Phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
———————o0o——————–
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH
TRONG MẶT PHẲNG
Chuyên ngành: HÌNH HỌC
Giảng viên hướng dẫn: Th.S Đinh Thị Kim Thúy .
Sinh viên: Phạm Thị Ngọc Yến
Lớp: K36CN Toán
HÀ NỘI, 5/2014
LỜI CẢM ƠN
Bài khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình
của cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy. Qua đây em xin gửi lời
cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong tổ Hình học và các thầy cô trong
khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong quá trình
học tập để thuận lợi cho việc nghiên cứu. Đặc biệt, em xin gửi lời
cảm ơn chân thành tới cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy người
đã dành cho em sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo và chỉ bảo cho em
trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và thực hiện khóa luận.
Dù đã hết sức cố gắng, nhưng do đây là lần đầu tiên làm quen với
việc nghiên cứu khoa học và do năng lực còn hạn chế nên khó tránh
khỏi những sai sót. Em mong muốn nhận được sự chỉ bảo, đóng góp
của quí thầy cô để cho bài khóa luận được tốt hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Phạm Thị Ngọc Yến
LỜI CAM ĐOAN
Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân
cùng sự hướng dẫn nhiệt tình chỉ bảo của cô giáo Th.S Đinh Thị

Kim Thúy em đã hoàn thành bài khóa luận của mình.
Em xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân nghiên cứu cùng
với sự hướng dẫn của cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy không hề
trùng với bất cứ đề tài nào.
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Phạm Thị Ngọc Yến
Mục lục
Lời cảm ơn i
Lời cam đoan ii
Mở đầu v
1 Đại cương về phép biến đổi hình học 1
1.1 Định nghĩa về phép biến đổi hình học . . . . . . . . . 1
1.1.1 Thế nào là hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Phép biến đổi hình học . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Sự xác định phép biến đổi hình học . . . . . . 3
1.1.4 Phép biến đổi đồng nhất . . . . . . . . . . . . 4
1.1.5 Điểm bất động của một phép biến đổi . . . . . 4
1.2 Phép biến đổi 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Phép biến đổi ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Tích của hai (hay nhiều) phép biến đổi . . . . . . . . 6
1.5 Ảnh của một hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Phép biến đổi tuyến tính 8
2.1 Phép biến đổi tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Ứng dụng của phép biến đổi tuyến tính . . . . . . . . 16
2.2.1 Bài toán chứng minh . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Bài toán tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.4 Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
iii
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo 48
Phạm Thị Ngọc Yến iv K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một bộ phận cấu thành Toán học. Hình học luôn là
môn học khó đối với học sinh bởi đây là môn học có tính chặt chẽ tính
logic và tính trừu tượng cao hơn các ngành khác của toán học.Trong
việc giải bài toán hình học, việc lựa chon một công cụ thích hợp là
một việc làm cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian công
sức và đạt được hiệu quả cao. Em thấy rằng các phép biến đổi tuyến
tính chính là một công cụ đắc lực giúp học sinh giải các bài toán hình
học phẳng một cách rõ ràng ngắn gọn. Với mong muốn tìm hiểu và
nghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức này em chọn đề tài "Phép
biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng" làm đề tài khóa luận tốt
nghiệp Đại học cho mình.
2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng
Phạm vi: Những kiến thức liên quan đến phép biến đổi tuyến tính
trong mặt phẳng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng.
4. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu để cung cấp kiến thức cơ bản cho việc vận dụng phép
biến đổi tuyến tính vào việc giải toán hình học.
5. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài
liệu có liên quan.
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nội dung chính của khóa luận gồm chương:
Chương 1: Đại cương về phép biến hình trong mặt phẳng.
Chương này nhằm trang bị những kiến thức cơ bản về phép biến hình.
Chương 2: Phép biến đổi tuyến tính.
2.1. Phép biến đổi tuyến tính: (Định nghĩa, tính chất)
2.2. Ứng dụng của phép biến đổi tuyến tính:
Đề xuất các dạng toán và phương pháp giải.
Ví dụ.
2.3.Bài tập đề nghị: Đề xuất các bài toán và có hướng dẫn.
Phạm Thị Ngọc Yến vi K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
Chương 1
Đại cương về phép biến đổi hình
học
1.1 Định nghĩa về phép biến đổi hình học
1.1.1 Thế nào là hình
Trước khi nghiên cứu về phép biến đổi hình học chúng ta cần đưa
ra khái niệm "hình" hiểu theo định nghĩa toán học. Các môn toán
học thường được xây dựng dựa trên lý thuyết tập hợp; vì vậy khái
niệm hình cũng được hiểu với nghĩa là một "tập hợp điểm". Như vậy
toàn thể không gian hay toàn thể mặt phẳng cũng là một hình. Ngoài
ra tập hợp chỉ có một phần tử là một điểm và tập hợp không có phần
tử nào (gọi là tập hợp rỗng) cũng là một hình. Các kiểu "hình" theo
nghĩa trên đây cũng chứa đựng nội dung của "hình" theo nghĩa thông
thường như hình tam giác, hình tứ giác, hình tròn v.v .
Việc hiểu hình theo nghĩa tập hợp còn giúp ta hiểu thêm một số
khái niệm khác có liên quan đến lý thuyết tập hợp như giao của hai
hình hay nhiều hình, hợp của các hình, một điểm A thuộc một hình

H, tập hợp A là một tập con của tập hợp B hay là một bộ phận của
tập B. Do dó trong lập luận chúng ta có thể dùng các kí hiệu của lý
thuyết tập hợp ví dụ:
• Điểm A thuộc đường thẳng d kí hiệu A ∈ d.
• Điểm M là giao điểm của hai đường thẳng a và b: M = a ∩ b
v.v. . . .
1
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Việc hiểu "hình" là một tập hợp điểm đã giúp chúng ta trừu tượng
hóa, khái quát hóa được khái niệm này và đã mang lại nhiều thuận
tiện trong việc nghiên cứu hình học bằng phép biến hình vì chúng ta
có điều kiện sử dụng các công cụ của lý thuyết tập hợp để lập luận
và chứng minh.
1.1.2 Phép biến đổi hình học
Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một quy tắc f. Với mỗi điểm M thuộc mặt
phẳng ta xác định được duy nhất một điểm M

thuộc mặt phẳng theo
quy tắc đã cho, khi đó ta nói M

là ảnh của M trong phép biến đổi
f, M được gọi là tạo ảnh của M

hoặc là nghịch ảnh của M

và được
kí hiệu f : M → M

(đọc là f biến M thành M


).
Từ định nghĩa trên ta suy ra rằng:
• Nếu f : M
1
→ M

1
, f : M
2
→ M

2
và M

1
= M

2
thì M
1
= M
2
.
• Nếu quy tắc f được xác định cho mọi điểm trong mặt phẳng, thì
f được gọi là một phép biến đổi hình học trong mặt phẳng đó.
Nói một cách ngắn gọn hơn f là một phép biến đổi trong mặt
phẳng.
Ví dụ 1.
Trong mặt phẳng cho đường thẳng ∆. Phép biến hình biến mỗi

điểm M thành điểm M

đối xứng với M qua ∆ được gọi là phép đối
xứng trục. Đường thẳng ∆ được gọi là trục đối xứng.
Phép đối xứng trục với trục ∆ thường được kí hiệu là Z
∆
.
Ta có:Z
∆
: M → M

Phạm Thị Ngọc Yến 2 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Ví dụ 2.
Trong mặt phẳng cho véctơ
−→
v cố định. Phép biến hình biến mỗi
điểm M thành điểm M

sao cho
−−−→
MM

=
−→
v được gọi là phép tịnh
tiến theo véctơ
−→
v . Véctơ
−→

v là véctơ tịnh tiến.
Phép tịnh tiến véctơ
−→
v thường được kí hiệu là T
−→
v
.
Ta có T
−→
v
: M → M

.
1.1.3 Sự xác định phép biến đổi hình học
Muốn xác định một phép biến đổi hình học trong mặt phẳng ta
cần nêu rõ quy tắc f bằng các cách sau đây:
• Quy tắc f được xác định bằng phép dựng hình cơ bản trong
mặt phẳng như: Tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được
xác định nào đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông
góc với đường thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm và bán
kính đã cho v.v. . .
• Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ
(x, y) của điểm M với tọa độ (x

, y

) của điểm M

đối với hệ tọa
độ Oxy cho trước nào đó.

Ví dụ phép biến đổi f cho bởi hệ thức:

x

= −x
y

= −y
Phép biến hình này gọi là phép đối xứng qua tâm O của hệ tọa độ
Oxy nói trên.
Phạm Thị Ngọc Yến 3 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
1.1.4 Phép biến đổi đồng nhất
Trong mặt phẳng P, phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc P
thành chính điểm M được gọi là phép đồng nhất.
Phép đồng nhất thường được kí hiệu là e.
Ta có:
e : P → P
M → M.
1.1.5 Điểm bất động của một phép biến đổi
Điểm M trong mặt phẳng được gọi là điểm bất động của một phép
biến đổi f,nếu f : M → M. Như vậy điểm M là điểm bất động đối
với phép biến đổi f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua phép
biến đổi f.
Ví dụ 3.
1. Đối với phép đối xứng trục Z
∆
, mọi điểm nằm trên trục đối xứng
đều là điểm bất động, các điểm còn lại của mặt phẳng đều không
phải là điểm bất động.

2. Đối với phép đối xứng tâm Z
O
chỉ có tâm đối xứng O là điểm
bất động duy nhất.
3. Đối với phép tịnh tiến T
−→
v
mà
−→
v =
−→
0 , không có điểm bất động
nào. Nếu
−→
v =
−→
0 , mọi điểm trong mặt phẳng đều bất động đối
với phép T
−→
v
và khi đó ta có T
−→
v
là phép đồng nhất.
4. Đối với phép đồng nhất e : P → P , mọi điểm trong mặt phẳng
đều là điểm bất động.
1.2 Phép biến đổi 1-1
Từ định nghĩa về phép biến đổi hình học ta thấy mỗi ảnh của điểm
M trong phép biến đổi f có thể có nhiều tạo ảnh. Nếu mỗi ảnh của
một điểm M bất kì trong mặt phẳng ứng với một tạo ảnh duy nhất

là M, thì ta nói f là phép biến đổi 1-1.
Phạm Thị Ngọc Yến 4 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Ví dụ 4.
Phép đối xứng qua tâm O là phép biến đổi 1-1.
Thật vậy:
Z
O
: M
1
→ M

, −
−−→
OM

=
−−→
OM
1
.
Z
O
: M
2
→ M

, −
−−→
OM


=
−−→
OM
2
.
Ta có
−−→
OM
1
=
−−→
OM
2
= −
−−→
OM

⇒ M
1
≡ M
2
.
Ví dụ 5.
Phép tịnh tiến T
−→
v
là phép biến đổi 1-1.
Thật vậy:
T

−→
v
: M
1
→ M

,
−−−→
M
1
M

=
−→
v .
T
−→
v
: M
2
→ M

,
−−−→
M
2
M

=
−→

v .
Ta có
−−−→
M
1
M

=
−−−→
M
2
M

⇔
−−−→
M
1
M

+
−−−→
M

M
2
=
−→
0 ⇔ M
1
≡ M

2
.
1.3 Phép biến đổi ngược
Trong mặt phẳng cho phép biến đổi f : M → M

. Khi đó phép
biến đổi biến điểm M

thành điểm M được gọi là phép biến đổi ngược
của phép biến đổi f và f là phép biến đổi có ngược.
Ta kí hiệu phép biến đổi ngược của f là f
−1
và ta có f
−1
: M

→
M. Rõ ràng mỗi phép biến đổi f có duy nhất một phép biến đổi ngược
f
−1
và ta có f ◦ f
−1
= f
−1
◦ f = e (phép đồng nhất).
Ví dụ 6.
Phép tịnh tiến T
−→
v
theo véctơ

−→
v có phép biến đổi ngược là phép
tịnh tiến T
−1
−→
v
và ta có T
−1
−→
v
= T
−
−→
v
.
Ví dụ 7.
Phép đối xứng trục Z
∆
có phép biến đổi ngược là chính nó Z
∆
Phạm Thị Ngọc Yến 5 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
1.4 Tích của hai (hay nhiều) phép biến đổi
Trong mặt phẳng cho hai phép biến đổi f và g. Với mỗi điểm M,
f : M → M

, g : M

→ M”. Phép biến đổi biến M → M” được gọi
là tích của hai phép biến đổi đã cho.

Tích của hai phép biến đổi được kí hiệu g ◦ f : M → M” hoặc
g(f) : M → M”.
Theo định nghĩa, thứ tự thực hiện các phép biến đổi phải được
tôn trọng. Nếu thay đổi thứ tự của chúng, thì ta nhận được một phép
biến đổi khác.
Tóm lại, tích của hai phép biến đổi trong mặt phẳng là một phép
biến đổi nhận được từ việc thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác
định của hai phép biến đổi đó.
Cho n phép biến đổi f
1
, f
2
, f
3
, , f
n
. Tích của n phép biến đổi đã
cho là một phép biến đổi được thực hiện một các liên tiếp theo một
thứ tự xác định và được kí hiệu F = f
n
◦ f
n−1
◦ ◦ f
3
◦ f
2
◦ f
1
.
Ví dụ 8.

Xét hai phép biến đổi hình học là hai phép tịnh tiến T
−→
u
và T
−→
v
.
Giả sử M là điểm bất kì trong mặt phẳng.
Gọi
T
−→
u
: M → M

,
−−−→
MM

=
−→
u .
T
−→
v
: M

→ M”,
−−−−→
M


M” =
−→
v .
Vì
−−−→
MM” =
−−−→
MM

+
−−−−→
M

M” =
−→
u +
−→
v .
Như vậy tích T
−→
u
◦ T
−→
v
là phép tịnh tiến theo vectơ
−→
u +
−→
v .
Phạm Thị Ngọc Yến 6 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
1.5 Ảnh của một hình
Trong mặt phẳng cho một phép biến đổi f và một hình H. Tập
hợp ảnh của mọi điểm thuộc H trong phép biến đổi đó lập thành một
hình H

được gọi là ảnh của H và được kí hiệu f : H → H

(đọc là
f biến H thành H

) hoặc H

= {M

/f : M → M

, ∀M ∈ H}.
Phạm Thị Ngọc Yến 7 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
Chương 2
Phép biến đổi tuyến tính
2.1 Phép biến đổi tuyến tính
Giả sử F là phép biến đổi 1-1 trong mặt phẳng biến các điểm A
thành A

, B thành B

. Ta sẽ viết F (A) = A

, F (B) = B


thay cho
cách viết F : A → A

, B → B

; F (
−→
AB) =
−−→
A

B

thay cho cách viết
F :
−→
AB →
−−→
A

B

. Nếu F :
−→
U →
−→
U

thì ta viết F (

−→
U ) =
−→
U

.
2.1.1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một phép biến đổi F thỏa mãn đồng thời các
điều kiện sau:
i) F là phép biến đổi 1-1.
ii) Với mọi véc tơ
−→
a và
−→
b , F(
−→
a +
−→
b ) = F (
−→
a ) + F (
−→
b ).
iii) Với véc tơ
−→
a và số thực k bất kì, F(k
−→
a ) = kF (
−→
a ).

Khi đó F là một phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng.
2.1.2 Tính chất
Tính chất 2.1.1. F (
−→
0 ) =
−→
0
Chứng minh
Từ điều kiện iii) Với véc tơ
−→
a và số thực k bất kì,
F (k
−→
a ) = kF (
−→
a ).
Cho k = 0 ta suy ra, F (
−→
0 ) = 0.F (
−→
a ) =
−→
0 .
8
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Tính chất 2.1.2. F (−
−→
a ) = −F (
−→
a ).

Chứng minh
Từ điều kiện iii) Với véc tơ
−→
a và số thực k bất kì,
F (k
−→
a ) = kF (
−→
a ).
Cho k = −1 ta suy ra , F(−
−→
a ) = (−1).F (
−→
a ) = −F (
−→
a ).
Tính chất 2.1.3. Nếu
−→
a =
−→
b , thì F (
−→
a ) = F (
−→
b ).
Chứng minh
Ta có:
−→
a =
−→

b ⇔
−→
a −
−→
b =
−→
0
⇔ F(
−→
a −
−→
b ) = F (
−→
0 ) =
−→
0
⇔ F(
−→
a ) −F (
−→
b ) =
−→
0 .
Tính chất 2.1.4. Nếu A, B, C là 3 điểm thẳng hàng và B nằm giữa
A, C, thì F (A) = A

, F (B) = B

, F (C) = C


cũng thẳng hàng và B

nằm giữa hai điểm A

, C

.
Chứng minh
Từ điều kiện đã cho tồn tại số k, 0 < k < 1, sao cho
−→
AB = k
−→
AC, do
đó F (
−→
AB) = F (k
−→
AC) = kF (
−→
AC) hay
−−→
A

B

= k
−−→
A

C


. Điều đó chứng
tỏ
−−→
A

B

,
−−→
A

C

cùng phương và A

, B

, C

thẳng hàng. Vì 0 < k < 1,
nên B

nằm giữa hai điểm A

, C

.
Hệ quả
i) Phép biến đổi tuyến tính F biến một đường thẳng thành một

đường thẳng.
ii) Nếu d
1
//d
2
, d

1
và d

2
lần lượt là ảnh của d
1
và d
2
trong phép biến
đổi tuyến tính F , thì d

1
//d

2
.
iii) Nếu B chia đoạn thẳng AC theo tỉ số k :
−→
AB
−−→
BC
= k , thì B


cũng
chia đoạn thẳng A

C

theo tỉ số k, nghĩa là
−−→
A

B

−−→
B

C

= k.
Phạm Thị Ngọc Yến 9 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Chứng minh
i) Ta kí hiệu d là đường thẳng nào đó, d

là ảnh của d . Trên d ta
lấy hai điểm phân biệt A, B và A

, B

là ảnh của A, B trong phép
biến đổi F , khi đó A


, B

thuộc d

. Nếu C là điểm bất kì thuộc d
thì tồn tại duy nhất số k sao cho
−→
AC = k
−→
AB. Gọi C

là ảnh của
C và C

thuộc d

. Để chứng minh d

là một đường thẳng, ta chỉ
ra tồn tại số k

sao cho
−−→
A

C

= k

−−→

A

B

. Thật vậy:
Vì F là phép biến đổi tuyến tính nên
F (
−→
AC) = F (k
−→
AB) = kF (
−→
AB)
Nghĩa là
−−→
A

C

= k

−−→
A

B

và k

= k.
Ngược lại nếu C


là điểm bất kì thuộc d

thì tồn tại số k sao cho
−−→
A

C

= k
−−→
A

B

, khi đó C được xác định bởi hệ thức
−→
AC = k
−→
AB.
Điều đó chứng tỏ rằng trên d có điểm C sao cho F (C) = C

.
ii) VìF là phép biến đổi 1-1, nên d

1
và d

2
không có điểm chung.

iii) Giả sử điểm B chia trong đoạn AC theo tỉ số k, khi đó ta có
BA
BC
= k và B nằm giữa A và C hay
−→
AB
−−→
BC
= k (k > 0).
Phép biến đổi tuyến tính F biến điểm B thành điểm B

, biến
đoạn AC thành đoạn A

C

.
Không mất tổng quát, giả sử F (A) = A

, F (C) = C

,ta có:
F (
−→
AB)
F (
−−→
BC)
=
−−→

A

B

B

C

= k.
Điều đó chứng tỏ điểm B

chia trong đoạn A

C

theo tỷ số k. Ta
có điều cần chứng minh.
Tính chất 2.1.5. Cho hai tam giác ABC và A

B

C

. Tồn tại duy
nhất một phép biến đổi tuyến tính F biến tam giác ABC thành tam
giác A

B

C


.
Chứng minh
Phạm Thị Ngọc Yến 10 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
• F tồn tại.
Trước hết F (A) = A

, F (B) = B

, F (C) = C

. Giả sử M là
điểm bất kì khác các đỉnh của tam giác ABC, khi đó tồn tại duy
nhất một cặp số thực x, y sao cho
−−→
AM = x
−→
AB + y
−→
AC. (1)
Ta xác định M

theo công thức:
−−−→
A

M

= x

−−→
A

B

+ y
−−→
A

C

. (2)
Như vậy (2) chứng tỏ tồn tại phép biến đổi F .
• F là phép biến đổi 1-1. Thật vậy:
F (M
1
) = M

,
−−→
AM
1
= x
−→
AB + y
−→
AC.
F (M
2
) = M


,
−−→
AM
2
= x
−→
AB + y
−→
AC.
Ta có
−−→
AM
1
=
−−→
AM
2
⇔ M
1
≡ M
2
.
• F là phép biến đổi tuyến tính.
Giả sử
−→
U và
−→
V là hai véc tơ bất kì, khi đó tồn tại các số thực
x

1
, y
1
, x
2
, y
2
sao cho
−→
U = x
1
−→
AB + y
1
−→
AC,
−→
V = x
2
−→
AB + y
2
−→
AC.
Ta xét:
F (
−→
U +
−→
V ) = F ((x

1
+ x
2
)
−→
AB + (y
1
+ y
2
)
−→
AC)
= F ((x
1
+ x
2
)
−→
AB) + F((y
1
+ y
2
)
−→
AC)
= x
1
F (
−→
AB) + y

1
F (
−→
AC) + x
2
F (
−→
AB) + y
2
F (
−→
AC)
= F (
−→
U ) + F(
−→
V ).
Ta xét:
F (k
−→
U ) = F (kx
1
−→
AB + ky
1
−→
AC)
= kx
1
F (

−→
AB) + ky
1
F (
−→
AC)
= k(x
1
F (
−→
AB) + y
1
F (
−→
AC))
= kF (x
1
−→
AB + y
1
−→
AC)
= kF (
−→
U ).
Vậy F là phép biến đổi tuyến tính.
• F là phép biến đổi tuyến tính duy nhất.
Giả sử F

là một phép biến đổi khác F . Với mỗi điểm M bất kì

ta xác định M

theo công thức:
−−−→
A

M

= x
−−→
A

B

+ y
−−→
A

C

Khi đó F và F

có ảnh trùng nhau với mọi điểm M.
Vì vậy F = F

.
Phạm Thị Ngọc Yến 11 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Hệ quả
Tồn tại duy nhất phép biến đổi tuyến tính F biến một tam giác

bất kì thành một tam giác đều hoặc tam giác vuông cân.
Chứng minh
Thật vậy, nếu tam giác ABC là một tam giác bất kì và A

B

C

là một tam giác đều (hoặc tam giác vuông cân),theo tính chất 2.1.5
tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính F biến tam giác ABC
thành tam giác A

B

C

.
Tính chất 2.1.6. Tích của hai hoặc nhiều phép biến đổi tuyến tính
là một phép biến đổi tuyến tính.
Chứng minh
Cho hai phép biến đổi tuyến tính F
1
và F
2
. Với mọi vectơ
−→
U ,
−→
V
và mỗi cặp số thực x, y ta có:

F
1
(x
−→
U + y
−→
V ) = x
−→
U
1
+ y
−→
V
1
, trong đó F
1
(
−→
U ) =
−→
U
1
và F
1
(
−→
V ) =
−→
V
1

.
F
2
(x
−→
U
1
+ y
−→
V
1
) = x
−→
U
2
+ y
−→
V
2
, trong đó F
2
(
−→
U
1
) =
−→
U
2
và F

2
(
−→
V
1
) =
−→
V
2
.
Vì vậy F = F
2
◦ F
1
biến x
−→
U + y
−→
V thành x
−→
U
2
+ y
−→
V
2
, trong đó
F (
−→
U ) =

−→
U
2
, F(
−→
V ) =
−→
V
2
. Đó là điều cần chứng minh.
Tính chất 2.1.7. Phép co (dãn) là phép biến đổi tuyến tính.
Định nghĩa:Phép co (dãn)
Phạm Thị Ngọc Yến 12 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Cho một đường thẳng d và một số k > 0. Với mỗi điểm M bất kì
không thuộc d ta dựng điểm M

sao cho
−−−→
HM

= k
−−→
HM, trong đó H
là chân đường vuông góc hạ từ M xuống d, khi đó M

được gọi là
ảnh của M trong phép co (dãn) về trục d với hệ số k và được kí hiệu
Γ(d, k) : M → M


.
Đường thẳng d được gọi là trục co, số k > 0 được gọi là hệ số co
(dãn).
• Nếu k > 1, thì Γ(d, k) là phép dãn.
• Nếu k < 1, thì Γ(d, k) là phép co.
Trường hợp M thuộc d, thì M ≡ M

.
Cho một hình F. Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc F trong phép
biến đổi Γ
(d,k)
lập thành một hình F

được gọi là hình co (dãn) của
hình F.
Khi k = 1, thì Γ(d, k) là phép đồng nhất.
Chứng minh
• Γ(d, k) là phép biến đổi 1-1.
Thật vậy:
Γ(d, k) : M
1
→ M

,
−−−→
HM

= k
−−−→
HM

1
.
Γ(d, k) : M
2
→ M

,
−−−→
HM

= k
−−−→
HM
2
.
khi đó ta có M
1
, M
2
, M, H thẳng hàng (H là chân đường vuông
góc hạ từ M
1
xuống d).
Ta có
−−−→
HM

= k
−−−→
HM

1
= k
−−−→
HM
2
⇒
−−−→
HM
1
=
−−−→
HM
2
⇒ M
1
≡ M
2
.
• Giả sử
−→
U = (x
1
, y
1
),
−→
V = (x
2
, y
2

) là 2 véc tơ bất kì,
F (
−→
U ) = (x
1
, ky
1
), F(
−→
V ) = (x
2
, ky
2
).
Ta xét:
F (
−→
U +
−→
V ) = F (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
)
= (x
1

+ x
2
, k(y
1
+ y
2
))
= (x
1
+ x
2
, ky
1
+ ky
2
)
= (x
1
, ky
1
) + (x
2
, ky
2
)
= F (
−→
U ) + F(
−→
V ).

Phạm Thị Ngọc Yến 13 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Với mọi số thực m ta xét:
F (m
−→
U ) = F (m(x
1
, y
1
))
= F (mx
1
, my
1
)
= (mx
1
, mky
1
)
= m(x
1
, ky
1
)
= mF (
−→
U ).
Tính chất 2.1.8. Cho tam giác ABC và tam giác vuông cân A


B

C

(hoặc tam giác đều A

B

C

), tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến
tính biến tam giác ABC thành tam giác A

B

C

, ở đó F là tích của
hai phép co (dãn) và phép biến đổi tuyến tính F

biến tam giác ABC
thành tam giác A

B

C

.
Nghĩa là F = F


◦ Γ
2
◦ Γ
1
: A → A

, B → B

, C → C

.
Trong đó:
Γ
2
◦ Γ
1
là tích của hai phép co (dãn) biến tam giác ABC thành
tam giác vuông cân (tam giác đều) A”B”C” đồng dạng với tam giác
A

B

C

.
F

biến tam giác A”B”C” thành tam giác A

B


C

.
Chứng minh
Ta biết rằng tồn tại một phép co (dãn) Γ
1
biến tam giác ABC
thành một tam giác vuông và phép co (dãn) Γ
2
biến tam giác vuông
thành tam giác vuông cân A”B”C”. Theo tính chất 2.1.5 tồn tại
duy nhất một phép đồng dạng biến tam giác A”B”C”thành tam giác
A

B

C

. Ta biết rằng các phép co (dãn) và phép đồng dạng là những
phép biến đổi tuyến tính, bởi vậy F là một phép biến đổi tuyến tính.
Hệ quả
Cho tam giác A

B

C

và F là một phép biến đổi tuyến tính biến
tam giác ABC thành tam giác A


B

C

, khi đó F được biểu diễn dưới
dạng : F : V ◦ Γ
2
◦ Γ
1
.
Trong đó:
Γ
2
◦ Γ
1
là tích của hai phép co (dãn) biến tam giác ABC thành
tam giác vuông cân (tam giác đều) A
1
B
1
C
1
đồng dạng với tam giác
Phạm Thị Ngọc Yến 14 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
A

B


C

.
Phép đồng dạng V biến tam giác A
1
B
1
C
1
thành tam giác A

B

C

.
Tính chất 2.1.9. Cho hai tam giác A
1
B
1
C
1
và A
2
B
2
C
2
có diện tích
tương ứng là S

1
và S
2
. Phép biến đổi tuyến tính F biến tam giác
A
1
B
1
C
1
thành tam giác A

1
B

1
C

1
, A
2
B
2
C
2
thành A

2
B


2
C

2
có diện tích
tương ứng S

1
và S

2
, khi đó:
S
1
S
2
=
S

1
S

2
.
Chứng minh
Ta kí hiệu Γ
1(k
1
)
◦ Γ

2(k
2
)
là tích hai phép co (dãn) với các hệ số k
1
và k
2
biến tam giác A
1
B
1
C
1
thành tam giác MNP đồng dạng với
tam giác A

1
B

1
C

1
.
Khi đó ta có S
(MNP )
= k
1
k
2

S
1
, ta kí hiệu λ là tỉ số đồng dạng của
hai tam giác MNP và A

1
B

1
C

1
, ta có : S

1
= λ
2
S
(MNP )
= λ
2
k
1
k
2
S
1
.
Tương tự ta có S


2
= λ
2
k
1
k
2
S
2
.
Từ các kết quả đó ta suy ra
S
1
S
2
=
S

1
S

2
.
Phạm Thị Ngọc Yến 15 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
2.2 Ứng dụng của phép biến đổi tuyến tính
Ứng dụng của phép biến đổi tuyến tính trong việc giải một số lớp
bài toán hình học là quá trình sử dụng phép biến đổi tuyến tính vào
việc giải các bài toán hình học ở các dạng cụ thể (bài toán chứng
minh, bài toán tính toán, bài toán cực trị, bài toán quỹ tích), nhằm

giúp cho người đọc thấy được sự tiện lợi và tính ưu việt của phép biến
hình nói chung và phép biến đổi tuyến tính nói riêng trong việc giải
toán.
Trong các ví dụ ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác như
sau:
• Phép đồng dạng H : ∆ → ∆

. Ta có: S
∆
= k
2
S
∆

.
• Phép co (dãn) Γ : ∆ → ∆

. Ta có: S
∆
= kS
∆

.
• Phép biến đổi tuyến tính F : ∆
1
→ ∆

1
, ∆
2

→ ∆

2
.
Ta có:
S
∆
1
S
∆
2
=
S
∆

1
S
∆

2
.
2.2.1 Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề là đúng, trong
đó mệnh đề A là giả thiết, mệnh đề B là kết luận. Để giải bài toán
chứng minh, ta xuất phát từ giả thiết A và những mệnh đề đúng đã
biết, bằng những lập luận chặt chẽ và những lập luận hợp logic, dựa
vào các định nghĩa, các tính chất các định lý của đối tượng toán học
đi đến kết luận.
Bài toán chứng minh bằng phép biến hình gồm 3 bước:
Bước 1: Lựa chọn phép biến hình.

Bước 2: Thực hiện phép biến hình.
Bước 3: Rút ra kết luận.
Phạm Thị Ngọc Yến 16 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Ví dụ 9. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác đó.
Trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho:
AM
MB
=
BN
NC
=
CP
P A
.
Chứng minh rằng G là trọng tâm tam giác MNP.
Giải:
Tồn tại một phép biến đổi tuyến tính F.
Biến ∆ABC thành ∆A

B

C

đều.
Biến trọng tâm G của ∆ABC thành G

của ∆A

B


C

.
•Ta chứng minh G

là trọng tâm của tam giác ∆A

B

C

.
Thật vậy, từ giả thiết
−→
GA +
−−→
GB +
−→
GC =
−→
0 , ta có:
F (
−→
GA +
−−→
GB +
−→
GC) = F (
−→

0 ) =
−→
0 ⇒ F (
−→
GA) + F (
−−→
GB) + F(
−→
GC) =
−→
0
⇒
−−→
G

A

+
−−→
G

B

+
−−→
G

C

=

−→
0 .
• F : ∆MNP → ∆M

N

P

đều.
Vì các đỉnh của ∆MNP chia các cạnh của ∆ABC theo cùng một tỉ
số:
AM
MB
=
BN
NC
=
CP
P A
.
Vì G

là trọng tâm ∆A

B

C

nên G


là trọng tâm ∆N

M

P

. Ta chứng
minh G là trọng tâm của ∆MNP.
Theo tính chất trọng tâm, ta có:
−−−→
G

N

+
−−−→
G

M

+
−−→
G

P

=
−→
0 ⇒ F (
−−→

GN) + F (
−−→
GM) + F (
−→
GP ) =
−→
0
⇒ F(
−−→
GN +
−−→
GM +
−→
GP ) =
−→
0 = F (
−→
0 )
⇒
−−→
GN +
−−→
GM +
−→
GP =
−→
0
.
Vậy G là trọng tâm ∆MNP.
Phạm Thị Ngọc Yến 17 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Ví dụ 10. Bên trong một tam giác ABC lấy điểm P . Qua P kẻ
đường thẳng x song song với AB và cắt BC tại A
1
; đường thẳng y
song song với BC và cắt AC tại B
1
; đường thẳng z song song với AC
và cắt AB tại C
1
. Chứng minh rằng:
P B
1
AB
+
P A
1
BC
+
P C
1
CA
= 1.
Giải:
Tồn tại một phép biến đổi tuyến tính F .
Khi đó:
F : ∆ABC → ∆A

B


C

đều.
F : x → x

, x

//A

B

.
F : y → y

, y

//B

C

.
F : z → z

, z

//C

A

.

F : P → P

, A
1
→ A
2
, B
1
→ B
2
, C
1
→ C
2
.
Theo tính chất của phép biến đổi tuyến tính ta có:
P B
1
AB
+
P A
1
BC
+
P C
1
CA
=
P


B
2
A

B

+
P

A
2
B

C

+
P

C
2
C

A

.
Do ∆A

B

C


đều nên A

B

= B

C

= C

A

. Ta có:
P

B
2
A

B

+
P

A
2
B

C


+
P

C
2
C

A

=
P

B
2
A

C

+
P

A
2
A

C

+
P


C
2
A

C

=
P

B
2
+ P

A
2
+ P

C
2
A

C

.
Mà P

B
2
= NC


= C
2
A

= P

M = MB
2
.
P

A
2
= KB

= B
2
C

.
P

C
2
= A

M.
Nên P


B
2
+ P

A
2
+ P

C
2
= MB
2
+ B
2
C

+ A

M = A

C

.
Phạm Thị Ngọc Yến 18 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2