Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======


NGUYỄN THỊ LÝ


HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. ĐINH THỊ KIM THÚY




HÀ NỘI - 2014



LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Hình học  Khoa
Toán, Trường Đại học sư phạm Hà Nội II, Thư viện Quốc gia, Thư viện
trường Đại học sư phạm Hà Nội II đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong thời
gian em làm đề tài.
Em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô ĐINH THỊ KIM THÚY,
người đã chỉ bảo và hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc để em có thể hoàn thành
đề tài.
Cảm ơn gia đình và những người bạn đã giúp đỡ, động viên em trong
quá trình hoàn thành đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2014
Sinh viên


Nguyễn Thị Lý



LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong khi nghiên cứu, tôi đã thừa kế những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự chân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kỳ công
trình nào khác.

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Thị Lý
















MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU 1
NỘI DUNG 2
CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 2
1.1. Không gian vectơ 2
1.2. Ma trận 5
1.3. Định thức 6
CHƢƠNG 2: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9
2.1. Các khái niệm cơ bản 9
2.2. Hệ phương trình Cramer 11
2.3. Định lý Kronecker-Capelli 13

2.4. Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 13
2.5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 19
BÀI TẬP VẬN DỤNG 24
CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Error!
Bookmark not defined.
3.1. Xét sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của một hệ vectơ 31
3.2. Tìm tọa độ của vectơ đối với một cơ sở 32
3.3. Tìm giá trị riêng, vectơ riêng 34
3.4. Đổi tọa độ afin 37
3.5. Đổi tọa độ xạ ảnh 42
3.6. Mô hình cân bằng thị trường. 46
BÀI TẬP VẬN DỤNG 51
KẾT LUẬN 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

1

LỜI NÓI ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Có thể nói đối với sinh viên khoa Toán nói riêng và sinh viên học toán
nói chung Đại số tuyến tính là một môn học rất quan trọng.
Trong đó không thể nhắc đến lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính và
một số ứng dụng của nó. Hệ phương trình tuyến tính được hoàn thiện nhờ
không gian vectơ, ma trận và định thức. Nó có rất nhiều ứng dụng không những
trong nhiều ngành toán học khác nhau như: Đại số, Hình học, Giải tích, Lý
thuyết phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng, Qui hoạch tuyến tính
và còn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác. Chính vì lý do đó em đã chọn đề tài:
“Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng” để làm đề tài khóa luận cho mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về hệ phương trình tuyến tính.

Đưa ra một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính và hệ thống các
ví dụ minh họa cho mỗi ứng dụng.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: kiến thức về hệ phương trình tuyến tính.
Phạm vi nghiên cứu: lý thuyết và một số ứng dụng về hệ phương trình
tuyến tính.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày cơ sở lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính.
Đề xuất một số dạng toán thường gặp về hệ phương trình tuyến tính, ứng
dụng và ví dụ minh họa.
5. Các phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học.
Nghiên cứu các tài liệu liên quan.



2

NỘI DUNG

CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1.1. Không gian vectơ
1.1.1. Không gian vectơ
Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử kí hiệu là

,

,


…và K là
một trường. Giả sử V được trang bị hai phép toán, gồm:
a) Phép cộng: +: V × V →V, (

,

) ↦



,
b) Phép nhân: .: K × V →V, (

,

) ↦

.

,
thỏa mãn những điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây:
(V
1
) (



) 

=


+
(



), 

,

,

V
(V
2
) 
0
V:
0




=



0

=


, 

V
(V
3
) 

V, 


V:






=





=
0

(V
4
)






=




, 

,

V
(V
5
) (



)


=







, 

,

 K, 

V
(V
6
)

(



) =






, 

 K, 

,

V

(V
7
)

(


) = (

)

, 

,

 K,

V
(V
8
) 1.


=

, 

V
Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho được gọi là một không gian
vectơ trên trường K hay K - không gian vectơ (gọi tắt là không gian vectơ).

Các phần tử của V gọi là các vectơ, các phần tử của K gọi là các vô
hướng. Phép cộng “+” gọi là phép cộng vectơ, phép nhân “.” gọi là phép nhân
vectơ với vô hướng.
Khi K = R thì V được gọi là không gian vectơ thực.
Khi K = C thì V được gọi là không gian vectơ phức.
3


1.1.2. Không gian vectơ con
Giả sử V là một K - không gian vectơ và W là một tập con của V.
Ta nói tập W là ổn định (hay đóng kín) đối với hai phép toán trên V nếu:



 W 

,

 W


 W 

 K,

 W
Ta nói tập W là một không gian vectơ con của V nếu W ổn định với hai
phép toán trên V và cùng với hai phép toán của V hạn chế trên nó, W cũng là
một không gian vectơ trên trường K.
Định lý 1: Giả sử W là một tập con của K - không gian vectơ V. Thế thì W là

một không gian vectơ con của V khi và chỉ khi W   và W ổn định đối với
hai phép toán của V.
Chứng minh
Điều kiện cần suy trực tiếp từ định nghĩa trên. Để chứng minh điều kiện
đủ, ta cần chứng minh rằng W cùng với hai phép toán của V thu hẹp trên nó, là
một K - không gian vectơ, tức là nó thỏa mãn 8 tiên đề về không gian vectơ.
Các tiên đề (V
1
), (V
4
), (V
5
), (V
6
), (V
7
), (V
8
) được nghiệm đúng với mọi phần
tử của V nên chúng cũng nghiệm đúng với mọi phần tử của W.
Vì W  , nên có ít nhất một phần tử

 W. Khi đó
0

= 0

 W. Phần
tử
0

 V đóng vai trò phần tử
0
W. Mặt khác, với mọi

 W, ta có
(

) = (1)

W.
Đó cũng chính là phần tử đối của


trong W.
1.1.3. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính
Cho V là một không gian vectơ trên trường K.
a) Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ
1

,
2

,…,
n

 V là một biểu thức
dạng:
1
n
ii

i



=

1
1

…

n
,
n


4

trong đó:

1
,…,

n
 K.
b) Giả sử

=

1

1

…

n
n

V. Đẳng thức đó được gọi là một biểu thị
tuyến tính của


qua hệ vectơ (
1

,
2

,…,
n

). Khi có đẳng thức đó, ta nói


biểu thị tuyến tính được qua các vectơ
1

,
2

,…,

n

.
c) Hệ vectơ (
1

,
2

,…,
n

) được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức:

1
1

…

n
n

=
0

chỉ xảy ra khi

1
=…=


n
= 0.
d) Hệ vectơ (
1

,
2

,…,
n

) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu hệ đó không
độc lập tuyến tính.
1.1.4. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ
Cơ sở
a) Một hệ vectơ của V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của
V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
b) Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của V
đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này.
Số chiều
a) Số vectơ trong mỗi cơ sở của K - không gian vectơ hữu hạn sinh
V 
 
0
được gọi là số chiều của V trên trường K và kí hiệu là dimV hay rõ
hơn dim
K
V. Nếu V =
 
0,

ta còn quy ước dimV = 0.
b) Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là
không gian vectơ vô hạn chiều.
Tọa độ của vectơ
Cho (e) = 
1
e
,
2
e
,…,
n
e
 là một cơ sở của K - không gian vectơ n chiều
V. Lúc đó, mỗi vectơ

 V đều có biểu thị tuyến tính duy nhất:


= x
1
1
e
+ x
2
2
e
+…+ x
n
,

n
e
x
i
 K, i = 1, 2,…, n
5

Ta gọi bộ vô hướng (x
1
, x
2
,…, x
n
) là tọa độ của vectơ


trong cơ sở
(hay đối với cơ sở) (e) = 
1
e
,
2
e
,…,
n
e
. Vô hướng x
i
được gọi là tọa độ thứ i
của



trong cơ sở đó.
1.2. Ma trận
Cho K là một trường tùy ý. Một bảng gồm m.n phần tử a
ij
 K có dạng:







11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
(1)
được gọi là một ma trận kiểu (m, n). Mỗi a
ij
được gọi là một thành phần của
ma trận.
Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A, B, … Ma trận (1) có thể kí hiệu
đơn giản bởi A = (a

ij
)
m

n
, trong đó i =
1, m

chỉ số dòng và j =
n,1

chỉ số cột
của phần tử.
Tập hợp tất cả các ma trận kiểu (m, n) với các phần tử thuộc trường K
được kí hiệu là Mat(m

n, K).
 Khi m = n thì ma trận A = (a
ij
)
m

n
được gọi là ma trận vuông cấp n và
kí hiệu là A = (a
ij
)
n
.
 Khi m = 1 thì ma trận chỉ có một dòng và n cột, được gọi là ma trận dòng.

 Khi n = 1 thì ma trận chỉ có một cột và m dòng, được gọi là ma trận cột.
Hạng của ma trận
 Hệ con độc lập tuyến tính tối đại: Cho một hệ vectơ
 
i
iI
a

của không
gian vectơ V. Một hệ vectơ con
 
,
j
jJ
a

J  I (của hệ đó) được gọi là một hệ
con độc lập tuyến tính tối đại của hệ đã cho nếu nó là một hệ vectơ độc lập
tuyến tính và nếu thêm bất cứ vectơ
k

nào (k  I \ J) vào hệ con đó thì ta đều
nhận được một hệ phụ thuộc tuyến tính.
6

 Hạng của một hệ vectơ: Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của
không gian vectơ V. Ta gọi số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của
hệ là hạng của hệ vectơ đã cho.
Kí hiệu hạng của hệ vectơ (
1


,
2

,…,
n

) là rank(
1

,
2

,…,
n

).
 Hạng của ma trận: Cho A  Mat(nn, K). Coi mỗi cột (hay dòng) của
A là một hệ vectơ ta được hệ n vectơ (tương ứng m vectơ) của không gian
vectơ K
n
(tương ứng K
m
). Ta gọi hạng của hệ n (tương ứng m) vectơ này là
hạng của ma trận A và kí hiệu là rankA.
Như vậy hạng của ma trận được định nghĩa là hạng của hệ vectơ cột
(hạng hệ vectơ dòng) của nó.
1.3. Định thức
Định thức của ma trận vuông cấp n: A = (a
ij

)
n
được gọi là định thức cấp n
và kí hiệu detA hay
A 

 Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu chọn k dòng và k cột của A(1kn)
thì định thức M của ma trận vuông cấp k gồm các thành phần nằm ở giao của k
dòng và k cột này được gọi là một định thức con cấp k của ma trận A.
 Định thức
M

của ma trận vuông cấp n  k nhận được sau khi xóa đi k
dòng và k cột đó được gọi là một định thức con bù của định thức con M.
 Nếu k dòng đã chọn là i
1
,…, i
k
và k cột đã chọn là j
1
,…, j
k
thì ta gọi

  

1
( 1) ( ).
k
qq

q
i j M

là phần bù đại số của định thức con M.
Khi k = 1 thì phần bù đại số của định thức con cấp một M = det(a
ij
) = a
ij

cũng được gọi là phần bù đại số của phần tử a
ij
. Nó bằng (1)
i j
M
ij
với M
ij
là
định thức của ma trận vuông cấp (n  1) có được bằng cách xóa đi dòng i, cột j
của ma trận A. Ta kí hiệu phần bù đại số của phần tử a
ij
là A
ij
. Khi đó ta có:
A
ij
= (1)
i j
M
ij

.
Vậy ta có công thức: detA = a
i1
A
i1
… a
in
A
in
(khai triển detA theo dòng i)
hay detA = a
1j
A
1j
… a
nj
A
nj
(khai triển detA theo cột j).
7

Ví dụ. Xét định thức D =
1 2 3 2
0 2 4 1
1 5 1 4
0 5 2 1

khi đó:
Định thức D
1

=
12
02
= 2 được gọi là định thức con cấp 2 của D.
Định thức con bù của D
1
là
1
D
=
14
21
= 7.
Ta có:
M
11
=
2 4 1
5 1 4
5 2 1

khi đó phần bù đại số của phần tử a
11
= 1 của định thức D là :
A
11
= (1)
11
M
11

=
2 4 1
5 1 4
5 2 1
= 51.
Để tính định thức trên ta thực hiện phép biến đổi:

13
( 1)
1 2 3 2 1 2 3 2
0 2 4 1 0 2 4 1
1 5 1 4 0 3 2 2
0 5 2 1 0 5 2 1
DD
D

 


Khai triển định thức theo cột 1, ta có:

11
2 4 1
1.( 1) 3 2 2 32
5 2 1
D

   

8

Định lý 2: Cho A = (a
ij
)
mn
. Nếu detA  0 thì A khả nghịch và:
A
1
=







11 21 1
12 22 2
12
1
det
n
n
n n nn
A A A

A A A
A
A A A

trong đó A
ij
là phần bù đại số của a
ij
,
Adet
1
= (detA)
1
 K.
Chứng minh: Xét ma trận
A =







11 21 1
12 22 2
12
n
n
n n nn
A A A

A A A
A A A

gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. Ta có:
a
i1
A
i1
… a
in
A
in
= detA, i
Với mọi j  i, xét ma trận có được từ A bằng cách thay dòng j bởi dòng i
còn các dòng khác giữ nguyên, kể cả dòng i thì ma trận này có định thức bằng
0. Khai triển định thức của ma trận mới này theo dòng j ta có:
a
i1
A
j1
 a
i2
A
j2
… a
in
A
jn
= 0, i  j
Từ hai đẳng thức trên suy ra: A.

t
A
= (detA).E
n
.
Tương tự, bằng cách khai triển các định thức theo cột, ta sẽ nhận được:
t
A
.A = (detA).E
n
.
Vậy, khi detA  0 thì A khả nghịch và A
-1
=
1
det A
t
A
. 





9


CHƢƠNG 2: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

2.1. Các khái niệm cơ bản

2.1.1. Định nghĩa
Một hệ phương trình tuyến tính của n ẩn x
1
, x
2
,…, x
n
có dạng:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2




nn
nn
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b

   

   




   


(1)
trong đó các a
ij
, b
i
là các phần tử cho trước thuộc trường K được gọi là một hệ
phương trình tuyến tính trên trường K. Các a
ij
được gọi là các hệ số của ẩn,
các b
i
được gọi là các hệ số tự do.
Một nghiệm của hệ (1) là một bộ n số (c
1
, c
2
,…, c
n
)  K sao cho khi thay
x
1
= c
1
, x
2
= c
2
,…, x
n

= c
n
thì mọi đẳng thức trong hệ (1) là những đẳng thức
đúng.
 Dạng ma trận
Ta có ma trận
A =







11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a

được gọi là ma trận các hệ số (hoặc ma trận liên kết) của (1), còn ma trận
A
bs
=








11 1 1
21 2 2
1
n
n
m mn m
a a b
a a b
a a b

là ma trận bổ sung của hệ (1) hay ma trận các hệ số mở rộng của (1).

10

Đặt :
X =
1
2
n
x
x
x









và b =
1
2
m
b
b
b








Thì ta có thể viết gọn hệ (1) dưới dạng:
AX = b.
 Dạng vectơ
Ta có thể viết gọn hệ (1) dưới dạng:
1
,
n
ij j i
j
a x b




i= 1, 2,…, m
Nếu coi mỗi cột của ma trận A
bs
như một vectơ trong không gian K
m
,
chẳng hạn:
j

= (a
1j
, a
2j
,…, a
mj
),
1,jn


= (b
1
, b
2
,…, b
n
)
Thì ta cũng có thể viết hệ (1) dưới dạng :

1

x
1

2

x
2
…
n

x
n
=


và gọi là dạng vectơ của hệ (1).
2.1.2. Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng
Định nghĩa: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng
tập nghiệm.
Phép biến đổi tương đương: Một phép biến đổi tương đương đối với hệ
phương trình tuyến tính nếu nó không làm thay đổi tập nghiệm của phương
trình đã cho.
Các phép biến đổi tương đương đối với hệ phương trình tuyến tính bao
gồm:
- Đổi chỗ hai phương trình bất kỳ cho nhau.
- Nhân vào cả hai vế của một phương trình với một số khác 0.
11

- Cộng vào cả hai vế của một phương trình tương ứng với tổ hợp tuyến
tính các phương trình còn lại.
2.2. Hệ phƣơng trình Cramer
2.2.1. Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính Ax =

được gọi là một hệ Cramer nếu nó có
số phương trình bằng số ẩn (nói cách khác, nếu A là một ma trận vuông) và
nếu detA  0.
2.2.2. Giải hệ Cramer
Định lý: Hệ phương trình Cramer Ax =

có một nghiệm duy nhất được tính
bằng công thức:
x
j
=
det
det
j
A
A
,
(1 )jn

trong đó A
j
là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi cột
hệ số tự do


.
Chứng minh. Vì detA  0 nên A là một ma trận khả nghịch. Ta có:
Ax =

 A
-1
Ax = A
-1


 x = A
-1

.
Theo Định lý 2 ta có:
A
-1
=
11 21 1
12 22 2
12
1
det
n
n
n n nn
A A A
A A A
A
A A A









trong đó A
ij
là phần bù đại số của a
ij
trong detA. Từ đó:
x = A
-1


11
1
( )
det
1, ,
j j nj n
x A b A b
A
jn

  








det
det
1, ,
j
j
A
x
A
jn








12

Đó là vì khai triển định thức A
j
theo cột thứ j ta có được:
detA
j
= b

1
A
1j
 b
2
A
2j
… b
n
A
nj
. 
Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 2 1
32
x x x
x x x
x x x

  

  


  


Lời giải
Ta có:
detA =
1 1 1
2 1 2
1 1 3
=
1 1 1
2 1 2
0 0 2
= 2
11
21
= 2  0
Vậy hệ phương trình đã cho là hệ Cramer nên có nghiệm duy nhất. Ta có:
detA
1
=
1 1 1
112
2 1 3
= 1
detA
2
=
111
2 1 2
1 2 3
= 2

detA
3
=
1 1 1
211
112
= 1
x
1
=
1
det
det
A
A

=
1
2

; x
2
=
2
det
det
A
A

= 1; x

3
=
3
det
det
A
A

=
1
2

Vậy nghiệm duy nhất của hệ là (
1
2

, 1,
1
2
).

13

2.3. Định lý Kronecker-Capelli
Hệ phương trình tuyến tính:

1
(1)
1, ,
n

ij j i
j
a x b
im










có nghiệm khi và chỉ khi rankA = rankA
bs
.
Chứng minh. Xét hệ phương trình đã cho dưới dạng vectơ:

1
(2)
n
ii
i
x





Nếu hệ (2) có nghiệm thì

là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ
(
1

,
2

,…,
n

) do đó hạng của hệ (
1

,
2

,…,
n

) bằng hạng của hệ (
1

,
2

,…,
n


,

). Vậy rankA = ranhA
bs
.
Ngược lại, nếu rankA = rankA
bs
thì hạng của hệ (
1

,
2

,…,
n

) bằng
hạng của hệ (
1

,…,
n

,

). Do đó, nếu (
1i

,…,
ir


) là hệ con độc lập tuyến
tính tối đại của hệ (
1

,
2

,…,
n

) thì nó cũng là hệ con độc lập tuyến tính tối
đại của hệ (
1

,…,
n

,

). Cho nên

biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ
(
1i

,…,
ir

), bởi vậy


biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ (
1

,…,
n

).
Suy ra hệ (2) có nghiệm. 
2.4. Các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính
2.4.1. Phương pháp định thức
Cho hệ phương trình tuyến tính:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2


(1)


nn
nn
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b

   

   





   


14

Theo Định lý 1.3, nếu rankA  rankA
bs
thì hệ vô nghiệm. Giả sử rằng
rankA = rankA
bs
= r không giảm tính tổng quát, có thể coi (
1

,
2

,…,
r

) (3)
là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hai hệ vectơ (
1

,
2


,…,
r

) và vectơ
(
1

,
2

,…,
n

,

).
Ta có:
1 1 1
n r n
i i i i j j
i i j r
x x x
    
   
   
  

Với mỗi bộ n  r phần tử c
r1
,…, c

n
 K, ta có vectơ
1
n
jj
jr
x




biểu thị
tuyến tính được qua hệ (3), vì

và các
, 1, ,
i
j r n


đều biểu thị tuyến
tính được qua hệ (3), cho nên tồn tại r phần tử c
1
, c
2
,…, c
r
 K để:
11
rn

i i j j
i j r
cc
  
  



Khi đó ta có (c
1
,…, c
r
, c
r1
,…, c
n
) là một nghiệm của hệ phương trình.
Do hệ (3) độc lập tuyến tính nên r phần tử (c
1
, c
2
,…, c
r
) được xác định một
cách duy nhất phụ thuộc vào n  r phần tử (c
r1
,…, c
n
) đã cho. Suy ra:
- Nếu r = n thì hệ có nghiệm duy nhất.

- Nếu r  n thì hệ có vô số nghiệm.
Với giả thiết như trên, gọi n  r ẩn x
r1
,…, x
n
là các ẩn tự do. Khi cho
mỗi lần x
r1
= c
r1
,…, x
n
= c
n
ta tìm được một nghiệm (c
1
,…, c
r
, c
r1
,…, c
n
) của
hệ. Nếu coi (c
r1
,…, c
n
) có thể nhận những giá trị tùy ý thì nghiệm đó là
nghiệm tổng quát của hệ.
Để tìm nghiệm tổng quát của hệ, coi n  r ẩn (x

r1
,…, x
n
) như những
tham số rồi giải hệ gồm r phương trình với r ẩn x
1
,…, x
r
:
11 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1



r r r r n n
r rr r r rr r rn n
a x a x b a x a x
a x a x b a x a x



     



     


15

và giải hệ này theo công thức Cramer.
Ví dụ. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp định thức:
3 4 3
5 2 1
2 3 2 3
2 3 11 5 2
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t

    

   


    


   


Lời giải
Ta có:
detA =
1 1 3 4
1 1 5 2
2 1 3 2
2 3 11 5
=

1 1 3 4
0 0 2 2
0 1 3 6
0 1 5 3

  


=
0 2 2 0 2 2
1 3 6 0 2 9
1 5 3 1 5 3

    


= (1)
3+1
22
29


= 2.(9)2.(2) = 14.
Do
40A  
nên hệ có nghiệm duy nhất. Ta có:
detA
1
=
3 1 3 4

1 1 5 2
3 1 3 2
2 3 11 5


= 28; detA
2
=
1 3 3 4
1 1 5 2
2 3 3 2
2 2 11 5


= 0;
detA
3
=
1 1 3 4
1 1 1 2
2 1 3 2
2 3 2 5


= 14; detA
4
=
1 1 3 3
1 1 5 1
2 1 3 3

2 3 11 2


= 14;
x =
1
det
det
A
A
= 2; y =
2
det
det
A
A
=0;
16

z =
3
det
det
A
A
= 1; t =
4
det
det
A

A
= 1;
Vậy nghiệm duy nhất của hệ là (2,0,1,1).
2.4.2. Phương pháp Gauss
Xét hệ phương trình tuyến tính:

11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2




nn
nn
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b

   

   




   


Giả sử có một hệ số a
ij
 0. Nếu cần có thể đổi chỗ các phương trình và
đánh số lại các ẩn, nên không giảm tính tổng quát ta có thể coi a
11
 0.
Khi đó, nhân hai vế của phương trình đầu với
11
1
a

ta được hệ số của x
1

trong phương trình thứ nhất của hệ bằng 1. Sau đó nhân phương trình này với
a
i1
rồi cộng vào phương trình thứ i, lần lượt với i = 2,…, m ta nhận được
phương trình tương đương có dạng:
1 12 2 1 1
22 2 2 2
2




nn
nn
m mn n m
x a x a x b

a x a x b
a a x b
  
  
  

   

  




  


Lặp lại lập luận trên đối với hệ con gồm (m  1) phương trình với các ẩn
x
2
,…, x
n
.
Sau một số hữu hạn bước, hệ phương trình đã cho được đưa về một hệ
phương mới, tương đương, mà ma trận bổ sung của nó có dạng:
17

1
2
1
1

01
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
r
r
m
b
b
b
b
b


   

  












Các dấu  kí hiệu những phần tử có thể khác 0 trong trường K. Nếu có

một trong các hệ số tự do
1
, ,
rm
bb


khác 0 thì hệ vô nghiệm. Nếu
1
0
rm
bb

  

thì hệ phương trình có nghiệm. Mỗi nghiệm của phương
trình nhận được bằng cách gán cho x
r1
,…, x
n
những giá trị tùy ý của trường K
(nếu n  r) rồi giải duy nhất x
1
,…, x
r
theo những giá trị đã gán cho x
r1
,…, x
n
.

Cụ thể x
r
được tìm từ phương trình thứ r trước, sau đó x
r1
được tìm từ phương
trình thứ r  1,…, x
1
được tìm từ phương trình thứ nhất.
Ví dụ. Giải hệ phương trình:
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 5
1 2 3 5
1
32
1
3 3 3 4
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x

    

    


   



   


Lời giải
Ta thực hiện các phép biến đổi:
A
bs
=
1 1 1 1 1 1
1 1 3 1 1 2
1 1 1 0 1 1
3 1 3 0 3 4










21
31
31
3
DD
DD
DD





1 1 1 1 1 1
0 2 4 2 0 1
0 2 2 1 0 0
0 4 6 3 0 1











18

32
42
2
DD
DD



1 1 1 1 1 1
0 2 4 2 0 1

0 0 2 1 0 1
0 0 2 1 0 1






  

  


1 1 1 1 1 1
0 2 4 2 0 1
0 0 2 1 0 1
0 0 0 0 0 0






  



Hệ đã cho tương đương với hệ:
1 2 3 4 5
2 3 4

34
1 (1)
2 4 2 1 (2)
2 1 (3)
x x x x x
x x x
xx

    

   


   


Từ (3)  x
3
=
1
2

x
4

1
2

Thay x
3

vào (2) ta được: x
2
=
1
2

Thay x
3
vào (1) ta được x
1
=
1
2
x
4
 x
5
 1
Cho x
4
= c
4
, x
5
= c
5
, hệ có nghiệm tổng quát:
(
1
2

c
4
 c
5
 1,
1
2
,
1
2

c
4

1
2
, c
4
, c
5
).
Chú ý: Phương pháp khử Gauss được ứng dụng vào việc tìm ma trận nghịch
đảo và từ đó ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Ax = b, A là
ma trận vuông cấp n khả nghịch. Khi đó nghiệm của hệ phương trình là:
X = A
1
b. ()
Ví dụ: Giải hệ phương trình
21
33

21
x y z
yz
x y z

  




   


Lời giải
Ma trận hệ số A và cột số hạng tự do b của hệ phương trình này là:
19

A =
2 1 1
0 1 3
2 1 1






, b =
1
3

1







Ta thấy rankA = rankA
bs
= 3, hệ có nghiệm. Do
A
= 4  0 nên ma trận
nghịch đảo của ma trận A là:
A
-1
=
2 2 4
1
6 4 6
4
2 0 2









Áp dụng công thức () ta có:
X =
1
2
3
x
x
x





= A
1
b =
2 2 4
1
6 4 6
4
2 0 2









1
3
1






=
1
4
12
24
4







=
3
6
1









Nghiệm duy nhất của hệ phương trình là:
1
2
3
3
6
1
x
x
x









2.5. Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất
2.5.1. Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình tuyến tính có
dạng:
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2

0
0

0
nn
nn
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x

   

   




   

(1)
2.5.2. Không gian các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Định lý: Tập hợp L tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất (1) là một không gian vectơ con của không gian vectơ K
n
, số chiều là
dimL= n  rankA, trong đó A = (a
ij
)
m


n
là ma trận các hệ số.
20

Chứng minh. Rõ ràng L  K
n
và L   vì nghiệm tầm thường (0, 0,…, 0)  L.
Giả sử

= (c
1
, , c
r
,…,c
n
) và

= (d
1
,…, d
r
,…, d
n
) thuộc L và k  K. Khi đó,
viết hệ (1) dưới dạng vectơ:
x
1
1


… x
r
r

… x
n
n

=
0

Ta có:
c
1
1

… c
r
r

… c
n
n

=
0

d
1
1


… d
r
r

… d
n
n

=
0

Do đó:
(c
1
 d
1
)
1

… (c
r
 d
r
)
r

… (c
n
 d

n
)
n

=
0
,
(kc
1
)
1

  (kc
r
)
r

… (kc
n
)
n

=
k(c
1
1

… c
r
r


… c
n
n

) = k.
0

=
0
;
nghĩa là (c
1
 d
1
,…, c
r
 d
r
,…, c
n
 d
n
) =




(kc
1

,…, kc
r
,…, kc
n
) = k


là những nghiệm của hệ (1) hay:



 L, k

 L.
Vậy L là một không gian con của K
n
.
Giả sử rankA = r.
Nếu r = n thì L = 
0
= (0, 0,…, 0). Do đó dimL = 0.
Nếu r  n, không giảm tính tổng quát có thể giả thiết định thức con cấp r
góc trên bên trái của ma trận A khác 0:
11 1
1
r
r rr
aa
aa
 0

Khi đó, hệ phương trình có n – r ẩn tự do: x
r1
,…, x
n
. Xét hệ n – r vectơ
sau trong L:
21

1

= (c
11
,…, c
1r
, 1, 0,…, 0)
2

= (c
21
,…, c
2r
, 0, 1,…, 0)
…………………………
nr


= (c
n-r1
,…, c
n-rr

, 0, 0,…, 1)
thì hệ này có hạng bằng n – r, do đó định thức cấp n – r khác không là:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= 1 0
Vậy hệ
1

,…,
nr


 độc lập tuyến tính.
Giả sử

= (d
1
,…, d
r
, d
r

1
,…, d
n
)  L thì ta có:
d
1
1


… d
r
r

 d
r+1
1r


… d
n
n

=
0

Mặt khác ta cũng có:
1
1 1 1
0 1 0 0
1, ,
r r i
i ir n
cc
i n r
    


       







cho nên có
1
1, ,
r
ri
ij j
j
c
i n r




  







suy ra
1
0

r
jj
j
d





1
r
jj
j
d



=
1
nr
ri
ri
i
d










1 1 1
()
r n r r
j j r i ij j
j i j
d d c



  

  


1 1 1
()
r r n r
j j r i ij j
j j i
d d c



  

  