sau đó, họ tính được
π
F
và e với những giá trị khá gần thực
nghiệm (
π
F

- hằng số phân rã của
π
- meson; e - tham số không thứ nguyên liên quan
đến biên độ tán xạ
π - π
). Từ các tham số này, nhóm Adkins đã tính các đặc trưng tĩnh
của các nucleon và kết quả chỉ sai khác 30% so với thực nghiệm. Tuy nhiên, khi mở
rộng cho nhóm SU(3)xSU(3) hoặc bổ chính vào 1.15 số hạng vi phạm đối xứng (số
hạng khối lượng
π
- meson) thì kết quả lại càng xa thực nghiệm [10].

1.2. Biểu diễn phi tuyến của nhóm đối xứng chiral SU(2)xSU(2)
1.2.1. Cách xây dựng biểu diễn phi tuyến.
Xét nhóm đối xứng G, trong một biểu diễn tuyến tính, tác dụng của mỗi phần tử
g

G có thể thực hiện nhờ một ma trận D
ab
(g) trong không gian của các G - vector Ψ
α
:
14

'
α α ab b
g :
ψ ψ = D (g)ψ


1.18
Các ma trận D thỏa mãn điều kiện:
ab 1 bc 2 ac 1 2
D (g )D (g ) = D (g g )

1.19
Nguyên lý bất biến tuyến tính đòi hỏi Lagrangian phải là một G - vô hướng xây
dựng từ các G - tensor.
Sự vi phạm đối xứng luôn được diễn tả một cách tường minh trong Lagrangian
bởi các số hạng không phải là các G - vô hướng.
Giả sử H là nhóm con của G. Xét tập thương G/H và U là các phần tử của tập đó.
Một phần tử
g G
khi tác động lên lớp U sẽ biến nó thành lớp khác U
g
theo công thức:
g -1
g : U U = gUh (g,h)


1.20
Với h là phần tử hoàn toàn xác định của H.
Xét tập các cặp (U,) với
U G / H
và Ψ
i
là một H - vector. Ta nói rằng tập này
thực hiện một biểu diễn phi tuyến của nhóm G nếu mỗi phần tử
g G
tương ứng với

mỗi phép biến đổi:
'
i i ij j
g :
ψ ψ = D (h(g,u))ψ


1.21
g -1
g : U U = gUh (g,h)


1.22
Ta xét trường hợp đặc biệt khi
H G
. Khi đó G/H chỉ là phần tử trung hòa,
nếu
U G / H
thì
U e
. Khi đó
g
U e
và:
-1
e = geh h = g


1.23
Vậy biểu diễn tương ứng với phép biến đổi trong G - vector Ψ

i
là:
'
i i ij j
g :
ψ ψ = D (g)ψ


1.24
Tức là trùng với biểu diễn tuyến tính thông thường (khi
H G
tương ứng với
trường hợp không có vi phạm tự phát) do đó không có mode Goldstone, tức là tương
ứng với năng lượng cao, các hạt hoàn toàn tự do, không có hiện tượng tự tương tác và
do đó Lagrangian không có mặt các số hạng phi tuyến.
15

Sự tồn tại các bậc tự do U là cần thiết để khôi phục đối xứng G cho mô hình trong
đó chỉ có đối xứng H được đòi hỏi tường monh ở trạng thái năng lượng cao, các thành
phần Ψ
α
của G - vector được biểu diễn một cách độc lập. Nếu năng lượng giảm xuống,
một số thành phần lập thành các H - vector, phần còn lại sẽ bị ‘đông đặc’ thành các
mode Goldstone:
i
α α i
ψ U ψ


1.25

Khi đó, các đạo hàm
μ α
ψ

sẽ bị làm lạnh xuống thành các phần tử Cartan
-1
μ
U U

và các đạo hàm trường
μ i
ψ
:
i i i i -1b j b
μ α μ α i μ α i α μ i o j μ α a μ i
ψ (U ψ ) = U ψ + U ψ = U (U U + δ )ψ
      

1.26
Vậy phần tử Cartan
-1
μ
U U
, phần tử quan trọng trong việc xây dựng các bất biến
trên đa tạp thương xuất hiện từ các đạo hàm trường trong quá trình ‘lạnh xuống’ của hệ
trường.
Đặt V
k
là các vi tử của H và A
α

là các vi tử trong không gian thương G/H thì
(V
k
,A
α
) là các vi tử sinh của G và
-1
μ
U U
được phân tích như sau:
-1
α k
μ μ α μk
U U = i(D
φ A +Γ V )


1.27
Ta tìm được quy luật biến đổi của
μ α
D
φ
và
μk
Γ
đối với phép biến đổi
g G
nào
đó. Vì G là nhóm toàn xứ (global) nên ta có:
g

μ μ μ
g g
μ μ
g( U) = (gU) = (U h(g,U))
= ( U )h(g,U) + U h(g, U)
  
 

1.28
Do đó:
g -1 g -1 -1 -1
μ μ μ
(U ) U = h(g,U)(U U)h (g, U) - h(g, U)h (g,U)
  

1.29
Từ 1.27 và 1.29 ta có:
' α α -1
μ α μ α
D
φ A = h(g,U)D φ A h (h,U)

1.30
16

' i i -1
μi μi
Γ V = h(g,U)Γ V h (g, U)

1.31

Vậy, chỉ có
α
μ α
D
φ A
là hiệp biến đối với g còn
μi
Γ
biến đổi như đại lượng liên kết
của đa tạp khả vi.
Tương tự như phép biến đổi chuẩn ta định nghĩa toán tử đạo hàm hiệp biến:
i
μ μ μ
Δ = +iΓ V


1.32
' -1
μ μ
Δ h(g,U) = Δ h (g,U)

1.33
Các mode Goldstone luôn xuất hiện trong
μi
Γ
và
μ α
D
φ
bởi vì chúng xuất hiện

trong pha U của hàm trường. Các mode Goldstone sẽ khử đi lẫn nhau trong các
Lagrangian bất biến.
Theo nguyên lý bất biến phi tính, Lagrangian cho trường vật chất mô tả bởi H -
vector Ψ
i
và chứa mode Goldstone dưới dạng:
in
ν μ α μ i i
L = L(D
φ ,Δ ψ ,ψ )

1.34
Trong đó
in
ν
L
là một H - vô hướng.
Trong các phần tiếp theo, ta sẽ không xét trường Ψ
i
mà chỉ xét các mode
Goldstone. Do đó, Lagrangian bất biến G phi tuyến sẽ là:
in
ν,G μ α
L = L(D
φ )

1.35
Với L là một H - vô hướng.
Từ nguyên lý trên cho thấy trong L bất biến phi tuyến không thể có khối lượng
của từng mode Goldstone. Số hạng vi phạm đối xứng phi tuyến dạng khối lượng của

π
- meson sẽ được xét tới ở phần sau.

1.2.2. Biểu diễn phi tuyến của nhóm đối xứng chiral SU(2)xSU(2).
Từ xây dựng biểu diễn phi tuyến ở trên ta xét nhóm đối xứng chiral, G là
SU(2)xSU(2) và nhóm con là nhóm SU(2)xSU(2) đường chéo, ký hiệu là SU(2)
diag
. Và
đồng nhất trường Goldstone với trường
π
- meson.
17

Nhóm G có biểu diễn cơ sở bởi các vi tử sinh:
i
i i
i i
σ 0 0 0
L = ;R =
0
σ 0 σ
   
   
   

1.36
Trong đó σ
i
là các ma trận Pauli.
Nhóm H được biểu diễn bởi các vi tử sinh:

i
i i i
i
σ 0
τ = L + R =
0
σ
 
 
 

1.37
Không gian thương G/H sẽ được sinh bởi vi tử sinh
5i
τ
:
i
5 i i
i
σ 0
τ = L -R =
0 -
σ
i
 
 
 

1.38
Đại số Lie các vi tử sinh

5i
τ
và
i
τ
sẽ được mô tả bởi các hệ thức 1.5:
i 5i
5i i
E
τ = τ
E
τ = τ

1.39
Trong đó:
1 0 1 0
I = ;E =
0 1 0 -1
   
   
   

1.40
E được gọi là ma trận ‘tích chiral’.
Bây giờ ta thực hiện tham số hóa không gian thương G/H bằng ma trận 4x4
unitary U:
i 5i 5
sinπ
U = exp(i
π τ ) = cosπ + i π.τ

π
 

1.41
Với
2
π = ππ
 
và
π

là các vector đồng vị. Các thành phần của trường
π
- meson
đồng nhất với tham số
π
.
Do đó, từ phần tử Cartan:
-1
μ μ 5 μ 5
U U = i(D
πτ + Γ τ )


 

1.42
Ta thu được:
18

μ μ
μ μ
2 2
(
π π)π (π π)π
sin2π
D π = + π -
π 2π π
 
 

 
 
     
 

1.43
2
μ μ
2
sin π
Γ = π×
π
π
 

 

 

1.44
Các đại lượng
μi
Γ

đóng vai trò của đại lượng liên kết trong không gian Riemann
hoặc trong các đa tạp liên kết. Điều này thể hiện ngay ở trong cách biến đổi và trong sự
kiện là nó khử các số hạng thừa để làm cho
μ
Δ
trở thành hiệp biến.
Ta cũng xây dựng được ‘tensor cường độ’ trường:
μν μ ν ν μ μ ν
F = Γ - Γ - 2Γ ×
Γ
 
    

1.45
Thỏa mãn định nghĩa:
μν 5 μ ν
iF
τ = Δ ,Δ
 
 



1.46
μν

F

có thể coi là tensor độ cong của đa tạp Goldstone.
Biểu thức 1.46 chứng tỏ lý thuyết phi tuyến về hình thức giống với lý thuyết
chuẩn.
Lagrangian bất biến phi tuyến sẽ được xây dựng từ các vector
μν
F

mà vẫn thỏa
mãn định lý Coleman - Wess - Zumino.
Lagrangian bất biến phi tuyến có dạng:
μ
μ
L = A.D
πD π +
 
(số hạng bậc bốn)+…
1.47
Theo định lý Coleman - Wess - Zumino số hạng bậc bốn lại được xây dựng từ
μ
D
π

. Bên cạnh đó từ
μ
D
π

và

μ
Γ

ta có:
ν 2 μν
μ μν
1
(D π×D
π) = - F F
4

 
 

1.48
Do đó, Lagrangian bất biến phi tuyến có dạng:
μ μν
μ μν
1
L = A.D
πD π + B. - F F
4
 
 
 
 
 

1.49
19

Số hạng bậc bốn trên có vai trò rất quan trọng, nó làm cho nghiệm soliton của mô
hình bền vững.
Thật vậy, ta xét phép biến đổi đồng dạng:

μ μ
x
λx


Khi đó mô hình cho năng lượng toàn phần có dáng điệu:
b
a
λ +
λ

Như vậy, năng lượng này có cực tiểu là
2 ab
và điều đó chứng tỏ rằng soliton là
bền vững.
Chú ý rằng Lagrangian trong mô hình phi tuyến chiral có thể chọn các bậc cao
hơn nữa:
2 4 6
L = L + L + L +

Nhưng trong luận văn này ta chỉ xét đến bậc bốn.

1.2.3. Dòng topological.
Từ các đại lượng
μ

D
π

ta có thể xây dựng được đại lượng hiệp biến bậc ba duy
nhất không triệt tiêu sau đây:
μνρi 5i μ i 5i ν k 5k ρ l 5l
B
τ = D π τ D π τ D π τ

1.50
Đại lượng này là một tensor hạng ba với phép biến đổi Lorentz và là một
isovector. Bằng cách chuyển sang đại lượng đối ngẫu ta có một vector:
μ μνρσ
νρσ
2
1
B =
ε TrB E
24π

1.51
μ μνρσ
μ i ρ k σ l
2
1
B =
ε D π D π D π
6π

1.51

μ μνρσ
μ ρ σ
2
1
B =
ε D π(D π D π)
6π

  

1.52
20

Vector này có thể coi là một dòng và từ các biểu thức
μ i
D
π
ở trên ta thay vào 1.51
chứng tỏ dòng này bảo toàn:
μ
B 0
μ
 

1.53
Vì
μ
B 0
μ
 

, cho nên, lượng tích B định nghĩa bằng:
 
o oik
i k l
2
1
B = B dV = ε D π D π×D
π dV
6π
 
  

1.54
là một đại lượng bảo toàn.
Thêm vào nữa, sau này ta sẽ chỉ ra rằng B = n (với n là số nguyên).
Đại lượng bảo toàn này có liên quan đến tính topo của đa tạp trường mà ta xét.
Do
π
- meson là các tham số của U. Các tham số này lập thành một đa tạp ba
chiều hình cầu S
3
nhúng trong không gian bốn chiều của các biến nội tại. Chứng tỏ
chúng là các biến góc chứ không phải là các biến độ dài và để xác định một điểm trên
mặt cầu đơn vị ba chiều S
3
.
Để có soliton ổn định (cấu hình năng lượng hữu hạn)
 
U x, t



phải tiến đến một
giá trị hằng số khi
r
 

.
Vậy với một cấu hình năng lượng hữu hạn và tĩnh hàm
 
U r

(soliton) xác định
một ánh xạ từ không gian ba chiều (kể cả điểm vô cùng) vào mặt cầu ba chiều của đối
xứng nội tại. Từ đó, tùy thuộc vào việc khi
r

lấy mọi giá trị, thì hình cầu S
3
được phủ
lên bao nhiêu lần. Số lần phủ đó được gọi là chỉ số topological của các ánh xạ U.
Tuy nhiên, chỉ số topo lại chính bằng số lớp đồng luân của nhóm đồng luân
3 3
(
π (S ))
. Mà
3 3
π (S )
lại đẳng cấu với nhóm số nguyên.
Suy ra chỉ số topological là số nguyên n.
Ta hãy xét khái niệm nhóm đồng luân:

‘Hai đường cong A(s) và B(s) liên tục trong không gian X với tham số thực
 
s a,b

từng giá trị
 
s a,b

tương ứng từng điểm của A và B, tồn tại một hàm L(t,s)
21

làm biến dạng liên tục A(s) thành B(s) thì A(s) và B(s) được gọi là đồng luân’. Tập các
đường đồng luân làm thành lớp đồng luân.
Những lớp đồng luân đó làm thành nhóm đồng luân do chúng thỏa mãn các tính
chất của nhóm: tính kín, tính kết hợp, tồn tại phần tử trung hòa, phần tử nghịch đảo.
Nếu có hai đường cong C
1
và C
2
mà một trong hai đường có một lỗ trống thì
không tồn tại một hàm làm biến dạng liên tục C
1
thành C
2
. Như vậy C
1
và C
2
không
đồng luân.

Nhóm đồng luân đẳng cấu với nhóm số nguyên:

1
1
π (S ) = Z

Tổng quát
3
1
π (S ) = Z

Nếu số nguyên Z có n=0 thì nhóm là nhóm đồng luân tầm thường. Nếu số nguyên
Z có n≥1 thì nhóm là nhóm đồng luân không tầm thường.
Từ đó kết luận rằng B là chỉ số topo, và dòng bảo toàn
μ
B
(hay dòng bảo toàn
topo) có nguồn gốc khác dòng bảo toàn Noether xây dựng từ sự đối xứng của mô hình.
Bên cạnh đó nó cũng độc lập với phương trình chuyển động.
Ta cũng thấy rằng soliton trong mô hình phi tuyến chiral là hệ quả của topo.
Trong chương sau, ta sẽ đồng nhất dòng baryon với dòng topo và qua đó, ta sẽ thu
được những kết quả khá phù hợp với thực nghiệm khi tính các đặc trưng tĩnh của
nucleon.

1.2.4. Dòng Noether.
Sau khi tham số hóa U bằng tham số π được đồng nhất với các thành phần của
trường
π
- meson. Tiếp theo ta cũng áp dụng định lý Noether khi có Lagrangian bất
biến phi tuyến thì sẽ thu được các dòng bảo toàn, được gọi là các dòng Noether.

Dòng vector: Dòng tương ứng với phép biến đổi
g H
. Vậy
g = expi
αV


ứng với
phép biến đổi này bất biến phi tuyến trở thành bất biến tuyến tính:
22

'
g : U exp(i
ατ)uexp(-iατ) = U

 
 

1.55
Xét phép biến đổi cực vi:
 
'
U = (1+i
ατ)U(1-iατ) = U + iα τ, U
  
  

1.56a
Hay:
 

'
δU = U - U = iα τ,U



1.56b
Do phép biến đổi unita nên
'
π = π
dẫn đến ta có:
5 5
i i
sinπ sinπ
δU = i δπτ = iα τ,i πτ
π π
δπ = 2(π×α)
 
 
 


  



1.57
Mà dòng vector có biểu thức:
V k
μi
μ k

δL
J =
δπ
δ π

Cho nên:
V
μi
μ
i
δL
J = 2 ×
π
δ π
 
 
 

 



1.58
Dòng axial (trục) là dòng liên quan đến các phép biến đổi của nhóm thương ứng
với
5
g = expi
α




.
Từ định nghĩa biến đổi phi tuyến:
' -1
g : U U = gUh


1.59
'
U h = gU


1.60
Thay các phép biến đổi cực vi, ta có:
 
5 5 A 5
(1+i
ατ )exp(iπτ ) = exp i(π + δ π)τ exp(iδφτ)
 
     

1.61
Để tìm
A 5
δ τ

ta dùng phương pháp sắp xếp theo tham số Feymann do Gell - Mann
và M.Levi đề xuất:
23

1 1
0 0
1 1 1
0 t t
exp(A + B) = exp dt(A(t) + B(t)) = exp dtA(t)
+ dt.exp dt'A(t') .B(t)exp dt"A(t")
   
   
   
   
   
   
 
  

1.62
Và công thức:
   
i 5 i 5
τ (t) = exp -iπτ t τ exp iπτ t
 

1.63
Từ đó, ta suy ra:
i k i k
A i ik k
2 2
π π π π
δ π = - 2πcotan2π δ - + α +
π π

 
 
 
 
 
 

1.64
Như vậy, dòng axial
V
μi
J
sẽ là:
V i
μi A
μ i
δL
J =
δ π
δ π

1.65
A
i k i k
μi ik
2 2
μ k
π π π π
δL
J = 2πcotan2π δ - +

δ π π π
 
 

 
 

 
 

1.66

24

CHƯƠNG 2
SKYRMION TRONG MÔ HÌNH BẤT BIẾN PHI TUYẾN

2.1. Nghiệm con nhím và dạng của hàm chiral
Trong chương 1 chúng ta đã chứng tỏ rằng, Lagrangian bất biến phi tuyến được
xây dựng từ các số hạng:
μ
μ
(D
πD π)
 
,
μ 2
μ
(D
πD π)

 
,
ν 2
μ
(D
πD π)
 
,
ν 2
μ
(D π ×D
π)
 
,
μν
μν
F F
 

sao cho bậc của đạo hàm trường là thấp nhất có thể.
Với Lagrangian bậc hai, bất biến phi tuyến duy nhất của các trường

-meson
(các trường này được đồng nhất với các tham số của nhóm thương) có dạng :
2
μ
π
2
μ i i
f

L = D
π D π
8

2.1
mô hình này có nghiệm soliton không ổn định.
Để có soliton ổn định ta phải thêm vào các số hạng phi tuyến bậc cao hơn, số
hạng Lagrangian bậc 4 duy nhất được thêm vào là:
μνk μν
4 μνi i k μν
2 2
1 1
L = - Tr(F
τ F τ ) = - F F
64e 16e
 

2.2
trong đó e là tham số không thứ nguyên.
Mô hình phi tuyến chiral tối thiểu sẽ có Lagrangian như sau:
2 4
L L L 

2
μ μνk
π
μ i i μνi i k
2
f 1
= D

π D π - Tr(F τ F τ )
8 64e

2.3
Với mô hình này năng lượng toàn phần sẽ có dáng điệu :
aλ + b / λ
dưới tác dụng
của phép biến đổi đồng dạng
x x
 
 
năng lượng này có cực tiểu
2 ab
 
nên
soliton là bền vững.
Các biểu thức của Lagrangian và dòng trong mô hình chiral:
25

2 2
2 2
2
2 2 2
( ) ( )
f sin 2
L { [( ) ]}
8 4
 



   

    
  
   


2 4
2 2
2 4 6
1 sin 2 sin 2
{ [ ( )] [ ( )] }
16e 4
   
 
          
 
     

2.4
Lấy biến phân theo đạo hàm trường, ta suy ra dòng vectơ:
2 2 2
V 2
2 2 4
f sin 2 1 sin 2
V J ( ) { [( ) ( )
2 4 2e

    
 

          
 
 
     

( )( )( )]
  
       
     

4
2
6
sin 2
[ ( )( ) ( ) ]}
4
     

                 

         

2.5
và dòng axial :
2
A 2
2 2 2 3
( ) ( )
f sin 4 1 sin4
A J { [ ]} { [( )

4 4 2e
 

    
     
 
          
   
     


   
2
( )( ) ( )( ) ( )( ) ]
       
                   
             

2
2
5
sin 4 sin 2
[( ) ( )( )
4
    
 
              

       

2
( )( ) ( )( ) ]}
    
            
        

2
.6
Việc lựa các hệ số
2
f
8

và
2
1
16e

trong 2.4 được trình bày chi tiết trong [1].
Hệ số của dòng tôpô 1.51 liên quan đến dị thường dòng trục và được lấy theo
tổng các giản đồ Feynmann tam giác, chúng tôi chọn nó dựa theo công trình của Isham
[15].
Để có baryon trong lý thuyết meson, chỉ số topo phải khác 0, nghĩa là
u(r,t)


phải phủ
3
S
ít nhất một lần. Trong khai triển

u(r,t)

theo hàm trường

-meson, khi u