Đặc trưng Chern của các không gian đối xứng Compact

Bộ Giáo Dục và Đào tạo
Trờng Đại Học Vinh
Nguyễn Văn Việt
Đặc trng Chern của các không gian
đối xứng compact
Luận văn thạc sĩ toán học
Nghệ An - 2014
Bộ Giáo Dục và Đào tạo
Trờng Đại Học Vinh
Nguyễn Văn Việt
Đặc trng Chern của các không gian
đối xứng compact
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04
Luận văn thạc sĩ toán học
Ngời hớng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Quốc Thơ
Nghệ An - 2014
Mục lục
Lời cảm ơn 2
Mở đầu 3
1 Cấu trúc của nhóm Lie compact và không gian đối xứng compact 5
1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Cấu trúc đại số của các nhóm Lie compact . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Đối đồng điều của các không gian đối xứng compact . . . . . . . . 11
1.4 K - nhóm của các không gian đối xứng compact . . . . . . . . . . 19
2 Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact 23
2.1 Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact SU(2n)/Sp(n) . 23
2.2 Đặc trng Chern của không gian SU(2n)/Sp(n) với n = 2,3,4 . . 25
2.3 Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact SU(2n+1)/SO(2n+1) 27
2.4 Đặc trng Chern của SU(2n + 1)/SO (2n + 1) với n = 1,2,3 . . . 29

Kết luận của luận văn 32
Tài liệu tham khảo 33
1
Lời cảm ơn
Luận văn đợc hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của Thầy
giáo TS. Nguyễn Quốc Thơ. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và
sâu sắc của mình tới Thầy, Ngời đã đặt bài toán, định hớng nghiên cứu, dạy bảo
và giúp đỡ tận tình, chu đáo trong suốt thời gian qua.
Tác giả xin đợc cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong Chuyên ngành Đại số và
Lý thuyết số; các Thầy giáo, Cô giáo trong Khoa S phạm Toán học, Phòng đào tạo
Sau đại học, Ban Giám hiệu và các Phòng ban chức năng của Trờng ĐH Vinh đã
tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một học viên cao học.
Cảm ơn Trờng ĐH Đồng Tháp đã tổ chức và tạo điều kiện học tập tốt cho tác giả.
Cuối cùng tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn tốt nghiệp.
Xin trân trọng kính tặng Gia đình thân yêu của mình món quà tinh thần này với
tấm lòng biết ơn chân thành nhất. Do năng lực còn nhiều hạn chế, nên luận văn
không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận đợc những sự góp ý của
các nhà khoa học và đồng nghiệp để luận văn có thể đợc hoàn thiện tốt hơn.
Nghệ An, ngày 19 tháng 9 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Văn Việt
2
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán nghiên cứu cấu trúc của các nhóm Lie và đại số Lie là một bài toán khá
quan trọng trong Đại số, Hình học nói riêng và trong Toán học nói chung. Trong
các bài toán đó, bài toán mô tả đặc trng Chern của các nhóm Lie compact và các
không gian đối xứng compact đã và đang đợc nhiều nhà toán học trong và ngoài

nớc quan tâm nghiên cứu,
Cho X là một không gian tôpô, H

(X) và K

(X) tơng ứng là nhóm đồng
điều với hệ số hữu tỷ và K nhóm của không gian tôpô của X. Khi đó đặc trng
Chern của X là đồng cấu
ch : K

(X) H

(X).
Trong trờng hợp G là nhóm Lie compact, ký hiệu H

D R
(G; Q) là nhóm đồng điều
de Rham Z/(2) phân bậc với hệ số hữu tỷ, K

(G) là K nhóm của G. Khi đó
đặc trng Chern của G là đồng cấu
ch : K

(G) Q H

D R
(G; Q).
Bằng phơng pháp sử dụng lý thuyết biểu diễn có trọng trội của nhóm Lie
compact, năm 1994 T. Watanabe, L. Hodgkin, R. Held, U. Stuter và H. Minamin
lần đầu tiên đã tính đợc đặc trng Chern cho nhóm Lie compact và gần đây, năm

2012 Đỗ Ngọc Diệp và các cộng sự đã mô tả đợc đặc trng Chern không giao
hoán cho các C

đại số của các nhóm Lie compact. Qua đây ta thấy việc tính
đặc trng Chern của nhóm Lie compact vẫn là bài toán mở và có tính thời sự của
Toán học.
3
Với những gì đã nêu ở trên, chúng tôi nhận thấy việc tính đặc trng Chern cho
các trờng hợp cụ thể là một việc làm hết sức thiết thực. Xuất phát từ nhu cầu tìm
hiểu và giải quyết một số vấn đề nêu trên chúng tôi chọn đề tài Đặc trng Chern
của các không gian đối xứng compact để làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.
Bản luận văn của chúng tôi dựa vào các kết quả đã biết về đặc trng Chern và
đặc biệt là bài báo On the Chern characters of symmetric spaces related to SU(n),
J. Math. Kyoto Univ. (JMKYAZ), Volume 34 - 1,(2004), 149 - 169 của tác giả
T. Watanabe để đọc hiểu và trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả về
việc tính đặc trng Chern của hai không gian đối xứng compact SU(2n)/Sp(n)
và SU(2n + 1)/SO(2n + 1).
2. Nội dung nghiên cứu của luận văn
Luận văn tập trung trình bày lại một cách có hệ thống cách tính đặc trng Chern
ch : K

(G) Q H

D R
(G; Q)
cho hai trờng hợp:
i) G là không gian đối xứng compact SU(2n)/Sp(n)
ii) G là không gian đối xứng compact SU(2n + 1)/SO(2n + 1)
3. Tổng quan và cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Danh mục các công trình

liên quan đến luận văn, nội dung luận văn đợc trình bày trong hai chơng.
Chơng 1: Cấu trúc của nhóm Lie compact và không gian đối xứng compact.
Trong chơng này, chúng tôi hệ thống các kiến thức liên quan nh: Khái niệm về
nhóm Lie, đại số Lie, cấu trúc của nhóm Lie compact, không gian đối xứng compact,
đồng điều và K nhóm của nhóm Lie compact, không gian đối xứng compact, đặc
trng Chern.
Chơng 2: Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact. Đây là nội
dung chính của Luận văn. Trớc hết chúng tôi trình bày cách xây dựng đồng điều
và K nhóm của không gian đối xứng compact. Cuối cùng sử dụng các kết quả
trên để trình bày cách tính đặc trng Chern của hai không gian đối xứng compact
SU(2n)/Sp(n) và SU(2n + 1)/SO(2n + 1).
4
Chơng 1
Cấu trúc của nhóm Lie compact và
không gian đối xứng compact
Trong Chơng này, trớc hết chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về đại
số Lie, nhóm Lie, lý thuyết biểu diễn của nhóm Lie compact và không gian đối xứng
compact, xây dựng đối đồng điều và K nhóm của không gian đối xứng compact
SU(2n)/Sp(n) và SU(2n + 1)/SO(2n + 1).
1.1 Các khái niệm cơ bản
1.1.1. Định nghĩa. (xem [2]) Một không gian véctơ L trên trờng F cùng với ánh
xạ : G ì G G, đợc xác định bởi (x, y) = [x, y ](đợc gọi là tích Lie
hoặc là hoán tử của x, y) đợc gọi là đại số Lie trên trờng F nếu các tiên đề sau
đợc thỏa mãn:
i) là ánh xạ song tuyến tính
ii) [x, x] = 0, x L(phản giao hoán)
iii) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0, x, y, z L(đồng nhất thức Jacobi)
Nhận xét. Điều kiện ii) suy ra từ điều kiện iv): [x, y] = [y, x] và khi charF = 2
thì điều kiện ii) và iv) tơng đơng.
Với K là không gian véctơ con của L. Khi đó, K đợc gọi là đại số Lie con

của L nếu K đóng với tích Lie, tức là: x, y L : [x, y] K. Với mọi phần tử
5
0 = x L, ta luôn có K = Fx là đại số con một chiều của L với tích Lie tầm
thờng: [y, y

] = 0, y, y

K.
1.1.2. Ví dụ. Cho (A, .) là đại số kết hợp trên F, ta định nghĩa một phép toán mới
[, ] : A ì A A, (x, y) [x, y] = x.y y.x.
Khi đó (A, [, ]) là một đại số Lie.
Đặc biệt, khi A = End(V ), với V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên
F và phép nhân là phép hợp thành hai tự đồng cấu trên V. Khi đó (End(V ), [, ])
là một đại số Lie. Ta viết gl(V ) thay cho End(V ) khi hiểu A là một đại số Lie.
Nếu ta cố định một cơ sở của V, khi đó ta có thể đồng nhất gl(V ) với đại số các ma
trận n ì n trên F, ký hiệu là gl(n, F), với dim(gl(V )) = dim(gl(n, F)) = n
2
.
Phép hợp thành hai tự đồng cấu trên V là phép nhân hai ma trận tơng ứng. Ta xác
định tích Lie trên gl(n, F) nh sau:
[e
ij
, e
kl
] = e
ij
e
kl
e
kl

e
ij
=
jk
e
il

li
e
kj
,
trong đó cơ sở {e
ij
} của gl(n, F), với {e
ij
} là ma trận xác định nh sau: phần tử
ở vị trí (i, j) bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 và
jk
là ký hiệu Kronecke.
1.1.3. Ví dụ. Xét sl(n, F) = {x gl(n, F) \T r(x) = 0}, trong đó T r(x) là vết
của x
Khi đó sl(n, F) là không gian véctơ con của g l(n, F), vì: Tr(ax + by) =
aT r(x) + bT r(y) = 0, a, b F; x, y sl(n, F). Hơn nữa sl(n, F) là đại số con
của gl(n, F) vì: T r([x, y]) = T r(xy) T r(yx) = 0, x, y sl(n, F). Đại số
sl(n, F) đợc gọi là đại số tuyến tính đặc biệt.
1.1.4. Ví dụ. Đại số đối xứng
sp(2l, F) = {x gl(2l , F) \sx = x
t
s}
=

x =

m n
p q

\ m, n, p, q gl(l, F) thỏa mãn: n
t
= n, p
t
= t, m
t
= q

trong đó x
t
là chuyển vị của x, s =

0 I
l
I
l
0

, I
l
là đơn vị của gl(l, F).
Khi đó sp(2l, F) là đại số Lie con của gl(2l, F). Hơn nũa sp(2l, F) là đại số Lie
con của sl(2l, F), có số chiều dim(sp(2l, F)) = 2l
2

+ l.
6
1.1.5. Định nghĩa. (xem [2]) Nhóm G đợc gọi là nhóm Lie nếu:
i) G là một đa tạp khả vi
ii) Các ánh xạ
:G ì G G
(x, y) xy
và
:G G
x x
1
là các ánh xạ trơn
1.1.6. Ví dụTập hợp G = R các số thực với phép cộng các số thực là một nhóm
Lie, gọi là nhóm cộng tính và đợc ký hiệu là G
a
.
Tập hợp G = R

các số thực khác không với phép nhân các số thực là một nhóm
Lie, gọi là nhóm nhân và đợc ký hiệu là G
m
.
Tập hợp G = R

+
các số thực dơng với phép nhân các số thực dơng là một
nhóm Lie, gọi là nhóm nhân và đợc ký hiệu là G
+
m
. Tồn tại ánh xạ đẳng cấu

G
a

=
G
+
m
.
1.1.7. Ví dụ. Cho K = R (hoặc K = C) là trờng số thực (hoặc trờng số phức).
Khi đó nhóm tuyến tính tổng quát
GL
n
(K) = {A Mat
n
(K) \ det(A) = 0} là một nhóm Lie.
1.1.8. Ví dụ. K là một trờng. Xét nhóm biến đổi Affine
G = ax + b = Aff(K) = { : K K \ (x) = ax + b}
với a, b K; a = 0. Khi đó Aff(K) là một nhóm Lie, đẳng cấu với nhóm nhân
ma trận tam giác dạng

a b
0 1

\a, b K, a = 0

1.1.9. Định nghĩa. (xem [2]) Cho G là nhóm Lie, khi đó thành phần liên thông
của đơn vị e G đợc ký hiệu là G
0
đợc định nghĩa nh sau:
G

0
= {g G \ g(t) sao cho g (0) = e, g(1) = g}
Từ định nghĩa, ta có:
+) G
0
vừa đóng, vừa mở trong G.
+) G
0
là nhóm con của nhóm Lie G.
7
1.2 Cấu trúc đại số của các nhóm Lie compact
Trong tiết này chúng tôi trình bày lại một cách có hệ thống các khái niệm về hệ
nghiệm, trọng trội, xuyến cực đại của các nhóm Lie compact để nhằm phục vụ cho
việc tính toán sau này. Những khái niệm trên chúng tôi trình bày dới dạng các
định nghĩa, hệ thống lại các tính chất của nó dới dạng các Định lý, Mệnh đề, Hệ
quả và đa ra Ví dụ minh họa. Các kết quả này đợc trình bày chi tiết trong [4].
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử V là K không gian véctơ và

là tập con của V. Tập

gọi là hệ nghiệm trong không gian véc tơ V, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
i)

là tập hữu hạn, sinh ra không gian V và không chứa véctơ không.
ii) Đối với mỗi véc tơ

tồn tại phép đối xứng S

qua mặt phẳng, qua gốc
và vuông góc với chuyển tập

vào chính nó.
iii) Đối với ,

, ta có: S

() = n, với n Z.
Khi đó chiều của không gian véc tơ V gọi là hạng của hệ nghiệm

, còn phần tử


gọi là nghiệm của không gian V.
Hệ nghiệm

đợc gọi là hệ rút gọn, nếu đối với mỗi

, thì là
nghiệm duy nhất cộng tuyến với . Ngợc lại nếu

không phải là hệ rút gọn, khi
đó nó chứa hai nghiệm có dạng và t trong đó 0 < t < 1. Khi đó theo tính chất
iii), trong Định nghĩa 1.2.1, ta có nghiệm t = , do đó nghiệm cộng tuyến với
có dạng:
, /2, /2,
1.2.2. Sự sắp xếp tơng đối giữa hai nghiệm. Giả sử x, y là hai nghiệm tùy ý.
Đặt
n(x, y) :=
2y
x

cos
trong đó là góc giữa x và y, còn (x, y) =
n

k=1
x
k
y
k
. Do đó
n(y, x) :=
2x
y
cos n(x, y).n(y, x) =
2y
x
cos .
2x
y
cos = 4 cos
2
.
Sau đây ta đa ra bảng cho biết vị trí tơng đối giữa hai nghiệm bất kỳ:
1. n(x, y) = 0, n(y, x) = 0, = /2
8
2. n(x, y) = 1, n(y, x) = 1, = /3 y = x
3. n(x, y) = 1, n(y, x) = 2, = /4 y =

2x
4. n(x, y) = 1, n(y, x) = 3, = /6 y =

3x
5. n(x, y) = 1, n(y, x) = 3, = 2/3 y = x
6. n(x, y) = 1, n(y, x) = 2, = 3/4 y =

2x
1.2.3. Mệnh đề. Hệ nghiệm

bất biến với tất cả phép đối xứng S

.
1.2.4. Định nghĩa. Véctơ x V đợc gọi là chính quy nếu (x, y) = 0, y

.
Đặt T = {tập hợp tất cả véc tơ chính quy trong V }. Khi đó
T = {x \ (x, x
i
) = 0, i



} gọi là nón .
Nếu ta cố định nón C =

0


: gọi là buồng Weyl

=

=

0
: gọi là hệ nghiệm đơn.
1.2.5. Mệnh đề. Hệ nghiệm


V là hệ nghiệm đơn khi và chỉ khi:
i)
2(x, y)
(x, x)
N

= Z\N, x, y


ii)


là cơ sở của V
1.2.6. Mệnh đề. Mọi nghiệm x

là tổ hợp tuyến tính hệ số nguyên của các
nghiệm đơn x
i

cùng dấu. Có nghĩa:

=

+



, trong đó:

+
: là hệ nghiệm với các hệ số dơng


: là hệ nghiệm với các hệ số âm
1.2.7. Định nghĩa. Giả sử

là hệ nghiệm trong không gian véc tơ V. Nhóm con
W =< S

\

> sinh bởi các phép đối xứng S

trong nhóm tuyến tính đầy
đủ GL(V ) đợc gọi là nhóm Weyl của hệ nghiệm

.

Giả sử G là đại số Lie phức nửa đơn, B là đại số Cartan và

là hệ nghiệm
tơng ứng. Ta cố định trong hệ nghiệm một cơ sở S = {
1
,
2
, ããã ,
n
} và

+
là tập hợp các nghiệm dơng. Với

+
, ta chọn hai phần tử X

G

và
Y

G

sao cho [X

, Y

] = H

.
1.2.8. Định nghĩa. Giả sử V là G môđun và w B

là dạng tuyến tính
trên không gian B. Ký hiệu V
w
là không gian gồm các phần tử v V, sao cho
Hv = w(H)v, đối với H B. Mỗi phần tử thuộc không gian đó ta nói nó có
trọng w. Thứ nguyên dim(V
n
) gọi là bội w. Một dạng W gọi là trọng trong không
9
gian V, nếu V
W
= 0. Khi đó V = W
w
là một phép phân tích thành các không
gian nghiệm.
1.2.9. Định nghĩa. T đợc gọi là xuyến cực đại của G, nếu:
i) T là nhóm con của G.
ii) T là xuyến và với mỗi nhóm con U G và T U thì T = U.
1.2.10. Ví dụ. Giả sử G = SU(2n). Khi đó xuyến cực đại của G có dạng
T =





e
i

1
0 . . . 0
0 e
i
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . e
i
2n




\
2n

i=1

i
= 0

Proof. Nh ta đã biết
SU(2n) = {X Mat
2n
(C) \ XX

= X

X = I
2n
, det(X) = 1}
Giả sử A SU(2n ), không mất tính tổng quát, giả sử A =




a
11
a
12
. . . a
12n
a
21
a
22
. . . a
22n

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
2n1
a
2n2
. . . a
2n2n




Vì T SU(2n), khi đó ta có T

A = A

T và det(T ) = 1. Mặt khác T = T

,
do đó TA = AT, trong đó

T.A =




e
i
1
0 . . . 0
0 e
i
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . e
i
2n

a
11
a
12
. . . a
12n
a
21
a
22
. . . a
22n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

a
2n1
a
2n2
. . . a
2n2n




=




a
11
e
i
1
a
12
e
i
1
. . . a
12n
e
i
1

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
2n1
e
i
2n
a

2n2
e
i
2n
. . . a
2n2n
e
i
2n




còn
A.T =




a
11
a
12
. . . a
12n
a
21
a
22
. . . a

22n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
2n1
a
2n2
. . . a
2n2n








e
i
1

0 . . . 0
0 e
i
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . e
i
2n




=




a

11
e
i
1
a
12
e
i
1
. . . a
12n
e
i
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
a
2n1
e
i
2n
a
2n2
e
i
2n
. . . a
2n2n
e
i
2n




10
Vì T SU(2n), theo trên ta có: AT = T A và det(T ) = 1. Do đó ta có thể
chọn

1
= (1, 0, ããã , 0, 0)

2
= (0, 1, ããã , 0, 0)


2n1
= (0, 0, ããã , 0, 1)

2n
= (1, 1, ããã , 1, 1)
Khi đó t =
2n

i=1

i
= 0 và det(T) = e
i
1
.e
i
2
ãããe
i
2n
= e
t
= 1.
1.3 Đối đồng điều của các không gian đối xứng
compact
Trong tiết này, chúng tôi trình bày lại cách xây dựng các đối đồng điều của hai
không gian đối xứng compact SU(2n )/Sp(n) và SU(2n + 1)/SO(2n + 1).
1.3.1. Định nghĩa. Cho G là nhóm Lie compact, f : G G là tự đẳng cấu và
F là nhóm con liên thông đóng của G sao cho
G
f
= {x G \f(x) = x} F (G
f
)
e
là cấu thành đồng nhất thức của G
f
. Khi đó M = G/F đợc gọi là không gian
đối xứng compact.

1.3.2. Định lý.(xem [7]) M = SU(2n)/Sp(n) là không gian đối xứng compact
1.3.3. Định lý. (xem [7]) M = SU(2n + 1)/SO(2n + 1) là không gian đối xứng
compact
1.3.4. Đối đồng điều của các nhóm Lie compact SU(2n). Sự dụng cách xây dựng
đồng điều của các nhóm Lie compact, đối với SU(2n), ta chọn xuyến cực đại T
của SU(2n) sao cho s
2
(T ) T, trong đó s
2
: SU(2n) SU(2n) đợc xác
định bởi s
2
(A) = J
n
AJ
1
n
, trong đó A SU(2n) và A là liên hợp phức của A.
Giả sử L(T ) là đại số Lie của T. Khi đó ta chọn những nghiệm đơn

1
,
2
, ããã ,
2n1
: L(T ) R
tơng ứng với sơ đồ Dynkin sau:
11
0

1
0

2
0

3
0

4
0 ããã0

2n2
0

2n1
0.
Bây giờ ta định nghĩa trên L(T )

= Hom
R
(L(T ), R) một tích vô hớng, mà đợc
ký hiệu là: (.), đợc xác định nh sau:
(
i
,
i
) = 2 nếu 1 i 2n 1
(
i

,
i+1
) = 1 nếu 1 i 2n 1
Ngoài ra (
i
,
j
) = 0
Theo [6], ta có thể biểu diễn
i
là các phần tử của H
2
(BT, Q) và H

(BT, Q) là
đại số đa thức Q[
1
,
2
, ããã ,
2n1
]
Ký hiệu s
2
: T T là thu hẹp của s
2
từ T . Khi đó theo [6], ta có
Bs

2

: H

(BT; Q) H

(BT; Q),
đợc xác định bởi Bs

2
(
i
) =
2n1
i = 1, 2n 1 (1.1)
Giả sử
1
,
2
, ããã ,
2n1
là các trọng số cơ bản xác định bởi
1
,
2
, ããã ,
2n1
.
Theo [6] ta có:
i
=
1

2n

(2n i)
i1

j=1
j
j
+
2n1

j=1
(2n i)
j

(1.2)
Vì H

(BT, Z) = Z[
1
,
2
, ããã ,
2n1
], khi đó theo [6] và từ (1.1) và (1.2), ta có:
Bs

2
: H

(BT; Z) H

(BT; Z),
đợc xác định bởi Bs

2
(
1
) =
2i1
i = 1, 2n 1 (1.3).
Giả sử R
i
là phép chiếu vuông góc của L(T )

lên mặt phẳng vuông góc với
i
,
có nghĩa ta xét siêu phẳng {x L(T )

\(
i
, x) = 0}. Khi đó R
1
, R
2
, ããã , R
2n1
sinh ra nhóm Weyl W (SU(2n)) và tác động trên H
2

(BT; Z bởi công thức sau:



R
i
(w
i
) = w
i


i=j
(2(
i
,
j
)/(
j
,
j
))w
j
R
i
(w
j
) = 0 nếu i = j
Khi đó, theo (1.2) và sự xác định tích vô hớng ở trên L(T )

= Hom
R
(L(T ), R)
ta tính đợc cụ thể nh sau:
R
1
(w
1
) = w
1
+ w
2
R
i
(w
i
) = w
i1
w
i
+ w
i+1
R
2n1
(w
2n1
) = w
2n2
w
2n1

12
Đặt
t
1
= w
1
t
i
= R
i1
(t
i1
) = w
i1
+ w
i
t
2n
= R
2n1
(t
2n1
) = w
2n1
Khi đó
H

(BT, Z) = Z[t
1
, t

2
, ãããããã , t
2n
/ < c
1
>, ] trong đó c
1
=
2n

i=1
t
i
.
Từ (1.3), ta có Bs
2
(t
i
) = t
2n+1i
i = 1, 2n (1.4).
Giả sử R là vành giao hoán có đơn vị 1 R và
i
(x
1
, x
2
, ãããããã , x
n
) là đa

thức đối xứng cơ bản trong vành đa thức R[x
1
, x
2
, ãããããã , x
n
].
Ký hiệu

: H

(BG; R) H

(G; R) là đối đồng điều treo và H

(BT; R)
W (G)
là đại số con của H

(BT; R) bất biến với tác động của nhóm Weyl W (G), trong
đó T là xuyến cực đại của nhóm Lie compact G.
Giả sử c
i+1
=
i+1
(t
1
, t
2
, ãããããã , t

2n
) H
2i+2
(BT, Z). Vì tác động của
W (SU(2n)) trên H
2
(BT, Z) là nhóm hoán vị trên {t
1
, t
2
, ãããããã , t
2n
}, do đó
chúng ta có
H

(BT, Z)
W (SU(2n))
= Z[c
2
, c
3
, ãããããã , c
2n
] và theo (1.4), ta có:
Bs

2
(c
i+1

) = (1)
i+1
c
i+1
i = 1, 2n 1 (1.5)
Giả sử x
2i+1
=

(c
i+1
) H
2i+1
(SU(2n); Z). Khi đó ta có
H

(SU(2n), Z) =
Z
(x
3
, x
4
, ãããããã , x
4n1
) (1.6)
1.3.5. Mệnh đề. Đồng cấu s

2
: H

(SU(2n), Z) H

(SU(2n), Z), đợc xác
định bởi s

2
(x
2i+1
) = (1)
i+1
x
2i+1
Proof. Theo giả thiết ở trên, ta có x
2i+1
=

(c
i+1
). Do đó
s

2
(x
2i+1
) = s

2
(

(c

i+1
)) =

(Bs
2
(c
i+1
)) =

((1)
i+1
c
i+1
) = (1)
i+1
x
2i+1
.
Vậy s

2
(x
2i+1
) = (1)
i+1
x
2i+1
13
1.3.6. Đối đồng điều của các nhóm Lie compact Sp(n). Lập luận tơng tự nh
việc xây dựng đối đồng điều của nhóm SU(2n)), bằng cách chọn T

là xuyến cực
đại của Sp(n), sao cho i
2
(T

) T, trong đó i
2
: Sp(n) SU(2n) đợc xác
định bởi i
2
(X) =

A B
B A

, trong đó X = A + jB Sp(n) và j H sao cho
H = C{1} C{j} và j
2
= 1.
Giả sử L(T

) là đại số Lie của T

. Khi đó ta có hệ nghiệm đơn:

1
,

2

, ãããããã ,

n
:
L(T

) R,
trong đó:













(

i
,

i
) = 2 nếu 1 i < n
(

n
,

n
) = 4
(

i
,

i+1
) = 1 nếu 1 i < n 1
(

n1
,

n
) = 2
(

i
,

j
) = 0 với i = j
Khi đó H

(BT

; Q) = Q[

1
,

2
, ãããããã ,

n
]. Ký hiệu i

2
: T

T là hạn chế
của i
2
từ T

xuống T. Theo [6], ta có:
Bi

2
: H

(BT; Q) H

(BT

; Q)

đợc xác định bởi Bi

2
(
i
) =

i
= Bi

2
(
2ni
) i = 1, n (1.7)
Giả sử w

1
, w

2
, ãããããã , w

n
là trọng số cơ bản tơng ứng với

1
,

2
, ãããããã ,

n
.
Khi đó chúng ta có:
w

i
=
i1

j=1
j

j
+ i(
n1

j=i


j
+ (1/2)

n
) (1.8)
Vì H

(BT; Z) = Z[w

1

, w

2
, ãããããã , w

n
], từ (1.2), (1.7) và (1.8) ta có:
Bi

2
: H

(BT; Z) H

(BT

; Z)
đợc xác định bởi Bi

2
(w
i
) = w

i
= Bi

2
(w
2ni

) i = 1, n (1.9)
Giả sử R

i
là ảnh của L(T

)

tơng ứng với

i
. Khi đó tác động của W (Sp(n)) trên
H
2
(BT; Z) đợc xác định bởi





R

i
(w

1
) = w

1
+ w

1
R

i
(w

i
) = w

i1
w

i
+ w

i+1
i = 1, n
R

n
(w

n
) = 2w

n1
w

n

Đặt t

1
= w

1
và t

i
= R

i1
(t

i1
) với i = 2, n.
14
Khi đó
H

(BT

; Z) = Z[t

1
, t

2
, ãããããã , t

n
]
Từ (1.9) ta có Bi

2
(t
i
) = t

1
và Bi

2
(t
2n+1i
) = t

i
i =
1, n (1.10)
Giả sử q
1
=

(t

1
2
, t

2
2
, ãããããã , t

n
2
) H
4i
(BT

; Z). Vì tác động của nhóm
W (Sp(n)) trên H
2
(BT

; Z) là nhóm các hoán vị trên {t

1
, t

2
, ãããããã , t

n
} với
phép thế t

i
= t

i
ta có:
H

(BT; Z)
W (Sp(n))
= Z[q
1
, q
2
, ãããããã , q n]
Từ (1.10), ta có Bi

2
(c
2i
) = (1)
i
q
i
i = 1, n
Bi

2
(c
2i+1
) = 0 i = 1, n 1 (1.11)
Theo [6] thì
H

(BSp(n); Z)

=
H

(BT; Z)
W (Sp(n))
Do đó
H

(BSp(n); Z)

=
Z[q
1
, q
2
, ãããããã , q n] (1.12)
Giả sử x

4i1
=

(q
i
) H
4i1
(Sp(n); Z). Vậy
H

(Sp(n); Z) =
Z
(x

3
, x

7
, ãããããã , x

4n1
) (1.13)
1.3.7. Đối đồng điều của các nhóm Lie compact SU(2n + 1). Để xây dựng
đồng điều của các nhóm Lie compact SU(2n + 1), trớc hết ta định nghĩa ánh xạ
s
1
: SU(2n+1) SU(2n+1) xác định bởi: s
1
(A) = A, với A SU(2n+1)
và A là liên hợp của A. Chọn xuyến cực đại T của SU(2n+1) sao cho s
1
(T ) T.
Khi đó chọn hệ nghiệm hệ nghiệm đơn
1
,
2
, ãããããã ,
2n
: L(T ) R và xác
định tích vô hớng trên L(T)

= Hom
R
(L(T ); R) nh sau:





(
i
,
i
) = 2 nếu 1 i 2n
(
i
,
i+1
) = 1 nếu 1 i < 2n
ngoài ra (
i
,
j
) = 0
Vậy H

(BT; Q) = Q[
1
,
2

, ãããããã ,
2n
]. Ký hiệu s

1
: T T là hạn chế của
s
1
trên T. Theo [6] ta có
Bs

1
: H

(BT; Q) H

(BT; Q)
15
đợc xác định bởi Bs

1
(
i
) =
2n+1i
i = 1, 2n (1.14).
Giả sử w
1
, w
2

, ãããããã , w
2n
là trọng trội cơ bản xác định bởi
1
,
2
, ãããããã ,
2n
.
Khi đó ta có
w
i
= (1/2n + 1))((2n + 1 i)
i1

j=1
+ i
2n

j=i
(2n + 1 j)
j
(1.15)
Do đó H

(BT; Z) = Z(w
1
, w
2
, ãããããã , w

2n
). Từ (1.14) và (1.15) ta có:
Bs

1
: H

(BT; Z) H

(BT; Z) đợc xác định bởi
Bs

1
(w
i
) = w
2n+1i
, i =
1, 2n (1.16)
Giả sử R
i
là phép chiếu vuông góc của L(T ) tơng đối với
i
. Khi đó tác động
của W (SU(2n + 1)) trên H

(BT; Z) đợc xác định bởi

R
1
(w
1
) = w
1
+ w
2
R
i
(w
i
) = w
i1
w
i
+ w
i+1
i = 2, 2n 1
R
2n
(w
2n
) = w
2n1
w
2n
Đặt

t
i
= R
i1
(t
i1
) = w
i1
+ w
i
i = 2, 2n 1
t
2n+1
= R
2n
(t
2n
) = w
2n
Khi đó H

(BT; Z) = Z[t
1
, t
2
, ãããããã , t
2n+1
]/(c
1

), với (c
1
) =
1
(t
1
, t
2
, ãããããã , t
2n+1
]/(c
1
).
Từ (1.16), ta có: Bs

1
(t
i
) = t
2n+2i
i = 1, 2n + 1
Giả sử c
i+1
=
i+1
(t
1
, t
2
, ãããããã , t

2n+1
H
2i+2
(BT; Z). Khi đó
H

(BT; Z)
W (SU(2n+1))
= Z[c
2
, c
3
, ãããããã , c
2n+1
] và từ (1.17) ta có :
Bs

1
(c
i+1
= (1)
i+1
c
i+1
với i = 1, 2n (1.18)
Theo [6], ta có
H

(BSU(2n + 1); Z)

=
H

(BT; Z)
W (SU(2n+1))
= Z[c
1
, c
2
, ãããããã , c
2n+1
].
Giả sử x
2i+1
=

(c
i+1
) H
2i+1
(SU(2n + 1); Z). Khi đó ta có
H

(SU(2n + 1); Z) =
Z
(x
3
, x
5
, ãããããã , x

4i+1
) (1.19)
16
1.3.8. Mệnh đề.
s

1
: H

(SU(2n + 1); Z H

(SU(2n + 1); Z)
đợc xác định bởi: s

1
(x
2i+1
) = (1)
i+1
x
2i+1
i = 1, 2n.
Proof. Ta có s

1
(x
2i+1
) = s

1

(

(c
i+1
)) =

(Bs

1
(c
i+1
)) =

((1)
i+1
(c
i+1
)
= (1)
i+1


(c
i+1
) = (1)
i+1
x
2i+1
.
1.3.9. Đối đồng điều của các nhóm Lie compact SO(2n + 1).

Chọn T

là xuyến cực đại của SO(2n + 1) sao cho i
1
(T

) T, trong đó
i
1
: SO(2n + 1) SU(2n + 1) là phép nhúng tự nhiên. Khi đó lấy hệ nghiệm:


1
,

2
, ãããããã ,

n
: L(T

) R và xác định tích vô hớng (, ) nh sau:

(

i
,

i
) = 2 nếu 1 i < n
(

n
,

n
) = 1
(

i
,

i+1
) = 1 với 1 i n
(

i
,

j
) = 0 với i = j
Khi đó H

(BT; Q) = Q[

1
,

2
, ãããããã ,

n
]. Ký hệu i
1
: T

T là hạn chế
của i
1
trên T

. Theo [6], ta có
Bi

1
: H

(BT; Q) H

(BT; Q)
đợc cho bởi
Bi

1
(
i
) =

i
= Bi

1
(
2n+1i
) với i = 1, n (1.20).
Giả sử

1
,

2
, ãããããã ,

n
là dãy trọng số cơ bản giới hạn bởi

1
,

2
, ãããããã ,

n
.
Khi đó chúng ta có
w

i
=
i1

j=1


j
+ i
2n

j=i


i
w

n
= (1/2)
n

j=1
j

j

(1.21).
17
Vậy H

(BT; Z) = [

1
,

2
, ãããããã ,

n
]. Từ (1.15), (1.20) và (1.21) ta có:
Bi

1
: H

(BT; Z) H

(BT

; Z) đợc xác định bởi
Bi

1
(
i
) =

= Bi

1
(
2n+1i
) i = 1, n 1
Bi

1
(
n
) = 2

n
= Bi

1
(
n+1
) i = 1, n 1 (1.22)
Giả sử R

i
là vành tơng đối với

i
. Khi đó tác động của W (SU(2n + 1)) trên
H
2

(BT

; Z) đợc cho bởi









R

1
(w

1
) = w

1
+ w

2
R

i
(w

i

) = w

i1
w

i
+ w

i+1
i = 2, n 2
R

n1
(w

n1
) = w

n2
w

n1
+ 2w

n
R

n
(w

n
) = w

n1
w

n
Đặt





t

1
= w

1
t

i
= R

i1
(t

i1
) = w

i1
+ w

i
i = 2, n 1
t

n
= R

n1
(t

n1
) = w

n1
+ 2w

n
Khi đó H

(BT

; Z) = Z[t

1
, t

2

, ãããããã , t

n
] và từ (1.22) ta có:





Bi

1
(t
i
) = t

i
i = 1, n
Bi

1
(t
n+1
) = 0
Bi

1
(t
2n+2i
) = t

i
i = 1, n
Giả sử p
i
=
i
(t

1
2
, t

2
2
, ãããããã , t

n
2
) H
4i
(BT

; Z). Vì W (SO(2n+1)) tác động
trên H
2
(BT

; Z) là nhóm của hoán vị trên {t

1
, t

2
, ãããããã , t

n
} cùng với phép thế
t

i
t

i
, do đó:
H

(BT

; Z)
W (SO(2n+1))
= Z[p
1
, p
2
, ãããããã , p
n
]
và từ (1.23) ta có

Bi

1
(c
2i
) = (1)
i
p
i
i = 1, n
Bi

1
(c
2i+1
) = 0 i = 1, n
Giả sử K là trờng có đặc số p = 2. Vì H

(SO(2n + 1); Z) không xoắn, theo
[6] ta có
H

(BSO(2n + 1); K)

=
H

(BT

; K)

W (SO(2n+1))
18
Do đó
H

(BSO(2n + 1); K) = K[p
1
, p
2
, ãããããã , p
n
]
Giả sử x

4i1


(p
i
) H
4i1
(SO(2n + 1); K). Khi đó theo [6], ta có
H

(SO(2n + 1); K) =
K
(x

3
, x

7
, ãããããã , x

4n1
).
Trên đây ta đã mô tả đợc đối đồng điều của các nhóm Lie compact SU(2n),
Sp(n), SU(2n + 1) và SO(2n + 1). Sử dụng các kết quả trên, T. Watanabe đã
mô tả đợc đối đồng điều của hai không gian đối xứng compact SU(2n)/Sp(n)
và SU(2n + 1)/SO(2n + 1). Kết quả đó đợc thể hiện bởi hai định lý sau
1.3.10. Định lý.(xem [7]) Cho K là một trờng. Khi đó
i) Nếu K có đặc số p = 2, thì
H

(SU(2n + 1)/SO(2n + 1); K) =
K
(e
5
, e
9
, ãããããã , e
4n+1
).
ii) Nếu K có đặc số p = 2, thì
H

(SU(2n + 1)/SO(2n + 1); K) =
K
(e
2

, e
3
, ãããããã , e
2n+1
).
1.3.11. Định lý.(xem [7]) Cho K là một trờng. Khi đó
H

(SU(2n)/Sp(n); K) =
K
(e
5
, e
9
, ãããããã , e
4n3
).
1.4 K - nhóm của các không gian đối xứng com-
pact
Hoàn toàn tơng tự nh trên, nội dung chính của tiết này, chúng tôi trình bày
lại một cách có hệ thống cách xây dựng K nhóm của các không gian đối xứng
compact SU(2n)/Sp(n) và SU(2n + 1)/SO(2n + 1).
1.4.1. K - nhóm của các nhóm Lie compact SU(n+1). Cho G là nhóm Lie
compact và đồng cấu f : G U(n) là biểu diễn của G, với n là số chiều. Khi
đó ta có các nhận xét sau đây:
19
i) Vành biểu diễn R(G) của G có cấu trúc vành đợc cho bởi toán tử tuyến
tính lũy thừa ngoài
k
: R(G) R (G) với k 0.

ii) Giả sử : R(G)

K
1
(G) đợc cho bởi: () = [i
n
] [G, U] =

K
1
(G). Khi đó:
- Nếu
1
,
2
là các biểu diễn của G có số chiều lần lợt là n
1
và n
2
, thì
(
1

2
) = n
2
(
1
) + n
1

(
2
)
- Nếu là biểu diễn tầm thờng của G có số chiều là n, thì (n) = 0, n Z.
Xét bao hàm thức
1
R(SU(2n)) sao cho
1
có tác dụng trội
1
= t
i
, khi
đó ta thấy tập hợp {t
i
\ i = 1, 2, ãããããã , 2n} là tập hợp các trong trội của
1
.
Ký hiệu
k
=
k
(
1
). Ta có:
R(SU(2n)) = Z[
1
,
2
, ãããããã ,

2n1
]
và
s

2
: R(SU(2n)) R(SU(2n)) đợc cho bởi s

2
(
k
) =
2nk
với k = 1, 2n 1
Vì
1
,
2
, ãããããã ,
2n1
là những biểu diễn bất khả quy xác định bởi
1
,
2
, ãããããã ,
2n1
,
do đó ta có thể xem
k
có trọng trội

k
. Xét toán tử

1
=
1
i
1
: Sp(n) U(2n),
điều này có nghĩa, với phần tử

1
R(Sp (n)), thì
1
có trọng trội

1
= t

1
, khi
đó chúng ta thấy {t

i
\ i = 1, 2, ãããããã , n} là tập hợp các trọng trội của

1
. Do
vậy, nếu chúng ta đặt

k
=
k
(

1
), theo [5], ta có
R(Sp(n)) = Z[

1
,

2
, ãããããã ,

n
]
và đồng cấu
i

2
: R(SU(2n)) R(Sp(n)) xác định bởi i

2
(
k
) =

k
= i

2
(
2nk
), k = 1, n
Ta thấy kết quả trên trơng đơng với (1.7), vì

1
,

2
, ãããããã ,

n
là những biểu
diễn bất khả quy xác đính bởi

1
,

2
, ãããããã ,

n
.
Theo Hodgkin, với G là nhóm compact liên thông, khi đó K

(G) không xoắn
và do đó nó có cấu trúc của đại số Hopf Z/(2) phân bậc. Nếu G là nửa đơn và
20

R(G) = Z(
1
,
2
, ãããããã ,
n
), khi đó K

(G) =
Z
((
1
), (
2
), ãããããã , (
n
))
là đại số ngoài sinh bởi (
1
), (
2
), ãããããã , (
n
).
Bây giờ với G = SU(n + 1), khi đó K nhóm của G đợc mô tả nh sau
K

(SU(n + 1)) =
Z
((

1
), (
2
), ãããããã , (
n
))
1.4.2. K - nhóm của các nhóm Lie compact SO(2n+1).
Lập luận tơng tự nh trờng hợp SU(2n + 1), trớc hết ta tìm vành biểu diễn
R(SU(2n + 1)).
Xét bao hàm thức
1
: SU(2n + 1) U(2n + 1), điều này có nghĩa với
phần tử
1
R(SU(2n + 1)), thì
1
có trọng trội
1
= t
1
. Khi đó tập hợp
{t
i
\ i = 1, 2, ãããããã , 2n + 1} là tập hợp tất cả các trọng trội của
1
. Nếu chúng
ta đặt
k
=
k

(
1
) và theo [7] ta có :
R(SU(2n + 1)) = Z[
1
,
2
, ãããããã ,
2n
]
và đống cấu
s

1
: R(SU(2n+1)) R(SU(2n+1)) xác định bởi s

1
(
k
) =
2n+1k
k = 1, 2n
Ta xét hợp thành

1
=
1
i
1
: SO(2n + 1) U(2n + 1). Với phần tử

1
R(SO(2n + 1)), thì

1
chấp nhận trọng trội

1
t

1
, nh vậy tập hợp
{t

i
\ i = 1, 2, ãããããã , n} là tập hợp tất cả các trọng trội của

1
.
Đặt

k
=
k
(

1
) và theo [7], ta có
R(SO(2n + 1)) = Z[

1
,

2
, ãããããã ,

n
]
và đồng cấu i

1
: R(SU(2n + 1)) R(SO(2n + 1)) xác định bởi
i

1
(
k
) =

k
= i

1
(
2n+1k
), k = 1, n
Xét nhóm Spinor Spin(2n + 1) là nhóm phổ dụng của SO(2n + 1). Giả sử
p : Spin(2n + 1) SO(2n + 1) là phủ hai lá, khi đó xét hợp thành
1

=

1
p :
Spin(2n + 1) U(2n + 1). Khi đó với phần tử
1
R(Spin(2n + 1)), ta đặt
21

k
=
k
(
1
) và giả sử
2n+1
: Spin(2n + 1) U(2
n
) là phép biểu diễn Spin.
Khi đó
R(Spin(2n + 1)) = Z[
1
,
2
, ãããããã , n 1,
2n+1
],
trong đó hệ thức
2n+1
đợc xác định bởi

2
2n+1
= 1 +
1
+
2
+ ãããããã +
n
.
Theo Hodgkin [6], ta có:
K

(Spin(2n + 1)) =
Z
[(
1
), (
2
), ãããããã , (
n1
, (
2n+1
))
Bổ sung hai phần tử
2n+1
K
1
(SO(2n + 1)) và
2n+1
K

0
(SO(2n + 1)) sao
cho:
K

(SO(2n + 1)) = [
Z
((

1
, ããã , (

n1
,
2n+1
) T
2n+1
]/(
2n+1

2n+1
),
trong đó T
2n+1
= Z{1} Z(2
n
){
2n+1
}.
Xét p

: K

(SO(2n+1)) K

(Spin(2n+1)) sao cho p

((

k
)) = (
k
)
và p

(
2n+1
) = 2(
2n+1
)
1.4.2.1 Mệnh đề. Với những ký hiệu nh trên, ta có
K

(SO(2n + 1))/T or =
Z
((

1
), ãããããã , (

n1
),
2n+1
)
Trên đây ta đã mô tả đợc K nhóm của các nhóm Lie compact SU(n +1) và
SO(2n + 1). Sử dụng các kết quả trên, T. Watanabe đã mô tả đợc K nhóm của
hai không gian đối xứng compact SU(2n)/Sp(n) và SU(2n + 1)/SO(2n + 1).
Kết quả đó đợc thể hiện bởi định lý sau
1.4.3. Định lý. (xem [7]) Cho K là một trờng. Khi đó
K

(SU(2n + 1)/SO(2n + 1); K) =
K
((
1

2n
), ãããããã , (
n

n+1
))
K

(SU(2n)/Sp(n); K) =
K
((
1

2n1

), ãããããã , (
n1

n+1
))
22
Chơng 2
Đặc trng Chern của không gian đối
xứng compact
Trong Chơng này, chúng tôi trình bày lại cách tính đặc trng Chern của các
không gian đối xứng compact SU(2n)/Sp(n) và SU(2n+1)/SO(2n+1). Trớc
khi đi vào nội dung chính chúng tôi nhắc lại một số kết quả của T. Watanabe về
cách tính đặc trng Chern cho các nhóm Lie compact và sử dụng kết quả đó và
việc tính đặc trng Chern cho các không gian đối xứng compact. Các kết quả đó
đã đợc trình bày một cách chi tiết trong [6,7], nên chúng tôi không trình bày lại
cách chứng minh.
2.1 Đặc trng Chern của không gian đối xứng
compact SU(2n)/Sp(n)
2.1.1. Nhận xét. Để tính đặc trng Chern của nhóm Lie compact, trớc hết ta định
nghĩa hàm
: N ì N ì N Z
đợc xác định bởi
(n, k, q) =
k

i=1
(1)
i1

n

k i

i
q1
23