Sáng kiến kinh nghiệm ỨNG DỤNG MỘT BÀI TOÁN ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: TRƢỜNG THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM

Mã số: . . . . . . . . . . .
.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“ỨNG DỤNG MỘT BÀI TOÁN ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN”



Ngƣời thực hiện: NGUYỄN KIỀU LINH
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lí giáo dục: 
- Phƣơng pháp dạy học bộ môn: Toán 
- Phƣơng pháp giáo dục: 
- Lĩnh vực khác: 
Có đính kèm:
Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác

Năm học 2014-2015



Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian

2


SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CÁ NHÂN
1. Họ và tên : Nguyễn Kiều Linh
2. Ngày tháng năm sinh : 01-08-1987
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ : Tổ 31- Ấp 3- Xã Hiệp Phƣớc - Huyện Nhơn Trạch- Tỉnh Đồng Nai
5. Điện thoại : + Cơ quan: + Di động:0986892792
6. Chức vụ: Giáo viên
7. Đơn vị công tác : Trƣờng THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:
- Học vị ( hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Đại học Sƣ phạm TPHCM
- Chuyên ngành : Toán học
- Năm nhận bằng : 2011
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : 3 năm
- Sáng kiến kinh nghiệm đã có gần đây: “Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi
giải các bài toán” năm 2013









Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh

Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
3


“ ỨNG DỤNG MỘT BÀI TOÁN ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN ”
PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
- Hình học nói chung cũng nhƣ hình học không gian nói riêng luôn là một bộ môn gây khó
khăn rất nhiều cho học sinh. Gần nhƣ học sinh rất lúng túng khi gặp nó, bởi vì khả năng lập
luận cần phải chặt chẽ và có tính hệ thống, không những thế nó đòi hỏi phải có kiến thức nền
của bộ môn hình học phẳng cũng nhƣ khả năng tƣởng tƣợng hình vẽ và tƣ duy tốt. Vì vậy học
sinh có cảm giác mỗi bài toán đều thật nặng nề mà không nhận ra đƣợc mối liên hệ chung
giữa chúng, đặc biệt trong đó bài toán tính khoảng cách gây cho học sinh khó khăn nhiều
nhất.
- Bài toán tính khoảng cách trong không gian cũng là câu khó trong các đề thi ĐH những
nằm gần đây và các kì thi học sinh giỏi các cấp trong và ngoài nƣớc.
- Chính vì lí do đó tôi viết đề tài này nhằm cung cấp thêm cho học sinh cũng nhƣ các đồng
nghiệp về kiến thức và kĩ năng tính khoảng cách trong không gian từ một bài toán, tuy nhiên
là vấn đề khó và rộng nên tôi chỉ viết một phƣơng pháp trong rất nhiều phƣơng pháp từ một
bài toán nhỏ để tính chúng. Vì đây là phƣơng pháp rất thông dụng và quan trọng.
B. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG:
-Trong xu thế đổi mới phƣơng pháp dạy và học của Bộ Giáo dục và đào tạo trong những
năm vừa qua thì phƣơng pháp tạo cho học sinh có khả năng tƣ duy từ một số bài toán cơ bản
để từ đó học sinh có thể tự nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo “Biến lạ thành quen” đƣợc các giáo
viên chú ý và đƣợc Bộ khuyến khích nhất. Vì thế hầu hết các giáo viên đều chọn phƣơng
pháp giảng dạy theo một chuyên đề về một mảng kiến thức nào đó trong trƣờng phổ thông.
C.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
1) Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh:
-Qua thời gian công tác tại trƣờng, tôi nhận thấy rằng việc hình thành chùm bài
toán thông qua một hay một số bài toán cơ bản của học sinh còn rất hạn chế.

-Hầu hết việc tự đọc sách giáo khoa và sách tham khảo của các em còn rất ít, khả
năng tự thay đổi điều kiện của các bài toán để hình thành bài toán mới của học sinh
còn lúng túng, bỡ ngỡ.
2) Tìm hiểu những phƣơng pháp các giáo viên đã vận dụng:
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
4


-Qua thời gian tìm hiểu và trao đổi, hầu hết các giáo viên trong trƣờng đã vận
dụng những phƣơng pháp mới, tích cực, phát huy tính tích cực của học trong việc
hình thành chùm bài toán từ bài toán cơ bản. Tuy nhiên việc vận dụng nó một cách
có hiệu quả thì vẫn còn gặp nhiều khó khăn.
D. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
I. TÁC DỤNG CỦA BÀI TẬP TOÁN HỌC
1. Phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh
2. Giúp học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức
3. Hệ thống toán kiến thức đã học: một số đáng kể bài tập đòi hỏi học sinh phải vận dụng
tổng hợp kiến thức của nhiều nội dung trong bài. Dạng bài tập tổng hợp học sinh phải
huy động vốn hiểu biết trong nhiều chƣơng.
4. Cung cấp kiến thức mới, mở rộng sự hiểu biết của học sinh.Rèn luyện một số kỹ năng,
kỹ xảo, kỹ năng giải từng loại bài tập khác nhau.
5. Phát triển tƣ duy: học sinh đƣợc rèn luyện các thao tác tƣ duy nhƣ: phân tích, tổng hợp,
so sánh, quy nạp, diễn dịch
6. Giúp giáo viên đánh giá đƣợc kiến thức và kỹ năng của học sinh. Học sinh cũng tự
kiểm tra biết đƣợc những lỗ hổng kiến thức để kịp thời bổ sung .
7. Rèn cho học sinh tính kiên trì, chịu khó, cẩn thận, chính xác khoa học Làm cho các
em yêu thích bộ môn, say mê khoa học (những bài tập gây hứng thú nhận thức)
II. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
- Phƣơng pháp giải toán hình học không gian.

- Phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình.
- Phƣơng pháp phân tích tổng hợp
Và nhiều phƣơng pháp khác.
III. MỘT SỐ LƢU Ý ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP TỐT
- Nắm chắc lý thuyết
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
5


- Nắm đƣợc các dạng bài tập cơ bản. Nhanh chóng xác định bài tập bài tập cần giải thuộc
dạng nào.
- Nắm đƣợc một số phƣơng pháp giải thích hợp với từng dạng bài tập. Nắm đƣợc các
bƣớc giải một bài tập nói chung và từng dạng bài tập nói riêng.
- Biết đƣợc một số thủ thuật và phép biến đổi toán học, cách giải phƣơng trình và hệ
phƣơng trình bậc 1, 2
IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI CHỮA BÀI TẬP
1. Xác định rõ mục đích của bài tập, mục đích của tiết bài tập
- Ôn tập kiến thức gì?
- Bồi dƣỡng kiến thức cơ bản?
- Bổ sung kiến thức bị thiếu hụt ?
- Hình thành phƣơng pháp giải với một dạng bài tập nào đó?
2. Chọn chữa các bài tập tiêu biểu, điển hình, tránh trùng lập về kiến thức cũng nhƣ về
dạng bài tập. Chú ý các bài:
- Có trọng tâm kiến thức toán học cần khắc sâu
- Có phƣơng pháp giải mới.
- Dạng bài quan trọng, phổ biến, hay đƣợc ra thi
3. Phải nghiên cứu chuẩn bị trƣớc thật kỹ càng:
-Tính trƣớc kết quả
-Giải bằng nhiều cách khác nhau

-Dự kiến trƣớc những sai lầm học sinh hay mắc phải
4. Giúp học sinh nắm chắc phƣơng pháp giải bài tập cơ bản:
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
6


- Chữa bài mẫu thật kỹ
- Cho bài tập tƣơng tự về nhà làm (sẽ chữa vào giờ sau)
- Khi chữa bài tập tƣơng tự có thể:
+ Cho học sinh lên giải trên bảng
+ Chỉ nói hƣớng giải, các bƣớc đi và đáp số
+ Chỉ nói những điểm mới cần chú ý
- Ôn luyện thƣờng xuyên
5. Dùng hình vẽ và sơ đồ trong giải bài tập có tác dụng:
- Cụ thể hoá các vấn đề, quá trình trừu tƣợng
- Trình bày bảng ngắn gọn
- Học sinh dễ hiểu bài
- Giải đƣợc nhiều bài tập khó
6. Dùng phấn màu khi cần làm bật các chi tiết đáng chú ý:
- Phần tóm tắt đề
- Viết kết quả bài toán…
7. Tiết kiệm thời gian:
- Đề bài có thể photo phát cho học sinh, hoặc viết trƣớc ra bảng, bìa cứng.
- Tận dụng các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập
- Không sa đà vào giải đáp những thắc mắc không cần thiết
8. Gọi học sinh lên bảng
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
7

- Những bài đơn giản, ngắn gọn có thể gọi bất cứ học sinh nào, nên ƣu tiên những học
sinh trung bình, yếu
- Những bài khó, dài nên chọn học sinh khá giỏi
- Phát hiện nhanh những lỗ hổng kiến thức, sai sót của học sinh để bổ sung, sửa chữa
kịp thời
9. Chữa bài tập cho học sinh yếu
- Đề ra yêu cầu vừa phải
- Đề bài cần đơn giản, ngắn gọn, ít sử lý số liệu
- Không giải nhiều phƣơng pháp
- Tránh những bài khó học sinh không hiểu đƣợc
- Bài tƣơng tự chỉ cho khác chút ít
- Nâng cao trình độ dần từng bƣớc
10. Sửa bài tập với lớp có nhiều trình độ khác nhau
V. CÁC BƢỚC GIẢI BÀI TẬP TRÊN LỚP
1.Tóm tắt đầu bài một cách ngắn gọn trên bảng.
2.Xử lý số liệu dạng thô thành dạng cơ bản (có thể làm bƣớc này trƣớc khi tóm tắt đầu
bài)
3.Gợi ý và hƣớng dẫn học sinh suy nghĩ tìm lời giải:
- Phân tích các dữ kiện của đề bài từ đó cho ta biết đƣợc những gì
- Liên hệ với những bài tập cơ bản đã giải
- Quy luận ngƣợc từ yêu cầu của bài toán
4.Trình bày lời giải
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
8


5.Tóm tắt, hệ thống những vấn đề cần thiết, quan trọng rút ra từ bài tập (về kiến thức, kỹ

năng, phƣơng pháp)
VI. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP
1. Lựa chọn các bài tập tiêu biểu, điển hình. Biên sọan hệ thống bài tập đa cấp để tiện cho
sử dụng
- Sắp xếp theo từng dạng bài toán
- Xếp theo mức độ từ dễ đến khó
- Hệ thống bài tập phải bao quát hết các kiến thức cơ bản, cốt lõi nhất cần cung cấp
cho học sinh.Tránh bỏ sót, trùng lặp, phần thì qua loa, phần thì quá kỹ.
2. Bài tập trong một học kỳ,một năm học phải kế thừa nhau, bổ sung lẫn nhau
3. Đảm bảo tính phân hoá, tính vừa sức với ba loại trình độ học sinh.
4. Đảm bảo sự cân đối về thời gian học lý thuyết và làm bài tập.
E. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI.
- Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy ở trƣờng THPT, cùng với một chút kinh
nghiệm trong thời gian giảng dạy, tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống hoá lại các kiến
thức thành một chuyên đề: “ỨNG DỤNG MỘT BÀI TOÁN ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN’’.
- Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng
quát và một số kĩ năng để giải. Học sinh có thể nhận dạng và trình bày bài toán đúng trình tự,
đúng logic. Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp các em học sinh có một cái nhìn toàn diện, hiểu rõ
bản chất và nắm đƣợc các kĩ thuật khi tính khoảng cách trong không gian từ đơn giản đến
phức tạp
F. NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI:
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
9


- Xuất phát từ lý do chọn đề tài, chuyên đề thực hiện nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực
hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lƣợng giáo dục, giúp học sinh hình thành tƣ duy logic kỹ
năng phân tích để đi đến một hƣớng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán bất đẳng thức từ

phức tạp đƣa về dạng đơn giản, cơ bản và giải đƣợc một cách dễ dàng. Muốn vậy ngƣời giáo
viên phải hƣớng cho học sinh biết các dạng toán và phƣơng pháp phân tích bài toán.
- Yêu cầu của chuyên đề: Nội dung, phƣơng pháp rõ ràng, không phức tạp phù hợp với đối
tƣợng học sinh trƣờng THPT, có sáng tạo đổi mới. Giới thiệu đƣợc các dạng phƣơng trình cơ
bản, đƣa ra đƣợc giải pháp và một số ví dụ minh hoạ.
- Đề tài này dùng cho các đối tƣợng học sinh trung bình,khá, giỏi,bồi dƣỡng học sinh giỏi
và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán.
G.PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1)Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
- Tổng hợp so sánh, rút kết kinh nghiệm.
2)Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trƣờng, áp dụng và rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
H.ĐỐI TƢỢNG VÀ CƠ SỞ NGHIÊN CỨU:
1) Đối tƣợng: Học sinh khối khối 11 và 12
2) Cơ sở nghiên cứu: Trƣờng THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm.


PHẦN II. NỘI DUNG
a) Các Lí Thuyết
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
10


Bài toán: Cho tứ diện
SABC
có

()SA ABC
, gọi điểm
M
và
H
lần lƣợt là là hình chiếu
của điểm
A
trên
BC
và
SM
thì ta có
AH
chính là khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
()SBC
và
22
.SAAM
AH
SA AM


.


Chứng minh:
Ta có:

()
BC AM
BC SAM
BC SA









(1)BC AH
. Mà
(2)AH SM

Từ
(1)
và
(2)
dẫn đến
()AH SBC
và
()H SBC
nên
( ,( ))AH d A SBC

Áp dụng hệ thức trong tam giác
SAM

vuông tại
A
ta có:
22


SAAM SAAM
AH SM SAAM AH
SM
SA AM
   



Chú ý: Nếu ở bài toán có thêm giả thiết tam giác
ABC
vuông (vuông tại
B
chẳng hạn) thì ta
có hệ quả (là trƣờng hợp đặc biệt của bài toán trên)
Hệ quả: Cho tứ diện
SABC
có
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
()SA ABC
, gọi điểm
H

là hình chiếu của điểm
A
trên
SB
thì ta có
AH
chính là khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
()SBC
và
22
.SAAB
AH
SA AB


.

Chứng minh:
Rõ ràng nếu tam giác
ABC
vuông tại
B
thì
B
chính là hình
chiếu của
A

trên
BC
. Ta gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
SB

và chứng minh tƣơng tự bài toán ta cũng có
()AH SBC
hay
( ,( ))AH d A SBC

Áp dụng hệ thức tam giác
SAB
vuông tại
A
ta có:
22


SAAB SAAB
AH SB SAAB AH
SB
SA AB
   


Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
11


Ở bài toán và hệ quả của nó là hình tứ diện có một cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy, trong
nhiều bài toán tứ diện này rất hay xuất hiện, nếu biết khai thác nó một cách khéo léo ta sẽ giải
quyết một lớp bài toán về tính khoảng cách không quá khó khăn, đặc biệt trong các đề thi
tuyển sinh đại học những năm gần đây.
Kiến thức cần nhớ:
+ Biết quy bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai
mặt phẳng song song hay hai đường thẳng chéo nhau trong không gian về bài toán tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
+ Nếu đường thẳng
AB
cắt mặt phẳng
()P
tại
M
và
. ( 0, )AM k BM k k R  
thì ta có
( ,( )) . ( ,( ))d A P k d B P
.




Sau đây chúng ta sẽ bắt đầu ứng dụng bài toán và hệ quả của nó để giải các bài tập sau:

b) Các bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Bài tập 1: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
SC
vuông góc với mặt
phẳng đáy và
2SC a
,
O
là giao điểm
AC
và
BD
. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm
C

đến mặt phẳng
()SAD
và từ điểm
O
đến mặt phẳng
()SAB
.
Bài giải:
Ta có bài toán tính

( ,( ))d C SAD
trong tứ diện
SCAD

với
()SC CAD
và tam giác
CAD
vuông tại
D

giống với hệ quả
Gọi
H
là hình chiếu của
C
trên
SD
nên theo hệ quả
ta có:
22
22
. 2.
( ,( ))
( 2)
SC CD a a
d C SAD CH
SC CD
aa
  



6
3
a

. Vì đề bài có
()SC ABCD
nên để tiếp tục sử
dụng ta quy khoảng cách từ
O
đến mặt phẳng
()SAB

về khoảng cách từ
C
đến mặt phẳng
()SAB
.
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
12


Ta có
CO
cắt
()SAB
tại
A

và
1
2
OA CA
1
( ,( )) ( ,( ))
2
d O SAB d C SAB

Ta có bài toán tính
( ,( ))d C SAB
trong tứ diện
SCAB
với
()SC CAB
, tam giác
CAB

vuông tại
B
giống với hệ quả
Gọi
K
là hình chiếu của
C
trên
SB
nên theo hệ quả ta có:
22
22

. 2. 6
( ,( ))
3
( 2)
SC CB a a a
d C SAB CK
SC CB
aa
   


16
( ,( ))
26
a
d O SAB CK  

Chú ý: Ta cũng có thể tính trực tiếp
( ,( ))d O SAB
bằng cách gọi
M
là trung điểm của
SA
sau
đó tính
( ,( ))d O SAB
thông qua tứ diện
MOAB
vì có
()MO OAB

giống nhƣ bài toán

Bài tập 2 (Cao đẳng 2014): Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
SC
tạo với đáy một góc bằng
0
45
. Tính theo
a
khoảng
cách từ điểm
B
đến mặt phẳng
()SCD
.
Bài giải
Vì
()AB SCD
nên
( ,( )) ( ,( ))d B SCD d A SCD

Ta có bài toán tính

( ,( ))d A SCD
trong tứ diện
SACD

với
()SA ACD
và tam giác
ACD
vuông tại
D

giống nhƣ hệ quả
Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
SD
nên theo hệ quả
ta có:
22
.
( ,( ))
AS AD
d A SCD AH
AS AD



Với


00
45 tan 45 2SCA AS AC a   

Thay vào ta đƣợc:
22
2.
( 2)
aa
AH
aa



6
3
a


Vậy
6
( ,( ))
3
a
d B SCD 

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
13

Bài tập 3 (Đại học khối D 2009): Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy
ABC
là
tam giác vuông tại
B
,
, ' 2AB a AA a
, gọi
M
là trung điểm
''AC
,
I
là giao điểm
'AC

và
AM
. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng mặt phẳng
()IBC
.
Bài giải
Mặt phẳng

()IBC
cũng chính là mặt phẳng
( ' )A BC

Tƣơng tự ta có bài toán tính
( ,( ' ))d A A BC
trong tứ diện
'A ABC

Ta có
' ( )A A ABC
và tam giác
ABC
vuông tại
B
giống
với hệ quả
Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
'AB
nên theo hệ quả ta
có:
2 2 2 2
'. 2 . 2
( ,( ' ))
5
' (2 )

AA AB a a a
d A A BC AH
AA AB a a
   



Bài tập 4 (Đại học khối D 2012): Cho hình hộp đứng
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có đáy là hình
vuông, tam giác
'A AC
vuông cân,
'A C a
. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm
A
đến mặt
phẳng
( ')BCD
.
Bài giải
Tam giác
'A AC
vuông cân và
'A C a
nên
'
2

a
AA AC
và
2
a
AB 

Mặt phẳng
( ')BCD
cũng chính là mặt phẳng
( ' )A BC
nên
khoảng cách cần tìm là
( ,( ' ))d A A BC

Ta có bài toán tính
( ,( ' ))d A A BC
trong tứ diện
'A ABC
với
' ( )AA ABC
và tam giác
ABC
vuông tại
B
giống nhƣ
hệ quả
Gọi
H
là hình chiếu của

A
trên
SB
nên theo hệ quả ta có:
22
'. 6
( ,( ' ))
6
'
AA AB a
d A A BC AH
AA AB
  



Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
14


Bài tập 5 (Đại học khối B 2014): Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy là tam giác
đều cạnh
a
. Hình chiếu vuông góc của
'A
trên mặt phẳng
()ABC

là trung điểm của cạnh
AB
, góc giữa đƣờng thẳng
'AC
và mặt đáy bằng
0
60
. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm
B

đến mặt phẳng mặt phẳng
( ' ')ACC A
.
Bài giải
Gọi
H
là trung điểm của cạnh
AB
, theo đề bài ta
có
' ( )A H ABC

Mặt phẳng
( ' ')ACC A
cũng chính là mặt phẳng
( ')ACA
.
BH

cắt
( ')ACA
tại
A
và
2BA HA
nên
( ,( ')) 2 ( ,( '))d B ACA d H ACA
.
Ta có bài toán tính
( ,( '))d H ACA
trong tứ diện
'A ACH
có
' ( )A H ACH
giống nhƣ bài toán
Gọi
K
là hình chiếu của
H
trên
AC
và
E
là hình
chiếu của
H
trên
'AK
, theo bài toán ta có:

22
'.
( ,( ')) (*)
'
A H HK
d H ACA HE
A H HK


Với
3
2
a
CH 
,

0
' 60A CH 
nên
0
3
' .tan 60
2
a
A H CH


0
3
sin sin 60

24
aa
HK AH HAK  
. Thay vào
(*)
ta đƣợc:
22
33
.
24
93
4 16
aa
HE
aa


3 13
26
a
. Vậy
3 13
( ,( ')) 2
13
a
d B ACA HE


Bài tập 6 (Đại học khối A 2014): Cho hình chóp
.S ABCD

có đáy
ABCD
là hình vuông
cạnh
a
,
3
2
a
SD 
, hình chiếu vuông góc của
S
trên
ABCD
là trung điểm của cạnh
AB
.
Tính theo
a
khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
()SBD
.
Bài giải
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
15

Gọi
H
là trung điểm của cạnh
AB

AB
cắt
()SBD
tại
B
và
2AB HB
nên
( ,( )) 2 ( ,( ))d A SBD d H SBD
.
Ta có bài toán tính
( ,( ))d H SBD
trong tứ diện
SHBD

có
()SH HBD
giống bài toán
Gọi
K
là hình chiếu của
H
trên
BD
và

N
là hình
chiếu của
H
trên
SK
, theo bài toán ta có:
22
.
( ,( )) (*)
HS HK
d H SBD HN
HS HK


2 2 2 2 2
()SH SD HD SD AD AH    
22
2
9
44
aa
aa

   



Dễ thấy
H K A C

và
2
44
AC a
HK 
. Thay vào
(*)
ta đƣợc:
2
2
2
.
4
8
a
a
HN
a
a


3
a

Vậy
2
( ,( )) 2
3
a
d A SB D HN

Bài tập 7 (Đại học khối A 2013): Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
A
,

0
30ABC 
,
SBC
là tam giác đều cạnh
a
và mặt bên
()SBC
vuông góc với đáy. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm
C
đến mặt phẳng
()SAB
.
Bài giải
Gọi
M
là trung điểm của cạnh
BC
, tam giác
SBC
đều nên

SM BC

Mà:
( ) ( )
()
( ) ( )
SBC ABC
SM ABC
SBC ABC BC









Ta có
CM
cắt
()SAB
tại
B
và
2 ( ,( )) 2 ( ,( ))CB MB d C SAB d M SAB  

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
16

Ta có bài toán tính
( ,( ))d M SAB
trong tứ diện
SMAB
có
()SM MAB
giống bài toán
Gọi
N
là hình chiếu của
M
trên
AB
và dễ thấy
N

là trung điểm của
AB

1
2
MN AC

Gọi
H
là hình chiếu của
M
trên

SN
nên theo bài
toán ta có:
22
.
( ,( )) (*)
SM MN
d M SAB MH
SM MN



với

0
30ABC 
nên
0
.sin 30 3
,
2 2 4 2
AC BC a a
MN SM   

Thay vào
(*)
ta đƣợc:
39
26
a

MH 
.
Vậy
39
( ,( )) 2
13
a
d C SAB MH


Bài tập 8 (Đại học khối B 2013): Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
mặt bên
SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính
theo
a
khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
()SCD
.
Bài giải
Gọi
M
là trung điểm
AB

, tam giác
SAB
đều nên
SM AB

Mà
( ) ( )
()
( ) ( )
SAB ABCD
SM ABCD
SAB ABCD AB









Vì
( ) ( ,( )) ( ,( ))AB SCD d A SCD d M SCD
. Ta lại có bài toán tính
( ,( ))d M SCD
trong
tứ diện
SMCD
có
()SM MCD

giống bài toán.
Gọi
N
là hình chiếu của
M
trên
AB
và dễ thấy
N
là trung điểm của
CD

MN AD a

Gọi
H
là hình chiếu của
M
trên
SN
nên theo bài toán ta có:
22
.
( ,( )) (*)
SM MN
d M SCD MH
SM MN



Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
17


Với
3
,
2
a
MN a SM
.
Thay vào
(*)
ta đƣợc:

21
7
a
MH 
.
Vậy
21
( ,( ))
7
a
d A SCD 

Bài tập 9 (Đại học khối D 2013): Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh
a
, cạnh
bên
SA
vuông góc với đáy,

0
120BAD 
,
M
là trung điểm của cạnh
BC
và

0
45SMA 
.Tính theo
a
khoảng cách từ điểm
D
đến mặt phẳng
()SBC
.
Bài giải



00
120 60BAD BAC  

tam giác
ABC
đều
cạnh
a

AM BC

Vì
( ) ( ,( )) ( ,( ))AD SBC d D SBC d A SBC

Ta lại có bài toán tính
( ,( ))d A SBC
trong tứ diện
SABC

có
()SA ABC
giống bài toán
Ta đã có
AM BC
nên gọi
H
là hình chiếu của
A

trên
SM
nên theo bài toán ta có:
22
.
( ,( )) (*)
SAAM
d A SBC AH
SA AM



Với

0
3
, 45
2
a
AM SMA

3
2
a
SA AM  

Thay vào
(*)
đƣợc:

6
4
a
AH 
. Vậy
6
( ,( ))
4
a
d D SBC 

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
18


Bài tập 10 (Đại học khối D 2011): Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông
tại
B
,
3 , 4BA a BC a
, mặt phẳng
()SBC
vuông góc với mặt phẳng
()ABC

. Biết
23SB a
và

0
30SBC 
. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm
B
đến mặt phẳng
()SAC
.
Bài giải
Gọi
H
là hình chiếu của
S
lên
BC

Mà
( ) ( )
()
( ) ( )
SBC ABC
SH ABC
SBC ABC BC











0
30SBC 
nên
0
.sin 30 3,SH SB a
0
.cos30 3BH SB a
CH a
.
BH
cắt
()SAC
tại
C
và
4BC HC

( ,( )) 4 ( ,( ))d B SAC d H SAC

Ta có bài toán tính
( ,( ))d H SAC
trong tứ diện

SHAC

có
()SH HAC
giống bài toán
Gọi
M
là hình chiếu của
H
trên
AC
,
K
là hình chiếu
của
H
trên
SM
nên theo bài toán ta có:
22
.
( ,( )) (*)
SH HM
d H SAC HK
SH HM



Hai tam giác
ABC

và
HMC
đồng dạng (góc_góc) nên ta có:
2 2 2 2
. . .3 3
5
(3 ) (4 )
HM HC HC AB HC AB a a a
HM
AB AC AC
AB BC a a
     


Thay vào
(*)
ta đƣợc:
37
14
a
HK 
. Vậy
67
( ,( )) 4
7
a
d B SAC HK


Bài tập 11 (Đại học khối D 2007): Cho hình chóp

.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang


0
90 , , 2ABC BAD BA BC a AD a    
cạnh bên
SA
vuông góc với đáy và
2SA a
. Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
SB
. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm
H
đến
mặt phẳng
()SCD
.
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
19

Bài giải
Chú ý
()SA ABCD
nên ta sẽ đƣa về khoảng cách
thông qua tứ diện có liên quan có điểm
A
. Xét tam giác
vuông
SAB
ta có:
22
2
2 2 2
2
22
.
( 2) 2
3
( 2)
SH SA SA
SH SB SA
SB
SB SA AB
a
aa
   




2
( ,( )) ( ,( )) (1)
3
d H SCD d B SCD
. Gọi
M
là trung
điểm của
AD

()BM CD BM SCD
.
( ,( )) ( ,( ))d B SCD d M SCD

AM
cắt
()SCD
tại
D
và
1
2
MD AD

1
( ,( )) ( ,( )) (2)
2
d M SCD d A SCD

(1)

và
(2)
suy ra:
1
( ,( )) ( ,( ))
3
d H SCD d A SCD

Dễ thấy
A C CD
nên ta có bài toán tính
( ,( ))d A SCD
trong tứ diện
SACD
có
()SA ACD
và tam giác
ACD
vuông tại
C
giống hệ quả bài toán.
Gọi
K
là hình chiếu của
A
trên
SC
nên theo hệ quả bài toán ta có:
22
.

( ,( ))
SAAC
d A SCD AK
SA AC


22
2. 2
( 2) ( 2)
aa
a
aa


.
Vậy
1
( ,( ))
33
a
d H SCD AK

Nhận xét: bài này ta cần khéo léo đƣa
( ,( ))d H SCD
về
( ,( ))d A SCD
thông qua một bƣớc là
( ,( ))d B SCD
.
c) Các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Bài tập 12: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông tâm
O
, có cạnh bằng
a
,
SA

vuông góc mặt phẳng đáy và
SA a
. Tính theo
a
khoảng cách giữa hai đƣờng
SC
và
BD
.
Bài giải
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
20


Đây là khoảng cách hai đƣờng chéo nhau ta cần đƣa về khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng bằng cách dựa vào yếu tố song song
Để tính
( , )d SC BD
ta sẽ dựng mặt phẳng chứa
SC

và song song với
BD

Trong mặt phẳng
()ABCD
qua
C
vẽ đƣờng
thẳng song song
BD
và cắt
AD
tại
F
.
Lúc này ta có:
()
( , ) ( ,( )) ( ,( ))
BD CF DB SCF
d BD SC d BD SCF d O SCF

  


AO
cắt
()SCF
tại
C
và

1
2
OC AC

1
( ,( )) ( ,( ))
2
d O SCF d A SCF

Dễ thấy
A C B D AC C F  
. Ta có bài toán
tính
( ,( ))d A SCF
trong tứ diện
.S ACF
với
()SA ACF
và tam giác
ACF
vuông tại
C

giống hệ quả bài toán.
Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
SC

nên theo hệ quả bài toán ta có:
22
.
( ,( ))
AC SA
d A SCF AH
AC SA





2
2
2. 6
3
2
a a a
aa



Vậy:
16
( , )
26
a
d BD SC AH

Cách 2

Gọi
K
là hình chiếu của
O
lên
SC
. Mà
()
BD AC
BD SAC
BD SA









BD OK
nên
OK
là đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng
BD
và
SC
hay
( , )d BD SC OK

Hai tam giác
SAC
và
OKC
đồng dạng nên:
.6
6
OK OC SAOC a
OK
SA SC SC
   


Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
21


Bài tập 13 (Đại học khối D 2014): Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông
cân tại
A
, mặt bên
SBC
là tam giác đều cạnh
a
và mặt phẳng

()SBC
vuông góc với mặt
đáy. Tính theo
a
khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng
SA
và
BC
.
Bài giải
Gọi
H
là trung điểm
BC S H BC
, mà
( ) ( ) ( )SBC ABC SH ABC  

Đây tiếp tục là khoảng cách hai đƣờng chéo nhau.
Để tính
( , )d SA BC
ta sẽ dựng mặt phẳng chứa
SA

và song song với
BC

Trong mặt phẳng
()ABC
qua
A

vẽ đƣờng thẳng


song song với
BC
. Ta lấy điểm
D 
để tiện hình
dung ra mặt phẳng
( , )S 
là mặt phẳng
()SAD
.
Lúc này ta có:
()BC AD DB SAD

( , ) ( ,( )) ( ,( ))d BC SA d BD SAD d H SAD  

Ta có tam giác
ABC
vuông cân tại
A
nên
AH BC AH AD  

Lúc này ta có bài toán tính
( ,( ))d H SAD
trong tứ diện
SHAD
với

()SH SAD
và tam giác
HAD
vuông
tại
A
giống hệ quả bài toán. Gọi
K
là hình chiếu của
H
trên
SC
nên theo hệ quả bài toán ta có:
22
.
( ,( ) (*)
SH AH
d H SAD HK
SH AH



Với
3
2
a
SH 
,tam giác
ABC
vuông cân tại

A
nên
22
BC a
AH 
. Thay vào
(*)
ta đƣợc:
22
3
.
3
22
( , )
4
31
44
aa
a
d BC SA HK
aa
  


Cách 2: Gọi
K
là hình chiếu của
H
trên
SA

Mặt khác
()
BC AH
BC SAH BC HK
BC SH



   




nên
HK
là đoạn vuông góc chung
giữa hai đƣờng
SA
và
BC
. Ta cũng tính đƣợc
3
( , )
4
a
d BC SA HK

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian

22


Bài tập 14 (Đại học khối A 2010): Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
gọi
M
,
N
lần lƣợt là trung điểm của
AB
và
AD
,
H
là giao điểm của
CN
với
DM
. Biết
SH
vuông góc mặt phẳng
()ABCD
và
 3SH a
. Tính theo
a

khoảng cách từ
DM
đến
SC
.
Bài giải
Nhận thấy
MD SH

Ta có hai tam giác vuông
AMD
và
DNC

bằng nhau nên


NCD MDA

Mà


0
90ADM CDH  


0
90CHD 
hay
CN MD

. Suy ra
()MD SNC

MD SC
. Rõ ràng
MD
và
SC
chéo nhau
nhƣng lại vuông góc nên ta có thể tìm đoạn
vuông góc chung cho dễ dàng.
Dựng
()HK SC K SC
và hiển nhiên
HK MD
hay
HK
là đoạn vuông góc chung
giữa hai đƣờng
MD
và
SC
.
22
.
( , ) (*)
SH HC
d DM SC HK
SH HC




Với
3SH a
,
22
5
2
a
CN ND DC  
, ta có:
2
2
2
.
5
CD a
CH CN CD CH
CN
   
.
Thay vào
(*)
ta đƣợc
2 57
( , )
19
a
d DM SC HK

Chú ý. Ở ba bài tập
12
,
13
và
14
vì hai đƣờng cần tính khoảng cách chéo nhau nhƣng lại
vuông góc với nhau (tự chứng minh dễ dàng) đây là trƣờng hợp đặc biệt nên ta có thể tìm
đoạn vuông góc chung của chúng dễ dàng nhƣ cách giải 2 ở hai bài tập
12
và
13
cũng nhƣ
cách giải bài tập
14
sẽ ngắn gọn hơn mà không cần thông qua khoảng từ điểm đến mặt phẳng
dựa vào yếu tố song song. Tuy nhiên nếu hai đƣờng đó chéo nhau mà không vuông góc thì
đƣa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng sẽ dễ hơn nhiều vì tìm ra đoạn vuông góc chung
lúc đó khó hơn nhiều. Sau đây là bài toán hai đƣờng chéo nhau mà không vuông góc.

Bài tập 15: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông tâm
O
, có cạnh bằng
a
,
SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và

SA a
. Tính theo
a
khoảng cách từ
AB
đến
SC
và từ
AC
đến
SD
.
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
23


Bài giải
Đây là khoảng cách hai đƣờng chéo nhau nhƣng
không vuông góc ta cần đƣa về khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng bằng cách dựa vào yếu tố
song song.
()AB CD AB SCD
( , ) ( ,( )) ( ,( ))d AB SC d AB SCD d A SCD  

Ta có bài toán tính
( ,( ))d A SCD
trong tứ diện
.S ACD
với

()SA ACD
và tam giác
ACD
vuông
tại
D
giống hệ quả bài toán.
Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
SD
nên theo hệ quả
bài toán ta có:
2 2 2 2
. . 2
( ,( ))
2
SAAD a a a
d A SCD AH
SA AD a a
   

Để tính
( , )d AC SD
ta sẽ dựng mp chứa
SD
và
song song với

AC

Trong mặt phẳng
()ABCD
qua
D
vẽ đƣờng thẳng

song song với
AC

Lúc này muốn tạo ra tứ diện giống hệ quả bài toán trong mặt phẳng
()ABCD
qua
A
ta vẽ
đƣờng thẳng
AI
cắt và vuông góc với

tại
I
, đồng thời cũng suy ra tứ giác
AODI
là hình
chữ nhật nên
AI OD
.
Lúc này ta có:
( ) ( , ) ( ,( )) ( ,( ))AC DI AC SDI d AC SD d AC SDI d A SDI   

Ta có bài toán tính
( ,( ))d A SDI
trong tứ diện
SADI
với
()SA ADI
và tam giác
ADI

vuông tại
I
giống hệ quả bài toán.
Gọi
K
là hình chiếu của
A
trên
SI
nên theo hệ quả bài toán ta có:
22
.
( ,( )) (*)
AI SA
d A SDI AK
AI SA


, với
2

,
2
a
AI OD SA a  

Thay vào
(*)
ta đƣợc:
3
3
a
AK 
. Vậy
3
( , )
3
a
d AC SD 



Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
24


Bài tập 16 (Đại học khối A 2012): Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a

,
hình chiếu vuông góc của
S
xuống mặt phẳng
()ABC
là điểm
H
thuộc cạnh
AB
sao cho
2HA HB
. Góc giữa
SC
và mặt phẳng
()ABC
là
0
60
. Tính theo
a
khoảng cách từ
SA

đến
BC
.
Bài giải
Ta cần dựng mặt phẳng chứa
SA
và song song

với
BC
. Trong mặt phẳng
()ABC
dựng đƣờng
thẳng

qua
A
và song song với
BC
, để tạo ra
tứ diện giống hệ quả bài toán, trong mặt phẳng
()ABC
qua
H
dựng đƣờng thẳng
HM
vuông
góc và cắt

tại
M
.
Lúc này do
()BC AM BC SAM

( , ) ( ,( )d BC SA d BC SAM
( ,( ))d B SAM

Chú ý:
BH
cắt
()SAM
tại
A
và
3
2
BA HA

3
( ,( )) ( ,( ))
2
d B SAM d H SAM

Ta có bài toán tính
( ,( ))d H SAM
trong tứ diện
AHAM
với
()SH HAM
và tam giác
HAM

vuông tại
M
giống hệ quả bài toán.
Gọi
K

là hình chiếu của
H
trên
SM
nên theo
hệ quả bài toán ta có:
22
.
( ,( )) (*)
SH MH
d H SAM HK
SH MH


. Ta có
22
33
a
AH AB
,
vì
AM BC
nên


0
60BAM ABC
(so le trong)
0
3

sin 60
3
a
MH AH  

Gọi
D
là trung điểm
BC CD AB
và
31
,
2 2 6
aa
CD DH HB  

2 2 2 2
3 1 7
4 36 3
a
HC CD DH a a    

Góc giữa
SC
và
()ABC
là góc

0
60SCH 

nên
0
21
.tan 60
3
a
SH HC

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh
Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian
25


Thay vào
(*)
ta đƣợc
42
12
a
HK 
. Vậy
3 42
( , )
28
a
d BC SA HK

Bài tập 17 (Đại học khối A 2011): Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại

B
,
2AB BC a
, hai mặt phẳng
()SAB
và
()SAC
cùng vuông góc mặt phẳng
()ABC
.
Gọi
M
là trung điểm
AB
, mặt phẳng đi qua
SM
song song với
BC
, cắt
AC
tại
N
. Góc
giữa mặt phẳng
()SBC
và mặt phẳng
()ABC
là
0
60

. Tính theo
a
khoảng cách từ
AB
đến
SN
.
Bài giải
Hai mặt phẳng
()SAB
và
()SAC
cùng vuông
góc với mặt phẳng
()ABC
nên
()SA ABC
.
Mặt phẳng qua
SM
song song với
BC
(có
M
là
trung điểm
AB
) sẽ cắt
AC
tại trung điểm

N

của
AC
.
Bằng cách làm tƣơng tự ta cần dựng mặt phẳng
chứa
SN
và song song với
AB
.
Trong mặt phẳng
()ABC
dựng đƣờng thẳng


qua
N
và song song với
AB
, trong mặt phẳng
()ABC
qua dựng đƣờng thẳng
AK
vuông góc
và cắt

tại
K
và dễ thấy

A K MN a
.
Lúc này vì
()AB NK AB SNK
nên
( , ) ( ,( )) ( ,( ))d AB SN d AB SNK d A SNK

Ta có bài toán tính
( ,( ))d A SNK
trong tứ diện
SANK
với
()SA ANK
và tam giác
ANK
vuông tại
K
giống hệ quả bài toán. Gọi
H
là
hình chiếu của
A
trên
SK
nên theo hệ quả bài toán ta có:
22
.
( ,( )) (*)
SAAK
d A SNK AH

SA AK



Dễ suy ra đƣợc góc giữa hai mặt phẳng
()SBC
và
()ABC
là góc

0
60SBA 
nên
0
.tan 60 2 3SA AB a
và
AK a
. Thay vào
(*)
ta đƣợc
2 39
13
a
AH 