Dai so to hop , xac suat

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải
Phần i
phơng trình , bất phơng trình , hệ phơng trình chứa
n
P
,
k
n
A
,
k
n
C
Với
P
n
là số các hoán vị của n phần tử : P
n
= n! = 1.2.3 n

k
n
A
là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử :
k
n
A
=
n !
(n k) !
( 0 k n )

k
n
C
là số các tổ hợp chập k của n phần tử :
k
n
C
=
n !
k!(n k) !
( 0 k n )
I/ Phơng pháp
Tiến hành theo các bớc sau :
B ớc 1 : Đặt điều kiện cho các biểu thức
n
P
,
k
n
A
,
k
n
C
+ Đối với :
n
P
thì điều kiện : n là số nguyên dơng (n 1 , n N)
+ Đối với :

k
n
A
và
k
n
C
thì điều kiện :
0 k n
k, n N





B ớc 2 : Dùng các công thức sau để rút gọn :
+ P
n
= n! = 1.2.3 n
+
k
n
A
= ( 0 k n )
+
k
n
C
=
n !

k!(n k) !
( 0 k n )
B ớc 3 : Sau khi rút gọn ta đa về phơng trình , bất phơng trình , hệ phơng trình
đã biết cách giải . Giải và tìm nghiệm thích hợp với điều kiện .
B ớc 4 : Kết luận
Chú ý : Đối với hệ phơng trình ta có thể giải theo phơng pháp đặt ẩn phụ .
II/ Bài tập
Bài 1 : Giải các phơng trình sau :
1/
3 1
n n
C = 5C
6/
2 2 3 1 2
n + 1 n 2n
C - A - 4n = (A )
2/
n n + 2 n + 1
14 14 14
C + C = 2C
7/
1 2 3 2
x x x
C + 6C 6C 9x 14x
+ =
3/ 3
2 2
n + 1 2 n
C + n.P = 4A
8/

x x x
5 6 7
5 2 14
- =
C C C
4/
4 3 2
n -1 n -2 2
5
C C A 0
4
n
=
9/
2 2
x x x x
P A + 72 = 6(A + 2P )
5/
2 n-2 2 3 3 n-3
n n n n n n
C .C 2C .C C .C 100
+ + =
10/
n + 1 n
n + 4 n +3
C - C = 7(n + 3)
Giải
1/
Điều kiện : n 3 , n N
Pt đã cho

! !
5
3!( 3)! ( 1)!
n n
n n
=

(n-2)(n-1) = 30
n 7
n 4(loai)
=


=


Vậy nghiệm của phơng trình là : n = 7
2/
Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải
Điều kiện :
14 2n
n N
+




n 12 , n N .
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : n
2

12n + 32 = 0
n 4
n 8
=


=

(thoả mãn)
3/
Điều kiện : n 2 , n N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : n
2
15n = 0
n 0 ( )
n 3
loai=


=


4/
Điều kiện : n 5 , n N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : n
2
9n 22 = 0
n 2 ( )
n 11
loai=

=


5/
Điều kiện : n 3 , n N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : n
3
n 60 = 0 (n- 4)(n
2
+ 4n + 15) = 0
n = 4
6/
Điều kiện : n 2 , n N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : 8n
3
+ 9n
2
3n = 0
2
n 0 ( )
8n 9 3 0
loai
n
=


+ =

(Vô nghiệm) .
7/
Điều kiện : x 3 , n N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : x(x
2
9x + 14) = 0 x = 0 ; x = 7 ; x = 2
x = 7
8/
Điều kiện : 0 x 5 , x N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : x
2
14x + 33 = 0
11 ( )
3
x loai
x
=


=

x=3
9/
Điều kiện : x 2 , x N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : (x! - 6)(x
2
x 12) = 0

2

! 6
12 0
x
x x
=


=

x = 3 , x = 4
10/
Điều kiện : n N
Sau khi biến đổi , ta đợc nghiệm của phơng trình : n = 12
Bài 2 : Giải các phơng trình sau :
1/
x x x
4 5 6
1 1 1
- =
C C C
3/
4
3 4
1
24
23
n
n n
A
A C

+
=

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải
2/
1 x-2 x-3 x-1 2
x x x x
C + 6C 6C 46C 14x
+ =
4/
2 2
x x x x
P A + 180 = 6(A + 5P )
5/
3 x-2
x x+1 x+1 x
P + 60 = 2(3C + 5P )C

Đáp số
1/ x = 2 3/ n = 5
2/ x = 5 ; x = 9 4/ x = 3 ; x = 6
5/ x = 3 ; x = 4
Bài 3 : Giải các bất phơng trình sau :
1/
1 3
x x +1
72C - A 72
2/
1 2 3 2
x x x

C + 6C 6C 9x 14x
+
Giải
1/
Điều kiện : x 2 , x N (*)
Biến đổi bpt đã cho x
2
+ x - 72 0 -9 x 8 , giao với (*) đợc :
2 8x
x N





2/
Điều kiện : x 3 , x N (*)
Biến đổi bpt đã cho x
2
- 9x + 14 0 2 x 7 , giao với (*) đợc :
3 7x
x N





Bài 4 : Giải các bất phơng trình sau :
1/
x x x

5 6 7
5 2 14
-
C C C

2/
2 2 3
2x x
6
C - A 10
x
C
x
+
3/
2 3 2
x+2 x +2
5
C + C
2
x
A>
4/
4 3 2
x-1 x -1 2
5
C - C 0
4
x
A

Đáp số
1/
3 5x
x N





2/
3 4x
x N





x = 3 ; x = 4
3/
2x
x N





4/
5 11x

x N





Bài 5 : Giải các hệ phơng trình sau :
1/
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =

=

2/
y + 1 y y - 1
x + 1 x +1 x +1
C : C : C 5 : 5 : 3=
Giải
1/
Điều kiện : 0 < y x , x ; y N (*)
Đặt : u =
y

x
A
; v =
y
x
C
. Ta đợc : u = 20 ; v = 10
Ta có : u = v.y! y! = 2 y = 2 x
2
x 20 = 0 x = 5 ; x = - 4 (loại)
Vậy nghiệm của hệ pt là :
5
2
x
y
=


=


2/
Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải
Điều kiện : 0 y x , x ; y N (*)
Đa về hệ pt sau :
y + 1
x + 1
y
x + 1
y

x + 1
y - 1
x + 1
C 5
C 5
C 5
C 3

=




=



2 0
3 8 6
x y
x y
=


=


6
3
x

y
=


=

(thoả mãn)
Bài 6 : Giải các hệ phơng trình sau :
1/
3 2 80
5 6 40
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =

=

2/
2 2 2 2
2 2
( ) ( ) 36 3
54
y y
x x x x
y y

x x x x
A C C A
A C C A

+ + =

+ + =

3/
y + 1 y y - 1
x + 1 x x -1
C : C : C 6 : 5 : 4=
Đáp số
1/ x = 5 , y = 2
2/ Gợi ý :
+ ĐK : x 2 ; x y ; x , y N
+ u =
y
x
A
; v =
2
x
C
+ Nghiệm : x = 4 ; y = 2
3/ x = 5 ; y = 4
phần II
Nhị thức newton
và các dạng toán liên quan
I/ Lý thuyết chung

1/ Dạng khai triển :
(a + b)
n
=
0 n 1 n-1 k n-k k n-1 n-1 n n
n n n n n
C .a + C .a .b +...+ C .a .b + ... + C .a.b + C .b
2/ Một số nhận xét trong khai triển nhị thức Newton
*/ Trong khai triển có n + 1 số hạng .
*/ Trong khai triển số mũ của a giảm dần từ n xuống 0 , số mũ của b tăng
dần từ 0 đến n nhng luôn đảm bảo tổng số mũ của a và b trong mỗi số
hạng luôn bằng n .
*/ Số hạng tổng quát (số hạng đứng thứ k + 1 trong khai triển ) :
( 0 k n )
*/ Số hạng đứng giữa trong khai triển
+/ Nếu n lẻ thì số hạng đứng thứ :
n + 1
2
và
n + 1
2
+ 1 trong khai triển là hai số
hạng đứng giữa .
+/ Nếu n chẵn thì số hạng đứng thứ
n
2
+ 1 trong khai triển là số hạng đứng giữa
*/ Tổng các hệ số trong khai triển (ax + b)
n
là : (a + b)

n
với a , b R .
(Cho x = 1)
3/ Một số khai triển đặc biệt của nhị thức Newton
* Dạng 1 : (1 + x)
n
=
0 1 k k n-1 n-1 n n
n n n n n
C + C .x +...+ C .x + ... + C .x + C .x
k n k k
k + 1 n
U = C .a .b

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải
* Dạng 2 : (1 - x)
n
=
0 1 k k k n-1 n-1 n-1 n n n
n n n n n
C - C .x +...+(-1) .C .x + ... + (-1) .C .x + (-1) .C .x
Thay x = 1 ; x = - 1 vào Dạng 1 , ta đợc :
+ )
0 1 k n-1 n
n n n n n
C + C +...+ C + ... + C + C
= 2
n
+ )
0 1 k k n-1 n-1 n n

n n n n n
C - C +...+(-1) .C + ... + (-1) .C + (-1) .C
= 0
II/ Các dạng toán hay gặp
Xác định hệ số hoặc số hạng
trong một khai triển
A- Phơng pháp
*/ Bớc 1 : Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển :
*/ Bớc 2 : Tìm hệ số của x
m
ta làm nh sau :
+/ Nhóm x vào và cho số mũ của x bằng m Tìm đuợc k
+/ Thay k vào ta đợc hệ số
*/ Bớc 3 : Tìm số hạng thứ m trong khai triển , ta làm nh sau :
+/ Ta cho k + 1 = m k = m 1
+/ Tìm đợc k ta tìm đợc số hạng thứ m .
Chú ý : Để tìm số hạng không chứa x (Số hạng độc lập với x ) trong khai triển ta làm nh trên và cho số mũ của x
bằng 0

Tìm đợc k
B - Bài tập áp dụng
1/ Tìm hệ số của x
7
trong khai triển nhị thức : (1 +
x)
19
(k = 7)
8/Tìm hệ số của x
8
trong khai triển nhị thức

n
5
3
1
+ x
x

ữ

biết
n+1 n+1
n+4 n+3
C - C = 7(n +3)
(n = 12 ; k = 8)
2/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
19
1
+ 2 x
x

ữ

(k = 10)
9/Cho khai triển
n
3
2
1
+ x
x

ữ

. Cho biết tổng
ba hệ số đầu tiên của khai triển bằng 79 . Tìm số
hạng chứa x
4
(n = 12 , k = 4)
3/ Tìm số hạng chứa x
2
trong khai triển

19
3
2
3
2
+ x
x

ữ

( k = 6)
10/Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển
10
3
5
1
+ x
x

ữ

(số hạng đứng thứ 6)
4/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n
3
4
1
+ x
x

ữ

biết
3 1
n n
C = 5C

(n = 7 ; k = 4)
11/ Cho khai triển
(x+1)(x+2)
15
= a
0
+ a
1
x + a
2
x

2
+ + a
16
x
16
Tìm hệ số a
10
(a
10
=
9 6 10 5
15 15
C .2 +C .2
)
5/ Tìm các số hạng chứa x
3
trong khai triển
(1+ x + x
2
)
10
12/ Cho khai triển
(x+2)
4
(x+1)
5
= a
0
+ a
1

x + a
2
x
2
+ + a
9
x
9
Tìm hệ số a
6
Giải
1/
k n k k
k + 1 n
U = C .a .b

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển : U
k+1
=
k
19
C
.x
k
( 0 k 19)
Hệ số của x
7
ứng với k = 7 Hệ số của x
7

là
7
19
C
2/
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển : U
k+1
= 2
k
.
k
15
C
.
3k
- 15
2
x
(0 k 15)
Số hạng không chứa x ứng với :
3k
15 0
2
=
k = 10
Vậy hệ số cần tìm là :
10
15
C
.2

10
5/
Viết lại : (1+ x + x
2
)
10
= [ 1+(x + x
2
) ]
10
= [ 1 + x.(1 + x) ]
10
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển : U
k+1
=
k
10
C
.x
k
(1 + x)
k
( 0 k 10)
Ta lại có : (1 + x)
k
=
k
m m
k
m = 0

C .x

(0 m k )
U
k+1
=
k
10
C
.
k
m m + k
k
m = 0
C .x


Theo giả thiết , ta có : m + k = 3 , m , k Z và 0 m k . Do đó , ta chọn :
+ m = 0 , k = 3
+ m = 1 , k = 2
Vậy hệ số của x
3
trong khai triển là :
3
10
C
+
2
10
C

.
1
2
C
12/
Viết (x+2)
4
(x+1)
5
=
4 5
k k 4 - k m m
4 5
k = 0 m = 0
C .x .2 C .x

=
4 5
k m 4 - k m + k
4 5
k = 0 m = 0
C .C .2 .x

Ta thấy hệ số a
6
là hệ số của x
6
, do đó ta có :
6
0 4

0 5
,
m k
k
m
m k N
+ =










Chọn :
m 2 3 4 5
k 4 3 2 1
Vậy hệ số phải tìm là : a
6
=
4
4
C
.
2
5
C

.2
0
+
3
4
C
.
3
5
C
.2
1
+
2
4
C
.
4
5
C
.2
2
+
1
4
C
.
5
5
C

.2
3
= 242
A - Phơng pháp
1. Dạng 1
(ax + b)
n
=
0
n
C
.a
n
.x
n
+
1
n
C
.a
n-1
.b.x
n-1
+ +
k
n
C
.a
n-k
.b

k
.x
n-k
+ +
n
n
C
.b
n
Tổng các hệ số trong khai triển là :
S =
0
n
C
.a
n
+
1
n
C
.a
n-1
.b + +
k
n
C
.a
n-k
.b
k

+ +
n
n
C

tính tổng các hệ số trong
một khai triển
Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải
Cho x = 1 , ta đợc S = (a + b)
n

2. Dạng 2
(1 + x)
n
=
0 1 k k n-1 n-1 n n
n n n n n
C + C .x +...+ C .x + ... + C .x + C .x
S =
0 1 k n-1 n
n n n n n
C + C +...+ C + ... + C + C
= 2
n
( Cho x = 1)
(1 - x)
n
=
0 1 k k k n-1 n-1 n-1 n n n
n n n n n

C - C .x +...+(-1) .C .x + ... + (-1) .C .x + (-1) .C .x
S =
0 1 k k n-1 n-1 n n
n n n n n
C - C +...+(-1) .C + ... + (-1) .C + (-1) .C
= 0 ( Cho x = 1)
* Chú ý : Khi tính tổng các hệ số trong khai triển ta cho tất cả các ẩn bằng 1 .
B - Bài tập
1/ Tính tổng các hệ số trong các khai triển sau :
a/ (x + 2)
10
c/ (2x + 3y)
2009
e/ (1 2x)
24
b/ (2x 5)
15
d/ (x -
1
x
)
5
f/ (x + 3x
2
)
19
Đáp số
a/ S = 3
10
c/ S = 5

2009
e/ S = 1
b/ S = - 3
15
d/ S = 0 f/ S = 4
19
2/ Cho khai triển : (x+1)(x+2)
15
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
16
x
16
Tính tổng : S = a
0
+ a
1
+ a
2
+ + a
16
3/ Cho khai triển : (x+2)
4

(x+1)
5
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
9
x
9
Tính tổng : S = a
0
+ a
1
+ a
2
+ + a
9
Đáp số
2/ S = 2.3
15
3/ S = 3
4
.2
5

A - Lý thuyết
Dạng 1 : Chọn khai triển (x + b)
n
, sau đó chọn x = a
1/Nhận dạng
Mỗi số hạng có dạng
k k n - k
n
C a b
hoặc
k n - k k
n
C a b
Chọn khai triển (x + b)
n
, sau đó chọn x = a .
Đặc biệt khi mỗi số hạng có dạng
k k
n
C a
hoặc
k n - k
n
C b
Chọn khai triển (x + 1)
n
sau đó chọn x = a .
2/Bài tập
Bài 1 :
1/ Tính tổng

0 0 1 1 2 2 n n
n n n n
S = 2 C + 2 C + 2 C +...+ 2 C

Giải
Chọn khai triển (1 + x)
n
, ta có :
(1 + x)
n
=
0 0 1 1 2 2 n n
n n n n
C .x + C .x + C .x +...+ C .x
Với x = 2 S = (1 + 2)
n
= 3
n
2/ Tính tổng
0 0 1 1 2 2 2n 2n
2n 2n 2n 2n
S = 5 C + 5 C + 5 C +...+ 5 C

Chọn khai triển (x+1)
2n
với x = 5 .
3/ Tính tổng
100 0 99 1 98 2 1 99 0 100
100 100 100 100 100
S = 2 C - 2 C + 2 C - ... - 2 C 2 C+

Chọn khai triển (x+1)
100
với x = - 2 .
tính tổng và chứng minh đẳng thức
tổ hợp
Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải
4/ Tính tổng
0 2 4 2n
2n 2n 2n 2n
S = C + C + C +...+ C
Chọn khai triển (x+1)
2n
và (x-1)
2n

với x = 1 .
5/ Tính tổng
1 0 3 3 5 5 99 99
100 100 100 100
S = 3 C + 3 C + 3 C +...+ 3 C
Chọn khai triển (x+1)
n
và
(x-1)
n
với x = 3 .
6/ Tính tổng
0 0 2 2 4 4 78 78
79 79 79 79

S = 2 C + 2 C + 2 C +...+ 2 C
Chọn khai triển (x+1)
79
và
(x-1)
79
với x = 2 .
Bài 2 : Chứng minh rằng
1/
0 n 0 1 n-1 1 2 n-2 2 n 0 n n
n n n n
2 3 C + 2 3 C + 2 3 C +...+ 2 3 C 5=
Chọn khai triển (x + 3)
n
, sau đó chọn x = 2 .
2/
n
0 0 1 1 2 2 0 0
n n n n
n n - 1 n - 2 0
2 C 2 C 2 C 2 C 7
+ + +...+ =
3 3 3 3 3

ữ

Chọn khai triển (x +
1
3
)

n
, sau đó chọn x = 2 .
3/ S =
1 2 3 n n
n n n n
C + 7C + 25C +...+ (3 -2)C
là một số chính phơng S = (2
n
- 1)
2
Dạng 2 : Dùng đạo hàm cấp 1 , cấp 2
1/ Nhận dạng
Khi trong tng có một thành phần hệ số tăng đều hoặc giảm đều thì ta dùng đạo hàm cấp một .
Khi trong tổng có một thành phần hệ số là tích của hai số nguyên dơng liên tiếp thì ta dùng đạo hàm cấp hai ;
hoặc tổng đó mất
o
n
C
hoặc
1
n
C
2/ Phơng pháp
B ớc 1 : Chọn khai triển (x + b)
n
khi mỗi số hạng trong tổng có dạng
k k - 1 n - k
n
k.C .a .b
B ớc 2 : Lờy đạo hàm cấp 1 , cấp 2 .

B ớc 3 : Chọn x = a Kết quả
3/ Bài tập
Bài 1 : Tính các tổng sau :
1/
0 1 1 2 2 3 n-1 n
n n n n
S = 1.2 .C + 2.2 .C + 3.2 .C + ... + n.2 .C

Giải
Chọn khai triển (x+1)
n
, ta đợc :
(1 + x)
n
=
0 0 1 1 2 2 n n
n n n n
C .x + C .x + C .x +...+ C .x
Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế , ta đợc :
n(1 + x)
n 1
= 0 + 1.x
0
.
1
n
C
+ 2.x
1
.

2
n
C
+ + n.x
n 1
.
n
n
C
Chọn x = 2 , ta đợc : S = n(1 + 2)
n 1
= n.3
n - 1
2/
0 n 1 n-1 2 n-2 n-1 1
n n n n
S = n.3 .C + (n-1).3 .C + (n-2).3 .C + ... + 1.3 .C
Chọn khai triển (x+3)
n
, lấy đạo hàm cấp 1
và chọn x = 1 .
3/
2 3 4 n
n n n n
S = 1.2.C + 2.3.C + 3.4.C + ... + n.(n-1).C

Giải
Chọn khai triển (1 + x)
n
, ta đợc :

(1 + x)
n
=
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 n n
n n n n n n
C .x + C .x + C .x + C .x + C .x +...+ C .x
Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế , ta đợc :