Không gian giả meetric nón và sự tồn tại điểm giả bất động của ánh xạ cyclic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH






VÕ THỊ ÁNH TUYẾT





KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN
VÀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ CYCLIC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. ĐINH HUY HOÀNG



NGHỆ AN - 2014

MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Không gian giả mêtric nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . 5
1.2 Nón trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Sự tồn tại điểm giả bất động của ánh xạ cyclic trong
không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.1 Sự tồn tại điểm giả bất động của ánh xạ cyclic co kiểu Banach trong
không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.2 Sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Kannan
trong không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan
trọng của giải tích hàm, nó có nhiều ứng dụng quan trọng trong Toán học
và nhiều ngành kĩ thuật khác. Kết quả quan trọng đầu tiên phải kể đến
trong lý thuyết điểm bất động là nguyên lý ánh xạ co trong không gian
mêtric đầy đủ của Banach (1922). Người ta đã mở rộng nguyên lý này cho
nhiều loại ánh xạ và nhiều lớp không gian khác nhau. Một trong những
hướng mở rộng đó là đưa ra khái niệm ánh xạ co cyclic và nghiên cứu sự
tồn tại điểm bất động của nó. Năm 2003, Krik và các cộng sự [8] đã mở
rộng nguyên lí ánh xạ co Banach cho lớp ánh xạ thỏa điều kiện co cyclic.
Sau đó, nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu về sự tồn tại điểm bất động
của ánh xạ co cyclic trong không gian mêtric.
Năm 2007, Huang Long-Guang và Zhang Xian [6] đã thay giả thiết hàm

mêtric nhận giá trị trong tập các số thực không âm bởi nhận giá trị trong
một nón định hướng trong không gian Banach và đưa ra khái niệm không
gian mêtric nón. Sau đó, nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu và đạt nhiều
kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric nón.
Trong [1], Lê Thị Dung đã định nghĩa không gian giả mêtric nón và
nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động trong không gian này. Một vấn đề
được đặt ra một cách tự nhiên là các kết quả về sự tồn tại điểm bất động
của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric có còn đúng cho trường hợp
không gian giả mêtric nón nữa hay không?
Để tập dượt nghiên cứu khoa học, để tìm hiểu về lý thuyết điểm bất
động chúng tôi tiếp cận vấn đề này để nghiên cứu các ánh xạ cyclic và
các điều kiện để ánh xạ cyclic tồn tại điểm bất động trong không gian giả
2
mêtric nón, tìm cách mở rộng một số kết quả về điểm giả bất động của các
ánh xạ cyclic trong không gian mêtric cho không gian giả mêtric nón.
Với mục đích đó luận văn được trình bày thành hai chương.
Chương 1. Không gian giả mêtric nón
Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản
của tôpô đại cương, giải tích hàm có liên quan đến nội dung của luận văn.
Trình bày khái niệm, ví dụ và các tính chất cơ bản của nón trong không
gian Banach.
Sau đó, chúng tôi trình bày khái niệm, ví dụ về không gian giả mêtric
nón và chứng minh tính chất tôpô của không gian giả mêtric nón mà chúng
ta cần dùng trong chương 2.
Chương 2. Sự tồn tại điểm giả bất động của ánh xạ cyclic
trong không gian giả mêtric nón
Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này đầu tiên chúng
tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh
xạ cyclic co và co suy rộng kiểu Banach trong không gian giả mêtric nón,
đó là các Định lí 2.1.4, Hệ quả 2.1.5 và Hệ quả 2.1.6. Sau đó, chúng tôi

đưa ra một vài định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic
co kiểu Kannan trong không gian giả mêtric nón, đó là các Định lí 2.2.1,
2.2.2, 2.2.7, các Hệ quả 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5. Các kết quả này là sự mở rộng
của một số kết quả trong các tài liệu [5], [7], [8], [9], [10].
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình, chu đáo của Thầy giáo, PGS.TS Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban
chủ nhiệm Khoa Toán - Đại Học Vinh.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các quý Thầy, Cô giáo Tổ Giải tích trong
Khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả
trong suốt thời gian học tập.
3
Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt
là các bạn trong lớp Cao học khoá 20, chuyên ngành Giải tích đã giúp đỡ
và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 10 năm 2014
Tác giả
4
CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN
Trong chương này, đầu tiên nhắc lại một số khái niệm cơ bản của tôpô
đại cương, giải tích hàm có liên quan đên smooij dung của luận văn. Trình
bày khái niệm, ví dụ và các tính chất cơ bản của nón trong không gian
Banach. Sau đó trình bày khái niệm, ví dụ về không gian giả meetric nón
và chứng minh tính chất tôpô của không gian giả meetric nón cần dùng
trong chương 2.

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong
luận văn.
1.1.1 Định nghĩa. ([4]) Cho tập hợp X. Họ T các tập con của X được
gọi là tôpô trên X nếu thoả mãn các điều kiện
(T
1
) ∅ và X ∈ T ;
(T
2
) Nếu G
i
∈ T , i ∈ I thì

i∈I
G
i
∈ T ;
(T
3)
Nếu G
1
, G
2
∈ T thì G
1

G
2
∈ T .

Tập hợp X cùng với tôpô trên T nó được gọi là không gian tôpô và kí
hiệu là (X, T ) hay đơn giản hơn là X.
Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô.
Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở.
Giả sử A ⊂ X. Tập A được gọi là đóng nếu X \ A là mở.
1.1.2 Định nghĩa. ([4]) Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi
là lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊂ A.
Cho không gian tôpô X, x ∈ X và U(x) là họ tất cả các lân cận của x.
Họ B(x) ⊂ U(x) được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ U(x) tồn
tại V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U .
1.1.3 Định nghĩa. ([3]) Dãy {x
n
} trong không gian tôpô X được gọi là
hội tụ tới điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n
0
∈ N sao cho
x
n
∈ U với mọi n ≥ n
0
.
Khi đó, ta viết x
n
→ x hoặc lim
n→∞
x
n
= x.
1.1.4 Định nghĩa. ([4]) Không gian tôpô X được gọi là thoả mãn tiên đề
đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận B(x) có

lực lượng đếm được.
Không gian tôpô X được gọi là T
2
- không gian hay không gian Haus-
dorff nếu hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x = y tồn tại các lân cận tương ứng
U
x
, U
y
của x, y sao cho U
x
∩ U
y
= ∅.
Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội
tụ tới một điểm duy nhất.
1.1.5 Định nghĩa. ([4]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X → Y .
ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của
f(x), tồn tại lân cận U của x sao cho f(U) ⊂ V . ánh xạ f được gọi là liên
tục trên X (nói gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X.
1.1.6 Định lý. ([4]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X → Y .
Khi đó các điều kiện sau đây tương đương
1. f liên tục trên X
2. Nếu E là tập mở trong Y thì f
−1
(E) mở trong X
3. Nếu E là tập đóng trong Y thì f
−1
(E) đóng trong X
6

1.1.7 Định nghĩa. ([3]) Giả sử X là tập khác rỗng và d : X × X −→ R.
Hàm d được gọi là mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau:
(i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y ;
(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.
Tập hợp X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric
và ký hiệu (X, d) hay đơn giản hơn là X.
1.1.8 Định nghĩa. ([3]) Cho X là không gian mêtric. Một dãy {x
n
} trong
X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n
0
∈ N sao cho với
mọi n, m ≥ n
0
thì d(x
n
, x
m
) < ε.
Mọi dãy hội tụ là dãy Cauchy.
Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X
đều hội tụ.
Tập con A ⊂ X được gọi là tập đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm
sinh, nói cách khác mọi dãy Cauchy trong A đều hội tụ tới điểm thuộc A.
Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập con
đóng của một không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ.
1.1.9 Định nghĩa. ([3]) Cho X là không gian mêtric. Tập A ⊂ X được
gọi là tập compăc nếu mọi dãy {x
n

} trong A đều có một dãy con {x
n
k
} hội
tụ đến một điểm thuộc A.
1.1.10 Định nghĩa. ([3]) ánh xạ f : (X, d) → (Y, ρ) từ không gian
mêtric (X, d) vào không gian mêtric (Y, ρ) được gọi là ánh xạ co nếu tồn
tại α ∈ [0, 1] sao cho ρ(f(x), f(y)) ≤ αd(x, y) với mọi x, y ∈ X.
1.1.11 Định lý. ([3]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, f : X →
X là ánh xạ co từ X vào chính nó. Khi đó, tồn tại duy nhất điểm x
∗
∈ X
sao cho f (x
∗
) = x
∗
.
Điểm x
∗
có tính chất f(x
∗
) = x
∗
được gọi là điểm bất động của ánh xạ
f.
7
1.1.12 Định nghĩa. Giả sử X là tập khác rỗng và ánh xạ
d : X × X → R
(x, y) → d(x, y)
ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách hay là giả mêtric trên X nếu d thỏa

mãn 3 tiên đề sau đây với bất kì x, y, z thuộc vào X
i) 0 ≤ d(x, y), d(x, y) = 0 nếu x = y;
ii) d(x, y) = d(y, x)
iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Tập X cùng với giả khoảng cách d được gọi là không gian giả mêtric và kí
hiệu (X, d).
1.1.13 Định nghĩa. ([3]) Giả sử E là không gian vectơ trên trường K = R
hoặc K = C. Hàm p : E −→ R được gọi là chuẩn trên E nếu thoả mãn
các điều kiện sau:
(i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E và p(x) = 0 ⇔ x = 0;
(ii) p(λx) = |λ|p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K;
(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E.
Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ x ∈ E. Ta thường kí hiệu chuẩn
của x là x. Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó
được gọi là không gian định chuẩn.
1.1.14 Mệnh đề. ([3]) Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức
d(x, y) = x − y, ∀x, y ∈ E
xác định một mêtric trên E.
Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn.
Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric
sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach.
8
1.1.15 Định lý. ([3]) Nếu E là không gian đinh chuẩn thì
ánh xạ chuẩn: x → x, ∀x ∈ E;
phép cộng: (x, y) → x + y, ∀(x, y) ∈ E × E;
và phép nhân với vô hướng: (λ, x) → λx, ∀(λ, x) ∈ K × E là các ánh xạ
liên tục .
1.1.16 Định lý. ([3]) Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó, với mỗi
a ∈ E và với mỗi λ ∈ K, λ = 0 các ánh xạ
x → x + a, x → λx, ∀x ∈ E

là các phép đồng phôi E lên E.
1.1.17 Định nghĩa. ([4]) Cho tập hợp X và ≤ là quan hệ hai ngôi trên
X. Quan hệ ≤ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thoả mãn
các điều kiện sau:
(i) x ≤ x với mọi x ∈ X;
(ii) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y với mọi x, y ∈ X;
(iii) x ≤ y; y ≤ z suy ra x ≤ z với mọi x, y, z ∈ X.
Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ
tự bộ phận và kí hiệu (X, ≤) hoặc X.
1.1.18 Định nghĩa. ([4]) Giả sử ≤ là một quan hệ hai ngôi trên X và
A ⊂ X.
1) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới) của A nếu
a ≤ x (tương ứng x ≤ a) với mọi phần tử a ∈ A.
2) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng)
của A nếu x cũng là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y
cũng là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng
y ≤ x). Khi đó, ta kí hiệu x = sup A ( tương ứng x = inf A ).
9
1.2 Nón trong không gian Banach
Mục này trình bày một số vấn đề cơ bản về nón trong không gian Banach.
1.2.1 Định nghĩa. ([6]) Cho E là không gian Banach trên trường số thực
R. Một tập con P của E được gọi là nón trong E nếu:
(i) P là đóng, P = ∅, P = {0};
(ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ 0 và x, y ∈ P thì ax + by ∈ P ;
(iii) Nếu x ∈ P và −x ∈ P thì x = 0.
1.2.2 Ví dụ. 1) Trong không gian Banach các số thực R với chuẩn thông
thường, tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} là một nón.
2) Giả sử E = R
2
, P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R

2
. Khi đó, P thoả
mãn ba điều kiện
(i) P là tập đóng, P = ∅, P = {0};
(ii) Với mọi (x, y), (u, v) ∈ P và mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0 ta có a(x, y) +
b(u, v) ∈ P ;
(iii) Với (x, y) ∈ P và (−x, −y) ∈ P ta có (x, y) = (0, 0).
Vậy P là một nón trên E.
3) Giả sử C
[a,b]
là tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực liên tục trên
[a, b]. Ta đã biết C
[a,b]
là không gian Banach với chuẩn
f = sup
x∈[a,b]
|f(x)| ∀f ∈ C
[a,b]
.
Trên C
[a,b]
có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường ≤ được xác định với
f, g ∈ C
[a,b]
,
f ≤ g ⇔ f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b].
Đặt
P = {f ∈ C
[a,b]
: 0 ≤ f}.

Khi đó, P thoả mãn ba điều kiện
(i) P là tập đóng, P = ∅, P = {0};
10
(ii) Với mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0 và mọi f, g ∈ P ta có
0 ≤ af(x) + bg(x) ∀x ∈ [a, b].
Do đó af + bg ∈ P ;
(iii) Với f ∈ P và −f ∈ P ta có f = 0.
Vậy P là một nón trên E.
Cho P là một nón trong không gian Banach E. Trên E, ta định nghĩa
quan hệ thứ tự

≤

xác định bởi P như sau x ≤ y nếu và chỉ nếu y−x ∈ P .
Ta viết x < y nếu x ≤ y và x = y và viết x  y nếu y − x ∈ intP , trong
đó intP là phần trong của P .
1.2.3 Định nghĩa. ([6]) Cho P là một nón trong không gian Banach E.
1) Nón P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực K > 0 sao cho với
mọi x, y ∈ E và 0 ≤ x ≤ y ta có x ≤ Ky. Số thực K nhỏ nhất thoả
mãn điều kiện này được gọi là hằng số chuẩn tắc của P .
2) Nón P được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên trong
E đều hội tụ. Nghĩa là, nếu {x
n
} là dãy trong E sao cho
x
1
≤ x
2
≤ ≤ x
n

≤ ≤ y,
với y ∈ E thì tồn tại x ∈ E sao cho x
n
− x → 0 khi n → ∞.
Định lí sau nói về nón chính quy và nón chuẩn tắc
1.2.4 Định lý. ([6]) Mọi nón chính quy trong không gian Banach là nón
chuẩn tắc.
1.2.5 Nhận xét. Điều ngược lại của định lí 1.2.4, là không đúng, tức là
có những nón chuẩn tắc nhưng không chính quy. Thật vậy, xét không gian
Banach E = C
R
[0, 1] với chuẩn sup: f = sup
x∈[0,1]
|f(x)|.
Đặt P = {f ∈ E : f ≥ 0}. Khi đó, P là một nón với hằng số chuẩn tắc
K = 1. Thật vậy, giả sử f, g ∈ E và 0 ≤ f ≤ g. Khi đó, 0 ≤ f (x) ≤ g(x)
11
với mọi x ∈ [0, 1] và ta có
f = sup
x∈[0,1]
|f(x)| = sup
x∈[0,1]
f(x)  sup
x∈[0,1]
g(x)
= sup
x∈[0,1]
|g(x)| = g.
chứng tỏ P là nón chuẩn tắc.
Bây giờ ta chứng minh P không phải là nón chính quy. Thật vậy, lấy dãy

{f
n
} trong E cho bởi f
n
(x) = x
n
với mọi x ∈ [0, 1]. Rõ ràng dãy {f
n
} giảm
và bị chặn dưới nhưng {f
n
} không hội tụ trong E.
Vậy P không phải là nón chính quy.
1.2.6 Bổ đề. ([6]) Giả sử P là một nón trong không gian Banach E;
a, b, c ∈ E; {x
n
}, {y
n
} là các dãy trong E và α là số thực dương. Khi đó,
(i) Nếu a  b và b  c thì a  c;
(ii) Nếu a ≤ b và b  c thì a  c;
(iii) Nếu a  b và c  d thì a + c  b + d;
(iv) αintP ⊂ intP ;
(v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP tồn tại 0 < γ < 1 sao cho γx < δ;
(vi) Với mỗi c
1
∈ intP và c
2
∈ P tồn tại d ∈ intP sao cho c
1

 d và
c
2
 d;
(vii) Với mọi c
1
, c
2
∈ intP tồn tại e ∈ intP sao cho e  c
1
và e  c
2
;
(viii) Nếu a ∈ P và a ≤ x với mọi x ∈ intP thì a = 0;
(ix) Nếu a ≤ λa với a ∈ P, 0 < λ < 1 thì a = 0;
(x) Nếu 0 ≤ x
n
≤ y
n
với mỗi n ∈ N và lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
= y
thì 0 ≤ x ≤ y.
Chứng minh. (i) Vì phép cộng liên tục nên intP +intP ⊂ intP . Nếu a  b

và b  c thì b − a ∈ intP và c − b ∈ intP . Suy ra c − a = c − b + b − a ∈
intP + intP ⊂ intP . Vậy a  c.
(iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP ⊂ intP .
(ii) Để ý rằng intP + P =

x∈P
(x + intP ) là tập mở và P là nón nên
suy ra x + intP ⊂ P . Do đó P + intP ⊂ intP . Nếu a ≤ b và b  c thì
12
b −a ∈ P và c − b ∈ intP . Suy ra c −a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP
hay c − a ∈ intP . Vậy a  c.
(iii) Ta có a  b và c  d nên b − a ∈ intP và d − c ∈ intP suy ra
b − a + d − c ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP . Do đó a + c  b + d.
(v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP chọn số tự nhiên n > 1 sao cho
δ
nx
< 1.
Khi đó, với γ =
δ
nx
thoả mãn: 0 < γ < 1 và
γx ≤ γx ≤
δ
nx
x ≤
δ
n
< δ.
(vi) Chọn δ > 0 sao cho c
1

+ B(0, δ) ⊂ intP , trong đó B(0, δ) = {x ∈
E : x < δ}. Do tính hút của B(0, δ) tồn tại m > 1 sao cho c
2
∈ mB(0, δ)
suy ra −c
2
∈ mB(0, δ) và mc
1
− c
2
∈ intP . Đặt d = mc
1
− c
2
. Khi đó, d
thoả mãn (vi).
(vii) Chọn δ

> 0 sao cho c
1
+ B(0, δ

) ⊂ intP , c
2
+ B(0, δ

) ⊂ intP,
trong đó B(0, δ

) = {x ∈ E : x < δ


}. Do tính hút của B(0, δ

) tồn
tại m > 0 sao cho c
1
∈ mB(0, δ

), c
2
∈ mB(0, δ

) suy ra suy ra −c
1
∈
mB(0, δ

), −c
2
∈ mB(0, δ

) và mc
1
− c
1
∈ intP, mc
2
− c
2
∈ intP . Đặt

e = mc
1
− c
1
+ mc
2
− c
2
. Khi đó, e thoả mãn (vii).
(viii) Giả sử x ∈ intP . Từ giả thiết suy ra a ≤
x
n
với mọi n = 1, 2,
do đó
x
n
− a ∈ P với mọi n = 1, 2, Vì 
x
n
 =
x
n
→ 0 nên
x
n
→ 0. Do
đó
x
n
− a → −a. Mặt khác, vì dãy


x
n
− a

⊂ P và P đóng trong E nên
−a ∈ P . Như vậy, a và −a ∈ P . Vì P là nón nên a = 0.
(ix) Vì a ≤ λa nên λa − a ∈ P hay (λ − 1)a ∈ P . Do 0 < λ < 1 nên
1 − λ > 0. Từ đó suy ra −a =
1
1−λ
a ∈ P hay −a ∈ P . Như vậy, a và
−a ∈ P . Vì P là nón nên a = 0.
(x) Ta có x
n
≤ y
n
suy ra y
n
−x
n
∈ P . Do P đóng nên lim
n→∞
(y
n
− x
n
) ∈ P .
Mặt khác, lim
n→∞

x
n
= x, lim
n→∞
y
n
= y nên lim
n→∞
(y
n
− x
n
) = y − x. Từ đó suy
ra y − x ∈ P , do đó x ≤ y. Hoàn toàn tương tự như trên, ta chứng minh
được từ 0 ≤ x
n
suy ra 0 ≤ x. Vậy 0 ≤ x ≤ y.
13
1.2.7 Bổ đề. ([6]) Giả sử P là nón trong không gian Banach E và {x
n
}
là dãy trong P . Khi đó, nếu x
n
→ 0 thì với mỗi c ∈ intP tồn tại n
0
∈ N
sao cho x
n
 c với mọi n ≥ n
0

.
Chứng minh. Giả sử {x
n
} là dãy trong P và x
n
→ 0. Với mọi c ∈ intP , vì
intP là tập mở nên tồn tại δ > 0 sao cho c + B
E
(0, δ) ⊂ intP, trong đó
B
E
(0, δ) là hình cầu mở tâm 0, bán kính δ trong E. Do đó, nếu x ∈ E mà
x < δ thì c − x ∈ intP . Với δ > 0 xác định như trên tồn tại n
0
∈ N sao
cho
x
n
 < δ ∀n > n
0
.
Suy ra c − x
n
∈ intP với mọi n > n
0
. Do đó x
n
 c với mọi n ≥ n
0
.

1.3 Không gian giả mêtric nón
Trong mục này, ta luôn giả thiết P là nón trong không gian Banach E sao
cho intP = 0 và ≤ là quan hệ thứ tự bộ phận trên E xác định bởi P .
1.3.1 Định nghĩa. ([1]) Cho X là tập khác rỗng, và d : X × X −→ E.
Hàm d được gọi là giả khoáng cách nón hay là giả mêtric nón trên X nếu
thoả mãn các điều kiện sau:
(i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 nếu x = y ;
(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.
Tập hợp X cùng với giả khoảng cách nón d trên nó được gọi là không
gian giả mêtric nón và ký hiệu (X, d) hay đơn giản hơn là X.
1.3.2 Ví dụ. ([1]) Giả sử L
[a,b]
là tập các hàm nhận giá trị thực, khả tích
trên đoạn [a, b] và d : L
[a,b]
× L
[a,b]
→ R là hàm được cho bởi
d(f, g) =

b
a
|f(x) − g(x)|d(x) ∀f, g ∈ L
[a,b]
Khi đó, d là giả mêtric nón trên L
[a,b]
và do đó L
[a,b]
là không gian giả

mêtric nón.
14
Chứng minh. Đặt P = [0, ∞). Khi đó P là nón trong không gian Banach
các số thực R. Hơn nữa thứ tự bộ phận ≤ trên R được xác định bởi P
chính là thứ tự nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên R.
Rõ ràng 0 ≤ d(f, g), d(f, g) = 0 nếu f = g và d(f, g) = d(g, f) với mọi
f, g ∈ L
[a,b]
. Giả sử f, g, h ∈ L
[a,b]
. Ta có
d(f, g) =

b
a
|f(x) − g(x)|dx =

b
a
|f(x) − h(x) + h(x) − g(x)|dx
≤

b
a
|f(x) − h(x)|dx +

b
a
|h(x) − g(x)|dx = d(f, h) + d(g, h).
Vậy d là giả mêtric nón trên L

[a,b]
.
1.3.3 Chú ý. ([1]) 1) Nếu d là giả mêtric trên X và thỏa mãn điều kiện
d(x, y) = 0 kéo theo x = y thì d là mêtric nón trên X. Như vậy không gian
mêtric nón là trường hợp đặc biệt của không gian giả mêtric nón.
2)Trong Ví dụ 1.3.2) d không phải là mêtric nón trên L
[a,b]
. Thật vậy, lấy
f, g với
f(x) =

1 nếu a ≤ x < b
0 nếu x = b,
g(x) = 1 ∀x ∈ [a, b].
Khi đó f, g khả tích trên [a, b], nghĩa là f và g ∈ L
[a,b]
. Rõ ràng f = g
nhưng d(f, g) =

b
a
|f(x) − g(x)|dx = 0.
3)Trong R xét nón P như trong ví dụ 1.2.2.1) thì ta thấy rằng mọi không
gian giả mêtric là giả mêtric nón.
1.3.4 Ví dụ. ([1]) Ta đã biết P = {f ∈ C
[a,b]
: f ≥ 0} là nón trong không
gian Banach C
[a,b]
các hàm liên tục trên [a, b] nhận giá trị trong R. Hơn

nữa quan hệ ≤ trên C
[a,b]
được xác định bởi P trùng với quan hệ ≤ thông
thường trên [a, b]. Ta kí hiệu X = {f ∈ C
[a,b]
: f có đạo hàm liên tục trên
[a, b]} và xác định hàm d : X ×X → P bởi công thức d(f, g) = |f

−g

| với
mọi f, g ∈ X, tức là d(f, g)(x) = |f

(x) − g

(x)| ∀f, g ∈ X, ∀x ∈ [a, b].
15
Khi đó, d thỏa mãn các điều kiện của Định nghĩa 1.3.1, tức là giả mêtric
nón trên X.
Ta thấy rằng d không là mêtric nón. Thật vậy, nếu ta xét các hàm
f, g ∈ X với f(x) = x, g(x) = x + 1 với mọi x ∈ [a, b] thì f = g nhưng
d(f, g) = 0.
Từ đây về sau, ta giả thiết (X, d) là không gian giả mêtric nón với d
nhận giá trị trong nón P.
1.3.5 Định nghĩa. ([1]) Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, với
bất kì a ∈ X và c ∈ intP . Đặt
B(a, c) = {x ∈ X : d(a, x)  c}
Tập B(a, c) được gọi là hình cầu mở tâm tại a, bán kính c.
1.3.6 Mệnh đề. ([1]) Đặt
T = {G ⊂ X : ∀x ∈ G, ∃c ∈ intP, B(x, c) ⊂ G}

Khi đó,
a) T là một tôpô trên X ;
b) Với mọi a ∈ X và mọi c ∈ intP , hình cầu mở B(a, c) thuộc T ;
c) (X, T ) không là T
1
- không gian.
Chứng minh. a) ∅ ∈ T và X ∈ T vì mỗi x ∈ X và c ∈ intP ta có
B(a, c) ⊂ X.
Giả sử {A
i
: i ∈ I}. Khi đó tồn tại i ∈ I sao cho x ∈ A
i
. Vì A
i
∈ T nên
tồn tại c ∈ intP sao cho B(x, c) ⊂ A
i
. Suy ra
B(x, c) ⊂ A
i
⊂ ∪{A
i
: i ∈ I}.
Do đó
∪{A
i
: i ∈ I} ∈ T .
16
Giả sử A ∈ T , B ∈ T . Lấy bất kì x ∈ A ∩ B. Khi đó, x ∈ A, x ∈ B.
Do A ∈ T , B ∈ T nên tồn tại c

1
và c
2
∈ intP sao cho B(x, c
1
) ⊂ A và
B(x, c
2
) ⊂ B . Theo Bổ dề 1.2.6.vii) tồn tại c ∈ intP sao cho c  c
1
và c  c
2
. Từ đó suy ra B(x, c) ⊂ B(x, c
1
) ∩ B(x, c
2
) ⊂ A ∩ B. Do đó,
A ∩ B ∈ T . Vậy T là một tôpô trên X.
b) Giả sử x ∈ B(a, c). Khi đó 0 ≤ d(x, a)  c. Đặt c

= c − d(x, a). Vì
d(x, a)  c nên ta có c

∈ intp. Với mọi y ∈ B(x, c

) ta có d(y, x)  c

.
Do đó, từ điều kiện c) của Định nghĩa 1.3.1, suy ra
d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a)  c


+ d(x, a) = c − d(x, a) + d(x, a) = c.
Từ đó y ∈ B(a, c) và do đó B(x, c

) ⊂ B(a, c). Vậy B(a, c) ∈ T .
c) Lấy x, y ∈ X sao cho x = y và d(x, y) = 0. Khi đó mọi hình cầu B(x, c)
đều chứa y. Từ đó suy ra X không là T
1
- không gian.
Chú ý. Nếu X là không gian giả mêtric nón mà d(x, y) > 0 với mọi
x = y thì X là không gian mêtric nón. Do đó, X là T
2
- không gian.
Từ đây về sau, khi nói tới không gian giả mêtric nón X ta hiểu tôpô
trên X là tôpô T nói ở Mệnh đề 1.3.6.
1.3.7 Hệ quả. ([1]) Mọi hình cầu mở trong X là tập mở trong X.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.3.6.b) suy ra B(a, c) là tập mở.
1.3.8 Định lý. ([1]) Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, {x
n
} là
dãy trong X và a ∈ X. Khi đó {x
n
} hội tụ tới a khi và chỉ khi với mỗi
c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho d(x
n
, a)  c với mọi n > n
c
;

Chứng minh. Giả sử x
n
→ a. Khi đó, với mỗi c ∈ intP , vì B(a, c) ∈ T
nên tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho x
n
∈ B(a, c) với mọi n > n
c
. Do đó,
d(a, x
n
)  c với mọi n > n
c
. Ngược lại, giả sử với mỗi c ∈ intP tồn tại số
tự nhiên n
c
sao cho d(a, x
n
)  c với mọi n > n
c
. Với mỗi lân cận U của a
17
tồn tại c ∈ intP sao cho B(a, c) ⊂ U. Từ đó suy ra tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho x
n
∈ B(a, c) ⊂ U với mọi n ≥ n
c
. Do đó, x

n
→ a.
1.3.9 Mệnh đề. ([1]) Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, a ∈ X
và c ∈ intP . Khi đó, họ U = {B(a,
c
n
) : n = 1, 2, } là một cơ sở lân cận
tại điểm a, do đó X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Chứng minh. Giả sử U là lân cận bất kì của điểm a. Khi đó, tồn tại r ∈
intP sao cho B(a, r) ⊂ U. Vì
c
n
→ 0 khi n → ∞ và r ∈ intP nên Bổ đề
1.2.7, suy ra tồn tại n sao cho
c
n
 r. Do đó, B(a,
c
n
) ⊂ B(a, r) ⊂ U. Suy
ra U là cơ sở lân cận tại điểm a. Hiển nhiên U là tập đếm được. Do đó X
là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
1.3.10 Mệnh đề. ([1]) Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, a ∈ X.
Đặt
F
a
= {x ∈ X : d(x, a) = 0}.
Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng.
a) Với mọi b và b


∈ F
a
, x ∈ X\F
a
ta có d(x, b) = d(x, b

).
b) F
a
là tập đóng.
c) Với mọi a, b ∈ X ta có d(x, y) = d(a, b) với mọi x ∈ F
a
, với mọi y ∈ F
b
.
Chứng minh. a) Với mọi b và b

∈ F
a
ta có
0 ≤ d(b, b

) ≤ d(b, a) + d(a, b

) = 0.
Do đó d(b, b

) = 0. Với mọi x ∈ X\F
a
ta có

d(x, b) ≤ d(x, b

) + d(b

, b) = d(x, b

)
và
d(x, b

) ≤ d(x, b) + d(b, b

) = d(x, b).
Từ (1) và (2) suy ra d(x, b) = d(x, b

).
18
b) Giả sử {x
n
} ⊂ F
a
và x
n
→ x ∈ X. Vì X thỏa mãn tiên đề đếm được
thứ nhất nên để chứng minh F
a
đóng ta chỉ cần chứng minh x ∈ F
a
. Vì
x

n
→ x nên với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho d(x
n
, x)  c
với mọi n ≥ n
c
. Vì x
n
∈ F
a
với mọi n nên d(x
n
, a) = 0 với mọi n = 1, 2,
Do đó
d(x, a

) ≤ d(x, x
n
) + d(x
n
, a) = d(x, x
n
)  c, ∀n ≥ n
c
.
Từ đó suy ra d(x, a)  c với mọi c ∈ intP . Do đó, theo bổ đề 1.2.6 thì
d(x, a) = 0, tức x ∈ F
a

. Vậy F
a
là tập đóng.
c) Từ bất đẳng thức tam giác suy ra
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) = d(a, b)
và
d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, y) + d(y, b) = d(x, y).
Do đó d(a, b) = d(x, y).
1.3.11 Định nghĩa. ([1]) Dãy {x
n
} trong không gian giả mêtric nón (X, d)
được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho
d(x
n
, x
n+p
)  c, ∀n ≥ n
c
, ∀p = 0, 1, 2
Không gian giả mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
Cauchy trong X đều hội tụ.
19
CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ
CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN
Chương này đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm giả bất động của
các ánh xạ cyclic co kiểu Banach và các ánh xạ cyclic co kiểu Kannan trong
không gian giả mêtric nón.

Trong chương này ta luôn giả thiết (X, d) là không gian giả mêtric nón
(nói gọn là X) với giả thiết mêtric nón d nhận giá trị trong nón P của
không gian Banach thực E với intP = ∅ và ≤ cùng  là hai quan hệ trên
E được xác định bởi P .
2.1 Sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ
cyclic co kiểu Banach trong không gian giả mêtric
nón
Mục này chứng minh một số định lý về sự tồn tại điểm giả bất động của
các ánh xạ thoả mãn điều kiện co cyclic.
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử X là không gian giả mêtric nón và f : X → X.
1) ánh xạ f được gọi là co kiểu Banach (nói gọn là co) với hằng số co α
nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho
d(fx, fy) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ X,
ở đây, ta viết fx thay cho f(x) với mọi x ∈ X.
2) ánh xạ f được gọi là co suy rộng nếu tồn tại hàm g : P → [0, 1] sao cho
d(fx, fy) ≤ g(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈ X.
20
3) Điểm x ∈ X được gọi là điểm giả bất động của f nếu d(x, f x) = 0.
2.1.2 Nhận xét. 1) Nếu f là ánh xạ co thì f liên tục.
2) ánh xạ co là trường hợp đặc biệt của ánh xạ co suy rộng khi lấy g(t) =
α ∈ [0, 1) với mọi t ∈ P.
3) Nếu X là không gian mêtric nón thì điểm giả bất động chính là điểm
bất động. Nói cách khác, điểm bất động là trường hợp đặc biệt của điểm
giả bất động.
2.1.3 Định nghĩa. ([8]) Cho A
1
, A
2
, , A
p

, A
p+1
= A
1
là các tập khác
rỗng của không gian giả mêtric nón X và ánh xạ T :

p
i=1
A
i
→

p
i=1
A
i
.
ánh xạ T được gọi là p-cyclic (nói gọn là cyclic) nếu T (A
i
) ⊂ A
i+1
với mọi
i = 1, 2, , p.
Chú ý. Từ định nghĩa này suy ra nếu T là ánh xạ p−cyclic và T có điểm
giả bất động x thì x ∈

p
i=1
A

i
.
2.1.4 Định lý. Giả sử X là không gian giả mêtric nón đầy đủ,A
1
, A
2
, , A
p
là các tập con đóng khác rỗng trong X, A
p+1
= A
1
và f :

p
i=1
A
i
→

p
i=1
A
i
là ánh xạ cyclic sao cho tồn tại hàm g : P → [0, 1) thỏa mãn
d(fx, fy) ≤ g(d(x, y))d(x, y) (2.1)
với mọi x ∈ A
i
, y ∈ A
i+1

với mọi i = 1, 2, , p.
Khi đó, nếu g là hàm không giảm, tức là từ t
1
≤ t
2
suy ra g(t
1
) ≤ g(t
2
)
thì f có điểm giả bất động. Hơn nữa, nếu x, y là hai điểm giả bất động của
f thì d(x, y) = 0.
Chứng minh. Lấy x
0
∈ A
i
với i nào đó thuộc 1, 2, , p và đặt x
n
= f(x
n−1
)
với mọi n = 1, 2, Khi đó, với mỗi n = 1, 2, ta có
d(x
n
, x
n+1
) = d(fx
n−1
, f x
n

)
≤ g(d(x
n−1
, x
n
))d(x
n−1
, x
n
) ≤ d(x
n−1
, x
n
)
21
Vì g không giảm nên với mỗi n = 1, 2 ta có
gd(x
n
, x
n+1
) ≤ gd(x
n−1
, x
n
).
Do đó, với mỗi n = 1, 2 ta có
d(x
n
, x
n+1

) ≤ g(d(x
n−1
, x
n
))d(x
n−1
, x
n
)
≤ g(d(x
n−1
, x
n
))g(d(x
n−2
, x
n−1
))d(x
n−2
, x
n−1
)
≤ [g(d(x
n−2
, x
n−1
))]
2
(d(x
n−2

, x
n−1
))
≤ ≤ [g(d(x
0
, x
1
))]
n
d(x
0
, x
1
).
Từ đó và sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác suy ra rằng với mỗi
n = 1, 2 và với mọi p = 0, 1 ta có
d(x
n
, x
n+p
) ≤ d(x
n
, x
n+1
) + d(x
n+1
, x
n+2
) + + d(x
n+p−1

, x
n+p
)
≤ [g(d(x
0
, x
1
))]
n
+ [g(d(x
0
, x
1
))]
n+1
+ + [g(d(x
0
, x
1
))]
n+p−1
d(x
0
, x
1
)
= [g(d(x
0
, x
1

))]
n
1 − [g(d(x
0
, x
1
))]
p
1 − g(d(x
0
, x
1
))
d(x
0
, x
1
)
≤
[g(d(x
0
, x
1
))]
n
1 − [g(d(x
0
, x
1
))]

d(x
0
, x
1
).
Từ 0 < g(d(x
0
, x
1
)) < 1 suy ra
[g(d(x
0
, x
1
))]
n
1 − [g(d(x
0
, x
1
))]
d(x
0
, x
1
) → 0 khi n →
∞. Do đó, với mỗi c ∈ intP tồn tại n
c
∈ N sao cho với mọi n ≥ n
c

ta có
[g(d(x
0
, x
1
))]
n
1 − [g(d(x
0
, x
1
))]
d(x
0
, x
1
)  c.
Kết hợp với bất dẳng thức trên suy ra
d(x
n
, x
n+p
)  c ∀n ≥ n
c
, ∀p = 0, 1
Từ đó suy ra {x
n
} là dãy Cauchy.Vì X là không gian đầy đủ nên tồn
tại x ∈ X sao cho x
n

→ x.Từ cách xây dựng dãy {x
n
} suy ra rằng với
mỗi i = 1, 2, , p tồn tại dãy con x
i
m
của dãy x
n
sao cho x
i
m
⊂ A
i
. Do đó
22
x
i
→ x. Kết hợp với A
i
đóng trong X suy ra x ∈ A
i
. Do đó x ∈

p
i=1
A
i
.
Vì x
n

→ x nên với mọi t ∈ intP tồn tại n
t
∈ N sao cho
d(x
n
, x)  t, ∀n ≥ n
t
. (2.2)
Vì x ∈

p
i=1
A
i
nên sử dụng điều kiện (2.1), kết hợp với g(t) ∈ [0, 1) với
mọi t ∈ P và (2.2) ta có
d(x, f x) ≤ d(x, x
n+1
) + d(x
n+1
, f x)
= d(x, x
n+1
) + d(fx
n
, f x)
≤ d(x, x
n+1
) + g(d(x, x
n

))d(x, x
n
)  t ∀n ≥ n
t
.
Từ đó suy ra d(x, fx) = 0, tức x là điểm giả bất động của f.
Bây giờ, giả sử y cũng là điểm giả bất động của f. Khi đó, x và y ∈

p
i=1
A
i
, fx ∈ F
x
và fy ∈ F
y
. Do đó theo Mệnh đề 1.3.10.c và điều kiện
(2.1) ta có
d(x, y) = d(f x, f y) ≤ g(d(x, y))d(x, y)
Kết hợp với g(d(x, y)) ∈ [0, 1) suy ra d(x, y) = 0.
2.1.5 Hệ quả. Giả sử A
1
, A
2
, , A
p
là các tập con đóng khác rỗng trong
không gian giả mêtric nón đầy đủ X và f :

p

i=1
A
i
→

p
i=1
A
i
là các ánh
xạ cyclic. Khi đó, nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho
d(fx, fy) ≤ αd(x, y) (2.3)
với mọi x ∈ A
i
, y ∈ A
i+1
, ∀i = 1, 2, , p trong đó A
i+1
= A
1
thì f có
điểm giả bất động. Hơn nữa, nếu x và y là hai điểm giả bất động của f thì
d(x, y) = 0.
Chứng minh. Ta xác định hàm g : P → [0, 1) bởi
g(t) = α, ∀t ∈ P
23
Khi đó, từ (2.3) suy ra điều kiện (2.1) được thỏa mãn. Do đó, các điều kiện
của Định lí 2.1.4 đều được thỏa mãn. Như vậy đ.p.c.m được suy ra từ Định
lí 2.1.4
2.1.6 Hệ quả. Giả sử X là không gian mêtric nón đầy đủ. Khi đó, nếu

f : X → X là ánh xạ co kiểu Banach thì f có điểm giả bất động. Hơn nữa,
nếu x và y là hai điểm giả bất động của f thì d(x, y) = 0.
Chứng minh. Hệ quả 2.1.6 là trường hợp đặc biệt của Hệ quả 2.1.5 khi lấy
p = 1 và A
1
= X.
2.2 Sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ
cyclic co kiểu Kannan trong không gian giả mêtric
nón
Mục này đưa ra một số định lý về sự tồn tại điểm giả bất động của các
ánh xạ cyclic thoả mãn điều kiện co kiểu Kannan trong không gian giả
mêtric nón. Các định lí này là sự mở rộng của một số kết quả về sự tồn tại
điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric nón đã được
trình bày trong các tài liệu tham khảo [5], [7], [8], [9] và [10].
2.2.1 Định lý. Cho {A
i
}
p
i=1
là họ các tập con đóng, khác rỗng của không
gian giả mêtric nón đầy đủ X và T :

p
i=1
A
i
→

p
i=1

A
i
, là ánh xạ cyclic
tức là
T (A
i
) ⊂ A
i+1
i = 1, 2, p, (2.4)
trong đó A
p+1
= A
1
.
Khi đó, nếu tồn tại a ∈ [0,
1
2
) sao cho
d(T x, T y) ≤ a[d(x, T x) + d(y, T y)], (2.5)
với mọi x ∈ A
i
, y ∈ A
i+1
, 1 ≤ i ≤ p.
thì
24