Bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình học 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
PHAN VĂN HÂY
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC KHÁM PHÁ CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGHỆ AN, 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
PHAN VĂN HÂY
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC KHÁM PHÁ CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 10
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.10
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Phạm Xuân Chung
NGHỆ AN, 2013
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu và viết luận văn tôi đã nhận được sự quan
tâm, hướng dẫn, giúp đỡ của nhiều tập thể, cá nhân trong và ngoài trường
Đại học học Vinh.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, ban chủ
nhiệm khoa sau đại học trường Đại học Vinh; Ban Giám hiệu, phòng Tổ chức
cán bộ trường Đại học Sài Gòn; cùng tất cả quý thầy (cô) giáo đã tham gia
giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn thành các
chuyên đề thạc sĩ khóa 19, ngành Toán của trường Đại học Vinh đặt tại
trường Đại học Sài Gòn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban Giám
hiệu, tổ Toán trường THPT Lộc Hưng, tỉnh Tây Ninh – nơi tôi đang công tác
giảng dạy.
Đặc biệt, tôi xin được gởi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Phạm Xuân

Chung, đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành tốt luận
văn này.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng
nghiệp đã tạo điều kiện và khích lệ tôi hoàn thành luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn chắc chắn không tránh khỏi
những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Tác giả
Phan Văn Hây
Những từ viết tắt trong luận văn
Từ viết tắt Từ đầy đủ
DH Dạy học
GS Giáo sư
GV Giáo viên
H Hỏi
HS Học sinh
Nxb Nhà xuất bản
SGK Sách giáo khoa
THPT
Trung học phổ
thông
TL Trả lời
tr trang
TS Tiến sĩ
VP Vế phải
VT Vế trái
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1
MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
1.1. Trong những năm gần đây, ngành giáo dục nước ta rất quan tâm đến
việc đổi mới phương pháp dạy học, với xu thế “Dạy học tâp trung vào người
học”, hay là “Phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh”. Về mục
tiêu, vai trò, nhiệm vụ của ngành Giáo dục Đào tạo cũng được khẳng định “Phát
triển giáo dục là một trong những động lực thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hoá
hiện đại hoá, là điều kiện phát huy nguồn lực con người yếu tố cơ bản để phát
triển xã hội tăng trưởng kinh tế nhanh và bền vững. Cần tạo chuyển biến cơ bản
về giáo dục, đào tạo lớp người lao động có kiến thức cơ bản làm chủ kỹ năng
nghề nghiệp, có ý thức vươn lên về khoa học và công nghệ. Đổi mới phương
pháp dạy học, phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạo của người học,
coi trọng việc làm chủ kiến thức, tránh nhồi nhét, học vẹt, học chay”.
1.2. Toán học trong chương trình nhà trường phổ thông là một môn học cơ
bản và có tính phát triển liên tục hệ thống logic, giúp người học ngoài việc nắm
vững các kiến thức cơ bản của toán còn nâng cao khả năng suy luận, hình thành
các phưong pháp học khoa học và hỗ trợ có hiệu quả trong việc học các môn học
khác. Tuy nhiên hiện nay tình trạng học sinh học môn toán một cách máy móc,
thụ động khá phổ biến, tính độc lập sáng tạo trong học và giải toán chưa được
phát huy tốt. Mà trong chúng ta ai ai cũng biết rằng, hiện nay nội dung chương
trình trong trường phổ thông đã được đổi mới toàn bộ nhiều mặt, nhiều khâu từ
chương trình sách giáo khoa, phương pháp giảng dạy theo hướng tích cực hoá
hoạt động học tập của học sinh nhằm giúp học sinh tự tiếp cận kiến thức. Vậy
giúp cho học sinh tích cực học tập tự lực tiếp cận kiến thức mới để đạt đươc kết
quả khả quan thì theo chúng tôi việc bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh
là điều hết sức quan trọng.
1.3. Dạy học theo quan điểm khám phá đã được nhiều tác giả đề cập đến
thông qua các công trình nghiên cứu, trong các công trình đó có thể kể tới Luận
2
án Tiến sĩ của Lê Võ Bình (2007), “Dạy học Hình học các lớp cuối cấp THCS
theo hướng bước đầu tiếp cận phương pháp dạy học khám phá”; luận văn Thạc

sĩ của Hà Duyên Nam (2006), Nguyễn Công Chuẩn (2009), có nghiên cứu
một số vấn đề về dạy học khám phá, nhưng chưa đề cập đến năng lực khám phá
của học sinh. Trong cuốn sách “tiếp cận các phương pháp dạy học không truyền
thống trong dạy học Toán ở trường Đại học và trường Phổ thông” các tác giả
Đào Tam, Lê Hiển Dương có đề cập đến năng lực khám phá kiến thức mới một
cách khái quát và đã đề xuất một số biện pháp rèn luyện các thành tố của năng
lực khám phá kiến thức cho sinh viên trong dạy học hình học sơ cấp ở trường
Đại học Sư phạm. Vì những lí do trên đó chúng tôi chọn đề tài luận văn là “Bồi
dưỡng năng lực khám phá cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình
học 10’’.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn về phương pháp dạy học toán
và đề xuất một số biện pháp bồi dưỡng cho học sinh năng lực khám phá thông
qua việc khai thác một số bài tập toán hình học lớp 10, qua đó góp phần đổi mới
phương pháp dạy học và nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường trung
học.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là một số vấn đề lý luận và thực tiễn về
phương pháp dạy học toán và những ứng dụng của chúng vào việc bồi dưỡng
năng lực khám phá kiến thức mới cho học sinh, thông qua việc dạy học giải bài
tập toán hình học lớp 10.
4. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học giải bài tập hình học 10, nếu xây dựng được một số
biện pháp bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh một cách hợp lý thì sẽ góp
phần nâng cao chất lượng dạy học hình học 10 nói riêng và dạy học môn toán
nói chung.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
3
5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề phương pháp dạy
học toán.

5.2. Tìm hiểu một số thành tố ảnh hưởng đến việc bồi dưỡng năng lực
khám phá.
5.3. Đề xuất những biện pháp có thể góp phần bồi dưỡng năng lực khám
phá cho học sinh.
5.4. Làm thử nghiệm sư phạm để kiểm chứng những đề xuất.
6. Phạm vi nghiên cứu
6.1. Nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến việc bồi dưỡng năng lực
khám phá cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài tập toán hình học lớp
10.
6.2. Phạm vi khảo sát thực tiển dạy học ở các trường trung học trong tỉnh
Tây Ninh.
7. Phương pháp nghiên cứu
7.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách báo, các tài liệu chuyên môn
liên quan đến một số vấn đề lý luận và thực tiễn về phương pháp dạy học toán.
7.2. Nghiên cứu thực tiển: điều tra, khảo sát thực tế.
7.3. Thực nghiệm sư phạm.
7.4. Xử lí số liệu thực tiễn và thực nghiệm bằng phương pháp thống kê
toán học.
8. Đóng góp của luận văn
8.1. Cung cấp các tư liệu về quá trình bồi dưỡng năng lực khám phá kiến
thức mới cho học sinh, làm thành một tài liệu tham khảo trong công tác chuyên
môn.
8.2. Phân tích nội dung bài tập chương trình hình học lớp 10 và hệ thống
hóa các dạng toán điển hình nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực khám phá trong
việc giải bài tập toán hình học lớp 10 cho học sinh.
4
8.3. Đề xuất được các biện pháp bồi dưỡng năng lực khám phá cho học
sinh thông qua việc dạy học giải bài tập hình học lớp 10.
9. Dự kiến cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chương:

Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh
thông qua dạy học giải bài tập hình học 10.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
5
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực
Năng lực là một vấn đề trừu tượng của Tâm lý học. Khái niệm này cho
đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau, chẳng hạn:
- Năng lực là những điều kiện đủ hoặc vốn có để làm một việc gì: Năng
lực tư duy của con người, [15, tr.1172].
- Năng lực là khả năng đủ để thực hiện tốt một công việc. Có năng lực
chuyên môn, năng lực tổ chức, [15, tr.1172].
Ở Việt Nam, nhấn mạnh đến tính mục đích và nhân cách của năng lực,
Phạm Tất Dong và Phạm Minh Hạc đưa ra định nghĩa: “Năng lực chính là một
tổ hợp các đặc điểm tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm
lí của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất
định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy”, [9, tr.45].
- “…Năng lực tự nhiên là loại năng lực được nảy sinh trên cơ sở những tư
chất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác động của giáo dục và đào tạo. Nó
cho phép con người giải quyết được những yêu cầu tối thiểu, quen thuộc đặt ra
cho mình trong cuộc sống”, [32, tr.11].
Từ đó ta thấy rằng, trong cuộc sống nói chung, trong việc giải Toán nói
riêng, sự đáp ứng yêu cầu của các năng lực tự nhiên rất hạn hẹp. Chính vì lẽ đó
đã hình thành ở con người những loại năng lực mới bằng con đường giáo dục
vào đào tạo, gọi là Năng lực được đào tạo hay Năng lực tự tạo.
-“…Năng lực được đào tạo là những phẩm chất của quá trình hoạt động
tâm lý tương đối ổn định và khái quát của con người, nhờ nó chúng ta giải quyết
được (ở mức độ này hay mức độ khác) một hoặc một vài yêu cầu mới nào đó

của cuộc sống”, [32, tr.11].
-“Năng lực của con người thường được phân ra thành các năng lực chung
như hoạt động tổ chức - quản lý, hoạt động khoa học - công nghệ, hoạt động
6
giáo dục dạy học, hoạt động kinh doanh… và năng lực chuyên biệt như ca hát,
thể thao, hội họa…”, [32, tr.12].
“…Năng lực biểu lộ ở tính nhanh, tính dễ dàng, chất lượng tiếp nhận và
thực hiện hoạt động, ở bề rộng của sự di chuyển, tính mới mẻ, tính độc đáo của
hoạt động giải quyết những vấn đề mới…”.
Ở phương Tây có nhiều quan điểm về năng lực: Theo quan điểm di truyền
học, trường phái A. Binet (1875-1911) và T. Simon cho rằng: Năng lực phụ
thuộc tuyệt đối vào tính chất bẩm sinh của di truyền gen. Theo quan điểm xã hội
học, E. Durkhiem (1858-1917) cho rằng: Năng lực, nhân cách con người được
quyết định bởi xã hội (như một môi trường bất biến, tách rời khỏi điều kiện
chính trị). Theo phái tâm lí học hành vi, J. B. Watson (1870-1958) coi năng lực
của con người là sự thích nghi “sinh vật” với điều kiện sống [12]. Nhìn chung,
các quan điểm này chủ yếu xem xét năng lực từ khía cạnh bản năng, từ yếu tố
bẩm sinh, di truyền của con người mà coi nhẹ yếu tố giáo dục.
Các nhà tâm lí học Mác xit nhìn nhận và nghiên cứu vấn đề năng lực theo
cách khác. Họ không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với
năng lực mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và học tập trong việc hình thành
năng lực.
C. Mác chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân không
phải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động” ,[19, tr. 167].
Ph. Ăng ghen thì cho rằng: “Lao động đã sáng tạo ra con người”, [1, tr. 641].
Trường phái tâm lí học Xôviết với A. G. Côvaliov [2, tr. 84-127], N. X.
Lâytex, …và tiêu biểu là B. M. Chieplôv đã có nhiều công trình nghiên cứu về
năng lực trí tuệ. B.M. Chieplôv coi năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân
có liên quan với kết quả tốt đẹp với việc hoàn thành một hoạt động nào đó. Theo
ông có hai yếu tố cơ bản liên quan đến khái niệm năng lực:

Thứ nhất, năng lực là những đặc điểm tâm lí mang tính cá nhân. Mỗi cá
thể khác nhau có năng lực khác nhau về cùng một lĩnh vực. Không thể nói rằng:
Mọi người đều có năng lực như nhau!
7
Thứ hai, khi nói đến năng lực, không chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí
chung mà năng lực còn phải gắn với một hoạt động nào đó và được hoàn thành
có kết quả tốt (tính hướng đích).
Cũng theo quan điểm trên, X. L. Rubinstein chú trọng đến tính có ích của
hoạt động, ông coi năng lực là điều kiện cho hoạt động có ích của con người:
“Năng lực là toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp với
một hoạt động có ích lợi cho xã hội nhất định”, [31, tr.250].
Từ đó ta thấy rằng, trong cuộc sống nói chung, trong việc giải toán nói
riêng, sự đáp ứng yêu cầu của các năng lực tự nhiên rất hạn hẹp. Chính vì lẽ đó
đã hình thành ở con người những loại năng lực mới bằng con đường giáo dục và
đào tạo, gọi là Năng lực được đào tạo hay Năng lực tự tạo.
Từ sự nghiên cứu của các tác giả ở trên chúng ta có thể nhận thấy rằng:
Năng lực là tổ hợp các thuộc tính tâm lý (hoặc kỹ năng) của con người để thực
hiện thành công một hoạt động nào đó. Năng lực gắn với khả năng hoàn thành
một hoạt động cụ thể, chỉ nảy sinh và quan sát được trong giải quyết những yêu
cầu mới mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo tuy khác nhau về mức độ.
Năng lực có thể rèn luyện để phát triển được, với các cá nhân khác nhau thì năng
lực cũng khác nhau.
1.2. Năng lực khám phá
Khám phá là tìm ra, phát hiện ra cái còn giấu, cái bí mật [22, tr.610].
Theo [21, tr.159], " Khám phá " là quá trình hoạt động và tư duy, có thể
bao gồm quan sát, phân tích, nhận định, đánh giá, nêu giả thuyết, suy luận…
nhằm đưa ra các khái niệm, phát hiện ra những tính chất, quy luật… trong sự vật
hiện tượng và mối liên hệ giữa chúng.
"Khám phá" là một quá trình có mục đích của việc chiếm lĩnh tri thức,
giải quyết vấn đề [13, tr.30].

Dewey đưa ra ý kiến cho rằng khám phá là “sự tìm hiểu một cách
chủ động, kiên trì và kỹ lưỡng về một niềm tin hoặc một dạng kiến thức nào đó
từ những nền tảng hỗ trợ cho nó và những kết luận gần hơn với ý kiến đó”.
8
Với Dewey, việc đặt nền móng cho “bất kỳ một niềm tin nào đó” xảy ra trong
các quá trình khám phá: lý do, bằng chứng, sự suy diễn và sự khái quát hoá. Gần
đây, các nhà giáo dục khoa học đã đưa ra các danh mục khác nhau cho quá trình
khám phá. Một trong những danh mục đó gồm có: quan sát, đo đếm, dự báo, suy
diễn, sử dụng các con số, sử dụng các mối liên hệ không gian - thời gian, định
nghĩa theo phương pháp toán tử, xây dựng các giả thuyết, diễn giải các dữ liệu,
kiểm soát các biến số, thử nghiệm và thông tin.
Trong học tập, người học sẽ chủ động tham gia vào quá trình khám phá
khi phải đối mặt với “tình huống với nhiều sự lựa chọn” hoặc một vấn đề làm
các em lúng túng và gây ra một số lo lắng nhất định cho bản thân. Trong phương
pháp khám phá được trình bày ở đây, việc tạo ra những tình huống cần lựa chọn
hoặc những vấn đề phức tạp là cần thiết đối với các hoạt động khám phá khoa
học.
Dạy học khám phá là một phương pháp hướng dẫn, định hướng nhưng
không phải là phương pháp duy nhất được sử dụng trong dạy học. Theo các
công trình nghiên cứu về khám phá thì khám phá là sự tìm tòi tích cực, bao gồm
nhiều quá trình mà qua đó biến kinh nghiệm trở thành kiến thức. Có 4 kiểu
khám phá đó là:
- Khám phá quy nạp: Người học đưa được cái cụ thể thành những khái
niệm tổng quát.
- Khám phá diễn dịch: Người học bắt đầu từ những ý tưởng lớn, từ những
kết luận và các khái niệm tổng quát để tìm hiểu các trường hợp cụ thể.
- Dạy học tự phát hiện ( còn gọi là học tập khám phá ): Đây là khái niệm
được đề xuất bởi Jerome Bruner, theo ông loại hình dạy học này là " dạy học
mang tính giả thuyết " và dạy học với ý nghĩa là " thu hút học sinh tham gia"
chứ không phải là "truyền đạt kiến thức ". Như vậy dạy học tự phát hiện trong

các môn học là thu hút người học tham gia vào các hoạt động học nhằm giúp các
em hiểu được khái niệm và nguyên lý mới.
9
- Giải quyết vấn đề: là một dạng khác của phương pháp khám phá. Những
vấn đề thách thức được giải quyết bởi người học. Việc giải quyết những vấn đề
nêu trong lớp học không chỉ đưa người học tiếp cận vào những vấn đề của thế
giới thực tại mà còn đánh giá cao quá trình khám phá của người học.
Các tác giả Đào Tam - Lê Hiển Dương [25, tr.41-46] đã nêu lên năng lực
khám phá kiến thức mới gồm:
1.2.1. Năng lực mô hình hoá các lớp đối tượng, hiện tượng toán học
theo một số quan hệ và tính chất chung của chúng
Mô hình hoá các lớp đối tượng quan hệ của hiện thực khách quan là
phương pháp chủ yếu của Toán học để nhận thức các lớp đối tượng và quan hệ
nói trên.
Để thu được các mô hình (sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu toán để mô tả các
lớp đối tượng, quan hệ của hiện thực khách quan) đòi hỏi học sinh phải tiến
hành các thao tác, các hành động như: mô tả, so sánh, phân tích, tổng hợp, khái
quát hoá, trừu tượng hoá và chuyển di các liên tưởng, các chức năng, thái độ vào
các tình huống khác nhau. Từ đó mới có thể rút ra các tính chất chung, các quan
hệ chung từ các lớp đối tượng, hiện tượng muôn màu muôn vẻ để dẫn tới các
khái niệm mới các lí thuyết mới.
1.2.2. Năng lực chuyển di chức năng hành động nhờ chuyển đổi các
đối tượng của hoạt động
Năng lực này được xem xét dựa trên quan điểm của lí thuyết hoạt động,
thuyết liên tưởng và các thành tố của sơ đồ cấu trúc khám phá. Việc bồi dưỡng
năng lực này góp phần phát triển, mở rộng kiến thức hình học và bồi dưỡng
phương thức khám phá cho học sinh từ cơ sở các kiến thức đã có, phát hiện tìm
tòi kiến thức mới.
1.2.3. Năng lực thể hiện các quan điểm biện chứng của tư duy toán học
trong việc phát hiện khám phá kiến thức mới

Việc phát triển cho học sinh năng lực này nhằm vào các mục tiêu chủ yếu
sau đây:
10
+ Khám phá, phát triển từ một bài toán thành nhiều bài toán mới theo
quan điểm một cái riêng nằm trong nhiều cái chung khác nhau;
+ Tìm tòi các kiến thức mới, bài toán mới từ nhiều trường hợp riêng theo
tư tưởng nhiều cái riêng được bao trùm bởi một cái chung, cái tổng quát;
+ Từ việc xem xét cẩn thận mối quan hệ giữa nội dung và hình thức, giúp
học sinh thấy được mối quan hệ giữa ngữ nghĩa và cú pháp của một vấn đề, học
sinh biết: sử dụng hình thức cũ thể hiện nội dung mới; dùng hình thức mới để
nguỵ trang nội dung cũ; lựa chọn hình thức thích hợp trong hoàn cảnh cụ thể.
+ Cũng từ việc xem xét mối quan hệ giữa cái cụ thể (hình học phẳng) và
cái trừu tượng (hình học không gian) theo quan điểm biện chứng sẽ góp phần
giúp học sinh định hướng giải toán hình học không gian bằng cách xem xét mối
liên hệ với bài toán phẳng thông qua hoạt động chuyển các bài toán không gian
về bài toán phẳng;
+ Giúp học sinh xem xét nhiều sự kiện riêng lẻ của Toán học thành hệ
thống tổng thể nhất quán;
+ Từ việc xem xét cẩn thận các quy luật về mối quan hệ nhân quả trong
dạy học toán; học sinh được ý thức về cơ sở của việc huy động kiến thức trong
quá trình giải quyết các vấn đề toán học nói chung, trong giải toán nói riêng.
Cũng từ việc nắm mối quan hệ nhân quả trong dạy học toán sẽ giúp các em
chuyển hoá các liên tưởng, các chức năng trong các tình huống khác nhau;
Ngoài các năng lực cơ bản của hoạt động phát hiện tìm tòi kiến thức mới
kể trên, để kiểm chứng giả thuyết, giải quyết các vấn đề chúng ta cần chú trọng
rèn luyện cho học sinh năng lực tìm tòi các phương thức giải quyết vấn đề.
Các thành tố của năng lực này bao gồm:
+ Năng lực huy động đúng đắn kiến thức và phương pháp để giải quyết
vấn đề, giải các bài toán.
+ Năng lực huy động kiến thức và phương pháp bằng nhiều cách khác

nhau.
11
+ Năng lực biến đổi vấn đề, bài toán để dễ dàng huy động kiến thức,
phương pháp và công cụ thích hợp để giải quyết vấn đề.
+ Năng lực lập luận lôgic, lập luận có căn cứ.
1.3. Những vấn đề liên quan đến năng lực phát hiện phương pháp giải
toán của học sinh trung học phổ thông
1.3.1. Các chức năng chủ yếu của bài toán trong dạy học toán
Ở một số nước trên thế giới, trong đó có Việt Nam, cấu trúc truyền thống
của SGK thường có hai phần riêng biệt: Phần lí thuyết và tiếp sau đó là phần bài
tập. Ngay trong phần lí thuyết, kiến thức lí thuyết (định nghĩa, định lí, công
thức…) chủ yếu vẫn được trình bày trước, sau đó là các ví dụ minh họa hay bài
tập áp dụng. Dạy học các kiến thức lí thuyết luôn đóng vai trò trung tâm.
Cấu trúc này tương thích với mô hình dạy học truyền thống, theo đó GV
thường truyền thụ trực tiếp kiến thức cho HS, cho một vài ví dụ minh họa và yêu
cầu HS làm các bài tập áp dụng theo đúng mẫu mà GV đã trình bày. Nói cách
khác đây là kiểu dạy cầm tay chỉ việc.
Đó có thể là những nguyên nhân chủ yếu dẫn tới quan niệm khiếm khuyết
đồng nhất bài toán (problem) với bài tập (exercise), và từ đó bó hẹp chức năng
của các bài toán chỉ là củng cố và vận dụng các kiến thức đã học, rèn luyện kĩ
năng, kĩ xảo hay kiểm tra kiến thức của HS.
Tuy nhiên, những nghiên cứu khoa học về lịch sử toán học đã chỉ rõ rằng
hầu hết các khái niệm và các lí thuyết toán học thường nảy sinh từ nhu cầu giải
quyết các bài toán trong thực tế cuộc sống, trong nội bộ toán học hay trong các
khoa học khác. Nói cách khác, tri thức toán học không phải có sẵn mà được xây
dựng bắt đầu từ việc giải quyết các bài toán. Như vậy, quan hệ thứ tự giữa kiến
thức lí thuyết và bài toán không còn là: Kiến thức lí thuyết
→
Bài tập áp dụng mà
chủ yếu là: Bài toán

→
Kiến thức lí thuyết
→
Bài tập áp dụng
→
Bài toán mới.
Những nghiên cứu tâm lí học (nhất là của J.Piaget) cũng cho thấy: Việc
học tập thực sự chỉ nảy sinh trong sự tác động qua lại của chủ thể (người học)
12
với môi trường, trong đó người học thấy được và có nhu cầu giải quyết các bài
toán.
Từ đó, quan điểm sư phạm hiện đại về dạy học toán đang được áp dụng
trên nhiều nước là: Tập trung dạy học toán trên hoạt động của HS (phù hợp với
quan điểm dạy toán là dạy hoạt động toán học). Chính HS tự mình xây dựng các
kiến thức toán học thông qua hoạt động giải các bài toán. Nói cách khác, giải
các bài toán đóng vai trò trung tâm trong hoạt động dạy học.Chức năng của bài
toán không còn bó hẹp trong chức năng của bài tập áp dụng. Sau đây chúng tôi
phân tích kĩ hơn về một số chức năng chủ yếu của bài toán trong dạy học toán:
1.3.1.1. Gợi động cơ
Gợi động cơ là làm cho HS có ý thức về ý nghĩa của những hoạt động và
của đối tượng hoạt động [14, tr.81].
a) Gợi động cơ cho việc tiến hành nghiên cứu đối tượng mới. Trong
trường hợp này, bài toán sẽ tạo ra nhu cầu và hứng thú giải quyết vấn đề đặt ra,
từ đó tạo nên động cơ đi vào nghiên cứu một đối tượng mới.
b) Gợi động cơ nảy sinh khái niệm mới. Trong toán học, bài toán, ý tưởng
và công cụ hình thành nên ba thành phần chủ yếu của hoạt động toán học [17,
tr.8]. Trong đó, bài toán cần giải quyết là động cơ của nghiên cứu, công cụ là
phương tiện giải quyết vấn đề, còn ý tưởng là yếu tố trung gian nối khớp bài
toán và công cụ. Trong mối quan hệ này bài toán đóng vai trò cơ bản.
Ví dụ 1. SGK Hình học 10 nâng cao hiện hành, khi xây dựng tích vô

hướng của hai vectơ từ khái niệm “cộng sinh bởi một lực” trong Vật lí:
“Giả sử một lực không đổi
F
tác dụng lên một vật làm cho vật đó di
chuyển từ điểm O đến O’ (Hình 1.1 ).
13
Khi đó lực
F
đã sinh một công A tính theo công thức
ϕ
cos'.OOFA =
,trong đó
F
là cường độ của lực
F
tính bằng Newton (kí hiệu là
N),
'OO
là độ dài vectơ
'OO
tính bằng mét (kí hiệu là m),
ϕ
là góc giữa hai
vectơ
F
và
'OO
. Công A được tính bằng Jun (kí hiệu là J).
Trong Toán học, giá trị A trong biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được
gọi là tích vô hướng của hai vectơ

F
và
'OO
”.
Từ đó phát biểu định nghĩa tổng quát trong SGK.
1.3.1.2. Chức năng huy động kiến thức cũ
Sự liên kết trong toán học với nhau là một chuỗi các mắt xích rất phức tạp
vì thế kiến thức cũ là một nền móng hết sức quan trọng trong quá trình hình thành
kiến thức mới. Tuy nhiên không phải lúc nào HS cũng nhớ một cách đầy đủ các
kiến thức cũ này hoặc có nhớ nhưng đôi khi lại không biết vận dụng. Vì thế để
giúp cho HS đảm bảo kiến thức được liền mạch thì người giáo viên lúc nào cũng
sẵn sàng huy động các kiến thức cần thiết cho dạy học nội dung mới. Ở đây phải
nói đến hoạt động giải các bài toán là một trong các cách thức tốt nhất để HS tìm
lại được các kiến thức và kĩ năng này vì nó cho phép phát huy vai trò chủ động và
tích cực của HS.
Ví dụ 2. Khi ta dạy học giải bài tập chứng minh một đẳng thức lượng giác
trong bài “Giá trị lương giác của một góc bất kì (từ
0
0
đến
0
180 )
” trong chương
O
O’
F
ϕ
Hình 1.1
14
trình SGK hình học 10 nâng cao. Cụ thể ta đi chứng minh bài toán sau:

2 0
2
1
1 tan ( 90 )
os
+ = ≠x x
c x
.
Để làm được bài toán này thì kiến thức cũ cần huy động cho HS như sau:
- Phương pháp chứng minh một đẳng thức, kiến thức này HS đã biết cách
làm gần đây nhất là trong việc chứng minh một đẳng thức vectơ
- Định nghĩa giá trị lượng giác
+
sinx
tanx
cos x
=
+ Bình phương một thương
+ Công thức:
2 2
sin os 1x c x+ =
- Quy đồng mẫu số
Từ đó ta được kết quả của bài toán.
1.3.1.3. Là phương tiện đưa vào kiến thức mới
Ở cấp độ thấp hơn, các bài toán cũng có thể được sử dụng như phương
tiện đưa vào kiến thức mới. Kiến thức mới này nảy sinh không phải như là công
cụ mà như là kết quả của hoạt động giải quyết vấn đề.
Ví dụ 3. Bài toán sau đây là phương tiện để dạy Định lí hàm số sin trong
tam giác. Cho tam giác
ABC

vuông tại
, , , ,A BC a CA b AB c R
= = =
là bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
a) Tính
sin , sin , sinA B C
theo
, , .a b c
b) Tìm mối liên hệ giữa ba cạnh, ba góc của tam giác
ABC
và
.R
Lời giải (mong đợi).
a) Ta có
0
sin sin90 1,A = =

sin , sin .
b c
B C
a a
= =
b) Chú ý rằng
2 ,a R=
do đó
sin , sin .
2 2
b c
B C

R R
= =
Từ đó suy ra
( )
2 *
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
15
Hệ thức (*) có đúng đối với tam giác đều không? Hiển nhiên ta có
0
2
.
sin sin sin sin 60
3
a b c a a
A B C
 
= = = =
 ÷
 
Ta cũng dễ dàng tính được
.
3
a
R
=
Vì vậy (*) cũng đúng với tam giác

đều.
Hệ thức (*) có đúng với tam giác bất kì không? (Kết quả của việc giải
quyết vấn đề này là nội dung của định lí hàm số sin trong tam giác).
1.3.1.4. Chức năng cũng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng và hình thành kĩ
xảo
Sau khi trình bày một định nghĩa, một định lí, một tính chất hay một tri
thức phương pháp chúng ta thường cho các ví dụ minh họa, các bài tập áp dụng.
Đó chính là các bài tập có mục đích củng cố các kiến thức mới vừa được xây
dựng và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài toán.
Một trong những chức năng chủ yếu của phần bài tập trong mỗi bài học,
mỗi chương học là củng cố các kiến thức, rèn luyện các kĩ năng đã được đưa vào
trong phần lí thuyết hay hình thành kĩ năng mới và kĩ xảo có liên quan.
Việc giải các bài tập toán học không chỉ cho phép củng cố các kiến thức
và kĩ năng vừa mới được hình thành mà cả những kiến thức, kĩ năng đã có trước
đó.
1.3.1.5. Chức năng phát triển các năng lực và phẩm chất tư duy
Việc giải các bài toán là một trong những cơ hội tốt nhất để rèn luyện các
thao tác tư duy như: Phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa và
phát triển các phẩm chất tư duy như: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính
phê phán
Ngoài các chức năng nêu trên, việc giải các bài toán còn là cơ hội hình
thành ở HS thế giới quan duy vật biện chứng, các phẩm chất đạo đức, thẩm mĩ.
Nó cũng là công cụ cho phép kiểm tra đánh giá kết quả học tập của HS.
16
Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy
học nói chung, trong một bài học nào đó nói riêng đều chứa đựng một cách
tường minh hay ngầm ẩn những chức năng khác nhau. Các chức năng này không
bộc lộ một cách riêng lẻ, tách rời nhau mà trong mối quan hệ mật thiết với nhau.
Khi nhấn mạnh một chức năng cụ thể nào đó, ta muốn nói rằng, ở thời
điểm đang xét chức năng này có vị trí trung tâm hơn so với các chức năng khác.

1.3.2. Phương pháp giải Toán và năng lực phát hiện phương pháp giải
Toán
1.3.2.1. Phương pháp giải Toán
Thuật ngữ Phương pháp (theo tiếng Hy Lạp “Méthodos”) là con đường,
cách thức thực hiện một kiểu nhiệm vụ nào đó, nhằm đạt tới kết quả đạt được mục
đích đặt ra.
Phương pháp giải toán (hay phương pháp tìm lời giải bài toán) là cách
thức và ứng xử của người làm toán khi đứng trước một bài toán để gây nên
những hoạt động tư duy của bản thân nhằm tìm ra lời giải của bài toán đó.
Những hoạt động tư duy bao gồm: khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự,
quy nạp, phân tích, tổng hợp, so sánh… đặc biệt là suy luận có lý.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
)OBOA(
2
1
OI
+=
, với O tùy ý.
Sau khi các em đã giải xong bài toán trên, giáo viên tổ chức cho HS thực
hiện hoạt động sau:
Chứng minh rằng nếu G là trọng tâm tam giác ABC, O là điểm bất kỳ thì
ta có
OG
=
3
1
(
OA
+
OB

+
OC
). Tìm kết quả tương tự cho tứ giác. Khái quát
lên cho đa giác n cạnh thì như thế nào?
Tương tự khi G là trọng tâm tứ giác ABCD ta cũng có:
1
( )
4
OG OA OB OC OD= + + +
uuur uuur uuur uuur uuur
17
Nếu G là trọng tâm đa giác A
1
A
2
A
n
thì:
1 2
1
( )
n
OG OA OA OA
n
= + + +
uuur uuur uuuur uuuur
Như vậy thông qua khái quát hóa đã giúp HS có thể khám phá từ các bài
toán cụ thể đi đến bài toán tổng quát hơn.
* Đặc biệt hóa: Là quá trình ngược lại của khái quát hóa, đặc biệt hóa là
việc chuyển từ nghiên cứu một tập đối tượng đã cho sang nghiên cứu một tập

nhỏ hơn chứa trong nó. Đặc biệt hóa cũng là thao tác tư duy chuyển từ khái
niệm hay tính tổng quát về khái niệm hay tính xuất phát.
Để giải bài toán, trước hết ta giải chúng cho một vài trường hợp đặc biệt,
rồi thử dùng trường hợp đặc biệt này xem có giải trường hợp đặc biệt khác hay
trong bài toán tổng quát không.
Đặc biệt hóa là thao tác tư duy ngược lại của khái quát hóa. Đặc biệt hóa là
thao tác tư duy chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang
việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho.
Nói cách khác, khi đưa thêm các điều kiện hạn chế, ta đã chuyển từ trường
hợp chung sang trường hợp riêng, đã tiến hành đặc biệt hóa bài toán ban đầu.
Cho tứ giác lồi ABCD, gọi α là góc hợp bởi hai đường chéo AC và BD. Chứng
minh rằng diện tích của tứ giác cho bởi công thức S =
2
1
AC.BD.sin α. Nêu kết
quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Ví dụ 5: GV có thể tổ chức cho HS các hoạt động sau:
Hoạt động 1:
- Diện tích của tứ giác ABCD có thể được xem là tổng của diện tích các
tam giác nào ?
(S = S
∆
ABD
+ S
∆
CBD
hoặc S = S
∆
ABC
+S

∆
ACD
)
Hoạt động 2:
- Hãy tính diện tích các tam giác ABD và BCD.
Chúng ta mong đợi ở HS:
A
B
C
D
K
O
H
18
Kẻ các đường cao CK, AH, ta có: S
∆
ABD
=
2
1
AH.BD.
S
∆
BCD
=
2
1
CK.BD.
Hoạt động 3:
- Hãy tính AH theo AO và sinα.

AH = AO.sin α ⇒ S
∆
ABD
=
2
1
AO.BD.sinα
Tương tự CK = CO.sin α ⇒ S
∆
BCD
=
2
1
.CO.BD.sinα
- Hãy chứng minh bài toán trên:
HS chứng minh và đi đến kết quả sau: S =
2
1
.AC.BD.sinα
Hoạt động 4: (Đặc biệt hoá cho góc α = 90
0
)
- Hãy tính diện tích của tứ giác trong trường hợp AC vuông góc BD và
phát biểu bài toán.
Trong ví dụ trên HS được tập luyện việc tính diện tích của tứ giác thông
qua diện tích của hai tam giác. Phương pháp được truyền thụ ở đây là "quy lạ về
quen", nhờ đó HS đã chứng minh được bài toán dưới sự tổ chức các hoạt động
của GV.
* Tương tự hóa: Là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất
và quan hệ của những đối tượng toán học khác nhau.

Thường trong toán học, xét sự tương tự trên các khía cạnh sau:
- Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp là giống
nhau
- Hai hình là tương tự, nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau. Nếu vai
trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó, hoặc nếu giữa các phần tử
của chúng có quan hệ giống nhau.
Sự tương tự, do tính trực quan và dễ hiểu của nó nên được sử dụng rất
nhiều trong giải toán. Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau:
Hình 1.2
19
Ví dụ 6. (Bài toán có cách giải tương tự). Chứng minh rằng nếu G là
trọng tâm tứ giác ABCD, O bất kỳ ta có:
4OA OB OC OD OG+ + + =
uuur uuur uuur uuur uuur
Bài toán khi đọc ta thấy ngay giống cách giải với bài: “Nếu G là trọng tâm
tam giác ABC, O là điểm bất kỳ ta có
OA
+
OB
+
OC
= 3
OG
và có cách giải
tương tự.
Cả hai bài toán có cách phân tích tương tự nhau:
Đối với tam giác:
OG OA AG
OG OB BG
OG OC CG


= +


= +


= +


uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
Đối với tứ giác:
OG OA AG
OG OB BG
OG OC CG
OG OD DG

= +

= +


= +


= +

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
1.3.2.2. Vai trò của phương pháp giải toán
Có thể xem quá trình giải toán gồm hai bước chính: xác định hướng giải
bài toán và thực hiện lời giải (thực hiện các thao tác trong tiến trình giải toán).
Với cách hiểu về hệ thống cấp độ trong tiến trình giải toán thì hướng giải bài
toán và tiến hành giải bài toán là hai nội dung khác nhau, độc lập với nhau tuy
có quan hệ hỗ trợ nhau, có khi tiến hành đồng thời hoặc tiến hành hai quá trình
riêng biệt:
"Giải bài toán là một dạng hoạt động sáng tạo, còn việc tìm ra lời giải là
một quá trình phát minh" [10, tr.7-10].
“Quá trình giải một bài toán là đi tìm kiếm một lối thoát ra khỏi khó khăn
hoặc một con đường vượt qua trở ngại; đó chính là quá trình đạt tới một mục
đích mà thoạt nhìn thì dường như không thể đạt được ngay. Giải toán là khả
năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con người; vì vậy giải toán có thể
xem như một trong những biểu hiện đặc trưng nhất trong hoạt động con người”
[6, tr.5].
20
Trước hết xác định hướng giải bài toán phải xuyên suốt quá trình giải bài
toán. Tư duy logic và phép biện chứng phối hợp chặt chẽ với logic hình thức
trong quá trình xác định hướng giải bài toán cũng như phát hiện những vấn đề
phải giải quyết trong bài toán. Đây là khâu rất quan trọng trong tiến trình giải
toán, bởi lẽ:
- Khâu tìm được hướng giải bài toán có ý nghĩa quyết định trong tiến trình
giải toán, bởi vì chất lượng giải bài toán phụ thuộc phần lớn ở khâu này.
- Dù có nắm vững lý thuyết giải toán cũng như phương pháp thực hành,
thành thạo trong các quy trình và các thao tác có tính kỹ thuật song nếu không
có hướng giải (hoặc có nhưng không thích hợp) thì chưa thể có lời giải (hoặc lời
giải chưa tốt).

- Tiến trình giải toán gồm nhiều bước, song lao động tìm ra hướng giải bài
toán huy động nhiều trí lực và mang tính sáng tạo nhất.
Xác định hướng giải bài toán là cơ sở cho việc rèn luyện năng lực giải
toán theo hướng độc lập, tự chủ, biết giải quyết các yêu cầu của bài toán, góp
phần rèn luyện tư duy cho người giải toán.
Để giải quyết một bài toán cần thực hiện hai bước chủ yếu, đó là tìm ra
phương pháp giải và thực hiện lời giải. Hai bước này có khi tiến hành đồng thời
nhưng cũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt. Nếu chúng ta đưa một sự so
sánh bước nào quan trọng hơn bước nào thì cũng chỉ đúng trong một chừng mực
nào đó mà thôi.
Trước hết, nếu ta đứng trước một bài toán đã có phương pháp giải thì việc
giải bài toán một cách hoàn chỉnh không phải hoàn toàn đơn giản mà là cả một
quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: nắm vững các kiến thức cơ bản về nội
dung lí thuyết lẫn phương pháp thực hành, luyện tập thành thạo các quy trình và
thao tác có tính chất kĩ thuật. Những điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên
nhẫn và một phương pháp làm việc khoa học của người giải toán.
Ví dụ 7. Trong tam giác ABC. Chứng minh: