bai giang dai so tuyen tinh giai tich va ung dung

Bài giảng
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
GIẢI TÍCH
VÀ
ỨNG DỤNG
Trần Minh Nguyệt
Tháng 9 năm 2011
Noi dung
I ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 8
1 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9
1 MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 ĐỊNH THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 33
1 KHÔNG GIAN VÉC TƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ . . . . . . . . . . . . 35
3 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 47
1 Giá trị riêng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Kiểm tra tính xác định của dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 54
1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 Trạng thái cân bằng của mô hình toán kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Một số mô hình toán kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
II GIẢI TÍCH 58
5 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 59
1 ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2 VI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4 BÀI TOÁN TỐI ƯU CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 HÀM MŨ VÀ LOGARIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 88
2
Noi dung 3
1 HÀM NHIỀU BIẾN - ĐẠO HÀM RIÊNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2 VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM TOÀN PHẦN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3 HÀM ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5 BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7 TÍCH PHÂN 123
1 Định nghĩa nguyên hàm và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2 Tìm nguyên hàm của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3 Tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4 Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5 Áp dụng tích phân trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Trần Minh Nguyệt
MỤC LỤC
I ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 8
1 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9
1 MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Khái niệm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Các phép toán ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Một số khái niệm liên quan đến ma trận vuông . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 ĐỊNH THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Khái niệm định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Một số phương pháp tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Một số tính chất của ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Tìm ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Tiêu chuẩn có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 25
4.3 Giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Một số hệ phương trình đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 33
1 KHÔNG GIAN VÉC TƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.1 Định nghĩa và ví dụ về không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2 Một số tính chất của không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ . . . . . . . . . . . . 35
2.1 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Cơ sở của không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Số chiều của không gian véc tơ hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Cơ sở trong không gian véc tơ n chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Tọa độ của một véc tơ đối với một cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . 42
4
MỤC LỤC 5
2.6 Hạng của hệ véc tơ trong không gian véc tơ R
n
. . . . . . . . . . . . 43
3 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 Định nghĩa và ví dụ về ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Tính chất của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 47
1 Giá trị riêng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1 Khái niệm dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 Tính xác định của dạng toàn phương và ma trận . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Một số tính chất của ma trận xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Kiểm tra tính xác định của dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Dấu hiệu định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Dấu hiệu giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 54
1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 Trạng thái cân bằng của mô hình toán kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Một số mô hình toán kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1 Mô hình thị trường đơn (thị trường một hàng hóa) . . . . . . . . . . . 55
3.2 Mô hình thị trường hai hàng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Mô hình thu nhập quốc dân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
II GIẢI TÍCH 58
5 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 59
1 ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.1 Tốc độ thay đổi và khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.2 Tính liên tục của hàm số khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.3 Đạo hàm và phân tích so sánh tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4 Đạo hàm và độ dốc của một đường cong . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.5 Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.6 Áp dụng trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2 VI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1 Khái niệm vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 Các quy tắc tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3 Vi phân và hệ số co giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4 Hàm có hệ số co giãn không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Trần Minh Nguyệt
6 MỤC LỤC
2.5 Hệ số co giãn của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3 ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2 Đạo hàm cấp 2 và khái niệm cận biên giảm dần trong kinh tế . . . . . 74
4 BÀI TOÁN TỐI ƯU CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1 Khái niệm về giá trị cực đại, cực tiểu, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm
số một biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Tìm giá trị cực trị của hàm một biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm một biến . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Một số áp dụng trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 HÀM MŨ VÀ LOGARIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1 Nhắc lại một số tính chất của hàm mũ và hàm logarit. . . . . . . . . . 80
5.2 Hàm số mũ và bài toán lãi suất kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Bài toán quyết định thời điểm tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4 Tốc độ tăng của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 88
1 HÀM NHIỀU BIẾN - ĐẠO HÀM RIÊNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.1 Khái niệm hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.2 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2 VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM TOÀN PHẦN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.1 Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2 Đạo hàm toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.3 Đạo hàm riêng toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3 HÀM ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1 Định lý hàm ẩn cho một phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2 Định lý hàm ẩn cho hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3 So sánh tĩnh trong một số mô hình hàm tổng quát . . . . . . . . . . . 103
4 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.1 Đạo hàm riêng cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2 Ma trận Hess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3 Bài toán cực trị hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5 BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.1 Định nghĩa hàm Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Điều kiện cần tìm cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3 Điều kiện đủ tìm cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4 Ý nghĩa của nhân tử Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . 120
7 TÍCH PHÂN 123
1 Định nghĩa nguyên hàm và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Bài giảng Đại số, Giải tích và Ứng dụng
MỤC LỤC 7
1.1 Định nghĩa nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.2 Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2 Tìm nguyên hàm của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.1 Các nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.2 Các quy tắc tìm nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3 Tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4 Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5 Áp dụng tích phân trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1 Tìm hàm tổng từ hàm cận biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2 Tìm dòng vốn tạo thành từ tỉ lệ đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3 Tìm giá trị hiện tại của dòng tiền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4 Tính giá trị thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Trần Minh Nguyệt
Phần I
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
8
Chương 1

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1 MA TRẬN
1.1 Khái niệm ma trận
Định nghĩa 1.1. Một bảng chữ nhật gồm m.n số được sắp xếp thành m dòng, n cột như
sau:
A =


a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n

a
m1
a
m2
a
mn



được gọi là một ma trận cỡ m × n.
Đối với ma trận A ở trên thì:
1. a
ij
là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của dòng i và cột j. Ma trận A
thường được viết thu gọn là A = (a
ij
)
m×n
.
2. Dòng i của ma trận gồm các phần tử: a
i1
, a
i2
, . . . , a
in
.
3. Cột j của ma trận gồm các phần tử: a
1j
, a
2j
, . . . , a
mj
.
4. Khi m = n thì ma trận A có số dòng bằng số cột và được gọi là ma trận vuông
cấp n. Ma trận vuông A được viết thu gọn là A = (a
ij
)
n
.

5. Khi m = 1 thì ma trận A chỉ gồm một dòng và được gọi là ma trận dòng.
6. Khi n = 1 thì ma trận A chỉ gồm một cột và được gọi là ma trận cột.
7. Khi tất cả các phần tử của ma trận A đều bằng 0 thì ma trận A được gọi là ma trận
không và kí hiệu là 0.
Ta kí hiệu:
• M
m,n
là tập tất cả các ma trận cỡ m × n.
• M
n
là tập tất cả các ma trận vuông cấp n.
9
10 Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Ví dụ:

2 0 3
-1 1 2

là một ma trận cỡ 2 × 3

0 0 0
0 0 0
0 0 0

là ma trận không cấp 3.
(
2 0 -3
) là một ma trận dòng.



1
-1
0
4


là một ma trận cột.
1.2 Các phép toán ma trận
Hai ma trận bằng nhau
Định nghĩa 1.2. Hai ma trận A, B được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và các
phần tử cùng vị trí tương ứng bằng nhau. Khi A, B là hai ma trận bằng nhau ta viết
A = B.
Phép cộng hai ma trận
Định nghĩa 1.3. Cho hai ma trận cùng cỡ m × n
A = (a
ij
)
m×n
, B = (b
ij
)
m×n
Tổng của A và B, kí hiệu A + B, là một ma trận có cùng cỡ m ×n được xác định như
sau:
A + B = (a
ij
+ b
ij
)
m×n

Nhận xét 1.4. Khi cộng hai ma trận ta thực hiện các phép cộng của hai phần tử ở cùng
vị trí tương ứng.
Định nghĩa 1.5.
• Cho ma trận A = (a
ij
)
m×n
. Ma trận đối của ma trận A, kí hiệu −A, là một ma
trận có cùng cỡ m × n và được xác định như sau:
−A = (−a
ij
)
m×n
• Cho hai ma trận cùng cỡ:
A = (a
ij
)
m×n
, B = (b
ij
)
m×n
Hiệu của A và B, kí hiệu A − B, là một ma trận có cùng cỡ m × n và được định
nghĩa như sau:
A − B = A + (−B)
Nhận xét 1.6. Từ định nghĩa trên ta có:
A − B = (a
ij
− b
ij

)
m×n
Vì vậy khi trừ hai ma trận ta thực hiện các phép trừ của hai phần tử cùng vị trí.
Bài giảng Đại số, Giải tích và Ứng dụng
1. MA TRẬN 11
Ví dụ 1.7. Cho hai ma trận:
A =

3 1 -3
4 2 -2

B =

1 0 -3
0 2 1

Tìm các ma trận: A + B, −B, A − B.
Phép nhân ma trận với một số
Định nghĩa 1.8. Cho ma trận cỡ m×n A = (a
ij
)
m×n
. Tích của số thực k với ma trận
A là một ma trận cỡ m × n, ký hiệu là kA, được xác định bởi:
kA = (ka
ij
)
m×n
Như vậy, khi nhân một số với một ma trận ta thực hiện phép nhân số đó với tất cả các
phần tử của ma trận.

Ví dụ 1.9. Cho A =

1 2
−1 1

thì 3A =

3 6
−3 3

Phép nhân ma trận với ma trận
Định nghĩa 1.10. Cho ma trận A = (a
ij
)
m×p
có cỡ m × p và ma trận B = (b
ij
)
p×n
có cỡ p × n. Tích của A và B, kí hiệu là AB, là ma trận C = (c
ij
)
m×n
có cỡ m × n
có các phần tử c
ij
được xác định như sau:
c
ij
= a

i1
.b
1j
+ a
i2
.b
2j
+ ··· + a
ip
.b
pj
=
p

k=1
a
ik
.b
kj
Ta có thể nói: Phần tử ở dòng i cột j của ma trận tích AB bằng dòng i của A nhân với
cột j của B.
Ví dụ 1.11. Thực hiện các phép nhân ma trận sau:
a. (1 2)

3
4

b.

1 2

3 4

−1 0 1
2 1 3

c.

0 2 4
2 4 1
1 0 3

−1 0 1
2 1 3
0 1 1

Trần Minh Nguyệt
12 Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Chú ý 1.12. • Muốn nhân ma trận A với ma trận B phải có điều kiện số cột của ma
trận A bằng số dòng của ma trận B.
• Khi ma trận tích AB tồn tại thì chưa chắc ma trận tích BA đã tồn tại.
• Khi A, B là các ma trận vuông cùng cấp thì tích AB, BA đều tồn tại nhưng nói chung
AB ̸= BA.
• Có những ma trận A ̸= 0, B ̸= 0 mà AB = 0. Ví dụ:
A =

1 2
2 4

B =


4 2
−2 −1

Phép chuyển vị ma trận
Định nghĩa 1.13. Cho ma trận A = (a
ij
)
m×n
. Đổi dòng i của ma trận A thành cột i
(i = 1, m) ta được một ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, kí hiệu A
t
.
Nhận xét 1.14.
1. A
t
= (a
′
ij
)
n×m
với a
′
ij
= a
ji
.
2. Ma trận chuyển vị A
t
của A cũng nhận được bằng cách đổi các cột của ma trận
A thành các dòng.

3. Nếu ma trận A có m dòng, n cột thì A
t
có n dòng, m cột.
Ví dụ: Tìm ma trận chuyển vị của các ma trận sau:
A = (
1 2 −1
) , B =

0 −1 2
−2 1 4

Một số tính chất của phép toán ma trận
Cho A, B, C là các ma trận cùng cấp và k, l ∈ R. Ta có một số tính chất sau:
Bài giảng Đại số, Giải tích và Ứng dụng
1. MA TRẬN 13
1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. A + (−A) = (−A) + A = 0
4. A + 0 = 0 + A = A
5. k(A + B) = kA + kB
6. (k + l)A = kA + lA
7. k(lA) = (kl)A
8. 1.A = A
Cho A, B, C là các ma trận. Ta có các đẳng thức sau (nếu vế phải và vế trái của mỗi đẳng
thức đó tồn tại)
9. A(B + C) = AB + AC
10. (A + B)C = AC + BC
11. A(BC) = (AB)C
12. k(AB) = (kA)B = A(kB)
13. (A

t
)
t
= A
14. (A + B)
t
= A
t
+ B
t
15. (kA)
t
= kA
t
16. (AB)
t
= B
t
A
t
.
1.3 Một số khái niệm liên quan đến ma trận vuông
Đường chéo chính, đường chéo phụ
Định nghĩa 1.15. Cho ma trận vuông cấp n.
A =


a
11
a

12
a
1n
a
21
a
22
a
2n

a
n1
a
n2
a
nn


• Các phần tử a
11
, a
22
, . . . , a
nn
được gọi là các phần tử chéo chính (hoặc các phần
tử chéo) của ma trận A. Đường thẳng chứa các phần tử chéo chính gọi là đường
chéo chính.
• Các phần tử a
1n
, a

2n−1
, . . . , a
n1
được gọi là các phần tử chéo phụ của ma trận
A. Đường thẳng chứa các phần tử chéo phụ gọi là đường chéo phụ.
Ma trận đơn vị
Định nghĩa 1.16. Ma trận đơn vị cấp n là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên
đường chéo chính bằng 1 và các phần tử còn lại bằng 0. Ma trận đơn vị cấp n được kí
hiệu là I
n
.
I
n
=


1 0 0
0 1 0

0 0 1


Tính chất của ma trận đơn vị: Với A là một ma trận cấp n bất kì ta có:
AI
n
= I
n
A = A
Trần Minh Nguyệt
14 Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ma trận chéo
Định nghĩa 1.17. Một ma trận vuông được gọi là ma trận chéo nếu tất cả các phần tử
nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0.
Như vậy, nếu A là một ma trận chéo cấp n thì A phải có dạng:
A =




a
11
0 . . . 0
0 a
22
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0

0 . . . 0 a
nn




trong đó các phần tử a
ii
, i = 1, 2, . . . , n có thể bằng 0 hoặc khác 0.
Ví dụ 1.18.

1 0 0
0 −1 0
0 0 2

và

0 0 0
0 1 0
0 0 2

đều là các ma trận chéo.
Ma trận tam giác
Định nghĩa 1.19.
• Một ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác trên nếu tất cả các phần tử nằm
phía dưới đường chéo chính đều bằng 0.
• Một ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác dưới nếu tất cả các phần tử nằm
phía trên đường chéo chính đều bằng 0.
• Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam
giác.

Như vậy, một ma trận tam giác trên cấp n có dạng:



a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 a
nn




Một ma trận tam giác dưới cấp n có dạng:




a
11
0 . . . 0
a
21
a
22
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
a

n1
a
n2
. . . a
nn




Ví dụ 1.20. A =

1 0 0
−2 2 0
1 0 2

là ma trận tam giác dưới cấp 3.
B =


1 -1 0 2
0 0 2 3
0 0 2 -1
0 0 0 2


là ma trận tam giác trên cấp 4.
Cả A và B đều là ma trận tam giác.
Bài giảng Đại số, Giải tích và Ứng dụng
1. MA TRẬN 15
Ma trận đối xứng

Định nghĩa 1.21. Ma trận vuông A = (a
ij
)
n
được gọi là ma trận đối xứng khi và chỉ
khi các phần tử ở các vị trí đối xứng với nhau qua đường chéo chính thì bằng nhau.
Nhận xét 1.22. • A = (a
ij
)
n
là ma trận đối xứng ⇔ a
ij
= a
ji
với mọi i, j = 1, n
• A là ma trận đối xứng ⇔ A
t
= A
Ví dụ: Xét xem ma trận nào là ma trận đối xứng:
A =

1 -1 0
1 -1 2
0 0 3

B =


1 2 3 4
2 -1 2 3

3 2 1 4
4 3 4 1


1.4 Hạng của ma trận
Phép biến đổi sơ cấp
Có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng của một ma trận:
1. Đổi chỗ hai dòng.
2. Nhân một dòng với một số khác 0.
3. Nhân một dòng với một số rồi cộng vào một dòng khác.
Tương tự cũng có ba phép biến đổi sơ cấp trên cột của một ma trận.
Ma trận hình thang
Định nghĩa 1.23. Đối với một ma trận ta gọi:
• một dòng có tất cả các phần tử đều bằng 0 là dòng không.
• một dòng có ít nhất một phần tử khác 0 là dòng khác không.
Định nghĩa 1.24. Một ma trận được gọi là ma trận hình thang nếu thỏa mãn hai điều
kiện sau:
1. Những dòng không (nếu có) phải nằm dưới những dòng khác không.
2. Phần tử khác 0 đầu tiên của mỗi dòng khác không nằm về bên phải phần tử khác
0 đầu tiên của dòng phía trên.
Ví dụ 1.25. Ma trận nào sau đây là ma trận hình thang?
A =

1 -1 0
0 -1 2
0 0 3

B =

1 0 0 1

0 0 0 0
0 -1 2 3

Trần Minh Nguyệt
16 Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
C =

4 3 2 4
0 0 3 1
0 0 0 0

D =


1 2 3 4
0 -1 2 3
0 3 1 4
0 0 0 1


Hạng của ma trận
Định nghĩa 1.26. Cho A là một ma trận bất kì. Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
ta luôn biến đổi được A về ma trận hình thang. Từ một ma trận A có thể biến đổi thành
nhiều ma trận hình thang khác nhau nhưng số dòng khác không của các ma trận hình
thang đó đều bằng nhau. Ta gọi số dòng khác không đó là hạng của ma trận A. Hạng
của ma trận A kí hiệu là rank(A).
Ví dụ 1.27. Tìm hạng của các ma trận sau:
A =

4 2 -1

1 1 0
2 3 1

B =


3 4 -1 2
-2 2 5 1
2 12 8 6
-3 0 4 1


C =

7 3 4 -2
-4 5 3 2
6 4 0 5

D =


9 4 6 3
7 3 4 1
-4 4 3 2
3 7 7 3


Bài giảng Đại số, Giải tích và Ứng dụng
2. ĐỊNH THỨC 17
Chú ý 1.28. Khi đưa một ma trận về dạng hình thang để tìm hạng, ngoài các phép biến

đổi sơ cấp trên dòng ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột hoặc kết hợp cả
hai loại phép biến đổi.
2 ĐỊNH THỨC
2.1 Khái niệm định thức
Định nghĩa 1.29. Cho ma trận vuông A = (a
ij
)
n
. Kí hiệu M
ij
là ma trận nhận được
từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j. M
ij
được gọi là ma trận con ứng với phần tử a
ij
.
Ví dụ 1.30. Cho ma trận
A =


3 4 -1 2
-2 2 5 1
2 12 8 6
-3 0 4 1


Tìm các ma trận con M
12
, M
23

ứng với các phần tử a
12
, a
23
.
Định nghĩa 1.31. Cho ma trận vuông cấp n: A = (a
ij
)
n
.
A =


a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n

a
n1
a
n2

a
nn


Định thức của ma trận A, kí hiệu là det(A) hoặc |A|, được định nghĩa truy hồi theo n như
sau:
• Với n=1 thì: A = (a
11
) và det(A) = a
11
.
• Với n=2 thì: A =

a
11
a
12
a
21
a
22

và det(A) = a
11
a
22
− a
12
a
21

.
• Với n ≥ 3 thì:
det(A) = a
11
A
11
+ a
12
A
12
+ ··· + a
1n
A
1n
(1)
trong đó:
A
ij
= (−1)
i+j
det(M
ij
) (2)
với M
ij
là ma trận con ứng với phần tử a
ij
.
Chú ý 1.32.
• Định thức của ma trận vuông cấp n được gọi là định thức cấp n.

Trần Minh Nguyệt
18 Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
• Ma trận M
ij
trong công thức (2) có cấp n − 1. Vì vậy, trong công thức (1), một
định thức cấp n được tính thông qua các định thức cấp n − 1.
• A
ij
được gọi là phần bù đại số của phần tử a
ij
.
Ví dụ 1.33. Tính các định thức:
1.



1 2
3 4



2.




a
11
a
12

a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33




3.





1 2 3
-1 0 4
4 1 2






2.2 Tính chất của định thức
1. det(A) = det(A
t
)
2. Những định thức thỏa mãn một trong các điều kiện sau thì bằng 0:
• Định thức có hai dòng (hoặc hai cột) như nhau.
• Định thức có một dòng (hoặc một cột) gồm toàn các số 0.
• Định thức có hai dòng (hoặc hai cột) tỉ lệ.
3. Đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) của một định thức thì định thức đổi dấu.
4. Khi nhân các phần tử của một dòng (hoặc một cột) với một số k thì được một định
thức mới bằng k lần định thức cũ.
Bài giảng Đại số, Giải tích và Ứng dụng
2. ĐỊNH THỨC 19
Từ tính chất này suy ra, nếu một dòng hoặc môt cột của định thức có nhận tử chung
thì có thể đưa nhân tử chung đó ra ngoài dấu định thức.
Ví dụ:





a a
2
+ a 3a
1 a + 1 4
2 a + 1 1






= a





1 a + 1 3
1 a + 1 4
2 a + 1 1





= a(a + 1)





1 1 3
1 1 4
2 1 1






= a(a + 1)
5. Khi tất cả các phần tử của một dòng (hoặc một cột) có dạng tổng của 2 số thì định
thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức:
Ví dụ:





a
11
a
12
+ b
12
a
13
a
21
a
22
+ b
22
a
23
a
31
a
32

+ b
32
a
33





=




a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32

a
33




+





a
11
b
12
a
13
a
21
b
22
a
23
a
31
b
32
a
33










a
11
+ b
11
a
12
+ b
12
a
13
+ b
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a

32
a
33




=




a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33





+




b
11
b
12
b
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33





6. Khi lấy một dòng (hoặc một cột) nhân với một số k rồi cộng vào một dòng (hoặc
một cột) khác thì định thức không thay đổi.
7. Định thức của ma trận tam giác, ma trận chéo bằng tích các phần tử trên đường
chéo chính. Ví dụ:






1 2 3 4
0 4 7 -1
0 0 -5 3
0 0 0 3






= 1.4.(−5).3 = −60
8. det(AB) = det(A).det(B), ∀A, B ∈ M
n
9. Với mọi A ∈ M
n
ta có:
• det(A) ̸= 0 ⇔ rank(A) = n
• det(A) = 0 ⇔ rank(A) < n
2.3 Một số phương pháp tính định thức

Tính định thức bằng cách đưa về dạng tam giác
Ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng hoặc trên cột để đưa một ma trận về
dạng hình thang, trong trường hợp ma trận vuông thì ma trận hình thang là một ma trận
tam giác trên. Dựa vào các tính chất 3, 4, 6, 7 ta có một cách tính định thức: Dùng các
phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận về dạng tam giác. Sự thay đổi của định thức khi
thực hiện các phép biến đổi sơ cấp được tổng hợp lại như sau:
Đổi chỗ hai dòng (hai cột) Định thức đổi dấu
Nhân một dòng (một cột) với một số k ̸= 0 Định thức nhân với k
Nhân một dòng (một cột) với một số Định thức không đổi
rồi cộng vào một dòng (một cột) khác
Trần Minh Nguyệt
20 Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Ví dụ 1.34. Tính định thức:
D =






4 -7 0 11
-1 2 1 3
3 2 -3 1
4 1 0 3







Tính định thức bằng cách khai triển theo một dòng, một cột
Cho ma trận vuông A = (a
ij
)
n
A =





a
11
a
12
a
1j
a
1n
a
21
a
22
a
2j
a
2n

a
i1

a
i2
a
ij
a
in

a
m1
a
m2
a
nj
a
nn





Theo định nghĩa của định thức ta có:
det(A) = a
11
A
11
+ a
12
A
12
+ ··· + a

1n
A
1n
Từ định nghĩa trên và tính chất 1, 3 của định thức ta có thể tính định thức như sau:
1. Với mỗi i cố định, 1 ≤ i ≤ n, ta có:
det(A) = a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ ··· + a
in
A
in
(3)
2. Với mỗi j cố định, 1 ≤ j ≤ n, ta có:
det(A) = a
1j
A
1j
+ a
2j
A
2j
+ ··· + a
nj
A

nj
(4)
Chú ý 1.35. Công thức (3) gọi là công thức khai triển theo dòng i.
Bài giảng Đại số, Giải tích và Ứng dụng
3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 21
Công thức (4) gọi là công thức khai triển theo cột j.
Ví dụ 1.36. Tính định thức:
D =






0 1 2 3
1 0 0 4
3 1 0 -1
1 1 0 2






Chú ý 1.37. Trong thực hành ta thường kết hợp cả các phép biến đổi sơ cấp và khai
triển theo dòng (cột) vào tính định thức của một ma trận.
Ví dụ 1.38. Tính định thức:
A =







1 2 0 4
3 4 1 2
2 3 -2 1
0 1 2 3






3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.39. Cho A là ma trận vuông cấp n. Ma trận vuông B cùng cấp được gọi
là ma trận nghịch đảo của A khi và chỉ khi:
AB = BA = I
n
.
Ma trận nghịch đảo của A được kí hiệu là A
−1
. Nếu A có ma trận nghịch đảo thì A
được gọi là ma trận khả nghịch hoặc ma trận không suy biến.
Trần Minh Nguyệt
22 Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Ví dụ 1: I
n
khả nghịch và I

−1
n
= I
n
.
Ví dụ 2: Cho ma trận: A =

2 3
1 2

và ma trận D =

1 2
2 4

.
Tìm ma trận nghịch đảo của A, D (nếu có).
3.2 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
Định lý 1.40. Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của nó là duy nhất.
Định lý 1.41. Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả nghịch là det(A) ̸= 0.
Định lý 1.42. Cho A ∈ M
n
. Khi đó, A là ma trận khả nghịch khi và chỉ khi rank(A)=n.
3.3 Một số tính chất của ma trận nghịch đảo
Cho A, B là các ma trận vuông khả nghịch. Khi đó ta có:
1. det(A).det(A
−1
) = 1.
2. A
−1

cũng khả nghịch và (A
−1
)
−1
= A.
3. Với k là số thực khác 0 thì kA cũng là ma trận khả nghịch và:
(kA)
−1
=
1
k
A
−1
4. AB là ma trận khả nghịch và:
(AB)
−1
= B
−1
A
−1
3.4 Tìm ma trận nghịch đảo
Định lý 1.43. Cho ma trận vuông A = (a
ij
)
n
. Nếu A khả nghịch thì:
A
−1
=
1

det(A)
˜
A
t
Bài giảng Đại số, Giải tích và Ứng dụng
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 23
trong đó:
˜
A = (A
ij
) với A
ij
là phần bù đại số của phần tử a
ij
.
Ví dụ 3: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau (nếu có):
A =

1 2
−2 −4

, B =

1 1 2
2 0 1
1 4 3

, C =

−1 0 2

2 2 3
1 2 4

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính
Định nghĩa 1.44. Ta gọi một hệ phương trình có dạng



a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x

2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
(1)
là hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn. Trong đó:
• x
1
, x
2
, . . . , x
n

là các ẩn,
• a
ij
là các hằng số thực, được gọi là các hệ số của ẩn,
• b
i
là các hằng số thực, được gọi là các hệ số tự do.
Đối với hệ (1) ta đặt:
A =


a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . . a
mn



B =



b
1
b
2
.
.
.
b
m



Trần Minh Nguyệt
24 Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
A
bs
=


a
11
a
12
. . . a

1n
b
1
a
21
a
22
. . . a
2n
b
2
. . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . . a
mn
b
m


X =



x
1
x
2

.
.
.
x
n



Khi đó:
• A được gọi là ma trận hệ số của hệ (1).
• A
bs
được gọi là ma trận bổ sung của hệ (1).
• Hệ (1) có thể viết lại dưới dạng:


a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
a

m1
a
m2
. . . a
mn





x
1
x
2
.
.
.
x
n



=



b
1
b
2

.
.
.
b
m



hay đơn giản:
AX = B
Ví dụ 1.45. Hệ phương trình sau đây có phải hệ tuyến tính không? Nếu có, hãy
viết ma trận hệ số và ma trận bổ sung của hệ.
1.

x
1
+ x
1
x
2
= 3
−2x
1
− x
2
2
= 0
2.

x

1
+ 4x
2
+ 2x
3
= 2
−2x
1
− x
2
+ 3x
3
= 4
4x
1
+ 7x
2
+ x
3
= 3
3.

ax
1
+ 4x
2
+ 2x
3
= 2
−2x

1
− (a + 1)x
2
+ 3x
3
= 4
4x
1
+ 7x
2
+ x
3
= a
2
( a là tham số).
Bài giảng Đại số, Giải tích và Ứng dụng
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 25
Định nghĩa 1.46.
• Một bộ n số (c
1
, c
2
, . . . , c
n
) được gọi là một nghiệm của hệ (1) nếu khi thay các
ẩn x
i
bởi c
i
thì các phương trình trong hệ trở thành những đẳng thức đúng.

• Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình được gọi là tập nghiệm của hệ.
Giải một hệ phương trình là đi tìm tập nghiệm của hệ đó.
• Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương nếu có cùng tập nghiệm.
4.2 Tiêu chuẩn có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Định lý 1.47. Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi:
rank(A) = rank(A
bs
)
trong đó: A là ma trận hệ số, A
bs
là ma trận bổ sung của hệ.
Định lý 1.48. Đối với hệ phương trình tuyến tính (1) ta có:
• Nếu rank(A) < rank(A
bs
) thì hệ vô nghiệm.
• Nếu rank(A) = rank(A
bs
) < n thì hệ có vô số nghiệm (n là số ẩn).
• Nếu rank(A) = rank(A
bs
) = n thì hệ có nghiệm duy nhất.
Chú ý 1.49.
• Ta luôn có rank(A) ≤ rank(A
bs
).
• Về số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính chỉ xảy ra một trong ba trường hợp:
vô nghiệm, có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm. Như vậy một hệ phương trình có ít
nhất hai nghiệm phân biệt thì sẽ có vô số nghiệm.
4.3 Giải hệ phương trình tuyến tính
Các thao tác sau đối với một hệ phương trình tuyến tính là các phép biến đổi tương đương

(không làm thay đổi tập nghiệm của hệ):
1. Đổi chỗ 2 phương trình của hệ.
2. Nhân hai vế của một phương trình với một số k ̸= 0.
3. Nhân hai vế của một phương trình với một số rồi cộng vào hai vế của một phương
trình khác.
Ví dụ 1: Dùng các phép biến đổi tương đương trên để giải hệ phương trình tuyến tính
sau:

x
1
+ x
2
+ 2x
3
= 2 (1)
−2x
1
− x
2
+ 3x
3
= 2 (2)
3x
1
+ x
2
+ x
3
= 3 (3)
Trần Minh Nguyệt