Đề thi chọn HSG toán 9

Đề thi chọn HSG Toán 9
Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1: Cho biểu thức
a) Với giá trị nào của x thì A xác định.
b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên.
Câu 2 : Tìm n nguyên dương thoả mãn :

Câu 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên
một nửa đường tròn ( M không trùng với A, B). Người ta vẽ một đường tròn tâm E
tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB. Đường tròn (E)
cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai là C, D.
a) Chứng minh rằng ba điểm C, E, D thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định K và tích KM.KN
không đổi.
c) Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lượt là P và Q. Xác định vị
trí của M để diện tích ∆ NPQ đạt giá trị lớn nhất và chứng tỏ khi đó chu vi ∆ NPQ
đại giá trị nhỏ nhất.
d) Tìm quỹ tích điểm E.
Câu 4:
Cho x , y là hai số dương thoả mãn x
5
+y
5
= x
3
+ y
3
. Chứng minh x
2
+ y

2
1 + xy
2
4 4 4 4
16 8
1
x x x x
A
x x
+ − + − −
=
− +
2009
2008
)
)2(
1
1) (
5.3
1
1)(
4.2
1
1)(
3.1
1
1(
2
1
=

+
++++
nn
≤