Định lý Darboux - Moser và ứng dụng

1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ XUÂN TRÚC
ĐỊNH LÝ DARBOUX - MOSER VÀ ỨNG
DỤNG
2
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN, 2013
3
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Ngô
Đình Quốc. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy – người
đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh
nghiệm thực hiện đề tài, truyền đạt những kiến thức quý báu, cung cấp nhiều
tài liệu quý trong và ngoài nước, giảng giải và chỉ dẫn tận tình,đầy trách
nhiệm trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Hơn nữa, Thầy đã dành nhiều
thời gian và công sức để đọc và chỉnh sửa luận văn cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý Thầy Cô của khoa
Toán Trường Đại học Vinh. Đặc biệt là quý Thầy Cô tổ Hình học, Thầy Cô
giảng dạy lớp cao học khóa 19 trường Đại Học Vinh đã giúp đỡ tôi nâng cao
trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình
học Cao học.
Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng
sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Đồng Tháp, Ban
giám hiệu trường THPT Tầm Vu 2, Quốc lộ 1A, Thị trấn Cái Tắc Tỉnh Hậu
Giang cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này.
Hậu Giang, ngày 01 tháng 7 năm 2013
Học viên thực hiện
Nguyễn Thị Xuân Trúc

4
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa 1
Lời cảm ơn 2
Mục lục 3
Danh mục các ký hiệu 4
MỞ ĐẦU 5
NỘI DUNG
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 7
1.1. Đa tạp symplectic 7
1.2. Các khái niệm chuẩn bị cho bài toán địa phương 9
1.3. Lý thuyết Moser 24
Chương 2: Định lý Darboux - Moser và ứng dụng 30
2.1. Định lý Darboux cổ điển 30
2.2. Không gian con Lagrang 30
2.3. Định lý lân cận Weinstein Lagrang 32
2.4. Một số ứng dụng của định lý 35
2.4.1. Ứng dụng 1 35
2.4.2. Ứng dụng 2 38
KẾT LUẬN 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO 41
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
5
Ký hiệu Giải thích các ký hiệu
( )
C M
∞
Không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp M.
( )

s
dR
H M
Nhóm đối đồng điều de Rham thứ s trên đa tạp M.
( )
Diff M
Nhóm các phép vi phôi trên đa tạp M.
( )
,Sympl M
ω
Nhóm các đồng cấu symplectic trên đa tạp M.
( )
sympl
M
χ
Tập các trường véctơ symplectic trên đa tạp M.
( )
k
MΩ
Không gian các k- dạng vi phân trên M
6

MỞ ĐẦU
Hai thế kỉ trước, hình học symplectic được giới thiệu với thuật ngữ của
cơ học cổ điển. Trong suốt 20 năm gần đây, sự phát triển mạnh mẽ của
hình học symplectic làm cho nó trở thành một lĩnh vực độc lập, như một
ngành trung tâm của hình học vi phân và tôpô. Hình học vi phân là một
mở rộng tự nhiên của phép tính vô cùng bé. Trong thực tế vi phân được
xem như việc dựng các đường thẳng tiếp xúc của một đường cong và tích
phân là việc nghiên cứu diện tích và thể tích. Hiển nhiên rằng trong các

công việc của Newton, Leibnitz, và anh em của Bernoulli người ta tìm
thấy các phép tính vi phân và tích phân là công cụ hiệu quả trong việc giải
quyết các vấn đề hình học và vật lý. Hình học vi phân cổ điển bắt đầu bằng
việc mô tả lý thuyết siêu mặt của Euler và Monge. Sau đó các ông đã viết
thành quyển sách đầu tiên của hình học vi phân. Hình học symplectic là
một mảng của hình học vi phân hiện đại, nghiên cứu các tính chất hình học
của đa tạp symplectic. Xuất phát từ dạng chính tắc của dạng song tuyến
tính phản đối xứng trên không gian véctơ
V
cụ thể là:
Cho
V
là một không gian véctơ
m −
chiều trên
¡
và ánh xạ
:V VΩ × → ¡
là một ánh xạ song tuyến tính. Ánh xạ
:V VΩ × → ¡
được
gọi là song tuyến tính phản đối xứng nếu
( ) ( )
, , , ,u v v u u v VΩ = −Ω ∀ ∈
.
Câu hỏi đặt ra là có tìm được một cơ sở thích hợp trong
V
để dạng
song tuyến tính phản đối xứng
:V VΩ × → ¡

có dạng chuẩn không?
7
Câu trả lời là có, đó là định lý Darboux sau đây:
Cho
:V VΩ × → ¡
là một dạng song tuyến tính phản đối xứng trên
V
, thì
trong
V
tồn tại một cơ sở
1 2 1 2 1 2
, , , , , , , , , , ,
k n n
u u u e e e f f f
sao cho:

( )
( ) ( )
( )
ij
, 0, ,
, 0 , , ,
, , ,
i
i j i j
i j
u v i v V
e e f f i j
e f i j

δ
Ω = ∀ ∀ ∈
Ω = = Ω ∀
Ω = ∀
Và khi đó dạng của
:V VΩ × → ¡
là:

( )
[ ]
0 0 0 |
, 0 0
0 0 |
u v u Id v
Id
  
 ÷
 
Ω = − −
 ÷
 
 ÷
 
−
  
Khi thay
V
bởi đa tạp symplectic thì có tồn tại cơ sở như trên để dạng
song tuyến tính phản đối xứng
:V V

Ω × →
¡
có dạng trên không?
Để trả lời câu hỏi đó chúng tôi chọn đề tài với tên “ Định lý Darboux-
Moser và ứng dụng”.
• Trình bày sơ lược về đa tạp symplectic; các khái niệm chuẩn bị cho bài
toán địa phương; sơ lược về lí thuyết Moser.
• Trình bày định lý Darboux cổ điển; Không gian con Lagrang; nêu một
số ứng dụng của lý thuyết Darboux – Moser.
• Luận văn chỉ nghiên cứu địa phương mô tả dạng chuẩn của dạng
symplectic trong lân cận một điểm trên đa tạp symplectic.
• Các phương pháp nghiên cứu toán học lí thuyết.
• Các phương pháp của hình học vi phân như lí thuyết Moser, lí thuyết
đồng luân…
8
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Đa tạp Symplectic
1.1.1. Định nghĩa ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng [4, tr.17]
Cho
V
là không gian vectơ n- chiều trên trường số thực
¡
, ánh xạ song
tuyến tính
:V VΩ × → ¡
được gọi là ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng nếu
( ) ( )
, ,x y y x
Ω = −Ω
với mọi

, .
∈
x y V
1.1.2. Định nghĩa cấu trúc Symplectic [4, tr.18]
Cho
V
là không gian vectơ n- chiều trên trường số thực
¡
,V* là không
gian đối ngẫu của nó,
Ω
là một dạng song tuyến tính phản đối xứng trên
V
khi đó ánh xạ
( )
: *,V V u uΩ → Ω
% %
a
xác định bởi
( ) ( ) ( )
,u v u vΩ = Ω
%
là một ánh
xạ tuyến tính. Khi
Ω
%
là song ánh thì Ω được gọi là dạng symplectic trên
V
.
Định nghĩa. Cặp

( )
,V
Ω
được gọi là một không gian vectơ symplectic nếu Ω
là dạng symplectic .
1.1.3. Dạng Symplectic trên đa tạp [4, tr.18]
Định nghĩa. Cho
M
là đa tạp trơn 2n- chiều. 2- dạng vi phân ω thỏa mãn ω
đóng và
p
ω
không suy biến với mọi p
∈
M được gọi là dạng symplectic.
9
Ví dụ. Trong mặt phẳng
2
¡
với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxy nếu
lấy
dx dy
ω
= ∧
thì ω là 2 - dạng vi phân trên
U
. Khi đó ω là một dạng
symplectic.
Thật vậy
 Ta có:

( )
0d d dx dy
ω
= ∧ =
 Ta kiểm tra tính suy biến của
p
ω
với mọi p
∈
M =
2
¡
.
Ta viết
( )
X
ω
thay cho
( )
( )
p
X p
ω
- Tính đơn ánh.
( ) ( )
( ) ( )
( )
, ,
, 0
dx dy X dx dy Y

dx dy X V dx dy Y V
dx dy X Y V
∧ = ∧
⇔ ∧ = ∧
⇔ ∧ − =
Với
, ,X Y V
là các trường vectơ trơn trên
M
.
Chọn
V
y
∂
=
∂
ta suy ra được
( )
0dx X Y
− =
Chọn
V
x
∂
=
∂
ta suy ra được
( )
0dy X Y− =
Giả sử

X Y f g
x y
∂ ∂
− = +
∂ ∂
thì ta suy ra
( ) ( )
0 và 0dx X Y f dy X Y g= − = = − =
.
Do đó
0X Y X Y− = ⇔ =
.
- Tính toàn ánh.
Lấy tùy ý
*T M
θ
∈
thì
θ
có biểu diễn duy nhất dưới dạng
10
ét
dx dy fdx gdy
x y
X X g f
x x
θ θ θ
 
∂ ∂
 

= + = +
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
 
∂ ∂
= −
∂ ∂
( ) ( ) ( )
Ta có
( )
.
dx dy X dx X dy dy X dx
gdy f dx
fdx gdy
∧ = −
= − −
= +

1.1.4. Định nghĩa đa tạp Symplectic [4, tr.22]
Đa tạp symplectic là một cặp
( )
,M
ω
, trong đó
M
là đa tạp trơn
2n – chiều và ω là dạng symplectic trên đa tạp
M

.
Ví dụ. Xét đa tạp trơn 2- chiều
2
M = ¡
và hệ tọa độ tuyến tính trong nó, N là
đa tạp con của
M
,
:f N M→
là vi phôi, với
dx dy
ω
= ∧
là dạng symplectic
khi đó
( )
,M
ω
là một đa tạp symplectic.
Thật vậy
 Với mỗi
( )
:p N q M f q p∈ ⇒ ∃ ∈ =
. Do đó
M
là đa tạp trơn nên tồn tại lân cận
mở
U
của
q

trong
M
vi phôi với tập mở
( )
n
U
ϕ
⊂
¡
. Khi đó
( )
f U
cũng mở
trong
N
và
( )
f U
vi phôi với
( )
U
ϕ
mở trong
n
¡
. Thật vậy, vì ϕ và
f
là vi
phôi nên
( ) ( )

1
:
n
f f U U
ϕ ϕ
−
→ ⊂
o ¡
là vi phôi.
11
 Giả sử
( )
,U
ϕ
và
( )
,V
ψ
là hai hệ tọa độ trên
M
thì
( )
( )
( )
( )
1 1
, à ,f U f v f V f
ϕ ψ
− −
o o

sẽ là các hệ tọa độ trên
N
.
Nếu
U V∩ ≠ ∅
thì
( ) ( )
àf U f V v
∩ ≠ ∅
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
f f f f f f
ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ
− − − − − − −
= = =o o o o o o o o o o
là trơn. Vậy trên
N
có cấu trúc đa tạp trơn cảm sinh bởi cấu trúc đa tạp trơn
trên
M
qua vi phôi
f
.
1.2. Các khái niệm chuẩn bị cho bài toán địa phương
1.2.1. Không gian tiếp xúc tại một điểm [1, tr.15-18]
Cho
M
là đa tạp khả vi số chiều m lớp
, 1
k

C k ≥
. Một ánh xạ
:c J M→
khả vi lớp
,( )
r
C r k
≤
được gọi là một đường cong khả vi lớp
r
C
trên
M
, ở đó J là khoảng mở của
¡
chứa điểm 0. Ánh xạ
:f M → ¡
lớp
r
C
được gọi là một hàm khả vi lớp
r
C
trên
M
. Nếu
U
mở nằm trong
M
,

:
U
f U
→
¡
thuộc lớp
r
C
thì
f
được gọi là hàm khả vi trong lân cận
U M⊂
. Kí hiệu
( )
r
F M
là tập hợp các mầm hàm khả vi (lớp
r
C
) trên
M
,
12
( )
r
F p
là tập hợp các hàm khả vi lớp
r
C
trong lân cận của

p
và
1
( )
p
C M
là
tập các đường cong c khả vi lớp
1
C
trên
M
sao cho
(0) .C p=
Ta xét mối quan hệ “~” trên
1
( )
p
C M
như sau:
1 2 1 2
: , : , (0) (0) .c J M c J M c c p→ → = =
Ta nói
1 2
~c c
khi và chỉ khi có bản đồ
( , )U x
quanh
p
sao cho

1 0 2 0
( ) ( )
i i
t t
d d
x c x c
dt dt
= =
=o o
với
1,2, ,i m=
. Dễ thấy quan hệ “~” là một
quan hệ tương đương trên tập các đường cong khả vi lớp
1
C
qua
p M
∈
. Mỗi
lớp tương đương đối với quan hệ tương đương trên được gọi là một vectơ tiếp
xúc tại p của
M
. Vectơ tiếp xúc có đại diện là đường cong
c
kí hiệu là
[ ]c
.
Tập các vectơ tiếp xúc tại p của
M
được kí hiệu là

p
T M
hay
p
M
.
Ta mô tả cấu trúc của
p
T M
. Tập
( )
k
F p
với phép toán cộng, nhân tự
nhiên và nhân vô hướng với một số thực làm thành một
−¡
đại số. Ta gọi
một đạo hàm tại p là một hàm
: ( )
k
v F p
→
¡
thỏa mãn hai điều kiện:
1
v
là ánh xạ tuyến tính giữa các
−¡
không gian vectơ.
2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ( ).
k
v f g v f g p f p v g f g F p= × + × ∀ ∈o
13
Dễ thấy tập các đạo hàm tại p với phép toán cộng và nhân với một số thực
làm thành
−¡
không gian vectơ.
Giả sử
[ ]
p
c T M
∈
, ta có thể coi
[ ]c
là một đạo hàm tại p bằng cách sau: Với
1
[ ] ( )f F p∈
là mầm hàm của
f
tại p, đặt
0
[ ]([ ]) ( ( )) .
d
c f f c t
dt
= o
Dễ thấy quy tắc trên không phụ thuộc vào việc chọn đường cong đại diện của
[ ]c
và nó thỏa mãn hai tính chất 1 và 2 ở trên. Bằng đồng nhất này, ta có một

đơn ánh từ
p
T M
vào không gian các đạo hàm tại
p
. Ta chứng tỏ
p
T M
là
không gian con m chiều của không gian vectơ các đạo hàm tại
p
. Xét bản đồ
địa phương
( , )U x
quanh
p
sao cho
1
( , , )
m
x x x
=
. Với mỗi j, xét đường
cong
( ) ( )
( )
{ }
1
1
; 0, , ,

j j m
c t x p te e e
−
− = + K
là mục tiêu trong
m
¡
, thì
j
c
là đường
cong trên
M
qua
p
, nó xác định vectơ tiếp xúc, kí hiệu
j
x
∂
 
 ÷
∂
 
. Ta có
14
( )
( )
( )
1
j

j
p
x p
f D f x
x
−
∂
 
=
 ÷
∂
 
o
, ở đó
j
D
là kí hiệu đạo hàm riêng thứ j . Ta viết
( )
j j
p p
f
f
x x
∂ ∂
   
=
 ÷  ÷
∂ ∂
   
.

Giả sử đã cho một đường cong c(t) trên
M
với
( )
[ ]
0 và .
p
c p c T M= ∈
Trong bản đồ địa phương
( )
, quanhU x p
ta có
( ) ( )
( )
, 1, , và
j
x c t x t j m= =o K
[ ]
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0
1
1
0
1
x
,

t
j
m
j
j
t
m
j
j
j
p
d
c f f c t
dt
d t
D f x
dt
f
x
α
=
−
=
=
=
=
 
=
 ÷
 ÷

 
 
∂
 
=
 ÷
 ÷
 ÷
∂
 
 
∑
∑
o
o
với
( )
0
x
j
j
t
d t
dt
α
=
 
=
 ÷
 ÷

 
Như vậy, mỗi vectơ tại
p
là tổ hợp tuyến tính của
1
, , .
m
p p
x x
∂ ∂
   
 ÷  ÷
∂ ∂
   
K
Ngược lại, nếu cho một tổ hợp tuyến tính
1
,
m
j j
j
j
p
x
ξ ξ
=
∂
 
∈
 ÷

∂
 
∑
¡
, thì ta
xét đường cong xác đinh bởi
( ) ( )
1
1
. , 1, , .
m
j
j
j
c t x x p t e j m
ξ
−
=
 
= + =
 ÷
 
∑
K
15
Khi đó, vectơ tiếp xúc [c] là
1
m
j
j

j
p
x
ξ
=
∂
 
 ÷
∂
 
∑
. Do đó, tập các vectơ tiếp
xúc tại
p
là không gian con của không gian vectơ có đạo hàm tai
p
, sinh bởi
m vectơ
, 1, ,
j
p
j m
x
∂
 
=
 ÷
∂
 
K

.
Để chứng minh tính độc lập tuyến tính của
, 1, ,
j
p
j m
x
∂
 
=
 ÷
∂
 
K
, ta xét
1
0
m
j
j
j
p
v
x
ξ
=
∂
 
= =
 ÷

∂
 
∑
và hàm tọa độ
i
x
của bản đồ địa phương
( )
,U x
. Khi đó
( )
0, 1, ,
i i
v x i m
ξ
= = ∀ = K
. Như vậy, hệ
, 1, ,
j
p
j m
x
 
∂
 
 
=
 
 ÷
∂

 
 
 
K
là cơ sở của không
gian tiếp xúc
p
T M
của đa tạp
M
tại
p
.
1.2.2. Không gian phân thớ đối tiếp xúc [4, tr.38]
Cho
M
là đa tạp n - chiều và
*
T M
là không gian phân thớ đối tiếp xúc
của nó. Nếu cấu trúc đa tạp trên
M
được mô tả bởi hệ tọa độ
1
( , , , )
n
U x x
với
:
i

x U
→
¡
là các hàm số thì với mỗi
x U∈
các vi phân
1
( ) , ,( )
x n x
dx dx
tạo
16
thành một cơ sở của
*
x
T M
, tức là nếu
*
x
T M
ξ
∈
thì
1
( )( ) .
n
i i x
i
x dx
ξ ξ

=
=
∑
Khi
đó, không gian phân thớ đối tiếp xúc
* *
.
x M x
T M T M
∈
= ∪
Xét ánh xạ cảm sinh
* 2
1 1
,( , ) ( , , , , , ).
n
n n
T U x x x
ξ ξ ξ
→ ¡ a
Khi đó
*
1 1
, , , , , , )
n n
T U x x
ξ ξ
là hệ tọa độ trên
*
T M

. Hệ tọa độ
1 1
, , , , ,
n n
x x
ξ ξ
được gọi là hệ tọa độ đối tiếp xúc liên kết với hệ tọa độ
1
, ,
n
x x
trên
U
. Với hai hệ tọa độ
1
( , , , )
n
U x x
và
' '
1
( ', , , )
n
U x x
sao cho
'x U U∈ ∩
và nếu
*
x
T M

ξ
∈
thì
' ' '
'
1 , 1 1
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) .
n n n
i
i i x i j x j j x
i i j j
j
x
x dx x dx x dx
x
ξ ξ ξ ξ
= = =
 
∂
= = =
 ÷
 ÷
∂
 
∑ ∑ ∑
trong đó
'
1
'
n

i
j i
i
j
x
x
ξ ξ
=
∂
=
∂
∑
là trơn vì
'
,
i j
x x
là các hàm tọa độ trơn. Do đó
*
T M
là
đa tạp trơn 2n - chiều.
Với hệ tọa độ
1 1
, , , , ,
n n
x x
ξ ξ
trên
*

T U
ta định nghĩa 2-dạng vi phân
1
n
i i
i
dx d
ω ξ
=
= ∧
∑
và xét 1-dạng vi phân
α
trên
*
T U
cho bởi
1
.
n
i i
i
dx
α ξ
=
=
∑
Khi đó, ta có
1 1 1
.

n n n
i i i i i i
i i i
d d dx d dx dx
α ξ ξ ξ ω
= = =
= = ∧ = − ∧ = −
∑ ∑ ∑
17
Vì
( ) 0d d
ϕ
=
với mọi hàm trơn
ϕ
nên
1
0
n
i i
i
d d dx d
ω ξ
=
= ∧ =
∑
. Vậy
ω
đóng
và

1
n
i i
i
dx d
ω ξ
=
= ∧
∑
không suy biến trên
*
T U
. Do đó
ω
được gọi là dạng
symplectic chính tắc trên
*
T U
.
Ta sẽ chuyển cấu trúc này thành cấu trúc trên toàn đa tạp bằng việc xét phép
chiếu
*
: , ( , )T M M p x x
π ξ
→ =
a
trong đó
*
x
T M

ξ
∈
. Khi đó 1-dạng vi phân
α
được định nghĩa theo từng điểm bởi
p p
d
α ξ π
=
o
trong đó
*
: ( )
p p x
d T T M T M
π
→
và
( , )p x
ξ
=
. Do đó, dạng symplectic chính
tắc
ω
trên
*
T M
được xác định bởi
.d
ω α

= −
Vậy
*
( , )T M
ω
là một đa tạp symplectic.
1.2.3. Ánh xạ đẳng hướng và trường vectơ
Cho
M
là một đa tạp và
: xM M
ρ
→¡
là một ánh xạ, chúng ta đặt
( ) ( )
: , , .
t
p p t t
ρ ρ
= ∀ ∈
¡
Định nghĩa 1. Đồng luân từ
0
f
đến
1
f
(
0
f

,
1
f
là ánh xạ liên tục từ không gian
tôpô
X
vào không gian tôpô
Y
). Ánh xạ liên tục
[ ]
( )
: 0;1H X I Y I× → =
sao
18
cho
( ) ( ) ( ) ( )
0 1
,0 , ,1 ,H x f x H x f x x X
= = ∀ ∈
. Nếu có đồng luân
H
từ
0
f
đến
1
f
thì ta nói
0
f

đồng luân với
1
f
và ký hiệu
0 1
f f;
. Đó là một quan hệ tương
đương trong tập các ánh xạ liên tục từ
X
vào
Y
. Mỗi lớp tương đương đó gọi
là một lớp đồng luân. Lớp đồng luân với
f
được ký hiệu
[ ]
.f
Cho
M
là một đa tạp và
:M M
ρ
× →¡
là một ánh xạ và
( ) ( )
: ,
t
p p t
ρ ρ
=

Định nghĩa [5, tr.35]. Ánh xạ
ρ
là ánh xạ đẳng hướng (isotopy) nếu mỗi
:
t
M M
ρ
→
là một vi phôi và
0 M
id
ρ
=
Cho ánh xạ đẳng hướng
ρ
, chúng ta có một trường vectơ phụ thuộc
thời gian , đó là một họ của trường vectơ
, ,
t
v t p M∈ ∈¡
thỏa mãn
( ) ( )
t s
s t
d
v p p
ds
ρ
=
=

ở đó
( )
1
t
q p
ρ
−
=
,
Nghĩa là
.
t
t t
d
v
dt
ρ
ρ
= o
Ngược lại, cho cho một trường vectơ phụ thuộc thời gian
t
v
, nếu
M
compact hoặc
,
t
v s
có giá compact, thì tồn tại một ánh xạ đẳng hướng
ρ

thỏa
mãn điều kiện đầu của phương trình vi phân thường.
Giả sử rằng
M
là compact, thì ta có một sự tương ứng 1-1 sau :
19
{ ánh xạ đẳng hướng của
M
}
1 1−
¬ →
{ trường vectơ phụ thuộc thời gian trên
M
}

, ,
t t
t v t
ρ
∈ ¬ → ∈
¡ ¡
Định nghĩa 2 [5 tr.35] . Khi
t
v v=
là độc lập với t, thì ánh xạ đẳng hướng liên
kết được gọi là ánh xạ mũ hoặc là dòng của
v
và ký hiệu là exp tv ; tức là
{ }
exp : |tv M M t→ ∈¡

là một họ trơn duy nhất của các vi phôi thỏa mãn

( ) ( ) ( )
( )
0
exp à exp exp
M
t
d
tv id v tv p v vt p
dt
=
= =
1.2.4. Đại số Lie [2, tr.20] . Cho
K
là trường vectơ và
G
là trường vectơ
trên
.K

G
là một đại số nếu ta trang bị thêm vào
G
một ánh xạ song tuyến tính :
( ) ( )
:
, ,
G G G
x y x y

ϕ
ϕ
× →
a
ϕ được gọi là tích trong và thường được ký hiệu là
( )
, .x y x y
ϕ
=
1.2.4.1. Định nghĩa đại số Lie. Giả sử
G
là một đại số trên
K
.
G
được gọi
là đại số Lie nếu tích trong.
[ ]
( )
[ ]
, :
, ,
G G G
x y x y
× →
a
thỏa mãn đồng thời
[ ] [ ]
. , , , ,a x y y x x y G= − ∀ ∈
20

[ ] [ ] [ ]
. , , , , , , 0b x y z y z x z x y
     
+ + =
     
( hệ thức Jacobi)

[ ]
,
được gọi là tích Lie hay móc Lie.
Số chiều của đại số Lie chính là số chiều của không gian vectơ
G
.
Với
G
là không gian vectơ hữu hạn chiều mà dim
G
= n, cấu trúc của đại số
Lie
G
có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở
{ }
1 2
, , ,
n
e e eK
đã chọn trước trên
G
như sau :
ij ij

1
, , 1 ,
n
k k
i j k
k
e e c e i j n c K
=
 
= ≤ < ≤ ∈
 
∑
Các hệ số
ij
k
c
được gọi là hằng số cấu trúc của đại số Lie
G
.
Ví dụ.
a ) Với
G
là không gian vectơ Ơclit thông thường 3 - chiều
3
¡
, định nghĩa
[ ]
,x y x y
= ∧
là tích có hướng thông thường thì

G
là đại số Lie trên
¡
.
Thật vậy
3
G
=
¡
[ ]
( )
[ ]
3 3 3
, :
, ,
x y
x y x y x y
× →
= ∧
¡ ¡ ¡
a
•
3
G = ¡
là modun với hai phép toán cộng và nhân thông thường.
• Phép toán
[ ]
,x y x y
= ∧
là song tuyến tính vì

3
, ,x y z
∀ ∈
¡
ta có :
21
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
;
. ; .
x y z x y x z x y z x z y z
x y x y x y x y
λ λ λ λ
+ ∧ + = ∧ + ∧ + ∧ = ∧ + ∧
+ ∧ = ∧ ∧ = ∧
Suy ra
3
G = ¡
là đại số.
• Tính phản đối xứng
[ ] [ ]
3
, , , ,x y y x x y= − ∀ ∈¡
Vì với
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
, , , , , , ,x x x x y y y y x y G= = ∀ ∈
[ ]
( )
2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, , , , ,
x x x x x x
x y x y x y x y x y x y x y x y
y y y y y y
 
= ∧ = = − − −
 ÷
 ÷
 
[ ]
( )
( )
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
, , , , ,
, ,
y y y y
y y
y x y x y x y x y x y x y x y x
x x x x x x
x y x y x y x y x y x y
 
= ∧ = = − − −
 ÷
 ÷
 

= − − − −
Vậy
[ ] [ ]
3
, , , ,x y y x x y= − ∀ ∈¡
.
•
Bằng các phép tính trưc tiếp
[ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( )
, , , , , , 0.x y z y z x z x y x y z y z x z x y
     
+ + = ∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧ =
     
, ,x y z G∀ ∈
(Hệ thức Jacobi )

Vì với
( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
, , , , , , , , , , ,x x x x y y y y z z z z x y z G= = = ∀ ∈
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
(
( ) ( )
)
(
)
3 1 1 3 3 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 3 3 2 3
2 3 3 2 2 3 1 1 3 1

3 1 3 1 3 3 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 3 3 2 3
2 3 2 3 2 2 3 1 1 1 3 1
, , , ,
, ,
x y z x y x y z x y x y z x y x y z x y x y z
x y x y z x y x y z
x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z
x y z x y z x y z x y z
 
= − − − − − −
 
− − −
= − − + − − +
− − +
22
[ ]
( )
(
( ) ( ) ( )
( ) ( )
)
3 1 1 3 3 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 3 3 2 3
2 3 3 2 2 3 1 1 3 1
, , ,y z x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z x
y z y z x y z y z x
 
= − − − − − −
 
− − −

(
)
3 3 1 3 1 3 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 3 2 3 3 3 2
2 2 3 2 3 2 1 3 1 1 1 3
, ,x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z
x y z x y z x y z x y z
= − − + − − +
− − +
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
(
( ) ( )
)
(
)
3 1 1 3 3 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 3 3 2 3
2 3 3 2 2 3 1 1 3 1
3 1 3 1 3 3 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 3 3 2 3
2 3 2 3 2 2 3 1 1 1 3 1
, , , ,
, ,
z x y z x z x y z x z x y z x z x y z x z x y
z x z x y z x z x y
z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y
z x y z x y z x y z x y
 
= − − − − − −
 
− − −
= − − + − − +

− − +
Vậy
[ ] [ ] [ ]
, , , , , , 0.x y z y z x z x y
     
+ + =
     
b ) Mỗi không gian vectơ
V
trên
K
là đại số Lie với tích Lie :
[ ]
, 0, ,x y x y V= ∀ ∈
Đại số Lie này được gọi là đại số Lie tầm thường.
c )
( ) {
|
n
M A A=¡
là ma trận vuông cấp n trên
}
¡
với tích Lie :
[ ]
, . .A B A B B A= −
là một đại số Lie.
Thật vậy
Với phép cộng, phép nhân thông thường các ma trận và tích trong được
định nghĩa ở trên thì

( )
n
M ¡
là một đại số.
Ta kiểm tra điều kiện của đại số Lie :
( )
,
n
A B M•∀ ∈ ¡
thì
[ ]
( )
[ ]
, . . . . , .A B A B B A B A A B B A= − = − − = −

( )
, ,
n
A B C M∀ ∈ ¡
thì
23
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, , , , , ,
. . , . . , . . ,
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
0

A B C B C A C A B
A B B A C B C C B A C A AC B
A B B A C C A B B A B C C B A
A B C C B C A AC B B C A AC
ABC BAC CAB CBA BCA CBA ABC
ACB CAB ACB BCA BAC
     
+ +
     
= − + − + −
= − − − + −
− − + − − −
= − − + + − −
+ + − − +
=
Vậy
( )
n
M ¡
là đại số Lie.
d ) Xét
0
H= 0 , ,
0
a b
a c a b c
b c
 
 
 

 ÷
− ∈
 
 ÷
 
 ÷
− −
 
 
¡
là không gian vectơ thưc 3 chiều
Xác định tích trong
[ ]
, . . , , HA B A B B A A B= − ∀ ∈
.
Khi đó
H
là đại số Lie.

1.2.4.2. Nhóm Lie [1, tr.52-53], [2]
Tập hợp
G
được gọi là một nhóm Lie nếu thỏa mãn các điều kiện sau :
i.
G
là một nhóm. Ta sẽ ký hiệu phép toán của nhóm là phép nhân
( , )
G G G
x y xy
× →

a
ii.
G
là một đa tạp khả vi.
iii. Ánh xạ
1
( , )
G G G
x y xy
−
× →
a
là ánh xạ khả vi.
Chú ý : Nếu thay i), i) bởi
24
i’)
G
là một đa tạp tôpô .
ii’) Ánh xạ
1
( , )
G G G
x y xy
−
× →
a
là liên tục thì
G
được gọi là nhóm tôpô.
Hiển nhiên, một nhóm Lie là nhóm tôpô. Ngược lại, người ta chứng

minh được rằng : Mọi nhóm tôpô, compact, liên thông địa phương, hữu hạn
chiều đều là nhóm Lie.
Ví dụ.
a) Không gian vectơ
n
¡
với cấu trúc khả vi tự nhiên và với phép cộng
vectơ thông thường là nhóm Lie.
b) Nếu
1 2
, ,
m
G G GK
là những nhóm Lie thì
1 2 m
G G G G= × × ×K
là một nhóm
Lie nếu ta cho nó cấu trúc nhóm tích và cấu trúc đa tạp vi phân tích của
các cấu trúc
G
và ta nói rằng
G
là nhóm Lie tích của các
, 1,2, ,
i
G i m
=
K
.

1.2.4.3. Định nghĩa đạo hàm Lie là toán tử [5, tr.36].
:
( ) ( )
k k
M MΩ → Ω
được xác định bởi
( )
0
: exp * |
t
d
tv
dt
ω ω
=
=
Khi một trường vectơ
t
v
phụ thuộc thời gian thì dòng của nó là tương
ứng với ánh xạ đẳng hướng ρ, về mặt địa phương bởi định lý Picard . Hơn
nữa trong lân cận của điểm
p
nào đó với thời gian t đủ nhỏ, thì tồn tại họ một
tham số của vi phôi địa phương ρ
t
thỏa mãn
25

0

à
t
t t
d
v v id
dt
ρ
ρ ρ
= =o
Do đó, chúng ta nói rằng đạo hàm Lie xác định bởi
t
v
là
:
( ) ( )
k k
M M
Ω → Ω
được định nghĩa bởi
( )
0
: exp * |
t
d
tv
dt
ω ω
=
=
Định lý. Cho một tập hợp trơn

,
t
t
ω
∈
¡
, của d- dạng, chúng ta có

* *
t
t
t t t tv
d
d
dt dt
ω
ρ ω ρ ω
 
= +
 ÷
 
L
Chứng minh
Nếu
( )
,f x y
là hàm thực của hai biến, bằng chuỗi qui tắc chúng tôi có

( ) ( ) ( )
, , ,

x t
y t
d d d
f t t f x t f t y
dt dx dy
=
=
= +
Do đó ,
( )
*
*
* *
do *
*
t v t
y
x
x t
t
y t
t t t y
x t
t
y t
d
d
t
y
d d d

dt ddt y
ω
ρ
ρ ω
ρ ω ρ ωρ ω
=
=
=
=
= +
1 4 2 43
1 4 2 43
L

*
t
t
t v t
d
dt
ρ
ω
ω

=
÷
+


 

L
.
1.2.5. Định lý lân cận ống
Cho
M
là một đa tạp n- chiều, và
X
là một đa tạp con k - chiều với
k < n và ánh xạ nhúng chìm

Tại mỗi
x X
∈
, không gian tiếp xúc với
X
được xem như là không gian
con của không gian tiếp xúc với
M
ánh xạ tuyến tính bao hàm ,nơi chúng tôi