PHẦN 6 ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT (CÂU 6b ĐỀ THI THPT QUỐC GIA)

PHẦN 6 ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT (CÂU 6b ĐỀ THI
THPT QUỐC GIA)
2.1. Bài toán đếm:
Ví dụ 1. Cho tập
{ }
0;1;2;3;4;5A =
, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.
Lời giải
Gọi số cần tìm là
( )
0abcde a ≠
Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a.
Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có:
2
5
A
cách
3 vị trí còn lại có
3
4
A
cách
Suy ra có
2 3
5 4
A A
số
Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0.
Xếp 3 có 4 cách
3 vị trí còn lại có

3
4
A
cách
Suy ra có
3
4
4.A
số
Vậy số các số cần tìm tmycbt là:
2 3 3
5 4 4
4.A A A−
= 384
Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai
chữ số chẵn và ba chữ số lẻ.
Lời giải
Từ giả thiết bài toán ta thấy có
2
5
10C =
cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0
đứng đầu) và
3
5
C
=10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có
2
5
C

.
3
5
C
= 100 bộ 5 số được chọn.
Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập => có tất cả
2
5
C
.
3
5
C
.5! = 12000 số.
Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là
1 3
4 5
. .4! 960C C =
.
Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 3. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh.
Lời giải
Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là
6
12
C
Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối
Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là:
6

7
C
Số cách chọn chỉ có học sinh khối 11 và khối 10 là:
6
9
C
Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 10 là:
6
8
C
1
Số cách chọn thoả mãn đề bài là:
6 6 6 6
12 7 9 8
805C C C C− − − =
(cách)
Ví dụ 4. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm
phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439.
Lời giải
Nếu n ≤ 2 thì n + 6 ≤ 8. Do đó số tam giác có ba đỉnh được lấy từ n + 6 điểm đó không
vượt qua
3
8
56 439C = <
(loại). Vậy n ≥ 3
Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử. Nhưng trên cạnh
CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
6 3

4 5 6 2 1
1 439
6 6
n n
n n n n n n
C C C
+
+ + + − −
− − = − − =
⇔ (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540
⇔ n
2
+ 4n – 140 = 0
Từ đó tìm được n = 10.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2010.
2) Cho hai đường thẳng song song d
1
và d
2
. Trên đường thẳng d
1
có 10 điểm phân biệt, trên
đường thẳng d
2
có n điểm phân biệt (
2n
≥
). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã
cho. Tìm n.

3) Cho tập
{ }
0;1;2;3;4;5A =
, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.hoctoancapba.com
2.2. Nhị thức Newton:
Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
1
2.
n
x
x
 
+
 ÷
 
, biết rằng
2 1
1
4 6
n
n n
A C n
−
+
− = +

Lời giải
Giải phương trình
2 1

1
4 6
n
n n
A C n
−
+
− = +
; Điều kiện: n ≥ 2 ; n ∈ N.
Phương trình tương đương với
( 1)!
( 1) 4 6
2!( 1)!
n
n n n
n
+
− − = +
−
⇔
( 1)
( 1) 4 6
2
n n
n n n
+
− − = +
⇔ n
2
– 11n – 12 = 0 ⇔ n = - 1 (Loại) v n = 12.

Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn:
12
1
2x
x
 
+
 ÷
 
.
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: T
k +1
=
12
12
1
(2 )
k
k k
C x
x
−
 
 ÷
 
; k ∈ N, 0 ≤ k ≤ 12
Hay T
k+ 1
=
( )

12
2
12
2 .
k
k
k
C x x
−
−
=
24 3
12
2
12
.2 .
k
k k
C x
−
−
.
2
Số hạng này không chứa x khi
, 0 12
8
24 3 0
k N k
k
k

∈ ≤ ≤

⇔ =

− =

.
Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là T
9
=
8 4
12
2 7920C =
Ví dụ 2. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển (x
2
+ 2)
n
, biết:
3 2 1
8 49
n n n
A C C− + =
.
Lời giải
Điều kiện n ≥ 4
Ta có
( )
2 2

0
2 2
n
n
k k n k
n
k
x C x
−
=
+ =
∑
Hệ số của số hạng chứa x
8
là
4 4
2
n
n
C
−
Hệ số của số hạng chứa x
8
là
4 4
2
n
n
C
−

Ta có:
3 2 1
8 49
n n n
A C C− + =
⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
⇔ n
3
– 7n
2
+ 7n – 49 = 0 ⇔ (n – 7)(n
2
+ 7) = 0 ⇔ n = 7
Nên hệ số của x
8
là
4 3
7
2 280C =

Ví dụ 3 (ĐH). Cho khai triển đa thức:
( )
2013
2 2013
1 2 2013
1 2 . .
o
x a a x a x a x− = + + + +

Tính tổng:

0 1 2 2013
2 3 2014S a a a a= + + + +
Lời giải
Ta có:
( )
2013 2 2013
0 1 2 2014
(1 2 ) 2 3 2014 .x x a a x a x a x
′
− = + + + +
2013 1012 2 2013
0 1 2 2013
(1 2 ) 4026 (1 2 ) 2 3 2014x x x a a x a x a x⇔ − − − = + + + +
(*).
Nhận thấy:
( )
k k
k k
a x a x= −
do đó thay
1x = −
vào cả hai vế của (*) ta có:
2213
0 1 2 2013
2 3 2014 1343.3S a a a a= + + + + =
Ví dụ 4 (ĐH). Cho khai triển:
( )
( )
2
10

2 2 14
1 2 14
1 2 1
o
x x x a a x a x a x+ + + = + + + +
. Hãy tìm giá trị
của
6
a
.
Lời giải
Ta có
2 2
1 3
1 (2 1)
4 4
x x x+ + = + +
nên

( )
10
2 2 14 12 10
1 3 9
1 2 ( 1) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 )
16 8 16
x x x x x x+ + + = + + + + +
Trong khai triển
( )
14
1 2x+

hệ số của
6
x
là:
6 6
14
2 C
; Trong khai triển
( )
12
1 2x+
hệ số của
6
x
là:
6 6
12
2 C
3
Trong khai triển
( )
10
1 2x+
hệ số của
6
x
là:
6 6
10
2 C

Vậy hệ số
6 6 6 6 6 6
6 14 12 10
1 3 9
2 2 2 41748.
16 8 16
a C C C= + + =
Ví dụ 5 (ĐH). Tính giá trị biểu thức:
2 4 6 100
100 100 100 100
4 8 12 200A C C C C= + + + +
.
Lời giải
Ta có:
( )
100
0 1 2 2 100 100
100 100 100 100
1 x C C x C x C x+ = + + + +
(1)

( )
100
0 1 2 2 3 3 100 100
100 100 100 100 100
1 x C C x C x C x C x− = − + − + +
(2)
Lấy (1)+(2) ta được:
( ) ( )
100 100

0 2 2 4 4 100 100
100 100 100 100
1 1 2 2 2 2x x C C x C x C x+ + − = + + + +
Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được:
( ) ( )
99 99
2 4 3 100 99
100 100 100
100 1 100 1 4 8 200x x C x C x C x+ − − = + + +
Thay x=1 vào =>
99 2 4 100
100 100 100
100.2 4 8 200A C C C= = + + +
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
10
3
1
x
x
 
+
 ÷
 
với x > 0.
2) Tính tổng:
0 1 2 2012
2012 2012 2012 2012
1 2 3 2013
C C C C

T = + + + +L
3) Tính tổng
0 1 2 2 3 3 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012
2 2 2 2

1.2 2.3 3.4 4.5 2013.2014
C C C C C
S = − + − + +
.
2.3. Xác suất:
Ví dụ 1. Một hộp chứa
4
quả cầu màu đỏ,
5
quả cầu màu xanh và
7
quả cầu màu vàng. Lấy
ngẫu nhiên cùng lúc ra
4
quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho
4
quả cầu được lấy ra có đúng
một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là
4
16
1820CΩ = =
.

Gọi
B
là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu
vàng”. Ta xét ba khả năng sau:
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là:
1 3
4 5
C C
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là:
1 2 1
4 5 7
C C C
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là:
1 1 2
4 5 7
C C C
hoctoancapba.com
Khi đó
1 3 1 1 2 1 2 1
4 5 4 7 5 4 7 5
740
B
C C C C C C C CΩ = + + =
.
Xác suất của biến cố
B
là
( )
740 37
1820 91

B
P B
Ω
= = =
Ω
.
4
Ví dụ 2. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ tú lơ khơ. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó
có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ (ví dụ 3 con K).
Lời giải
Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ là:
52
5
2598960C =
Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc
1 bộ là: 13.
4
3
52C =
Xác suất để chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài
thuộc 1 bộ là:
52
2598960
=
13
649740
.
Ví dụ 3. Cho E là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số:
0,1,2,3,4,5,6,7. Lấy ngẫu nhiên một số trong E. Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 5.
Lời giải

Giả sử
0 ó 7 cách chon a;abcde E a c
∈ ⇒ ≠ ⇒
&
Chọn
4 4
7 7
có A ( ) 7 A 5880bcde n E⇒ = =
4 3
7 6
5
( ) 5880; và 5 có : A 6A 1560
0
e
n abcde E abcde Trong E
e
=

⇒ Ω = ∈ ⇔ ⇒ + =

=

M
Số chia hết cho 5. Gọi A là biến cố chọn dc số chia hết cho 5 thì n(A)=1560
1560 13
( )
5880 49
P A = =
Ví dụ 4. Cho tập
{ }

1,2,3,4,5E =
. Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số
đôi một khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5.
Lời giải
Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E là:
5.4.3 60
=

Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2=24, và số các số có mặt chữ số 5 là
60 24 36
− =
.
Gọi A là biến cố “hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5”, B là biến cố “hai số viết lên
bảng đều không có mặt chữ số 5”. Rõ ràng A,B xung khắc. Do đó áp dụng qui tắc cộng xác suất ta
có:
( ) ( ) ( )
1 1
1 1
36 36 24 24
1 1 1 1
60 60 60 60
13
25
C C C C
P A B P A P B
C C C C
∪ = + = + =
.
Suy ra xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5 là
( )

13 12
1 1
25 25
P P A B= − ∪ = − =
.
Ví dụ 5. Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9.
Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt
qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu.
Lời giải
5
Gọi A
i
là biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3). Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu.
Ta có:
1 1 2
1 2 3
B A (A A ) (A A A )
= ∪ ∪
Suy ra:
1 1 2
1 2 3
P(B) P(A ) P(A A ) P(A A A )
= + +
Trong đó:
1
1 1 1
2 2
1 2 1 2 1 1 2
3 3
P(A ) 0,9

P(A A ) P(A ).P(A / A ) 0,1.0,7
P(A A A ) P(A ).P(A / A ).P(A / A A ) 0,1.0,3.0,3
=


= =


= =

Vậy:
P(B) 0,9 0,1.0,7 0,1.0,3.0,3 0,979
= + + =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Từ các chữ số của tập
{ }
0;1;2;3;4;5T =
, người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số
khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất
một số chia hết cho 5.
2) Có 10 học sinh lớp A; 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học
sinh trên. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp A.

3) Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số
trên viên bi lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ.
4) Một chiếc hộp đứng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu
đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu.
CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2
1. Kiến thức liên quan

1.1. Công thức nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng
dx x C= +
∫
. , aa dx ax C= + ∈
∫
¡
6
1
, 1
1
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
1
1 ( )
( ) .
1
ax b
ax b dx C
a
α
α

α
+
+
+ = +
+
∫
ln , x 0
dx
x C
x
= + ≠
∫
1
.ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
∫
x x
e dx e C= +
∫
1
.
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +

∫
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫
1
.
ln
x
x
a
a dx C
a
α β
α β
α
+
+
= +
∫
cos sinxdx x C= +
∫
1
cos( ) .sin( )ax b dx ax b C
a
+ = + +

∫
sin cosxdx x C= − +
∫
1
sin( ) .cos( )ax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫
2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫
2
1 1
tan( )
cos ( )
dx ax b C
ax b a
= + +
+
∫
2
1
sin
dx cotx C
x

= − +
∫
2
1 1
( )
sin ( )
dx cot ax b C
ax b a
= − + +
+
∫
1.2. Công thức tích phân
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
1.3. Phương pháp đổi biến số
1.3.1. Dạng 1 : Tính I =
[ ]
'
( ) ( )
b
a
f x x dx
ϕ ϕ
∫

+ Đặt t =
( )x
ϕ

'
( ).dt x dx
ϕ
⇒ =
+ Đổi cận :

⇒
I =
( )
( )
( )
( ). ( )
( )
b
a
b
f t dt F t
a
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
∫
1.3.2. Dạng 2 : Tính I =
( )

b
a
f x dx
∫
bằng cách đặt x =
( )t
ϕ
Dạng chứa
2 2
a x−
: Đặt x = asint, t
;
2 2
π π
 
∈ −
 
 
(a>0)
1.4. Phương pháp tích phân từng phần
* Công thức tính :
( )
b b b
b
a
a a a
f x dx udv uv vdu= = −
∫ ∫ ∫
7
x a b

t
( )a
ϕ

( )b
ϕ

Đặt






=
=
⇒
=
=
)(
)(


hamnguyenlayv
hamdaolaydxdu
dv
u
Ta thường gặp hai loại tích phân như sau:
* Loại 1:
( )

( ).sin ( ).
( ).cos ( ). ( )
( ). .
b
a
b
a
b
f x
a
P x f x dx
P x f x dx u P x
P x e dx





⇒ =






∫
∫
∫
, trong đó
( )P x

là đa thức bậc n.
*Loại 2:
( ).ln ( ). ln ( )
b
a
P x f x dx u f x⇒ =
∫
hoctoancapba.com
1.5. Tính chất tích phân
Tính chất 1:
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=
∫ ∫
, k: hằng số
Tính chất 2:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
Tính chất 3:
( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b= + < <
∫ ∫ ∫
1.6. Diện tích hình phẳng

1.6.1. Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:

( )
b
a
S f x dx=
∫
(*)
Lưu ý:

( ) 0f x =
vô nghiệm trên (a;b) thì

( ) ( )
b b
a a
S f x dx f x dx= =
∫ ∫

( ) 0f x =
có 1 nghiệm
( ; )c a b∈
thì

( ) ( ) ( )
b c b
a a c
S f x dx f x dx f x dx= = +
∫ ∫ ∫

1.6.2. Dạng 2: Cho hai hàm số y = f
1
(x) và y = f
2
(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f
1
(x), f
2
(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:
8

1 2
( ) ( )
b
a
S f x f x dx= −
∫
(**)
Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức
(*).
1.7. Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:

2
( )
b
a
V f x dx

π
=
∫

Lưu ý: Diện tích, thể tích đều là những giá trị dương.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
( )
( )
( )
1 1
0 0 0
4
2
3
1 0
1/ (2x+e ) x 2 / 2 3 3 / sinx+cos
2 3
4 / 5 / sin 2
x x x
A d B e dx C x dx
x x
D dx E x x dx
x
π
π
= = + =
 
+ +
= = −

 ÷
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Lời giải
( )
1 1 1
1 1
2
0 0
0 0 0
1/ 2 2 1 0 1
x x x
A x e dx xdx e dx x e e e= + = + = + = − + − =
∫ ∫ ∫
( )
( )
( )
1
1
1 1 1
0 0 0
0
0
2
2 2 1 3
2 / 2 3 2 3 2 3
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
x
x

x
x x x
e
e
B e dx e dx dx
e e
−
 
= + = + = + = +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
( )
0 0
0 0 0
3 / sinx cos sinx cos cos sin 2C x dx dx xdx x x
π π π
π π
= + = + = − + =
∫ ∫ ∫
4
4 4
5 3
4
4
3 2
2 2
3 3
1
1

1 1
1
1 3 1 2 3
4 / 3 ln
3 2
x
D dx x x dx x x x
x x x x
− −
− −
 
 
= + + = + + = − + =
 ÷
 ÷
−
 
 
∫ ∫
( )
2
2
0 0
0 0 0
1 1
5 / sin 2 sin 2 cos2
2 2 2
E x x dx xdx xdx x x
π π
π π π

π
= − = − = + =
∫ ∫ ∫
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau

( )
6 1
1 0
ln 2
1 0
2 1
1/ 3 x 2 / x
1 3 1
1 2ln 1 1
3 / 4 /
ln 1 2 1
e
x
x
I x x d J d
x
x
K dx L x dx
x x e
x
+
= + =
+ +
 
+

 
= + = +
 ÷
 ÷
 ÷
+ +
 
 
∫ ∫
∫ ∫
Lời giải
9

6
1
1/ 3I x x dx= +
∫
• Đặt
3x t+ =
ta được
2
3 2x t dx tdt+ = ⇒ =

• Đổi cận:

1 2; 6 3x t x t= ⇒ = = ⇒ =
• Khi đó
( )
3
3

4 2 5 3
2
2
2 232
2 6 2
5 5
I t t dt t t
 
= − = − =
 ÷
 
∫

1
0
2 1
2 /
1 3 1
x
J dx
x
+
=
+ +
∫
• Đặt
3 1x t+ =
ta được
2
1 2

3 3
t
x dx tdt
−
= ⇒ =

• Đổi cận
0 1; 1 2x t x t= ⇒ = = ⇒ =
• Khi đó
2 2
3
2
1 1
2 2 2 3 28 2 3
2 2 3 ln
9 1 9 1 27 3 2
t t
J dt t t dt
t t
+
 
= = − + − = −
 ÷
+ +
 
∫ ∫

( )
1
1 2ln 1

3 /
ln 1
e
x
K dx
x x
x
 
+
= +
 ÷
 ÷
+
 
∫
• Tính
1
1
1
e
K dx
x
=
∫
ta được kết quả
( )
1
2 1K e= −
• Đặt
ln x t=

ta được
dx
dt
x
=

• Đổi cận
1 0; 1x t x e t= ⇒ = = ⇒ =
• Khi đó
( )
( )
1
1
2
0
0
2 1
2 ln 1 2 ln 2
1
t
K dt t t
t
+
= = − + = −
+
∫

• Vậy ta được
1 2
2 ln 2K K K e= + = −

ln 2
0
1
4 /
2 1
x
L x dx
e
 
= +
 ÷
+
 
∫
hoctoancap ba. com
• Tính
ln 2
1
0
L xdx=
∫
ta được kết quả
2
1
ln 2
2
I =

• Tính

ln 2
2
0
1
2 1
x
L dx
e
=
+
∫

• Đặt
x
e t=
ta được
x
e dx dt=

• Đổi cận
0 1; ln 2 2x t x t= ⇒ = = ⇒ =

• Khi đó
( )
( )
( )
2
2
2
1

1
5 6
ln ln 2 1 ln 2 ln ln
2 1 3 5
dt
L t t
t t
= = − + = − =
+
∫

• Vậy ta được
2
1 2
1 6
ln 2 ln
2 5
L L L= + = +

10
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
( )
( )
4
3
2 4
0 0
6
1
1/ 1 sin cos 2 / 3 / sinx sin

sin cos
I x xdx J dx K x xdx
x x
π
π π
π
= − = = +
∫ ∫ ∫
Lời giải

( )
2
3
0
1/ 1 sin cosI x xdx
π
= −
∫
• Đặt
sin cosx t dt xdx= ⇒ =

• Đổi cận
0 0; 1
2
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
• Khi đó
( )
1

1
4
3
0
0
3
1
4 4
t
I t dt t
 
= − = − =
 ÷
 
∫
4
2 4
6
1
2 /
sin cos
J dx
x x
π
π
=
∫
• Đặt
2
1

cot
sin
x t dt dx
x
−
= ⇒ =
• Đổi cận
3; 1
6 4
x t x t
π π
= ⇒ = = ⇒ =
• Khi đó
3
2
3 3
2 2 4 3
1 1
1
1 2 1 2 1 8 3 4
1 1
3 27 3
J dt dt t
t t t t t
     
= + = + + = − − = +
 ÷  ÷  ÷
     
∫ ∫
( )

2
0 0 0
3 / sinx sin sin sinK x xdx xdx x xdx
π π π
= + = +
∫ ∫ ∫
• Đặt
2
1
0 0
1 cos2 1
sin
2 2
x
K xdx dx
π π
π
−
= = =
∫ ∫
•
2
0
sinK x xdx
π
=
∫
•
sin cos
u x du dx

dv xdx v x
= =
 
⇒
 
= = −
 
•
2
0 0
0
cos cos sinxK x x xdx
π
π π
π π
= − + = + =
∫
* Chú ý: Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu.
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có
luỹ thừa cao nhất.
- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
11
- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.
- Nếu tích phân chứa
dx
x
thì đặt
lnt x=
.
- Nếu tích phân chứa

x
e
thì đặt
x
t e=
.
- Nếu tích phân chứa
dx
x
thì đặt
t x=
.
- Nếu tích phân chứa
2
dx
x
thì đặt
1
t
x
=
.
- Nếu tích phân chứa
cos xdx
thì đặt
sint x=
.
- Nếu tích phân chứa
sin xdx
thì đặt

cost x=
.
- Nếu tích phân chứa
2
cos
dx
x
thì đặt
tant x=
.
- Nếu tích phân chứa
2
sin
dx
x
thì đặt
cott x=
.
Ví dụ 3. Tính các tích phân
a)
2
0
sinI x xdx
π
=
∫
1
) ln
e
b J x xdx=

∫
1
0
)
x
c K xe dx=
∫
Lời giải
a)
2
0
sinI x xdx
π
=
∫

sin cos
u x du dx
dv xdx v x
= =
 
⇒
 
= = −
 

2
2 2
0 0
0

cos cos 0 0 sinx 1I x x xdx
π
π π
= − + = − + =
∫
1
) ln
e
b J x xdx=
∫

2
1
ln
2
du dx
u x
x
dv xdx
x
v

=

=


⇒
 
=



=



2 2 2 2
1
1 1 1
1
ln ln
2 2 2 4 4
e e e
e
x x x x e
J x dx x
+
= − = − =
∫
12
1
0
)
x
c K xe dx=
∫

x x
u x du dx
dv e dx v e

= =
 
⇒
 
= =
 

1
1 1
0 0
0
1
x x x
K xe e dx e e= − = − =
∫
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau
2 ln 4 2
2 2
2
3 2
1 0 1
1 1 1
1/ 2 / 3/ ln
2
x
x
x x
I x dx J e dx K xdx
x x x
e

 
 
− −
= + = + =
 ÷
 ÷
+
+
 
 
∫ ∫ ∫
Lời giải
2 2 2
2 2
2 2
3 2
1 1 1
1 1
1/
x x
I x dx x dx dx
x x x x
 
− −
= + = +
 ÷
+ +
 
∫ ∫ ∫
Tính

2
2
2 3
1
1
1
1 7
3 3
I x dx x= = =
∫


2
2 2 2
2
2
2
3
1 1 1
1
1
1
1
1 1 4
ln ln
1 1
5
d x
x
x

x
I dx dx dx x
x x x
x x
x x
 
+
−
 ÷
−
 
 
= = = − = − + =
 ÷
+
 
+ +
∫ ∫ ∫
Vậy
1 2
7 4
ln
3 5
I I I= + = +
ln 4 ln 4 ln 4
0 0 0
1 1
2 /
2 2
x x

x x
J e dx e dx dx
e e
 
= + = +
 ÷
+ +
 
∫ ∫ ∫
ln 4
ln 4
1
0
0
3
x x
J e dx e= = =
∫
( )
ln 4
2
2
0
2
2
2
1
1
1 2
; 2

2
2 3
ln ln
2 2 2
x x x
x
J dx t e t e tdt e dx dx dt
t
e
t
J dt
t t t
= = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
+
 
⇒ = = =
 ÷
+ +
 
∫
∫
Vậy
1 2
3
3 ln
2
J J J= + = +
13
2
2

2
1
1
3 / ln
x
K xdx
x
−
=
∫
Đặt
2
2
2
1
1
2
1
ln
1 1 1
ln
1
1
u x
du dx
x
K x x x dx
x
x x x
dv dx

v x
x
x

=

=

 
   
⇒ ⇒ = + − +
 
−
 ÷  ÷
=
   
 
= +



∫

2 2
1 1
1 1 5 3
ln ln 2
2 2
K x x x
x x

   
⇒ = + − − = −
 ÷  ÷
   

Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a)
2
y x=
, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2.
b)
2
y x=
,
2 3y x= − +
và hai đường thẳng x =0, x=2.
c)
2
, 2y x y x= = +
Lời giải
a)
2
y x=
, trục hoành và hai đường thẳng x= 0, x=2.
 Trên [0; 2] ta có
2
0 0 [0;2]x x= ⇔ = ∈
 Diện tích của hình phẳng đã cho:
2
2

2 3
0
0
1 8
3 3
S x dx x= = =
∫
b) Đặt
2
1 2
( ) , ( ) 2 3f x x f x x= = − +
Ta có:
2 2
1 2
1 [0;2]
( ) ( ) 0 ( 2 3) 0 2 3 0
3 [0;2]
x
f x f x x x x x
x
= ∈

− = ⇔ − − + = ⇔ + − = ⇔

= − ∉

 Diện tích hình phẳng đã cho
2
2
0

| 2 3|S x x dx= + −
∫

1 2
2 2
0 1
1 2
3 3
2 2
0 1
( 2 3) ( 2 3)
3 3
3 3
1 8 1 5 7
2 4 6 1 3 4
3 3 3 3 3
x x dx x x dx
x x
x x x x
= + − + + −
   
= + − + + −
 ÷  ÷
   
= − + + − − − + = + =
∫ ∫
c) Ta có:
2 2
1
( 2) 0 2 0

2
x
x x x x
x
= −

− + = ⇔ − − = ⇔

=

Diện tích hình phẳng
14
2
2
3 2
2
1
1
8 1 1 9
| 2 | x 2x 2 4 2
3 2 3 3 2 2
x x
S x x d
−
−
 
= − − = − − = − − + + − =
 ÷
 
∫

Ví dụ 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn
bởi
2
1 , 0y x y= − =
Lời giải
 Ta có:
2
1 0 1x x− = ⇔ = ±
 Áp dụng công thức:
2
( )
b
a
V f x dx
π
=
∫

 Ta có:
1
2 2
1
(1 )V x dx
π
−
= −
∫
( )
1
1

3 5
2 4
1
1
2x
1 2x
3 5
x
x dx x
π π
−
−
 
= − + = − +
 ÷
 
∫


2 1 2 1 4 2 16
1 1 2
3 5 3 5 3 5 15
π
π π
 
     
= − + − − + − = − + =
 ÷  ÷  ÷
 
     

 
Bài Tập tự luyện
Bài 1: Tính các tích phân sau
1.
1
3
0
( 1)x x dx+ +
∫
2.
2
2
1
1 1
( )
e
x x dx
x x
+ + +
∫
3.
2
1
1x dx+
∫
4.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx
π

π
+ +
∫
5.
1
0
( )
x
e x dx+
∫
6.
1
3
0
( )x x x dx+
∫

7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx+ − +
∫
8.
2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx
x
π
π

+ +
∫
9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx+ +
∫
10.
3
3
1
( 1). x dx
−
+
∫
11.
2
1
7 2 5

e
x x
dx
x
− −
∫
12.

2
2
( 3)x x dx
−
−
∫
13.
4
2
3
( 4)x dx
−
−
∫
14.
2
2 3
1
1 1
dx
x x
 
+
 ÷
 
∫
15.
2
2
3

1
2x x
dx
x
−
∫

16.
8
2
3
1
1
4
3
x dx
x
 
−
 ÷
 
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau
15
1.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π

π
∫
2.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
3.
1
2
0
1x x dx+
∫
4.
1
2
0
1x x dx−
∫
5.
1
2
3
0
1
x
dx
x +

∫
6.
1
2 2
0
(1 3 )
x
dx
x+
∫
7.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
8.
2
2 3
0
sin 2 (1 sin )x x dx
π
+
∫
9.
1
5 3 6

0
(1 )x x dx−
∫
12.
6
2
0
cos
6 5sin sin
x
dx
x x
π
− +
∫
11.
9
4
1
x
dx
x −
∫
12.
6
0
1 4sin .cosx xdx
π
+
∫

13.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
14.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
15.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
16.
1
0
1x x dx+

∫
17.
1
2 3
0
5x x dx+
∫
18.
8
2
3
1
1
dx
x x +
∫
19.
ln 5
ln 3
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫
20.
1
0
x

e dx
−
∫
21.
3
3
0
sin
x
cos
x
d
x
π
∫
22.
1
2
0
1 x dx−
∫
23.
1
2
0
1
4
dx
x−
∫

24.
1
2
0
1
1
dx
x+
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau
1.
2
2
0
cosx xdx
π
∫
2.
1
0
sin
x
e xdx
∫
3.
2
0
(2 1) osxx c dx
π
−

∫
4.
1
0
x
xe dx
∫
5.
1
ln
e
x xdx
∫
6.
2
2
0
( 1)sin xx dx
π
+
∫
7.
2
2
0
( os )sin xx c x dx
π
+
∫
8.

2
2
0
sin3x
x
e dx
π
∫
9.
1
2
0
( 2)
x
x e dx−
∫
10.
1
2
0
ln(1 )x x dx+
∫
11.
1
(2 2)ln
e
x xdx+
∫
12.
2

0
cosx x dx
π
∫
13.
2
0
(2 7)ln( 1)x x dx+ +
∫
14.
1
2
0
( 2)
x
x e dx−
∫
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
16
a)
3 2
1 2
3 3
y x x= − + −
, trục hoành, x = 0 và x = 2.
b)
2
1, 1, 2y x x x= + = − =
và trục hoành.
c)

3 2
12 ,y x x y x= − =
d)
3
1y x= −
và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng -2.
e)
2
4 , 0, 0, 3y x x y x x= − = = =
f)
3
sinx, y=0, x=0, x=
2
y
π
=
g)
, Ox, 0, 3
x
y e x x= = =
Bài 5: Tính thể tích vật tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục
hoành:
a)
2
4 , 0, 0, 3y x x y x x= − = = =
b)
cos , 0, 0,y x y x x
π
= = = =
c)

tan , 0, 0,
4
y x y x x
π
= = = =
d)
2
2 , 1y x y= − =
e)
1
ln , , , 0y x x x e y
e
= = = =
CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2
1. Kiến thức liên quan
1.1. Một số phép toán vectơ
17

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
2 2 2
1 2 3
1 1
2 2
3 3

1 1 2
1. ( , , )
2.
3. , , a , , ,b , ,
4. k.a , ,
5. a
6. a
7. a. .
B A B A B A
B A B A B A
AB x x y y z z
AB AB x x y y z z
a b a b a b a b a a a b b b
ka ka ka
a a a
a b
b a b
a b
b a b a
= − − −
= = − + − + −
± = ± ± ± = =
=
= + +
=


= ⇔ =



=

= +
uuur
uuur
r r r r
r
r
r r
r r
2 3 3
3
1 2
1 2 3
1 1 2 2 3 3
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
. .
8. a .
9. a . 0 . . . 0
10. [a, ] , ,
b a b
a
a a
cp b a k b
b b b
b a b a b a b a b
a a a a
a a

b
b b b b
b b
+
⇔ = ⇔ = =
⊥ ⇔ = ⇔ + + =
 
=
 ÷
 
r r r r
r r r r
r r
11. M là trung điểm AB

, ,
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
+ + +
 
 ÷
 
12. G là trọng tâm tam giác ABC

, , ,
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z

G
+ + + + + +
 
 ÷
 
1.2. Phương trình mặt phẳng
*) Phương trình mp(α) qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n
r
= (A;B;C)
A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có vtpt
n
r
= (A; B; C)
*) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là
1
x y z

a b c
+ + =
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ điểm đi qua và 1 véctơ pháp
tuyến.
*) Vị trí tương đối của hai mp (α
1
) và (α
2
) :
°
( )
α
cắt
1 1 1 2 2 2
( ) : : : :A B C A B C
β
⇔ ≠
°
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) / / ( )
A B C D
A B C D
α β
⇔ = = ≠
18
°
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( )

A B C D
A B C D
α β
≡ ⇔ = = =
°
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0A A B B C C
α β
⊥ ⇔ + + =
*) Khoảng cách từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (α) : Ax + By + Cz + D = 0

o o o
2 2 2
Ax By Cz D
A B C
α
+ + +
=
+ +
d(M, )
*) Góc giữa hai mặt phẳng :
1 2
1 2
.

) )
.
n n
n n
α β
=
r r
r r
cos(( ,( )
1.3. Phương trình đường thẳng
*) Phương trình tham số của đường thẳng d qua M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a
r
= (a
1
;a
2
;a
3
)
: (
= +



= + ∈


= +

¡
o 1
o 2
o 3
x x a t
d y y a t t )
z z a t
*) Phương trình chính tắc của d :
0
:
− −
= =
2 3
o o
1
z - z
x x y y
d
a a a

*) Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d , d
’
: Ta thực hiện hai bước
+ Tìm quan hệ giữa 2 vtcp
d

a
r
,
/
d
a
uur
+ Tìm điểm chung của d , d
’
bằng cách xét hệ:
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
x + a t = x' + a' t'
y + a t = y' + a' t' (I)
z + a t = z' + a' t'





Hệ (I) Quan hệ giữa
d
a
r
,
/
d
a
uur

Vị trí giữa d , d
’
Vô số nghiệm
Cùng phương
'
d d≡
Vô nghiệm
'
/ /d d
Có 1 nghiệm
Không cùng phương
d cắt d
’
Vô nghiệm d , d
’
chéo nhau
*). Góc giữa 2 đường thẳng : Gọi
ϕ
là góc giữa d và d
’
/
/
.
(0 90 )
.
d
d
d
d
a a

a a
ϕ ϕ
= ≤ ≤
o o
uur
r
uur
r
cos
1.4. Một số dạng toán thường gặp
 Dạng 1: Các bài toán cơ bản( các yếu tố đã cho sẵn)
• Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm, đi qua một điểm và song song với mặt phẳng
cho trước
• Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, song song với đường thẳng cho trước
19
•
Chứng minh ABCD là một tứ diện, tính diện tích tam giác biết tọa độ ba điểm
•
Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng, mặt phẳng
•
Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính, đi qua 4 điểm đã cho
 Dạng 2: Bài toán về phương trình mặt phẳng và các vấn đề liên quan
• Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định VTPT
• Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
• Viết phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn
• Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc
• Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu
• Các dạng toán khác về mặt phẳng
 Dạng 3: Bài toán về phương trình đường thẳng và các vấn đề liên quan
• Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định VTCP

• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác
• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc
• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến diên tích tam giác
 Dạng 4 Các bài toán tổng hợp
1.5. Phương trình mặt cầu
1.5.1. Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R
( ) ( ) ( )
2
r− + − + − =
2 2 2
(S) : x a y b z c
(1)
+/
+ + − − − + =
2 2 2
(S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0
(2) (
+ + − >
2 2 2
vôùi a b c d 0
)
+/Ta có: Tâm I(a ; b ; c) và
2 2 2
r = + + −a b c d
1.5.2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho
( ) ( ) ( )
2
r− + − + − =

2 2 2
(S) : x a y b z c
và ( α) : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,(α)) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(α).
 d > r : (S) ∩ (α) =
∅
 d = r : (α) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (α): tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp(
α
) )
+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp(α) : ta có
( )
d
a n
α
=
uur r
+ H = d
∩
(α)
Gọi H (theo t)

∈
d

H
∈
(α)
⇒
t = ?

⇒
tọa độ H
 d < r : (α) cắt (S) theo đường tròn (C):
( ) ( ) ( )
2
( )
r
α

− + − + − =


+ + + =


2 2 2
(S) : x a y b z c
: Ax By Cz D 0

*Tìm bán kính R và tâm H của đường tròn giao tuyến:
+ Bán kính
2 2
( ,( ))R r I
α
= − d
+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp(α) )
20
1.5.3. Các dạng toán cơ bản về mặt cầu
• Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính.
• Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định hệ số của phương trình tổng quát.

• Bài toán khác liên quan đến mặt cầu.
2. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

( )
1 2
2 2 2
: & : 1 2
2 4 2
x t
x y z
d d y t t R
z t
=

− − −

= = = + ∈


=

Chứng minh hai đường thẳng song song. Viết phương trình mp(P) chứa 2 đường thẳng trên
Lời giải
• Ta có
( ) ( )
1 2
2;4;2 ; 1;2;1u u= =
ur uur
suy ra hai véc tơ cùng phương.

• Ta có
( )
1
2;2;2M d∈
và
( )
2
2;2;2M d∉

• Suy ra hai đường thẳng song song
• Ta có
( ) ( ) ( )
1 1
2;4;2 ; 2; 1; 2 , 6;0;6u MN u MN
 
= = − − − ⇒ =
 
ur uuuur ur uuuur
với N(0;1;0)
• Phương trình mp(P): x+z-4=0
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x-2y-3z+1=0 và mặt phẳng
(Q): 5x+2y+5z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mp(P) và mp(Q) đồng thời
biết khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp(R) bằng 1.
Lời giải
• Ta có
( )
, 4; 30;16
R P Q
n n n
 

= = − −
 
uur uur uur
• Suy ra phương trình (R) là: -4x-30y+16z+D=0
• Ta có
( )
( )
; 1
2 293
D
d O R = =
• Vậy phương trình mp(R) là:
2 15 8 293 0x y z− − + ± =
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0,1,2), B(2,-2,1), C(-2;0;1)
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC
Lời giải
1.Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
• Ta có
( ) ( ) ( )
2; 3; 1 ; 2; 1; 1 , 2;4; 8AB AC n AB AC
 
= − − = − − − ⇒ = = −
 
uuur uuur r uuur uuur
• Phương trình mặt phẳng(ABC) : x+2y-4z+6=0
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC
• Ta có
. 0AB AC =
uuur uuur

nên M thuộc đường thẳng vuông góc với (ABC) tại trung điểm I(0;-1;1)
của đoạn BC
• Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình
21
2 2 3 0
1 1
1 2 4
x y z
x y z
+ + − =



+ −
= =

−

•
Suy ra tọa độ M(2;3;-7)
Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3) B(2;2;2) C(1;2;0) Viết phương trình mặt
phẳng đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng đó bằng
3.
Lời giải
• Gọi
( )
; ; . 0 0n a b c n AB a c= ⇒ = ⇒ − =
r r uuur

• Phương trình mp có dạng ax+by+cz-a-2b-3c=0

• Ta có
( )
( )
2 2 2
3
; 3
c
d C P
a b c
−
= =
+ +
•
Suy ra a=b=c=1 hoặc a=c=1, b=-1
•
Phương trình mp(P) là x+y+z-6=0 hoặc x-y+z-2=0
Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;b;0), C( 0;0;c), trong đó b,c
dương và mặt phẳng (P): y-z+1=0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt
phẳng (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng
1
3
Lời giải
• Ta có phương trình (ABC) là
1
1
x y z
b c
+ + =
• Ta có
. 0

ABC P
n n b c= ⇔ =
uuuuruur
• Ta có
( )
( )
2 2 2 2
1
;
3
bc
d O ABC
b c b c
−
=
+ +
•
Suy ra
1
2
b c= =
Ví dụ 6 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng

( )
1 2
2
1 1 1
: & : 1 2
1 3 2
x t

x y z
d d y t t R
z t
= +

+ + −

= = = − ∈

−

= −

Viết phương trình đường thẳng d cắt cả 2 đường thẳng
1
d
và
2
d
đồng thời vuông góc với mp(P):
2x+y-5=0
Lời giải
• Ta có
22

( )
( )
( )
1
2

1 ; 1 3 ;1 2
2 ;1 2 ;
3; 2 3 2; 2 1
d d A A u u u
d d B B t t t
AB t u t u t u
∩ = ⇒ − − − + +
∩ = ⇒ + − −
⇒ = + + − − + − − −
uuur

• T a có
( )
3
2
P
t
d P AB kn
u
=

⊥ ⇔ = ⇒

= −

uuur uur

• Suy ra phương trình đường thẳng d là
( )
1 2 '

7 ' '
5
x t
y t t R
z
= +


= − + ∈


= −

Ví dụ7 : Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1). Viết phương trình tham số
của đường thẳng d biết:
a) d qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC.
b) d qua C và vuông góc với mp(ABC).
Lời giải
a) I là trung điểm BC nên
1 3
1; ;
2 2
I
 
− −
 ÷
 
.
VTCP:
3 1

1; ;
2 2
AI
 
= − − −
 ÷
 
uur
.
Phương trình tham số đường thẳng d:

0 1
0 2
0 3
3
1
2
1
2
2
x t
x x a t
y y a t y t
z z a t
z t


= −
= +



 
= + ⇔ = −
 
 
= +


= −


b)
( 3;0;2), (4; 3; 5)AB BC= − = − −
uuur uuur
VTCP:
(6; 7;9)n AB BC= ∧ = −
uuur uuur
r
Phương trình đường thẳng d cần tìm:
0 1
0 2
0 3
1 6
2 7
1 9
x x a t
x t
y y a t y t
z t
z z a t

= +
= +


 
= + ⇔ = − −
 
 
= − +
= +


Ví dụ 8 : Xét vị trí tương đối của d
1
3
3
x t
y t
z t
= − +


= −


=

với các đường thẳng:
23
a)

1
1 2
: 2
3 6
x t
y t
z t
= +


∆ = −


= +

b)
2
2
: 8 2
1 4
x t
y t
z t
= +


∆ = −


= +


c)
3
1 2
: 4
1 3
x t
y t
z t
= − −


∆ = +


= − +

Lời giải
a) d có VTCP
(1; 1;3)u = −
r
.
1
∆
có VTCP
1
(2; 2;6)u = −
r
.
Xét hệ phương trình:

1 2 1 ' 2 ' 2
2 3 ' 2 ' 3
3 6 3 ' 6 3 ' 3
t t t t
t t t t
t t t t
+ = − + − = −
 
 
− = − ⇔ − + =
 
 
+ = − = −
 
vô nghiệm.
Và
1
(2; 2;6) 2u u= − =
r r
Suy ra: d //
1
∆
.
b) Thực hiện tương tự: d và
2
∆
cắt nhau.
c) Thực hiện tương tự: d và
3
∆

chéo nhau.
Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x-2y-3z+5=0. Viết phương
trình mặt phẳng vuông góc với (P) đồng thời chứa Oy
Lời giải
• Ta có
( )
, 3;0;1
P
n n j n
α α
 
= ⇒ =
 
uur uur r uur
•
Phương trình mặt phẳng là: 3x+z=0
Ví dụ 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

1 2 '
: 1 2 ': 1 '
2 3 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = +
 
 
= − = − +
 
 

= + = +
 
Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng trên
Lời giải
• Ta có hệ phương trình có nghiệm duy nhất
1
' 0
t
t
=


=

suy ra d cắt d’ tại I(2;-1;3)
• Ta có
( )
, ' 3;0;3
P P
n u u n
 
= ⇒ = −
 
uur r ur uur

• Phương trình mặt phẳng là: -x+z-1=0
Ví dụ 11: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và mp(P)
2 2 1 0x y z− + + =
a) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A.
b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC.

c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P).
24
Lời giải
a) Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính r = AB.
1 4 1 6AB = + + =
Phương trình mặt cầu cần tìm:
2 2 2
( 1) ( 3) ( 1) 6x y z− + − + − =
.
b) Gọi I là trung điểm BC
Khi đó,
3 1 69
1; ; 2 ,
2 2 2
I BC
 
− =
 ÷
 
Mặt cầu đường kính BC có tâm
3
1; ; 2
2
I
 
−
 ÷
 
, bán kính r =
69

2
có phương trình:
2 2 2
3 69
( 1) ( ) ( 2)
2 4
x y z− + − + + =
c) Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính
0 4 12 1
( ,( )) 5
1 4 4
r d C P
− − +
= = =
+ +
Phương trình mặt cầu cấn tìm:
2 2 2
( 2) ( 6) 25x y z+ − + + =
Ví dụ 12: Cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 6 8 1 0x y z x y z+ + − + − + =
.
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1).
Lời giải
a) Từ phương trình mặt cầu ta có:
2 2 1
2 6 3
2 8 4
1 1

a a
b b
c c
d d
− = − =
 
 
− = = −
 
⇔
 
− = − =
 
 
= =
 
Tọa độ tâm I(1; -3; 4).
Bán kính:
1 9 16 1 5r = + + − =
b) Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại M nên IM vuông với mp.
(0;4; 3)IM = −
uuur
Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT
(0;4; 3)IM = −
uuur
có phương trình:
0( 1) 4( 1) 3( 1) 0 4 3 1 0x y z y z− + − − − = ⇔ − − =
3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) và mp(P) x+y+z-3=0. Tìm tọa độ hình chiếu của A
lên (P)

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) và
( )
: 1 2
x t
d y t t R
z t
=


= + ∈


=

Tìm tọa độ hình chiếu của
A lên d, điểm đx của A qua d.
25