Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán- Dãy phép thử Bernoulli - Nguyễn Thị Hồng Nhung

HỌc phẦn:
Lý thuyẾt xác suẤt
và thỐng kê toán
Tên bài học: Dãy phép thử Bernoulli
Tiết theo chương trình: Tiết thứ 8
Lớp dạy: Lý tin K30
Giảng viên thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Nhung

Một xạ thủ bắn 3 viên đạn độc lập vào bia, xác suất bắn
trúng không đổi trong mỗi lần bắn là 0,8. Tìm xác suất để:
a. Cả ba viên đều trúng đích

b. Hai viên trúng đích

c. Một viên trúng đích

d. Cả ba viên đều bắn trượt
3
2
2
3
L
N
L
U
O
B
I
E
R
Jacob Bernoulli

• Sinh:
27 tháng 12, 1654,
tại Basel, Thụy Sĩ

• Mất :
16 tháng 8, 1705 (50 tuổi),

• Nổi tiếng vì:
Phép thử Bernoulli, Số Bernoulli

Lời giải
a. Cả ba viên đều trúng đích



b. Hai viên trúng đích


3
( ) ( ). ( ). ( )
0,8 0,512
P AAA P A P A P A

Gọi A là biến cố “xạ thủ bắn trúng vào bia trong mỗi lần bắn”

21
()
( ) ( ) ( )
3. ( ). ( ). ( )

3.0,8 .0,2 0,384
P AAA AAA AAA
P AAA P AAA P AAA
P A P A P A

  


Bài toán: Một xạ thủ bắn 3 viên đạn độc lập vào bia, xác suất
bắn trúng không đổi trong mỗi lần bắn là 0,8.

Gọi A là biến cố “xạ thủ bắn trúng vào bia trong mỗi lần bắn”


c. Một viên trúng đích





d. Cả ba viên đều bắn trượt

12
()
( ) ( ) ( )
3. ( ). ( ). ( )
3.0,8 .0,2 0,096
P AAA AAA AAA
P AAA P AAA P AAA
P A P A P A


  


3
( ) ( ). ( ). ( )
0,2 0,008
P AAA P A P A P A


Nhận xét đặc điểm của dãy phép thử
trong bài toán trên

- Số biến cố trong mỗi phép thử

- Xác suất của các biến cố :

{ , }AA
Không đổi
Dãy phép thử
Bernoulli
Tit 8. DY PHẫP TH BERNOULLI
1. nh ngha dóy phộp th Bernoulli
Dãy phép thử G1, G2, , Gn mà trong mỗi phép thử tơng
ứng với không gian các biến cố sơ cấp có 2 biến cố
đợc gọi là dóy phép thử Becnuli nếu thoả mãn:
(i) Dãy phép thử đó là độc lập.
(ii) Xác suất để A xảy ra trong các phép thử không đổi và
bằng p.

{ , }AA
2. Công thức xác suất nhị thức

AA A
k n k
AA A

k
n
C
( ) . .(1 )
k k n k
nn
P k C p p


Bài toán: Tỡm xác suất để trong dãy n phép thử Bernouli
biến cố A xuất hiện đúng k lần ( k = 0,1, n).
Hng dn gii:
- Cú tt c bao nhiờu dóy bin c A xut hin ỳng k ln ?
AA A .(1 )
kk
k n k
P AA A p p





- Mi dóy phộp th Bernoulli cú xỏc sut l bao nhiờu ?

Cụng thc xỏc sut nh thc
Ví dụ 1:
Một bác sĩ có xác suất chuẩn đoán đúng bệnh là 0,7. Có 5
người đến khám, tính xác suất để:
a) Không có ai được chuẩn đoán đúng bệnh
b) Có 2 người chuẩn đoán đúng bệnh
c) Có 4 người chuẩn đoán đúng bệnh
d) Có người cho rằng: Cứ 5 người đến khám thì có 4
người được chuẩn đoán đúng bệnh” điều này có đúng
không?


Lời giải
2 2 3
55
(2) .0,7 .(1 0,7) 0,1323PC  
0 0 5
55
(0) .0,7 .(1 0,7) 0,243PC  
a) Không có ai được chuẩn
đoán đúng bệnh

b) Có 2 người chuẩn đoán
đúng bệnh

c) Có 4 người chuẩn đoán
đúng bệnh
- Nhận xét: Phép thử Bernoulli với n=5, p=0,7.
- Gọi A là biến cố ”chuẩn đoán đúng bệnh”.

4 4 1
55
(4) .0,7 .(1 0,7) 0,36015PC  
d) Có người cho rằng: Cứ 5 người đến khám thì có 4
người khỏi bệnh” điều này có đúng không ?

- Không đúng!
- Chỉ có thể khẳng định có 5 người đến khám thì xác suất
để 4 người khỏi bệnh là cao nhất.
Có cách nào tìm xác suất
cao nhất mà không phải
tính tất cả các khả năng
xảy ra không?
Khảo sát sự biến
thiên của hàm xác
suất, biến k.
Gợi ý:
( 1)
1
()
n
n
Pk
Pk


( 1)
1
()
n

n
Pk
Pk


( ) . .(1 )
k k n k
nn
P k C p p


Hàm đồng biến
Hàm nghịch biến
k
Pn(k)
0 np - q n
max

( 1)
()
1
( ) ( 1)(1 )
n
n
Pk
n k p
P k k p

(n - k) p k q + q (q=1-p)
k np - q.
Vậy P
n
(k) tăng khi k tăng từ 0 đến np q.
T-ơng tự
( 1)
()
1
( ) ( 1)(1 )
n
n
Pk
n k p
P k k p




với k > np q.
Vậy khi k tăng từ np q đến n thì P
n
(k) giảm.
Khi k = np q thì
( 1)
1
()
n

n
Pk
Pk


, nghĩa là P
n
(k+1) = P
n
(k).
Song k chỉ nhận giá trị nguyên, vậy:
- Nếu np q là số nguyên thì k có hai giá trị k
0
= np q và k
1
= np q + 1 mà
tại đó P
n
(k) đạt cực đại.
- Nếu np q không nguyên thì k có một giá trị k
0
= [np q] + 1 tại đó P
n
(k)
đạt cực đại.
d) Cú ngi cho rng: C 5 ngi n khỏm thỡ cú 4 ngi
khi bnh iu ny cú ỳng khụng ?
55
5.0,7 0,3 3,2 , ( ) (4)np q Z MaxP k P
Ví dụ 2

Tín hiệu thông tin được phát đi 3 lần độc lập nhau.
Xác suất thu được mỗi lần là 0.4.
a) Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đúng 2
lần.
b) Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đó.
c) Nếu muốn xác suất thu được tin ≥ 0,9 thì phải phát đi ít
nhất bao nhiêu lần.
Có thể xem mỗi lần phát tin là một phép thử Bernoulli mà
sự thành công của phép thử là nguồn thu nhận được tin,
theo giả thiết xác suất thành công của mỗi lần thử là 0,4.
Vậy:
a) Xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đúng 2 lần
là
   
2
2
23
(3) 0,4 0,6 0,288PC
.
b) Xác suất để nguồn thu nhận được thông tin là
 
3
1 0,6 0,784P   
.
c) Xác suất để nguồn thu nhận được thông tin khi phát n
lần là
 
1 0,6
n
P 

Vậy nếu muốn xác suất thu được tin ≥ 0,9 thì phải phát
đi ít nhất n lần sao cho:

   
 
 
1 0,6 0,9 0,1 0,6
lg 0,1
1
4,504
lg 0,6 0,778
5
nn
n
n
   

   



Tổng kết bài học
- Định nghĩa dãy phép thử Bernoulli

- Công thức tính xác suất nhị thức

- Giá trị max của xác suất nhị thức