Ứng dụng lý thuyết xếp hàng trong mạng máy tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





LÊ ĐỨC HỢP






ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT XẾP HÀNG TRONG
MẠNG MÁY TÍNH




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC





Hà Nội – Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ ĐỨC HỢP





ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT XẾP HÀNG TRONG
MẠNG MÁY TÍNH



Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60.460.106


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

NCVCC.TS.NGUYỄN HỒNG HẢI



Hà Nội – Năm 2014

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1. Những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất 3
1.1.1. Biến ngẫu nhiên 3
1.1.2. Những phân phối quan trọng 3
1.1.2.1. Phân phối hình học 3
1.1.2.2. Phân phối Poisson 3
1.1.2.3. Phân phối mũ 3
1.1.2.4. Phân phối Erlang 4
1.1.2.5. Phân phối siêu mũ (Hyperexponential) 4
1.1.2.6. Phân phối dạng Phase 5
1.1.3. Sơ lược về các quá trình ngẫu nhiên 5
1.1.3.1. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên 5
1.1.3.2. Quá trình Markov 6
1.1.3.3. Quá trình Poisson 6
1.2. Quá trình sinh tử 8
CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XẾP HÀNG 12
2.1 Những mô hình xếp hàng và một số khái niệm cơ bản 12
2.1.1. Mô hình xếp hàng và ký hiệu Kendall 12
2.1.2. Tỷ lệ thời gian cư ngụ 13
2.1.3. Một số đại lượng đặc trưng 14
2.1.4. Định luật Little 15
2.1.5. Tính chất PASTA 15
2.2. Mô hình xếp hàng M/M/1 15
2.2.1. Cân bằng xác suất 16
2.2.2. Các đặc trưng trung bình 16
2.2.3. Phân phối của thời gian lưu trú và thời gian chờ đợi 17
2.2.4. Các tính chất 18

2.2.5. Quyền ưu tiên tuyết đối 19
2.2.6. Quyền ưu tiên không tuyệt đối 19
2.2.7. Chu kỳ bận 20
2.2.8. Trung bình chu kỳ bận 20
2.2.9. Phân phối của chu kỳ bận 21
2.3. Mô hình xếp hàng M/M/c 22
2.3.1. Cân bằng xác suất 22
2.3.2. Trung bình độ dài hàng đợi và trung bình thời gian chờ đợi 23
2.3.3. Phân phối thời gian chờ đợi và thời gian lưu trú 24
2.4. Mô hình xếp hàng M/E
r
/1 25
2.4.1. Hai cách mô tả trạng thái 25
2.4.2. Cân bằng phân phối 25
2.4.3. Trung bình thời gian đợi 28
2.4.4. Phân phối thời gian đợi 29
2.5. Mô hình xếp hàng M/G/1 29
2.5.1. Những phân phối giới hạn 29
2.5.2. Phân phối của sự rời đi 31
2.5.3. Phân phối của thời gian lưu trú 35
2.5.4. Phân phối của thời gian chờ đợi 37
2.5.5. Phương pháp giá trị trung bình 38
2.5.6. Thời gian phục vụ còn lại 39
2.5.7. Phương sai của thời gian chờ đợi 40
2.5.8. Phân phối của chu kỳ bận 41
2.6. Mô hình xếp hàng G/M/1 43
2.6.1. Phân phối khách đến 44
2.6.2. Phân phối của thời gian lưu trú 47
2.6.3. Thời gian lưu trú trung bình 47
CHƯƠNG III: MẠNG JACKSON 49

3.1. Mạng mở 49
3.2. Mạng đóng 53
3.3. Mạng nửa mở 55
3.4. Hàm thông lượng 58
3.5. Tính thông lượng 60
3.5.1. Thuật toán tích chập 61
3.5.2. Phân tích giá trị trung bình 61
3.6. Sự đảo ngược thời gian 63
CHƯƠNG IV: MẠNG KELLY 68
4.1. Mô hình xếp hàng tựa khả nghịch 68
4.2. Mô hình xếp hàng đối xứng 73
4.2.1. Các phân phố và quá trình dạng Phase 73
4.2.2. Mô hình M/PH/l 75
4.3. Mạng đa lớp 79
4.4. Dòng Poisson 84
KẾT LUẬN 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

1

MỞ ĐẦU
Lý thuyết phục vụ đám đông ra đời từ những năm 50 của thế kỷ XX và có rất
nhiều ứng dụng trong khoa học cũng như trong thực tế. Lý thuyết xếp hàng được xem
như là một nhánh chính của lý thuyết xác xuất ứng dụng. Những lĩnh vực quan trọng
ứng dụng của mô hình xếp hàng là mạng viễn thông, mạng máy tính, hệ thống xử lý
thông tin.
Luận văn với đề tài “ Ứng dụng lý thuyết xếp hàng trong mạng máy tính ”
nghiên cứu các mô hình cơ bản của lý thuyết xếp hàng, tính chất của các mô hình xếp
hàng. Ứng dụng của lý thuyết xếp hàng vào nghiên cứu các mô hình mạng.
Nội dung luận văn gồm bốn chương:
Chương 1: Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày về một số phân bố xác suất quan trọng và
một số quá trình ngẫy nhiên bao gồm quá trình Poisson, quá trình Markov và đặc biệt
là quá trình sinh tử.
Chương 2: Tổng quan về lý thuyết xếp hàng

Chương này chúng tôi trình bày về các mô hình xếp hàng cơ bản như mô hình
M / M /1
,
M / M / c
,
r
M / E /

Chương 3: Mạng Jackson
Trong chương này chúng tôi đi sâu vào trình bày mô hình mạng Jackson gồm:
mạng Jackson đóng, mạng Jackson mở, mạng Jackson nửa mở và mạng thời gian đảo
ngược có cùng phân phối cân bằng và dòng khách hàng đến và rời đi cùng tuân theo
quá trình Poisson độc lập.
Chương 4: Mạng Kelly
Mạng Kelly là mở rộng của mạng Jackson tuy nhiên vẫn giữ lại các giả thiết và
các tính chất cơ bản của mạng Jackson.
Với sự cố gắng hết mình của bản thân, cùng với sự động viên giúp đỡ, hướng
dẫn tận tình của các thầy giáo, bản luận văn đã được hoàn thành. Song do thời gian có
hạn cũng như năng lực bản thân còn hạn chế nên chắc chắn luận văn không tránh khỏi
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

2

những thiếu sót, tôi rất mong nhận được thêm những ý kiến đóng góp cho luận văn này
của các thầy cô và các độc giả.
Với lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô Khoa toán
tin – Trường ĐHKHTN Hà Nội đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Đặc biệt tôi muốn tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới NCVCC, TS Nguyễn Hồng Hải cán bộ
thuộc trung tâm KHKT – BQP, người đã tận tình hướng dẫn về khoa học và giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, Năm 2014
Tác giả
Lê Đức Hợp
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

3

CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất
1.1.1. Biến ngẫu nhiên
Giả sử (

,ℱ,P) là không gian xác xuất
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X là ánh xạ đo được X: (Ω, ℱ) → ℝ
Các đại lượng quan trọng của biến ngẫu nhiên X: kỳ vọng ( trung bình ) EX,
phương sai
 
2
X

, độ lệch chuẩn
 
X
và hệ số biến thiên
 
 
X
X

c
E X


( hệ số biến
thiên
X
c
là một thước đo độ biến động của biến ngẫu nhiên X )
1.1.2. Những phân phối quan trọng
1.1.2.1. Phân phối hình học
Biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học với tham số p nếu các giá trị của nó là
các số nguyên không âm và với mọi
k


ta có:
   
k
P X k 1 p p
  
.
Với phân phối hình học ta có:
2 2
x
2
p p 1
EX ; (X) ;C
1 p (1 p) p
   

 

1.1.2.2. Phân phối Poisson
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số μ nếu các giá
trị của nó là các số nguyên không âm và với mọi
k


ta có:
k
e
P(X k)
k!


 

Với phân phối Poisson ta có:
2 2
x
E(X) (X) ;C 1    

1.1.2.3. Phân phối mũ
Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối mũ với tham số μ nếu hàm
mật độ của nó có dạng:
 
t
e t 0
f t
0 t 0



 







Hàm phân phối:
 
t
1 e t 0
F t
0 t 0


 







Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

4

Với phân phối mũ ta có:
 
2 2
x
2
1 1
E X ; (X) ;C 1   
 

Một tính chất quan trọng của biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số μ là:
Với
x 0
và
t 0

t
P(X x t / X t) P(X x) e

     

t
P(X t t / X t) 1 e t o(t),( t 0)

          
(1.1)
Trong đó
o(t)
0
t



khi
t 0 

1.1.2.4. Phân phối Erlang
Biến ngẫu nhiên X có phân phối Erlang - k (k = 1,2,…) với trung bình
k

nếu
1 2 k
X X X X   
. Trong đó:
1 2 k
X ,X , ,X
là k biến ngẫu nhiên độc lập cùng
phân phối mũ với trung bình
1

. Ký hiệu là
k
E ( )
hoặc
k
E
.
Hàm mật độ của
k
E
được cho bởi
 

k 1
t
t e
f (t) (t 0)
(k 1)!



  

.
Hàm phân phối:
 
j
t
k 1
j 0
t e
F(t) 1 (t 0)
j!




  


Tham số μ được gọi là tham số tỷ lệ, k được gọi là kích thước mẫu.
Với biến ngẫu nhiên có phân phối
k

E
ta có:
2 2
x
2
k k 1
E(X) ; (X) ;C
   
  

1.1.2.5. Phân phối siêu mũ (Hyperexponential)
Cho X
i
là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với trung bình:
i
1


Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối siêu mũ nếu: X = X
i
với xác suất p
i

Ký hiệu: H(p
1
,…,p
k
;μ
1
, ,μ

k
) hoặc H
k

Hàm mật độ của X:
i
k
t
i i
i 1
f (t) p e (t 0)


  


Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

5

Kỳ vọng:
k
i
i 1
i
p
EX






1.1.2.6. Phân phối dạng Phase
Phân phối dạng phase được đặc trưng bởi xích Markov với không gian trạng
thái
 
1,2, ,k
và ma trận xác suất chuyển P sao cho
n
n
lim P 0


; thời gian lưu trú
trong trạng thái i có phân phối mũ với trung bình
i
1

và xích Markov chuyển tại trạng
thái i với xác suất
i
p
.
Biến ngẫu nhiên X có phân phối dạng Phase nếu là tổng thời gian lưu trú trong
xích Markov. Phân phối phase được ký hiệu là: PH.
Chúng ta đề cập đến 2 phân phối dạng Phase quan trọng trù mật trong tất cả các
hàm phân phối không âm. Điều này có nghĩa rằng với bất kỳ hàm phân phối không âm
F(.) tìm thấy một dãy các hàm phân phối dạng Phase hội tụ điểm tại những điểm liên
tục của F(.).
Lớp thứ nhất là lớp phân phối Coxian. Ký hiệu:

k
C
.
Lớp thứ là lớp bao gồm hỗn hợp các phân phối Erlang có cùng tham số tỷ lệ.
Một biến ngẫu nhiên X có phân phối Coxian bậc k nếu nó phải trải qua k giai
đoạn phân phối mũ. Độ dài trung bình của giai đoạn n là:
n
1
n 1,2, ,k


.
Nó được bắt đầu ở bước 1. Sau bước n nó kết thúc với xác suất
n
1 p
và đi vào
bước tiếp theo với xác suất
n
p
. Hiển nhiên
k
p 0
.
Một biến ngẫu nhiên X có phân phối hỗn hợp Erlang bậc k nếu xác suất
n
p
là
tổng của n biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với cùng trung bình.
1.1.3. Sơ lược về các quá trình ngẫu nhiên
1.1.3.1. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa: Với mỗi
T


ánh xạ
 


X t, : 0;T  

được gọi là một
quá trình ngẫu nhiên nếu với mỗi t cố định
 
X t,
là một hàm đo được (để đơn giản
ta viết
 
X t
thay cho
 
X t,
).
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

6

Các quá trình ngẫu nhiên thường gặp: quá trình dừng, quá trình Markov, quá
trình Poisson, quá trình sinh tử, quá trình nửa Markov.
1.1.3.2. Quá trình Markov
Với quá trình ngẫu nhiên

 
 
X X t ,t T
 
chúng ta sử dụng các kí hiệu:
 
 
 
t
X X t ,t T X ,t T   

ℱ
≤
t
= σ(X
u
, u ≤ t), ℱ
<
t
= σ(X
u
, u < t)
ℱ
≥
t
= σ(X
u
, u ≥ t), ℱ
>
t

= σ(X
u
, u > t)
ℱ
=
t
= σ(X
u
, u = t)
Định nghĩa: Quá trình
 
 

t
X ,t T; T
được gọi là quá trình Markov nếu
với
t T
và bất kì biến cố thì hầu chắc chắn P(B/ ℱ
≤
t
) = P(B/ ℱ
=
t
)
Từ định nghĩa suy ra các mệnh đề tương đương sau:
Quá trình
 
 


t
X ,t T; T
được gọi là quá trình Markov khi và chỉ khi:
i) A∈ ℱ
≥
t
, P(A/ ℱ
≤
t
) = P(A/ ℱ
=
t
)
ii) Với A∈ ℱ
<
t
, B ∈ ℱ
>
t
thì P(AB/ ℱ
=
t
) = P(A/ ℱ
=
t
)P(B/ ℱ
=
t
).
Ta ký hiệu E tập gồm các giá trị của X(t); E được gọi là không gian trạng thái

của X(t).
Định nghĩa: Quá trình
 
t
X ,t T
được gọi là xích Markov nếu
 
t
X ,t T
là
quá trình Markov và E có lực lượng hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.
1.1.3.3. Quá trình Poisson
Trước khi tìm hiểu quá trình Poisson, chúng ta cần xem xét quá trình đếm
thông qua trường hợp cụ thể sau:
Giả sử A là biến cố nào đó. Ký hiệu N(t), t ≥0 là số lần biến cố A xuất hiện
trong khoảng thời gian từ 0 đến t (kể cả thời điểm t). Khi đó
 
N(t),t 0
được gọi là
quá trình đếm.
Nếu N(t) là quá trình đếm thì N(t) là biến ngẫu nhiên có các tính chất sau:
1-
N(t) 0
,
N(0) 0

2- N(t) là số nguyên không âm
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

7

3-
N(s) N(t)
0 s t  

4-
N(s;t] N(t) N(s) 
,
0 s t  
là số lần biến cố A xuất hiện trong
khoảng thời gian (s;t].
 
N(s;t],0 s t 
được gọi là quá trình điểm (ứng với quá trình đếm
 
N(t),t 0
).
Quá trình Poisson là quá trình đếm
 
N(t),t 0
nếu thỏa mãn các giả thiết sau:
1- Có gia số độc lập, tức là
m 2;3;  
và
0 1 2 m
0 t t t t    
các số
gia
0 1 1 2 m 1 m
N(t ,t ],N(t ,t ], ,N(t ,t ]


là các biến ngẫu nhiên độc lập.
2- Các gia số dừng, tức là
s 0 
,
1 2
0 t t 
các gia số
1 2 1 2
N(t s,t s], N(t ,t ] 
là các biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác xuất.
3- Tồn tại số λ>0 sao cho với h>0 khá bé thì:
P(N(h) l) h o(h)   

Trong đó o(h) là vô cùng bé bậc cao hơn h khi
h 0

4- Với h > 0 khá bé thì
P(N(h) 2) o(h) 
.
Từ các giả thiết này chúng ta thấy N(t) có phân phối Poisson với tham số λt:
n
t
n
( t)
p (t) P(N(t) n) e
n!


  

n=0;1;2;…
Định nghĩa: (Quá trình Poisson) ta nói rằng
 
X(t),t 0
là quá trình Poisson
với cường độ λ (tham số λ) nếu:
a- X(t) nhận các giá trị 0;1;2;…
b-
 
X(t),t 0
là quá trình có gia số độc lập, tức là
1 2 n
0 t t t   
các
gia số
1 0 2 1 3 2 n n 1
X(t ) X(t ),X(t ) X(t ),X(t ) X(t ), ,X(t ) X(t )

   
là các biến
ngẫu nhiên độc lập.
c- Mỗi gia số
X(s t) X(t) 
có phân phối Poisson với tham số λs với mọi
s 0,t 0 
.
d- X(0)=0.
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

8

Định nghĩa: (quá trình điểm Poisson) ta nói rằng
 
N(s;t],0 s t 
là quá
trình điểm Poisson với cường độ (tham số) λ > 0 nếu thỏa mãn:
a- Với mọi m = 2;3;… với mọi
0 1 2 m
0 t t t t    
các biến ngẫu
nhiên
0 1 1 2 m 1 m
N(t ,t ],N(t ,t ], ,N(t ,t ]

là độc lập.
b- Với bất kỳ
0 s t 
thì
N(s,t]
là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson
với tham số λ(t-s).
Quá trình Poisson đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết phục vụ
đám đông.
1.2. Quá trình sinh tử
Một lớp quan trọng của quá trình Markov là quá trình sinh – tử với đặc điểm ma
trận xác suất chuyển Q = [q
ij
] có tính chất q
ij
= 0 với |i-j|


2 (điều này có nghĩa là việc
chuyển trạng thái chỉ xảy ra giữa các trạng thái kề nhau). Từ trạng thái E
k
chỉ được
phép chuyển tới trạng thái E
k-1
, E
k+1
hoặc giữ nguyên trạng thái E
k
. Chúng ta chọn tập
số nguyên làm không gian trạng thái rời rạc (điều này không làm mất tính tổng quát)
và quá trình sinh - tử phải thỏa mãn điều kiện: nếu X
n
= i thì X
n+1
= i-1 hoặc i + 1.
Quá trình sinh – tử với thời gian rời rạc ít được quan tâm hơn trường hợp thời
gian liên tục và do đó không được xem xét ở đây. Quan tâm chính của chúng ta là các
quá trình sinh tử với thời gian liên tục trong không gian trạng thái rời rạc.
Quá trình sinh – tử phù hợp với mô phỏng sự thay đổi số khách hàng trong hệ
phục vụ. Khi quá trình ở trạng thái E
k
có nghĩa số khách hàng trong hệ phục vụ tại thời
điểm đó là k. Chuyển từ trạng thái E
k
tới E
k+1
biểu thị cho sự kiện “sinh” (có một

khách hàng tới hệ phục vụ), chuyển từ trạng thái E
k
tới trạng thái E
k-1
biểu thị cho sự
kiện “tử” (một khách hàng được phục vụ rời khỏi hệ). Tức là, từ trạng thái E
k
, hệ phục
vụ chỉ có thể chuyển tới một trong các trạng thái E
k-1
, E
k+1
hoặc E
k
.
Đối với một hệ phục vụ ta quan niệm một khách hàng đến hệ là hiện tượng
“sinh”, một khách hàng được phục vụ xong rời khỏi hệ là hiện tượng “ tử”. Chúng ta
ký hiệu:
k

cường độ đến (sinh) của khách hàng khi số khách hàng trong hệ phục vụ
là k;
k

cường độ phục vụ (tử) khách hàng khi số khách hàng trong hệ là k.
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

9

Lưu ý rằng, cường độ đến; cường độ phục vụ (tức là cường độ ra khỏi hệ) là

độc lập với thời gian và chỉ phụ thuộc vào trạng thái E
k.
Quá trình sinh – tử có thể mô tả thông qua sơ đồ chuyển trạng thái sau

Hình 1.1: Cường độ chuyển trạng thái của quá trình sinh – tử
Trên sơ đồ, các đường nối tương ứng với các chuyển đổi trạng thái cùng với
cường độ nhưng không chỉ ra xác suất chuyển trạng thái. Nhân cường độ chuyển trạng
thái với dt sẽ nhận được xác suất chuyển (xác suất chuyển trạng thái) trong khoảng
thời gian dt tiếp theo.
Vấn đề cần giải quyết ở đây là phân phối xác suất của số khách hàng trong hệ
phục vụ tại thời điểm t:
k
P (t) P(X(t) k) 
(1.2)
(X(t) chỉ số khách hàng trong hệ tại thời điểm t)
Giả sử tại thời điểm t hệ ở trạng thái E
k
, cường độ dòng vào trạng thái E
k
là:
k 1 k 1 k 1 k 1
P (t) P (t)
   
  

Cường độ dòng ra trạng thái E
k
tại thời điểm t:
k k k
( )P (t)  

Rõ ràng rằng, hiệu số giữa hai đại lượng này là cường độ dòng vào trạng thái
đó:
k
k 1 k 1 k 1 k 1 k k k
dP (t)
P (t) P (t) ( )P (t)
dt
   
       
(1.3)
Chúng ta nhận được hệ phương trình biểu thị hoạt động của hệ phục vụ đang
xét:
 
       
 
   
k
k k k k 1 k 1 k 1 k 1
0
0 0 1 1
dP t
P t P t P t k 0
dt
dP t
P t P t
k 0
dt
   


         




    


(1.4)
Hơn nữa với mọi t luôn có:
k
k 0
P (t) 1




(1.5)
Gọi
(k)
là phân phối cân bằng cho trạng thái có k khách hàng:
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

10

k
t
(k) limP (t)

 

k=0;1;2;… (1.6)
k
t
dP (t)
lim 0
dt

 
k=0;1;2;… (1.7)
Trong hệ (1.4) cho
t  
ta được:

       
   
k k k 1 k 1
0 1
0 k k 1 k 1 k 0
0 0 1
k 0
 
              



      


(1.8)

Ta có hệ:
0 1
0 1 1 2
1 2 2 3
k 1 k k k 1
(0) (1) 0
(0) ( ) (1) (2) 0
(1) ( ) (2) (3) 0

(k 1) ( ) (k) (k 1) 0

 
     


          


          




            



(1.9)
Từ đó ta suy ra:
k

k 1
(k 1) (k)


   

với mọi k = 0;1;2;…tức là:
0
1
1 1 0
2 2 1
2 2 1 2 1 0
3 3 2 3 2 1
k 1 k 1 2 1 0
k k 3 2 1
(1) (0)
(2) (1) (0)
(3) (2) (1) (0)

(k) (k 1) (0)
 


  



  

    


  

     

      

     



    

      

    



Như vậy ta có:
k 1
i
i 0
i 1
(k) (0)




   


k = 0;1;2;… (1.10)
Giả sử
k 1
i
1
i 0
k 1
i 1
S






   


với điều kiện
k 1
(k) 1


 

ta có:
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

11

k 1
i
i 0
k 1
i 1
1
(0)
1





 

 


(1.11)
Xét sự tồn tại của phân phối
(k)
. Rõ ràng là
(0) 0 
. Theo (1.10), (1.11)
điều này rõ ràng là áp đặt điều kiện cho các hệ số sinh, tử. Hệ phục vụ phải được thiết
kế sao cho hệ ít khi rỗng (không có khách hàng), đây là điều kiện đảm bảo tính ổn
định. Với:
k 1
i

1
i 0
k 1
i 1
S






 


(1.12) ;
2
k 1
i
k 0
k
i 0
i 1
1
S








 


(1.13)
Quá trình sinh tử là dừng ergodic nếu và chỉ nếu:
1
S , 

2
S
 

Chúng ta thấy rằng, điều kiện để hệ phục vụ ổn định là
0 0
k : k k  
luôn có:
k
k
1



(1.14)
Chúng ta thấy rằng quá trình sinh-tử là cở sở để nghiên cứu một số bài toán
quan trọng của lý thuyết đám đông.
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

12

CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XẾP HÀNG
2.1 Những mô hình xếp hàng và một số khái niệm cơ bản
2.1.1. Mô hình xếp hàng và ký hiệu Kendall
Một mô hình xếp hàng cơ bản được biểu diễn bởi hình sau:







Hình 2.1: Mô hình xếp hàng cơ bản
Nó có thể được sử dụng để mô hình hóa, ví dụ:mạng thông tin, mạng máy tính,
thiết bị xử lý thông tin truyền thông,…
Một mô hình xếp hàng được đặc trưng bởi các yếu tố:
1. Quá trình đến của những khách hàng:
Thông thường giả sử rằng khoảng thời gian giữa các lần đến là độc lập và có
cùng phân phối. Trong nhiều tình huống thực tế những khách hàng đến theo dòng
Poisson. Những khách hàng có thể đến một hoặc theo hàng loạt,
2. Hành vi của những khách hàng:
Khách hàng có thể kiên nhẫn và sẵn sàng chờ đợi ( trong một thời gian dài)
hoặc có thể thiếu kiên nhẫn và rời đi sau một thời gian. Ví dụ tại các trung tâm cuộc
gọi khách hàng có thể ngắt sau khi họ phải chờ đợi quá lâu trước khi nhà điều hành có
thể phục vụ và họ có thể trở lại sau một thời gian.
3. Số lần phục vụ:
Thông thường chúng ta giả sử số lần phục vụ là độc lập có cùng phân phối và
chúng độc lập với khoảng thời gian giữa các lần đến.
4. Quy tắc phục vụ
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

13

Những người khách có thể được phục vụ một hoặc hàng loạt. Chúng ta có nhiều
khả năng phục vụ: Đến trước phục vụ trước (FCFS); Đến sau phục vụ trước (LCFS);
thứ tự ngẫu nhiên; những quyền ưu tiên…
5. Khả năng phục vụ:
Có thể có một máy phục vụ hoặc một nhóm các máy phục vụ khách hàng.
6. Phòng chờ: Có thể giới hạn khách hàng trong hệ thống.
7. Ký hiệu của Kendall:
Kendall giới thiệu một ký hiệu để mô tả một loạt các mô hình xếp hàng này. Nó
là bộ mã gồm ba phần: A/B/m
+) A: biểu thị phân phối khoảng thời gian giữa các lần đến.
+) B: biểu thị phân phối của thời gian phục vụ.
+) m: biểu thị số lượng máy phục vụ.
Đối với A, B thông thường là viết tắt của các phân phối
+) M: quá trình Markov
+) D: một phân phối tất định và không đổi.
+) G: phân phối tổng quát chưa được xác định hầu hết các trường hợp ít nhất
trung bình và phương sai đã biết.
Ngoài ký hiệu trên đôi khi người ta còn sử dụng ký hiệu A/B/m/K, trong đó:
K: là dung lượng hàng đợi.
Nếu không sử dụng ký tự cuối ta coi nó là giá trị tùy ý.
2.1.2. Tỷ lệ thời gian cư ngụ
Trong một hệ thống đơn máy phục vụ G/G/1 với cường độ đến

và trung bình
thời gian phục vụ E(B), số lượng công việc đến trên một đơn vị thời gian bằng

E(B).
( ở đây B là phân phối của thời gian phục vụ).

Máy chủ có thể xử lý một đơn vị công việc trên một đơn vị thời gian. Để tránh
hàng đợi tiến dẫn đến vô cùng chúng ta yêu cầu:
 
E B 1 
.
Không đi vào chi tiết chúng ta lưu ý rằng độ dài trung bình hàng đợi cũng sẽ
bùng nổ khi
 
E B 1 
, ngoại trừ trường hợp D/D/1: nghĩa là hệ thống hoàn toàn
không có tính ngẫu nhiên.
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

14

Ký hiệu:
 
E B  

Nếu
1 
thì

được gọi là tỷ lệ thời gian cư ngụ bởi vì nó là phân số của thời
gian máy chủ sẽ làm việc.
Trong hệ thống đa máy chủ: G/G/m, đòi hỏi
 
E B m 
.
Khi đó tỷ lệ thời gian cư ngụ theo số máy chủ:

 
E B / m  
.
2.1.3. Một số đại lượng đặc trưng
Một số đại lượng đặc trưng trong phân tích các mô hình xếp hàng:
- Phân phối của thời gian đợi và thời gian lưu trú của khách hàng. Thời gian
lưu trú gồm thời gian đợi cộng với thời gian phục vụ.
- Phân phối của số lượng công việc trong hệ thống. Đó là tổng thời gian phục
vụ của khách đợi và thời gian phục vụ còn lại của khách hàng trong dịch vụ.
- Phân phối của giai đoạn bận của máy chủ. Đây là khoảng thời gian mà máy
chủ làm việc liên tục. Đặc biệt ta quan tâm đến một số đại lượng là thước đo, chẳng
hạn như thời gian đợi trung bình và thời gian lưu trú trung bình.
Bây giờ ta xét mô hình G/G/c. Ký hiệu biến ngẫu nhiên L(t), ký hiệu số khách
hàng trong hệ thống tại thời điểm t,
n
S
là thời gian lưu trú của khách hàng thứ n trong
hệ thống. Giả sử:
 
E B
1
c

  
.
Có thể chỉ ra rằng các biến ngẫu nhiên trên có giới hạn khi
t  
và
n  

Các phân phối này độc lập với điều kiện ban đầu của hệ thống.
Gọi biến ngẫu nhiên L và S là phân phối giới hạn của L(t) và
n
S
.
Do đó:
   
   
 
k
t
S n
n
p P L k limP L(t) k
F x P S x limP S x


   
   

Trong đó
k
p
là xác suất có k khách hàng trong hệ thống,
 
S
F x
xác định xác
suất mà thời gian lưu trú của một khách hàng bất kỳ đi vào hệ thống là nhỏ hơn hoặc
bằng x đơn vị thời gian.

Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

15

Hơn nữa với xác suất 1 ta có:
     
t
n
k
t n
k 1
0
1 1
lim L x dx E L ; lim S E S
t n
 

 



Vậy số lượng khách hàng trung bình về lâu dài trong hệ thống là E(L) và thời
gian lưu trú trung bình về lâu dài là E(S).
Một kết quả rất hữu hiệu cho hệ thống xếp hàng liên quan giữa E(L) và E(S)
được trình bày sau đây.

2.1.4. Định luật Little
Định luật Little xác định một mối liên hệ rất quan trọng giữa E(L)-số khách
hàng trung bình trong hệ thống và E(S)-thời gian lưu trú trung bình và


-số lượng
khách hàng trung bình đi vào hệ thống trên một đơn vị thời gian.
Định luật Little được phát biểu như sau:
   
E L E S 
.
Áp dụng định luật Little trong xếp hàng ( không bao gồm máy chủ) đưa đến
mối quan hệ giữa chiều dài hàng đợi
q
L
và thời gian đợi W:
 
 
q
E L E W
 

Cuối cùng khi áp dụng định luật Little với một máy chủ duy nhất ta thu được:
 
E B  
. Ở đây

là số lượng khách hàng trung bình tại máy chủ và E(B) là trung
bình thời gian phục vụ.
2.1.5. Tính chất PASTA
Cho hệ thống xếp hàng với dòng đến Poisson, đối với hệ thống M/./.
Một tính chất quan trọng chỉ ra rằng: phân phối của thời gian hệ thống phục vụ
ở trạng thái A hoàn toàn giống với phân phối của lượng khách hàng đi đến hệ thống
(theo dòng Poisson ) ở trạng thái A. Tính chất này chỉ đúng với dòng đến Poisson.
Tính chất của dòng đến Poisson được gọi là tính chất PASTA (Poisson Arrivals See

Time Averages). Bằng trực giác tính chất này có thể giải thích bởi thực tế rằng dòng
đến Poisson diễn ra hoàn toàn ngẫu nhiên theo thời gian.
2.2. Mô hình xếp hàng M/M/1
Trong phần này ta sẽ phân tích mô hình với khoảng thời gian giữa các lần đến
có phân phối mũ với trung bình 1/λ; thời gian phục vụ có phân phối mũ với trung bình
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

16

1/μ và có một máy chủ. Khách hàng được phục vụ theo thứ tự đến. chúng ta yêu cầu:
1

  

số

là phân bố của thời gian máy chủ làm việc.
2.2.1. Cân bằng xác suất
Mô hình xếp hàng được biểu diễn như sau:

Hình 2.2: Minh họa cho mô hình M/M/1
Tương tự quá trình sinh tử ta lập phương trình cân bằng đơn giản:
n
n 1 n n n 1 0
p p n p p p n=0;1;
 
          

Với
0

p 1
  
ta có:
 
n
n
p 1
   

2.2.2. Các đặc trưng trung bình
Từ sự cân bằng xác suất chúng ta có thể xác định biểu thức đối với số lượng
khách hàng trung bình trong hệ thống hoặc trong thời gian sử dụng trong hệ thống.
Với điều thứ nhất ta có:
   
n
n
n 0 n 0
E L np n 1
1
 
 

     
 
 

Áp dụng định luật Little ta có:
   
1
1

E S E L
1

 
 
(2.1)
Khi
1 
thì cả E(L) và E(S) cùng tiến đến vô cùng.
Chúng ta có thể xác định E(L) và E(S) trực tiếp dựa vào định luật Little và tính
chất PASTA mà không cần dựa vào xác suất
n
p
. Dựa vào PASTA ta biết rằng trung
bình số lượng khách trong hệ thống được xem xét bởi một khách đến bằng E(L) và
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

17

mỗi người trong số họ có một lần phục vụ với thời gian trung bình
1

và họ phải đợi
để được phục vụ. Do đó:
   
1 1
E S E L
 
 
.

Theo định luật Little ta có:
   
E L E S 
.
Từ đó suy ra
 
1
E S
1


 
;
 
E L
1


 
.
Số lượng khách trung bình trong hàng đợi,
 
p
E L
, có thể được suy ra từ
 
E L

bằng cách trừ đi số lượng số lượng khách trung bình được phục vụ, do đó:
 

 
2
p
E L E L
1

   
 
.
Trung bình thời gian đợi,
 
E W
, có thể suy ra từ
 
E S
bằng cách trừ đi thời
gian phục vụ trung bình, do đó
   
1
E W E S
1


  
  

2.2.3. Phân phối của thời gian lưu trú và thời gian chờ đợi
Chúng ta có thể xác định được phân phối của thời gian lưu trú.
Ký hiệu:
a

L
sẽ là lượng khách hàng trong hệ thống ngay trước khi xuất hiện
một khách hàng;
k
B
là thời gian phục vụ khách hàng thứ k. Vì phân phối mũ của thời
gian phục vụ có tính không nhớ nên các biến ngẫu nhiên
k
B
là độc lập có phân phối
mũ trung bình
1

.
Vậy ta có:
a
L 1
k
k 1
S B





Do điều kiện của
a
L
và
k

B
và sử dụng điều kiện
a
L
và
k
B
độc lập, ta có:
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

18

 
 
 
a
L 1 n 1
a
k k
k 1 n 0 k 1
P S t P B t P B t P L n 2.2
  
  
 
 
     
 
 
 
 

  

Vấn đề là xác định xác suất để một khách hàng đến thấy trong hệ thống có n
khách hàng.
Tính chất PASTA phát biểu rằng phân bố của các khách đến khi hệ thống có n
khách hàng cũng bằng phân bố thời gian có n khách hàng trong hệ thống. Do đó
 
   
a n
n
P L n p 1 2.3
    

Thay (2.3) vào (2.2) và
n 1
k
k 1
B



có phân phối Erlang-(n+1) ta có:
 
 
 
 
 
 
 
 

k k
n
t n t n
n 0 k 0 k 0 n k
k
1 t
t t t
k 0
t t
P S t e 1 e 1
k! k!
t
= e e e e t 0
k!
  
 
   

 
  

 
        

  
 


Vậy S có phân phối mũ với tham số
 

1
  
.
2.2.4. Các tính chất
Trong mục này chúng ta xem xét các quyền ưu tiên của khách hàng trong hệ
thống phục vụ M/M/1. Để đơn giản chúng ta giả sử rằng chỉ có 2 loại, loại 1 và loại 2,
nhưng những phân tích có thể dễ dàng được mở rộng tình huống với nhiều loại hơn
của những khách hàng. Kiểu 1 và 2 những khách hàng đến theo 2 quá trình Poisson
độc lập có cường độ tương ứng là
1

và
2

. Các lần phục vụ tất cả khách hàng có
phân phối mũ với cùng trung bình
1

.
Giả sử rằng:
1 2
1   
với
i
i
i=1;2.

 


Những khách hàng loại 1 được xem xét ưu tiên hơn khách hàng loại 2.
Trong các phần dưới đây chúng ta xem xét hai quy tắc ưu tiên:
- Quyền ưu tiên tuyệt đối
- Quyền ưu tiên không tuyệt đối.
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

19

2.2.5. Quyền ưu tiên tuyết đối
Trong nguyên tắc phục vụ khách hàng loại 1 hoàn toàn được ưu tiên so với
khách hàng loại 2; nghĩa là khi khách hàng loại 2 đang trong dịch vụ mà khách hàng
loại 1 đến thì sự phục vụ của khách hàng loại 2 bị gián đoạn và hệ thống sẽ phục vụ
khách hàng loại 1. Khi không còn khách hàng loại 1 nữa máy chủ sẽ tiếp tục phục vụ
khách hàng loại 2 tại chỗ bị gián đoạn.
Gọi
i
L
là biến ngẫu nhiên ký hiệu số khách hàng loại i trong hệ thống và S
i
là
thời gian lưu trú của khách hàng loại i.
Đối với khách hàng loại 1 thì khách hàng loại 2 không tồn tại. Do đó
     
1
1 1
1 1
1
E S ;E L 2.4
1 1



 
  

Bởi vì số lần phục vụ của tất cả khách hàng là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ
có cùng trung bình, tổng số khách hàng trong hệ thống không phụ thuộc vào trật tự
khách hàng được phục vụ. Do đó số này cũng giống trong hệ thống mà tất cả các
khách hàng được phục vụ theo thứ tự đến.
Vì vậy:
     
1 2
1 2
1 2
E L E L 2.5
1
  
 
   

Từ (2.4) và (2.5) ta có
 
  
1 2 1 2
2
1 2 1 1 1 2
E L
1 1 1 1
    
  
           

Áp dụng định luật Little ta có:
 
 
  
2
2
2 1 1 2
1
E L
E S
1 1

 
     

2.2.6. Quyền ưu tiên không tuyệt đối
Bây giờ chúng ta xét trường hợp mà khách hàng loại 1 có quyền ưu tiên gần
như tuyệt đối so với khách hàng loại 2.Sự khác nhau đối với nguyên tắc trước là những
khách hàng loại 1 không được phép ngắt quãng sự phục vụ của khách hàng loại 2.
Đối với thời gian lưu trú của khách hàng loại 1:
Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học

20

   
1 1 2
1 1 1
E S E L .
   

  

Khi khách hàng loại 1 đi vào gặp khách hàng loại 2 đang được phục vụ, anh ta
phải chờ cho đến khi khách hàng loại 2 được phục vụ xong. Theo tính chất PASTA
xác suất để gặp 1 khách hàng loại 2 trong hệ thống bằng phân bố thời gian hệ thống
phục vụ cho khách hàng loại 2 và bằng
2

.
Kết hợp định luật Little:
   
1 1
E L E S 
ta suy ra
 
 
 
 
2 1
2
1 1
1 1
1
1
E S ; E L
1 1
  
 
 
    

Theo (2.5) ta có:
   
1 2
1 2
1 2
E L E L
1
  
 
   

Suy ra:
 
 
  
1 1 2 2
2
1 1 2
1 1
E L
1 1
       
 

     

Từ định luật Little ta suy ra:
 
 

  
1 1 2
2
1 1 2
1 1
E S
1 1
   

      

2.2.7. Chu kỳ bận
Trong hoạt động của hệ thống, chúng ta có thể phân biệt được các chu kỳ. Một
chu kỳ là một khoảng thời gian trôi qua giữa hai lượt khách liên tiếp mà hệ thống rỗng.
Rõ ràng một chu kỳ bắt đầu với một chu kỳ bận BP trong thời gian để hệ thống
phục vụ khách hàng, tiếp theo là giai đoạn chờ IP, khi hệ thống không có khách hàng.
Một giai đoạn chờ IP có phân phối mũ với trung bình là
1

( do khoảng thời
gian giữa các lần đến của khách hàng có phân phối mũ với trung bình
1

). Trong các
tiểu mục sau, chúng ta xác định trung bình và phân phối của chu kỳ bận BP
2.2.8. Trung bình chu kỳ bận