Mặt trò xoay trong không gian

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======



ĐỖ THỊ KIM HOA



MẶT TRÒN XOAY TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. GVC. PHAN HỒNG TRƢỜNG





HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo
tận tình của thầy giáo Ths.GVC. Phan Hồng Trƣờng khóa luận của em nay
đã được hoàn thành
Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo-
Ths.GVC. Phan Hồng Trƣờng. Nhân dịp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn

chân thành đến thầy, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý
kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này. Đồng thời em xin
cám ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán- Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
cám ơn gia đình bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và
hoàn thành khóa luận.
Do sự hạn chế về thời gian cũng như năng lực của bản thân nên khóa
luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự đánh giá phê bình và
góp ý của các thầy cô giáo và bạn bè
Em xin chân thành cảm ơn!


Hµ Néi, th¸ng 05 n¨m 2014
Sinh viªn thùc hiÖn


Đỗ Thị Kim Hoa







LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam kết khóa luận “ Mặt tròn xoay trong không gian”
Khóa luận tốt nghiệp này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
Ths.GVC. Phan Hồng Trƣờng.
Đây là kết quả nghiên cứu của riêng em, không có sự trùng lặp với bất kì
kết quả nào khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.


Sinh viªn thùc hiÖn


Đỗ Thị Kim Hoa













MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Đối tượng nghiên cứu,phạm vi nghiên cứu 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
5. Phương pháp nghiên cứu 2
Chương 1: Mặt trong không gian E
3

3
1.1.Mảnh tham số. Mảnh. Mảnh hình học 3
1.1.1. Mảnh tham số 3
1.1.2. Mảnh tham số chính quy 3
1.1.3. Mảnh 5
1.1.4. Mảnh hình học 6
1.2. Đa tạp hai chiều trong E
n
12
1.2.1.Định nghĩa 12
1.2.2. Tiêu chuẩn nhận biết đa tạp hai chiều trong E
n
12
1.2.3. Mặt xác định bởi phương trình ẩn trong E
3
13
1.3. Đa tạp hai chiều định hướng trong E
3
14
1.3.1. Trường vectơ và trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp. 14
1.3.2. Hướng trên đa tạp hai chiều trong E
n
14
1.3.3.Tính chất 15
1.4. Ánh xạ Weingarten (vain-gac-ten) và độ cong của mặt định hướng trong E
3
.
16
1.4.1. Ánh xạ Weingarten 16
1.4.2. Độ cong Gauss, độ cong trung bình của mặt định hướng 17

1.4.3. Các công thức tính độ cong 18
1.4.4. Độ cong pháp dạng. Công thức Meusnier ( Mơ- nhi- ê) và công thức
Euler ( Ơ- le) 21
1.5. Những đường đáng chú ý trên mặt định hướng trong E
3
22
1.5.1. Đường chính khúc 22
1.5.2.Đường tiêm cận 25
1.5.3.Độ cong trắc địa của cung trên mặt và đường tiền trắc địa trên mặt S
trong E
3
26
1.5.4. Cung trắc địa. 28
Chương 2: Một số mặt tròn xoay trong E
3
29
2.1. Mặt Cầu 29
2.1.1.Phương trình tham số hóa 29
2.1.2. Định hướng mặt 29
2.1.3.Ánh xạ Weingarten 29
2.1.4. Các dạng cơ bản I và II. Độ cong Gauss và độ cong trung bình 30
2.1.5. Những đường đáng chú ý 31
2.2. Mặt trụ tròn xoay 33
2.2.1. Phương trình tham số hóa 33
2.2.2. Dạng cơ bản I và II. Độ cong Gauss và độ cong trung bình 33
2.2.3. Những đường đáng chú ý 34
2.3. Mặt ellipsoid tròn xoay 37
2.3.1. Phương trình tham số hóa 37
2.3.2. Dạng cơ bản I và II. Độ cong Gauss và độ cong trung bình 38
2.4.Mặt paraboloid tròn xoay 40

2.4.1. Tham số hóa 40
2.4.2.Dạng cơ bản I và II. Độ cong Gauss và độ cong trung bình 41
2.4.3. Những đường đáng chú ý trên mặt paraboloid tròn xoay 42
2.5. Mặt hyperboloid 1 tầng tròn xoay 43
2.5.1. Tham số hóa 43
2.5.2.Dạng cơ bản I và II. Độ cong Gauss và độ cong trung bình 43
2.5.3. Những đường đáng chú ý 44
2.6. Mặt hyperboloid 2 tầng tròn xoay 45
2.6.1.Tham số hóa 45
2.6.2. Dạng cơ bản I và II. Độ cong Gauss và độ cong trung bình 46
2.6.3. Những đường đáng chú ý 47
2.7. Mặt xuyến 47
2.7.1. Mảnh tham số 47
2.7.2. Dạng cơ bản I và II.Độ cong Gauss và độ cong trung bình 48
2.7.3. Những đường đáng chú ý 49
2.8. Mặt nón tròn xoay 49
2.8.1.Tham số hóa 49
2.8.2. Độ cong Grauss và độ cong trung bình 50
2.8.3.Những đường đáng chú ý 51
KẾT LUẬN 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

1
LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là môn khoa học nghiên cứu về tính chất định tính và
định lượng các hình.Tùy vào phương pháp nghiên cứu khác nhau mà có
những ngành hình học khác nhau.
Hình học vi phân là một nhánh của toán học sử dụng các công
cụ phép tính vi phân, tích phân cũng như đại số tuyến tính và đại số đa

tuyến để cứu các vấn đề hình học.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về hình học vi phân và đặc
biệt lí thuyết mặt trong không gian E
3
, được sự hướng dẫn của thầy em
quyết định đi tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về ứng dụng lí thuyết cho
các mặt tròn xoay trong không gian E
3

Đề tài khóa luận “ Mặt tròn xoay trong không gian ”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của khóa luận là nghiên cứu và ứng dụng
lí thuyết mặt trong
3
E
vào lớp mặt tròn xoay.
3. Đối tƣợng nghiên cứu,phạm vi nghiên cứu
a,Đối tƣợng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là: lí thuyết mặt và ứng dụng lí thuyết
đó vào lớp mặt tròn xoay trong không gian E
3
b,Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu là: ứng dụng lí thuyết mặt E
3
trong lớp mặt
tròn xoay.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về mặt trong E
3

Nghiên cứu lí thuyết mặt tròn xoay trong không gian
2
Nghiên cứu ứng dụng lí thuyết mặt trong không gian E
3
vào mặt
tròn xoay trong không gian.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Cơ sở lí luận,phân tích tổng hợp,đánh giá và đọc sách.



3
Chƣơng 1: Mặt trong không gian E
3
1.1.Mảnh tham số. Mảnh. Mảnh hình học
1.1.1. Mảnh tham số
a, Cho U là một tập mở khác rỗng của R
2
. Ta gọi mỗi ánh xạ khả vi
:
( , ) ( , )
n
r U E
u v r u v


là một mảnh tham số trong E
n

b, Các đường tọa độ:

Với mỗi điểm
( , )
oo
u v U
thì các tập
   
( , ) , ( , ) U
oo
I u R u v U J v R u v     
là những tập mở trong R.
Khi đó, mỗi ánh xạ
11
22
: , ( ) ( , )
: , ( ) ( , )
n
o
n
o
r I E u r u r u v
r J E v r v r u v
  
  

Là hợp của những cung tham số nào đó trong E
n
. Ta gọi chúng là hai
cung tọa độ hay hai đường tọa độ của mảnh tham số r tại điểm
( , ).
oo

uv

Cung r
1
còn gọi là cung v= v
o
(hay đường tọa độ u đi qua (u
o
,v
o
))
Cung r
2
còn gọi là cung u= u
o
(hay đường tọa độ v đi qua (u
o
,v
o
)).
1.1.2. Mảnh tham số chính quy
1.1.2.1. Các định nghĩa
Các trường vectơ tiếp xúc
''
: ( , )
u u o
r u r u v
dọc đường tọa độ
u,
''

: ( , )
v v o
r v r u v
dọc đường tọa độ v, khi cho
( , )
oo
uv
thay đổi ta được
các trường vectơ
''
( , ) ( , ),r ( , )
uv
u v r u v u v
gọi là những trường dọc r.
Điểm
( , )
oo
uv
gọi là một điểm chính quy của mảnh tham số r nếu r dìm
tại
( , )
oo
uv
tức là nếu hai vectơ
''
( , ),r ( , )
u o o v o o
r u v u v
độc lập tuyến tính
Một điểm không chính quy của mảnh tham số r sẽ được gọi là điểm kì dị

Mảnh tham số r mà mọi điểm của nó đều là điểm chính quy được gọi là
mảnh tham số chính quy.
Giả sử
( , )
oo
uv
là một điểm chính quy của mảnh tham số
4

:
( , ) ( , )
n
r U E
u v r u v



Đặt
( , ), ( )
oo
p r u v S r U
thì không gian vectơ hai chiều sinh ra
bởi hệ hai vectơ độc lập tuyến tính
''
( , ), ( , )
u o o v o o
r u v r u v
được gọi là vectơ
tiếp xúc với S tại p và kí hiệu T
p

S. Như vậy
'
( , ), ( , ) .
p u o o v o o
T S r u v r u v

Mặt phẳng α trong E
n
đi qua p và có không gian vectơ chỉ phương
là T
p
S được gọi là tiếp xúc của S tại p (hay còn gọi là tiếp diện của S tại
p).
Khi n=3 thì đường thẳng đi qua p và thẳng góc với tiếp diện của S tại p
được gọi là một pháp tuyến của S tại p.
Trong hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz của E
3
, nếu mô tả r(u, v) bởi các
hàm tọa độ:
 
(u,v) ( , ), ( , ),z(u,v)r x u v y u v
tiếp diện của mảnh tham số r
tại
( , ) ( , , )
o o o o o
r u v x y z
có phương trình là:

' ' '
' ' '

( , ) ( , ) ( , ) 0
( , ) ( , ) ( , )
o o o
u o o u o o u o o
v o o v o o v o o
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
  


Còn pháp tuyến của mảnh tham số r tại
( , ) ( , , )
o o o o o
r u v x y z
có phương
trình là:
''
''
( , ) ( , )
( , ) ( , )
o
u o o u o o
v o o v o o
xx
y u v z u v
y u v z u v


''

''
( , ) ( , )
( , ) ( , )
o
u o o u o o
v o o v o o
yy
z u v x u v
z u v x u v


''
''
( , ) ( , )
( , ) ( , )
o
u o o u o o
v o o v o o
zz
x u v y u v
x u v y u v


Ví dụ:
Cho điểm O
,,
nn
EE



Ánh xạ
5

2
:
( , ) ( , )
n
r R E
u v r u v O u v


   

Là một mảnh tham số. Ta có
' ' 2
, , ( , )
uv
r r u v R

   

Khi
 
,

độc lập tuyến tính thì r là mảnh tham số chính quy và
S=r(R
2
) là một mặt phẳng của E

n
đi qua O và có không gian vectơ chỉ
phương là
,


1.1.3. Mảnh
a, Hai mảnh tham số tƣơng đƣơng:
Cho U và
U
là hai tập mở (khác rỗng ) trong R
2
. Ánh xạ
:UU


được gọi là một vi phôi nếu λ là một ánh xạ đồng phôi, khả vi
và có ánh xạ ngược
1
:UU



cũng khả vi.
Giả sử
:UU



12
( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ))u v u v u v u v
  


Thì do λ là vi phôi nên ∆ =det
11
22
0
uv
uv













với
( , )u v U

Khi đó, nếu ∆ > 0
( , )u v U
ta nói λ là vi phôi bảo toàn hướng,

nếu
∆ < 0
( , )u v U
, ta nói λ là vi phôi đảo hướng.
Cho hai mảnh tham số trong E
n
là
:
n
r U E
và
:
n
r U E
. Nếu
có một vi phôi
:UU


sao cho
rr


thì ta nói mảnh tham số r tương đương
với mảnh tham số
r
và vi phôi λ gọi là phép biến đổi tham số giữa U và
U
(hay từ r sang
r

)
6
Nếu đòi hỏi λ còn là một vi phôi bảo toàn hướng thì ta nói mảnh
tham số r tương đương định hướng với mảnh tham số
r

b, Định nghĩa mảnh
Mỗi lớp tương đương của qua hệ tương đương (tương đương định
hướng) nói trên được gọi là một mảnh (mảnh định hướng) trong E
n
.
Mỗi mảnh tham số trong lớp tương đương – mảnh đó được gọi là
mảnh tham số hóa của mảnh
Để cho một mảnh ( hay mảnh định hướng) trong E
n
ta chỉ cần cho
một mảnh tham số đại diện cho nó
Đối với mảnh định hướng trong E
3
có hướng xác định trong tham
số hóa
( , ) ( , )u v r u v
thì tại điểm chính quy
( , )uv
của nó vectơ
''
''
uv
uv
rr

n
rr



không phụ thuộc vào tham số hóa đã chọn và là
vectơ chỉ phương của pháp tuyến của mảnh tại điểm đó.
1.1.4. Mảnh hình học
a, Định nghĩa
Tập con S trong E
n
được gọi là một mảnh hình học trong E
n
nếu có ánh
xạ khả vi
:
n
r U E
,
( , ) ( , )u v r u v
từ tập mở trong R
2
vào E
n
thỏa mãn
ba điều kiện sau:
a
1
) r(U)=S
a

2
)
 
''
,
uv
rr
là hệ vectơ độc lập tuyến tính với
( , )u v U
tức r là một ánh
xạ dìm.
a
3
) r là một đơn ánh liên tục và ánh xạ ngược
1
: ( )r S r U U


cũng
liên tục tức r là một phép đồng phôi lên ảnh.
Lúc đó r được gọi là tham số hóa của mảnh hình học S.
b,Mảnh hình học cho bởi tham số kiểu đồ thị
7
Giả sử trong E
n
đã cho một hệ tọa độ trong afin
 
12
; , , ,
n

O e e e
và tọa độ
của điểm kí hiệu là
 
12
, , ,
n
x x x
. Với U là một tập mở trong R
2
, nếu có
n-2 hàm số khả vi
:
( , ) ( , )
i
i
f U R
u v f u v


i= 3,4…,n
Thì ảnh của mảnh tham số
:U E , ( )
n
r S r U

3
( , ) ( , ) ( , , ( , ), , ( , ))
n
u v r u v u v f u v f u v

Là một mảnh hình học trong E
n
và r gọi là tham số hóa kiểu đồ thị
của mảnh hình học đó.
Cũng nói, mảnh hình học này được cho bởi một tham số kiểu đồ
thị
Thật vậy, xét S=r(U) nên điều kiên a
1
được thỏa mãn r là một dìm
vì
' ' '
3
(1,0,(f ) , ,( ) )
u u n u
rf

' ' '
3
(0,1,( ) , ,( ) )
v v n v
r f f

Là hệ vectơ độc lập tuyến tính tại mọi (u, v) ∈ U nên điều kiện a
2

thỏa mãn.
Nếu
1 1 2 2 1 1 3 1 1 1 1 2 2 3 2 2 2 2
( , ) ( , ),(u , , ( , ), , ( , )) ( , , ( , ), , ( , ))

nn
r u v r u v v f u v f u v u v f u v f u v
suy ra
1 2 1 2
,u u v v
tức
1 1 2 2
( , ) ( , )u v u v
. Vậy r là một đơn ánh. Mà vì r
khả vi liên tục.
Xét ánh xạ ngược
1
:S r(U) Ur



Với điểm
3
( , , ( , ), , ( , )) ( )
o o o o o n o o
p u v f u v f u v r U
thì với điểm bất
kì
3
( , , ( , ), , ( , )) ( )
n
p u v f u v f u v r U
thì ta có
11
( ) ( , ), ( ) ( , )

o o o
r p u v r p u v



Lúc đó
8
1, ) 1
22
2 2 2 2
33
( ( ), ( ))
( ) ( )
( ) ( ) ( ( , ) f ( , )) ( ( , ) ( , ))
p
o
oo
o o n n
d r p r p
u u v v
u u v v f u v u v f u v f u v

    
       


( , )
o
d p p

Nên với ∀ε > 0 chỉ cần chọn


ta có
()p r U
mà
( , )
o
d p p
<
δ ta đều có
11
( ( ), ( ))
o
d r p r p

< ε. Do
1
r

liên tục tại
o
p
nên ta có
1
r

liên tục
tại r(U). Điều kiện a
3

được thỏa mãn.
Vậy S=r(U) là một mảnh hình học
Khi n=3 thì S chính là đồ thị của hàm số khả vi
33
: ,( , ) ( , )f U R u v f u v

c,Tính chất mảnh hình học
Tính chất 1:
Nếu S là một mảnh hình học trong E
n
và
:
n
r U E
là một tham
số hóa của S thì với mỗi tập mở
UU
ta cũng có tập
()S r U
là một
mảnh hình học với tham số hóa
:
n
U
r U E
và
S
là một tập con của S
Tính chất 2:
Giả sử S là một mảnh hình học trong E

n
và r: U→ E
n
là một tham
số hóa của nó. Khi đó với mỗi
()
o
p S r U
đều có tập mở
UU
sao
cho
()S r U
là một mảnh hình học chứa p
o
. Hơn nữa,
S
có thể chọn
cho bởi một tham số hóa kiểu đồ thị tương đương với tham số hóa
U
r

của nó
Chứng minh:
Lấy hệ tọa độ afin
 
12
, , , ,
n
O e e e

trong
n
E
với tọa độ afin của
điểm kí hiệu
12
( , , , )
n
x x x
, giả sử có:
9
12
( , ) ( ( , ), ( , ), , ( , ))
n
r u v x u v x u v x u v
với
( , )u v U
và giả sử
( , )
o o o
p r u v

Ta có
12
'
, , ,
n
u
x x x
r

u u u

  


  


12
'
, , ,
n
v
x x x
r
v v v

  


  


Vì hệ
 
''
,
uv
rr
độc lập tuyến tính, đổi chỉ số tọa độ afin nếu cần, ta

có thể coi:
11
22
det 0
xx
uv
xx
uv





  





tại
( , )
oo
uv
(1)
Lúc đó xét ánh xạ
2 1 2
: ,( , ) ( , ) ( ( , ) ( , ))U R u v u v x u v x u v

  

Do điều kiện (1) theo định lí hàm ngược, có tập mở
,U U U

chứa
( , )
oo
uv
sao cho
: ( )U U V


là một vi phôi, tức có vi phôi
ngược
1
:VU




1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2
( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ))x x x x x x x x
  



1 1 1 1 2 2 1 2
( ( , ), ( , ))x x x x x x


và

2 2 1 1 2 2 1 2
( ( , ), ( , ))x x x x x x



Bây giờ
1
:
n
r r V E



sẽ có dạng:
1 2 1 2 3 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
( , ) ( , , ( ( , ), ( , )), , ( ( , ), ( , )))
n
x x x x x x x x x x x x x x
   


tức
r
là một tham số hóa kiểu đồ thị của mảnh hình học
1
( ) ( )( ) ( )r V r V r U



rõ ràng

,
U
rr
là hai mảnh tham số hóa
tương đương, tức chúng cùng tham số hóa của mảnh hình học
S
.
Tính chất 3
Hai tham số hóa cùng một mảnh hình học thì luôn tương đương
với nhau.
Chứng minh:
10
Vẫn xét như
n
E
một hệ tọa độ afin như trong phép chứng minh
tính chất 2. Giả sử
:
n
r U E
và
:
n
r U E
cùng là một tham số hóa của
mảnh hình học S thì ta có
( ) ( )r U S r U
và
1
:r r U U




là một
phép đồng phôi. Để chứng minh r và
r
là hai mảnh tham số hóa tương
đương ta đi chứng minh
1
,


khả vi. Ta chứng minh

khả vi, còn
1



khả vi thì ta chứng minh tương tự vì
11
rr




Để chứng minh

khả vi tại điểm
( , )u v U

ta chỉ cần xét một lân
cận mở (u, v) cho nên không làm giảm tính tổng quát ta có thể coi
r
là
một tham số hóa kiểu đồ thị:
1 2 1 2 3 1 2 1 2
:
( , ) ( , , ( , ), , ( , ))
n
n
r U E
x x r x x x x x x




Còn
12
:
( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ), , ( , ))
n
n
r U E
u v r u v x u v x u v x u v



Khi ấy nếu
:UU




12
( , ) ( , ) ( (u,v), ( , ))u v u v u v
  

thì từ điều kiện
1
rr



suy ra
rr


và từ đó
1 1 2 2
( , ) ( , ), ( , ) ( , )u v x u v u v x u v


mà vì
12
( , ), ( , )x u v x u v
đều là những hàm số khả vi nên λ khả vi
Tính chất 4
Cho S là một mảnh hình học trong E
n
xác định bởi tham số hóa
: , ( )

n
r U E r U S
. Gọi
:S E
n
j 
là một ánh xạ nhúng chính tắc: j(p)=p
với ∀ p∈ S. V là một tập mở trong E
m
và
:f V S
là một ánh xạ nào
đó.
Khi ấy, ánh xạ
:
n
j f V E
là một ánh xạ khả vi khi và chỉ khi
ánh xạ
1
:r f V U


là ánh xạ khả vi
Chứng minh:
11
Vẫn xét trong
n
E
một hệ tọa độ afin như trong phép chứng minh tính

chất 2.
Dễ thấy rằng, do r là một dìm đồng phôi lên ảnh nên f liên tục khi và chỉ
khi
1
rf

liên tục. Vì tính chất khả vi và tính chất địa phương nên
không làm giảm tính tổng quát ta có thể coi r là một tham số hóa kiểu đồ
thị:
1 2 1 2 3 1 2 1 2
:
( , ) ( , , ( , ), , ( , ))
n
n
r U E
x x r x x x x x x




Giả sử
:
n
j f V E

12
( )( ) (f ( ), ( ), , ( ))
n
q j f q q f q f q
thì

1 1 1 2 1 2
: , ( )(q) (f ( ), ( )) ( , )r f V U q r f q f q x x

   

Do đó, nếu
jf
khả vi thì
12
,ff
khả vi suy ra
1
rf

khả vi
Ngược lại nếu
1
rf

khả vi thì
12
,ff
khả vi. Khi đó với mọi k ≥ 3
ta có
12
( ) ( ( ), ( ))
kk
f q f q f q



nên
k
f
cũng khả vi. Vây
jf
khả vi
Tính chất 5
Cho S là một mảnh hình học trong E
n
xác định bởi tham số hóa r:
U→ E
n
và cung tham số
:
n
JE


có ảnh
( ) ( )J r U S


. Lúc đó, có
một và chỉ một cung tham số
:JU


sao cho
r




Chứng minh:
Xét
1
:r J U



thì theo tính chất 4 ta có

khả vi, rõ ràng
ánh xạ

thỏa mãn
r


thì
1
r



nên ánh xạ

như thế là duy
nhất
d, Hệ quả
Do mọi điểm của mảnh hình học đều là điểm chính quy và hai

tham số hóa bất kì của cùng một mảnh hình học luôn tương đương nên ta
12
luôn có thể nói đến tiếp diện của một mảnh hình học tại một điểm bất kì
của nó cũng như không gian vectơ tiếp xúc tại một điểm bất kì của nó tại
điểm p thuộc mảnh hình học S thì không gian ấy là:
 
n
pp
T S T E


(


không gian vectơ chỉ phương của tiếp
diện tại p của S)
1.2. Đa tạp hai chiều trong E
n

1.2.1.Định nghĩa
a, Định nghĩa
Cho S là một tập con khác rỗng của E
n
. Nếu với mỗi điểm p ∈ S
đều có tập mở V trong E
n
, V chứa p sao cho V ∩ S là một mảnh hình học
trong E
n
thì S là một đa tạp hai chiều trong

n
E
. Mỗi tham số hóa của
mảnh hình học V ∩ S được gọi là một tham số hóa địa phương của S tại
điểm p. Mỗi đa tạp hai chiều còn gọi đơn giản là một mảnh.
Ví dụ:
Mỗi mảnh hình học đều là đa tạp hai chiều
1.2.2. Tiêu chuẩn nhận biết đa tạp hai chiều trong E
n

a, Cho tọa độ afin (x
1
,x
2
,…, x
n
) trong E
n
thì tập con không rỗng S
của E
n
là một đa tạp hai chiều trong E
n
khi và chỉ khi mỗi điểm p  S có
lân cận mở (trong S) là môt mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị
có dạng (x
1
, x
2
) → r(x

1
, x
2
) = (x
1
,x
2
,φ
3
(x
1
, x
2
),…, φ
n
(x
1
, x
2
)).
b, Tập con không rỗng S trong E
3
là một đa tạp hai chiều trong E
3

khi và chỉ khi với mỗi điểm p
o
 S, có một tập mở V trong E
3
, V chứa

p
o
và một hàm số khả vi
: ,( , , ) ( , , )V R x y z x y z


sao cho với mọi p ∈ V đều có hạng
( ), ( ), ( ) 1ppp
x y z





  

và
1
( ( ))
o
S V p




13
Thực vậy, nếu S là đa tạp 2 chiều trong E
3
với tọa độ afin
(x

1
,x
2
,x
3
) thì mỗi p  S có lân cận mở là đồ thị của hàm số (x
1
,x
2
) →
ψ(x
1
,x
2
) = x
3
khi đó φ là hàm số
Ví dụ:
Mặt elipxoit trong E
3
là một đa tạp hai chiều
Thật vậy trong hệ tọa đô afin
Oxyz
của E
3
, elipxoit S có phương
trình
2 2 2
2 2 2
1

x y z
a b c
  

Trong dố a,b,c là hằng số dương. Với mỗi
( , , )
o o o o
p x y z S
lấy
 
3
\ (0,0,0)VE
thì V là tập mở trong E
3
chứa p
o
, xét hàm số
2 2 2
2 2 2
: ,( , , ) ( , , ) 1
x y z
V R x y z x y z
a b c

     
thì

khả vi, hạng

2 2 2

2 2 2
( ) ( ) ( ) 1
x y z
p p p rank
x y z a b c





   
  


với p=(x,y,z) ∈ V,(x, y,z)
≠ (0,0,0). Rõ ràng
( ) 0
o
p


còn S ∩ V=φ
-1
(0). Do đó S là đa tạp hai
chiều
1.2.3. Mặt xác định bởi phƣơng trình ẩn trong E
3

a, Định nghĩa
Trong E

3
với hệ tọa độ afin Oxyz, cho hàm số khả vi φ xác định
trên tập mở V của E
3
,
: ,(x,y,z) (x,y,z)VR



Tập hợp S=φ
-1
(0)=
 
( , , ) \ ( , , ) 0p x y z V x y z

  
được gọi là một
mặt trong E
3
được xác định bởi phương trình
( , , ) 0x y z



Điểm p ∈ S mà tại đó
( ) ( ) ( ) 0ppp
x y z




  
được gọi là một
điểm kì dị của mặt đó.
14
1.3. Đa tạp hai chiều định hƣớng trong E
3

1.3.1. Trƣờng vectơ và trƣờng vectơ tiếp xúc trên đa tạp.
Cho mảnh tham số r : U → E
n
. Ta gọi mỗi ánh xạ
( , )
: ,( , ) ( , ) ( ( , ),X(u,v))
nn
r u v
X U TE u v X u v r u v T E   
được gọi là
một trường vectơ dọc mảnh tham số r. Ta nói X là trường vectơ khả vi
lớp C
l
khi
X
là hàm vectơ khả vi lớp C
l
.
Ví dụ;
' ' '
: ,( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ))
n
u r u

r U TE u v r u v r u v r u v  

' ' '
: ,( , ) ( , ) (r(u,v),r ( , ))
n
v v v
r U TE u v r u v u v  

Là những trường vectơ dọc tham số r
Cho S là một đa tạp hai chiều trong E
n
Ta gọi mỗi ánh xạ
: , ( ) ( ,X(p)) T
nn
p
X S TE p X p p E   
là một
trường vectơ trên đa tạp S.
Ta nói trường vectơ X trên S là trường vectơ khả vi nếu với mọi
tham số hóa địa phương r:U → E
n
của S ta đều có
Xr
là trường vectơ
của mảnh tham số r
Trường vectơ X trên đa tạp S mà với mỗi p ∈ S ta đều có
( ) ( , ( ))
p
X p p X p T S
tức X(p) là vectơ tiếp xúc tại p của S được gọi là

một trường vectơ tiếp xúc trên S.
Khi n=3, trường vectơ X trên đa tạp trên E
3
mà với mỗi p ∈ S ta
đều có X(p) trực giao với T
p
S được gọi là trường vectơ trên S.
1.3.2. Hƣớng trên đa tạp hai chiều trong E
n

Cho S là một đa tạp hai chiều trong E
n
. Giả sử với mỗi p
o
∈
S đều có thể lấy trong không gian vectơ T
p
S một cơ sở
 
00
,
pp

sao
cho, sao cho có một tham số hóa địa phương của S tại p
o
là r: U → E
n

thỏa mãn, với ∀ (u,v) ∈ U, p=r(u, v) thì hai cơ sở

 
00
,
pp

và
15
 
( ), ( )
uv
R p R p
cùng hướng. Khi đó ta nói S là đa tạp hai chiều định
hướng dương được. Kí hiệu
0p
D
là hướng của
0p
TS
xác định bởi cơ sở
 
00
,
pp

thì ta gọi họ
 
00
,p
p
D D S

là một hướng của S. Tham số r:
U → E
n
nói trong định nghĩa gọi là tham số hóa tương thích. Một đa tạp
hai chiều có hướng còn gọi là một mặt định hướng.
1.3.3.Tính chất
a, Mỗi mảnh hình học trong E
n
đều định hướng được. Đó là mảnh
hình học có một tham số hóa địa phương chung cho tất cả các mảnh của
điểm đó.
b, Đa tạp hai chiều S trong E
n
định hướng được khi và chỉ khi có
họ tham số hóa địa phương
11
:
n
r U E
của S sao cho
(U )
ii
i
rS
và
nếu
( ) ( )
i i j j
r U r U 
thì thu hẹp trên giao đó, hai tham số hóa r

i
và r
j

là tương đương định hướng
c, Một đa tạp hai chiều S trong E
3
có hướng, là đa tạp định hướng
được khi và chỉ khi trên S có một trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi.
Thật vậy, nếu trên S có một hướng
 
p
DD
thì gọi
3
:U
pp
rE

là tham số hóa tương thích với hướng D
p
thì trường vectơ pháp tuyến
đơn vị
uv
uv
RR
n
RR




là trường vectơ khả vi trên S.
Ngược lại, giả sử có trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi
3
:n S TE
thì với mỗi p∈ S luôn tìm được tham số hóa địa phương
3
:
pp
r U E
sao cho cơ sở
 
''
,,
u
v
r r n
và cơ sở
 
,,i j k
xác định hướng
của
3
E
là xác định cùng một hướng
16
1.4. Ánh xạ Weingarten (vain-gac-ten) và độ cong của mặt định
hƣớng trong E
3
.

1.4.1. Ánh xạ Weingarten
a, Định nghĩa
Cho S là một đa tạp hai chiều trong E
3
định hướng bởi trường
vectơ pháp tuyến đơn vị n khả vi trên S. Với mỗi p ∈S, gọi r:U→ E
n
là
tham số hóa địa phương của S tại p tương thích với định hướng. Với α ∈
T
p
S, có cung tham số sao cho
'
( ), ( )
oo
p t t
  

ta có cung tham số
duy nhất
: , ( ( ), ( ))J U t u t v t


sao cho
r


. Kí hiệu

''

( ) (t ) ( ( ))( )
oo
D n n n r t



và gọi
Dn

là trường vectơ theo
vectơ tiếp xúc α.
Vì
1n


nên
D nn



suy ra
p
D n T S



Do đó ánh xạ:
:
p p p
h T S T S

'
( ) ( ; ( ) (t ))
po
h p n
  
  

hay
( ) .
p
h D n




Ánh xạ này được gọi là ánh xạ Weingarten (hay ánh xạ dạng) của
S tại p
b, Tính chất
Tính chất 1:
h
p
là một tự đồng cấu tuyến tính của T
p
S với mỗi p ∈ S
Tính chất 2:
Với mọi p  S, ánh xạ h
p
là một tự đồng cấu đối xứng của T
p

S, tức
là với mọi α, β  T
p
S, h
p
(α).β = α.h
p
(β).
17
Thực vậy, lấy một tham số hóa địa phương (u, v) → r(u, v)  S
thì tại r(u, v), ta có
h
p
(R
u
) =
()
( , ),
nr
uv
u



nên
()
pu
hR

v

R

()
( , ). (u,v)
n r r
uv
uv




(( )nr
.
2
)( , )
r
uv
uv



Tương tự
()
pv
hR
.
u
R

(( )nr

.
2
)( , )
r
uv
uv



Vậy với( giả thiết r khả vi lớp C
l
, l≥ 2), ta có

( ). . ( )
p u v u p v
h R R R h R

Do
 
,
uv
RR
tại mỗi p = r(u,v) là cơ sở của
p
TS
nên đẳng thức đó
chứng tỏ là một tự đồng cấu đối xứng.
1.4.2. Độ cong Gauss, độ cong trung bình của mặt định hƣớng
a, Định nghĩa
Trong E

3
có hướng, xét đa tạp hai chiều định hướng S. Với mỗi p ϵ
S có tự đồng cấu
:
p p p
h T S T S

Ta gọi định thức tự đồng cấu h
p
là độ cong Gauss tại p của S và kí
hiệu K(p).
Ta gọi nửa vết của tự đồng cấu h
p
là độ cong trung bình tại p của S
và kí hiệu là H(p)
Ta gọi mỗi giá trị riêng của tự đồng cấu
:
p p p
h T S T S
là một độ
cong chính tại p của đa tạp hai chiều định hướng S và mỗi vectơ riêng
xác định một phương gọi là một phương chính tại p của S.
Vì h
p
là một tự đồng cấu đối xứng của T
p
S nên h
p
luôn có hai giá
trị riêng thực

12
,kk
.
18
Khi
12
kk
thì hai phương chính tại p hoàn toàn xác định và trực
giao với nhau
Còn khi
12
kk
thì mọi
 
\0
p
TS


đều là vectơ riêng của h
p
nên
S có vô số phương chính tại p
Chọn trong T
p
S hệ hai vectơ trực chuẩn
 
12
,ee
ứng với hai giá trị

riêng
12
,kk
thì ma trận M của h
p
trong cơ sở
 
12
,ee
này là:
1
2
0
0
k
M
k






Do vậy
12
( ) .K p k k
và
12
1
(p) ( )

2
H k k

Độ cong Gauss tại p là
12
()K p k k
, độ cong trung bình tại p là
12
1
( ) ( ).
2
H p k k

h
p
có đúng một giá trị riêng (kép, thực), khi đó mọi phương là
chính.Từ đó với mọi cơ sở trực chuẩn
 
12
,ee
của T
p
S, có
1 1 1 2 2 2
( ) , ( )
pp
h e k e h e k e
,
12
kk

.Ở đây
2
1
( ) ( ) ,H(p) kK p k
. Điểm p
như này gọi là điểm rốn của S, khi
12
kk
=0, p còn được gọi là điểm dẹt
và
12
kk
≠ Ø, p còn được gọi là điểm cầu của S.
Điểm p  S gọi là điểm elliptic, hyperbolic hay parabolic của S
tùy K(p) dương, âm hay bằng 0
Chú ý: Khi đổi hướng của S bằng cách xét –n thay cho n thì h
p
đổi
thành – h
p
, nên độ cong trung bình đổi dấu còn độ cong Gauss không đổi
1.4.3. Các công thức tính độ cong
1.4.3.1. Các dạng cơ bản I và II của đa tạp hai chiều định hƣớng:
Cho S là một đa tạp hai chiều định hướng trong E
3

19
Với mỗi p∈ S

:

p p p
I T S T S R

:
p p p
II T S T S R

( , ) .
   


( , ) ( ).
p
h
   


Là nhữg dạng song tuyến tính đối xứng trên T
p
S; chúng được gọi
theo thứ tự là dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của S tại p. Các dạng toàn
phương tương ứng
( , ), ( , )
p
I II
   
kí hiệu là
( ), ( )
pp
I II


.
Lấy r:U → E
n
là một tham số hóa địa phương tương thích với
định hướng
(u,v)→ r(u, v) tại p của S, tức S được định hướng bởi trường vectơ
pháp tuyến đơn vị n mà
''
''
uv
uv
rr
nr
rr




Trong tham số hóa địa phương (u,v)→ r(u,v) của S, xét các hàm
số trên U sau
' ' ' ' ' '
. ,F . ,G .
u u u v v v
E r r r r r r  

 
'
'' '
. ( ) . '

uu u
u
L n r r n r r  

'
'' ' ' ' '
( ). ( ) . ( ) .
uv u v v
u
M n r r n r r n r r    

' '' ' '
( ). ( ) .
vv v v
N n r r n r r  

Thì
' 1 ' 1 1
( , ) R . ( ( )). ( ( )) ( . )( )
p u u u u u u
I R R R r r p r r p E r p
  
  

' 1 ' 1 1
( , ) .R ( ( )). ( ( )) ( . )( )
p u v u v u v
I R R R r r p r r p F r p
  
  

' 1 ' 1 1
( , ) . ( ( )). ( ( )) ( . )( )
p v v v v v v
I R R R R r r p r r p G r p
  
  

Và
 
' ' 1
( , ) ( ). ( ) ( , ). ( , ) ( )
p u u p u u u u
II R R h R R n r u v r u v L r p

   

' ' 1
( , ) ( ). ( ) ( , ). ( , ) ( )( )
p u v p u v u v
II R R h R R n r u v r u v M r p

   

' ' 1
( , ) ( ). ( ) ( , ). ( , ) ( )( )
p v v p v v v v
II R R h R R n r u v r u v N r p

   