điểm bất động của ánh xạ không giãn và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH





QUÁCH THỊ LỆ HẰNG





ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN VÀ ỨNG DỤNG




Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số:
60 46 01



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY






Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
2

MỤC LỤC
Contents
1TMỤC LỤC1T 2
1TMỞ ĐẦU1T 3
1TChương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1T 4
1T1.1.Định nghĩa1T 4
1T1.2.Định lí1T 4
1T1.3.Định lí1T 5
1T1.4.Định nghĩa1T 6
1T1.5.Định nghĩa1T 6
1T1.6.Định lí1T 6
1T1.7.Định nghĩa1T 7
1T1.8.Định nghĩa1T 7
1T1.9.Định nghĩa1T 7
1T1.10.Định lí (Nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co)1T 7
1T1.11.Định lí1T 9
1T1.12.Định lí ( bất đẳng thức Schwarz )1T 10
1T1.13.Định lí ( Đẳng thức hình bình hành )1T 10

1T1.14.Định lí ( Riesz )1T 10
1T1.15.Định lí1T 11
1T1.16.Hệ quả:( suy ra trực tiếp từ định lí 1.1.15)1T 12
1T1.17.Định nghĩa:1T 13
1T1.18.Bổ đề:1T 13
1TChương 2: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT1T 16
1T2.1.Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert1T 16
1T2.2.Định lí egrodic phi tuyến của Ballion1T 17
1T2.3. Định lí điểm bất động cho nửa nhóm các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert1T
23
1T2.4.Dạng tổng quát của định lí Ergodic phi tuyến1T 29
1TChương 3: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH1T 35
1T3.1.Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach1T 35
1T3.2. Điểm bất động của họ ánh xạ không giãn1T 44
1TKẾT LUẬN1T 54
1TTài liệu tham khảo1T 55

3

MỞ ĐẦU
Định lí Banach về điểm bất động của ánh xạ co là định lí điểm bất động được tìm ra
sớm nhất và cho đến nay vẫn là định lí cơ bản nhất trong lí thuyết điểm bất động. Định lí này
không chỉ cho biết sự tồn tại điểm bất động mà còn chỉ ra một dãy lập đơn giản hội tụ về nó.
Vì vậy, định lí Banach tìm được những ứng dụng đa dạng trong nghiên cứu định tính và giải
số cho nhiều lớp phương trình xuất phát từ nhiều lĩnh vực khoa học.
Do sự quan trọng của ánh xạ co, lớp ánh xạ này đã được mở rộng theo nhiều hướng
khác nhau. Lớp ánh xạ không giãn là một mở rộng tự nhiên và quan trọng nhất của lớp ánh xạ
co. Các nghiên cứu đầu tiên về ánh xạ không giãn được bắt đầu từ năm 1965 trong các công
trình Browder, Gôhde, Kirk và được tiếp tục cho đến nay. Nhiều định lí về tồn tại điểm bất
động của lớp ánh xạ không giãn đã được tìm ra, đầu tiên là xét trong không gian Hilbert, sau

đó là không gian Banach có tính chất hình học tốt như lồi đều , có chuẩn khả vi… Bên cạnh
đó, các dãy lặp đa dạng hội tụ về điểm bất động đã được xây dựng khá hoàn chỉnh. Nó tìm
được những ứng dụng đa dạng và sâu sắc trong lý thuyết phương tình vi phân, tích phân,
trong giải tích số, lý thuyết xác suất thống kê,…
Luận văn giới thiệu những kết quả lí thuyết ban đầu về tồn tại điểm bất động của ánh
xạ không giãn, điểm bất động chung của họ các ánh xạ không giãn, về dãy lặp hội tụ về điểm
bất động của ánh xạ không giãn…. Luận văn gồm 3 chương:
UChương 1U: Hệ thống lại các kết quả quan trọng trong không gian Hilbert, Banach có sử dụng
trong các chứng minh của chương 2,3;
UChương 2U: Trình bày các kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian
Hilbert;
UChương 3U: Trình bày các kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian
Banach lồi đều, có chuẩn khả vi.
4

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.Định nghĩa
Cho không gian tôpô
X
, hàm
(
]
:,fX→ −∞ ∞
được gọi là nửa liên tục dưới
nếu cho mọi
a∈¡
, tập hợp
( )
{ }
:x Xfx a∈≤

đóng theo tôpô trên
X
.
1.2.Định lí
Cho không gian tôpô
X
, với số thực không âm
α
, nếu các hàm
(
]
( )
,, : , ,
i
fgf X i I→ −∞ ∞ ∈
là các hàm nửa liên tục dưới trên X, thì các hàm
( )
; ; sup
i
iI
f g f fx
α
∈
+
cũng là hàm nửa liên tục dưới trên X.
Chứng minh
(i). Chứng minh hàm
fg+
là hàm nửa liên tục dưới trên
X

Với mọi
,ac∈¡
, ta có
( )
{ }
:x Xfx c∈>
là tập mở trong
X

( )
{ }
:x Xgx a c∈ >−
là tập mở trong
X

Mà
( )( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }
: ::
c
G xX fgx a xXfx c xXgx ac
∈

= ∈ + > = ∈ > ∈ >−


¡
I
U

Suy ra
G
là tập mở trong
X
hay
fg+
là hàm nửa liên tục dưới trên
X

(ii). Chứng minh hàm
f
α
là hàm nửa liên tục dưới trên
X

Nếu
0
α
=
thì ta được
f
α
là hàm nửa liên tục dưới trên
X

Nếu

0
α
>
, với mọi
a∈¡
, ta có
( )
:
a
x Xfx
c

∈≤


là tập đóng trong X
Mà
( )( )
{ }
( )
::
a
G xX fx a xXfx
c
α

=∈ ≤=∈ ≤



Suy ra
G
là tập đóng trong
X
hay
f
α
là hàm nửa liên tục dưới trên
X

5

(iii). Chứng minh hàm
( )
sup
i
iI
fx
∈
là hàm nửa liên tục dưới trên
X

Với mọi
,a iI∈∈¡
ta có
( )
{ }
:
i
x Xfx a∈≤

là tập đóng trong
X

Mà
( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }
: :sup :
i
iI
iI
G xXgx a xX fx a xXfx a
∈
∈
=∈ ≤=∈ ≤= ∈ ≤
I

Suy ra
G
là tập đóng trong
X
hay
( )
sup
i
iI
fx

∈
là hàm nửa liên tục dưới trên
X
. ▄
1.3.Định lí
Cho X là không gian compact, ánh xạ
(
]
:,fX→ −∞ ∞
là hàm nửa liên tục
dưới trên X. Khi đó, tồn tại
o
xX∈
sao cho
( )
( )
{ }
inf :
o
fx fx x X= ∈

Chứng minh
Với mọi
a∈¡
, đặt
( )
{ }
:
a
G x Xfx a=∈>

, ta được
a
G
là tập mở và
a
a
XG
∈
= ∪
¡

do
X
compact nên tồn tại
{ }
12
; ; ;
n
aa a
GG G
con
{ }
:
a
Ga∈¡
sao cho
1
i
n
a

i
XG
=
= ∪

đặt
{ }
12
min ; ; ;
on
a aa a=
ta có
( )
o
fx a>
với mọi
xX∈

do vậy, tồn tại
( )
{ }
inf :b fx x X= ∈

Giả sử,
( )
fx b>
với mọi
xX∈
, khi đó
( )

1
1
:
n
X x Xfx b
n
∞
=

=∪ ∈ >+



do
X
compact nên tồn tại
{ }
*
12
; ; ;
m
nn n ⊂ ¥
sao cho
( )
1
1
:
m
i
i

X x Xfx b
n
=

=∪ ∈ >+



đặt
12
11 1
' min ; ; ;
m
b bb b
nn n

= ++ +


, ta có
6

( )
'fx b>
với mọi
xX∈

suy ra
( )
{ }

inf : 'b fx x X b b= ∈ ≥>
(mâu thuẩn)
do vậy, tồn tại
o
xX∈
sao cho
( )
( )
{ }
inf :
o
fx fx x X= ∈
▄
1.4.Định nghĩa
Tập
C
là tập con lồi của không gian tuyến tính
H
nếu
C
không rỗng và khi
,xy C∈
thì phần tử
( ) ( )
1tx t y t x y y C+− = − +∈
cho mọi
t
thỏa
01t≤≤

1.5.Định nghĩa
Cho không gian tuyến tính thực (phức)
H
và
X
là tập con lồi của
H
. Hàm
(
]
:,fX→ −∞ ∞
được gọi là lồi ngặt trên
X
nếu cho mọi
,xy X∈
, ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
11f tx t y t f x t f y+− < +−
với mọi
( )
0,1t ∈
.
1.6.Định lí
Cho X là tập con lồi của không gian tuyến tính E,
{ }
:fI
α
α

∈
là họ các hàm
lồi ngặt xác định từ X vào
(
]
,−∞ ∞
. Khi đó, hàm g cho bởi
( ) ( )
sup
I
gx f x
α
α
∈
=
với mọi
xX∈

là hàm lồi ngặt trên X.
Chứng minh
Cho mọi
( )
12
; , ; 0,1I xx X t
α
∈ ∈∈
ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )

1 21 2
11f tx t x tf x t f x
α αα
+− < +−

Do đó
7

( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
12 12
1 21 2
1 sup 1
sup 1 1
I
I
g tx t x f tx t x
tf x t f x tg x t g x
α
α
αα
α
∈
∈
+− = +−

< +− = +−

Điều này chứng tỏ g là hàm lồi ngặt trên X. ▄
1.7.Định nghĩa
Không gian tuyến tính định chuẩn thực (phức)
H
được gọi là không gian
Banach nếu
H
là một không gian đầy đủ.
1.8.Định nghĩa
Không gian Banach thực (phức)
H
được gọi là không gian Hilbert nếu
chuẩn của không gian này sinh ra từ tích vô hướng, nghĩa là
( )
,x xx=
cho mọi
xH∈

UNhận xétU: Không gian Hilbert H là không gian phản xạ.
1.9.Định nghĩa
Cho C là tập con của không gian Banach E; ánh xạ
:TC E→
thỏa mãn
Tx Ty r x y−≤−
với mọi
,xy C∈

Nếu

01r≤<
thì ánh xạ
:TC E→
được gọi là ánh xạ co
Nếu
1r =
thì ánh xạ
:TC E→
được gọi là ánh xạ không giãn.
1.10.Định lí (Nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co)
Cho không gian Banach
H
, nếu ánh xạ
:fH H→
là ánh xạ co thì ánh xạ
:fH H→
có duy nhất điểm bất động
o
xH∈
, nghĩa là
( )
oo
fx x=
.
Chứng minh
Với mọi
0
ε
>
, tồn tại

0
δ
>
thỏa
( )
0r
r
ε
δ
= ≠
, do giả thuyết nên
8

( ) ( )
xy fx fy rxy
δε
−<⇒ − ≤ −<
với mọi
,xy X∈

suy ra,
:fH H→
là hàm liên tục
Với bất kì
xX∈
, đặt
( )
( ) ( )
( )
( )

1
2
21
1

n
nn
x fx
x fx f x
x fx f x
−
=
= =
= =

Khi đó
( ) ( )
( ) ( )
11
1 12
2
12
1

nn n n
nn n n
nn
n
x x fx fx
rx x rfx fx

rx x
rx x
+−
− −−
−−
−= −
≤−= −
≤−
≤−

Với bất kì
,;mn m n∈>¥
ta có
( )
1 12 1
12
11 1
12
1
1



1
mn mm m m n n
mm n
mm n
n
xx xx x x x x
r xxr xx rxx

r r rxx
r
xx
r
− −− +
−−
−−
− ≤ − + − ++ −
≤ −+ −++ −
= + ++ −
≤−
−

Theo giả thuyết,
01r≤<
, nên
{ }
n
x
là dãy Cauchy trong không gian Banach
X
,
vì vậy, có
o
xX∈
sao cho
lim
on
n
xx

→∞
=

Vì
:fH H→
là hàm liên tục nên
( )
( )
( )
1
lim lim lim
onnno
nn n
fx f x fx x x
+
→∞ →∞ →∞
= = = =

điều này chứng tỏ
:fH H→
có điểm bất động
o
xH∈

Giả sử,
:fH H→
có điểm bất động
o
yH∈
, ta có

( ) ( )
oo o o oo
xy fx fy rxy−= − ≤ −

vì
01r≤<
nên
0
oo
xy−=
hay
oo
xy=

hay
f
có duy nhất điểm bất động
o
xH∈
▄
9

1.11.Định lí
Cho không gian Banach phản xạ
H
, tập
X
là tập con lồi, đóng của H. Với
bất kì hàm
(

]
:,fX→ −∞ ∞
lồi, nửa liên tục dưới trên
X
, giả sử
( )
n
fx
→∞
khi
n
x →∞

Khi đó, tồn tại
( )
0
x Df∈
sao cho
( )
( )
{ }
0
inf :fx fx x X= ∈

Chứng minh
Với mọi
a∈¡
, xét tập
( )
{ }

:
a
C x Xfx a=∈≤

do
(
]
:,fX→ −∞ ∞
lồi, nửa liên tục dưới trên
X
nên
a
C
là tập lồi, đóng mạnh.
với
\
oa
x XC∈
thì
{ }
o
x
và
a
C
thỏa định lí tách nên tồn tại
*
,X
ϕα
∈∈¡

sao cho
( )
( )
re re
o
xx
ϕ αϕ
<<
với mọi
a
xC∈

khi đó,
o
x
thuộc tập mở yếu
( )
{ }
:re \
a
x X x XC
ϕα
∈ <⊂
hay tập
\
a
XC

mở yếu. Điều này tương đương với
a

C
là tập lồi, đóng yếu.
nghĩa là hàm
(
]
:,fX→ −∞ ∞
lồi, nửa liên tục dưới yếu trên
X
(1.1.11a)
Cố định
cX∈
sao cho
( )
fc b= <∞
, xét tập
( )
{ }
:C x Xfx b=∈≤
.
theo chứng minh trên, tập
( )
{ }
:C x Xfx b=∈≤
đóng yếu
mặt khác, tập
( )
{ }
:C x Xfx b=∈≤
bị chặn, vì nếu không thì tồn tại dãy không
bị chặn

{ }
n
xC⊂
, kéo do đó, có dãy con
{ }
{ }
i
nn
xx⊂
sao cho
lim
i
n
i
x
→∞
= ∞
.
mà theo giả thuyết thì
(
)
lim
i
n
i
fx
→∞
= ∞
, mâu thuẩn với
( )

lim
i
n
i
fx b
→∞
≤ <∞
.
Do
H
là không gian phản xạ, nên theo Kakutani thì
C
là tập compact yếu (1.1.11b)
Kết hợp (1.1.11a) (1.1.11b) và định lí (1.1.3), tồn tại
o
xC∈
sao cho
( )
( )
{ }
0
inf :fx fx x X= ∈

Với mọi
\x XC∈
thì
( )
( )
o
fx b fx>≥

, do đó
10

( )
( )
{ }
0
inf :fx fx x X= ∈
▄
1.12.Định lí ( bất đẳng thức Schwarz )
Cho không gian Hilbert H, với bất kì
,xy H∈
ta có
( )
,.xy x y≤

Chứng minh
Đặt
( )
22
; ,;A x B xy C y= = =

Với bất kì số thực
r∈¡
, số thực (phức)
α
thỏa
( )
1; ,yx B
αα

= =
ta có

( )
( ) ( )
22
2
; ,,xryx ry x r yx r xy ry
αα α α
− −=− − +
(1.1.12a)
Vế trái của (1.1.12a) là một số không âm nên ta được
( ) ( )
22
22
,, 2 0x r y x r x y r y A Br Cr
αα
− − + =−+≥

r∈¡
(1.1.12b)
Nếu
0C =
thì
0B =
nên ta có điều phải chứng minh
Nếu
0C >
thay
/r BC=

vào (1.1.12b) , ta được
( )
,.xy x y≤
. ▄
1.13.Định lí ( Đẳng thức hình bình hành )
Cho không gian Hilbert H, với bất kì
,xy H∈
ta có
2 222
22xy xy x y+ +− = +

Chứng minh
Với bất kì
,xy H∈
, ta có
( ) ( ) ( )
22 2
, ,,xy xyxy x xy yx y
+=++=+++

( )
( ) ( )
22 2
, ,,xy xyxy x xy yx y−=−−=−−+

Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức hình bình hành. ▄
1.14.Định lí ( Riesz )
Cho không gian Hilbert H, với bất kì hàm
( )
:fH→ ¡£

tuyến tính liên
tục luôn tồn tại duy nhất vectơ
yH∈
sao cho
11

( ) ( )
,f x xy=
cho mọi
xH∈

Chứng minh
Nếu
( )
0,fx x H= ∀∈
thì
( ) ( )
,0fx x=

Giả sử
( )
:0x Hfx∃∈ ≠
, đặt
( )
{ }
:0M x Hfx=∈=
. Do tính tuyến tính, liên
tục của
f
nên

M
là không gian con đóng của
H
.
Với
\xHM∈
, thì
0x Px−≠
và
x Px M
⊥
−∈
, chọn
x Px
z
x Px
−
=
−
, ta được
, 0, 1zM z z
⊥
∈≠=

Đặt
( ) ( )
u fxz fzx= −
thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0fu fxfz fzfx=−=

nên
uM∈
.
Suy ra
( ) ( )( ) ( )( )
, , ,0uz fx zz fz xz=−=

Mặt khác
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )
2
, ,,fx fxz fx zz fz xz xfzz= = = =

Như vậy, tồn tại
( )
y f zz=
để cho
( ) ( )
,f x xy=
(1.1.14a)
Nếu có
( ) ( )
, ,'xy xy=
cho mọi
xH∈
thì ta được
( )
, '0xy y−=
cho mọi

xH∈

Do đó,
'yy=
. Hay phần tử
yH∈
xác định như (1.1.14a) là duy nhất. ▄
1.15.Định lí
Cho C là tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H; dãy
{ }
n
x
bị chặn
trong H. Xét hàm số
:gC→ ¡
cho bởi:
( )
limsup
n
n
gz x z
→∞
= −
với mọi
zC∈

Khi đó, tồn tại duy nhất
o
xC∈
sao cho

( )
( )
{ }
min :
o
gx gz z C= ∈

Chứng minh
Ta thấy hàm số g thỏa mãn
 g là hàm nửa liên tục dưới trên C (theo 1.1.2)
 g là hàm lồi ngặt trên C (theo 1.1.6)
12


( )
khi
nn
gz z→∞ →∞

áp dụng định lí (1.1.11), tồn tại
o
xC∈
sao cho

( )
( )
{ }
min :
o
gx gz z C= ∈

(1.1.15d)
Ta cần chứng minh
o
xC∈
xác định như trên là duy nhất
Thật vậy, đặt
( )
( )
{ }
limsup min :
o no
n
r gx x x gz z C
→∞
= = −= ∈

Nếu
0r =
thì
0
no
xx−→
do đó
no
xx→
. Vì giới hạn của dãy trong không
gian Hilbert là duy nhất nên
o
xC∈
tồn tại duy nhất.

Nếu
0r >
, giả sử tồn tại
yC∈
sao cho
( )
r gy=
và
o
xy≠

đặt
o
xy
ε
= −
, chọn
0
α
>
thỏa
( )
2
2
2
4
rr
ε
α
+ −<

do
limsup limsup
no n
nn
r xx xy
→∞ →∞
= −= −
nên tồn tại
o
n
sao cho

;
no n
xx r xyr
αα
− <+ − <+
với mọi
o
nn≥

với mọi
o
nn≥
, từ đẳng thức:
2
22 2
2 24
2

o
no n n o
xy
xx xy x xy
+
− + −= − +−

ta có:
( )
2
2
2
44
2
o
no
xy
x xy r
α
+
− +−< +

Suy ra:
( )
2 1/2
2
2
22 4
oo
n

xy xy
gx r r
ε
α
++
  
≤− ≤+ − <
  
  
(1.1.15e)
Có mâu thuẩn giữa (1.1.15d) và (1.1.15e). Do đó, y không tồn tại.
Hay
o
x
xác định duy nhất. ▄
1.16.Hệ quả:( suy ra trực tiếp từ định lí 1.1.15)
Cho C là tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H. Với
xH∈
, tồn tại
duy nhất
o
xC∈
sao cho
( )
;
o
x x d xC−=

13

1.17.Định nghĩa:
Cho C là tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H; ánh xạ
:PH C→
. Do
hệ quả 1.1.16, cho mọi
xH∈
tồn tại duy nhất phần tử
Px C∈
sao cho
( )
;x Px d x C−=

Ánh xạ P xác định như vậy được gọi là phép chiếu mêtric trên C

1.18.Bổ đề:
Cho C là tập con lồi của không gian Hilbert H; với
xH∈
,
yC∈
. Các
mệnh đề sau tương đương
(a)
( )
;x y d xC−=

(b)
( )
;0x yy z− −≥
với mọi
zC∈

Chứng minh
( ) ( )
:ab⇒
Với mọi
,0 1zC
λ
∈ <<
ta có:
( ) ( )
2
2
1xy x y z xy yz
λλ λ
− ≤ −− − = −+ −

( )
( )
222
2
1 2;xy x y z xy xyyz yz
λλ λ λ
− ≤ −− − = − + − − + −

Suy ra:
( )
2
2;xyyz yz
λ
− − ≥− −

. Khi
0
λ
→
ta được
( )
;0x yy z− −≥

( ) ( )
:ba⇒
Với mọi
zC∈
, ta có:
( )
;0x yy z− −≥

suy ra:
( ) ( )
; ;0xyyx xyxz− −+− −≥

hay:
( )
2
;xyxz xy− −≥−

kéo theo:
xy xz−≤−

Do đó:
( )

;x y d xC−=
▄
1.1.1 UĐịnh lí:
Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H; ánh xạ
:PH C→
là phép chiếu mêtric trên C. Khi đó
14

(i)
2
;P P Px Py x y= − ≤−
với mọi
,xy H∈

(ii)
( )
;
n o n o oo
x x Px y Px y→ →⇒ =

Chứng minh
(i) Với mọi
xH∈
thì
Px C∈
nên
( )
P Px Px=
. Do đó
2

PP=

Với mọi
,xy H∈
, theo bổ đề (1.1.18), phần
( ) ( )
ab⇒
, ta có
( ) ( )
; ;0x Px Px Py y Py Py Px− − +− − ≥

suy ra
( )
( )
;0x y Px Py Px Py−− − − ≥

kéo theo
( )
2
;.
Px Py x y Px Py x y Px Py− ≤− − ≤− −

do đó
Px Py x y− ≤−

(ii) Với mọi
zC∈
, theo bổ đề (1.1.18), phần
( ) ( )
ab⇒

ta có
( )
;0
n nn
x Px Px z− −≥

do
;
non o
x x Px y→→
nên
( )
;0
o oo
x yy z− −≥

Theo 1.1.18, phần
( ) ( )
ba⇒
thì
( )
; hay
oo o o o
x y d x C y Px−= =
▄
1.1.2 UĐịnh lí:
Cho
{ }
n
x

trong không gian Hilbert H;
no
xx→
. Nếu
o
xy≠
thì
liminf liminf
no n
nn
xx xy
→∞ →∞
−< −

Chứng minh
Theo đẳng thức hình bình hành, ta có

( )
2
2 22
22
no o n no o
xx xy xy xx xy− + − = − + −− −

( )
2 222 2
2 2 2;
no o n o no noo
xx xy xy xy xx xxxy− + −=−+−+− − − −

( )
( )( )
2 22
2;
o noo n no
n no n no
xy xxxy xy xx
xy xx xy xx
−+ − −=−−−
= −− − −+ −

Do
no
xx→
nên có số nguyên dương
o
n
sao cho với mọi
o
nn≥
thì
22
0
n no
xy xx−−− >

Đặt
{ }
sup
n no

n
M xy xx
∈
= −+ −
¥
, ta có
15

( )
( )
2
2;
o noo n no
xy xxxyMxy xx− + − −≤ −− −
với mọi
o
nn≥

Vì vậy
( )
2
o n no
x y Mx y x x− ≤ −− −
với mọi
o
nn≥

Kéo theo
2
liminf liminf

o n no
nn
xyMxyMxx
→∞ →∞
− ≤ −− −

Vì
o
xy≠
dẫn đến
0
o
xy−>
, ta được
liminf liminf
no n
nn
xx xy
→∞ →∞
−< −
▄
1.1.3



16

Chương 2: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN
HILBERT
2.1.Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

2.1.1 UĐịnh lí U(Điểm bất động ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert)
Cho C là tập con lồi, đóng, không rỗng của không gian Hilbert H; ánh xạ
:TC C→

không giãn. Các mệnh đề sau tương đương
(a) Tập F(T) các điểm bất động của ánh xạ T không rỗng
(b) Với mọi
xC∈
, dãy
{ }
n
Tx
bị chặn.
Hơn nữa, trong trường hợp này F(T) là tập lồi, đóng.
Chứng minh
( ) ( )
:ab⇒
Do F(T) không rỗng nên tồn tại
()u FT∈
.
Khi đó
u Tu=
kéo theo
{ }
{ }
n
Tu u=
. Do đó, ta có (b)
( ) ( )
:ba⇒

Với mọi
xC∈
, bất kì
yC∈
, do T không giãn nên
22 22
11
0
kk k k
T x y T x Ty T x Ty Ty y T x Ty
++
≤ −− − = −+−− −

Kéo theo
( )
22
2
1
0 2;
kk k
T x Ty T x Ty Ty y T x Ty Ty y
+
≤−− −+−+ − −

Đặt
1
0
1
n
k

n
k
Sx Tx
n
−
=
=
∑
, cộng theo vế bất đẳng thức trên, ta được

( )
2
22
11
0 2;
n
n
x Ty S x Ty Ty y Ty y T x Ty
nn
≤ − + − −+ − − −

Do
{ }
n
Tx
bị chặn nên
{ }
n
Sx
bị chặn. Lại có

{ }
n
Sx
là dãy trong C mà C là tập
lồi đóng của không gian Hilbert H nên
{ }
n
Sx
là tập con compact yếu. Do đó,
{ }
n
Sx
có dãy con
{ }
i
n
Sx
hội tụ yếu về phần tử
pC∈
. Vì vậy, ta có
( )
2
02 ;p Ty Ty y Ty y≤ − −+ −

Chọn
yp=
ta được
( )
2
02 ;p Tp Tp p Tp p≤ − −+ −

17

kéo theo
2
0Tp p−≤
. Hay
hay ( ) hay ( )Tp p p FT FT= ∈ ≠∅

Tiếp theo, ta chứng minh F(T) là tập lồi, đóng
Rõ ràng, F(T) là tập đóng
Với
, ( ); 0 1xy FT
λ
∈ ≤≤
, đặt
( )
1zx y
λλ
= +−
. Giả sử
Tz z≠

Theo đẳng thức hình bình hành, ta có

2
2 2 22
1 11
24 22
z Tz

x zTz zx Tzx zx
+
−+ − = −+ −≤−

Do T là ánh xạ không giãn nên

2
2 22
1
24
z Tz
x zx zTz zx
+
− ≤− − − <−
(2.1.1a)
Tương tự, ta cũng có

2
2 22
1
24
z Tz
y zy zTz zy
+
− ≤− − − <−
(2.1.1b)
Từ (2.1.1a) (2.1.1b) suy ra

22
z Tz z Tz

xy x y zx zy xy
++
−≤ −+ −<−+−≤−

Điều này vô lí, do vậy
hay ( )Tz z z F T= ∈
. Hay F(T) là tập lồi ▄
2.1.2
UHệ quả:U ( suy ra trực tiếp từ 1Tđịnh lí1T 2.1.1 )
Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H; ánh xạ
:TC C→
không giãn. Khi đó, T có một điểm bất động trong C.
2.2.Định lí egrodic phi tuyến của Ballion
2.2.1 UĐịnh lí U(Định lí hội tụ của Browder)
Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H; ánh xạ
:TC C→
không giãn, điểm
o
x
tùy ý trong C; ánh xạ
:
n
TC C→
xác định bởi
11
1
no
T x Tx x
nn


=−+


với mọi
; 1,2,3 x Cn∈=

Khi đó, ta có:
(i)
:
n
TC C→

có duy nhất điểm bất động
n
uC∈

18

(ii) Dãy
{ }
n
u
hội tụ mạnh đến
()
o
Px F T∈
,
( )
:PC FT→
là phép chiếu

mêtric trên F(T).
Chứng minh
(i) Do T là ánh xạ không giãn, với
, ; 1,2,3 xy C n∈=

11
11
nn
T x T y Tx Ty x y
nn
 
− =− − ≤− −
 
 

Suy ra,
:
n
TC C→
là ánh xạ co. Nên
n
T
có duy nhất điểm bất động
n
uC∈

(ii) Để chứng minh
no
u Px→
, ta cần chứng minh: Nếu

{ }
i
n
u
là dãy con bất kì của
dãy
{ }
n
u
thì
{ }
i
n
u
có một dãy con hội tụ về
()
oo
u Px F T= ∈

Đặt
i
in
vu=
, do mọi
i
v
đều thuộc tập compact C, không mất tính tổng quát, giả sử
i
vv→
, do

( )
khi
0
ii
v Tv i− → →∞
, theo định lí 1.1.20 thì

liminf liminf liminf
i i iii
nn n
v v v Tv v Tv Tv v
→∞ →∞ →∞
−< − = − + −


liminf liminf
ii
nn
Tv Tv v v
→∞ →∞
< −≤ −

Điều này vô lí nên
Tv v=
. Tiếp theo, ta chứng minh
io o
v u Px→=

Với mọi i,
i

v
là điểm bất động của
i
n
T
nên ta có
( )
11 1 1 1
1 hay 1
i
i ni i o i i i o
ii i i i
v T v Tv x v Tv v x
nn n n n
 
= =− + +− − =
 
 

Mặt khác,
()
oo
u Px F T= ∈
nên
hay 0
oo oo
u Tu u Tu= −=
suy ra
( )
11 1

1
o oo o
ii i
u Tu u u
nn n

+− − =



Trừ từng vế hai đẳng thức trên, ta được
( ) ( ) ( )
111
1
io i o oo
ii i
v u Uv Uu x u
nnn

− +− − = −


với
UIT= −

Kéo theo
( ) ( ) ( )
111
;1 ; ;
ioio i oio ooio

ii i
vuvu UvUuvu xuvu
nnn

−−+− − −= −−



19

Vì T là ánh xạ không giãn nên
( )
;0
i oi o
Uv Uu v u− −≥
dẫn đến
( ) ( ) ( )
( )
2
11 1
; ;;
io ooio oo o ooi
ii i
v u x uv u x uv u x uv v
nn n
−≤ −−= −−+−−

Mà
oo
u Px=

nên
( ) ( ) ( )
; ; ;0
oo o oo o ooo
x u v u x Px v Px x Px Px v− − = − − =− − −≤

Khi đó, ta được
( )
2
;
i o o oi
v u x uv v− ≤− −

Theo trên,
i
vv→
nên
hay
io i o
v u v Px→→
▄
2.2.2 UBổ đề:U (vai trò chủ yếu trong chứng minh định lí ergodic phi tuyến)
Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ
:TC C→

không giãn. Giả sử, F(T) không rỗng, P là phép chiếu mêtric trên F(T).
Khi đó, với mọi
xC∈
thì dãy
{ }

n
PT x
hội tụ mạnh trong
( )
FT
.
Chứng minh
Với mọi
( )
;v Cu F T∈∈
thì
( ) ( )
; ;0v Pv Pv v v u v Pv Pv u−−+−=−−≥

Nên
( )
( )
22
; hay ;v Pv v Pv v u v Pv v Pv v u−≤−− −−≥−−−

Mà
( )
2 2 22
2;Pv u Pv v v u Pv v v u Pv v u v−= −+−= −+−− −−

Do đó
22 2
Pv u v u Pv v− ≤− − −
(2.2.2a)
Với mọi

; 1,2,3 x Cn∈=
, ta có
1 11nn n n nn n n
PTx Tx PT x Tx TPTx Tx PT x T x
− −−
−≤ −= −≤ −

Suy ra
{ }
nn
PTx Tx−
là dãy giãm (2.2.2b)
Mặt khác, do (2.2.2a) nên

nk n n nk nk nk
n n nk nk
PT x PT x PT x T x PT x T x
PT x T x PT x T x
+ + ++
++
−≤−− −
≤ −− −
(2.2.2c)
Từ (2.2.2b) (2.2.2c) suy ra
{ }
n
PT x
là dãy Cauchy trong
( )
FT

nên dãy

{ }
n
PT x
hội tụ mạnh trong
( )
FT
. ▄
20

2.2.3 UĐịnh lí U (Định lí ergodic phi tuyến của Ballion)
Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ
:TC C→

không giãn. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương:
(a)
( )
FT ≠∅

(b) Với mọi
xC∈
,
1
0
1
n
k
n
k

Sx Tx
n
−
=
=
∑
hội tụ yếu trong
( )
FT
. Trong trường
hợp này, nếu
n
S x Qx→
thì
( )
:QC FT→
là ánh xạ không giãn thỏa:

( )
( )
( )
{ }
2
khi 1,2,3
; 0,1,2 khi
nn
n
i QQ
ii QT T Q n
iii Qx co T x n x C

=
= =
∈= ∈

Chứng minh
( ) ( )
ab⇒
: Với mọi
xC∈
,
theo định lí (2.2.2), dãy
{ }
n
PT x
hội tụ mạnh đến
( )
p FT∈

{ }
n
Sx
là dãy bị chặn nên
{ }
n
Sx
có dãy con
{ }
i
n
Sx

hội tụ yếu về
vC∈

Để chứng minh
{ }
n
Sx
hội tụ yếu trong
( )
FT
ta cần chứng minh
pv=

Thật vậy: Với
( )
u FT∈
ta có
( )
;0
k kk
Tx PTxPTx u− −≥
nên
( ) ( )
;;
.
.
kk k kk
k kk
k
u pTx PTx PTx pTx PTx

PTx p Tx PTx
PT x p x Px
−−≤−−
≤− −
≤ −−

Do đó
11
00
11
;.
nn
kk
n
kk
u p S x PT x x Px PT x p
nn
−−
= =

− − ≤− −


∑∑

Suy ra
( )
;0u pv p− −≤
. Theo chứng minh (2.2.1), ta được
( )

v FT∈

Nếu chọn
uv=
thì
( )
;0vpvp− −≤
hay
pv=

( ) ( )
ba⇒
: Theo chứng minh của định lí (2.2.1) ta có
( )
FT ≠∅

Với
,xy C∈
thì
( )
;
nn nn
S x S y Qx Qy S x S y Qx Qy x y Qx Qy− − ≤ − − ≤− −

21

Mà
( )
2
lim ;

nn
n
S x S y Qx Qy Qx Qy
→∞
− −=−

nên
2
.Qx Qy Qx Qy x y− ≤− −

Hay
Qx Qy x y− ≤−
. Do đó Q là ánh xạ không giãn.
(i) Với mọi
xC∈
thì

( ) ( )
lim lim
nn
nn
Q Qx S Qx S x Qx
→∞ →∞
= = =
. Do đó,
2
QQ=

(ii) Với mọi
, 1,2,3 x Cn∈=

thì

( )
Qx F T∈
nên
TQx Qx=
hay
hay
n
TQQ TQQ= =

Mà
( )
1
n
nn
S Tx S x T x x
n
−= −
nên
QTx Qx=
hay

hay
n
QT Q QT Q= =

Do đó ta được
khi 1,2,3
nn

QT T Q n= =

(iii) Với mọi
, 1,2,3 x Cn∈=


lim
n
n
S x Qx
→∞
=
nên
{ }
; 0,1,2
n
Qx co T x n∈=
▄
2.2.4
UĐịnh lí U (sự hội tụ yếu của
{ }
n
Tx
với T là ánh xạ không giãn)
Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ
:TC C→

là ánh xạ không giãn. Với mọi
xC∈
, các mệnh đề sau tương đương:

(a)
{ }
n
Tx
hội tụ yếu
(b) Nếu
( )
FT ≠∅
và dãy con
{ }
i
n
Tx
của
{ }
n
Tx
hội tụ yếu về
yC∈
thì ta
được
( )
y FT∈

Chứng minh
( ) ( )
ab⇒
: Giả sử,
{ }
n

Tx
hội tụ yếu về
o
x
và
( )
o
x FT∉

Theo định lí 1.1.20, ta có

00
liminf liminf
nn
nn
Tx x Tx Tx
→∞ →∞
−< −
(2.2.4a)
Do T là ánh xạ không giãn, nên
22


1
00
liminf liminf
nn
nn
T x Tx T x x
−

→∞ →∞
−≤ −
(2.2.4b)
Do
1
00
liminf liminf
nn
nn
Txx Txx
−
→∞ →∞
−= −
(2.2.4c)
(2.2.4a) (2.2.4b) (2.2.4c) dẫn đến mâu thuẫn nên ta có (b)
( ) ( )
ba⇒
: Nếu
( )
FT ≠∅

Với mọi
xC∈
,
Theo 2.2.1,
{ }
n
Tx
bị chặn nên
{ }

n
Tx
có dãy con
{ }
i
n
Tx
hội tụ yếu về
yC∈
,
Theo 2.2.2,
{ }
n
PT x
hội tụ mạnh về
( )
z FT∈
, với P là phép chiếu lên
( )
FT
,
Theo định lí (1.1.19), ta được
Py z=
mà
( )
y FT∈
nên
Py y=
hay
yz=

.
Do đó, mọi dãy con
{ }
i
n
Tx
hội tụ yếu về
( )
z FT∈

Suy ra dãy
{ }
n
Tx
hội tụ yếu về
( )
z FT∈
▄
2.2.5 UBổ đề:
Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ
:TC C→
là
ánh xạ không giãn. Khi đó
(i)
UIT= −
đóng
(ii) Nếu
{ }
n
x

hội tụ yếu về
0
x
và
0n
Ux u→
thì
00
Ux u=
.
Chứng minh
Giả sử trái lại
00
Ux u≠
hay
o oo
x Tx u−≠
. Theo (1.1.20); T không giãn, ta có
( )
liminf liminf liminf
liminf liminf
nononoo
n nn
nnono no
nn
Tx Tx x x x u Tx
x Tx u Tx Tx Tx Tx
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞
−≤−<−+

< − −+ − = −

Điều vô lí này được suy ra từ giả thuyết
0nn n
Ux x Tx u=−→
▄
2.2.6 UĐịnh lí
Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ
:TC C→
là
ánh xạ không giãn. Giả sử
( )
FT ≠∅
. Nếu với
xC∈
ta có
( )
1
lim 0
nn
n
Tx T x
+
→∞
−=

23

thì dãy
{ }

n
Tx
hội tụ yếu về
( )
z FT
∈
.
Chứng minh
Với mọi
xC∈
, do
( )
FT ≠∅
, theo định lí (2.2.4) thì
{ }
n
Tx
bị chặn
Nên
{ }
n
Tx
có dãy con
{ }
i
n
Tx
hội tụ yếu về
yC∈

Theo giả thuyết,
( )
( )
1
lim lim 0
nn n
nn
Tx T x I TTx
+
→∞ →∞
−=− =

Theo 2.2.5, ta có
( ) ( )
0 hay hayI T y y Ty y F T−= = ∈

Theo 2.2.4, ta được
{ }
n
Tx
hội tụ yếu về
( )
z FT∈
▄
2.3. Định lí điểm bất động cho nửa nhóm các ánh xạ không giãn trong
không gian Hilbert
2.3.1 UĐịnh nghĩa
S là Usemitopological semigroupU nếu S là nửa nhóm với tôpô Hausdorff sao
cho với mọi
aS∈

ánh xạ
.s asa
và ánh xạ
.s saa
liên tục.
2.3.2 UĐịnh nghĩa
Cho
S
là thỏa định nghĩa 2.3.1,
( )
CS
là không gian Banach chứa tất cả các
hàm giá trị thực xác định, liên tục và bị chặn trên
S
. Trên
( )
CS
, ta xét chuẩn
( )
sup
sS
fs
∈
< +∞
.
Với bất kì
sS∈
,
( )
f CS∈

xác định
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
;
ss
lft fst rft fts= =
cho mọi
tS∈

U(a)U Hàm tuyến tính
( )
:CS
µ
→ ¡
được gọi là hàm trung bình nếu thỏa
( ) ( ) ( )
inf sup
sS
sS
fs f fs
µ
∈
∈
≤≤
cho mọi
( )
f CS∈

U (b)U Hàm tuyến tính
( )
:CS
µ
→ ¡
gọi là trung bình bất biến trái nếu thỏa
( ) ( ) ( )
inf sup
sS
sS
fs f fs
µ
∈
∈
≤≤
cho mọi
( )
f CS∈

24

( )
( )
s
lf f
µµ
=
cho mọi
( )
f CS∈

và
sS∈
.
U(c)U Hàm tuyến tính
( )
:CS
µ
→ ¡
gọi là trung bình bất biến phải nếu thỏa
( ) ( ) ( )
inf sup
sS
sS
fs f fs
µ
∈
∈
≤≤
cho mọi
( )
f CS∈

( )
( )
s
rf f
µµ
=
cho mọi
( )

f CS∈
và
sS∈
.
U (d)U Hàm
( )
:CS
µ
→ ¡
thỏa (b)(c) gọi là hàm trung bình bất biến.
2.3.3 UNhận xétU:
Cho S thỏa định nghĩa 2.3.1, C là tập con lồi đóng trong không gian Hilbert
H, xét hàm
:uS C→
là hàm liên tục và
( )
sup
sS
us
∈
< +∞

Cho mọi
yH∈
, xác định hàm
:S
φ
→ ¡
cho bởi
( ) ( )

( );t ut y
φ
=
với mọi
tS∈

Khi đó,
( )
CS
φ
∈
, với hàm trung bình
µ
xác định trên
( )
CS
, đặt
( ) ( )
( )
( )
( );
t
g y t ut y
µφ µ
= =
với mọi
yH∈

Ta được g là hàm tuyến tính trong H và

( )
( )
( )
( )
. sup .sup
tS tS
gy t y ut
µφ µ φ φ φ
∈∈
=≤== ≤

Theo định lí Riesz, tồn tại duy nhất
o
xH∈
sao cho
( )
( )
( )
( )
; hay ( ); ;
ot o
gy xy uty xy
µ
= =
với mọi
yH∈

2.3.4 Bổ đề
Cho hàm trung bình
µ

xác định trên
( )
CS
, phần tử
o
xH∈
thỏa mãn
( )
( )
( ); ;
to
ut y x y
µ
=
cho mọi
yH∈

Khi đó,
( )
{ }
:
o
x co u t t S C∈ ∈⊂

Chứng minh
Giả sử
( )
{ }
:
o

x co u t t S A∉ ∈=
, theo định lí tách, tồn tại
o
yH∈
sao cho
25

( ) ( )
{ }
; inf ; :
oo o
x y zy z A<∈

Do đó
( )
( )
{ }
( ) ( ) ( )
{ }
inf ; : ( ); ; inf ; :
o t o oo o
ut y t S ut y x y zy z A
µ
∈≤ = < ∈

Mà
( )
{ }
( )
( )

{ }
inf ; : inf ; :
oo
zy z A ut y t S∈≤ ∈

Điều này dẫn đến điều vô lí, do đó ta có
( )
{ }
:
o
x co u t t S C∈ ∈⊂
▄
2.3.5 UĐịnh nghĩa
Cho C là tập con lồi đóng trong không gian Hilbert H. Họ các ánh xạ
{ }
:,
t
T C Ct S→∈
gọi là biểu diễn liên tục của S bởi các ánh xạ không giãn
từ C vào C nếu S thỏa mãn các điều kiện sau:
(i). với mọi
,;ts S x C∈∈
thì
ts t s
T x TTx=

(ii). với mọi
xC∈
, ánh xạ
s

s Txa
từ S vào C liên tục
(iii). với mọi
;,t S xy C∈∈
thì
tt
Tx Ty x y− ≤−

2.3.6 UNhận xétU:

( )
{ }
:,
s
F S x C Tx x s S= ∈ = ∀∈
là tập con lồi, đóng của C (theo 2.1.1 )
2.3.7 UĐịnh lí
Cho C là tập con lồi đóng trong không gian Hilbert H, S thỏa định nghĩa
2.3.1 sao cho C(S) có một trung bình bất biến trái, họ
{ }
:,
t
T C Ct S→∈
là biểu
diễn liên tục của S bởi các ánh xạ không giãn từ C vào C. Các mệnh đề sau
tương đương:
(a)
{ }
:
t

Tx t S∈
bị chặn tại ít nhất một
xC∈

(b)
{ }
:
t
Tx t S∈
bị chặn tại mọi
xC∈

(c)
( )
FS≠∅

Chứng minh
( ) ( )
ac⇒
:
µ
là một trung bình bất biến trái xác định trên C(S) . Đặt