luyện thi đại học môn toán phần hình học full hay

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!



I. VÉC TƠ – TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1. Cho các điểm A(2; 3); B(−1; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ điểm D để
a) ABCD là hình bình hành.
b) ACDB là hình bình hành.
Bài 2. Cho các điểm A(−1; 1); B(1; 3), C(−2; 0).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng ba điểm O, A, B không thẳng hàng.
Bài 3. Cho các điểm A(4; 6); B(1; 4),
3
7; , ( 2;2)
2
C D
 
−
 
 
.
Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng; ba điểm A, B, D thẳng hàng.
Bài 4. Cho các điểm A(1; 3); B(3; −2), C(2; 2). Tìm tọa độ G; H; I của tam giác ABC.
Đ/s: I(2; 1).
Bài 5. Cho các điểm A(0; 5); B(−2; −1), C(2; 1). Tìm tọa độ G; H; I của tam giác ABC.
Đ/s: I(−1; 2).
Bài 6. Cho các điểm A(2; −3); B(3; 4), C(0; 2). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn
3 2 0.
MA MB
− =

  

Đ/s: M(0; −17).
Bài 7. Cho các điểm A(2; 3); B(3; 4) Tìm điểm M thuộc Ox để ba điểm A; B; M thẳng hàng.
Bài 8. Cho các điểm A(1; −1); B(4; 0), C(6; 4). Tìm điểm D trên Oy để ABCD là hình thang.
Bài 9. Cho điểm A(1; 1) Tìm điểm B trên đường thẳng y = 3; điểm C trên Ox để tam giác ABC đều.
Bài 10. Tìm điểm A trên Ox, điểm B trên Oy sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0.
Đ/s:
(
)
(
)
2;0 , 0;4 .
A B
Bài 11.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho 3
đ
i
ể
m
(
)
(
)
(
)

2;5 , 1;1 , 3;3 .
A B C
a)
Tìm to
ạ

độ

đ
i
ể
m D sao cho
3 2 .
AD AB AC
= −
  

b)
Tìm to
ạ

độ

đ
i
ể
m E sao cho ABCE là hình bình hành. Tìm to
ạ

độ

tâm hình bình hành
đ
ó.
Đ
/s:
a)

(
)
3; 3 .
D
− −

b)

( )
5
4;7 , ;4 .
2
E I
 
 
 

Bài 12.
Cho tam giác ABC có
(
)
(
)

1;1 , 5; 3 ,
A B
− −

đỉ
nh C thu
ộ
c Oy và tr
ọ
ng tâm G thu
ộ
c Ox. Tìm to
ạ

độ

đỉ
nh C.
Đ
/s:
( )
4
;0 , 0;2 .
3
G C
 
 
 

Bài 13.

Cho tam giác ABC bi
ế
t
(
)
(
)
(
)
2; 2 , 0;4 , 2;2 .
A B C− − Tìm to
ạ

độ
tr
ự
c tâm và tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
ABC.
Đ
/s: Tam giác vuông t
ạ
i C nên
(
)

; 1;1 .
H C I≡
Bài 14.
Cho
( )
(
)
0;2 , 3; 1 .
A B
− −
Tìm to
ạ

độ
tr
ự
c tâm và tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác OAB.
01. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đ/s:
(
)

(
)
3; 1 , 3;1 .
H B− −
Bài 15.
Cho tam giác
ABC
có
(
)
(
)
(
)
4;1 , 2;4 , 2; 2
A B C
− −
. Tìm tr
ự
c tâm H và tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p O c
ủ
a tam
giác ABC.
Đ

/s:
1 1
;1 ; ;1 .
2 4
H O
   
−
   
   

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1) Phương trình có các yếu tố vuông góc, song song
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua C(−2; 5) và song song với đường thẳng d’: 4x − 5y +10 = 0.
b) d đi qua điểm D(−5; 3) và vuông góc với đường thẳng
1 2
':
4 9
x t
d
y t
= −


= +

.
c) d đi qua điểm M(2; 5) và song song với đường thẳng
1 3
':

4 5
x t
d
y t
= −


= +

.
d) d đi qua N(3; 4) và vuông góc với đường thẳng ∆: 4x − 7y + 3 = 0.
Bài 2. Cho tam giác ABC có A(−2; 1), B(2; 3) và C(1; −5).
a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.
b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác.
c) Lâp phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM.
d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực của cạnh BC.
Bài 3. Cho tam giác ABC biết A(1; 4), B(3; −1) và C(6; −2).
a) Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác.
b) Lập phương trình đường cao AH và trung tuyến AM.
Bài 4. Cho tam giác ABC có A(−4; 5), B(6; −1), C(−1; 1).
a) Viết phương trình các đường cao của tam giác đó.
b) Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác đó.
c) viết phương trình đường trung trực cạnh BC.
Bài 5. Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x + 3y = 0 và 2x – 5y + 6 = 0, một đỉnh của hình bình
hành là C(4; 1). Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.
Bài 6. Cho hình vuông ABCD có tọa độ điểm A(2; 1); tâm I(1; 3). Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông và viết phương
trình các cạnh.
Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình một cạnh là x + y + 2 = 0; tâm I(1; 1) và diện tích của hình chữ nhật
bằng 12. Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật.
2) Phương trình có các yếu tố tạo góc và khoảng cách


Lập phương trình đường thẳng có yếu tố tạo góc:
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua A(2; −3) và tạo với ∆: x − 2y + 3 = 0 góc φ với
1
cos
φ .
10
=
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đ/s: d: x + y +1 = 0
b) d đi qua A(1; −3) và tạo với ∆: x + 3y + 2 = 0 góc 45
0

Đ/s: d: 2x + y +1 = 0
c) d đi qua M(−3; −1) và tạo với trục Ox góc 45
0

Đ/s: d: x + y +4 = 0
Bài 2. Lập phương trình đường thẳng d biết d đi qua A(−1; −1) và tạo với ∆: 2x − 3y + 1 = 0 góc φ với
1
cos
φ .
26
=
Đ/s: d: x + y +2 = 0
Bài 3.
Lập phương trình đường thẳng
d

biết
a)

d
đi qua
M
(1; −1) và tạo với ∆:
x
−
y
+ 1 = 0 góc φ với
1
cos
φ .
10
=
Đ/s: d: 2x + y
−
−−
−
1 = 0
b)

d
đi qua
A
(3; −2) và tạo với ∆: 2
x
+
y

− 3 = 0 góc φ với
4
cos
φ .
5
=

Đ/s: d: x + 2y +1 = 0
c) d đi qua A(2; 0) và tạo với Ox góc φ với
3
cos
φ .
10
=
Đ/s: d: x + 3y – 2 = 0

Lập phương trình đường thẳng có yếu tố khoảng cách:
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua M(2; −3) và khoảng cách từ A(1; 1) đến d bằng
3
.
2

Đ/s: d: x + y +1 = 0
b) d đi qua M(4; 2) và khoảng cách từ A(1; 0) đến d bằng
3
.
10

Đ/s: d: x – 3y +2 = 0

c) d đi qua
(1; 3)
M và kho
ả
ng cách t
ừ
A(1; 0)
đế
n d b
ằ
ng
3
.
2

Đ/s:
: 3 2 0
d x y
− + =

Bài 2.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d bi

ế
t
a)
d
đ
i qua O(0; 0) và cách
đề
u hai
đ
i
ể
m A(2; 2), B(4; 0)
Đ/s: x + y = 0 và x – 3y = 0
b)
d
đ
i qua OM(4; 2) và cách
đề
u hai
đ
i
ể
m A(3; 0), B(–5; 4)
Đ/s: x + 2y – 14 = 0 và y – 2 = 0
Bài 3.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình

đườ
ng th
ẳ
ng d bi
ế
t
a)
d
đ
i qua A(1; 1) và cách B(3; 6) m
ộ
t kho
ả
ng b
ằ
ng 2.
Đ/s: x – 1 = 0 và 21x – 20y – 1 = 0
b)
cách A(1; 1) m
ộ
t kho
ả
ng b
ằ
ng 2 và cách B(2; 3) m
ộ
t kho
ả
ng b
ằ

ng 4.
Đ/s: y + 1 = 0 và 4x + 3y + 3 = 0
3) Phương trình có dạng đoạn chắn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 2) và cắt Ox, Oy tại A, B sao cho
a) OA = 2OB.
b)
2 2
1 4
1.
OA OB
+ =

c)
9
.
2
OAB
S
=

Đ/s: b) a = b = 1 c) a = b = 3
Bài 2. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(2; −3) và cắt Ox, Oy tại A, B sao cho
a)
2
.
3
OA OB
=

b)
2 2
4 100.
OA OB+ =

c)
OAB
S
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
d)
2 2
3 2 275
.
36
OA OB
+ =

Đ/s: a) a = b = 2 b) a = 4; b = 6 c) x + y – 5 = 0 d)
2 3
; .
3 2
a b
= =

Bài 3.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
d
vuông góc v
ớ
i
đườ
ng ∆: 2
x
–
y
+ 1 = 0 và c
ắ
t
Ox, Oy
t
ạ
i
A, B
sao cho
a)

AB
= 1
b)
4.
OAB
S
=

c)
2 2
2 1
1
OA OB
+ =

Đ/s: a) a = 2; b = 1 b) a = 4; b = 2 c)
1 1
; .
2 4
a b
= =

Bài 4. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(2; 1) và cắt Ox, Oy tại A, B sao cho
a) OA = 2OB.
b)
2 2
1 3 13
16
OA OB

+ =

c)
( )
6
; .
17
d O d =
Đ/s: b) a = 4; b = 2

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!



1) Bài toán tìm điểm thuộcđường thẳng
Ví dụ 1. Cho đường thẳng d: 2x + y + 3 = 0. Tìm điểm M trên d sao cho
a)
2 5
MA = v
ớ
i A(3;
−
1)
b)

2
19
MA
MB

= , v
ớ
i A(0; 1) và B(3; −1).
c)

2 2
2 3.
M M
x y
+ =

Đ/s: a)
M(1; −5)
b)
M(−2; 1)
c)
M(−1; −1)
Ví dụ 2.
Cho
đườ
ng th
ẳ
ng d: x – 3y + 1 = 0. tìm
đ
i
ể
m M trên d sao cho
a)

(

)
; 3 2
d M ∆ = v
ớ
i ∆: x + y + 3 = 0.
b)

(
)
(
)
1 2
; ;d M d M
∆ = ∆
, v
ớ
i ∆
1
: x + 2y – 1 = 0; ∆
1
: 2x + y + 4 = 0;
Đ/s: a)
M(2; 1) và M(–7; –2)
b)
M(–1; 0) và M(–7; –2)
Ví dụ 3.
Cho 2
đ
i
ể

m A(–1; 0), B(2; 3),
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
:
3
x t
d
y t
= +


= − −

. Tìm tọa độ điểm C trên d sao cho tam giác ABC
vuông tại A.
Ví dụ 4. Cho 2 điểm M(–1; 4); N(5; –4), đường thẳng
1
:
2 3
x t
d
y t
= −


= −


. Tìm tọa độ điểm A trên d sao cho tam giác AMN
vuông tại A.
Ví dụ 5. Cho đường thẳng
1 2
:
1 3
x t
d
y t
= −


= − +

, B(3; –1), C(–1; –3). Tìm tọa độ điểm A trên d sao cho A, B, C thẳng hàng.
Ví dụ 6. Cho đường thẳng
2 2
:
1 2
x t
y t
= − −

∆

= +

và điểm M(3; 1). Tìm điểm B trên ∆ sao cho MB ngắn nhất.
Đ/s:
1 3

; .
2 2
B
 
−
 
 

Ví dụ 7. Cho tam giác ABC với
(
)
(
)
(
)
1;0 , 2;3 , 3; 6
A B C
− −
và đường thẳng d: x – 2y – 3 = 0.
Tìm điểm M trên d sao cho
MA MB MC
+ +
  
nhỏ nhất.
Đ/s:
19 13
; .
15 15
M
 

−
 
 

2) Một số bài toán về góc; khoảng cách và diện tích
Ví dụ 1. (Khối B - 2003). Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết M(1; −1) là trung điểm cạnh
BC và
2
;0
3
G
 
 
 
là trọng tâm tam giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
Đ/s: B(4; 0); C(−2 ; −2)
Ví dụ 2. (Khối B - 2007). Trong mặt phẳng Oxy cho A(2; 2) và các đường thẳng
1
2
: 2 0
: 8 0
d x y
d x y
+ − =


+ − =

. Tìm
đ

i
ể
m B, C
l
ầ
n l
ượ
t thu
ộ
c d
1
; d
2
sao cho tam gi
ỏ
c ABC vuông cân t
ạ
i A.
02. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM – GÓC – KHOẢNG CÁCH

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đ/s:
(
)
(
)
( ) ( )
1;3 , 3;5

3; 1 , 5;3
B C
B C

−

−



Ví dụ 3.
Cho hình bình hành
ABCD
tâm
I
có di
ệ
n tích
S
= 2. Bi
ế
t
A
(1; 0),
B
(2 ; 0), tâm
I
thu
ộ
c phân giác

y
=
x
. Xác
đị
nh to
ạ

độ

C, D
.
Đ/s: C
(3; 4),
D
(2 ; 4) ho
ặ
c
C
(–5; –4),
D
(–6 ;–4)
Ví dụ 4.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h

ệ
t
ọ
a
độ

Oxy
có
A
(2; –1),
B
(1; –2), tr
ọ
ng tâm
G
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
d
:
x
+
y
– 2 = 0.
Tìm t
ọ

a
độ

đ
i
ể
m
C
bi
ế
t di
ệ
n tích tam giác
ABC
b
ằ
ng
3
.
2

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với
(2; 1) , (1; 2)
A B
− −
, tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a tam giác n

ằ
m
trên
đườ
ng th
ẳ
ng d: x + y – 2 = 0. Tìm t
ọ
a
độ

đỉ
nh C bi
ế
t di
ệ
n tích tam giác ABC b
ằ
ng
27
.
2

Ví dụ 6.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ

i h
ệ
to
ạ

độ
Oxy cho tam giác ABC vuông t
ạ
i C, bi
ế
t A(–2; 0), B(2; 0) và kho
ả
ng cách t
ừ

tr
ọ
ng tâm G
đế
n tr
ụ
c hoành b
ằ
ng
1
3
. Tìm t
ọ
a
độ

đỉ
nh C.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1.
Cho 2
đườ
ng th
ẳ
ng
2 2
: ; ':
3 4 5
x t x u
d d
y t y u
= + = +
 
 
= + = +
 
, A(2; 0), B(1; –4). Tìm trên d điểm G, trên d’ điểm C sao cho
G là trọng tâm tam giác ABC.
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng: d
1
: 2x – 3y + 1 = 0, d
2
: 4x + y – 5 = 0. A là giao điểm của d
1
và d

2
.
Tìm điểm B thuộc d
1
, điểm C thuộc d
2
sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(3; 5).
Bài 3. Cho 2 điểm A(3; 2), B(3; –6), đường thẳng
1 2
:
5
2
x t
d
y t
= − −



= − +


. Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể

m M trên d sao cho tam giác ABM
cân t
ạ
i M.
Bài 4.
Cho hai
đ
i
ể
m A(2; 1), B( –1; –3) và hai
đườ
ng th
ẳ
ng d
1
: x + y + 3 = 0; d
2
: x – 5y – 16 = 0.
Tìm t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m C, D l
ầ
n l
ượ

t thu
ộ
c d
1
và d
2
sao cho t
ứ
giác ABCD là hình bình hành.
Bài 5.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho
đườ
ng th
ẳ
ng d: x + y
−
3 = 0 và 2
đ

i
ể
m A(1; 1), B(
−
3; 4). Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng d sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n
đườ
ng th
ẳ
ng AB b
ằ

ng 1.
Bài 6.
Cho 4
đ
i
ể
m A(1; 0), B(–2; 4), C(–1; 4), D(3; 5). Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng 3x – y – 5 = 0 sao cho hai tam
giác MAB, MCD có di
ệ
n tích b
ằ
ng nhau
Bài 7.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a

độ
Oxy cho tam giác ABC, v
ớ
i
(1;1) , ( 2;5)
A B
−
,
đỉ
nh C n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng x = 4, và
tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a tam giác n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng 2x – 3y + 6 = 0. Tính di
ệ
n tích tam giác ABC.
Bài 8.

Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho tam giác ABC. Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng ch
ứ
a c
ạ
nh AB là y = 2x. Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng ch
ứ
a c
ạ
nh AC là x + 4y – 9 = 0; tr
ọ
ng tâm
8 7
;
3 3

G
 
 
 
. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 0), B(3; –1) và đường thẳng d: x – 2y –1 = 0. Tìm tọa độ
điểm C thuộc d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6.
Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm C(2; –5 ) và đường thẳng
:3 4 4 0
d x y
− + =
. Tìm trên d hai
điểm A và B đối xứng nhau qua
5
2;
2
I
 
 
 
sao cho diện tích tam giác ABC bằng15.

Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!




DẠNG 1. BÀI TỐN ĐẾM NGƯỜI, VẬT
Bài 1: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh

trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau.
2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
Lời giải:
1. Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:
A B A B A B B A B A B A

B A B A B A A B A B A B
Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các em vào 6 chỗ.
Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.
Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách
2. Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi.
Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường A: có 6 cách chọn học
sinh trường B.
Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học
sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn, v.v…
Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 2
6
.6!.6! = 33177600 cách.
Bài 2: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra khơng có đủ cả 3 màu?
Lời giải:
Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là:
4
15
C
= 1365.
Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:
* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có
2 1 1

4 5 6
C C C
= 180
* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có
1 2 1
4 5 6
C C C
= 240
* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có
1 1 2
4 5 6
C C C
= 300
Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720
Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645.
Bài 3: Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau.
1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn ln ở cạnh nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
Lời giải:
1.
* Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách.
* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.
Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài.
2.
* Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải. Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2! cách. Số cách
xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách.
Vậy có 2.6 = 12 cách.
* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái.
Vậy: có 12 + 12 = 24 cách.
Bài 4:

Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.
1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
CÁC DẠNG TỐN ĐẾM TRỌNG TÂM – P1

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Lời giải:
Số có 6 chữ số khác nhau có dạng:
abcdef
với a ≠ 0
1. Vì số tạo thành là số lẻ nên f ∈ {1, 3, 5}.
Do đó: f có 3 cách chọn
a có 4 cách chọn (trừ 0 và f)
b có 4 cách chọn (trừ a và f)
c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)
d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)
e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f)
Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số
2. Vì số tạo thành là số chẵn nên f ∈ {0, 2, 4}.
* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vò của (1,2,3,4,5). Do đó có 5! số
* Khi f ∈ {2, 4} thì:
f có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
d có 2 cách chọn
e có 1 cách chọn
Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số.

Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn.
Bài 5: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đơi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn
sách Hoạ. Ơng muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao
nhiêu cách tặng?
2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải:
1. Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự.
Vậy số cách tặng là
6
9
A
= 60480
2. Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách.
Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là:
6
12
A
= 665280
Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là:
5
6
A .7
= 5040
Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là:
4 2
6 8
A .A
= 20160

Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là:
3 3
6 9
A .A
= 60480
Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600
Bài 6: Có 5 nhà tốn học nam, 3 nhà tốn học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đồn cơng tác 3 người cần có cả
nam và nữ, cần có cả nhà tốn học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?
Lời giải:
Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là:
1 1 1
5 3 4
C .C .C
= 5.3.4 = 60
Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là:
1 2
3 4
C .C
= 18
Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là:
2 1
3 4
C .C
= 12
Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn
Bài 7: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao
cho:
1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
Lời giải:

1. Chọn 2 nam và 3 nữ: có
2 3
10 10
C .C
= 5400 cách.
2. Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau:
* 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách
Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
* 3 nam và 2 nữ: có
3 2
10 10
C .C
= 5400 cách
* 4 nam và 1 nữ: có
4 1
10 10
C .C
= 2100 cách
Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách.
Bài 8: Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đơi một khác nhau.
1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
Lời giải:
1. Có:
2
5
C
cách chọn ra 2 viện bi đỏ.

4
13
C
cách chọn ra 4 viên bi còn lại.
Vậy có:
2
5
C
.
4
13
C
= 7150 cách chọn
2. Có các trường hợp xảy ra:
* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng → có
3 3
9 5
C .C
cách
* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng → có
2 2 2
9 5 4
C .C .C
cách
* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng → có
1 1 4
9 5 4
C .C .C
cách
Vậy có tất cả:

3 3
9 5
C .C
+
2 2 2
9 5 4
C .C .C
+
1 1 4
9 5 4
C .C .C
= 3045 cách.
Bài 9: Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các
thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu khơng nằm liền nhau.
Lời giải:
Có 2 khả năng:
1. Các thẻ trắng ở vò trí lẻ, các thẻ đen ở vò trí chẵn → có 5!5! cách
2. Các thẻ trắng ở vò trí chẵn, các thẻ đen ở vò trí lẻ → có 5!5! cách
Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách.
Bài 10: Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở
địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng?
Lời giải:
Có tất cả:
= =
3 2 4 2 2 4
9 6 9 5 9 7
C .C C .C C .C
= 1260 cách
Bài 11: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội
sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.

Lời giải:
Có 2 khả năng:
* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có
1 2
2 18
C .C

* 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có
2 1
2 18
C .C

Vậy số chọn là:
1 2
2 18
C .C
+
2 1
2 18
C .C
= 324 cách.
Bài 12: Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ơ trống. Hỏi:
1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
Lời giải:
1. Trước hết xếp 3 viên bi đỏ vào 7 ô trống. Do các viên bi đỏ khác nhau nên số cách xếp là
3
7
A
.

Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại. Do các viên bi xanh giống nhau nên số cách xếp là
3
4
C
.
Vậy số cách xếp khác nhau là:
3
7
A
.
3
4
C
= 840 cách.
2. Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách
xếp.
Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vò các viên bi đỏ với nhau. Số các hoán vò là 3!
Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và các viên bi xanh đứng cạnh
nhau là: 6.3! = 36 cách.
Bài 13
: Cho A là một hợp có 20 phần tử.
1. Có bao nhiêu tập hợp con của A?
2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?
Lời giải:
Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
1. Số tập con của A là:
+ + + +
0 1 2 20
20 20 20 20

C C C C
= 2
20

2. Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:
T =
+ + +
2 4 20
20 20 20
C C C

Ta có: 0 = (1 – 1)
20
=
− + − +
0 1 2 20
20 20 20 20
C C C C

⇒
+ + + +
0 2 4 20
20 20 20 20
C C C C
=
+ + +
1 3 19
20 20 20
C C C

⇒
+ + + +
0 1 2 20
20 20 20 20
C C C C
= 2
(
)
+ + + +
0 2 4 20
20 20 20 20
C C C C

⇒ T =
+ + +
2 4 20
20 20 20
C C C
=
−
20
0
20
2
C
2
= 2
19
– 1.
Bài 14: Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm cơng tác “Mùa hè xanh”.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất:
1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.
2. Một học sinh nữ và một học sinh nam.
Lời giải:
1. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 2 học sinh nữ và 2 học sinh nam thì có 2 trường hợp:
* 2 nam và 3 nữ: có
2 3
10 10
C .C
cách.
* 3 nam và 2 nữ: có
3 2
10 10
C .C
cách.
Vậy tất cả có: 2.
2 3
10 10
C .C
= 10800 cách.
2. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 1 học sinh nữ và 1 học sinh nam thì có 4 trường hợp:
* 1 nam và 4 nữ: có
1 4
10 10
C .C
cách.
* 2 nam và 3 nữ: có
2 3
10 10
C .C

cách.
* 3 nam và 2 nữ: có
3 2
10 10
C .C
cách.
* 4 nam và 1 nữ: có
4 1
10 10
C .C
cách.
Vậy tất cả có: 2.
1 4
10 10
C .C
+ 2.
2 3
10 10
C .C
= 15000 cách.
Bài 15: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp
B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc khơng q 2 trong 3 lớp
trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Lời giải:
Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là:
4
12
C
= 495
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:

• Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 học sinh.
⇒ Số cách chọn là:
2 1 1
5 4 3
C C C
= 120
• Lớp B có 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 học sinh:
⇒ Số cách chọn là:
1 2 1
5 4 3
C C C
= 90
• Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 học sinh:
⇒ Số cách chọn là:
1 1 2
5 4 3
C C C
= 60
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:
120 + 90 + 60 = 270
Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách.
Bài 16: Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho
có ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn.
Lời giải:
• Số cách chọn 2 học sinh khối C là:
2
5
C
= 10
• Chọn 13 học sinh trong số 25 học sinh khối A và B. Số cách chọn bất kì là:

13
25
C
= 5200300
Số cách chọn được 4 học sinh khối A và 9 học sinh khối B là:
4 9
15 10
C C

Số cách chọn được 3 học sinh khối A và 10 học sinh khối B là:
3 10
15 10
C C

⇒ Số cách chọn sao cho có nhiều nhất 4 học sinh khối A là:

4 9
15 10
C C
+
3 10
15 10
C C
= 13650 + 455 = 14105
Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
⇒ Số cách chọn sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A là:

(
)

− +
13 4 9 3 10
25 15 10 15 10
C C .C C .C
= 5186195
• Vậy số cách chọn sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A là:

(
)
 
− +
 
2 13 4 9 3 10
5 25 15 10 15 10
C C C .C C .C
= 51861950
Bài 17: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng đội
thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
Lời giải:
Có
1 4
3 12
C C
cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất. Với mỗi cách phân công
các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất, thì có
1 4
2 8
C C
cách phân công các thanh niên tình
nguyện về tỉnh thứ hai. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và

tỉnh thứ hai, thì có
1 4
1 4
C C
cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba.
Vậy tất cả có:
1 4
3 12
C C
.
1 4
2 8
C C
.
1 4
1 4
C C
= 207900 cách phân công.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết
rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài
tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?
ĐS:
•
Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập:
2 1
4 6
. 36
C C =

•
Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập:
1 2
4 6
. 60
C C
=

Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.
Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một
ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:
a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 nữ. c) Có 2 nam và 2 nữ.
d) Có ít nhất 1 nam. e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ.
ĐS: a)
4
40
C
b)
1 3
25 15
.
C C
c)
2 2
25 15
.
C C
d)

1 3 2 2 3 1 4
25 15 25 15 25 15 25
. . .
C C C C C C C
+ + +

e)
4 4 4
40 25 15
C C C
− −

Bài 3: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì
thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm
như vậy?
ĐS: 1200.
Bài 4: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy
được:
a) 4 viên bi cùng màu? b) 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?
ĐS: a) 20. b) 150.
Bài 5: Từ 20 người, chọn ra một đồn đại biểu gồm 1 trưởng đồn, 1 phó đồn, 1 thư ký và 3 ủy viên.
Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS: 4651200.
Bài 6: Từ 5 bơng hồng vàng, 3 bơng hồng trắng và 4 bơng hồng đỏ (các bơng hoa xem như đơi một khác
nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bơng, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó:
a) Có đúng 1 bơng hồng đỏ?
b) Có ít nhất 3 bơng hồng vàng và ít nhất 3 bơng hồng đỏ?
ĐS: a) 112 b) 150.

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn



I. XỬ LÍ ĐƯỜNG CAO, TRUNG TRỰC TRONG TAM GIÁC
Bài 1. Tam giác ABC có B(2; 5), các đường cao d
1
: 2x + 3y + 7 = 0; d
2
: x – 11y + 3 = 0. Viết phương trình
các cạnh của tam giác.
Bài 2. Tam giác ABC có C(–4; –5), các đường cao d
1
: 5x + 3y – 4 = 0; d
2
: 3x + 8y + 13 = 0. Viết phương
trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 3. (Trich tạp chí toán học và tuổi trẻ, tháng 10/2007)
Cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 2).
a) Lập phương trình các cạnh của tam giác biết các đường cao kẻ từ B và C lần lượt có phương trình:
9x –3y – 4 = 0 và x + y –2 = 0.
b) Lập phương trình đường thẳng qua A và vuông góc AC.
Bài 4. (Trich tạp chí toán học và tuổi trẻ, tháng 10/2007)
Cho tam giác ABC có A(–2; 1) và các đường cao có phương trình 2x – y + 1 = 0; 3x + y + 2= 0. Viết phương
trình đường trung tuyến qua đỉnh A của tam giác.
Bài 5. Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng toạ độ là 5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y – 21 =
0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm tam giác trùng với gốc toạ độ.
II. XỬ LÍ TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC
Bài 1. Cho tam giác ABC có B(2; –7), phương trình đường cao qua A là 3x + y + 11 = 0, phương trình trung
tuyến vẽ từ C là x + 2y + 7 = 0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC với M(–2; 2) là trung điểm của BC, cạnh AB
có phương trình x – 2y – 2 = 0, cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 = 0. Xác định toạ độ các đỉnh của tam
giác ABC.
Bài 3. Cho tam giác ABC, có trọng tâm G và phương trình hai cạnh AB, AC tương ứng. Hãy tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác khi G(–2; –1), AB: 4x + y + 15 = 0; AC: 2x + 5y + 3 = 0.
Bài 4. Tam giác ABC, B(2; –1), đường cao AH: x – 2y + 3 = 0, đường trung tuyến AM: x – 1 = 0. Viết
phương trình các cạnh của tam giác.
Bài 5. Tam giác ABC, B(3; 5), đường cao AH: 2x – 5y + 3 = 0, đường trung tuyến CM: x + y – 5 = 0. Viết
phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 6. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(3; 5), đường cao và đường trung tuyến kẻ
từ một đỉnh có phương trình là d
1
: 5x + 4y – 1 = 0, d
2
: 8x + y – 7 = 0.
Bài 7. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(3; 5), đường cao và đường trung tuyến kẻ
từ một đỉnh có phương trình là d
1
: 5x + 4y – 1 = 0, d
2
: 8x + y – 7 = 0.
Bài 8. Tam giác ABC, A(4; 6), phương trình đường cao và đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình: 2x –
y + 13 = 0, 6x – 13y + 29 = 0. Tìm tọa độ của B, C.

03. BÀI TOÁN GIẢI TAM GIÁC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!

Ví dụ 1. Cho hình vuông ABCD có A(-2; 0) và tâm I(0; 0). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.
Đ/s: B(0; 2), C(–1; 0), D(0; –2;)
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD có A thuộc d
1
: x + y + 2 = 0, các đỉnh C, D thuộc đường d
2
: x – y – 2 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông biết diện tích hình vuông bằng 8.
Đ/s: A(–2; 0), B(0; 2), C(2; 0), D(0; –2;)
Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD biết A thuộc d
1
: x − 3y = 0, C thuộc d
2
: 2x + y − 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh
hình vuông ABCD biết rằng B, D thuộc đường thẳng d
3
: x – y = 0.
Đ/s: A(3; 1), B(3; 3), C(1; 3), D(1; 1) hoặc A(3; 1), B(1; 1), C(1; 3), D(3; 3)
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d
1
: x + 2y – 3 = 0 và d
2
: x + y − 4 = 0. Tìm
tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d
1
, đỉnh C thuộc d
2
và các đỉnh B, D thuộc đường
thẳng y = 2.

Đ/s: A(1; 1), B(2; 2), C(1; 3), D(0; 2) hoặc A(1; 1), B(0; 2), C(1; 3), D(2; 2)
Ví dụ 5. (Trích đề ĐH khối A năm 2005)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d
1
: x − y = 0 và d
2
: 2x + y − 1 = 0. Tìm tọa độ các
đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d
1
, đỉnh C thuộc d
2
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Đ/s: A(1; 1), B(0; 0), C(1; −1), D(2; 0) hoặc A(1; 1), B(2; 0), C(1; −1), D(0; 0).
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm I(1; −1) là tâm của một hình vuông, một trong các
cạnh của nó có phương trình x – 2y + 12 = 0. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông.
Đ/s:
(
)
(
)
4;8 , 8;2
A B −
,
(
)
2; 10
C − −
:2 16 0
AD x y
+ − =

;
:2 14 0
BC x y
+ + =
;
: 2 18 0
CD x y
− − =

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông có đỉnh (−4; 8) và một đường chéo có phương trình 7x – y +
8 = 0. Viết phương trình các cạnh hình vuông.
Ví dụ 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông có tâm I(1; 1) và phương trình một cạnh là x – y + 2 = 0.
Viết phương trình các cạnh của hình vuông đã cho hình vuông.
Đ/s:
(
)
(
)
(
)
(
)
1;1 , 1;3 , 3;1 , 1; 1
− −
A B C D

Ví dụ 9.
Cho hình vuông ABCD có tâm I, bi
ế
t A(1; 3) tr

ọ
ng tâm các tam giác ADC và IDC l
ầ
n l
ượ
t là
1 1 17
;5 , ' ; .
3 3 3
   
   
   
G G
Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông.
Đ/s:
B(3; 5), C(1; 7), D(–1; 5)
Ví dụ 10. (Trích đề ĐH khối A năm 2012)
Cho hình vuông ABCD có
11 1
;
2 2
 

 
 
M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, N là
đ
i
ể
m trên CD sao cho CN = 2DN. Bi
ế
t
ph
ươ
ng trình c
ạ
nh AN là 2x – y – 3 = 0. Tìm t
ọ
a
độ

đỉ
nh A c
ủ
a hình vuông.
04. KĨ THUẬT XỬ LÍ HÌNH VUÔNG

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đ/s:
(
)
(
)
4;5 , 1; 1
−
A A

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho ba điểm
(
)
(
)
(
)
1;1 , 2;2 , 2; 2 .
− −
I J K
Tìm tọa độ
các đỉnh của hình vuông ABCD sao cho I là tâm hình vuông, J thuộc cạnh AB và K thuộc cạnh CD.
Đ/s:
(
)
(
)

(
)
(
)
1;5 , 3;1 , 5;1 , 1; 3
− −
A B C D
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh
(
)
3;5
−A
, tâm I thuộc đường
thẳng
: 5
= − +
d y x
và diện tích bằng 25. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết rằng tâm I có
hoành độ dương.
Bài 3. Cho hình vuông ABCD có tâm I, biết A(–2; 2) trọng tâm các tam giác ABC và IBC lần lượt là
4 7 5
;2 , ' ; .
3 3 3
   
   
   
G G
Tìm t
ọ
a

độ
I và C.
Đ/s:
I(1; 1), C(4; 0)
Bài 4.
Cho hình vuông ABCD có M là trung
đ
i
ể
m BC, ph
ươ
ng trình DM: x – y – 2 = 0, C(3; –3).
Đỉ
nh A
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng d: 3x + y – 2 = 0. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh còn l
ạ
i c
ủ

a hình vuông.
Đ/s:
A(–1;5), B(–3;–1); D(5; 3)
Bài 5.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho các
đ
i
ể
m
(
)
(
)
(
)
0;2 , 5; 3 , 2; 2 , (2; 4)
− − − −
M N P Q
l
ầ
n l
ượ
t n
ằ
m trên các
c

ạ
nh AB, BC, CD, DA c
ủ
a hình vuông ABCD. Tính di
ệ
n tích c
ủ
a hình vuông
đ
ó.
Bài 6.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho hình vuông ABCD bi
ế
t M(2; 1), N(4;
−
2); P(2; 0), Q(1; 2)
l
ầ

n l
ượ
t thu
ộ
c các c
ạ
nh AB, BC, CD, AD. Hãy l
ậ
p ph
ươ
ng trình các c
ạ
nh c
ủ
a hình vuông.
Đ/s:
: 1 0, : 2 0, : 2 0, : 3 0.
− + + = − − + = − + + = − − + =
AB x y BC x y CD x y AD x y

Bài 7.
Cho hình vuông ABCD có A(1; 1),
đ
i
ể
m M thu
ộ
c c
ạ
nh CD sao cho DM = 2CM. Bi

ế
t ph
ươ
ng trình
c
ạ
nh BM là x + 5y – 18 = 0. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông bi
ế
t C thu
ộ
c d: 2x – y + 3 = 0.
Đ/s:
B(3; 3), C(1; 5); D(–1; 3)
Bài 8.
Cho hình vuông ABCD có A(1; 2),
đ
i
ể
m M (–2; 3) là trung
đ
i
ể

m c
ạ
nh CD. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh còn
l
ạ
i c
ủ
a hình vuông.
Đ/s:
B(3; 4), C(–1; 4); D(–3; 2)
Bài 9.
Cho hình vuông ABCD có
3 1
;
2 2
 
 
 
M
là trung
đ
i
ể
m c

ủ
a BC, N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a CD, bi
ế
t ph
ươ
ng
trình c
ạ
nh BN là 3x + y – 4 = 0. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông.
Đ/s:
(
)
(
)
(
)

(
)
0;0 , 1;1 , 2;0 , 1; 1
−
A B C D

Bài 10.
Cho hình vuông ABCD có
5 5
;
2 2
 
 
 
I
là tâm, các
đỉ
nh A, B l
ầ
n l
ượ
t thu
ộ
c các
đườ
ng th
ẳ
ng

1 2

: 3 0; : 4 0
+ − = + − =
d x y d x y . Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông.
Đ/s:
(
)
(
)
2;1 , 1;3 , (3;4), (4;2)
A B C D

và m
ộ
t c
ặ
p n
ữ
a nhé!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(2; 2) là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD. Điểm M(– 3; 1) thuộc đường thẳng AB và trung điểm N của cạnh CD thuộc đường
thẳng d: x + 2y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
Đ/s: (AB): x − y + 4 = 0; 3x − 5y + 14 = 0.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm
3 5
;
2 2
 
 
 
I
là tâm c
ủ
a hình
ch
ữ
nh
ậ
t, AB = 2AD và AD có ph
ươ
ng trình x + y – 2 = 0. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ

a hình ch
ữ
nh
ậ
t.
Đ
/s: A(1; 1), B(3; 3), C(2; 4), D(0; 2)
Ví dụ 3.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có AB = 2AD. Các
đ
i
ể
m M, N P, Q
l

ầ
n l
ượ
t thu
ộ
c các c
ạ
nh AB, BC, CD, DA v
ớ
i
( ) ( )
4 1
;1 , 0;3 , 4; , 6;2 .
3 3
   
− −
   
   
M N P Q
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các
c
ạ
nh c
ủ
a hình ch
ữ

nh
ậ
t.
Ví dụ 4.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ

độ
Oxy, cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có AB: x – y + 1 = 0, AC: x – 3y + 3 = 0.
Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t bi

ế
t E(0; –3) thu
ộ
c BD.
Đ
/s: A(0; 1), B(2; 3), C(3; 2), D(1; 0)
Ví dụ 5.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ

độ
Oxy, cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có AB = 2AD.
Đ
i
ể
m M(0; 2) là trung
đ
i
ể
m
c
ủ

a CD, N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a CD. Bi
ế
t DN: 5x – 3y = 0. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t.
Đ
/s: A(–1; 1), B(1; 3), C(2; 2), D(0; 0)
Ví dụ 6.
Cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có giao
đ

i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng chéo là
1
;0 ,
2
 
 
 
I
c
ạ
nh AB có ph
ươ
ng trình
là
2 2 0, 2 .
− + = =
x y AB AD
Tìm t
ọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết đỉnh A có hoành độ âm.
Đ/s: A(−2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(−1;−2)
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. (Trích đề thi ĐH khối A năm 2009)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: x

+ y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
Đ/s: (AB): y − 5 = 0; x − 4y + 19 = 0.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao của hai đường
thẳng d: x – y – 3 = 0 và d’: x + y – 6 = 0. Trung điểm một cạnh là giao điểm của d với tia Ox. Tìm tọa độ
các
đỉnh của hình chữ nhật.
Đ/s: Tọa độ các đỉnh là (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; –1)
05. KĨ THUẬT XỬ LÍ HÌNH CHỮ NHẬT
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y – 1 =
0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của
hình chữ nhật.
Đ/s: A(1; 0), C(6; 5), D(0; 2), B(7; 3)
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm tọa độ tâm I của hình chữ nhật ABCD biết phương trình các đường
thẳng
: 2 0
+ + =
AD x y ;
: 3 6 0
− + =
AC x y và đường thẳng BD đi qua điểm
(
)
6; 12
− −E

Đ/s:
3 3

; .
2 2
 
−
 
 
I

Bài 5.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có
: 3 5 0, : 1 0
− + = − − =
AB x y BD x y và
đườ
ng chéo AC
đ
i qua
đ

i
ể
m M(
−
9; 2). Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD.
Đ
/s: A(
−
2; 1), B(4; 3), C(5; 0), D(
−
1;
−
2)
Bài 6.
Trong m
ặ
t ph
ẳ

ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ

độ
Oxy, cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
(AB): x – y + 1 = 0 và ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (BD): 2x + y – 1 = 0;
đườ
ng th

ẳ
ng (AC)
đ
i qua M(–1; 1).
Tìm to
ạ

độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t.
Bài 7.
Cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có tâm I(1; –1) ph
ươ
ng trình AD: x + y + 2 = 0; AD = 2AB. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ

nh bi
ế
t
đỉ
nh A có hoành
độ
âm.
Đ
/s: A(–2; 0), B(0; 2), C(4; –2)
Bài 8.
Cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có D(–1; 3),
đườ
ng th
ẳ
ng ch
ứ
a phân giác trong góc A là
6 0.
x y
− + =
Tìm
t
ọ
a
độ
B bi

ế
t
=
A A
x y
và dt(ABCD) = 18.
Đ
/s:
(
)
3; 12
− −B


Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn
Chuyên đề 02: Tọa độ trong mặt phẳng Oxy Facebook: LyHung95
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ HÌNH THANG, HÌNH THOI
Thầy Đặng Việt Hùng

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD,
đường thẳng AD có phương trình
d x y
1
:3 0
− =
, đường thẳng BD có phương trình
d x y
2
: 2 0
− =

, góc
tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 45
0
. Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang
bằng 24 và điểm B có hoành độ dương.
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB// CD, AB < CD). Biết A(0; 2),
D(–2; –2) và giao điểm I của AC và BD nằm trên đường thẳng có phương trình
d x y
: 4 0
+ − =
. Tìm tọa
độ của các đỉnh còn lại của hình thang khi góc

AOD
0
45
= .
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y
2 2
( 1) ( 1) 2
− + + =
và 2 điểm A(0; –4),
B(4; 0). Tìm tọa độ 2 điểm C và D sao cho đường tròn (C) nội tiếp trong hình thang ABCD có đáy là AB
và CD.
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆:
x y
–1 0
+ =
, các điểm A( 0;–1), B(2; 1). Tứ giác

ABCD là hình thoi có tâm nằm trên đường thẳng ∆. Tìm tọa độ các điểm C, D.
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với A(1;0), đường chéo BD có
phương trình
d x y
: – 1 0
+ =
. Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D , biết
BD
4 2
= .
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là
d x y
:3 7 0
+ − =
, điểm B(0;–3). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi biết diện tích hình thoi bằng
20.
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm
I
(3;3)
và
AC BD
2
=
. Điểm
M
4
2;
3
 
 

 
thuộc đường thẳng
AB
, điểm
N
13
3;
3
 
 
 
thuộc đường thẳng
CD
. Viết phương trình đường
chéo
BD
biết đỉnh
B
có hoành độ nhỏ hơn 3.
Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo BD nằm trên đường thẳng
x y
: 2 0
∆
− − =
. Điểm
M
(4; 4)
−
nằm trên đường thẳng chứa cạnh BC, điểm
N

( 5;1)
−
nằm trên đường
thẳng chứa cạnh AB. Biết
BD
8 2
=
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD, biết điểm D có hoành độ
âm.
Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB và AD lần
lượt là
x y
2 2 0
+ − =
và
x y
2 1 0
+ + =
. Điểm
M
(1;2)
thuộc đường thẳng BD. Tìm tọa độ các đỉnh của
hình thoi.
Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) có phương
trình
x y
2 2
( 2) ( 1) 8
− + + =
và điểm A thuộc đường thẳng (d):

x y
2 3 0
− + =
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C,
D, biết rằng
BD AC
2
=
và hoành độ của điểm A không nhỏ hơn 2.
Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn
Chuyên đề 02: Tọa độ trong mặt phẳng Oxy Facebook: LyHung95
Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy cho 3 đường thẳng
1 2 3
: 4 9 0, :2 6 0; : 2 0
d x y d x y d x y
+ − = − + = − + =
.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD, biết hình thoi ABCD có diện tích bằng 15, các đỉnh
3 1 2
, ; ;
A C d B d D d
∈ ∈ ∈
.
Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm
(
)
2;1 & 2
I AC BD
=
. Điểm

1
0;
3
M
 
 
 

thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng AB;
đ
i
ể
m
(
)
0;7
N
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng CD. Tìm t

ọ
a
độ

đỉ
nh B bi
ế
t B có hoành
độ

d
ươ
ng.
Bài 13:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxy, cho hình bình hành ABCD có di
ệ
n tích b
ằ

ng 4. Bi
ế
t
(
)
(
)
1;0 , 0;2 ,
A B
và giao
đ
i
ể
m I c
ủ
a hai
đườ
ng chéo n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng
y x
=
. Tìm t
ọ
a
độ

các
đỉ
nh
còn l
ạ
i c
ủ
a hình bình hành
đ
ã cho.

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!



Ví dụ 1. Cho hình thang vuông ABCD tại A, B với AD // BC, AD = 2BC = 2AB. Biết M(–1; −2) là trung
điểm của AC và
2
; 2
3
 
− −
 
 
G
là tr
ọ
ng tâm tam giác ABC. Tìm t
ọ

a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình thang.
Đ
/s: A(–1; –1), B(0; –2), C(–1; –3) và m
ộ
t c
ặ
p n
ữ
a nhé!
Ví dụ 2.
Cho hình thang vuông ABCD t
ạ
i A, B v
ớ
i AD là
đ
áy l
ớ
n, AB: x + y – 2 = 0, AC: x = 1. Bi
ế
t r
ằ
ng góc
gi

ữ
a CD và BC b
ằ
ng 45
0
và di
ệ
n tích hình thang b
ằ
ng 3. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình thang.
Đ
/s: A(1; 1), B(0; 2), C(1; 3), D(3; 3)
Ví dụ 3.
Cho hình thang cân ABCD có CD = 2AB và di
ệ
n tích hình thang b
ằ
ng 9. Bi
ế
t ph
ươ
ng trình các

đườ
ng chéo AC và BD l
ầ
n l
ượ
t là x – y + 1 = 0, x + y – 3 = 0. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình thang.
Đ
/s: A(2; 3), B(2; 1), C(–1; 0), D(–1; 4)
Ví dụ 4.
Cho hình thang vuông ABCD t
ạ
i A, D v
ớ
i DC là
đ
áy l
ớ
n, AD: x + y + 1 = 0.
Đ
i
ể
m

1 3
;
2 2
 
 
 
M
là
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a c
ạ
nh BC. Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m A bi
ế
t
.
5
= =

BC
AB AD
Đ
/s: A(-1; 0), B(0; 1), C(1; 4), D(-2; 1)
Ví dụ 5.
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD và AB < CD, A(0; 2), D(-2; -2). Giao
đ
i
ể
m I c
ủ
a hai
đườ
ng
chéo n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng d: x + y – 4 = 0. Tìm t
ọ
a
độ
B, C bi
ế
t

0
45 .

=AID
Đ
/s:
(
)
(
)
( ) ( )
2 2;2 2 , 2 4 2;2 4 2
2; 4
4 3 2;2 2 , 4 4 2;2 2

+ + + +

= = ⇒

+ + + −


B C
t t
B C

Ví dụ 6. Cho hình thang ABCD (với AB // CD) có AD = AB, DC = 2AB và

0
90
=BAD . Biết M(1; −1) là
trung điểm của BD và trọng tâm tam giác ABD là
2

;0
3
 
 
 
G
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang.
Đ/s: B(4; 0), D(–2; –2); C(6; –6) hoặc B(–2; –2), D(4; 0), C(0; –8)
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD,
đường thẳng AD có phương trình 3x – y = 0, đường thẳng BD có phương trình x – 2y = 0, góc tạo bởi hai
đường thẳng BC và AB bằng 45
0
. Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và
điểm B có hoành độ dương.
Ví dụ 8. Cho 3 điểm A(–2; 0), B(0; 4), C(4; 0). Tìm D sao cho ABCD là hình thang cân có một đáy là AB
tính diện tích hình thang đó.
06. KĨ THUẬT XỬ LÍ HÌNH THANG
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn
Chuyên đề 02: Tọa độ trong mặt phẳng Oxy Facebook: LyHung95
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ ĐƯỜNG TRÒN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d):
x y
2 – –5 0
=

và đường tròn (C’):
x y x

2 2
20 50 0
+ − + =
. Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B,
C(1; 1).
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
, A(2; –3), B(3; –2),
trọng tâm của ∆ABC nằm trên đường thẳng
d x y
:3 – –8 0
=
. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm
A, B, C.
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng:
d x y
1
: 2 3 0
+ − =
,
d x y
2
:3 4 5 0
+ + =
,
d x y
3
: 4 3 2 0
+ + =

. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d
1
và tiếp xúc với d
2
và d
3
.
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng
∆
:
x y
3 8 0
+ + =
,
x y
':3 4 10 0
∆
− + =
và
điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng
∆
, đi qua điểm A và tiếp xúc với
đường thẳng ∆′.
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua
A
(2; 1)
−
và tiếp xúc với
các trục toạ độ.
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng

d x y
( ):2 4 0
− − =
. Lập phương trình đường
tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d).
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (∆):
x y
3 –4 8 0
+ =
.
Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (∆).
Bài 8: Trong hệ toạ độ
Oxy
cho hai đường thẳng
d x y
: 2 3 0
+ − =
và
x y
: 3 5 0
∆
+ − =
. Lập phương
trình đường tròn có bán kính bằng
2 10
5
, có tâm thuộc
d
và tiếp xúc với ∆.
Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):

x y x
2 2
4 3 4 0
+ + − =
. Tia Oy cắt (C)
tại A. Lập phương trình đường tròn (C′), bán kính R′ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A.
Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y y
2 2
–4 –5 0
+ =
. Hãy viết phương
trình đường tròn (C′) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M
4 2
;
5 5
 
 
 

Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y x y
2 2
2 4 2 0
+ − + + =
. Viết phương
trình đường tròn (C′) tâm M(5; 1) biết (C′) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho
AB
3
=

.
Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y
2 2
( 1) ( 2) 4
− + − =
và điểm
K
(3;4)
.
Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam
Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn
Chuyên đề 02: Tọa độ trong mặt phẳng Oxy Facebook: LyHung95
giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).
Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các
đỉnh: A(–2;3),
B C
1
;0 , (2;0)
4
 
 
 
.
Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d:
x y
1 0
− − =
và hai đường tròn có
phương trình: (C

1
):
x y
2 2
( 3) ( 4) 8
− + + =
, (C
2
):
x y
2 2
( 5) ( 4) 32
+ + − =
. Viết phương trình đường tròn
(C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C
1
) và (C
2
).
Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
( )
C x y x
2 2
: 2 0
+ + =
. Viết phương trình tiếp tuyến
của
(
)
C

, biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30
0
.
Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y x y
2 2
6 2 5 0
+ − − + =
và đường
thẳng (d):
x y
3 3 0
+ − =
. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp tuyến không đi qua
gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc
0
45
.
Bài 17: Trong hệ toạ độ
Oxy
, cho đường tròn
C x y
2 2
( ) : ( 1) ( 1) 10
− + − =
và đường thẳng
d x y
: 2 2 0
− − =
. Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn

C
( )
, biết tiếp tuyến tạo với đường
thẳng
d
một góc
0
45
.
Bài 18: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C):
x y
2 2
1
+ =
và phương trình:
x y m x my
2 2
–2( 1) 4 –5 0
+ + + =
(1). Chứng minh rằng phương trình (1) là phương trình của đường tròn
với mọi m. Gọi các đường tròn tương ứng là (C
m
). Tìm m để (C
m
) tiếp xúc với (C).
Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn có phương trình
C x y
2 2
1
1

( ):( 1)
2
− + =
và
C x y
2 2
2
( ) : ( 2) ( 2) 4
− + − =
. Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với
C
1
( )
và cắt
C
2
( )
tại hai điểm
M N
,
sao cho MN
2 2
= .
Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y
2 2
( –1) ( 1) 25
+ + =
và điểm M(7; 3).
Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB.
Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng

x y
: 4 3 3 0
∆
− + =
và
x y
':3 4 31 0
∆
− − =
. Lập phương trình đường tròn
C
( )
tiếp xúc với đường thẳng
∆
tại điểm có tung độ
bằng 9 và tiếp xúc với
'.
∆
Tìm tọa độ tiếp điểm của
C
( )
và
'
∆
.
Bài 22: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x y x
2 2
4 3 4 0
+ + − =
. Tia Oy cắt (C) tại điểm A.

Lập phương trình đường tròn (T) có bán kính R′ = 2 sao cho (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A.

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!



Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD có B(–2; 3), các đỉnh A, C thuộc d: x – y + 1= 0. Tìm các đỉnh còn lại của
hình thoi biết diện tích hình thoi bằng 8.
Đ/s:
( 1;0), (1;2), (2; 1)
− −
A C D
Ví dụ 2. Cho hình thoi ABCD có
7
:3 8 0; :3 0; 1; , ( 3;1)
3
 
+ − = + = ∈ − ∈
 
 
AB x y CD x y M BC N AD
. Tìm
các
đỉ
nh c
ủ
a hình thoi
đ
ã cho.

Đ/s:
(3; 1), (2;2), ( 1;3), (0;0)
− −
A B C D

Ví dụ 3.
Cho hình thoi ABCD có A(1; 0), BD: x – y + 1= 0. Tìm các
đỉ
nh còn l
ạ
i bi
ế
t
4 2.
=BD

Đ/s:
(2;3), ( 1; 2), ( 2; 1)
− − − −
B C D

Ví dụ 4.
Cho hình thoi ABCD có A(0; –1), C(2; 1), tâm I thu
ộ
c d: x + y – 1 = 0. Tìm các
đỉ
nh C, D.

Đ/s:
(0;2), ( 2;1); (4; 1), (2; 3)

− − −
C D C D

Ví dụ 5.
Cho
đườ
ng th
ẳ
ng d: 3x – 4y + 10 = 0 và
đ
i
ể
m A(2; 1). Tìm các
đỉ
nh hình thoi ABCD bi
ế
t B, D
thu
ộ
c (d) và

0
120
=
BAD
Ví dụ 6.
Trong m
ặ
t ph
ẳ

ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2; 1) và AC = 2BD.
Đ
i
ể
m
1
0;
3
 
 
 
M
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng AB,
đ
i
ể

m N(0; 7) thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng CD. Tìm t
ọ
a
độ

đỉ
nh B bi
ế
t B có hoành
độ
d
ươ
ng.
Đ
/s: B(1;
−
1).
Ví dụ 7.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ

i h
ệ
t
ọ
a
độ

Oxy
cho hình thoi ABCD có c
ạ
nh AB, CD l
ầ
n l
ượ
t n
ằ
m trên 2
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
: 2 5 0; : 2 1 0.
d x y d x y
− + = − + =
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình

đườ
ng th
ẳ
ng AD và BC bi
ế
t M(–3; 3)
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng AD và N(–1; 4) thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng BC.
Ví dụ 8.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ

a
độ
Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3; 3) và 2
AC BD
=
.
Đ
i
ể
m
4
2;
3
 
 
 
M
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng AB,
đ
i
ể
m
13
3;

3
 
 
 
N
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng CD. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng chéo
BD bi
ế
t
đỉ
nh B có hoành
độ
nh
ỏ
h
ơ
n 3.
Đ/s:

14 8
; , :7 18 0.
5 5
 
− − =
 
 
B BD x y

Ví dụ 9.
Cho hình bình hành ABCD có A(–3; –1); B(2; 2) giao
đ
i
ể
m 2
đườ
ng chéo thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng x – 6y
– 3 = 0, di
ệ
n tích hình bình hành b
ằ
ng 26. Tìm t
ọ
a

độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình bình hành.
Đ
/s: C(–15; –3), D(–20; –6) ho
ặ
c C(9; 1), D(4; –2)
07. KĨ THUẬT XỬ LÍ HÌNH THOI, HÌNH BÌNH HÀNH

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ví dụ 10. Cho hình bình hành ABCD có A(2; 0); B(3; 2), I thuộc d: y = x. Tìm C, D biết S
ABCD
= 4.
Đ/s:
(3;4), (2;4); ( 5; 4), ( 6; 4)
− − − −
C D C D
Ví dụ 11. Cho hình bình hành ABCD có A(0; 1); B(3; 4) nằm trên
2
( ): 2 1.
= − +
P y x x Tâm I nằm trên cung
AB của (P). Tìm C, D sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất?
Đ/s:
1 7

3; , 0;
2 2
   
− −
   
   
C D

Ví dụ 12.
Cho hình bình hành ABCD có B(1; 5),
đườ
ng cao AH: x + 2y – 2 = 0, phân giác trong góc ACB là
x – y – 1 = 0. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình bình hành.
Đ/s:
Th
ầ
y ch
ư
a gi
ả
i!

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!



I. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn biết
a) Tâm I thuộc Ox, đi qua A(3; –1) và B(1; 1).
b) Tâm I thuộc Oy và đi qua A(1; 3), B(5; 1).
c) Tâm I thuộc d: 2x + 2y – 3 = 0 và đi qua A(3; 0), B(1; –2).
Đ/s: a)
2 2
( 2) 2
x y
− + =
b)
2 2
( 4) 50
x y
+ + =
c)
2 2
( 2) ( 1) 2
x y
− + + =

Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn biết
a) Tâm I thuộc Ox, đi qua A(3; 1) và B(0; -2).
b) Tâm I thuộc Oy và đi qua A(–1; 1), B(-3; –1).

c) Tâm I thuộc d: x + y – 1 = 0 và đi qua A(0; -4), B(2; 0).
Đ/s: a)
2 2
( 1) 5
− + =
x y
b)
2 2
( 2) 10
+ + =
x y
c)
2 2
( 5) ( 4) 25
− + + =
x y

Ví dụ 4. Lập phương trình đường tròn biết
a) Tâm I thuộc d: 2x + y + 4 = 0 và đi qua A(0; 0), B(2; –1)
b) Tâm I thuộc d: x + y +1 = 0 và đi qua A(1; 5), B(2; –2)
Đ/s: a)
( 1; 2), 5
I R− − =
b)
( 2;1), 5
I R
− =

Ví dụ 5. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm
a) A(1; 6), B(4; 0), C(3; 0).

b) A(0; 0), B(2; 6), C(4; 2).
Đ/s: a)
2
2
7 65
( 4)
2 4
x y
 
− + − =
 
 
b)
2 2
( 1) ( 3) 10
x y
− + − =

Ví dụ 6. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm
a) A(1; 3), B(-1; -1), C(2; 0).
b) A(1; 0), B(-3; -2), C(-5; 2).
Đ/s: a)
2 2
( 1) 5
+ − =
x y
b)
2 2
( 2) ( 1) 10
+ + − =

x y

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn
2 2
( ):( 1) ( 3) 4
− + + =
m
C x y
và đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0.
Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d.
Bài 2. Cho đường cong
2 2
( ): 4( 1) 2 3 1 0
+ + − + − + =
m
C x y m x my m

Tìm m để
a) (C
m
) là phương trình đường tròn?
b) (C
m
) là đường tròn có bán kính
13.
=R
Đ/s: b) m = 2
Bài 3. Cho đường cong
2 2

( ): 2( 1) 1 3 0
+ + + − + − =
m
C x y mx m y m

Tìm m để
a) (C
m
) là phương trình đường tròn?
06. ĐƯỜNG TRÒN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
b) (C
m
) là đường tròn có bán kính
33
.
2
=R
Đ
/s: b) m =
−
3
Bài 4.
Cho
đườ
ng tròn (C): x
2
+ y

2
– 2x – 4y + 3 = 0. L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn (C')
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
đườ
ng
tròn (C) qua
đườ
ng th
ẳ
ng (d): x + 2 = 0.
Bài 5.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn n
ộ

i ti
ế
p tam giác ABC bi
ế
t ph
ươ
ng trình 3 c
ạ
nh c
ủ
a tam giác là
2 7 0; 2 3 0; 2 1 0
+ − = − − = − + =
x y x y x y
Bài 6. Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB với
(
)
( 8;0), 0;6
−A B

Đ/s:
( ) ( )
2 2
2 2 4
+ + − =
x y

Bài 7. Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với
1
( 2;3), ;0 , (2;0)

4
 
−
 
 
A B C

Đ/s:
2 2
1 1 1
2 2 4
   
− + − =
   
   
x y

Bài 8. Cho các đường thẳng
1 2
: 4 3 12 0; : 4 3 12 0.
− − = + − =
d x y d x y Tìm tâm và bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác có 3 cạnh là d
1
; d
2
và trục Oy.
Đ/s:
4 4
;0 ,

3 3
 
=
 
 
J r