một phương pháp xấp xỉ ngoài tìm nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
VŨ THỊ HỒNG
MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI
TÌM NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Vũ Thị Hồng
MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI
TÌM NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN ANH TUẤN
Thái Nguyên - 2014
i
Mục lục
Bảng ký hiệu vi
Mở đầu 1
1 Một số khái niệm cơ bản và một số bài toán thực tế đưa
về bài toán tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất phương
trình tuyến tính 4
1.1 Một số khái niệm cơ bản về tập lồi . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Một số khái niệm cơ bản liên quan đến hàm số tuyến tính 7
1.3 Khái niệm về miền ràng buộc tuyến tính không bị chặn,
phương vô hạn chấp nhận được và hướng tăng, giảm của

hàm gần lồi - gần lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Một số mô hình thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Bài toán cái túi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất (Cực đại tổng lãi
suất ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3 Bài toán mua (thuê) máy bay tối ưu . . . . . . . 14
1.5 Dạng chuẩn và dạng chính tắc của bài toán quy hoạch
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1 Dạng chuẩn và dạng chính tắc . . . . . . . . . . 15
1.5.2 Đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chuẩn
và dạng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ii
1.6 Giới thiệu một số phương pháp giải bài toán quy hoạch
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.1 Giới thiệu phương pháp đơn hình . . . . . . . . . 17
1.6.2 Giới thiệu phương pháp Kamarkar (Điểm trong) 21
2 Quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn và phương pháp nón
xoay [1] 23
2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tổng quát . . 23
2.2 Khái niệm về nón tuyến tính, cạnh của nón và Nón - min 24
2.2.1 Khái niệm về nón đơn hình tuyến tính . . . . . . 24
2.2.2 Khái niệm về cạnh của nón đơn hình . . . . . . . 24
2.2.3 Khái niệm về nón xoay M(r,s) sinh ra từ nón M . 27
2.2.4 Định nghĩa Nón – min (Nón cực tiểu) . . . . . . 29
2.3 Phương pháp nón xoay tuyến tính . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Thuật toán nón xoay tuyến tính . . . . . . . . . 35
2.3.2 Bảng lặp giải bài toán qui hoạch tuyến tính bởi
thuật toán nón xoay tuyến tính và ví dụ minh hoạ 37
3 Thuật toán nón xoay cho hệ bất phương trình tuyến
tính và ứng dụng 46

3.1 Thuật toán nón xoay tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất
phương trình tuyến tính với cơ sở xuất phát từ gốc toạ
độ là đỉnh của nón R
n
+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Bảng lặp nón xoay tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất
phương trình tuyến tính với cơ sở xuất phát từ gốc toạ
độ là đỉnh của nón R
n
+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Các ví dụ minh hoạ cho thuật toán BPT . . . . . . . . 50
iii
3.4 Giải bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn từ việc
tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến
tính đối ngẫu bởi thuật toán nón xoay bất phương trình
(BPT) với cơ sở xuất phát từ gốc toạ độ và ví dụ minh hoạ 56
3.4.1 Đưa bài toán qui hoạch tuyến tính về bài toán tìm
nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến
tính với cơ sở xuất phát từ gốc toạ độ . . . . . . 56
3.4.2 Hệ bất phương trình tuyến tính đối ngẫu đối xứng 58
3.4.3 Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Thuật toán nón xoay BPT giải ví dụ Klee-Minty . . . . 62
3.6 Vài nét về độ phức tạp tính toán của thuật toán BPT và
kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Tài liệu tham khảo 71
iv
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại

học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Anh
Tuấn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận
tâm và nhiệt tình của Thầy trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận
văn.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư tại Viện Toán học, các Thầy Cô trong Đại học Thái
Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc
nghiên cứu và công tác của bản thân. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày
tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa
học và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học,
Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời
gian học tập tại trường.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn
vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt
nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu.
Tác giả
Vũ Thị Hồng Bảng
ký hiệu ————————————————————————————
v
—–
vi
Bảng ký hiệu
φ Tập rỗng
1
Mở đầu
Như chúng ta đã biết nhiều bài toán trong lĩnh vực toán học và vật
lý như: Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết xử lý số liệu và hình ảnh, ảnh y học,
. . . đã dẫn đến việc giải quyết bài toán tìm nghiệm chấp nhận của các
bất đẳng thức lồi, cụ thể là tìm một điểm x

∗
trong C, với C là giao của
hữu hạn các tập lồi đóng C
i
trong không gian Hilbert. Bài toán này đã
được giải bằng thuật toán hiệu quả là phương pháp chiếu trực giao liên
tiếp lên các tập lồi đóng và trong trường hợp riêng khi tất cả các C
i
đều là các nửa không gian Affine trong R
n
thì ta thu được thuật toán
xấp xỉ tìm nghiệm chấp nhận của một hệ bất phương trình tuyến tính
(xem[13]).
Trong việc giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng thuật toán đơn
hình và các thuật toán điểm trong thì đầu tiên chúng ta đều phải giả
thiết là biết trước một điểm chấp nhận được của bài toán. Để có được
một điểm như vậy chúng ta phải đi giải một bài toán quy hoạch tuyến
tính khác hay một bài toán tương đương khác.
Chính vì vậy, luận văn này đề nghị một thuật toán trực tiếp tìm
nghiệm chấp nhận của một hệ bất phương trình tuyến tính, nói cụ thể
chính xác hơn là tìm một điểm cực biên (nếu có) của một hệ ràng buộc
ở dạng các bất phương trình tuyến tính.
Thuật toán ở đây là một cải tiến trực tiếp từ thuật toán nón xoay
tuyến tính giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn trình bày
trong cuốn sách “Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay”[1].
2
Thuật toán kết thúc sau hữu hạn bước lặp với điểm xuất phát ban đầu
của thuật toán là từ gốc tọa độ của R
n
.

Việc có được một thuật toán tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất
phương trình tuyến tính thì điều đó có nghĩa là chúng ta có được một
thuật toán giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Như vậy mối quan hệ
giữa bài toán quy hoạch tuyến tính và bài toán tìm nghiệm chấp nhận
của hệ bất phương trình tuyến tính rất gần nhau. Do đó, trong luận
văn chương đầu trình bày những bài toán liên quan tới quy hoạch tuyến
tinh dạng chuẩn, chương cuối của luận văn trình bày việc đưa bài toán
quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn bất kỳ về bài toán tìm một nghiệm
chấp nhận của hệ bất phương trình dựa trên cơ sở của lý thuyết đối
ngẫu trong quy hoạch tuyến tính.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản liên quan tới hàm gần
lồi-gần lõm làm cơ sở khoa học để xây dựng thuật toán nón xoay tuyến
tính theo lược đồ xấp xỉ ngoài giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng
chuẩn tổng quát, sau một số hữu hạn bước lặp cho ta lời giải của bài
toán hoặc phát hiện ra miền ràng buộc của bài toán không có phương
án chấp nhận được.
Chương 2 trình bày phương pháp nón xoay giải trực tiếp bài toán
quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn.
Chương 3 với nội dung cải tiến thuật toán nón xoay tuyến tính giải
bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn trình bày trong chương 2
trở thành một thuật toán tìm nghiệm chấp nhận được của một hệ bất
phương trình tuyến tính với cơ sở xuất phát từ gốc tọa độ và các ví dụ
minh họa. Sau đó dựa trên cặp bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu
đối xứng đưa việc giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn bất
kỳ về việc giải bài toán tìm nghiệm chấp nhận của một hệ bất phương
trình tuyến tính đối ngẫu và ứng dụng nó giải ví dụ Klee-minty với số
3
chiều của bài toán là n bất kỳ vẫn tìm được lời giải của bài toán sau 2
bước lặp ngắn gọn.

Thuật toán xấp xỉ ngoài bất phương trình (BPT) tìm nghiệm chấp
nhận của hệ bất phương trình tuyến tính đề nghị trong luận văn này
được xây dựng chi tiết, các bước của thuật toán được trình bày sao cho
chúng ta có thể dễ dàng lập trình chuyển sang các chương trình trên
máy tính bằng các ngôn ngữ như Pascal, C, Java,
Luận văn này hoàn thành dựa trên cuốn sách “Quy hoạch tuyến tính
với phương pháp nón xoay” [1] và trên các sách, tài liệu có trong phần
tài liệu tham khảo.
4
Chương 1
Một số khái niệm cơ bản và một
số bài toán thực tế đưa về bài toán
tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất
phương trình tuyến tính
Trong chương này, tôi trình bày một số khái niệm về bài toán tối ưu
tổng quát và một số mô hình bài toán thực tế, cũng như một số khái
niệm liên quan đến tập lồi đa diện, bài toán quy hoạch tuyến tính.
1.1 Một số khái niệm cơ bản về tập lồi
Định nghĩa 1.1.1. Một tập lồi mà là giao của một số hữu hạn nửa
không gian đóng gọi là tập lồi đa diện. Nói cách khác, đó là tập nghiệm
của một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính:
a
i
, x ≤ b
i
, i = 1, , m(a
i
∈ R
n
, b

i
∈ R) (1.1)
nghĩa là tập các x nghiệm đúng Ax ≤ b với A là một ma trận cấp mxn
và b ∈ R
m
.
5
Vì một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương bằng
hai bất phương trình tuyến tính nên một tập lồi đa diện cũng là tập
nghiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình tuyến tính :
a
i
, x = b
i
, i = 1, , p
,
a
i
, x ≤ b
i
, i = p + 1, , m
Hạng của hệ bất phương tuyến tính (1.1) được định nghĩa bằng hạng
của ma trận A. Nếu hạng của hệ này bằng m thì ta nói hệ độc lập tuyến
tính.
Một tập lồi đa diện có thể không bị chặn (không giới nội). Một tập lồi
đa diện mà đồng thời là một nón lồi (tương ứng với trường hợp b = 0)
gọi là một nón lồi đa diện. Một tập lồi đa diện bị chặn còn được gọi là
một đa diện lồi. Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường trong R
2
là

những ví dụ cụ thể về đa diện lồi.
Mỗi điểm cực biên của một tập lồi đa diện còn được gọi là một đỉnh
của nó. Tập các đỉnh của C ký hiệu là

C
. Mỗi cạnh vô hạn của một tập
lồi đa diện tương ứng với một phương cực biên của nó.
Cho tập lồi đa diện D = 0 xác định bởi hệ bất phương trình tuyến
tính (1.1). Khi đó mỗi bất phương trình (1.1) gọi là một ràng buộc của
D. Ta nói điểm x
0
∈ D thoả mãn chặt ràng buộc i nếu a
i
, x
0
 = b
i
.
Với mỗi x ∈ D ký hiệu I(x) = {i : a
i
, x = b
i
} là tập chỉ số của
những ràng buộc thoả mãn chặt tại x.
Ký hiệu I
0
= {i : a
i
, x = b
i

} với mọi x ∈ D. Tính chất đặc trưng
của các diện (nói riêng, các đỉnh và cạnh) của D được cho trong định
lý sau :
Định lý 1.1.2. Một tập con khác rỗng F ⊂ D là một diện thực sự của
D khi và chỉ khi
F = {x : a
i
, x = b, a
i
, x ≤ b
i
, i /∈ I}
6
Với I là một tập chỉ số sao cho I
0
⊂ I
1
{1, , m} (I– tập chỉ số xác định
diện F). Hơn nữa, ta có
dimF = n − rank

a
i
: i ∈ I

và dimD = n − rank

a
i
: i ∈ I

0

.
Hệ quả 1.1.3. Nếu D là một tập lồi đa diện xác định bởi hệ (1.1) thì:
a) Điểm x
0
∈ D là một đỉnh của D khi và chỉ khi
rank

a
i
: i ∈ I(x
0
)

= n
, nghĩa là X
0
thoả mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính của hệ (1.1).
b) Nếu một đoạn thẳng (nửa đường thẳng hay cả đường thẳng) T ≤ D
là một cạnh của D thì T được xác định bởi một tập chỉ số I sao cho
rank

a
i
: i ∈ I(x
0
)

= n − 1

Tức là mọi x ∈ T cùng thoả mãn chặt n −1 ràng buộc độc lập tuyến
tính của hệ (1.1). Mỗi tập lồi đa diện chỉ có một sô hữu hạn đỉnh và cạnh
(hữu hạn hay vô hạn). Trong R
n
một đa diện lồi có k + 1(0 ≤ k ≤ 1)
đỉnh độc lập afin gọi là một k – đơn hình.
Định lý 1.1.4.
a) Mỗi đa diện lồi C bằng bao lồi của tất cả các đỉnh của nó C =
convC hay x ∈ C khi và chỉ khi
x = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ + λ
p
v
p
với mọi λ
i
≥ 0, λ
1
+ λ
2
+ + λ
p
= 1 và v

i
(i = 1, , p) là các đỉnh của
C.
b) Với tập lồi đa diện C không giới nội , mỗi x ∈ C có thể biểu diễn
dưới dạng một tổ hợp lồi của các đỉnh của C cộng với một tổ hợp tuyến
tính không âm của các phương cực biên của C, nghĩa là
x ∈ C ⇐⇒ x = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ + λ
p
v
p
+ µ
1
u
1
+ µ
2
u
2
+ + µ
q
u
q

với mọi λ
i
≥ 0, λ
1
+ λ
2
+ + λ
p
= 1, µ
j
≥ 0, p, q ≥ 0 là số nguyên v
i
là các đỉnh của C(i = 1, , p), u
j
(i = 1, , q) là phương của các cạnh
7
vô hạn của C Với tập lồi đa diện C không có đỉnh thì biểu diễn trên chỉ
cần các v
i
∈ C và các u
j
∈ recC (tập các phương lùi xa của C và điểm
gốc O tương đương u
j
∈ nón lùi xa của C)
Định lý trên cho thấy ứng với mỗi tập lồi đa diện C cho trước có hai
nhóm hữu hạn véctơ, sao cho tập lồi ấy chính là tập tất cả các điểm có
thể biểu diễn thành tổng của một tổ hợp lồi của các véctơ thuộc nhóm
thứ nhất và một tổ hợp tuyến tính không âm của các véctơ thuộc nhóm
thứ hai. Các véctơ trong nhóm thứ nhất đều thuộc C, các véctơ trong

nhóm thứ hai đều là các phương vô hạn của C.
Ngược lại, có thể chứng minh được rằng nếu cho trước hai nhóm hữu
hạn véctơ thì tập tất cả các điểm có thể biểu diễn như trên xác định
một tập lồi đa diện.
1.2 Một số khái niệm cơ bản liên quan đến hàm
số tuyến tính
Hàm tuyến tính là một hàm gần lồi - gần lõm và không bị chặn trên
R
n
([1]). Do đó các kết quả lý thuyết cũng như phương pháp tìm cực
tiểu đối với hàm gần lồi - gần lõm đưa ra trong sách “Quy hoạch gần
lồi-gần lõm ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính” ([1]) có thể áp dụng
đối với hàm tuyến tính. Chính vì vậy, trước khi trình bày bài toán quy
hoạch tuyến tính dạng chuẩn và thuật toán nón xoay giải nó, chúng ta
nhắc lại một số khái niệm, định nghĩa, các định lý, hệ quả và các tính
chất cơ bản của hàm gần lồi - gần lõm đã trình bày trong sách “Quy
hoạch gần lồi - gần lõm ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính” ([1]). Việc
chứng minh các định lý, hệ quả và các tính chất này, chúng ta có thể
tìm thấy trong cuốn sách nói trên.
Định nghĩa 1.2.1. Hàm f : R
n
→ R
l
là một hàm tựa lõm (quasi -
8
concave) nếu ∀x, y ∈ R
n
và ∀α ∈ [0, 1] ta luôn có:
f(αx + (1 − α)y) ≥ min{f(x), f(y)}
Định nghĩa 1.2.2. Hàm f : R

n
→ R
l
là một hàm tựa lồi (quasi -
convex) nếu ∀x, y ∈ R
n
và ∀α ∈ [0, 1] ta luôn có:
f(αx + (1 − α)y) ≤ max{f(x), f(y)}
Định nghĩa 1.2.3. Hàm f : R
n
→ R
l
là một hàm gần lõm (almost -
concave) nếu nó là một hàm tựa lõm và thoả mãn: f(αx + (1 − α)y) >
min{f(x), f(y)}, ∀x, y ∈ R
n
, f(x) = f(y) và ∀α ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.2.4. Hàm f : R
n
→ R
l
là một hàm gần lồi (almost -
convex) nếu nó là một hàm tựa lồi và thoả mãn: f(αx + (1 − α)y) <
max{f(x), f(y)}, ∀x, y ∈ R
n
, f(x) = f(y) và ∀α ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.2.5. Hàm f : R
n
→ R
l

là một hàm gần lồi - gần lõm
(almost - convex and almost - concave) nếu nó vừa là một hàm gần lồi
- vừa là một hàm gần lõm.
Từ các định nghĩa trên ta suy ra một số tính chất sau của hàm vừa
tựa lồi vừa tựa lõm:
Tính chất 1.2.6. min{f(x), f(y)} ≥ f(αx+(1−α)y) ≤ max{f(x), f(y)},
∀x, y ∈ R
n
và ∀α ∈ [0, 1].
Tính chất 1.2.7. Nếu f(x) = f(y) thì f(x) = f(αx+(1−α)y) = f(y),
∀α ∈ [0, 1].
Nếu f là một hàm gần lồi - gần lõm thì nó sẽ thoả mãn các tính chất:
Tính chất 1.2.8. Nếu f(x) = f(y) thì f(x) = f(αx+(1−α)y) = f(y),
∀α ∈ R
l
.
9
Tính chất 1.2.9. Nếu f(x) = f(y) thì
min{f(x), f(y)} < f(αx + (1 − α)y) < max{f(x), f(y)},
∀x, y ∈ R
n
và ∀α ∈ (0, 1).
Ta có thể chứng minh được rằng nếu f là một hàm gần lồi thì cực
tiểu địa phương sẽ là cực tiểu toàn cục.
Các định lý sau đây là cơ sở lý luận cho việc xây dựng các thuật toán
sau này.
Định lý 1.2.10. Nếu f là một hàm gần lồi - tựa lõm, và f(x) ≤ f(y)
∀x = y, thì f(x) ≤ f(αx + (1 − α)y), ∀α ≥ 0.
Định lý này cho ta kết luận rằng hàm f gần lồi - tựa lõm và ∀x = y
mà f(x) ≤ f(y) thì x là điểm cực tiểu của f trên tia x + α(y − x)

∀α ≥ 0.
Hệ quả 1.2.11. Nếu f là một hàm gần lồi - tựa lõm, và f(x) ≤ f(x+z)
∀x, z = 0, thì f(x) ≤ f(x + αz), ∀α ≥ 0.
Định lý 1.2.12. Nếu f là một hàm liên tục, gần lồi - tựa lõm, và z
là một điểm tuỳ ý thuộc R
n
, nếu f(y) ≥ f(x) và f(x + z) ≥ f(x) thì
f(y + αz) ≥ f(y) ≥ f(y − αz), ∀α ≥ 0.
Định lý 1.2.13. Nếu f là một hàm vừa tựa lồi vừa tựa lõm trên R
n
,
và z
1
, z
2
, ,z
N
là các điểm tuỳ ý thuộc R
n
ta luôn có:
min{f(z
1
), , f(z
N
)} ≤ f(α
1
z
1
+ + α
1

z
N
) ≤ max{f(z
1
), , f(z
N
)}
∀α
i
∈ [0, 1],
N

i=1
α
i
= 1, i = 1, 2 , N
10
1.3 Khái niệm về miền ràng buộc tuyến tính không
bị chặn, phương vô hạn chấp nhận được và
hướng tăng, giảm của hàm gần lồi - gần lõm
Ta gọi P := {x ∈ R
n
:

A
i
, x

+ b
i

, i = 1, 2, , m}
A
i
là véc tơ dòng và A
i
∈ R
n
, m ≥ n, A
i
(a
1
, a
2
, , a
m
), b
i
∈ R
l
,
i = 1, 2, , m
Tập P xác định như trên gọi là miền rằng buộc tuyến tính và nó
là một miền lồi. Ở đây, chúng ta ký hiệu X, Y  =
n

X=1
x
i
y
i

với X :=
(x
1
, x
2
, , x
n
), Y := (y
1
, y
2
, , y
n
)
Định nghĩa 1.3.1. Miền ràng buộc tuyến tính P được gọi là không bị
chặn nếu nó tồn tại một điểm chấp nhận x
0
thuộc P và một điểm z = 0
sao cho x
0
+ αz ∈ P , ∀α ≥ 0, khi đó điểm z được gọi là phương vô hạn
chấp nhận của P tại x
0
. Tập hợp các điểm x = x
0
+ αz, ∀α ≥ 0 gọi là
tia vô hạn chấp nhận được của P.
Từ định nghĩa này chúng ta dễ dàng chứng minh được các tính chất
sau:
Tính chất 1.3.2. z = O là một phương vô hạn chấp nhận được tại

x
0
∈ P khi và chỉ khi

A
i
, z

≤ 0, i = 1, 2, , m
Tính chất 1.3.3. Nếu z là một phương vô hạn chấp nhận được tại
x
0
∈ P thì z là phương vô hạn chấp nhận được tại mọi điểm x ∈ P .
Định nghĩa 1.3.4.
1. Điểm z = 0 được gọi là một hướng tăng từ x
0
của hàm gần lồi
– gần lõm f nếu f(x
0
) < f(x
0
+ αz) ∀α > 0, hay ta nói f tăng theo
hướng z từ x
0
.
11
2. Điểm z = 0 được gọi là một hướng giảm từ x
0
của hàm gần lồi
– gần lõm f nếu f(x

0
) > f(x
0
+ αz) ∀α > 0, hay ta nói f giảm theo
hướng z từ x
0
.
3. Điểm z = 0 được gọi là một hướng không đổi của f nếu f(x
0
) =
f(x
0
+ αz) ∀α ∈ R
l
.
Từ các định nghĩa trên ta suy ra một vài tính chất sau:
Định lý 1.3.5. Nếu tồn tại α
1
> 0 mà f(x) < f(x + α
1
z) thì z là một
hướng tăng từ x của hàm gần lồi - gần lõm f.
Hệ quả 1.3.6. Nếu tồn tại f(x) < f(x + z) thì z là một hướng tăng từ
x của hàm gần lồi - gần lõm f.
Định lý 1.3.7. Nếu tồn tại α
1
> 0 mà f(x) > f(x + α
1
z) thì z là một
hướng giảm từ x của hàm gần lồi - gần lõm f.

Hệ quả 1.3.8. Nếu tồn tại f(x) > f(x + z) thì z là một hướng giảm
từ x của hàm gần lồi - gần lõm f.
Định nghĩa 1.3.9. Hàm gần lồi – gần lõm f được gọi là không bị chặn
trên R
l
nếu ∀z = 0 và ∀x ∈ R
n
ta có:
1. lim
α→∞
f(x + αz) = +∞, với z là hướng tăng từ x của hàm f.
2. lim
α→∞
f(x + αz) = +∞, với z là hướng giảm từ x của hàm f.
Định lý 1.3.10. f : R
n
→ R
l
là một hàm gần lồi - gần lõm, nếu
f(x
0
) ≤ f(x
0
+ z) thì f(x) ≤ f(x + αz), ∀α > 0, ∀x ∈ R
n
.
Định lý 1.3.10 cho ta kết luận rằng nếu z là một hướng không giảm
của f tại x
0
thì nó cũng là một hướng không giảm của f tại mọi điểm

x thuộc R
n
. Do đó ta gọi z là một hướng không giảm của hàm f. Từ
Định lý 1.3.10 ta dễ dàng chứng minh được hệ quả sau:
Hệ quả 1.3.11. f : R
n
→ R
l
là một hàm gần lồi - gần lõm, nếuf(x
0
) >
f(x
0
+ z) thì z là một hướng giảm của hàm f, ∀x ∈ R
n
, tức là f(x) >
12
f(x + αz), ∀α > 0, ∀x ∈ R
n
. Và ta gọi z là một hướng giảm của hàm
f.
Hệ quả 1.3.12. f : R
n
→ R
l
là một hàm gần lồi - gần lõm, z = 0 là
một hướng tăng của hàm f, khi và chỉ khi f(0) > f(αz), ∀α > 0.
Hệ quả 1.3.13. f : R
n
→ R

l
là một hàm gần lồi - gần lõm, nếuf(x
0
) <
f(x
0
+ z) thì z là một hướng tăng của hàm f, ∀x ∈ R
n
, tức là f(x) <
f(x + αz), ∀α > 0, ∀x ∈ R
n
. Và ta gọi z là một hướng giảm của hàm
f.
Hệ quả 1.3.14. f : R
n
→ R
l
là một hàm gần lồi - gần lõm, z = 0 là
một hướng tăng của hàm f, khi và chỉ khi f(0) < f(αz), ∀α > 0.
Hệ quả 1.3.15. f : R
n
→ R
l
là một hàm gần lồi - gần lõm, và f(x) >
f(y) thì z = x − y là một hướng tăng của hàm f và z = y − x là một
hướng giảm của hàm f
Từ Định lý 1.3.10 và Hệ quả 1.3.11, chúng ta dễ dàng có hệ quả dưới
đây:
Hệ quả 1.3.16. f : R
n

→ R
l
là một hàm gần lồi - gần lõm, nếu z = 0
và f(x
0
) = f(x
0
+ z) tức z là một hướng không đổi của hàm f tại x
0
thì
z là một hướng không đổi của hàm f tại mọi điểm x thuộc R
n
, tức là
f(x) = f(x + αz), ∀α ∈ R
l
, ∀x ∈ R
n
. Và ta nói z là một hướng không
đổi của hàm f
Hệ quả 1.3.17. f : R
n
→ R
l
là một hàm gần lồi - gần lõm, nếu z = 0 là
một hướng không đổi của hàm f, khi và chỉ khi f(0) = f(αz), ∀α ∈ R
l
và α = 0.
Từ Tính chất 1.3.3 và Hệ quả 1.3.16 ta có thể chứng minh dễ dàng
hệ quả sau:
13

Hệ quả 1.3.18. Nếu x = y mà f(x) = f(y) thì ∀α ∈ R
l
và α = 0
chúng ta có z = α(x − y) là hướng không đổi của hàm f và f(u) =
f(u + α(x − y)), ∀u ∈ R
n
, ∀α ∈ R
l
Hệ quả 1.3.19. f : R
n
→ R
l
là một hàm gần lồi - gần lõm, z = 0 là
một hướng không giảm của hàm f, khi và chỉ khi f(0) ≤ f(αz), ∀α ∈ R
l
và α > 0.
1.4 Một số mô hình thực tế
Dưới đây là một vài bài toán quy hoạch tuyến tính thiết lập từ thực
tế quen thuộc có thể đưa về bài toán tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất
phương trình tuyến tính dựa trên một số định lý đối ngẫu trong quy
hoạch tuyến tính.
1.4.1 Bài toán cái túi
Một người du lịch muốn đem một cái túi nặng không quá b kilogram.
Có n loại đồ vật mà anh ta dự định đem theo. Mỗi một đồ vật loại j
có khối lượng a
i
kilogam và giá trị c
j
. Người du lịch muốn chất vào túi
các đồ vật sao cho tổng giá trị đồ vật đem theo là lớn nhất. Ký hiệu: x

j
là số đồ vật loại j sẽ chất vào túi. Ta có bài toán sau :
n

j=1
c
j
x
j
→ max
n

j=1
a
j
x
j
≤ b
x
j
≥ 0, x
j
: nguyên, j = 1, 2, , n
Đây là bài toán quy hoạch nguyên.
14
1.4.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất (Cực đại tổng lãi suất )
Bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu được phát biểu như sau:
Giả sử một xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm và sử dụng m loại
nguyên liệu khác nhau. Ta đưa vào các kí hiệu sau:
x

j
: là lượng sản phẩm loại j(j = 1, 2 , n) mà xí nghiệp sản xuất,
c
j
: là tiền lãi (giá bán) đối với một đơn vị sản phẩm j,
a
ij
: là lượng suất tài nguyên loại i để sản xuất một đơn vị sản phẩm
loại j
b
i
: là lượng dự trữ tài nguyên loại i(i = 1, 2 , n)
Trong các điều kiện đã cho, hãy xác định các giá trị x
j
, j sao cho tổng
lãi suất (hay tổng giá bán) là lớn nhất với số tài nguyên hiện có.
Mô hình toán học có dạng bài toán quy hoạch tuyến tính sau :
n

j=1
c
j
x
j
→ max
Với các điều kiện:
n

j=1
a

ij
x
j
≤ b
i
(i = 1, 2, , n)
x
j
≥ 0, j = 1, 2, , n
1.4.3 Bài toán mua (thuê) máy bay tối ưu
Để mở rộng hoạt động, hãng hàng không dự định mua (thuê) K loại
máy bay (B777, B767, A321, A330, A320, AT7, ) ta gọi tương ứng là
loại máy bay k(k = 1, 2, . . . , K). máy bay loại k có giá mua (thuê) là c
k
và có thời gian sử dụng là T
k
năm. Hãng đự định mua (thuê) tối đa là
N máy bay trong các loại máy bay trên với số vốn đầu tư hiện có là V ,
Bài toán cần giải quyết là hãng hàng không nên mua (thuê) bao nhiêu
máy bay mỗi loại để tổng thời gian sử dụng là nhiều nhất?
15
Ta gọi x
k
là số lượng máy bay loại k cần mua (thuê), khi đó mô hình
bài toán đặt ra là:
M =
K

k=1
T

k
.x
k
→ max
Với các ràng buộc
K

k=1
x
k
≤ N
K

k=1
c
k
.x
k
≤ V
x
k
≥ 0, k = 1, 2, , K, x
k
: nguyên
Đây là một bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn nguyên.
Chúng ta thấy những mô hình bài toán thực tế trên đều có lớp bài
toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn.
1.5 Dạng chuẩn và dạng chính tắc của bài toán
quy hoạch tuyến tính
1.5.1 Dạng chuẩn và dạng chính tắc

Người ta thường xét bài toán quy hoạch tuyến tính dưới hai dạng
sau:
- Dạng chuẩn:
n

j=1
c
j
x
j
→ max,
n

j=1
a
ij
x
j
≤ b
i
, i = 1, , m,
x
j
≥ 0, j = 1, , n.
16
- Dạng chính tắc:
n

j=1
c

j
x
j
→ max,
n

j=1
a
ij
x
j
= b
i
, i = 1, , m,
x
j
≥ 0, j = 1, n.
1.5.2 Đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chuẩn và
dạng chính tắc
Bất kỳ quy hoạch tuyến tính nào cũng có thể đưa về một trong hai
dạng chuẩn hoặc chính tắc nhờ phép biến đổi tuyến tính sau:
1. Một ràng buộc:
n

j=1
a
ij
x
j
≥ b

i
,
Có thể đưa về ràng buộc:
−
n

j=1
a
ij
x
j
≤ −b
i
,
bằng cách nhân hai vế với (-1) và viết lại:
n

j=1
a

ij
x
j
≤ b

i
,
2. Một ràng buộc đẳng thức:
n


j=1
a
ij
x
j
= b
i
,
Có thể thay bằng hai ràng buộc bất đẳng thức:
n

j=1
a
ij
x
j
≤ b
i
; −
n

j=1
a
ij
x
j
≤ −b
i
17
3. Một biến x không bị ràng buộc dấu có thể thay bởi hiệu của hai

biến không âm bằng cách đặt:
x
j
= x
+
j
− x
j
−
với x
+
j
≥ 0, x
+
j
≤ 0,
4. Một ràng buộc bất đẳng thức:
n

j=1
a
ij
x
j
≤ b
i
,
Có thể đưa về ràng buộc đẳng thức bằng cách đưa vào biến phụ
y
i

≥ 0:
n

j=1
a
ij
x
j
+ y
j
= b
i
Về nguyên tắc, áp dụng nhiều lần các phép biến đổi 1,2 và 3 ta có thể
đưa một bài toán QHTT bất kỳ về dạng chuẩn, sau đó áp dụng nhiều
lần phép biến đổi 4 ta sẽ đưa nó về dạng chính tắc.
1.6 Giới thiệu một số phương pháp giải bài toán
quy hoạch tuyến tính
1.6.1 Giới thiệu phương pháp đơn hình
Xét bài toán QHTT dạng chính tắc sau:
< c, x >→ max
Ax = b
x ≥ 0
Thuật toán đơn hình
Bước 1: Xây dựng bảng đơn hình xuất phát. Tìm một phương án cực
biên xuất phát x và cơ sở của nó A
j
, j ∈ J